2025-2026学年人教版数学九年级上册章节复习检测培优卷（新教材）
第22章 二次函数
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45
班级： 姓名： 学号：
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目
要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）
1．（24-25九年级上·福建福州·期末）二次函数y=a2x2−2a2tx+c图象过两点(x ,y )，(x ,y )，当
1 1 2 2
1<x <2，2<x <3时，总有y <y ，则t的取值范围是（ ）
1 2 2 1
5 5 3 3
A．t≥ B．t≤ C．t≥ D．t≤
2 2 2 2
【答案】A
【思路引导】本题考查了二次函数的图象和性质，正确得出对称轴是直线x=t是解题关键．根据二次函数
解析式可得对称轴为直线x=t，得到当x<t时，y随x的增大而减小，再根据两点(x ,y )，(x ,y )在对称
1 1 2 2
轴同侧和两侧分情况讨论即可得答案．
【规范解答】解：设A(x ,y )，B(x ,y )
1 1 2 2
∵二次函数y=a2x2−2a2tx+c，
∴a2>0，
−2a2t
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=− =t，
2a2
∴当x<t时，y随x的增大而减小，
∴A(x ,y )关于对称轴对称的点的坐标为A′ (2t−x ,y )，
1 1 1 1
∵1<x <2，
1
∴2t−2<2t−x <2t−1，
1
∵当1<x <2，2<x <3时，总有y <y ，
1 2 2 1
∴当点A(x ,y )，B(x ,y )在对称轴同侧时，此时两点在对称轴左侧，
1 1 2 2
∴t≥3，
当点A(x ,y )，B(x ,y )在对称轴两侧时，
1 1 2 2
此时点A(x ,y )在对称轴左侧，点A′ (2t−x ,y )，B(x ,y )在对称轴右侧，
1 1 1 1 2 2∴2t−2≥3，
5
解得：t≥ ，
2
5
综上所述：t的取值范围是t≥ ．
2
故选：A．
2．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a<0，c>1）经过点
(−3,0)，(1,0)，有下列结论：
①一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x =−3，x =1；
1 2
②若点(−4,y )，(3,y )在该抛物线上，则y <y ；
1 2 1 2
③对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b；
1
④ a<− ．
3
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可．
【规范解答】解：①根据抛物线与横坐标轴的交点(−3,0)，(1,0)，可得一元二次方程ax2+bx+c=0的两
个根为x =−3，x =1，该选项正确，符合题意；
1 2
−3+1
②由点(−3,0)，(1,0)得，抛物线的对称轴为直线x= =−1，
2
∵a<0，
∴抛物线开口向下，
∵|−4−(−1))=3,|3−(−1))=4，3<4，
∴y >y ，该选项错误，不符合题意；
1 2
③由题意得，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值，
∴当x=−1时，y=a−b+c，
∴对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a−b+c，即at2+bt≤a−b，
该选项正确，符合题意；
c
④由①得x x = =−3，
1 2 a∴c=−3a，
∴c=−3a>1，
1
解得a<− ，该选项正确，符合题意；
3
∴正确选项为：①③④，
故选：C．
3．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）已知二次函数y=ax²+bx+c，函数值y与自变量x的部分对应
值如表：当y<13时，则x的取值范围是（ ）
x −2 −1 0 1 2
y 13 8 2 0 2
A．−2<x<4 B．−1<x<5 C．x<−2或x>4 D．x<−1或x>5
【答案】A
【思路引导】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=0时与x=2时的函数值相同，可得抛物线对称轴为x=1，
观察表格发现∶当x<1时，y随着x的增大而减小，当x>1时，y随着x的增大而增大，结合对称性找到
y=13对应的另一个x值，从而确定y<13时x的取值范围．
【规范解答】解：根据表格可知抛物线经过点(0,2)，(2,2)
0+2
∴对称轴为x= =1，
2
当x=−2时，y=13．
根据对称轴为直线x=1，其中x=−2距离对称轴3个单位，故x=4时y=13．
观察表格发现：当x<1时，y随着x的增大而减小，当x>1时，y随着x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，当x在−2和4之间时，y<13．
∴当y<13时，x的取值范围是−2<x<4．
故选：A．
4．（24-25九年级上·天津河东·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx−c(a≠0)的顶点为M(2,0)，下列结
论：
（1）ac<0；（2）2a+b=0；（3）若关于x的方程ax2+bx+c−t=0有两个不相等的实数根，则t>0；
（4）若 ax2−bx =ax2−bx 且x ≠x 则x +x =4 ，其中正确的有（ ）
1 1 2 2 1 2 1 2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，根据开口方向和与y
轴交于正半轴，得到a>0，c<0，据此可判断①；根据对称轴计算公式可判断②；由判别式可得
Δ=b2−4a(c−t)=(−4a) 2−4a(−4a−t)>0，则t>−8a，据此可判断③；可求出
b −4a
[a(x +x )−b)(x −x )=0，根据x ≠x ，得到a(x +x )−b=0，则x +x = = =−4，据此可判断
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 a a
④．
【规范解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴a>0，−c>0，
∴c<0，
∴ac<0，故①正确，
∵抛物线y=ax2+bx−c(a≠0)的顶点为M(2,0)，即对称轴为直线x=2，
b
∴− =2，
2a
∴b=−4a，即4a+b=0，故②错误；
∵抛物线y=ax2+bx−c(a≠0)的顶点为M(2,0)，
∴4a+2b−c=0，
∴c=4a+2b=4a−8a=−4a
∵关于x的方程ax2+bx+c−t=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4a(c−t)=(−4a) 2−4a(−4a−t)>0，
∴t>−8a，
∴只需要满足t>−8a时，函数y=ax2+bx+c与函数y=t有两个不同的交点，并不需要满足t>0，故③错
误；∵ax2−bx =ax2−bx
，
1 1 2 2
∴ax2−ax2−bx +bx =0，
1 2 1 2
∴a(x +x )(x −x )−b(x −x )=0，
1 2 1 2 1 2
∴[a(x +x )−b)(x −x )=0，
1 2 1 2
∵x ≠x ，
1 2
∴a(x +x )−b=0，
1 2
b −4a
∴x +x = = =−4，故④错误；
1 2 a a
故选：B．
5．（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①
abc>0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b>am2+bm；④a−b+c<0；⑤若ax 2+bx =ax 2+bx ，且
1 1 2 2
x ≠x ，则x +x =2．其中正确的有（ ）
1 2 1 2
A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
【答案】D
【思路引导】本题考查了二次函数与系数的关系，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，
b
即− =1，则可对②进行判断；由抛物线的开口方向和抛物线与y轴的交点位置，可对①进行判断；利
2a
用x=1时，函数有最大值，对③进行判断；根据二次函数图象x=−1时，y<0，可对④进行判断；由
，整理得 ，因 ，故 ，结合
ax 2+bx =ax 2+bx (x −x )[a(x +x )+b)=0 x ≠x a(x +x )+b=0
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2b
− =1，即可对⑤进行判断．
2a
【规范解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
b
∴a<0，− =1，
2a
∴2a+b=0，b>0，
故②正确；
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c>0，
∵a<0，b>0，c>0，
∴abc<0，
故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，y取最大值，y =a+b+c，
max
∴当m≠1时， a+b+c>am2+bm+c，
∴当m≠1时，a+b>am2+bm，
故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
和x=3的函数值相等，
根据图象可知x=−1对应的函数值小于0，则x=3对应的函数值也小于0，
∴ x=−1时，y=a−b+c<0，
故④正确；
∵ ax 2+bx =ax 2+bx ，
1 1 2 2
∴ax 2+bx −ax 2−bx =0，
1 1 2 2
整理得(x −x )[a(x +x )+b)=0
1 2 1 2
∵ x ≠x ，
1 2
∴a(x +x )+b=0，
1 2
b
即x +x =− ，
1 2 ab
又− =1
2a
∴x +x =2，
1 2
故⑤正确，
综上所述：②③④⑤正确，
故选：D．
6．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数y=ax2+bx+c，规定函数y= { ax2+bx+c(x≥0) )
−ax2−bx−c(x<0)
( 1 ) (9 )
是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为 − ,1 、 ,1 ，连接MN，若线段MN与二次函数
2 2
y=−x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
5 5
A．−3<n≤−1或1<n≤ B．−3<n<−1或1≤n≤
4 4
5
C．n≤−1或1<n≤ D．−3<n<−1或n≥1
4
【答案】A
【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的问题，
分两种情况讨论：当线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，令x=2，
y=1，求出n的值，当线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线
y=x2−4x−n与y轴交点纵坐标为1，可求n的值，进而得出取值范围；
当线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线y=−x2+4x+n经过点
(0,1)，求出n的值，当线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，抛物线
1
y=x2−4x−n经过点M(− ,1)，可求n的值，进而得出取值范围.
