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2025-2026学年人教版数学九年级上册章节复习检测中等卷（新教材）
第22章 二次函数
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.55
班级： 姓名： 学号：
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目
要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）
1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数y=ax2−2ax+4（a≠0)，且当x>2时，y随x
的增大而增大．若点A(m−1,y ),B(m+2,y )为抛物线上的两点，且总有y >y ，则m的取值范围为
1 2 1 2
（ ）
1 1 3 3
A．m< B．m> C．m< D． 2时，y随x的增大而增大，得出二次函数的开口方向向上，越靠近对称轴
的x所对应的函数值越小，因为点A(m−1,y ),B(m+2,y )为抛物线上的两点，且总有y >y ，列出
1 2 1 2
|m−1−1)>|m+2−1)，再化简求解，即可作答．
【规范解答】解：∵二次函数y=ax2−2ax+4（a≠0)，
−2a
∴二次函数的对称轴为直线x=− =1，
2a
∵当x>2时，y随x的增大而增大，
∴二次函数的开口方向向上，越靠近对称轴的x所对应的函数值越小
∵ A(m−1,y ),B(m+2,y )为抛物线上的两点，且总有y >y ，
1 2 1 2
∴|m−1−1)>|m+2−1)，
∴|m−2)>|m+1)，
当m−2>m+1时，
∴−2>1（舍去），
当−m+2>m+1时，
1
∴ m< ，
21
综上：m< ，
2
故选：A
2．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）小迪同学以二次函数y=2x2+3的图象（O为坐标原点）为灵感设计
了一款酒杯，如图为酒杯的设计稿，若AB=4cm，则酒杯的高OC为（ ）
A．11cm B．10cm C．9cm D．8cm
【答案】D
【思路引导】本题可先根据AB的长度确定点B的横坐标，再代入二次函数求出点B的纵坐标，最后结合二
次函数顶点坐标求出OC的长度．本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和函数图
象上点的坐标特征是解题的关键．
【规范解答】解：∵AB=4cm，且抛物线y=2x2+3关于y轴对称
∴点B的横坐标为2
∵点B在抛物线y=2x2+3上
∴当x=2时，y=2×22+3=11
∵抛物线y=2x2+3的顶点D的坐标为(0,3)
∴OC=11−3=8(cm)
故选：D．
3．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）已知函数y=3(x−2) 2的图象上有三点A(❑√2,y )，B(5,y )，
1 2
C(−❑√5,y )，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
3 1 2 3
A．y 1；④该二次函数的图象与直线
41
y=x+t的图象有交点，则t< ，其中正确结论的个数为（ ）
4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【思路引导】本题考查了二次函数的图象和性质．利用待定系数法求出a、b、c的值，利用对称性可判
断①；利用二次函数的性质可判断②；解不等式−x2−2x+3<0，可判断③；联立解析式得
x2+3x+(t−8)=0，由根的判别式可判断④．
【规范解答】解：把(−4,0)，(−1,9)，(1,5)代入y=ax2+bx+c得，
{16a−4b+c=0
)
a−b+c=9 ，
a+b+c=5
{a=−1
)
解得 b=−2 ，
c=8
∴y=−x2−2x+8，其对称轴为直线x=−1，
m+(−m−2)
∵
=−1，
2
∴点(m,y )，(−m−2,y )关于对称轴x=−1对称，
1 2
∴ y = y ，故①正确；
1 2
−3+1
∵抛物线的对称轴为直线x= =−1，
2
∴抛物线的顶点坐标为(−1,9)，
又∵a<0，
∴当x<−1时，y随x的增大而增大，当x>−1时，y随x的增大而减小，当x=−1时，函数取最大值9，
∵x=−3与x=1时函数值相等，等于5，
∴当−40，解得x<−3或x>1，故③正确；
联立y=−x2−2x+8与y=x+t，得x2+3x+(t−8)=0，由该二次函数的图象与直线y=x+t的图象有交点，得Δ=9−4(t−8)≥0，
41
解得t≤ ，故④错误；
4
综上，正确结论为①和③，共2个，
故选：B．
6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与
y的部分对应值如表：
x … −1 0 1 3 …
y … −1 3 5 3 …
下列结论：（1）ac<0；（2）当x>1时，y的值随x值的增大而减小．（3）x=2是方程ax2+bx+c=5的
一个根；（4）当−10．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【思路引导】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与不等式，二次函数
