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第二十三章 旋转（复习讲义）
1. 了解图形旋转、中心对称及中心对称图形的意义，体会旋转与中心对称之间的整体联系。
2. 能用旋转的性质进行作图，能作出一个图形关于某点对称的图形。
3. 理解并利用旋转的性质、中心对称的性质以及关于原点对称的点的坐标特征解决问题。
考点1 图形的旋转
1.旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，
转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
2.旋转的性质
旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等。理解以下几点：
（1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对
应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
3.利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转
中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作
旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接
的各点。
考点2 中心对称
1.中心对称的定义
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关
于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：
中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重
合。
2.作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。
最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。
3.中心对称的性质
有以下几点：
（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形；
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
4.中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心
对称图形，这个点就就是它的对称中心。
5.关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为
（-x,-y）。
题型1 利用旋转的性质求角的度数【例1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在 中， ，将 绕点 按逆时针
方向旋转得到 ．若点 恰好落在 边上，且 ，则 的度数为 ．
【答案】 /24度
【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．先根据旋转前后图形的
对应线段相等、对应角相等得到相关角的关系，再根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，最后在
中利用三角形内角和得出关系式，计算可得结果．
【详解】解： ，
，
，
∵将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【变式1-1】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在 中， ， ， 边绕点
C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转过程中，点B的对应点为 ，旋转角为 ，当
时，旋转角 为 ．
【答案】70或250/250或70
【分析】本题考查旋转的性质，平行线的判定，三角形内角和定理．当 时，或
时， ，画出图形，即可求解．【详解】解： 在 中， ， ，
，
当 时，分两种情况：
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
故答案为：70或250．
【变式1-2】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图， 中， ．将 绕点 顺时针旋
转，使点 的对应点 恰好落在 边上，点 的对应点为 ，连接 ，若 ，则
．
【答案】 / 度
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形内角和定理的
应用，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得 ， ， ，
由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求解．
【详解】解： 将 绕点 顺时针旋转，
， ， ，
，
，
，
∵ ，
，，
故答案为： ．
【变式1-3】（25-26九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在 中， ，将 绕点 顺时
针旋转 得到 ，点A， 的对应点分别为点 ， ，延长 交 于点 ， 与 相交于点 ，
则 的度数为 ．
【答案】60
【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，弄清角之间的关
系成为解题的关键。
先根据旋转的性质得 、 ，结合 可得 ,然后根据三角
形外角的性质即可解答．
【详解】解： ∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ， ，
∴ 、 ，
∴ ，
∴ .
故答案为：60．
题型2 利用旋转的性质求线段长度
【例2】（24-25九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在 中， ，
， ，将 绕点C顺时针旋转得到 ，点A，B的对应点分别为点 ， ．若点
恰好落在 上，则点A与点 的距离 的长为 ．【答案】
【分析】本题考查了 所对直角边是斜边一半，勾股定理，旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．
熟练掌握 所对直角边是斜边一半，勾股定理，旋转的性质以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．
先利用 所对直角边是斜边一半和勾股定理求出 ， 的长，再根据旋转的性质得 ，结合角
度推出 是等边三角形，进而得到相关角度，最后证明 是等边三角形，从而求出 的长度．
【详解】解：连接 ，
， ，
，
在 中， ，
由旋转的性质可知： ， ，
是等边三角形，
， ．
，
，
是等边三角形，
．
故答案为： ．
【变式2-1】（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图，P为正方形 内一点，将 绕B顺时针
旋转 到 的位置，若 ，则 的长为 ．【答案】
【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质，是解题的关键．根据旋转得到
，勾股定理求出 即可．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 绕B顺时针旋转 到达 的位置，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式2-2】（2025八年级上·湖南邵阳·竞赛）如图，在等边 中， ，点 在 上，且
，点 是 上一动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ．要使点 恰好
落在 上，则 的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质．全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是
解决问题的关键．先计算出 ，根据等边三角形的性质得 ，再根据旋转的性质得
， ，根据三角形内角和和平角定义得 ，进而证明 ，
则 ．
【详解】解： ， ，
，
为等边三角形，
，
线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，点 恰好落在 上，
， ，
， ，
， ，，
在 和 中，
，
．
故答案为： ．
【变式2-3】（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，在平行四边形 中，过点C作 交
于点E，点P是线段 延长线上的任意一点，将线段 绕点E逆时针旋转 得到线段 ．若 ，
，当点Q恰好落在平行四边形的边所在直线上时， 的长度为
【答案】 或2或
【分析】分三种情况：点Q在直线 的延长线上时；点Q在直线 上时；点Q在直线 上时，利用
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得 ；
①如图，点Q在直线 的延长线上时；过点A作 于点N，分别过P、Q作直线 的垂线，垂足分别为M、F，
在 中， ，
∴ ；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ,∴ ；
②如图，点Q在直线 上时；
分别过P、Q作 的垂线，垂足分别为M、F，
与①同理， ，则 ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
在 中， ，则 ，
∴ ；
③如图，当点Q在直线 上时，
此时 ，
在 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上， 的长为 或2或 ，
故答案为： 或2或 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30度角直角三
角形的性质及勾股定理，涉及分类讨论思想的应用，正确掌握这些知识是关键．
题型3 求点旋转后的坐标
【例3】（25-26九年级上·山东日照·开学考试）如图，在直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将线段
顺时针旋转 得到线段 ，点A的对应点为 ．若点A的坐标为 ，则点 的坐标为
．
【答案】【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
过点A作 轴于点B，过点 作 轴于点C，由旋转得， ， ，可得
，则 ， ．由已知条件可得 ， ，则 ， ，可得
点 的坐标．
【详解】解：过点A作 轴于点B，过点 作 轴于点C，
∴ ，
∴ ．
由旋转得， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵点A的坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵点 在第四象限内，
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【变式3-1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点 旋
转 ，得到点 ，则点 的坐标是 ．【答案】 或
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质．
分两种情况作答即可．
【详解】以原点为旋转中心，把点 逆时针旋转 ，得到点 ，可知 ， ，
如图，作 轴交 轴于D，作 轴交 轴于C，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴
∴
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
以原点为旋转中心，把点 顺时针旋转 ，得到点 ，
同理可得 ；
故答案为： 或
【变式3-2】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为
，将线段 绕点 逆时针旋转α角 ．若点A的对应点 的坐标为 ，则
点B的对应．点 的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出
旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如： ， ， ， ， ；记住关于原点对称的点的
坐标特征．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图
形即可求出答案．
【详解】解：将线段 绕点 逆时针旋转，点 的对应点 的坐标为 ，如图所示：
，
，
，
故答案为： ．
【变式3-3】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，正比例函数的图象经过 ， 两
点，现将线段 绕点B顺时针旋转 得到线段 ，则点C的坐标为 .