2
【规范解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x=2时，y=1，即−4+8+n=1，
解得n=−3．
如图2所示：线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y=x2−4x−n与y轴交点纵坐标为1，
∴−n=1，
解得：n=−1．
∴当−3<n≤−1时，线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图3所示：线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y=−x2+4x+n经过点(0,1)，
∴n=1．
如图4所示：线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．1
∵抛物线y=x2−4x−n经过点M(− ,1)，
2
1
∴ +2−n=1，
4
5
解得：n= ．
4
5
∴1<n≤ 时，线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
4
5
综上所述，n的取值范围是−3<n≤−1或1<n≤ ，
4
故选：A．
7．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，函数y=|ax2+bx+c)(a>0, b2−4ac>0)的图象是由函
数y=ax2+bx+c(a>0, b2−4ac>0)的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结
13
论：①2a+b=0；②将图象向上平移1个单位长度后与直线y=5有3个交点；③当1<m< 时，该图象
4
与直线y=x+m有四个交点；④a+b ≥at2+bt（t为实数）．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根的判别式
等知识，较难的是③，正确找出两个临界位置是解题关键．求出函数y=ax2+bx+c(a>0,b2−4ac>0)的
对称轴为直线x=1，由此即可判断①正确；先利用待定系数法求出函数y=ax2+bx+c的解析式，再求出
函数y=|ax2+bx+c)在−1<x<3段的图象的最高点的坐标为(1,4)，由此即可判断②正确；找出两个临界
位置：当直线y=x+m经过点(−1,0)时，直线与函数y=|x2−2x−3)图象有3个交点；当直线y=x+m与函数y=|x2−2x−3)在−1<x<3段的图象只有一个交点时，直线与函数y=|x2−2x−3)图象有3个交点，
求出m的值，由此即可判断③正确；根据当x=1时，函数y=ax2+bx+c取得最小值，最小值为a+b+c，
则对于任意实数t，都有a+b+c≤at2+bt+c，由此即可判断④错误．
b −1+3
【规范解答】解：由图象可知：函数y=ax2+bx+c(a>0,b2−4ac>0)的对称轴为直线x=− = ，
2a 2
∴b=−2a，即2a+b=0，结论①正确；
由题意可知，函数y=ax2+bx+c的图象经过点(−1,0),(3,0),(0,−3)，
{
a−b+c=0
) {
a=1
)
将点(−1,0),(3,0),(0,−3)代入： 9a+3b+c=0 ，解得 b=−2 ，
c=−3 c=−3
∴函数y=ax2+bx+c的解析式为y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，其顶点坐标为(1,−4)，
∴函数y=|ax2+bx+c)在−1<x<3段的图象的最高点的坐标为(1,4)，
∴将函数y=|ax2+bx+c)图象向上平移1个单位长度后，在x轴两个交点的中间部分段的图象的最高点的
坐标为(1,5)，
∴将函数y=|ax2+bx+c)图象向上平移1个单位长度后与直线y=5有3个交点，结论②正确；
由上可知，函数y=|ax2+bx+c)的解析式为y=|x2−2x−3)，
当x≤−1或x≥3时，y=x2−2x−3，
当−1<x<3时，y=−(x2−2x−3)=−x2+2x+3，
有两个临界位置：如图，当直线y=x+m经过点(−1,0)时，直线与函数y=|x2−2x−3)图象有3个交点，
则−1+m=0，解得m=1；
如图，当直线 与函数 在 段的图象只有一个交点时，直线与函数
y=x+m y=|x2−2x−3) −1<x<3图象有3个交点，
y=|x2−2x−3)
{y=−x2+2x+3)
联立 得：x2−x+m−3=0，这个方程有两个相等的实数根，
y=x+m
∴方程根的判别式Δ=(−1) 2−4(m−3)=0，
13
解得m= ，
4
13
∴当1<m< 时，该图象与直线y=x+m有四个交点，结论③正确；
4
由上可知，函数y=ax2+bx+c图象的开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，函数y=ax2+bx+c取得最小值，最小值为a+b+c，
∴对于任意实数t，都有a+b+c≤at2+bt+c，即a+b≤at2+bt，结论④错误；
综上，正确的是①②③，
故选：A．
8．（24-25九年级上·重庆·期中）在初2025届的素养系列课程活动中，数学兴趣小组从1～n这n个自然
数中，任取两数之和大于n的取法种数m进行了探究．比如：当n=2时，只有(1,2)一种取法，即m=1；
当n=3时，有(1,3)和(2,3)两种取法，即m=2；小蜀同学进一步研究得到了以下结论，其中正确的个数是
（ ）
①若n=5，则m的值为6；
②若从1～n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法恰好有100种，则n=20；
③若从1～n这n（n为偶数）个自然数中，任取两数之和大于n的取法恰好有A种；
如果从1～n+1中任取两数之和大于n+1的取法恰好有B种，则7B−8A的最大值为12．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【思路引导】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应m值，找到变化规律求解即可．
22
【规范解答】解：当n=2时，只有(1,2)一种取法，则m=1= ；
4
当n=3时，有(1,3)和(2,3)两种取法，则m=2；
42
当n=4时，有(1,4)，(2,4)，(3,4)，(2,3)四种取法，则m=3+1=4= ；
4
故当n=5时，有(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(2,4)，(3,4)六种取法，则m=4+2=6；
当n=6时，有(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(3,4)九种取法，则
62
m=5+3+1=9= ；
4
依次类推，
n2
当n为偶数时，m=(n−1)+(n−3)+⋯+5+3+1= ；
4
n2−1
当n为奇数时，m=(n−1)+(n−3)+⋯+6+4+2= ；
4
①当n=5，则m的值为6；正确．
n2 n2−1
②当m=100时，若n为偶数，则m= ，解得n=20；若n为奇数，m= ，此时n非整数．故n=20，
4 4
故②正确；
n2 (n+1) 2−1 n(n+2)
③当n为偶数时，A= ；n+1为奇数，B= = ，
4 4 4
−n2+14n 1 49
∴7B−8A= =− (n−7) 2+ ，
4 4 4
∵n为偶数，
∴当n=6或n=8时，7B−8A最大为12，故③正确；
故选D．
9．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴
