文档内容
第二十三章 旋转（复习讲义）
1. 了解图形旋转、中心对称及中心对称图形的意义，体会旋转与中心对称之间的整体联系。
2. 能用旋转的性质进行作图，能作出一个图形关于某点对称的图形。
3. 理解并利用旋转的性质、中心对称的性质以及关于原点对称的点的坐标特征解决问题。
考点1 图形的旋转
1.旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，
转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
2.旋转的性质
旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等。理解以下几点：
（1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对
应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
3.利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转
中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作
旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接
的各点。
考点2 中心对称
1.中心对称的定义
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关
于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：
中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重
合。
2.作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。
最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。
3.中心对称的性质
有以下几点：
（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形；
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
4.中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心
对称图形，这个点就就是它的对称中心。
5.关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为
（-x,-y）。
题型1 利用旋转的性质求角的度数【例1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在 中， ，将 绕点 按逆时针
方向旋转得到 ．若点 恰好落在 边上，且 ，则 的度数为 ．
【变式1-1】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在 中， ， ， 边绕点
C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转过程中，点B的对应点为 ，旋转角为 ，当
时，旋转角 为 ．
【变式1-2】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图， 中， ．将 绕点 顺时针旋
转，使点 的对应点 恰好落在 边上，点 的对应点为 ，连接 ，若 ，则
．
【变式1-3】（25-26九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在 中， ，将 绕点 顺时
针旋转 得到 ，点A， 的对应点分别为点 ， ，延长 交 于点 ， 与 相交于点 ，
则 的度数为 ．题型2 利用旋转的性质求线段长度
【例2】（24-25九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在 中， ，
， ，将 绕点C顺时针旋转得到 ，点A，B的对应点分别为点 ， ．若点
恰好落在 上，则点A与点 的距离 的长为 ．
【变式2-1】（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图，P为正方形 内一点，将 绕B顺时针
旋转 到 的位置，若 ，则 的长为 ．
【变式2-2】（2025八年级上·湖南邵阳·竞赛）如图，在等边 中， ，点 在 上，且
，点 是 上一动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ．要使点 恰好
落在 上，则 的长是 ．
【变式2-3】（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，在平行四边形 中，过点C作 交
于点E，点P是线段 延长线上的任意一点，将线段 绕点E逆时针旋转 得到线段 ．若 ，
，当点Q恰好落在平行四边形的边所在直线上时， 的长度为题型3 求点旋转后的坐标
【例3】（25-26九年级上·山东日照·开学考试）如图，在直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将线段
顺时针旋转 得到线段 ，点A的对应点为 ．若点A的坐标为 ，则点 的坐标为
．
【变式3-1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点 旋
转 ，得到点 ，则点 的坐标是 ．
【变式3-2】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为
，将线段 绕点 逆时针旋转α角 ．若点A的对应点 的坐标为 ，则
点B的对应．点 的坐标为 ．
【变式3-3】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，正比例函数的图象经过 ， 两
点，现将线段 绕点B顺时针旋转 得到线段 ，则点C的坐标为 .题型4 利用旋转的性质求面积
【例4】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形 的顶点
与正方形 的中心重合．在正方形 绕点 旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是
．
【变式4-1】（23-24九年级上·广东中山·期中）已知，如图，菱形 的边长为2， ，将菱形
绕顶点 在平面内顺时针旋转 得到菱形 ，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为
.
【变式4-2】（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在
同一直线上， ， ， ，将 绕点C顺时针旋转一定角
度 ，如果在旋转的过程中 有一边与 平行，那么此时 的面积是 ．题型5 识别中心对称图形
【例5】（2025九年级·全国·竞赛）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2025·山东青岛·模拟预测）（了解）下列图形中，不是中心对称图形只是轴对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【变式5-2】（25-26九年级上·辽宁·开学考试）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，
既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（25-26八年级上·浙江宁波·开学考试）下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
题型6 中心对称的性质运用【例6】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图， 与 关于点A成中心对称，若 ，
， ，则 的长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【变式6-1】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，已知 和 关于点O成中心对称，则下
列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图， 与 关于点O成中心对称，连接 ，
， ．下列结论中正确的有（ ）
①点A与点D是对应点；② ；③线段 与 关于点O成中心对称
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式6-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图， 与 关于点 成中心对称，下列说法：
① ；② ；③ ；④ 与 的面积相等，其中正确的有（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
题型7 关于原点对称点的坐标
【例7】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）点 关于原点中心对称的 点的坐标为( )
A． B． C． D．
【变式7-1】（2025·广东韶关·模拟预测）已知点M 与点N 关于原点对称，则 的值为
（ ）
A．3 B．2 C． D．
【变式7-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点A的坐标为 ，点A关于 轴的对称点是B，点
B关于原点的对称点是C，那么点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（24-25九年级上·福建福州·期末）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐
标为 ，且点A与点B关于原点对称， ，则 的值为（ ）
A． B． C．-3 D．3
题型8 找旋转中心、旋转角、对应点
【例8】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在 中， ， ， ，将
逆时针旋转一角度后与 重合，且点D恰好是 的中点．(1)旋转中心是点 ， 的长为 ；
(2)求 的度数．
【变式8-1】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，正方形 中，点E为 边上的一点，将
顺时针旋转后得到 ．
(1)指出旋转中心为点_____及旋转角的度数为_______ ；
(2)判断 与 的位置关系，并说明理由．
【变式8-2】如图，点 为正方形 内一点， 经逆时针旋转后能与 重合.