的性质是解题的关键．
3
根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x= ，然后根据二次函数的性质进行分析判断即可得解．
2
【规范解答】解：①由图表中数据可知，x=0和x=3时，函数值相同，都是3，
0+3 3
∴对称轴为直线x= = ，
2 2
∵x=1时，y=5，
∴a<0，
∵x=0时，y=3，
∴c=3，
∴ac<0，故（1）正确，
②∵a<0，
∴开口向下，
3
∵抛物线的对称轴x= ，
2
3
∴当x> 时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误，
2∵x=1时，y=5，即抛物线经过(1,5)，
3
∵抛物线的对称轴x= ，
2
∴抛物线经过(2,5)，
即x=2时，y=5，
∴x=2是方程ax2+bx+c=5的一个根；
故（3）正确；
当x=3时，y=3，
∴9a+3b+c=3，
∴9a+3(b−1)+c=0，
∴x=3是方程ax2+(b−1)x+c=0的一个根．
∵x=−1时，y=−1，
∴a−b+c=−1，
∴a−(b−1)+c=0，
∴x=−1是方程ax2+(b−1)x+c=0的一个根，
∴当−10，故（4）正确．
综上所述，正确的有3个，
故选：C．
7．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结
1
论：①abc<0；②a+b+c=2；③ a> ；④b<1．其中正确结论个数有（ ）
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C
【思路引导】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和
数形结合的思想解答．根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．
【规范解答】解：由图象可得：a>0，b>0，c<0，
∴abc<0，故①正确；
当x=1时，y=a+b+c=2，故②正确；
当x=−1时，y=a−b+c<0，
由a+b+c=2得：a+c=2−b，
则a−b+c=(a+c)−b=2−b−b<0，即b>1，故④错误；
b
∵− >−1，a>0，
2a
b 1
∴a> > ，故③正确；
2 2
综上，①②③正确，共3个．
故选：C．
8．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）把抛物线y=8x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得
到的抛物线是（ ）
A．y=8(x−2) 2+5 B．y=8(x+2) 2−5 C．y=8(x+2) 2+5 D．y=8(x−2) 2−5
【答案】B
【思路引导】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平
移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法
求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
先确定抛物线y=8x2的顶点坐标为(0,0)，再根据点平移的规律得到点(0,0)平移后得到点的坐标为
(−2,−5)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【规范解答】抛物线y=8x2的顶点坐标为(0,0)，
把点(0,0)向左平移2个单位，再向下平移5个单位得到点的坐标为(−2,−5)，
所以平移后的抛物线解析式为y=8(x+2) 2−5．
故选B．
9．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①
a>0；②b2−4ac>0；③4a+b=1；④关于x的方程ax2+bx+c+2=0有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为 ，其中正确的个数为（ ）
ax2+(b−1)x+c<0 10，b2−4ac<0，故①正确，②错误；
把点(1,1),(3,3)代入y=ax2+bx+c，得：
{ a+b+c=1 )
，
9a+3b+c=3
∴8a+2b=2，即4a+b=1，故③正确；
∵抛物线的顶点在x轴的上方，且开口向上，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=−2没有交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c+2=0没有实数根，故④错误；
如图，
设过点(1,1),(3,3)的直线的解析式为y=kx+m，
{ k+m=1 ) {k=1)
∴ ，解得： ，
3k+m=3 m=0∴过点(1,1),(3,3)的直线的解析式为y=x，
观察图象得：当10； ②am2+bm≤a−b（m为任意实数）； ③3a+c<1；
c
④若M(x ,y)、N(x ,y)是抛物线上不同的两个点，则x +x ≤−3．其中正确的结论有（ ）
1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得a<0，b=2a<0即
可判断①，x=−1时，函数值最大，即可判断②，根据x=1时，y<0，即可判断③，根据对称性可得
x +x =−2即可判断④，即可求解．