是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4,0)，与y轴交点坐标是(0,m)且2<m<3．有下列结论：
9 27
①abc<0；②9a−3b+c>0；③ <y < ；④关于x的一元二次方程ax2+(b−1)x+c−2=0必有
4 最大值 8
两个不相等实根；⑤若点 在抛物线 上，且
A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y ) y=ax2+bx+c
1 1 2 2 3 33
n<x <n+1<x <n+2<x <n+3，当y <y <y 时，则n的取值范围为− <n<0．其中正确的有（ ）
1 2 3 1 3 2 2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题
的关键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断a，b，c的符号即可判断①；进而根据对称性得出
另一个交点坐标为(−2,0)，则当x=−3时，y=9a−3b+c<0，即可判断②；根据b=−2a，2<c<3，结
合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得a的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的
3
解情况即可判断④；根据y <y <y ，结合函数图象分析，即可得出− <n<0，进而判断⑤，即可求解．
1 3 2 2
b
【规范解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a<0，对称轴为直线x=1，则− =1
2a
∴b=−2a >0，
又∵抛物线与y轴交点坐标是(0,m)，即c=m，
∵2<m<3，即c>0，
∴abc<0，故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(4,0)，对称轴为直线x=1，
∴另一个交点坐标为(−2,0)，
∴当x=−3时，y=9a−3b+c<0，故②错误；
∵(−2,0)，(4,0)在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，
∴4a−2b+c=0，
又∵b=−2a，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0即c=−8a，
∵2<m<3，即2<c<3，
∴2<−8a<3，9 9 9 9 27
∴2× <−8a× <3× 即 <−9a< ，
8 8 8 4 8
当x=1时，y取得最大值，最大值为a+b+c=a−2a−8a=−9a，
∴y =−9a，
最大值
9 27
∴ <y < ，故③正确；
4 最大值 8
∵ax2+(b−1)x+c−2=0，b=−2a，c=−8a，
即ax2+(−2a−1)x−8a−2=0，
∵Δ=(−2a−1) 2+4a(8a+2)=36a2+12a+1
12 1 1
对称轴为直线a=− =− ，当a<− 时，Δ的值随a的增大而减小，
2×36 6 6
又∵2<−8a<3，
3 1
∴− <a<− ，
8 4
1 ( 1) 2 ( 1) 1
∴当a=− 时，Δ=36× − +12× − +1= >0，
4 4 4 4
3 1
∴当− <a<− 时，Δ>0恒成立，即ax2+(b−1)x+c−2=0必有两个不相等实根，故④正确；
8 4
∵若点A(x ,y )，B(x ,y )，C(x ,y )在抛物线y=ax2+bx+c上，且
1 1 2 2 3 3
n<x <n+1<x <n+2<x <n+3，
1 2 3
∴2n+1<x +x <2n+3，2n+3<x +x <2n+5，2n+2<x +x <2n+4，
1 2 2 3 1 3
∵存在y <y <y ，
1 3 2
x +x x +x x +x
∴ 1 2<1， 2 3>1， 1 3<1，
2 2 2
2n+1 2n+5 2n+2
即 <1， >1， <1，
2 2 2
3
解得：− <n<0，故⑤正确；
2
故正确的有①③④⑤，共4个．
故选：C．10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，该函数图象的
1
对称轴是直线x=1,图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b=0；②方程ax2−bx+ =0一定
2
(1 )
有两个不相等的实数根：③当−1≤x≤2时，3a+2≤ y≤2；④b−a<2；⑤抛物线上有两点P ，y ，
2 1
3
Q(m，y ),若y >y ，则m> ．其中正确结论的个数有（ ）
2 1 2 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【思路引导】根据抛物线的对称轴可得b=−2a，进而判断结论①，结合一元二次方程跟的判别式和抛物
( 1)
线的开口方向，可得Δ=4a a− >0，进而判断结论②，根据抛物线的增减性，函数值可判断结论③，
2
根据抛物线的对称性得出抛物线与x轴的另一个交点在−1和0之间，结合函数值得出a−b<−2，进而判断
结论④，根据抛物线的对称性得出点P
(1
，y
) 关于对称轴的对称点坐标为P′(3
，y
)
，结合抛物线的
2 1 2 1
1 3
增减性即可得出y >y 时， <m< ，进而判断结论⑤，即可求解．
1 2 2 2
【规范解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1，
b
即− =1，
2a∴b=−2a，
∴2a+b=2a−2a=0，故①结论正确；
∵b=−2a，
1 1
∴ax2−bx+ =ax2−(−2a)x+ =0，
2 2
1
整理得ax2+2ax+ =0，
2
则Δ=(2a) 2−4× 1 a=4a2−2a=4a ( a− 1) ，
2 2
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
1
故4a<0，a− <0，
2
( 1)
∴Δ=4a a− >0，
2
1
故方程ax2−bx+ =0一定有两个不相等的实数根，②结论正确；
2
∵b=−2a，c=2，
故抛物线的解析式为y=ax2−2ax+2，
当x=−1时，y=a+2a+2=3a+2，
当x=1时，y=a−2a+2=−a+2，
∵a<0，
∴−a+2>2，
∵抛物线的对称轴是x=1，故抛物线y=ax2−2ax+2的最大值为−a+2；
当x=2时，y=4a−4a+2=2，
故当−1≤x≤2时，3a+2≤ y≤2；即③结论正确；
根据图象可得：抛物线与x轴的一个交点在2和3之间，抛物线的对称轴为x=1，
故抛物线与x轴的另一个交点在−1和0之间，
当x=−1时，y=a−b+c<0，
∵b=−2a，c=2，
∴a−b<−2，
∴b−a>2，故④结论错误；∵抛物线的对称轴为x=1，
故点P
(1
，y
) 关于对称轴的对称点坐标为P′(3
，y
)
，
2 1 2 1
∵抛物线的开口向下，
故抛物线在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，抛物线在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
若y >y ，
1 2
1 3
则m< 或m> ，故⑤结论错误；
2 2
综上，结论正确的有①②③，有3个．
故选：C．
【考点剖析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点问题，抛物线与y轴的交点问题，二次函数
图象与系数的关系，一元二次方程跟的判别式等．解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．（2025九年级上·全国·专题练习）已知矩形的周长为40m，矩形绕着它的一条边所在直线旋转形成一