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数的性质，全等三角形的判定和性质．利用待定系数法求得正比例函数的解析式，求得 ，过点 作 轴的直线 ，过点 和 作直线 的垂线，垂足分别为 和 ，证明
，求得 ， ，据此求解即可．
【详解】解：∵设正比例函数的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴正比例函数的解析式为 ，
∵正比例函数的图象经过 ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 轴的直线 ，过点 和 作直线 的垂线，垂足分别为 和 ，如图，
∴ ， ，
∵将线段 绕点B顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
题型4 利用旋转的性质求面积
【例4】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形 的顶点与正方形 的中心重合．在正方形 绕点 旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是
．
【答案】1
【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作
于点P， 于点Q，则可证明 ，得出 ，根据
得出答案即可．
【详解】解：如图，过点E作 于点P， 于点Q，
则 ，
∵点E是正方形 的中心，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
【变式4-1】（23-24九年级上·广东中山·期中）已知，如图，菱形 的边长为2， ，将菱形
绕顶点 在平面内顺时针旋转 得到菱形 ，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为
.
【答案】
【分析】 相交于点O， 与 交于点E，根据菱形的性质推出 的长，再根据菱形的性质推
出 与 的长，再根据重叠部分的面积= 的面积 的面积求解即可．
【详解】解：根据题意，如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转 ， ， 相交于点O，
与 交于点E，
∵四边形 是菱形，
∵菱形 绕点A顺时针旋转 得到菱形 ,
，
三点共线，，
又 ，
,
∵重叠部分的面积 的面积 的面积，
∴重叠部分的面积
即旋转后的图形，与原图形重叠部分的面积为 ．
【点睛】本题考查菱形的性质，菱形对角线互相垂直，菱形四条边相等，以及旋转变化，旋转前后对应边
相等，对应角相等．
【变式4-2】（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在
同一直线上， ， ， ，将 绕点C顺时针旋转一定角
度 ，如果在旋转的过程中 有一边与 平行，那么此时 的面积是 ．
【答案】 或12
【分析】分两种情况画图讨论：如图1，当 时，过点B作 延长线于点F；当 时，
过点B作 延长线于点G，利用30度角 直角三角形即可解答．
【详解】如图1，当 时，过点B作 延长线于点F，根据题意可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ；
如图2，当 时，过点B作 延长线于点G，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ 的面积
综上所述： 的面积是 或12．
故答案为： 或12．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质， 直角三角形，勾股定理，解题关键是利用分类讨论
思想解答．
题型5 识别中心对称图形【例5】（2025九年级·全国·竞赛）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查中心对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键．
根据中心对称图形的定义，逐个判断即可．
【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形不是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形是中心对称图形，符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选C．
【变式5-1】（2025·山东青岛·模拟预测）（了解）下列图形中，不是中心对称图形只是轴对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分
折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，但是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【变式5-2】（25-26九年级上·辽宁·开学考试）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，
既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转 后能与自身重合，这个图形是
中心对称图形．根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
故选：A．
【变式5-3】（25-26八年级上·浙江宁波·开学考试）下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图
形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原
图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
题型6 中心对称的性质运用
【例6】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图， 与 关于点A成中心对称，若 ，， ，则 的长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了中心对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握中心对称的两个
三角形是全等三角形成为解题的关键．
由中心对称的性质可得 得到 ，即 ，然后运用勾股定理求得 的长即可．
【详解】解：∵ 与 关于点A成中心对称，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ．
故选C．
【变式6-1】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，已知 和 关于点O成中心对称，则下
列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键．