1 2
【规范解答】解：∵二次函数图象开口向下
∴a<0
∵对称轴为直线x=−1，
b
x=− =−1
∴
2a
∴b=2a<0
∵抛物线与y轴交于正半轴，则c>0b
∴
<0，故①错误，
c
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=−1,
∴当x=−1时，y取得最大值，最大值为a−b+c
∴am2+bm+c≤a−b+c（m为任意实数）
即am2+bm≤a−b，故②正确；
∵x=1时，y<0
即a+b+c<0
∵b=2a
∴a+2a+c<0
即3a+c<0
∴3a+c<1，故③正确；
∵
M(x ,y)、N(x ,y)是抛物线上不同的两个点，
1 2
∴M,N关于x=−1对称，
x +x
∴
1 2=−1即x +x =−2故④不正确，
2 1 2
正确的有②③，
故选：B．
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点坐
标为(1,0)，对称轴为直线x=−1，下列四个结论：①abc<0；②4a−2b+c<0；③当−30,c<0，根据对称轴为直线x=−1可得b=2a>0，由
此即可判断①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为(−3,0)，进而得到当x=−2时，y<0，由此即可
判断②；根据x=1时，y=0，即可判断④；利用图象法即可判断③．
【规范解答】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，
∴a>0,c<0，
∵二次函数的对称轴为直线x=−1，
b
∴− =−1，
2a
∴b=2a>0，
∴abc<0，故①正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点坐标为(1,0)，
∴二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的另一个交点坐标为(−3,0)，
∴当x=−2时，y<0，
∴4a−2b+c<0，故②正确；
∵x=1时，y=0，
∴a+b+c=0，
∴a+2a+c=0，即3a+c=0，故④正确；
由函数图象可知，当−30；（3）4a+ 2b+c>0；（4）a+b0，可作判断；（4）根据顶点坐标的纵坐标为最大值可作判断；（5）根1
据对称轴为x=1，即可判断；（6）根据对称轴为：x=1可得：a=− b，结合x=−1时，y<0，可作判
2
断；
【规范解答】解：（1）∵该抛物线开口方向向下，
∴a<0.
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b>0；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc<0；故（1）正确；
（2）根据函数图象，可得当x=−1时，函数值小于0，
即a−b+c<0，故（2）不正确；
（3）根据抛物线的对称性知，x=2与x=0的函数值相等，故当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0；故
（3）正确；
（4）∵x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，
又x=1时函数取得最大值，
∴当m≠1时, a+b+c>am2+bm+c ,即a+b>am2+bm=m(am+b)，故（4）错误
（5）∵对称轴为：x=1,
b
∴ =1，
−2a
∴2a+b=0，故（5）正确.
b
（6）∵对称轴方程x= =1，
−2a
∴b=−2a，
1
∴a=− b，
2
∵当x=−1时，y=a−b+c<0，
3
∴
− b+c<0，
2
∴2c<3b，故（6）正确；故正确的有（1）（3）（5）（6），共5个
故答案为：4．
15．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0
1
）经过点(2,0)，且对称轴为直线x= ，有下列结论：①abc>0；②a+b>0；③4a+3b+3c<0；④无论
2
( c )
a，b，c取何值，抛物线一定经过 ,0 ；⑤4am2+4bm−b≥0；⑥一元二次方程ax2+bx+c=1有两
2a
个不相等的实数根，其中正确结论有 ．
【答案】①③④⑤⑥
【思路引导】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图象的关系，结合图像逐项分析，
结合已知条件得出结论是解题的关键．
b
①根据图象开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a，b，c的正负；②根据对称轴公式x=− ，
2a
1
x= 判断a，b之间的关系；③根据x=2时，y=0，比较4a+3b+3c与0的大小；④根据抛物线的对称
2
性，得到x=2与x=−1时的函数值相等结合②的结论判断即可；⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐
标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论；⑥方程ax2+bx+c=1的解即
为抛物线y=ax2+bx+c与直线y=1的交点的横坐标即可得到结论．
【规范解答】解：①∵抛物线图象开口朝上，
∴a>0 ，
1
∵抛物线对称轴为直线x= ，
2
b 1
∴ − = ，