个圆柱．设矩形的一条边长为xm，圆柱的侧面积为ym2，则y与x之间的函数关系式是 ．
【答案】y=−2πx2+40πx
【思路引导】本题主要考查了二次函数的实际应用、圆柱的侧面积公式以及矩形的周长公式，将实际问题
中的数量关系用二次函数表示是解题的关键．
设圆柱的高为ℎ，底面圆的半径为r．则根据题意可得：ℎ=(20−x)m，r=xm；再根据圆柱的侧面积公
式可得y=2πx×(20−x)，整理化简即可．
【规范解答】解：设圆柱的高为ℎ，底面圆的半径为r．
40
由题意得，矩形的一边长为 −x=(20−x)m
2
∵矩形绕着它的一条边所在直线旋转形成一个圆柱
∴ ℎ=(20−x)m，r=xm
∴圆柱的底面圆的周长为C=2πr=2πxm
∴y=2πx×(20−x)
=2πx×20−2πx×x
=40πx−2πx2
=−2πx2+40πx故答案为：y=−2πx2+40πx．
12．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知抛物线y=ax2−(a+2)x−3与y轴交于点A，过点A作x
轴的平行线交抛物线于点B，若AB=2，则a= ．
2
【答案】2或−
3
【思路引导】本题主要考查二次函数与y轴得交点，二次函数对称轴和两点之间的距离，熟练掌握二次函
数基本性质是解决本题的关键．
根据表达式求出A点坐标再根据AB平行于x轴，AB=2可得B点坐标为(2,−3)或(−2,−3)，再根据对称
−(a+2)
轴x=− 即可求出答案．
2a
【规范解答】解：∵y=ax2−(a+2)x−3，
∵当x=0时，y=−3，
∴A点坐标(0,−3)，
又∵AB=2，直线AB平行x轴
∴B点坐标为(2,−3)或(−2,−3)，
−(a+2)
∵抛物线y=ax2−(a+2)x−3的对称轴为直线x=− ，
2a
−(a+2) 0+2 −(a+2) 0−2
∴− = 或− =
2a 2 2a 2
2
解得，a=2或a=−
3
2
故答案为：2或−
3
13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(−2,0)、
(x ,0)，且1<x <2，与y轴正半轴的交点在(0,2)下方，在下列结论中：①ab>0，②4a−2b+c=0，③
2 2
a<b<c．其中正确的结论有 （请填写序号）．
【答案】①②③
【思路引导】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点问题．根据已知画出图象，
根据对称轴和开口方向可判断①；把x=−2代入得：4a−2b+c=0，可判断②；根据图象与x轴的交点可
用x 表示对称轴，易确定a，b的取值范围，可判断③．
2【规范解答】解：画出图象如图，
∵开口向下，
∴a<0，
b
∵x=− <0，
2a
∴b<0，
∴ab>0，
∴①正确；
根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(−2,0)、(x ,0)，且1<x <2，与y轴正半轴的交点在
2 2
(0,2)下方，把x=−2代入得：4a−2b+c=0，
∴②正确；
−2+x b
∵图象与x轴两交点为(−2,0)、(x ,0)，且1<x <2，对称轴x= 2=− ，
2 2 2 2a
1 b
则对称轴− <− <0，且a<0，
2 2a
∴−a>−b，
∴a<b<0，
由抛物线与y轴的正半轴的交点在(0,2)下方，得c>0，即a<b<c，
∴③正确；
所以正确的结论有：①②③．
故答案为：①②③．
14．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系中，A(x ,y )和B(x ,y )是抛物线
1 1 2 2
y=ax2−2a2x(a≠0)上的两点，若对于x =3a，2≤x ≤4，都有y <y ，则a的取值范围为
1 2 1 2
．
2
【答案】0<a< 或a<−4
3【思路引导】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数增减性是解题的关键．
根据题意分别表示出y ,y ，结合题意和不等式的性质求解即可．
1 2
【规范解答】解：A(x ,y )和B(x ,y )是抛物线y=ax2−2a2x(a≠0)上的两点，
1 1 2 2
∴y =ax 2−2a2x ，y =ax 2−2a2x ，
1 1 1 2 2 2
∵x =3a，
1
∴y =9a3−6a3=3a3 ，
1
∵y <y ，
1 2
∴3a3<ax 2−2a2x ，即3a3−ax 2+2a2x <0，
2 2 2 2
整理得，a(x −3a)(x +a)>0，
2 2
当a>0时，
{x −3a>0) {x −3a<0)
2 或 2 ，
x +a>0 x +a<0
2 2
{x >3a) {x <3a)
解得， 2 或 2 ，
x >−a x <−a
2 2
∴x >3a或x <−a，
2 2
∵2≤x ≤4，
2
∴3a<2或−a>4，
2
解得，a< 或a<−4，
3
2
∴0<a< ；
3
当a<0时，
{x −3a>0) {x −3a<0)
2 或 2 ，
x +a<0 x +a>0
2 2
解得，3a<x <−a，
2
∵2≤x ≤4，
2
∴3a<2,a<−4，
解得，a<−4；2
综上所述，0<a< 或a<−4，
3
2
故答案为：0<a< 或a<−4 ．
3
15．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过
点(−1, 2)和(1, 0)且与y轴交于负半轴．给出四个结论：①a+b+c=0，②abc<0；③2a+b>0；④
a+c=1；其中正确的结论的序号是 ．
【答案】①③④
【思路引导】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，
利用二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
①由点(1,0)在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出a+b+c=0，结论①正确；②由
b
二次函数图象的开口方向、对称轴在y轴右侧以及与y轴交于负半轴，可得出a>0,− >0,c<0，进而可
2a
得出abc>0，结论②错误；③由二次函数图象对称轴所在的位置及a>0，可得出2a>−b，进而可得出
2a+b>0，结论③正确；④由二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(−1,2)和(1,0)，利用二次函数图象
上点的坐标特征可得出a−b+c=2，a+b+c=0，进而可得出a+c=1，结论④正确．综上，此题得解．
【规范解答】解：①点(1,0)在二次函数图象上，
∴a+b+c=0，结论①正确；
②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
b
∴a>0,− >0,c<0，
2a
∴b<0，
∴abc>0，结论②错误；
b
③∵− <1,a>0,
2a
∴2a>−b，∴2a+b>0，结论③正确；
④二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(−1,2)和(1,0)，
∴a−b+c=2,a+b+c=0，
∴a+c=1，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
16．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(2,c)，且满足
a−b+c=0．下列四个结论：①2a+b=0；②bc>0；③若a+2b+4c>0，则不等式
