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第 22 章 二次函数（单元卷）
（年级：九年级上册 考试时间：90分钟，满分120分）
试卷信息：本卷试卷共24题，其选择题10题，填空题8题，解答题6题，试卷结合常考点精
选细编，考查学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！
第 Ⅰ 卷（选择题，共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中
只有一项符合题目要求）
1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线 的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数顶点式 的顶点坐标为 ，掌握顶点式求顶点坐标
是解题的关键．
根据顶点式 的顶点坐标为 求解即可．
解：抛物线 的顶点坐标是 ，
故选：D．
2．（2024·山西·模拟预测）将抛物线 先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单
位长度得到的新抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减的
法则是解题的关键．
根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”逐步求解即可．
解：将抛物线 先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的新抛物线
的函数表达式为 即 ，
故选：A．
3．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）已知函数 的图象上有三点 ，
， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标
的大小．
由函数解析式得到抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口方向向上，则A、B、C的横坐标离对
称轴越近，则纵坐标越小，由此判断 ， ， 的大小关系，据此进行分析，即可作答．
解：∵函数
∴抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口方向向上，
则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，
∵函数 的图象上有三点 ， ， ，且
∴
故选：B．
4．（2025·宁夏银川·一模）同一坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，根据一次函数和二次函数的解析式可得一
次函数与 轴的交点为 ，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象，掌握相关知识是解
题的关键．
解：当 时，二次函数顶点在 轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限，
当 时，二次函数顶点在 轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限，
∴符合题意的是 选项，
故选： ．
5．（23-24九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，已知点 ，点 ．若抛物线
（a为常数， ）与线段 有两个不同的公共点，则a的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，先求出直线 的解析式，令
，根据有两个交点求出a的取值范围，再分 和 两种情况讨论即可得到答
案；
解：设 所在直线为 ，∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
当 时，
∵二次函数与线段 有两个不同的公共点，
∴ ，
解得： ，
①当 时，
此时函数的开口向上，
∴ ， ，
解得： ，
②当 时
此时函数的开口向下，
∴ ， ，
解得： ，综上所述得： ， ，
故选：B．
6．（2025·河北张家口·二模）如图，直线 从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛
物线的顶点A，B都在直线 上，已知 ， ， ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的对称性找到线段之间的关系来求解 的长度是
解决本题的关键．
分别求出 ， 和 的长度，再根据抛物线的对称性即可求解．
解：因为 ， ， ，
由图可知 ，
，
，
因为两条抛物线的顶点A，B都在直线 上，
根据抛物线的对称性可知 ．
故选：B．
7．（21-22九年级上·广东东莞·期中）抛物线 的部分图象如图所示，对称轴为直线
，与 轴的一个交点坐标为 ，若 ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，先根据二次函数图象对称性求出抛物线与 轴的另
一个交点坐标为 ，再结合图象得出结论．
解：抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标为 ，
∴抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，
当 时， 或 ，
故选：C．
8．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）二次函数 的部分对应值如表：以下结论不正确
的是（ ）
A．抛物线的顶点坐标为 B．与 轴的交点坐标为
C．与 轴的交点坐标为 和 D．当 时，对应的函数值 为
【答案】C
【分析】本题考查抛物线与 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的
关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
由表格可知，二次函数 的图象的对称轴为直线 ，则可得抛物线的顶点坐
标为 ；由表格可知，当 时， ，则抛物线与 轴的交点坐标为 ；由表格可知，
当 时， ，则抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，结合抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为 ；结合抛物线的对称性可知， 对应的函数值与 对应的函