根据中心对称的性质判断即可．
【详解】解：∵ 与 关于点 成中心对称，∴ ， ， ， ，
∴B、C、D都不合题意．
∵ 与 不是对应边，
∴ 不成立．
故选：A．
【变式6-2】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图， 与 关于点O成中心对称，连接 ，
， ．下列结论中正确的有（ ）
①点A与点D是对应点；② ；③线段 与 关于点O成中心对称
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题考查的是中心对称的性质，全等三角形的判定；根据 与 成中心对称，点 是对
称中心，再逐一分析判断即可．
【详解】解：①∵ 与 成中心对称，点 是对称中心，观察图形可知：
点A与点D是对应点，原说法正确，故符合题意；
②由中心对称的性质可得： ， ， ，
∴ ，原说法正确，故符合题意；
③∵ 与 成中心对称，点 是对称中心，
∴线段 与 关于点O成中心对称，原说法正确，故符合题意．
故选：D．
【变式6-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图， 与 关于点 成中心对称，下列说法：
① ；② ；③ ；④ 与 的面积相等，其中正确的有（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【分析】本题考查中心对称，根据“成中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可判
断．
【详解】解： 与 关于点 成中心对称，
，
， ， 与 的面积相等，
故①②④正确；
对称点到对称中心的距离相等，
，
故③正确；
综上可知，正确的有4个，
故选D．
题型7 关于原点对称点的坐标
【例7】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）点 关于原点中心对称的 点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于原点中心对称的坐标特征，解题的关键是熟记“点 关于
原点中心对称的点的坐标为 ”这一规律．
先明确点关于原点中心对称的坐标变换规律：若点的坐标为 ，则其关于原点对称的点的坐标为
；再将点 的横、纵坐标分别取相反数，得到对称点 的坐标，最后与选项对比确定答案．
【详解】解：∵点 关于原点对称的点的坐标为 ，
∴点 关于原点对称的点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 ．
故选：C．【变式7-1】（2025·广东韶关·模拟预测）已知点M 与点N 关于原点对称，则 的值为
（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．利用两个点关
于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P 关于原点O的对称点是 ，进而求出即可．
【详解】解：∵点M 与点N 关于原点对称，
∴ ， ，
故 ．
故选：C．
【变式7-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点A的坐标为 ，点A关于 轴的对称点是B，点
B关于原点的对称点是C，那么点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了关于 轴、原点对称点的坐标特点，根据关于 轴对称点的坐标特点：横坐标不
变，纵坐标互为相反数；关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反即
可得到答案．
【详解】解：∵点A的坐标为 ，，
∴点 关于 轴的对称点 ，
∴点 关于原点的对称点 ，
故选：B．
【变式7-3】（24-25九年级上·福建福州·期末）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐
标为 ，且点A与点B关于原点对称， ，则 的值为（ ）
A． B． C．-3 D．3【答案】D
【分析】本题先根据关于原点对称的点的坐标特征，得出点 与点 坐标的关系，再结合已知条件
，求出 的值．本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点
的横、纵坐标均互为相反数是解题的关键．
【详解】解：∵点 与点 关于原点对称，
， ．
∴ ，
∵
．
∴
故选：D．
题型8 找旋转中心、旋转角、对应点
【例8】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在 中， ， ， ，将
逆时针旋转一角度后与 重合，且点D恰好是 的中点．
(1)旋转中心是点 ， 的长为 ；
(2)求 的度数．
【答案】(1)A，
(2)
【分析】本题考查了旋转的相关知识点．
（1）由“ 顺时针旋转一定角度后与 重合”可得旋转中心点，根据旋转的性质得出
， ，据此可求得 ；
（2）根据旋转的性质得出 ．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
∴ ，
即 ，
∵ 顺时针旋转一定角度后与 重合，∴旋转中心为点A，旋转的度数为 ；
∴ ， ，
∵点D恰好成为 的中点，
∴ ，
∴ ；
故答案为：A， ；
（2）解：∵ 顺时针旋转一定角度后与 重合，
∴旋转中心为点A，旋转的度数为 ；
∴ ，
故答案为： ．
【变式8-1】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，正方形 中，点E为 边上的一点，将
顺时针旋转后得到 ．
(1)指出旋转中心为点_____及旋转角的度数为_______ ；
(2)判断 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)旋转中心是 ，旋转角是
(2) ，理由见解析
【分析】（1）将 旋转后得到 ，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对应点，即
可确定；
（2）根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作出判断．
【详解】（1）解：∵将 顺时针旋转后得到
∴旋转中心是点 ，旋转角的度数是 ；
（2）解：延长 交 于点 ．由旋转可知： ，
， ．
又 ， ，
，
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，旋转只是改变图形的位置，不
改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形一定全等．
【变式8-2】如图，点 为正方形 内一点， 经逆时针旋转后能与 重合.
(1)旋转中心是_____，旋转角度最小为_____度；
(2)判断 的形状，并说明理由；
(3)若 ，说明 .