ax2+bx+c<−2ax−a−b的解集x<−2或x>2；④抛物线上的两个点M(m−1,y )，N(m+2,y )，当
N 2
c<0，且y >y 时，m≤−1．其中一定正确的是 ．（填写序号）
1 2
【答案】①②③
【思路引导】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线过点(2,c)和条件a−b+c=0，推导出抛物线的对
称轴及参数关系；接着分析各结论的正确性，涉及对称轴方程、参数符号、二次不等式解集及点坐标比较．
【规范解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(2,c) ，
∴4a+2b+c=c，即2a+b=0，故①正确，
∴2a=−b
b
∴对称轴为直线x=− =1
2a
又∵满足a−b+c=0
∴抛物线经过点(−1，0)
代入2a=−b
∴a+2a+c=0
∴c=−3a
2
∴b= c
3
若a>0，则b=−2a<0，c=−3a<0，此时bc=(−2a)(−3a)=6a2>0，成立；
若a<0，则b=−2a>0，c=−3a>0，此时bc=6a2>0，仍成立．
因此，无论a正负，bc>0，故结论②正确
∵a+2b+4c>0，代入b=−2a，c=−3a
a+2(−2a)+4c=a−4a+4(−3a)=−15a>0．解得：a<0
不等式ax2+bx+c<−2ax−a−b，整理为：ax2+(b+2a)x+(c+a+b)<0．
代入b=−2a，c=−3a：
ax2+(−2a+2a)x+(−3a+a−2a)=ax2−4a<0，即：a(x2−4)<0．
当a<0时，x2−4>0，解得：x<−2或x>2．
因此结论③正确
当c<0时，由c=−3a<0得a>0，抛物线开口向上，对称轴为x=1．
比较点M(m−1,y )和N(m+2,y )的纵坐标：
1 2
y =a(m−1) 2+b(m−1)+c，
1
y =a(m+2) 2+b(m+2)+c．
2
代入b=−2a，c=−3a：
y =a(m−1) 2−2a(m−1)−3a=a[(m−1) 2−2(m−1)−3]
1
展开化简：(m−1) 2−2(m−1)−3=m2−2m+1−2m+2−3=m2−4m，
故y =a(m2−4m)．
1
同理，y =a(m+2) 2−2a(m+2)−3a=a[(m+2) 2−2(m+2)−3]
2
展开化简：(m+2) 2−2(m+2)−3=m2+4m+4−2m−4−3=m2+2m−3，
故y =a(m2+2m−3)．
2
由y >y 得：a(m2−4m)>a(m2+2m−3)（因a>0，可两边除以a）：
1 2
m2−4m>m2+2m−3．
−6m>−3
1
m<
2
因此，正确答案为①②③．
故答案为：①②③．17．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于A、B两点，与轴的
正半轴交于点C，对称轴是直线x=−1，其顶点在第二象限，给出以下结论：①abc>0；②2a−b=0；③
1
若OA=OC，则OB=− ；④不论m取任何实数，均有a−b>am2+bm．其中正确的有 ．
a
【答案】①②③
【思路引导】本题主要考查了二次函数与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征及抛物线与x轴的交
点，根据所给函数图像，得出a，b，c的符号，再结合抛物线的对称性及增减性对所给结论依次进行判断
即可．熟知二次函数的图像与性质是解题的关键．
【规范解答】解：由所给图像可知，
a<0，b<0，c>0，
所以abc>0．
故①正确．
因为抛物线的对称轴为直线x=−1，
b
所以− =−1，
2a
则2a−b=0．
故②正确．
因为点C坐标为(0,c)，
由OA=OC得，OA=c，
所以点A的坐标为(−c,0)，
则ac2−bc+c=0，
所以ac−b+1=0．
因为抛物线的对称轴为直线x=−1，且点A坐标为(−c,0)，
所以点B的坐标为(c−2,0)．由ac−b+1=0得，
b−1 2a−1 1
c= = =2− ，
a a a
1 1
所以OB=c−2=2− −2=− ．
a a
故③正确．
因为抛物线的对称轴为直线x=−1，且开口向下，
所以当x=−1时，二次函数有最大值a−b+c，
即对于抛物线上的任意一点（横坐标为m)，总有a−b+c≥am2+bm+c，即a−b≥am2+bm．
故④错误．
故答案为：①②③．
18．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数）经过
1
(−1,−1),(1,0),(m,0)三点，与y轴的交点在正半轴．下列结论：①−1<m<0；② b= ；③抛物线与直
2
线y=kx+k−1的一个交点的横坐标为t，若t>2，则k>0；④当a≤−1时，则方程2ax2+2bx+2c−1=0
必有两个不相等的实数根．其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①②④
【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象
与性质是解题的关键．
根据题意求出a的取值范围，b的值，结合图形开口，对称轴直线，增减性即可判断①②；先求出直线
y=kx+k−1经过定点(−1,−1)，再进行判断③；将方程2ax2+2bx+2c−1=0的解的个数转化为抛物线
1
y=ax2+bx+c与直线 y= 的交点的个数，即可判断④．
2
【规范解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过(−1,−1)，(1,0)两点，
{a−b+c=−1)
∴ ，
a+b+c=0
1
{ b= )
2
解得， ，
1
c=−a−
2
1 1
∴抛物线的解析式为y=ax2+ x−a− ，
2 2
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，1
∴c>0，即−a− >0，
2
1
解得，a<− ，
2
∴抛物线图象开口向下，
∵抛物线过点(m,0)，
1 1
∴am2+ m−a− =0，整理得，2am2+m−2a−1=0，
2 2
−1±❑√12−4×2a×(−2a−1) −1±❑√(4a+1) 2 −1±|4a+1)
∴m= = = ，
2×2a 4a ❑
1
∵a<− ，
2
∴4a+1<−1，
−1±[−(4a+1))
∴m= ，
4a
1
解得，m =−1− ，m =1，
1 2a 2
∵抛物线与x轴的交点为(1,0),(m,0)，
1
∴m=−1− ，
2a
1
∵a<− ，
2
1
∴−1− <0，即m<0，
2a
1+m 1
∵当x=−1时，y=−1<0，当x=m时，y=0，抛物线开口向下，抛物线的对称轴直线为 < ，
2 2
∴−1<m，
∴−1<m<0，故结论①正确；
1
∵b= ，故结论②正确；
2
∵y=kx+k−1=k(x+1)−1，
∴直线y=kx+k−1经过定点(−1,−1)，
∵抛物线经过点(−1,−1)，
∴抛物线与直线y=kx+k−1的一个交点的横坐标为−1，即t=−1，∵t>2，
∴抛物线与直线y=kx+k−1在x>2时有交点，
1 1
当x=2时，y =4a+1−a− =3a+ ，y =2k+k−1=3k−1，
1 2 2 2
1
∴3k−1>3a+ ，
2
1
∴k>a+ ，
2
1
∵a<− ，
2
∴k>0不一定成立，故结论③错误；
∵2ax2+2bx+2c−1=0，
1
∴ax2+bx+c− =0，
2
1 1
∴ax2+bx+c= ，即抛物线y=ax2+bx+c与直线y= 的交点的个数即为方程2ax2+2bx+2c−1=0的
2 2
解的个数，
∵a≤−1，
1 1
∴抛物线开口向下，c=−a− ≥ ，
2 2
1