数值相等，则可得当 时，对应的函数值 为 ．
解：由表格可知，二次函数 的图象的对称轴为直线 ，
当 时， ，
抛物线的顶点坐标为 ．故A选项正确，不符合题意；
由表格可知，当 时， ，
与 轴的交点坐标为 ．故B选项正确，不符合题意；
由表格可知，当 时， ，
抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，
抛物线与 轴的交点坐标为 和 ，故C选项不正确，符合题意；
抛物线的对称轴为直线 ，
对应的函数值与 对应的函数值相等，
由表格可知，当 时， ，
当 时，对应的函数值 为 ．故D选项正确，不符合题意．
故选：C．
9．（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，
设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位： ）与飞行时间t（单位： ）
满足的关系为 ．若“水火箭”的升空高度为 ，则此时的飞行时间为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】本题考查的是求二次函数的自变量，一元二次方程．把 代入 ，
化为一元二次方程，求解即可．
解：将 代入 ，得
，即
，
解得 （不符合题意，舍去），或 ．
故选C．
10．（2025·山东青岛·二模）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，且过点
（1，0）．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若点 、 在图象上，且 ，则
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 决定抛物线的开口方向和大小．
当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数 和二次项系数 共同决
定对称轴的位置：当 与 同号时，对称轴在 轴左侧；当 与 异号时，对称轴在 轴右侧．常数
项 决定抛物线与 轴交点：抛物线与 轴交于 抛物线与 轴交点个数由判别式确定：
时，抛物线与 轴有 个交点； 时，抛物线与 轴有 个交点；
时，抛物线与 轴没有交点．
利用抛物线开口方向、对称轴以及与 轴的交点，则可对 进行判断；抛物线过点 ，则
，即 ，则可对 进行判断；利用 时， 可对 进行判断；利用点到对
称轴的距离可对D进行判断．
解： 抛物线开口向上，
，抛物线的对称轴为直线 ，
，
抛物线与 轴的交点在 轴下方，
，
，故A错误；
抛物线过点 ，
，
，
，
，故B正确；
时， ，
，故C错误；
当点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离时，则 ，故D错误．
故选：B．
第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线 的对称轴是直线 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数对称轴公式 是解题的关键．
解：抛物线 的对称轴是直线 ，
故答案为： ．
12．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）对于二次函数 ，当 时，y的取值范围
是 ．【答案】
【分析】本题主要考查了求二次函数值的取值范围，根据解析式可得二次函数开口向下，对称轴为
y轴，则在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小，进而得到当 时，
y有最大值，最大值为0，再求出 和 时的函数值即可得到答案．
解：∵二次函数解析式为 ， ，
∴二次函数开口向下，对称轴为y轴，
∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小，
∴当 时，y有最大值，最大值为0，
当 时， ，当 时， ，
∴当 时，y有最小值，最小值为 ，
∴当 时，y的取值范围是 ，
故答案为： ．
13．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）已知抛物线 与直线 交于 、 两点，
且 ．若点 ， 也在该抛物线上，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系，设 ， ，
则由一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，结合 计算得出 ，
从而可得 ，由二次函数的对称性计算可得 ，从而可得
，由此计算即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
解：设 ， ，
∴ 、 是方程 的两个根，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线上有两个点 ， ，
∴对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ．
故答案为： ．
14．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线 与x轴的一个交点的坐标为 ，则
此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是抛物线的对称性，先求解抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可．
解：由题可知， 的对称轴为直线 ，
抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，
根据抛物线的对称性知，与 轴的另一个交点坐标为 ．故答案为： ．
15．（25-26九年级上·全国·期中）如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y
（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为 ，则小明将铅球推出的距离为
米．
【答案】9
【分析】本题考查了二次函数的应用，求出抛物线与x轴的交点的横坐标即可求解，理解题意是解
题的关键．
解：当 时，
，
∴ ， （不合题意，舍去），
∴小明将铅球推出的距离为9米．
故答案为：9．
16．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y
