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2025-2026学年人教版数学九年级上册章节复习检测培优卷（新教材）
第22章 二次函数
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45
班级： 姓名： 学号：
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目
要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）
1．（24-25九年级上·福建福州·期末）二次函数y=a2x2−2a2tx+c图象过两点(x ,y )，(x ,y )，当
1 1 2 2
10，
−2a2t
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=− =t，
2a2
∴当x1）经过点
(−3,0)，(1,0)，有下列结论：
①一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x =−3，x =1；
1 2
②若点(−4,y )，(3,y )在该抛物线上，则y y ，该选项错误，不符合题意；
1 2
③由题意得，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值，
∴当x=−1时，y=a−b+c，
∴对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a−b+c，即at2+bt≤a−b，
该选项正确，符合题意；
c
④由①得x x = =−3，
1 2 a∴c=−3a，
∴c=−3a>1，
1
解得a<− ，该选项正确，符合题意；
3
∴正确选项为：①③④，
故选：C．
3．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）已知二次函数y=ax²+bx+c，函数值y与自变量x的部分对应
值如表：当y<13时，则x的取值范围是（ ）
x −2 −1 0 1 2
y 13 8 2 0 2
A．−24 D．x<−1或x>5
【答案】A
【思路引导】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=0时与x=2时的函数值相同，可得抛物线对称轴为x=1，
观察表格发现∶当x<1时，y随着x的增大而减小，当x>1时，y随着x的增大而增大，结合对称性找到
y=13对应的另一个x值，从而确定y<13时x的取值范围．
【规范解答】解：根据表格可知抛物线经过点(0,2)，(2,2)
0+2
∴对称轴为x= =1，
2
当x=−2时，y=13．
根据对称轴为直线x=1，其中x=−2距离对称轴3个单位，故x=4时y=13．
观察表格发现：当x<1时，y随着x的增大而减小，当x>1时，y随着x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，当x在−2和4之间时，y<13．
∴当y<13时，x的取值范围是−20；
（4）若 ax2−bx =ax2−bx 且x ≠x 则x +x =4 ，其中正确的有（ ）
1 1 2 2 1 2 1 2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，根据开口方向和与y
轴交于正半轴，得到a>0，c<0，据此可判断①；根据对称轴计算公式可判断②；由判别式可得
Δ=b2−4a(c−t)=(−4a) 2−4a(−4a−t)>0，则t>−8a，据此可判断③；可求出
b −4a
[a(x +x )−b)(x −x )=0，根据x ≠x ，得到a(x +x )−b=0，则x +x = = =−4，据此可判断
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 a a
④．
【规范解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴a>0，−c>0，
∴c<0，
∴ac<0，故①正确，
∵抛物线y=ax2+bx−c(a≠0)的顶点为M(2,0)，即对称轴为直线x=2，
b
∴− =2，
2a
∴b=−4a，即4a+b=0，故②错误；
∵抛物线y=ax2+bx−c(a≠0)的顶点为M(2,0)，
∴4a+2b−c=0，
∴c=4a+2b=4a−8a=−4a
∵关于x的方程ax2+bx+c−t=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4a(c−t)=(−4a) 2−4a(−4a−t)>0，
∴t>−8a，
∴只需要满足t>−8a时，函数y=ax2+bx+c与函数y=t有两个不同的交点，并不需要满足t>0，故③错
误；∵ax2−bx =ax2−bx
，
1 1 2 2
∴ax2−ax2−bx +bx =0，
1 2 1 2
∴a(x +x )(x −x )−b(x −x )=0，
1 2 1 2 1 2
∴[a(x +x )−b)(x −x )=0，
1 2 1 2
∵x ≠x ，
1 2
∴a(x +x )−b=0，
1 2
b −4a