2a 2
∴b=−a<0，即a+b=0，故②错误；∵抛物线图象与y轴交点位于x轴下方，
∴c<0，
∴abc>0，故①正确；
③∵y=ax2+bx+c经过(2,0)，
∴4a+2b+c=0
又由①得c<0，b<0，
∴4a+3b+3c<0，故③正确；
④根据抛物线的对称性，得到x=2与x=−1时的函数值相等，
∴当x=−1时y=0，即a−b+c=0
∵a=−b，
c
∴2a+c=0即 =−1，
2a
( c )
∴ y=ax2+bx+c经过 ,0 ，即经过(−1,0)，故④正确；
2a
1 1 1
⑤当x= 时，y= a+ b+c，当x=m时，y=am2+bm+c，
2 4 2
∵a>0，
1 1
∴函数有最小值 a+ b+c，
4 2
1 1
∴ am2+bm+c≥ a+ b+c，
4 2
∴4am2+4bm≥a+2b，
∴4am2+4bm−b≥0，故⑤正确；
⑥方程ax2+bx+c=1的解即为抛物线y=ax2+bx+c与直线y=1的交点的横坐标，结合函数图象可知，抛
物线y=ax2+bx+c与直线y=1有两个不同的交点，即方程ax2+bx+c=1有两个不相等的实数根，故⑥正
确；
综上所述：①③④⑤⑥正确．
故答案为：①③④⑤⑥．
16．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）如图，一段抛物线y=−x2+6x(0≤x≤6)，记为抛物线C ，它
1
与x轴交于点O，A ；将抛物线C 绕点A 旋转180°得抛物线C ，交x轴于另一点A ；将抛物线C 绕点
1 1 1 2 2 2
A ，旋转180°得抛物线C ；交x轴于另一点A …如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点
2 3 3
M(2023,m)在此“波浪线”上，则m的值为 ．【答案】−5
【思路引导】本题考查了函数图象的基本规律，结合题意确定函数图象变化规律是解题关键．根据
y=−x2+6x(0≤x≤6)确定A (6,0)，A (12,0)，C 的解析式为y=(x−9) 2−9(6≤x≤12)，图象开始循环，
1 2 2
横坐标以12为循环节，函数值相等，计算2023÷12=168…7，判定m与x=7时的函数值相等，据此求
解即可．
【规范解答】解：∵y=−x2+6x=−(x−3) 2+9(0≤x≤6)，
∴A (6,0)，A (12,0)，
1 2
∴ C 的解析式为y=(x−9) 2−9(6≤x≤12)，
2
根据题意，得函数图象开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等，
∵2023÷12=168…7，
∴m与x=7时的函数值相等，
当x=7时，y=(7−9) 2−9=−5，
故答案为：−5．
17．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(−3,0)与(1,0)两点，关于
x的方程ax2+bx+c−m=0(m<0)有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程
ax2+bx+c−n=0(m0，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是_________．
【答案】(1)直线x=1
(2)x>1
【思路引导】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据二次函数的对称轴公式可直接进行求解；
（2）首先得到抛物线开口向上，进而求解即可．【规范解答】（1）解：∵y=ax2−2ax−3+2a2(a≠0)，
−2a
∴该抛物线的对称轴为直线x=− =1；
2a
（2）解：∵a>0，
∴该抛物线开口向上，
∴当y随x的增大而增大时，x的取值范围是x>1．
故答案为：x>1．
20．（本题6分）（24-25九年级上·河南濮阳·期中）如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象经过坐标原点，
与x轴交于点A(−2,0)．
(1)求此二次函数的解析式及点顶点B的坐标；
(2)在抛物线上否存在点P，使S =1？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
△AOP
【答案】(1)y=−x2−2x；B(−1,1)
(2)点P的坐标为(−1,1)或(−❑√2−1，−1)或(❑√2−1,−1)
【思路引导】本题考查了二次函数解析式的求法以及利用点的坐标求三角形的面积，同时注意数形结合思
想的灵活运用．
（1）由于二次函数经过原点和A点，将二点坐标代入y=−x2+bx+c，求解即可；
1
（2）由S△AOP= ×|OA)×|y)=1，求得y的值，再将y的值代入解析式求解x，得出P点坐标．
2
【规范解答】（1）解：将A、O两点坐标代入解析式y=−x2+bx+c，有
{ c=0 ) {b=−2)
，解得： ；
−4−2b+c=0 c=0
∴此二次函数的解析式为y=−x2−2x，
变化形式得: y=−(x+1) 2+1，故顶点坐标B(−1,1)；
（2）解：假设存在满足条件的点P，
1
则根据题意得：S = ×|OA)×|y)=1，
△AOP 2解得：y=1或y=−1，
当y=1时，1=−x2−2x，即x2+2x+1=0，
解得，x=−1，即P (−1,1)；
1
当y=−1时，x=±❑√2−1，
则P (−❑√2−1，−1),P (❑√2−1,−1)；