【答案】(1)点 ，90
(2)等腰直角三角形，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题考查几何图形的旋转，熟悉“旋转的概念、性质”是解答本题的关键．
（1）根据旋转的定义结合已知条件分析解答即可；
（2）由旋转的性质可知， ， ，由此可得 是等腰直角三角形；
（3）由旋转可得 ，进而得到 ，从而证明结论．
【详解】（1）解：∵ 是正方形，
∴ ，
∵ 经逆时针旋转后能与 重合，∴旋转中心是点 ，旋转角度最小为 ，
故答案为：点 ， ；
（2）解： 是等腰直角三角形，理由为
四边形 是正方形，
，
由旋转，得 ， ，
是等腰直角三角形；
（3）证明：由旋转，得 ，
，
，
．
【变式8-3】如图所示，在三角形 中， ，D是 边上的一点，三角形 经过旋转后
到达三角形 的位置．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果M是 的中点，那么经过上述的旋转后，点M到了什么位置？
【答案】(1)旋转中心是点A．
(2)逆时针旋转了 ．
(3)点M到了 的中点处．
【分析】本题主要考查的是旋转变换后图形所具有的性质，等边三角形的性质和判定，关键在于明确旋转
中心，旋转角度和旋转位置．
（1）观察图形， 经旋转后到达 的位置，可得出旋转中心；
（2）观察图形，线段 旋转后，对应边是 就是旋转角，可得出旋转角；
（3）因为旋转前后 是对应边，故 的中点 ，旋转后就是 的中点．
【详解】（1）解：∵ 经旋转后到达 ，它们的公共顶点为 ，
∴旋转中心是点 ；（2）解：∵
∴ 是等边三角形
∴
线段 旋转后，对应边是 就是旋转角，也是等边三角形的内角，是 ，
∴逆时针旋转了 ；
（3）解：旋转前后 是对应边，故 的中点 ，旋转后就是 的中点，
∴点 转到了 的中点．
题型9 平面直角坐标系中的旋转变换
【例9】（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐
标分别为 ， ， ．
(1)若 经过平移后得到 ，已知点 的对应点 的坐标为 ，请画出 ；
(2)将 绕坐标原点 按顺时针方向旋转90°得到 ，请画出 ；
(3)若将 绕点 旋转可得到 ，则点 的坐标为_______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移与旋转，熟练掌握平移和旋转的性质，是解题的关键：（1）根据点 的对应点 的坐标为 ，确定平移规则，进而画出 即可；
（2）根据旋转的性质，画出 ；
（3）根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，进行求解即可．
【详解】（1）解：解： 点 的对应点 的坐标为 ，
先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到 ，
如图， 即为所求，
（2）如图， 即为所求．
（3）如图，若将 绕点 旋转可得到 ，则点 的坐标为 ．
【变式9-1】（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图， 的顶点坐标分别为 ， ， ．(1)画出 关于y轴的对称图形 ；
(2)画出 关于原点的中心对称图形 ；
(3)画出 绕点A顺时针旋转90°的旋转对称图形 ，直接写出 的坐标 ．
【答案】(1)图见详解
(2)图见详解
(3)图见详解，
【分析】本题主要考查轴对称图形的性质、中心对称图形及旋转的性质，熟练掌握轴对称图形的性质、中
心对称图形及旋转的性质是解题的关键；
（1）分别得出点A、B、C关于y轴对称的对应点，然后问题可求解；
（2）分别得出点A、B、C关于原点对称的对应点，然后问题可求解；
（3）根据旋转的性质进行作图即可．
【详解】（1）解：所作 如图所示；（2）解：所作 如图所示；
（3）解：所作 如图所示；由图可知 的坐标为 ；
故答案为 ．
【变式9-2】（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示
的平面直角坐标系， 的顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1)作出 向左平移4个单位长度后得到的 ，并写出点 的坐标；
(2)作出 关于原点 对称的 ，并写出点 的坐标； 可看作 以点
（____________，____________）为旋转中心，旋转____________ 得到的．
(3)已知 关于直线 对称的 的顶点 的坐标为 ，请直接写出直线 的函数解析式．【答案】(1)图形见详解，
(2)图形见详解， ； ， ，180
(3)
【分析】本题主要考查了图形的平移，图象的旋转，线段中点坐标，一次函数的解析式等内容，解题的关
键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
（1）利用平移的性质进行画图即可，通过图形和坐标系确定点的坐标；
（2）利用旋转的性质进行画图即可，通过图形和坐标系确定点的坐标，根据旋转的性质确定旋转中心；
（3）根据对称点确定线段中点的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式即可．
【详解】（1）解：如图 即为所求，
此时， ；
（2）解：如图， 即为所求，此时， ，
可看作 以点 为旋转中心，旋转 得到的，
故答案为： ， ，180；
（3）解：如图所示，
因为A的坐标为 ， 的坐标为 ，则线段 的中点坐标为 ，
所以直线必过点 ，且直线 垂直平分线段 ，
∵ 可以看作 的正方形的对角线，
∴直线 经过点 ，假设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得，解得
所以直线 的解析式为 ．
【变式9-3】（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是
， ， ．
(1)将 绕点C旋转 ，点A的对应点为 ，直接在图中画出旋转后的 ；
(2)平移 ，点A的对应点 的坐标为 ，点B的对应点为 ，直接在图中画出平移后的 ；
(3)若将 绕某一点旋转可以得到 ，旋转中心的坐标为______（直接填空）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转、平移，根据旋转和平移的性质正确作图是解题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）根据平移的性质作图即可；
（3）根据旋转图形的旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求：（2）解：∵ ，平移 ，点A的对应点 的坐标为 ，
∴ 的平移方式为向右4个单位长度，再向下4个单位长度，
如图所示， 即为所求：
（3）解：由坐标系可得， ， ， ， ，
∴ 的中点坐标为 ， 的中点坐标为 ，
∴ 的垂直平分线与 的垂直平分线交于点 ，
∵将 绕某一点旋转可以得到 ，
∴旋转中心的坐标为 ．
故答案为： ．
题型10 旋转的综合探究性问题
【例10】（24-25八年级上·福建福州·期末）已知，在 中， ， ，点 是 边
上的一点（不与点 ， 重合），连接 ．(1)如图1，将线段 绕点A逆时针方向旋转 得到线段 ，连接 ．求证： ， ．
(2)如图2，点 ， 都在线段 上，且 ．
①求证： ．
②若 ， ，求 的周长．
【答案】(1)见详解
(2)①见详解；②
【分析】（1）证明 即可得到；
（2）①将线段 绕点A逆时针方向旋转 得到线段 ，连接 ，证明 可得 ，
从而可证明结论；
②过A作 于H，然后根据勾股定理分别求出 三边即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵ ，将线段 绕点A逆时针方向旋转 得到线段 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