∴x +x = = =−4，故④错误；
1 2 a a
故选：B．
5．（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①
abc>0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b>am2+bm；④a−b+c<0；⑤若ax 2+bx =ax 2+bx ，且
1 1 2 2
x ≠x ，则x +x =2．其中正确的有（ ）
1 2 1 2
A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
【答案】D
【思路引导】本题考查了二次函数与系数的关系，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，
b
即− =1，则可对②进行判断；由抛物线的开口方向和抛物线与y轴的交点位置，可对①进行判断；利
2a
用x=1时，函数有最大值，对③进行判断；根据二次函数图象x=−1时，y<0，可对④进行判断；由
，整理得 ，因 ，故 ，结合
ax 2+bx =ax 2+bx (x −x )[a(x +x )+b)=0 x ≠x a(x +x )+b=0
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2b
− =1，即可对⑤进行判断．
2a
【规范解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
b
∴a<0，− =1，
2a
∴2a+b=0，b>0，
故②正确；
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c>0，
∵a<0，b>0，c>0，
∴abc<0，
故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，y取最大值，y =a+b+c，
max
∴当m≠1时， a+b+c>am2+bm+c，
∴当m≠1时，a+b>am2+bm，
故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
和x=3的函数值相等，
根据图象可知x=−1对应的函数值小于0，则x=3对应的函数值也小于0，
∴ x=−1时，y=a−b+c<0，
故④正确；
∵ ax 2+bx =ax 2+bx ，
1 1 2 2
∴ax 2+bx −ax 2−bx =0，
1 1 2 2
整理得(x −x )[a(x +x )+b)=0
1 2 1 2
∵ x ≠x ，
1 2
∴a(x +x )+b=0，
1 2
b
即x +x =− ，
1 2 ab
又− =1
2a
∴x +x =2，
1 2
故⑤正确，
综上所述：②③④⑤正确，
故选：D．
6．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数y=ax2+bx+c，规定函数y= { ax2+bx+c(x≥0) )
−ax2−bx−c(x<0)
( 1 ) (9 )
是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为 − ,1 、 ,1 ，连接MN，若线段MN与二次函数
2 2
y=−x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
5 5
A．−30, b2−4ac>0)的图象是由函
数y=ax2+bx+c(a>0, b2−4ac>0)的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结
13
论：①2a+b=0；②将图象向上平移1个单位长度后与直线y=5有3个交点；③当10,b2−4ac>0)的
对称轴为直线x=1，由此即可判断①正确；先利用待定系数法求出函数y=ax2+bx+c的解析式，再求出
函数y=|ax2+bx+c)在−10,b2−4ac>0)的对称轴为直线x=− = ，
2a 2
∴b=−2a，即2a+b=0，结论①正确；
由题意可知，函数y=ax2+bx+c的图象经过点(−1,0),(3,0),(0,−3)，
{
a−b+c=0
) {
a=1
)
将点(−1,0),(3,0),(0,−3)代入： 9a+3b+c=0 ，解得 b=−2 ，
c=−3 c=−3
∴函数y=ax2+bx+c的解析式为y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，其顶点坐标为(1,−4)，
∴函数y=|ax2+bx+c)在−10；③ 0，
又∵抛物线与y轴交点坐标是(0,m)，即c=m，
∵20，
∴abc<0，故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(4,0)，对称轴为直线x=1，
∴另一个交点坐标为(−2,0)，
∴当x=−3时，y=9a−3b+c<0，故②错误；
∵(−2,0)，(4,0)在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，
∴4a−2b+c=0，
又∵b=−2a，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0即c=−8a，