2 3
∴点P的坐标为(−1,1)或(−❑√2−1，−1)或(❑√2−1,−1)．
21．（本题8分）（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30
元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少
售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为x元(x>40)，实际销售量为y件，销售该品牌玩具获得
的利润为w元．
(1)分别求出y与x、 w与x之间的函数表达式；
(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售
该品牌玩具获得的最大利润是多少？
【答案】(1)y与x之间的函数表达式为y=−10x+1000，w与x之间的函数表达式为
w=−10x2+1300x−30000
(2)10000元
【思路引导】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌
握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解．
（1）根据用600减去减少的销售量可得y与x之间的函数表达式；根据一件的利润与销售数量的积，即可
表示出w与x函数关系式；
（2）由题意列出不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润．
【规范解答】（1）解∶ y与x之间的函数表达式为y=600−10(x−40)=−10x+1000，
w与x之间的函数表达式为w=(x−30)(−10x+1000)=−10x2+1300x−30000；
{ x≥44 )
（2）解∶根据题意得： ，
600−10(x−40)≥500
解得：44≤x≤50；
∵w=−10x2+1300x−30000=−10(x−65) 2+12250，且−10<0，∴当x=50时，w取得最大值，最大值为10000，
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元．
22．（本题8分）（2025·陕西榆林·二模）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形
状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口AB的垂直平分线对称，且碗底MN与碗口AB平行，
5
C、D均在抛物线上，CM⊥MN，DN⊥MN，已知AB=12cm，MN=4cm，CM=DN= cm，以
3
MN所在直线为x轴，过点A且垂直于MN的直线为y轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式
1
y= x2+bx+c（b、c为常数）．
6
(1)求b、c的值和点B的坐标；
11
(2)若碗中装入一定量的水，水面EF∥AB，且EF与AB之间的距离为 cm，求水面的宽度EF．
6
【答案】(1)b=−2，c=7，点B的坐标为(12,7)
(2)10cm
【思路引导】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键．
( 5)
（1）根据题意可得抛物线的对称轴为直线x=6，则由对称轴计算公式可得b=−2，再求出C 4, ，利
3
用待定系数法求出c的值，进而求出点B的坐标即可；
（2）求出点E和点F的纵坐标，进而求出点E和点F的横坐标即可得到答案．
【规范解答】（1）解：∵AB=12，
∴抛物线的对称轴为直线x=6，
b
∴− =6
1 ，
2×
6
解得b=−2．5
∵MN=4cm，CM=DN= cm，CM⊥MN，DN⊥MN，
3
12−4
OM= =4cm
∴
2
( 5)
∴ C 4, ．
3
将点C ( 4, 5) 代入y= 1 x2−2x+c，得c=7，
3 6
1
∴抛物线解析式为 y= x2−2x+7，
6
1 1
在y= x2−2x+7中，当x=12时，y= ×122−2×12+7=7，
6 6
∴点B的坐标为(12,7)．
11
（2）解：∵EF与AB之间的距离为 cm，
6
11 31
∴点E与点F的纵坐标为7− = ．
6 6
31 1 31
令y= ，得 x2−2x+7= ，解得x =1，x =11，
6 6 6 1 2
∴11−1=10(cm)，
即水面的宽度EF为10cm．
23．（本题8分）（2025·河南开封·二模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长
方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形ABCD为箱
子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，AB=CD=1米，OB=BC=2米），小明站在
原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，
达到最大高度2米．
(1)求抛物线的解析式；
(2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明．【答案】(1)y=−0.5x2+x+1.5
(2)能，见解析
【思路引导】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后