，即 ，
；
（2）①证明：将线段 绕点A逆时针方向旋转 得到线段 ，连接 ，如图所示：∵ ，
，
又∵ ，
，
，
由（1）可知： ， ，
∴ ，
∴ ；
②解：过A作 于H，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，∴ 的周长为 ．
【点睛】本题考查勾股定理及等腰直角三角形的相关知识，解题的关键是全等三角形的判定定理的应用．
【变式10-1】（24-25九年级上·江西赣州·期中）在 中， ．
(1)如图1，D为 边上一点（不与点B，C重合），将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ．
请直接写出线段 与 的关系；
(2)如图2，D为 外一点，且 ，仍将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，
．
①求证： ；
②若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）证明 即可；
（2）①由旋转性质得 ， ，从而有 ，再结合 ，由
即可证明 ；
②由①得 ，由旋转的条件知 ，从而得 ，在 中，由勾股定理即
可求解．
【详解】（1）解：由旋转知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）①证明：由旋转知， ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②由①知， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
由勾股定理得 ，
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，证明
三角形全等是解题的关键．
【变式10-2】（23-24八年级下·山东日照·期末）已知四边形 和四边形 均为正方形，连接
，直线 与 交于点 ．
(1)如图1，当点 在 上时，线段 与 的数量关系是___________，线段 与 的位置关系是
___________；
(2)如图2，将正方形 绕点 逆时针旋转任意角度，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)若 ， ，正方形 在绕点 逆时针旋转过程中，当点 、 、 三点共线时，请直接写
出线段 的长．【答案】(1) ，
(2)仍然成立
(3) 或
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ，由余角的性质即可得
的度数；
（2）由“ ”可证 ，可得 ，由余角的性质即可得 的度
数；
（3）分两种情况画出图形，根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 和四边形 是正方形，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：（1）的结论仍然成立，理由如下：
如图2，设 交 于 ，∵四边形 和四边形 是正方形，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
∴ ；
（3）解：正方形 绕点 旋转过程中，点 、 重合，此时线段 的长为 或 ，
理由如下：①如图：
∵ ，四边形 和四边形 均为正方形，
，
∵直线 与 交于点 ，点F， H重合，
∴点 、 、 在同一直线上，，
，
，
；
②如图：
∵ ，四边形 和四边形 均为正方形，
，
∵直线 与 交于点 ，点F， H重合，
∴点 、 、 在同一直线上，
，
，
，
；
综上，正方形 绕点 旋转过程中，点F， H能重合，此时线段 的长为 或 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，
勾股定理，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
【变式10-3】（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）（1）如图1，正方形 的边长为4，对角线 、
相交于点 是边 上点（点 不与 、 重合），将射线 绕点 逆时针旋转 ，所得射线与
交于点 ，则四边形 的面积为___________．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形 的对角线的交点 是矩形 的一个顶点，将矩形 绕着点 旋转，与边 相交于点 ． 与边 相交于点 ，连接 ，猜想 之间的数量关系．并进
行证明．
【拓展应用】
（3）如图3，在直角 中， ， ， ， 的顶点 在边 的中点处，
，它的两条边 和 分别与直线 相交于点 可绕着点 旋转，当
时，则 的长度为___________cm．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）如图①中，证明 即可解决问题．
（2）延长 交 于 ，连接 ， ，证明 ，得到 ， ，再
根据 ，得到 ，最后根据 ，得到 ；
（3）根据 在线段 上和线段外分情况讨论，延长 至 ，使 ，连接 ， ，证明
，得到 ， ，结合 得到 ，再证明，得到 ，即 ，最后根据 中， ，
代入 列方程求解即可．
【详解】解：（1）如图，
∵正方形 的边长为4，对角线 、 相交于点 ，
∴ ， ， ，
由旋转得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）如图1，延长 交 于 ，连接 ， ，
∵矩形 的对角线的交点 是矩形 的一个顶点，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）当 在线段 上时，如图，延长 至 ，使 ，连接 ， ，
∵ 在边 的中点处，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
当 在线段 外时，如图，延长 至 ，使 ，连接 ， ，
∵ 在边 的中点处，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性
质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，
属于中考常考题型．
基础巩固通关测
一、单选题
1．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）已知点 ，若点B与点A关于原点成中心对称，则点B的坐
标是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点成中心对称的点的坐标特征，原点的对称点坐标是原坐
标的相反数进行求解即可．
【详解】解：由题意，点B的坐标是 ；
故选D．
2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）下列标识中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋
转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此即可求解．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将 绕点A按逆时针方向旋转 得到 ，若
，则 的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了利用旋转的性质求解，解题关键是掌握旋转的性质．
直接利用旋转的性质求解．