∵20，
4 4 4 4
3 1
∴当− 0恒成立，即ax2+(b−1)x+c−2=0必有两个不相等实根，故④正确；
8 4
∵若点A(x ,y )，B(x ,y )，C(x ,y )在抛物线y=ax2+bx+c上，且
1 1 2 2 3 3
n1， 1 3<1，
2 2 2
2n+1 2n+5 2n+2
即 <1， >1， <1，
2 2 2
3
解得：− y ，则m> ．其中正确结论的个数有（ ）
2 1 2 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【思路引导】根据抛物线的对称轴可得b=−2a，进而判断结论①，结合一元二次方程跟的判别式和抛物
( 1)
线的开口方向，可得Δ=4a a− >0，进而判断结论②，根据抛物线的增减性，函数值可判断结论③，
2
根据抛物线的对称性得出抛物线与x轴的另一个交点在−1和0之间，结合函数值得出a−b<−2，进而判断
结论④，根据抛物线的对称性得出点P
(1
，y
) 关于对称轴的对称点坐标为P′(3
，y
)
，结合抛物线的
2 1 2 1
1 3
增减性即可得出y >y 时， 0，
2
1
故方程ax2−bx+ =0一定有两个不相等的实数根，②结论正确；
2
∵b=−2a，c=2，
故抛物线的解析式为y=ax2−2ax+2，
当x=−1时，y=a+2a+2=3a+2，
当x=1时，y=a−2a+2=−a+2，
∵a<0，
∴−a+2>2，
∵抛物线的对称轴是x=1，故抛物线y=ax2−2ax+2的最大值为−a+2；
当x=2时，y=4a−4a+2=2，
故当−1≤x≤2时，3a+2≤ y≤2；即③结论正确；
根据图象可得：抛物线与x轴的一个交点在2和3之间，抛物线的对称轴为x=1，
故抛物线与x轴的另一个交点在−1和0之间，
当x=−1时，y=a−b+c<0，
∵b=−2a，c=2，
∴a−b<−2，
∴b−a>2，故④结论错误；∵抛物线的对称轴为x=1，
故点P
(1
，y
) 关于对称轴的对称点坐标为P′(3
，y
)
，
2 1 2 1
∵抛物线的开口向下，
故抛物线在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，抛物线在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
若y >y ，
1 2
1 3
则m< 或m> ，故⑤结论错误；
2 2
综上，结论正确的有①②③，有3个．
故选：C．
【考点剖析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点问题，抛物线与y轴的交点问题，二次函数
图象与系数的关系，一元二次方程跟的判别式等．解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．（2025九年级上·全国·专题练习）已知矩形的周长为40m，矩形绕着它的一条边所在直线旋转形成一
个圆柱．设矩形的一条边长为xm，圆柱的侧面积为ym2，则y与x之间的函数关系式是 ．
【答案】y=−2πx2+40πx
【思路引导】本题主要考查了二次函数的实际应用、圆柱的侧面积公式以及矩形的周长公式，将实际问题
中的数量关系用二次函数表示是解题的关键．
设圆柱的高为ℎ，底面圆的半径为r．则根据题意可得：ℎ=(20−x)m，r=xm；再根据圆柱的侧面积公
式可得y=2πx×(20−x)，整理化简即可．
【规范解答】解：设圆柱的高为ℎ，底面圆的半径为r．
40
由题意得，矩形的一边长为 −x=(20−x)m
2
∵矩形绕着它的一条边所在直线旋转形成一个圆柱
∴ ℎ=(20−x)m，r=xm
∴圆柱的底面圆的周长为C=2πr=2πxm
∴y=2πx×(20−x)
=2πx×20−2πx×x
=40πx−2πx2
=−2πx2+40πx故答案为：y=−2πx2+40πx．
12．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知抛物线y=ax2−(a+2)x−3与y轴交于点A，过点A作x
轴的平行线交抛物线于点B，若AB=2，则a= ．
2
【答案】2或−
3
【思路引导】本题主要考查二次函数与y轴得交点，二次函数对称轴和两点之间的距离，熟练掌握二次函
数基本性质是解决本题的关键．
根据表达式求出A点坐标再根据AB平行于x轴，AB=2可得B点坐标为(2,−3)或(−2,−3)，再根据对称
−(a+2)
轴x=− 即可求出答案．
2a
【规范解答】解：∵y=ax2−(a+2)x−3，
∵当x=0时，y=−3，
∴A点坐标(0,−3)，
又∵AB=2，直线AB平行x轴
∴B点坐标为(2,−3)或(−2,−3)，
−(a+2)
∵抛物线y=ax2−(a+2)x−3的对称轴为直线x=− ，
2a
−(a+2) 0+2 −(a+2) 0−2
∴− = 或− =
2a 2 2a 2
2
解得，a=2或a=−
3
2
故答案为：2或−
3
13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(−2,0)、
(x ,0)，且10，②4a−2b+c=0，③
2 2
a0，
∴①正确；