利用坐标数值关系反推实际问题．
（1）由题意得P(0,1.5)，抛物线的顶点坐标为(1,2)，利用待定系数法求解即可；
（2）只要判断出乒乓球在运行中，高于AB，并落在B、C之间即可；
【规范解答】（1）解：由题意得P(0,1.5)，抛物线的顶点坐标为(1,2)，
设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2+2(a≠0)，
∵抛物线y=a(x−1) 2+2经过点P(0,1.5)，
∴1.5=a+2，
∴a=−0.5，
∴抛物线的解析式为y=−0.5(x−1) 2+2，即y=−0.5x2+x+1.5
（2）解：能，理由如下：
当x=2时，y=1.5>AB，
当y=0时，−0.5x2+x+1.5=0，
解得x =−1（舍去），x =3，
1 2
∴乒乓球在运行中，高于AB，并落在BC的中点处，
∴小明抛出的乒乓球能投入箱子；
24．（本题8分）（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于
A(−1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，连接BC．
(1)求抛物线和直线BC的解析式；
(2)点P是第一象限抛物线上一点，设P点的横坐标为m．过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点D作
DE⊥y轴，垂足为E，连接PE，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标；4 8
【答案】(1)抛物线的解析式为y=− x2+ x+4
3 3
(39 165)
(2)点P的坐标(2,4)或 ,
16 64
【思路引导】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数，二次
函数的解析式，相似三角形的性质和判定，两点间的距离公式，二次函数的最值等知识，第二问注意两三
角形相似时根据边的对应关系分情况讨论是解题的关键，
（1）用待定系数法进行解答即可；
（2）根据已知P点的横坐标为m，可得点P和D的坐标，用m的代数式表示PD和DE，根据相似三角形
的两种情况，由两直角边对应成比例，列出m的方程即可．
【规范解答】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(−1,0)、B(3,0)两点，
{ a−b+4=0 )
∴ ，
9a+3b+4=0
4
{ a=− )
3
解得： ，
8
b=
3
4 8
∴抛物线的解析式为y=− x2+ x+4；
3 3
（2）解：如图1，令x=0，得y=4，
∴C(0,4)，
∴OC=4，
∵B(3,0)，
∴OB=3，
{3k+n=0)
设直线BC的解析式为y=kx+n(k≠0)，则 ，
n=4
{ k=− 4 )
解得： 3 ，
n=4
4
∴直线BC的解析式为：y=− x+4，
3
依题意得P ( m,− 4 m2+ 8 m+4 ) ，则D ( m,− 4 m+4 ) ，
3 3 3∴
DP= ( − 4 m2+ 8 m+4 ) − ( − 4 m+4 ) =− 4 m2+4m,DE=m，
3 3 3 3
∵∠BOC=∠PDE=90°，
OB 3
∵ = ，
OC 4
∴当△PDE和△BOC相似时，
ED 3 ED 4
∴ = 或 = ，
PD 4 PD 3
∴3PD=4ED或4PD=3ED，
①当3PD=4ED时，3 ( − 4 m2+4m ) =4m，
3
∴4m2−8m=0，
解得m=0（舍）或2，
∴P(2,4)，
②当4PD=3ED时，4 ( − 4 m2+4m ) =3m，
3
39
解得：m=0（舍）或 ，
16
(39 165)
∴ P , ；
16 64
(39 165)
综上，点P的坐标为：(2,4)或 , ．
16 64
25．（本题10分）（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，有一座抛物线形拱桥，当水位正常时，
水面宽度AB为12m，水位上升5m，就达到警戒水位，这时水面宽度CD为8m．(1)在图中建立平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式；
(2)若洪水到来时，水位以每天0.6m的速度上升，求水过警戒水位CD后几天淹到桥的拱顶；
(3)在正常水位的基础上，当水位上升l(m)时，桥下水面的宽度为n(m)，求出用n表示为l的函数解析式．
1
【答案】(1)y=− x2+9
4
20
(2)水过警戒水位CD后 天淹到桥的拱顶；
3
1
(3)l=− n2+9
16
【思路引导】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题关键．
（1）以AB所在直线为x轴，AB中点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，令CD与y轴的交点为M，顶
点为N，根据题意可得A(−6,0)，B(6,0)，C(−4,5)，D(4,5)，设该抛物线的解析式为y=ax2+c，利用
待定系数法求解即可；
（2）先得到顶点坐标N(0,9)，从而得出MN=4m，再除以水位上涨速度求解即可；
(n )
（3）由题意可知，点 ,l 在抛物线上，代入求解即可．
2