(1)旋转中心是_____，旋转角度最小为_____度；
(2)判断 的形状，并说明理由；
(3)若 ，说明 .
【变式8-3】如图所示，在三角形 中， ，D是 边上的一点，三角形 经过旋转后
到达三角形 的位置．
(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？
(3)如果M是 的中点，那么经过上述的旋转后，点M到了什么位置？
题型9 平面直角坐标系中的旋转变换
【例9】（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐
标分别为 ， ， ．
(1)若 经过平移后得到 ，已知点 的对应点 的坐标为 ，请画出 ；
(2)将 绕坐标原点 按顺时针方向旋转90°得到 ，请画出 ；
(3)若将 绕点 旋转可得到 ，则点 的坐标为_______．
【变式9-1】（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图， 的顶点坐标分别为 ， ， ．(1)画出 关于y轴的对称图形 ；
(2)画出 关于原点的中心对称图形 ；
(3)画出 绕点A顺时针旋转90°的旋转对称图形 ，直接写出 的坐标 ．
【变式9-2】（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示
的平面直角坐标系， 的顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1)作出 向左平移4个单位长度后得到的 ，并写出点 的坐标；
(2)作出 关于原点 对称的 ，并写出点 的坐标； 可看作 以点
（____________，____________）为旋转中心，旋转____________ 得到的．
(3)已知 关于直线 对称的 的顶点 的坐标为 ，请直接写出直线 的函数解析式．
【变式9-3】（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是
， ， ．(1)将 绕点C旋转 ，点A的对应点为 ，直接在图中画出旋转后的 ；
(2)平移 ，点A的对应点 的坐标为 ，点B的对应点为 ，直接在图中画出平移后的 ；
(3)若将 绕某一点旋转可以得到 ，旋转中心的坐标为______（直接填空）．
题型10 旋转的综合探究性问题
【例10】（24-25八年级上·福建福州·期末）已知，在 中， ， ，点 是 边
上的一点（不与点 ， 重合），连接 ．
(1)如图1，将线段 绕点A逆时针方向旋转 得到线段 ，连接 ．求证： ， ．
(2)如图2，点 ， 都在线段 上，且 ．
①求证： ．
②若 ， ，求 的周长．
【变式10-1】（24-25九年级上·江西赣州·期中）在 中， ．(1)如图1，D为 边上一点（不与点B，C重合），将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ．
请直接写出线段 与 的关系；
(2)如图2，D为 外一点，且 ，仍将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，
．
①求证： ；
②若 ，求 的长．
【变式10-2】（23-24八年级下·山东日照·期末）已知四边形 和四边形 均为正方形，连接
，直线 与 交于点 ．
(1)如图1，当点 在 上时，线段 与 的数量关系是___________，线段 与 的位置关系是
___________；
(2)如图2，将正方形 绕点 逆时针旋转任意角度，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)若 ， ，正方形 在绕点 逆时针旋转过程中，当点 、 、 三点共线时，请直接写
出线段 的长．
【变式10-3】（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）（1）如图1，正方形 的边长为4，对角线 、
相交于点 是边 上点（点 不与 、 重合），将射线 绕点 逆时针旋转 ，所得射线与
交于点 ，则四边形 的面积为___________．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形 的对角线的交点 是矩形 的一个顶点，将矩形 绕着点 旋转，与边 相交于点 ． 与边 相交于点 ，连接 ，猜想 之间的数量关系．并进
行证明．
【拓展应用】
（3）如图3，在直角 中， ， ， ， 的顶点 在边 的中点处，
，它的两条边 和 分别与直线 相交于点 可绕着点 旋转，当
时，则 的长度为___________cm．
基础巩固通关测
一、单选题
1．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）已知点 ，若点B与点A关于原点成中心对称，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）下列标识中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将 绕点A按逆时针方向旋转 得到 ，若
，则 的度数是（ ）．
A． B． C． D．
4．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕， 与地面的夹角
， ，小明同学将它扶起（绕点 逆时针旋转）后平放在地面上， 的对应线段为
，在这一过程当中，簸箕柄 绕点 旋转了（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（20-21九年级下·海南海口·自主招生）在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是
．
6．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，正方形网格中， 绕某一点逆时针旋转n度后得到．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 ．
7．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将 绕点 逆时针旋转一定的角度得到 ，此时边
经过点 ，若 ， ，则 的长是 ．
8．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，每个小正方形的边长均为1， 的三个顶点都是网格线的