根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(−2,0)、(x ,0)，且1−b，
∴a0，即a0，
2 2
当a>0时，
{x −3a>0) {x −3a<0)
2 或 2 ，
x +a>0 x +a<0
2 2
{x >3a) {x <3a)
解得， 2 或 2 ，
x >−a x <−a
2 2
∴x >3a或x <−a，
2 2
∵2≤x ≤4，
2
∴3a<2或−a>4，
2
解得，a< 或a<−4，
3
2
∴00) {x −3a<0)
2 或 2 ，
x +a<0 x +a>0
2 2
解得，3a0；④
a+c=1；其中正确的结论的序号是 ．
【答案】①③④
【思路引导】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，
利用二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
①由点(1,0)在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出a+b+c=0，结论①正确；②由
b
二次函数图象的开口方向、对称轴在y轴右侧以及与y轴交于负半轴，可得出a>0,− >0,c<0，进而可
2a
得出abc>0，结论②错误；③由二次函数图象对称轴所在的位置及a>0，可得出2a>−b，进而可得出
2a+b>0，结论③正确；④由二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(−1,2)和(1,0)，利用二次函数图象
上点的坐标特征可得出a−b+c=2，a+b+c=0，进而可得出a+c=1，结论④正确．综上，此题得解．
【规范解答】解：①点(1,0)在二次函数图象上，
∴a+b+c=0，结论①正确；
②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
b
∴a>0,− >0,c<0，
2a
∴b<0，
∴abc>0，结论②错误；
b
③∵− <1,a>0,
2a
∴2a>−b，∴2a+b>0，结论③正确；
④二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(−1,2)和(1,0)，
∴a−b+c=2,a+b+c=0，
∴a+c=1，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
16．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(2,c)，且满足
a−b+c=0．下列四个结论：①2a+b=0；②bc>0；③若a+2b+4c>0，则不等式
ax2+bx+c<−2ax−a−b的解集x<−2或x>2；④抛物线上的两个点M(m−1,y )，N(m+2,y )，当
N 2
c<0，且y >y 时，m≤−1．其中一定正确的是 ．（填写序号）
1 2
【答案】①②③
【思路引导】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线过点(2,c)和条件a−b+c=0，推导出抛物线的对
称轴及参数关系；接着分析各结论的正确性，涉及对称轴方程、参数符号、二次不等式解集及点坐标比较．
【规范解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(2,c) ，
∴4a+2b+c=c，即2a+b=0，故①正确，
∴2a=−b
b
∴对称轴为直线x=− =1
2a
又∵满足a−b+c=0
∴抛物线经过点(−1，0)
代入2a=−b
∴a+2a+c=0
∴c=−3a
2
∴b= c
3
若a>0，则b=−2a<0，c=−3a<0，此时bc=(−2a)(−3a)=6a2>0，成立；
若a<0，则b=−2a>0，c=−3a>0，此时bc=6a2>0，仍成立．
因此，无论a正负，bc>0，故结论②正确
∵a+2b+4c>0，代入b=−2a，c=−3a
a+2(−2a)+4c=a−4a+4(−3a)=−15a>0．解得：a<0
不等式ax2+bx+c<−2ax−a−b，整理为：ax2+(b+2a)x+(c+a+b)<0．
代入b=−2a，c=−3a：
ax2+(−2a+2a)x+(−3a+a−2a)=ax2−4a<0，即：a(x2−4)<0．
当a<0时，x2−4>0，解得：x<−2或x>2．
因此结论③正确
当c<0时，由c=−3a<0得a>0，抛物线开口向上，对称轴为x=1．
比较点M(m−1,y )和N(m+2,y )的纵坐标：
1 2
y =a(m−1) 2+b(m−1)+c，
1
y =a(m+2) 2+b(m+2)+c．
2
代入b=−2a，c=−3a：
y =a(m−1) 2−2a(m−1)−3a=a[(m−1) 2−2(m−1)−3]
1
展开化简：(m−1) 2−2(m−1)−3=m2−2m+1−2m+2−3=m2−4m，
故y =a(m2−4m)．
1
同理，y =a(m+2) 2−2a(m+2)−3a=a[(m+2) 2−2(m+2)−3]
2
展开化简：(m+2) 2−2(m+2)−3=m2+4m+4−2m−4−3=m2+2m−3，
故y =a(m2+2m−3)．
2