轴交于点C，点B的坐标为 ．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，则
点P的坐标为 ．
【答案】【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、轴对称的性质、一次函数；其中熟练运用
轴对称的性质转化线段是解题的关键．根据抛物线的对称性可知： ，所以当点 在线段
上时， 的值最小， 的周长也最小，以此为依据求解即可；
解：令 ，则 ，
解得 ， ，
， ，
抛物线 的对称轴为：
点 的横坐标为：
当 时， ；
设直线 解析式为 ，
则 ，
解得 ，
由抛物线的对称性可知：
∴当点 在线段 上时， 有最小值，则 的周长最小，
将 代入 得：
故此时点 的坐标是
故答案为： ．
17．（23-24九年级上·山西大同·期中）在二次函数 中，函数值y与自变量x的部分对
应值如下表：
…
x 1 …
…
y … 0 …则当 时 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数的性质及用待定系数法求二次函数的解析式，根据题意求出二次函
数的解析式及对称轴方程是解答此题的关键．
由表中数据可得抛物线的对称轴为 ，运用待定系数法求出函数解析式，根据二次函数图象与
性质可得出结论．
解：由表格可知， 和 时均有 ，
∴对称轴为：
观察表格， 时 ，即顶点为 ，
设二次函数的顶点式为：
由表格中 ， ，代入顶点式得：
，
即 ，
解得 ，
∴二次函数解析式为 ，
∴当 时，y有最大值0，开口向下，越远离对称轴的函数值越小，
，
当 时， 取得最小值，为 ．
故答案为： ．
18．（2025·广东惠州·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 在 轴正半轴上，
顶点 在 轴负半轴上．若抛物线 经过点 ， ，则点 的坐标为
．【答案】 /
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键；由抛
物线解析式可得抛物线的对称轴，抛物线与y轴的交点，则由抛物线的对称性质可求得点C的坐标，
从而求得A点坐标，即可求得点D的坐标．
解：抛物线的对称轴为直线 ，
在 中，令 ，得 ，
即 ；
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ 关于直线 对称，
∴ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴由勾股定理得： ，
即 ，
∴点D的横坐标为 ，
∴ ．
故答案为： ．三、解答题（本大题共6个小题,共58分）
19.（本小题满分8分）（2025·河北邢台·二模）如图，已知抛物线 的图象经过点
，交y轴于点B．
（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；
（2）延长 至点C，使 ．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短
路程．
【答案】（1） ，抛物线的顶点坐标为 ；（2）
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）根据待定系数法可求解函数解析式，然后把函数解析式配成顶点式即可求解；
（2）由题意可得 ，然后得出平移后的表达式为 ，进而根据“两点之间，线段最
短”可进行求解．
解：（1）解：把点 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，
∴该抛物线的顶点坐标为 ；
（2）解：由（1）可知： ，
令 时，则 ，∴ ，
∴ ， 轴，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设平移后的表达式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴平移后的表达式为 ，
∴平移后抛物线的顶点坐标为 ，
根据“两点之间，线段最短”可知：平移的最短路程为平移前后两抛物线顶点之间的距离，即为
．
20.（本小题满分8分）（2025·江苏南京·模拟预测）已知二次函数 是常数，
且 ，函数 与自变量x的部分对应值如表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 10 m 2 1 2 5 …
（1）直接写出m的值______；
（2）求出函数表达式；
（3）直接写出关于x的不等式 的解集：______．【答案】（1）5；（2） ；（3） 或
【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴为直线 ，则当 和 时，函
数值相等，从而确定m的值；
（2）设顶点式 ，然后把 代入求出a即可；
（3）先确定抛物线 和直线 的交点坐标为 ， ，然后利用函数图象，
写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
解：（1）解：∵抛物线过点 ， ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴当 和 时，函数值相等，
∵ 时， ，
∴ ；
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴抛物线解析式可设为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ；
（3）解：联立 ，
解得： 或 ，
∴抛物线 和直线 的交点坐标为 ， ，如图，当 或 时，二次函数的图象在一次函数图象的上面，
∴关于x的不等式 的解集为 或 ．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式 组 ：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，
即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了待定系数法
求二次函数解析式．
21.（本小题满分10分）（2025·河北唐山·三模）如图，抛物线 与x轴交于A、B两
点，与y轴交于点C，其中 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得 的面积最大．若存在，请直接写出点P
坐标和 的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在， ，面积最大为