【规范解答】（1）解：如图，以AB所在直线为x轴，AB中点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，令
CD与y轴的交点为M，顶点为N，
由题意可知，AB=12m，OM=5m，CD=8m，
∴A(−6,0)，B(6,0)，C(−4,5)，D(4,5)，
设该抛物线的解析式为y=ax2+c，{36a+c=0) { a=− 1 )
则 ，解得： 4 ，
16a+c=5
c=9
1
∴该抛物线的解析式为y=− x2+9；
4
1
（2）解：∵y=− x2+9，
4
∴N(0,9)，
∴ON=9m，
∴MN=9−5=4m，
∵水位以每天0.6m的速度上升，
20
∴4÷0.6= ，
3
20
即水过警戒水位CD后 天淹到桥的拱顶；
3
(n )
（3）解：由题意可知，点 ,l 在抛物线上，
2
则l=−
1
×
(n) 2
+9=−
1
n2+9．
4 2 16
26．（本题10分）（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）某学校有一个长为20m的矩形网球训练场地，
童童和青青在该场地打网球，点O 在童童所在区域的边界线上，点A 在青青所在区域的边界线上，
OA=20m，球网高BC为1m（点B位于OA中点处且BC⊥OA），以点 O为原点，OA所在直线为x 轴
建立如图所示的平面直角坐标系．若童童在点 O 处接球后击出的网球的行进高度y（单位：m）与水平距
离x（单位：m）之间的关系式为y=a(x−9) 2+1.21（a<0），且落地点在点 A 处．
(1)童童击出的网球运动到最高点时距地面__________．
(2)求童童接球时，网球的高度OD；
(3)在其他条件不变的情况下，童童调整接球后击球的角度，使网球擦网而过，落地点仍在点A处，此时网球的运动路线在一条新的抛物线上．
①新抛物线的解析式为：_________．
②青青预判到了网球的运动路线，从点A处向前走了几步，接住了网球，接球的高度恰好与童童接球时的
高度相同，青青向前走了多少米？
③在②的条件下，青青回了童童一个球，网球的运动路线在以点C为最高点的抛物线上，青青的回球能否
落在童童所在区域内？
【答案】(1)1.21m
(2)0.4m
1 7 2
(3)①y=− x2+ x+ ；②青青向前走了2.5m；③青青的回球能落在童童所在区域内．
125 50 5
【思路引导】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确利用二次函数解决问题是解题的关键．
（1）由抛物线的顶点坐标即可解答；
（2）把点A(20,0)代入抛物线y=a(x−9) 2+1.21上，求出a的值，得到抛物线解析式，再令x=0，即可
求解；
（3）解：①运用待定系数法求解即可；
②令y=0.4，求出自变量x的值，即可解答；
4
③运用待定系数法求出青青回球后，网球的运动路线所在抛物线的解析式为y=− (x−10) 2+1．令
375
4
− (x−10) 2+1=0，求得青青的回球的落地点坐标，进行判断即可．
375
【规范解答】（1）解：∵网球的行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为
y=a(x−9) 2+1.21（a<0），
∴顶点坐标为(9,1.21)，
∴童童击出的网球运动到最高点时距地面1.21m．
故答案为：1.21m
（2）解：∵OA=20m，
∴A(20,0)，
∵点A(20,0)在抛物线y=a(x−9) 2+1.21上，
∴a(20−9) 2+1.21=0，1
解得 a=− ，
100
1
∴该抛物线的解析式为 y=− (x−9) 2+1．21，
100
1
∴当x=0时，y=− ×(0−9) 2+1.21=0.4，
100
∴童童接球时，网球的高度OD为0.4m．
（3）解：①∵点B是OA的中点，
1 1
∴
OB= OA= ×20=10(m)，
2 2
∵BC=1m，
∴C(10,1)，
由（2）有OD=0.4m，
∴D(0,0.4)，
设新抛物线的解析式为y=a′x2+b′x+c′，
∵新抛物线过点D(0,0.4)，C(10,1)，A(20,0)，
1
{a′=−
)
125
{
c′=0.4
)
7
∴ 100a′+10b′+c′=1 ，解得 b′= ，
50
400a′+20b′+c′=0
2
c′=
5
1 7 2
∴新抛物线的解析式为y=− x2+ x+ ．
125 50 5
1 7 2
故答案为：y=− x2+ x+
125 50 5
1 7 2 1 7 2
②在y=− x2+ x+ 中，令y=0.4，则− x2+ x+ =0.4 ，
125 50 5 125 50 5
解得x =17.5，x =0，
1 2
∴20−17.5=2.5(m)
∴青青向前走了2.5m．
③∵青青回球后，网球的运动路线在以点C(10,1)为最高点的抛物线上，
∴设青青回球后，网球的运动路线所在抛物线的解析式为y=a″(x−10) 2+1．
由②可知青青回球时，球的坐标为(17.5,0.4)，4
∴a″(17.5−10) 2+1=0.4，解得a″=− ，
375
4
∴青青回球后，网球的运动路线所在抛物线的解析式为y=− (x−10) 2+1．
375
4
令 − (x−10) 2+1=0，
375
5❑√15 5❑√15
解得 x =10+ ，x =10− ，
1 2 2 2
( 5❑√15 )
∴青青的回球的落地点为点 10− ,0 ．
2
5❑√15
∵0<10− <10，
2
∴青青的回球能落在童童所在区域内．