由y >y 得：a(m2−4m)>a(m2+2m−3)（因a>0，可两边除以a）：
1 2
m2−4m>m2+2m−3．
−6m>−3
1
m<
2
因此，正确答案为①②③．
故答案为：①②③．17．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于A、B两点，与轴的
正半轴交于点C，对称轴是直线x=−1，其顶点在第二象限，给出以下结论：①abc>0；②2a−b=0；③
1
若OA=OC，则OB=− ；④不论m取任何实数，均有a−b>am2+bm．其中正确的有 ．
a
【答案】①②③
【思路引导】本题主要考查了二次函数与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征及抛物线与x轴的交
点，根据所给函数图像，得出a，b，c的符号，再结合抛物线的对称性及增减性对所给结论依次进行判断
即可．熟知二次函数的图像与性质是解题的关键．
【规范解答】解：由所给图像可知，
a<0，b<0，c>0，
所以abc>0．
故①正确．
因为抛物线的对称轴为直线x=−1，
b
所以− =−1，
2a
则2a−b=0．
故②正确．
因为点C坐标为(0,c)，
由OA=OC得，OA=c，
所以点A的坐标为(−c,0)，
则ac2−bc+c=0，
所以ac−b+1=0．
因为抛物线的对称轴为直线x=−1，且点A坐标为(−c,0)，
所以点B的坐标为(c−2,0)．由ac−b+1=0得，
b−1 2a−1 1
c= = =2− ，
a a a
1 1
所以OB=c−2=2− −2=− ．
a a
故③正确．
因为抛物线的对称轴为直线x=−1，且开口向下，
所以当x=−1时，二次函数有最大值a−b+c，
即对于抛物线上的任意一点（横坐标为m)，总有a−b+c≥am2+bm+c，即a−b≥am2+bm．
故④错误．
故答案为：①②③．
18．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数）经过
1
(−1,−1),(1,0),(m,0)三点，与y轴的交点在正半轴．下列结论：①−12，则k>0；④当a≤−1时，则方程2ax2+2bx+2c−1=0
必有两个不相等的实数根．其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①②④
【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象
与性质是解题的关键．
根据题意求出a的取值范围，b的值，结合图形开口，对称轴直线，增减性即可判断①②；先求出直线
y=kx+k−1经过定点(−1,−1)，再进行判断③；将方程2ax2+2bx+2c−1=0的解的个数转化为抛物线
1
y=ax2+bx+c与直线 y= 的交点的个数，即可判断④．
2
【规范解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过(−1,−1)，(1,0)两点，
{a−b+c=−1)
∴ ，
a+b+c=0
1
{ b= )
2
解得， ，
1
c=−a−
2
1 1
∴抛物线的解析式为y=ax2+ x−a− ，
2 2
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，1
∴c>0，即−a− >0，
2
1
解得，a<− ，
2
∴抛物线图象开口向下，
∵抛物线过点(m,0)，
1 1
∴am2+ m−a− =0，整理得，2am2+m−2a−1=0，
2 2
−1±❑√12−4×2a×(−2a−1) −1±❑√(4a+1) 2 −1±|4a+1)
∴m= = = ，
2×2a 4a ❑
1
∵a<− ，
2
∴4a+1<−1，
−1±[−(4a+1))
∴m= ，
4a
1
解得，m =−1− ，m =1，
1 2a 2
∵抛物线与x轴的交点为(1,0),(m,0)，
1
∴m=−1− ，
2a
1
∵a<− ，
2
1
∴−1− <0，即m<0，
2a
1+m 1
∵当x=−1时，y=−1<0，当x=m时，y=0，抛物线开口向下，抛物线的对称轴直线为 < ，
2 2
∴−12，
∴抛物线与直线y=kx+k−1在x>2时有交点，
1 1
当x=2时，y =4a+1−a− =3a+ ，y =2k+k−1=3k−1，
1 2 2 2
1
∴3k−1>3a+ ，
2
1
∴k>a+ ，
2
1
∵a<− ，
2
∴k>0不一定成立，故结论③错误；
∵2ax2+2bx+2c−1=0，
1
∴ax2+bx+c− =0，
2
1 1
∴ax2+bx+c= ，即抛物线y=ax2+bx+c与直线y= 的交点的个数即为方程2ax2+2bx+2c−1=0的
2 2
解的个数，
∵a≤−1，
1 1
∴抛物线开口向下，c=−a− ≥ ，
2 2
1
∴抛物线与直线y= 有两个交点，
2
∴方程2ax2+2bx+2c−1=0必有两个不相等的实数根，故结论④正确．
综上所述，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）
19．（本题6分）（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）已知抛物线．y=a(x+m)²的顶点坐标为(−1,0)，
