2025-2026学年人教版数学九年级上册章节复习检测培优卷（新教材）
第22章 二次函数
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45
班级： 姓名： 学号：
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目
要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）
1．（24-25九年级上·福建福州·期末）二次函数y=a2x2−2a2tx+c图象过两点(x ,y )，(x ,y )，当
1 1 2 2
1<x <2，2<x <3时，总有y <y ，则t的取值范围是（ ）
1 2 2 1
5 5 3 3
A．t≥ B．t≤ C．t≥ D．t≤
2 2 2 2
2．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a<0，c>1）经过点
(−3,0)，(1,0)，有下列结论：
①一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x =−3，x =1；
1 2
②若点 ， 在该抛物线上，则 ；
(−4,y ) (3,y ) y <y
1 2 1 2
③对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b；
1
④a<− ．
3
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）已知二次函数y=ax²+bx+c，函数值y与自变量x的部分对应
值如表：当y<13时，则x的取值范围是（ ）
x −2 −1 0 1 2
y 13 8 2 0 2
A．−2<x<4 B．−1<x<5 C．x<−2或x>4 D．x<−1或x>5
4．（24-25九年级上·天津河东·阶段练习）如图，抛物线 的顶点为 ，下列结
y=ax2+bx−c(a≠0) M(2,0)
论：
（1）ac<0；（2）2a+b=0；（3）若关于x的方程ax2+bx+c−t=0有两个不相等的实数根，则t>0；（4）若 且 则 ，其中正确的有（ ）
ax2−bx =ax2−bx x ≠x x +x =4
1 1 2 2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）二次函数 的图象如图所示，下列结论：①
y=ax2+bx+c(a≠0)
abc>0
；②
2a+b=0
；③当
m≠1
时，
a+b>am2+bm
；④
a−b+c<0
；⑤若
ax 2+bx =ax 2+bx
，且
1 1 2 2
x ≠x ，则x +x =2．其中正确的有（ ）
1 2 1 2
A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
6．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数
y=ax2+bx+c
，规定函数y= { ax2+bx+c(x≥0) )
−ax2−bx−c(x<0)
是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为( 1 )、(9 )，连接 ，若线段 与二次函数
− ,1 ,1 MN MN
2 2
y=−x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
5 5
A．−3<n≤−1或1<n≤ B．−3<n<−1或1≤n≤
4 4
5
C．n≤−1或1<n≤ D．−3<n<−1或n≥1
4
7．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，函数 的图象是由函
y=|ax2+bx+c)(a>0, b2−4ac>0)数 的图象 轴上方部分不变，下方部分沿 轴向上翻折而成，则下列结
y=ax2+bx+c(a>0, b2−4ac>0) x x
13
论：①2a+b=0；②将图象向上平移1个单位长度后与直线y=5有3个交点；③当1<m< 时，该图象
4
与直线y=x+m有四个交点；④a+b ≥at2+bt（t为实数）．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．（24-25九年级上·重庆·期中）在初2025届的素养系列课程活动中，数学兴趣小组从1～n这n个自然
数中，任取两数之和大于n的取法种数m进行了探究．比如：当n=2时，只有(1,2)一种取法，即m=1；
当n=3时，有(1,3)和(2,3)两种取法，即m=2；小蜀同学进一步研究得到了以下结论，其中正确的个数是
（ ）
①若n=5，则m的值为6；
②若从1～n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法恰好有100种，则n=20；
③若从1～n这n（n为偶数）个自然数中，任取两数之和大于n的取法恰好有A种；
如果从1～n+1中任取两数之和大于n+1的取法恰好有B种，则7B−8A的最大值为12．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴
是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4,0)，与y轴交点坐标是(0,m)且2<m<3．有下列结论：
9 27
①abc<0；②9a−3b+c>0；③ <y < ；④关于x的一元二次方程ax2+(b−1)x+c−2=0必有
4 最大值 8
两个不相等实根；⑤若点 在抛物线 上，且
A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y ) y=ax2+bx+c
1 1 2 2 3 3
3
n<x <n+1<x <n+2<x <n+3，当y <y <y 时，则n的取值范围为− <n<0．其中正确的有（ ）
1 2 3 1 3 2 2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图所示是二次函数 的部分图象，该函数图象的
y=ax2+bx+c(a≠0)
1
对称轴是直线x=1,图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b=0；②方程ax2−bx+ =0一定
2
有两个不相等的实数根：③当 时， ；④ ；⑤抛物线上有两点 (1 )，
−1≤x≤2 3a+2≤ y≤2 b−a<2 P ，y
2 1
3
Q(m，y ),若y >y ，则m> ．其中正确结论的个数有（ ）
2 1 2 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．（2025九年级上·全国·专题练习）已知矩形的周长为40m，矩形绕着它的一条边所在直线旋转形成一
个圆柱．设矩形的一条边长为xm，圆柱的侧面积为ym2，则y与x之间的函数关系式是 ．
12．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知抛物线 与 轴交于点 ，过点 作
y=ax2−(a+2)x−3 y A A x
轴的平行线交抛物线于点B，若AB=2，则a= ．
13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(−2,0)、，且 ，与y轴正半轴的交点在 下方，在下列结论中：① ，② ，③
(x ,0) 1<x <2 (0,2) ab>0 4a−2b+c=0
2 2
a<b<c．其中正确的结论有 （请填写序号）．