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算等，
解题关键是熟练运用待定系数法和二次函数最值的求解方法．
（1）设出抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）通过分割图形法表示三角形面积，转化为二次函数最值问题，利用二次函数性质求解．
解：（1）解：将 ， 代入 ．得 解得： ，
；
（2）设点P的坐标为 ，且在第二象限内，
把 代入 ，可得 ，
，
设直线 的解析式为 ，
将 代入上式，得 ，
解得， ，
直线 的解析式为 ，
过点P作 垂直于x轴交 于点Q，则 ，
，
，
，
当 时， ， ，
．
22.（本小题满分10分）（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，
某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼
盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒
每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两
种礼盒成本不变）
（1）若每份礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为 元和 元，请求出
与x之间的函数关系式；
（2）物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒
每天售出的利润之和最大？最大是多少元？
（3）在（2）的条件下，当每天的销售利润最大时，每售出一盒礼盒均捐赠a元（ ）给福利
院，该商店每天的利润要想不少于6000元时，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1） ； ；（2）A礼盒的价格提高2元时，两
种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元；（3）
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用；
（1）根据利润=每盒利润×销量列式即可；
（2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒
提高 元，列出W关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案；
（3）求出销售利润最大时两种礼盒的销量，再根据题意列出一元一次不等式，求解即可．
解：（1）解：由题意可得： ；
；
（2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒
提高 元，
由题意得：∴当 时， 元，
即A种礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元；
（3）由（2）可知，当 时，A种礼盒每天售出 盒，B种礼盒每天售出
盒，
则 ，
，
，
．
23.（本小题满分10分）（2025·宁夏银川·三模）如图①，一次函数 的图象交x轴于点
A，交y轴于点B，二次函数 的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．
（1）求二次函数的关系式及点C的坐标；
（2）如图②，若点P是直线 上方的抛物线上一点，过点P作 轴交AB于点D， 轴
交AB于点E，求 的最大值．
【答案】（1） ，点C的坐标为 ；（2） 的最大值为
【分析】本题考查了二次函数的性质，考查了待定系数法求二次函数解析式，考查了二次函数与x
轴交点坐标，以及二次函数最值的应用．解题的关键在于熟练运用函数交点、待定系数法及二次函
数性质，同时能够灵活应用几何图形中的平行关系，将复杂问题转化为基本的数学模型进行求解．
（1）先求出一次函数与x轴、y轴交点A、B的坐标，再将A、B代入二次函数解析式，通过解方
程组得到b和c的值；之后令二次函数 ，解一元二次方程得到与x轴的另一个交点C的坐标；
（2）对于 的最大值，先设出点P的坐标，根据 轴得到E点坐标，进而表示出
的长度；再结合 ，建立 与 的数量关系，将 转化为关于P横坐标的二
次函数，利用二次函数性质求最大值．解：（1）解：令 ，则 ，解得 ，
一次函数 与x轴交点A的坐标为 ，
令 ，则 ，
一次函数 与y轴交点B的坐标为 ，
二次函数 经过 两点，
∴将 代入得：
解得 ，
二次函数关系式为 ，
令 ，即 ，
解得 ，
点坐标为 ，
点C的坐标为 ．
（2）设点P坐标并表示 的长度 设点 （ ），
轴，E点横坐标与P相同为m，
，
，
轴，
，
，，
，
, ，
，
，
，
当 时， 的最大值为 ．
24.（本小题满分12分）（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线 与
轴的交点分别为 和 ，与 轴交于点 ，连接 、 ，点 是线段 上，不与点
、 重合的一个动点，过点 作 轴，交抛物线于点 ，交 于点 ，其对称轴与 轴
交于点 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在点 的运动过程中，能否使线段 ？若能，请求出点 的坐标，若不能，请说明
理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）能， ；（3）点 的坐标为： 或 或或 ．
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、线段长度的表示方法等，分
类求解是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2） ，而直线 和x轴的夹角为 ，则
，即可求解；
（3）当 时，列出等式，即可求解；当 或 时，同理可解．
解：（1）解：设抛物线的表达式为： ，
则 ，
解得： ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）解：能，理由：
由抛物线的表达式知，点 ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，直线 和 轴的夹角为 ，
设点 ，则点 ，
则 ，
∵直线 和 轴的夹角为 ， ，
则 ，
解得： ，
即点 的坐标为： ；
（3）解：存在，理由：
设点 ，而点 ，
则 ， ， ，当 时，
则 ，
解得： ；
当 或 时，
同理可得 或 ，
解得： （舍去）或6或 或 ，
即点 的坐标为： 或 或 或 ．