且经过点A(−2,−2)．
(1)求该抛物线对应的函数解析式；
(2)将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标．
【答案】(1)y=−2(x+1) 2
(2)(2,−5)【思路引导】本题考查了求抛物线的解析式，二次函数的平移和二次函数的性质．熟练掌握抛物线的平移
规律是解题的关键．
（1）根据抛物线的顶点坐标，可得m=1，即y=a(x+1) 2，将点A的坐标代入y=a(x+1) 2，求出a的值，
即可求解；
（2）先根据抛物线的平移规律求出平移后的解析式，根据平移后的顶点坐标式，即可求解．
【规范解答】（1）解：∵抛物线y=a(x+m)²的顶点坐标为(−1,0)，
∴m=1，
故y=a(x+1) 2，
∵抛物线y=a(x+1) 2经过点A(−2,−2)，
故将(−2,−2)代入y=a(x+1) 2，得a=−2，
∴抛物线的解析式为y=−2(x+1) 2．
（2）解：将抛物线y=−2(x+1) 2向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，
得到的解析式为y=−2(x+1−3) 2−5=−2(x−2) 2−5，
∴抛物线的顶点坐标是(2,−5)．
20．（本题6分）（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线
y=x2+bx−2（b为常数）经过点A(4,6)．点P在抛物线上，且点P的横坐标为m，将该抛物线上P、A两
点之间的部分（包括P、A两点）记为图象G．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当m=−3时，求图象G的最大值和最小值；
(3)当图象G上只有两个点到x轴的距离为3时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)y=x2−2x−2
(2)当x=1时，图象G有最小值，且最小值为−3；当x=−3时，图象G有最大值，且最大值为13
(3)−❑√6+11.4
∴她能成功完成此动作．
25．（本题10分）（24-25九年级上·福建福州·期末）如图1，抛物线y=x2−mx−m−1与x轴交于A，B
（点A在点B左侧），与y轴相交于C．且AB=5，抛物线的顶点为M．
(1)求抛物线的解析式；
DE
(2)点D为直线BC下方抛物线上一动点，连接AD交BC于E，求 的最大值．
EA
3
(3)如图2，直线y=2kx−3k(k≠0)与抛物线交于P，Q两点，点P关于直线x= 的对称点为P′，直线
2
3
QP′与直线x= 交点于点R，求证：RM的长为定值．
2
【答案】(1)y=x2−3x−44
(2)
5
(3)见解析
【思路引导】（1）令y=0，求出A(−1，0)，B(m+1,0)，根据AB=5，求出m=3，即可得出答案；
（2）先求出直线BC解析式为y=x−4，分别过A，D作x轴的垂线分别交BC于F，G点，设
D(n,n2−3n−4)，则G(n,n−4)，求出DG=n−4−(n2−3n−4)=−n2+4n，根据平行线分线段成比例
DE DG DG
定理得出： = = ，根据DG=−n2+4n=−(n−2) 2+4，得出当n=2时，DG有最大值为4，即
EA AF 5
可得出答案；
（3）先求出顶点M
(3
,−
25)
，对称轴为直线x=
3
，设P(x ,x 2−3x −4)，Q(x ,x 2−3x −4)，求
2 4 2 1 1 1 2 2 2
3
出直线P′Q的解析式为：y=(x −x )x+x x −3x −4，求出当x= 时，
1 2 1 2 1 2
3 3
y= (x −x )+x x −3x −4=x x − (x +x )−4，根据根与系数的关系得出x +x =2k+3，
2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
3 25 (3 25)
x ⋅x =3k−4，求出y=3k−4− (2k+3)−4=− ，根据M ,− ，求出
1 2 2 2 2 4
25 ( 25) 25
RM=− − − = ，为定值．
4 2 4
【规范解答】（1）解：令y=0，则x2−mx−m−1=0，
(x+1)(x−m−1)=0，
解得：x =−1，x =m+1，
1 2
∴A(−1，0)，B(m+1,0)，
∵AB=5，
∴m+1−(−1)=5，
解得：m=3，
∴抛物线解析式为：y=x2−3x−4；
（2）解：由y=x2−3x−4得：C(0,−4)，B(4，0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，把C(0,−4)，B(4，0)代入得：
{4k+b=0)
，
b=−4
{ k=1 )
解得： ，
b=−4
∴直线BC解析式为y=x−4，
分别过A，D作x轴的垂线分别交BC于F，G点，
则F(−1,−5)，AF∥DG，
设D(n,n2−3n−4)，则G(n,n−4)，
DG=n−4−(n2−3n−4)=−n2+4n，
∵AF∥DG，
DE DG DG
∴ = = ，
EA AF 5
∵DG=−n2+4n=−(n−2) 2+4，
∴当n=2时，DG有最大值为4．
DE 4
∴ 的最大值为 ．
EA 5