【详解】解：∵将 绕点A按逆时针方向旋转 得到 ，∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，解得： ，
故选：C．
4．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕， 与地面的夹角
， ，小明同学将它扶起（绕点 逆时针旋转）后平放在地面上， 的对应线段为
，在这一过程当中，簸箕柄 绕点 旋转了（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，理解图示，根据平角，旋转角的计算即可求解．
【详解】解：如图所示，根据题意， ，
∴当小明同学将它扶起（绕点 逆时针旋转）后平放在地面上时，旋转角为 ，
∴ ，
故选：D ．
二、填空题
5．（20-21九年级下·海南海口·自主招生）在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是
．
【答案】【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反
数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是 ，
故答案为： ．
6．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，正方形网格中， 绕某一点逆时针旋转n度后得到
．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 ．
【答案】B点
【分析】本题主要考查图形旋转的性质，牢记旋转中心的确定方法（对应点连线的垂直平分线的交点即为
旋转中心）是解题的关键．
根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，则对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】如图，连接 ， ，分别作线段 ， 的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点 ，点
即为旋转中心．
故答案为： 点．
7．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将 绕点 逆时针旋转一定的角度得到 ，此时边
经过点 ，若 ， ，则 的长是 ．【答案】
【分析】本题考查旋转的性质，由旋转得出 ，由 解题．
【详解】解： 由 绕点 逆时针旋转一定的角度得到，
，
．
故答案为： ．
8．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，每个小正方形的边长均为1， 的三个顶点都是网格线的
交点，已知B点的坐标为 ，将 绕着点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为 ．
【答案】
【分析】画出 绕点C顺时针旋转90°后点A的对应点的 ，然后写出点 的坐标即可．
【详解】如图，A点坐标为 ，将 绕点C顺时针旋转90°，
则点A的对应点的 的坐标为 ．
故答案为： ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转
后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
三、解答题
9．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图， 是正方形 的边 上一点， 是边 上一点，
逆时针旋转后能够与 重合．
(1)写出它的旋转中心；
(2)旋转角至少是多少度？
(3) ______ （填“＞”或“＝”或“＜”）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）本题考查的是旋转中心的确定；由 点旋转后的对应点是其本身 ，从而可得旋转中心；
（2）本题考查的是旋转角；由旋转前后B，D为对应点，所以 ， 的夹角为旋转角，从而可得答案，
掌握旋转角的定义是解本题的关键；
（3）本题考查的是旋转的性质，正方形的性质，由旋转前后的对应线段线段可得 ，从而可得答
案；熟记旋转的性质是解本题的关键．
【详解】（1）解： 逆时针旋转后能够与 重合：旋转中心是点 ．
（2） 逆时针旋转后能够与 重合：旋转角至少是 ；
（3）∵正方形 ，∴ ，
由旋转可得： ，
∴ ．
10．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图， 的顶点坐标分别为 ．
(1)画出 关于点 成中心对称的 ；
(2)将 绕点 顺时针旋转 ，画出旋转后的 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了作中心对称图形，旋转作图，解题的关键是作出对应点的位置．
（1）作出点A、B、C关于点O的对称点 、 、 ，然后顺次连接即可；
（2）作出点A、B绕点C顺时针旋转 的对应点 、 ，然后顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求作的三角形；（2）解：如图， 即为所求作的三角形．
11．（20-21九年级上·广西南宁·期中）如图，等腰 中， ， ，点D在 上，
将 绕点B沿顺时针方向旋转 ，得到 ．
(1)求 的度数；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，本题中利用全等三
角形得出线段和角相等是解题的关键．
（1）由等腰直角三角形的性质和旋转的性质，明三角形 和 全等，得到 ，
，即可求解；
（2）由勾股定理可得， ，从而得到 ， ，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，∴ ，
∵ 是由 旋转得到的，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
（2）解：在等腰直角三角形 中，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
由（1）知 且 ，
∴ ，
∴DE＝ ．
12．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在 中， ， ．将一块等腰直角三
角板的直角顶点放在 斜边 的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线
于点D、E，如图1，2，3是旋转三角板得到的三种情况．
(1)如图1，当点D是 的中点时，点E恰为 的中点，请写出线段 之间的数量关系：
________________；
(2)当三角板绕点P旋转至图2所示的位置时，判断线段 之间的数量关系，并说明理由；(3)三角板绕点P旋转时， 能否成为以 为腰的等腰三角形？若能，请直接写出 的长；若不能，
请说明理由．
【答案】(1) （或 ）
(2) ，理由见解析
(3) 能成为以 为腰的等腰三角形， 的长为0或 或
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；此题是分类讨论题，应
分情况进行论证，不能漏解．
（1）根据三角形中位线定理和等腰三角形的性质求解即可．
（2）连接 ，通过证明 ，得出 ，即可求解．
（3）分 两种情况进行讨论．
【详解】（1）解： （或 ）
理由：根据题意可得 ，
∵点D是 的中点，点E为 的中点，点P是 的中点，
∴ ，
∴ （或 ）
（2）解： ．
理由如下：连接 ．
∵ 是等腰直角三角形，点P是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： 能成为以 为腰的等腰三角形，
，
，
∵点 是斜边 的中点，
，
当 时，此时点 与点 重合， ；
当 在线段 上时， ；