∴抛物线与直线y= 有两个交点，
2
∴方程2ax2+2bx+2c−1=0必有两个不相等的实数根，故结论④正确．
综上所述，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）
19．（本题6分）（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）已知抛物线．y=a(x+m)²的顶点坐标为(−1,0)，
且经过点A(−2,−2)．
(1)求该抛物线对应的函数解析式；
(2)将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标．
【答案】(1)y=−2(x+1) 2
(2)(2,−5)【思路引导】本题考查了求抛物线的解析式，二次函数的平移和二次函数的性质．熟练掌握抛物线的平移
规律是解题的关键．
（1）根据抛物线的顶点坐标，可得m=1，即y=a(x+1) 2，将点A的坐标代入y=a(x+1) 2，求出a的值，
即可求解；
（2）先根据抛物线的平移规律求出平移后的解析式，根据平移后的顶点坐标式，即可求解．
【规范解答】（1）解：∵抛物线y=a(x+m)²的顶点坐标为(−1,0)，
∴m=1，
故y=a(x+1) 2，
∵抛物线y=a(x+1) 2经过点A(−2,−2)，
故将(−2,−2)代入y=a(x+1) 2，得a=−2，
∴抛物线的解析式为y=−2(x+1) 2．
（2）解：将抛物线y=−2(x+1) 2向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，
得到的解析式为y=−2(x+1−3) 2−5=−2(x−2) 2−5，
∴抛物线的顶点坐标是(2,−5)．
20．（本题6分）（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线
y=x2+bx−2（b为常数）经过点A(4,6)．点P在抛物线上，且点P的横坐标为m，将该抛物线上P、A两
点之间的部分（包括P、A两点）记为图象G．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当m=−3时，求图象G的最大值和最小值；
(3)当图象G上只有两个点到x轴的距离为3时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)y=x2−2x−2
(2)当x=1时，图象G有最小值，且最小值为−3；当x=−3时，图象G有最大值，且最大值为13
(3)−❑√6+1<m≤1
【思路引导】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了解析式的求解、二次函数的最值、二次函数的对称
性等知识点，掌握数形结合的数学思想是解题关键．
（1）将A(4,6)代入y=x2+bx−2即可求解；（2）根据y=x2−2x−2=(x−1) 2−3可得抛物线的对称轴为直线x=1，求出−3≤x≤4时函数的最值即可
求解；
（3）求解由|x2−2x−2)=3可得E(1,−3),H(❑√6+1,3),F(−❑√6+1,3)，画出函数图象即可求解；
【规范解答】（1）解：将A(4,6)代入y=x2+bx−2得：6=16+4b−2，
解得：b=−2，
∴该抛物线的函数表达式为：y=x2−2x−2；
（2）解：当m=−3时，(−3) 2−2×(−3)−2=13，
∴P(−3,13)，
∵y=x2−2x−2=(x−1) 2−3，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵−3≤x≤4，
∴当x=1时，图象G有最小值，且最小值为−3；
当x=−3时，图象G有最大值，且最大值为13；
（3）解：由|x2−2x−2)=3可解得：x =1,x =❑√6+1,x =−❑√6+1，
1 2 3
如图所示：
即：E(1,−3),H(❑√6+1,3),F(−❑√6+1,3)，
当点P位于E,F之间时，图象G上只有两个点到x轴的距离为3，
∴−❑√6+1<m≤1．
21．（本题8分）（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x
轴相交于点A(1,0)和点B(3,0)，与y轴相交于点C．(1)求二次函数的表达式和线段BC的长；
(2)在抛物线对称轴上找一点P，使△PBC为等腰三角形？直接写出点P的坐标．
【答案】(1)y=x2−4x+3；BC=3❑√2；
(2)P(2,±❑√17)或(2,2)或(2,3±❑√14)．
【思路引导】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，
轴对称的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）代入A(1,0)和B(3,0)，解方程组即可；令x=0，求出点C的坐标，利用两点间距离公式求解即可；
（2）当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC，分别求解
即可．
{1+b+c=0
)
【规范解答】（1）解：把A(1,0)和B(3,0)代入y=x2+bx+c可得 ，
9+3b+c=0
{b=−4)
解得： ，
c=3
∴二次函数的表达式为：y=x2−4x+3；
令抛物线x=0，则y=3，
∴C(0,3)，
∴BC=❑√(3−0) 2+(0−3) 2=3❑√2；
（2）存在．
理由：∵y=x2−4x+3=(x−2) 2−1，
∴设P(2,m)，
∵C(0,3)，B(3,0)，
∴PB2=(2−3) 2+(m−0) 2=1+m2，PC2=(2−0) 2+(m−3) 2=4+(m−3) 2，
∵BC=3❑√2，△PBC为等腰三角形，
∴当BP=BC时，1+m2=18，解得：m=±❑√17，此时P(2,±❑√17)；
当PB=PC时，1+m2=4+(m−3) 2，
解得m=2，此时P(2,2)；
当CP=CB时，18=4+(m−3) 2，
解得：m=3±❑√14，此时P(2,3±❑√14)；
综上所述，P(2,±❑√17)或(2,2)或(2,3±❑√14)．
1 3
22．（本题8分）（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知抛物线y=− x2+ x+2与x轴交于点B、C
2 2
两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．
(1)判断△ABC的形状，并说明理由．
(2)设点P(m,n)是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作PH⊥x轴于H，交AC于点Q，设四边形
OAPC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时P的坐标和S的最大值；
【答案】(1)△ABC是直角三角形
(2)S=−(m−2) 2+8，S的最大值为8，P(2,3)
【思路引导】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，勾股定理及其逆定理，综合运用相关知识是
解题的关键．
（1）根据二次函数解析式求出点A，B，C的坐标，表示出OA，OB，OC的长度，根据勾股定理求出AB，
BC，AC，利用勾股定理逆定理可得结论；
（2）根据A，C的坐标可得出直线AC的解析式，由点P的坐标表示出点Q的坐标，根据
S =S +S 可表示出四边形OAPC的面积，利用二次函数的性质可得结论．
四边形OAPC △OAC △APC
【规范解答】（1）解：△ABC是直角三角形，理由如下：1 3
∵抛物线y=− x2+ x+2与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．