（3）解：∵y=x2−3x−4= ( x− 3) 2 − 25 ，
2 4
(3 25) 3
∴顶点M ,− ，对称轴为直线x= ，
2 4 2
设P(x ,x 2−3x −4)，Q(x ,x 2−3x −4)，
1 1 1 2 2 23
点P关于直线x= 的对称点P′(3−x ,x 2−3x −4)，
2 1 1 1
设直线P′Q的解析式为y=sx+t，则有：
{ sx +t=x2−3x −4 )
1 1 1
，
s(3−x )+t=x2−3x −4
2 2 2
{ s=x −x )
解得： 1 2 ，
t=x x −3x −4
1 2 1
直线P′Q的解析式为：
y=(x −x )x+x x −3x −4，
1 2 1 2 1
3 3 3
当x= 时，y= (x −x )+x x −3x −4=x x − (x +x )−4，
2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
{ y=2kx−3k )
由 得：
y=x2−3x−4
x2−(2k+3)x+3k−4=0，
∴x +x =2k+3，x ⋅x =3k−4，
1 2 1 2
3 25
∴y=3k−4− (2k+3)−4=− ，
2 2
(3 25)
∵M ,− ，
2 4
25 ( 25) 25
∴RM=− − − = ，为定值．
4 2 4
【考点剖析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，平行线分线
段成比例定理，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
3
26．（本题10分）（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线y=ax2+ x+4的对称轴是直线
2
x=3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．(1)求线段AB的长；
(2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作
MN∥y轴，交直线BC于点N．
（ⅰ）当线段MN的长有最大值时，求点M的坐标；
（ⅱ）过点M作DM⊥MN交抛物线于点D，是否存在点M使△DMN为等腰直角三角形？若存在，求
出m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)10
(2)（ⅰ）(4,6) ；（ⅱ）2❑√6或8−2❑√10．
【思路引导】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质．
（1）由待定系数法求出抛物线表达式，进而求解；
（2）（Ⅰ）由题意知点M的坐标为 ( m,− 1 m2+ 3 m+4 ) ，点N的坐标为 ( m,− 1 m+4 ) ，即可求解；
4 2 2
（Ⅱ）由∠DMN=90°得到当DM=MN时，△DMN为等腰直角三角形，再根据点M在对称轴右侧或
左侧分情况讨论，分别画出图形求解即可．
【规范解答】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线x=3，
3
2 ，
∴− =3
2a
1
解得a=− ，
4
1 3
∴抛物线的解析式为y=− x2+ x+4．
4 2
1 3
令y=0，得− x2+ x+4=0，解得x =−2，x =8，
4 2 1 2
∴A(−2,0)，B(8,0)，
∴AB=8−(−2)=10；
1 3
（2）解：（ⅰ）由（1）知抛物线的解析式为y=− x2+ x+4．
4 21 3
令x=0，得y=− x2+ x+4=4，
4 2
∴C(0,4)．
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将B(8,0)，C(0,4)代入，得¿
解得¿，
1
∴直线BC的解析式为y=− x+4，
2
由题意知点M的坐标为 ( m,− 1 m2+ 3 m+4 ) ，点N的坐标为 ( m,− 1 m+4 ) ，
4 2 2
∴MN=− 1 m2+ 3 m+4− ( − 1 m+4 ) =− 1 m2+2m=− 1 (m−4) 2+4，
4 2 2 4 4
∴当m=4时，线段MN的长有最大值，
1 3 1 3
此时− m2+ m+4=− ×42+ ×4+4=6，
4 2 4 2
∴点M的坐标为(4,6)；
（ⅱ）∵DM⊥MN，
∴∠DMN=90°，
即当DM=MN时，△DMN为等腰直角三角形．
①如图1，点M在对称轴右侧．
∵DM⊥MN MN∥y x=3 M m
， 轴，抛物线的对称轴是直线 ，点 的横坐标为 ，
∴DM=2(m−3)．
1
由（ⅰ）知MN=− m2+2m，
4
1
∴2(m−3)=− m2+2m，
4
解得m=2❑√6或m=−2❑√6（不合题意，舍去），
∴m=2❑√6；②如图2，点M在对称轴左侧．
∵DM⊥MN MN∥y x=3 M m
， 轴，抛物线的对称轴是直线 ，点 的横坐标为 ，
∴DM=2(3−m)．
1
由（ⅰ）知MN=− m2+2m，
4
1
∴2(3−m)=− m2+2m，
4
解得m=8−2❑√10或m=8+2❑√10（不合题意，舍去），
∴m=8−2❑√10．
∴存在，m的值为2❑√6或8−2❑√10．