当 在 的延长线上， ；
综上， 能成为以 为腰的等腰三角形， 的长为0或 或 ．
能力提升进阶练
一、单选题
1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重
合，至少应旋转的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这
种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，该图形被平分成五部分，
因而每部分被分成的圆心角是 ，因而旋转 的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】解： ，
因而一个正五角星绕着它的中心至少旋转 能与自身重合．
故选：D．
2．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋
转得到 ，点C的对应点 恰好落在斜边 上，连接 ．若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，掌握相关知识是解决问题的关键．根
据旋转的性质可得 ， ， ，根据等腰三角形两底角相等求出
，再根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．
【详解】解： 旋转得到 ，点 落在 上，
， ， ，
，．
故选：A．
3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 若点 ， ，
在同一条直线上， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握旋转前后对应角相等，对应边相等．
由旋转可得 ， ， ，即可得 ，故
．
【详解】解： 将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
， ， ，
，
，
故选： ．
4．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，四边形 为正方形， 为对角线 上一点，连接 ，
将 绕着点 顺时针旋转 交 的延长线于点 ， ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点 作 的平行线交 于点 ，交 于点 ，设 ，则 ，由正方形的性质
可得 ， ， ， ，即得四边形 为矩形，得到 ，
，利用勾股定理可得 ，进而得到 ，由旋转的性
质得 ， ，再根据余角性质得到 ，可得 ，得到
，即可得 ，得到 ，最后代入计算即可求解．
【详解】解：过点 作 的平行线交 于点 ，交 于点 ，如图，
设 ，则 ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ， ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
在 中，
，
，
在 中，
，
∴ ，∵ 绕着点 顺时针旋转 交 的延长线于点 ，
， ，
， ，
∴ ，
在 和 中，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性
质，正确作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
5．（20-21九年级上·山东济宁·期中）若点 与点 关于原点对称，则 是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，有理数的乘方，熟练掌握关于原点对称的点坐标的横
纵坐标均互为相反数是解题的关键．
由题意知， ， ，计算求出 ， 的值，然后代值求解即可．
【详解】解：∵点 与点 关于原点对称，
∴ ， ，
解得， ， ，
，故答案为：1．
6．（2023九年级上·黑龙江哈尔滨·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，有一个矩形 ，边 在x轴
上，边 在y轴上， ， ．将矩形 绕着点O顺时针旋转90度，得到矩形 再将
矩形 绕着点 顺时针旋转 得到矩形 ，依次旋转下去，则经过第113次旋转，点O的对
应点的横坐标是
【答案】168
【分析】本题考查了坐标与旋转结合的找规律，根据旋转依次找出所求点的对应坐标，分析得到规律即可
找到其相应的坐标．
【详解】解：在矩形 中， ， ，
由旋转可知 ， ， ，
∴第1次旋转后，点O的对应点 ，
第2次旋转后，点O的对应点 ，
第3次旋转后，点O的对应点 ，
第4次旋转后，点O的对应点 ，
然后再重复以上过程，旋转4次一个循环，每一个循环结束，点O的对应点横坐标增加6个单位，在一个
循环中纵坐标依次为0，1，2，0，横坐标依次为0，1，4，6，……，
，
∴经过113次旋转，点O的对应点横坐标为 ．
故答案为：168．
7．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在矩形 中， ，点P为边 上的一个动
点，线段 绕点B顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．当点 落在边 上时， 的值为 ；当线段 的长度最小时， 的度数为 ．
【答案】 /75度
【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形，矩形的性质，直角三角形 ；
过点P作 交于E点，设 ，则 ，结合直角三角形的性质得到
，即可求出；设 交 于点O，当点 落在 上时，点 与点O重合，
此时 ，当 时， 的长度最小，再结合矩形的性质计算求解即可．
【详解】解：过点P作 交于E点，
设 ，
∵线段 绕点B顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ 是矩形，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ；
如下图，设 交 于点O．
当点 落在 上时，点 与点O重合，
此时 ，
当 时， 的长度最小．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
8．（2025·贵州黔东南·二模）如图，P是正方形 内一点， ， ， ，将线段 以点
A为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，下列结论：① 可以由 绕点A逆时针旋
转 得到；②点P与 的距离为4；③ ；④ ；其中正确的结论是
．（填序号）【答案】①③
【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的判断和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，
熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键；
利用旋转的性质和正方形的性质，证明 ，可判定结论①正确；
利用勾股定理可得 ，可判定结论②错误；
利用等腰三角形的性质推出 ，利用勾股定理逆定理可推出 ，可判定结论③正确；
过点D作 交 延长线于点E，利用勾股定理可求出 ，进而可判定结论④错误．
【详解】由旋转可知， ， ，
四边形 是正方形，
， ，
， ，
，
，
可以由 绕点A逆时针旋转 得到，
故结论①正确；
由勾股定理得 ，
故结论②错误；
， ，
，
由 得 ，
， ，
，
为直角三角形，且 ，
，故结论③正确；
如图，过点D作 交 延长线于点E，则 ，
， ，
，
，
由勾股定理得， ，即 ，
解得 ，
， ，
由勾股定理得 ，
正方形 的面积等于 ，
故结论④错误；
综上可知，正确的结论是①③．
故答案为：①③．
三、解答题