14．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系中， 和 是抛物线
A(x ,y ) B(x ,y )
1 1 2 2
上的两点，若对于 ， ，都有 ，则 的取值范围为
y=ax2−2a2x(a≠0) x =3a 2≤x ≤4 y <y a
1 2 1 2
．
15．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过
点(−1, 2)和(1, 0)且与y轴交于负半轴．给出四个结论：①a+b+c=0，②abc<0；③2a+b>0；④
a+c=1；其中正确的结论的序号是 ．
16．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(2,c)，且满足
a−b+c=0．下列四个结论：①2a+b=0；②bc>0；③若a+2b+4c>0，则不等式
的解集 或 ；④抛物线上的两个点 ， ，当
ax2+bx+c<−2ax−a−b x<−2 x>2 M(m−1,y ) N(m+2,y )
N 2
c<0，且y >y 时，m≤−1．其中一定正确的是 ．（填写序号）
1 2
17．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与轴的
y=ax2+bx+c(a<0)
正半轴交于点C，对称轴是直线x=−1，其顶点在第二象限，给出以下结论：①abc>0；②2a−b=0；③
1
若OA=OC，则OB=− ；④不论m取任何实数，均有a−b>am2+bm．其中正确的有 ．
a18．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数）经过
1
(−1,−1),(1,0),(m,0)三点，与y轴的交点在正半轴．下列结论：①−1<m<0；②b= ；③抛物线与直
2
线y=kx+k−1的一个交点的横坐标为t，若t>2，则k>0；④当a≤−1时，则方程2ax2+2bx+2c−1=0
必有两个不相等的实数根．其中正确的是 （填写序号）．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）
19．（本题6分）（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）已知抛物线．y=a(x+m)²的顶点坐标为(−1,0)，
且经过点A(−2,−2)．
(1)求该抛物线对应的函数解析式；
(2)将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标．
20．（本题6分）（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线
y=x2+bx−2（b为常数）经过点A(4,6)．点P在抛物线上，且点P的横坐标为m，将该抛物线上P、A两
点之间的部分（包括P、A两点）记为图象G．
(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当m=−3时，求图象G的最大值和最小值；
(3)当图象G上只有两个点到x轴的距离为3时，直接写出m的取值范围．
21．（本题8分）（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x
轴相交于点A(1,0)和点B(3,0)，与y轴相交于点C．
(1)求二次函数的表达式和线段BC的长；
(2)在抛物线对称轴上找一点P，使△PBC为等腰三角形？直接写出点P的坐标．
1 3
22．（本题8分）（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知抛物线y=− x2+ x+2与x轴交于点B、C
2 2
两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．(1)判断△ABC的形状，并说明理由．
(2)设点P(m,n)是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作PH⊥x轴于H，交AC于点Q，设四边形
OAPC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时P的坐标和S的最大值；
23．（本题8分）（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）随着数字技术，新能源，新材料等不断突破，我
国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率
提升，该零件4月份生产4000个，6月份生产5760个．已知该厂生产的零件成本为20元/个，销售一段时
间后发现，当零件售价30元/个时日销售量为130个，若在此基础上售价每上涨1元，则日销售量将减少5
个．
(1)求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
(2)为使日销售利润达到1600元，且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？
(3)应如何定价，才能使日销售利润达到最大？最大利润是多少？
24．（本题8分）（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在巴黎举行的2024年奥运会跳水女子单人10米
跳台决赛中，全红婵荣获冠军．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三
周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy，如果她从点A(0,10)起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，当她离起跳点O的水平距离为1m时，离水面高度为10m，当她离
3 25
起跳点O的水平距离为 m时，离水面的高度为 m．
2 4
(1)求抛物线的表达式．
(2)全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为ℎ，则她到水面的距离y与时间t之间近
似满足y=−5t2+ℎ，如果全红婵在达到最高点后需要1.4秒的时间才能完成极具难度的207C动作，请通
过计算说明，她能否成功完成此动作？
25．（本题10分）（24-25九年级上·福建福州·期末）如图1，抛物线y=x2−mx−m−1与x轴交于A，B
（点A在点B左侧），与y轴相交于C．且AB=5，抛物线的顶点为M．(1)求抛物线的解析式；
DE
(2)点D为直线BC下方抛物线上一动点，连接AD交BC于E，求 的最大值．
EA
3
(3)如图2，直线y=2kx−3k(k≠0)与抛物线交于P，Q两点，点P关于直线x= 的对称点为P′，直线
2
3
QP′与直线x= 交点于点R，求证：RM的长为定值．
2
3
26．（本题10分）（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线y=ax2+ x+4的对称轴是直线
2x=3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．
(1)求线段AB的长；
(2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作
MN∥y轴，交直线BC于点N．
（ⅰ）当线段MN的长有最大值时，求点M的坐标；
（ⅱ）过点M作DM⊥MN交抛物线于点D，是否存在点M使△DMN为等腰直角三角形？若存在，求
出m的值；若不存在，说明理由．