2 2
∴当x=0时，y=2，
1 3
当y=0时，− x2+ x+2=0，
2 2
则x=−1或x=4，
∴ A(0,2)，B(−1,0)，C(4,0)，
∴ OA=2，OB=1，OC=4，
∴ AB=❑√OA2+OB2=❑√5，BC=OB+OC=5，AC=❑√OA2+OC2=2❑√5，
∴AB2+AC2=BC2，
∴ △ABC是直角三角形，且∠BAC=90°．
（2）解：设直线AC的解析式的解析式为：y=kx+b，
∵直线AC过点A(0,2)， C(4,0)，
{ b=2 )
∴ ，
4k+b=0
{ k=− 1 )
解得： 2 ，
b=2
1
∴直线AC的解析式的解析式为：y=− x+2，
2
∵点P(m,n)是抛物线在第一象限部分上的点，
1 3
∴n=− m2+ m+2，
2 2
∴P ( m,− 1 m2+ 3 m+2 )
2 2
∵PH⊥x轴，PH交直线AC于点Q，
( 1 )
∴Q m,− m+2 ，
2
∴PQ= ( − 1 m2+ 3 m+2 ) − ( − 1 m+2 ) =− 1 m2+2m，
2 2 2 2
1 1
∵S = ⋅OA⋅OC= ×2×4=4，
△OAC 2 2S = 1 PQ(x −x )= 1( − 1 m2+2m ) (4−0)=−m2+4m
△APC 2 C A 2 2
∴S =S +S =−m2+4m+4=−(m−2) 2+8，
四边形OAPC △OAC △APC
即S关于m的函数关系式为S=−(m−2) 2+8，
∴当m=2时，S的最大值为8，此时P(2,3)．
23．（本题8分）（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）随着数字技术，新能源，新材料等不断突破，我
国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率
提升，该零件4月份生产4000个，6月份生产5760个．已知该厂生产的零件成本为20元/个，销售一段时
间后发现，当零件售价30元/个时日销售量为130个，若在此基础上售价每上涨1元，则日销售量将减少5
个．
(1)求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
(2)为使日销售利润达到1600元，且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？
(3)应如何定价，才能使日销售利润达到最大？最大利润是多少？
【答案】(1)该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率20%
(2)该零件的实际售价应定为36元
(3)实际售价定价为38元时，能使日销售利润达到最大，最大利润是1620元
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次
方程，二次函数关系式是解题的关键．
（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量=该车间4月份生产
数量×（1+该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率）❑ 2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其
符合题意的值即可得出结论；
（2）设该零件的实际售价m元，则每个的销售利润为(m−20)元，利用总利润=每个的销售利润×月销售
量，列出方程求解即可；
（3）设该零件的实际售价a元，日销售利润为y元，则每个的销售利润为(a−20)元，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，可列出关于y的二次函数，根据二次函数的性质即可确定结论．
【规范解答】（1）解：设车间4月份到6月份生产数量的平均增长率x，
由题意得4000(1+x) 2=5760，
解得x=0.2=20%或x=−2.2（舍去）．
答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率20%；
（2）解：设该零件的实际售价m元，则每个的销售利润为(m−20)元，
由题意得(m−20)[130−5(m−30))=1600，
整理得m2−76m+1440=0，
解得m=36或m=40．
∵要尽可能让车企得到实惠，
∴m=36．
答：该零件的实际售价应定为36元；
（3）解：设该零件的实际售价a元，日销售利润为y元，则每个的销售利润为(a−20)元，
根据题意得：y=(a−20)[130−5(a−30))=−5a2+380a−5600=−5(a−38) 2+1620，
∵−5<0，
∴当a=38时，y有最大值1620，
∴实际售价定价为38元时，能使日销售利润达到最大，最大利润是1620元．
24．（本题8分）（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在巴黎举行的2024年奥运会跳水女子单人10米
跳台决赛中，全红婵荣获冠军．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三
周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy，如果她从点A(0,10)起跳后的运动路线可以看作抛物
线的一部分，从起跳到入水的过程中，当她离起跳点O的水平距离为1m时，离水面高度为10m，当她离
3 25
起跳点O的水平距离为 m时，离水面的高度为 m ．
2 4(1)求抛物线的表达式．
(2)全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为ℎ，则她到水面的距离y与时间t之间近
似满足y=−5t2+ℎ，如果全红婵在达到最高点后需要1.4秒的时间才能完成极具难度的207C动作，请通
过计算说明，她能否成功完成此动作？
( 1) 2 45
【答案】(1)y=−5 x− +
2 4
(2)能，理由见解析
【思路引导】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数的应用，
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）先求出ℎ的值，再求出y=0时的t的值，与1.4进行比较得出答案．
【规范解答】（1）解：设二次函数表达式为：y=a(x−ℎ) 2+k
(3 25)
依题意，图象经过点(0,10),(1,10), , ，
2 4
0+1 1
∴ℎ= = ，
2 2
1 2
∴y=a(x− ) +k，
2
{ 10=a(0− 1 ) 2 +k )
2
∴
25 3 1 2
=a( − ) +k
4 2 2{ a=−5 )
解得 ，
k=11.25
( 1) 2 45
∴y=−5 x− + ，
2 4
（2）解：能，理由如下：
45
根据题意可知ℎ= =11.25，
4
∴y=−5t2+11.25，
45
当y=0时，−5t2+ =0
4
解得：t=±1.5（负值的舍去）
∵1.5>1.4
∴她能成功完成此动作．
25．（本题10分）（24-25九年级上·福建福州·期末）如图1，抛物线y=x2−mx−m−1与x轴交于A，B
（点A在点B左侧），与y轴相交于C．且AB=5，抛物线的顶点为M．
(1)求抛物线的解析式；
DE
(2)点D为直线BC下方抛物线上一动点，连接AD交BC于E，求 的最大值．
EA
3
(3)如图2，直线y=2kx−3k(k≠0)与抛物线交于P，Q两点，点P关于直线x= 的对称点为P′，直线
2
3
QP′与直线x= 交点于点R，求证：RM的长为定值．
2
【答案】(1)y=x2−3x−44
(2)
5