9．（2024九年级上·青海西宁·竞赛）如图所示：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为
个单位长度；
(1)将 向 轴正方向平移 个单位得 ；(2)画出 关于原点 对称的 ，并写出 的坐标；
(3)将 再以点 为旋转中心，顺时针旋转 得 ，画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母．
【答案】(1)见解析
(2)见解析， 的坐标为
(3)见解析
【分析】本题考查了利用平移作图，中心对称作图，旋转作图，熟练掌握作图方法是解题的关键．
（1）根据网格结构找出平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出关于原点 对称的对应点的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写
出点的坐标；
（3）根据网格结构找出以点 为旋转中心，顺时针旋转 后的对应点的位置，然后顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：如图所示， 即为所求， 的坐标为 ；（3）解：如图所示， 即为所求．
10．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）已知 ，将其绕点 顺时针旋转一个角度 得到
．（点 ， 的对应点分别是 ， ）
(1)如图1，连接 ，若 ， ， ， ，求 ， 两点间的距离（即 的长）
(2)如图2， ， ， 三点在一条直线上，且 ，求证： ．
【答案】(1)9(2)见详解
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
（1）先由旋转的性质得 ， ， ， ，故 是等
边三角形，运用 ，得 ， ， 三点在一条直线上，进行列式计算，即可作答．
（2）先由旋转的性质得 ， ， ， ，根据三角形内角和性质得
，因为 ，则 ，结合 ，
， 三点在一条直线上，得 ，代入数值解得 ，运用勾股定理得
，即可作答．
【详解】（1）解：∵将 绕点 顺时针旋转一个角度 得到 ，且 ，
∴ ， ， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ， 三点在一条直线上，
∴ ；
（2）解：∵将 绕点 顺时针旋转一个角度 得到 ，
∴ ， ， ， ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， 三点在一条直线上，
∴ ，
即 ，
解得 ，
故 ，∴ ，
∵ ，
∴ ．
11．（24-25八年级下·陕西西安·期末）【问题提出】如图（1）， 是正方形 内一点，将 绕点
顺时针方向旋转与 重合，若 ，则 ___________（直接写出答案）
【问题探究】如图（2），点 是等边 内一点， ，求 的度数．
对于这个问题，小明是这样思考的：将 绕点 顺时针方向旋转 至 处，连接 ，根据所学
习的数学知识便可以求出 的度数．请你根据小明的想法，作出图形，并求出 的度数．
【问题解决】如图（3）， 为等腰直角三角形， ， 是 内部一点，
当 取得最小值时，请求出 的面积．
【答案】问题提出： ；问题探究： ；问题解决：
【分析】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直
角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想解决问题；
问题提出：依题意得，旋转中心为点 ，旋转角 ，对应点 、 到旋转中心的距离相
等，即 ，可证 为等腰直角三角形，由勾股定理求 ；
问题探究：由旋转可知： ，先证明 是等边三角形，再证明 是直角三角形，把
问题转化为 ；问题解决：如图③中，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ，过点 作 交
的延长线于点 ．由旋转的性质可知， ， ， ，
，推出 ，可得 ，解直角三角形，求
出 ，当 的取得最小值时 ， ． ． 共线，过点 作 于点 ．求出 ，
的值，可得结论．
【详解】解：问题提出：根据旋转的性质可知， ， ，
为等腰直角三角形，
由勾股定理，得 ，
故答案为： ；
问题探究：如图，
由旋转可知： ，
， ， ，
又 ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，是直角三角形，
，
，
故答案为： ；
问题解决：如图（3）中，将△ 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ，过点 作
交 的延长线于点 ．
由旋转的性质可知， ， ， ， ，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形，
，
，
，
，的最小值为 ，
此时 ， ， ， 共线，
过点 作 于点 ．
，
，
，
是等腰直角三角形， ，
，
，
．
12．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）【课本再现】
（1）如图1，正方形 的对角线 、 相交于点O，正方形 的顶点A′与点O重合．将正
方形 绕点A′旋转，在这个过程中，若连接 ，则 、 、 之间的数量关系为___________．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形 对角线的交点O是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点E， 与边
相交于点F，连接 ，矩形 可绕着点O旋转，猜想 ， ， 之间的数量关系，并进行
证明．
【拓展应用】（3）在菱形 中， ，E、F分别是边 、对角线 上一点，且 ，以 、 为邻
边作菱形 ，再将菱形 绕点A逆时针旋转一定角度后得到新的菱形 如图3，连接
，点P为线段 的中点，连接 、 ．
①判断 与 的数量关系，并进行证明；
②若 ， ，菱形 在旋转过程中，当 最小时， 的面积为___________．
【答案】（1） ；
（2） ，见解析；
（3）① ，见解析；② ．
【分析】（1）利用正方形的性质准备条件，证明 ，再根据全等三角形的性质，结合勾股定
理即可得出结论；
（2）猜想： ，连接 ，交 于G，连接 ，证明 ，再利用勾股
定理证明即可；
（3）①延长 至Q，使 ，连接 ， ，DQ，先证明 ，再证明
，利用锐角三角函数即可证明；
②分析可知M′是 的中点，作 ，交 的延长线于W，先求出 ，再求出 即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
同理可得， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）证明：猜想 ，
如图1，
延长 ，交 于G，连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ；
（3）①证明：如图2，
，理由如下：延长 至Q，使 ，连接 ， ，DQ，
∵点P为线段 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 和四边形 是菱形，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ， 是等边三角形，
∴ ，∠ACD=60°， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
②解：由①知， ， ，∴ ，
∵ ，
∴当F′在 上时， 最小，即CP最小，
如图3，
此时M′使 的中点，作 ，交 的延长线于W，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形的性质等，
做辅助线和构造全等三角形是解决问题的关键．