交点，已知B点的坐标为 ，将 绕着点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为 ．
三、解答题
9．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图， 是正方形 的边 上一点， 是边 上一点，
逆时针旋转后能够与 重合．(1)写出它的旋转中心；
(2)旋转角至少是多少度？
(3) ______ （填“＞”或“＝”或“＜”）．
10．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图， 的顶点坐标分别为 ．
(1)画出 关于点 成中心对称的 ；
(2)将 绕点 顺时针旋转 ，画出旋转后的 ．
11．（20-21九年级上·广西南宁·期中）如图，等腰 中， ， ，点D在 上，
将 绕点B沿顺时针方向旋转 ，得到 ．
(1)求 的度数；(2)若 ， ，求 的长．
12．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在 中， ， ．将一块等腰直角三
角板的直角顶点放在 斜边 的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线
于点D、E，如图1，2，3是旋转三角板得到的三种情况．
(1)如图1，当点D是 的中点时，点E恰为 的中点，请写出线段 之间的数量关系：
________________；
(2)当三角板绕点P旋转至图2所示的位置时，判断线段 之间的数量关系，并说明理由；
(3)三角板绕点P旋转时， 能否成为以 为腰的等腰三角形？若能，请直接写出 的长；若不能，
请说明理由．
能力提升进阶练
一、单选题
1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重
合，至少应旋转的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋
转得到 ，点C的对应点 恰好落在斜边 上，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 若点 ， ，
在同一条直线上， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，四边形 为正方形， 为对角线 上一点，连接 ，
将 绕着点 顺时针旋转 交 的延长线于点 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（20-21九年级上·山东济宁·期中）若点 与点 关于原点对称，则 是 ．
6．（2023九年级上·黑龙江哈尔滨·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，有一个矩形 ，边 在x轴上，边 在y轴上， ， ．将矩形 绕着点O顺时针旋转90度，得到矩形 再将
矩形 绕着点 顺时针旋转 得到矩形 ，依次旋转下去，则经过第113次旋转，点O的对
应点的横坐标是
7．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在矩形 中， ，点P为边 上的一个动
点，线段 绕点B顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．当点 落在边 上时， 的
值为 ；当线段 的长度最小时， 的度数为 ．
8．（2025·贵州黔东南·二模）如图，P是正方形 内一点， ， ， ，将线段 以点
A为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，下列结论：① 可以由 绕点A逆时针旋
转 得到；②点P与 的距离为4；③ ；④ ；其中正确的结论是
．（填序号）
三、解答题
9．（2024九年级上·青海西宁·竞赛）如图所示：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为
个单位长度；(1)将 向 轴正方向平移 个单位得 ；
(2)画出 关于原点 对称的 ，并写出 的坐标；
(3)将 再以点 为旋转中心，顺时针旋转 得 ，画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母．
10．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）已知 ，将其绕点 顺时针旋转一个角度 得到
．（点 ， 的对应点分别是 ， ）
(1)如图1，连接 ，若 ， ， ， ，求 ， 两点间的距离（即 的长）
(2)如图2， ， ， 三点在一条直线上，且 ，求证： ．
11．（24-25八年级下·陕西西安·期末）【问题提出】如图（1）， 是正方形 内一点，将 绕点
顺时针方向旋转与 重合，若 ，则 ___________（直接写出答案）【问题探究】如图（2），点 是等边 内一点， ，求 的度数．
对于这个问题，小明是这样思考的：将 绕点 顺时针方向旋转 至 处，连接 ，根据所学
习的数学知识便可以求出 的度数．请你根据小明的想法，作出图形，并求出 的度数．
【问题解决】如图（3）， 为等腰直角三角形， ， 是 内部一点，
当 取得最小值时，请求出 的面积．
12．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）【课本再现】
（1）如图1，正方形 的对角线 、 相交于点O，正方形 的顶点A′与点O重合．将正
方形 绕点A′旋转，在这个过程中，若连接 ，则 、 、 之间的数量关系为___________．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形 对角线的交点O是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点E， 与边
相交于点F，连接 ，矩形 可绕着点O旋转，猜想 ， ， 之间的数量关系，并进行
证明．
【拓展应用】
（3）在菱形 中， ，E、F分别是边 、对角线 上一点，且 ，以 、 为邻
边作菱形 ，再将菱形 绕点A逆时针旋转一定角度后得到新的菱形 如图3，连接
，点P为线段 的中点，连接 、 ．
①判断 与 的数量关系，并进行证明；
②若 ， ，菱形 在旋转过程中，当 最小时， 的面积为___________．