(3)见解析
【思路引导】（1）令y=0，求出A(−1，0)，B(m+1,0)，根据AB=5，求出m=3，即可得出答案；
（2）先求出直线BC解析式为y=x−4，分别过A，D作x轴的垂线分别交BC于F，G点，设
D(n,n2−3n−4)，则G(n,n−4)，求出DG=n−4−(n2−3n−4)=−n2+4n，根据平行线分线段成比例
DE DG DG
定理得出： = = ，根据DG=−n2+4n=−(n−2) 2+4，得出当n=2时，DG有最大值为4，即
EA AF 5
可得出答案；
（3）先求出顶点M
(3
,−
25)
，对称轴为直线x=
3
，设P(x ,x 2−3x −4)，Q(x ,x 2−3x −4)，求
2 4 2 1 1 1 2 2 2
3
出直线P′Q的解析式为：y=(x −x )x+x x −3x −4，求出当x= 时，
1 2 1 2 1 2
3 3
y= (x −x )+x x −3x −4=x x − (x +x )−4，根据根与系数的关系得出x +x =2k+3，
2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
3 25 (3 25)
x ⋅x =3k−4，求出y=3k−4− (2k+3)−4=− ，根据M ,− ，求出
1 2 2 2 2 4
25 ( 25) 25
RM=− − − = ，为定值．
4 2 4
【规范解答】（1）解：令y=0，则x2−mx−m−1=0，
(x+1)(x−m−1)=0，
解得：x =−1，x =m+1，
1 2
∴A(−1，0)，B(m+1,0)，
∵AB=5，
∴m+1−(−1)=5，
解得：m=3，
∴抛物线解析式为：y=x2−3x−4；
（2）解：由y=x2−3x−4得：C(0,−4)，B(4，0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，把C(0,−4)，B(4，0)代入得：
{4k+b=0)
，
b=−4
{ k=1 )
解得： ，
b=−4
∴直线BC解析式为y=x−4，
分别过A，D作x轴的垂线分别交BC于F，G点，
则F(−1,−5)，AF∥DG，
设D(n,n2−3n−4)，则G(n,n−4)，
DG=n−4−(n2−3n−4)=−n2+4n，
∵AF∥DG，
DE DG DG
∴ = = ，
EA AF 5
∵DG=−n2+4n=−(n−2) 2+4，
∴当n=2时，DG有最大值为4．
DE 4
∴ 的最大值为 ．
EA 5
（3）解：∵y=x2−3x−4= ( x− 3) 2 − 25 ，
2 4
(3 25) 3
∴顶点M ,− ，对称轴为直线x= ，
2 4 2
设P(x ,x 2−3x −4)，Q(x ,x 2−3x −4)，
1 1 1 2 2 23
点P关于直线x= 的对称点P′(3−x ,x 2−3x −4)，
2 1 1 1
设直线P′Q的解析式为y=sx+t，则有：
{ sx +t=x2−3x −4 )
1 1 1
，
s(3−x )+t=x2−3x −4
2 2 2
{ s=x −x )
解得： 1 2 ，
t=x x −3x −4
1 2 1
直线P′Q的解析式为：
y=(x −x )x+x x −3x −4，
1 2 1 2 1
3 3 3
当x= 时，y= (x −x )+x x −3x −4=x x − (x +x )−4，
2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
{ y=2kx−3k )
由 得：
y=x2−3x−4
x2−(2k+3)x+3k−4=0，
∴x +x =2k+3，x ⋅x =3k−4，
1 2 1 2
3 25
∴y=3k−4− (2k+3)−4=− ，
2 2
(3 25)
∵M ,− ，
2 4
25 ( 25) 25
∴RM=− − − = ，为定值．
4 2 4
【考点剖析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，平行线分线
段成比例定理，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
3
26．（本题10分）（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线y=ax2+ x+4的对称轴是直线
2
x=3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．(1)求线段AB的长；
(2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作
MN∥y轴，交直线BC于点N．
（ⅰ）当线段MN的长有最大值时，求点M的坐标；
（ⅱ）过点M作DM⊥MN交抛物线于点D，是否存在点M使△DMN为等腰直角三角形？若存在，求
出m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)10
(2)（ⅰ）(4,6) ；（ⅱ）2❑√6或8−2❑√10．
【思路引导】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质．
（1）由待定系数法求出抛物线表达式，进而求解；
（2）（Ⅰ）由题意知点M的坐标为 ( m,− 1 m2+ 3 m+4 ) ，点N的坐标为 ( m,− 1 m+4 ) ，即可求解；
4 2 2
（Ⅱ）由∠DMN=90°得到当DM=MN时，△DMN为等腰直角三角形，再根据点M在对称轴右侧或
左侧分情况讨论，分别画出图形求解即可．
【规范解答】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线x=3，
3
2 ，
∴− =3
2a
1
解得a=− ，
4
1 3
∴抛物线的解析式为y=− x2+ x+4．
4 2
1 3
令y=0，得− x2+ x+4=0，解得x =−2，x =8，
4 2 1 2
∴A(−2,0)，B(8,0)，
∴AB=8−(−2)=10；
1 3
（2）解：（ⅰ）由（1）知抛物线的解析式为y=− x2+ x+4．
4 21 3
令x=0，得y=− x2+ x+4=4，
4 2
∴C(0,4)．
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将B(8,0)，C(0,4)代入，得¿
解得¿，
1
∴直线BC的解析式为y=− x+4，
2
由题意知点M的坐标为 ( m,− 1 m2+ 3 m+4 ) ，点N的坐标为 ( m,− 1 m+4 ) ，
4 2 2
∴MN=− 1 m2+ 3 m+4− ( − 1 m+4 ) =− 1 m2+2m=− 1 (m−4) 2+4，
4 2 2 4 4
∴当m=4时，线段MN的长有最大值，
1 3 1 3
此时− m2+ m+4=− ×42+ ×4+4=6，
4 2 4 2
∴点M的坐标为(4,6)；
（ⅱ）∵DM⊥MN，
∴∠DMN=90°，
即当DM=MN时，△DMN为等腰直角三角形．
①如图1，点M在对称轴右侧．
∵DM⊥MN MN∥y x=3 M m
， 轴，抛物线的对称轴是直线 ，点 的横坐标为 ，
∴DM=2(m−3)．
1
由（ⅰ）知MN=− m2+2m，
4
1
∴2(m−3)=− m2+2m，
4
解得m=2❑√6或m=−2❑√6（不合题意，舍去），
∴m=2❑√6；②如图2，点M在对称轴左侧．
∵DM⊥MN MN∥y x=3 M m
， 轴，抛物线的对称轴是直线 ，点 的横坐标为 ，
∴DM=2(3−m)．
1
由（ⅰ）知MN=− m2+2m，
4
1
∴2(3−m)=− m2+2m，
4
解得m=8−2❑√10或m=8+2❑√10（不合题意，舍去），
∴m=8−2❑√10．
∴存在，m的值为2❑√6或8−2❑√10．
