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第二十三章 旋转
考点1 图形的旋转
1.旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内 某一点 O 转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，
转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
2.旋转的性质
旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对
应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
3.利用旋转性质作图旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转
中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作
旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接
的各点。
考点2 中心对称
1.中心对称的定义
中心对称：把一个图形绕着某一个点 旋转 18 0 ° ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关
于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：
中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重
合。
2.作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。
最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。
3.中心对称的性质
有以下几点：
（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形；
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
4.中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点 旋转 18 0 ° ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心
对称图形，这个点就就是它的对称中心。
5.关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为
（-x,-y）。
易错01 求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标
1.易错点：未准确把握旋转方向（顺时针或逆时针），导致坐标计算错误；对旋转后点与旋转中心的相对
位置关系分析不清。
2.注意事项：明确旋转方向，根据方向结合几何方法（如构建直角三角形），利用旋转性质（对应点到旋转中心距离相等、连线夹角为旋转角）计算坐标。
例题：（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）在平面直角坐标系中， ，线段 的中
点绕 旋转 后对应点的坐标为 ．
【答案】 或
【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，先求得线段 的中点 ，然后分
类讨论，画出图形，结合图形，即可求解．
【详解】解：∵ ，设 为 的中点，
∴ ，
如图所示，当 绕点 逆时针旋转 得到 ，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即
当 绕 顺时针旋转 时，同理可得
故答案为： 或 ．
易错02 坐标与旋转规律问题1.易错点：混淆顺时针与逆时针旋转方向，对不同旋转角度（如90°、180°）下坐标变换规律记忆不清，
导致计算错误。
2.注意事项：明确旋转方向和角度，牢记各角度下坐标变换公式，结合图形辅助分析，确保方向和公式运
用准确。
例题：（24-25九年级上·甘肃天水·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形 绕点O顺时针
旋转 后，得到正方形 ，以此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形 ．如果点C
坐标为(0,2)，那么点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与旋转规律问题
【分析】本题考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点 对应点的坐标，发现规律即可解决问题．
根据正方形的运动发现点 的对应点的坐标按旋转后点 的对应点的坐标按 ， ， ，
， ， ， ， 循环出现，据此即可得到答案．
【详解】解： 四边形 是正方形，且点C坐标为(0,2)，
点 的坐标为 ，则 ，
点 的坐标为 ，依次类推，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
由此可见，旋转后点 的对应点的坐标按 ， ， ， ， ， ，
， 循环出现，
由 ，得到点 的坐标为 ，
故答案为： ．
易错03 已知两点关于原点对称求参数
1.易错点：对关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数）记忆模糊，代入时符号出错，导
致参数求解错误。
2.注意事项：牢记“关于原点对称，横、纵坐标都变号”的规律，代入点的坐标时仔细核对符号，确保计
算准确。
例题：（24-25九年级上·广东韶关·期末）在平面直角坐标系中，点 与点 关于原
点对称，则 的值为 ．
【答案】 /
【知识点】加减消元法、求关于原点对称的点的坐标
【分析】根据坐标与原点对称得到横纵坐标互为相反数列出方程即可求解．本题考查了坐标的对称特征：关于原点对称时横坐标、纵坐标都互为相反数；根据对称特征列方程组是解
题关键．
【详解】∵点 与点 关于原点对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
易错04 旋转综合题——几何变换
1.易错点：对旋转性质（对应点到旋转中心距离、连线夹角等）理解不深，综合运用时易忽略，导致图形
关系分析错误。
2.注意事项：牢固掌握旋转性质，结合几何图形（如三角形、四边形），分析对应点、角、线段关系，逐
步推导解决问题。
例题：已知：在 中， ， ， ，点 为射线 上一动点，连接 ，
将 绕点 逆时针旋转，使点 落在边 上的点 处， 为点 的对应点，连接 ．
(1)如图 ，当点 在线段 上时，连接 ．
填空： 的形状为_____； 与 的数量关系为____．
(2)如图 ，在（1）的基础上，当 时，判断四边形 的形状，并说明理由．
(3)如图 ，连接 ，当 时，直接写出 的长．
【答案】(1)等边三角形，
(2)菱形，理由见详解(3)
【分析】（1）由旋转的性质可得 ，所以 ， ， ，
，又因为 ， ，所以 ，
，又因为 ，所以 是等边三角形．因为
， ， ，所以 ， ，又因为
， ，所以 ， ，因为 ，
，故 的形状为等边三角形， 与 的数量关系为 ．
（2）由（1）得 ， ，因为 ， ，
，所以 ，因为 ，所以
， ， ，因为 ，
，所以四边形 是平行四边形，又因为 ，所以四边形 是菱形．
（3）延长 ，交 于点 ，由上可得 为等边三角形， ，又因为 ，
， 和 均是等腰直角是等腰直角三角形， ，
，即 ， ，因为
， ，
，即 ，因为 ，
，所以 ， ，因为 ， ，所以
， ，因为 ，所以 ，
， ，因为 ， ，所以 ，所以 ．
【详解】（1）解：由旋转的性质可得 ，
∴ ， ， ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故 的形状为等边三角形， 与 的数量关系为 ．
（2）四边形 是菱形．
理由：由（1）得 ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，又∵ ，
∴四边形 是菱形．
（3）延长 ，交 于点 ，如图所示：
由上可得 为等边三角形， ，
又∵ ， ，
∴ 和 均是等腰直角是等腰直角三角形， ，
，
即 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性
质和判定，菱形的判定，解直角三角形的相关计算，熟练掌握以上性质是解题的关键．
1．（24-25九年级上·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点为 ，
则 ．
【答案】
【知识点】有理数的乘方运算、求关于原点对称的点的坐标
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出 ， 的值是解题关键．直接利用两个点关于
原点对称时，它们的坐标符号相反，进而得出 ， 的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解： 点 关于原点对称的点为 ，
， ，
则 ．
故答案为： ．
2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中， 由 绕点
旋转得到，则点 的坐标为 ．【答案】
【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，画出 的中垂线，得到点 的
横坐标，设出 点坐标，根据 ，列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵ 由 绕点 旋转得到，
∴ ，
∵ ，
∴点 的横坐标为： ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
故答案为： ．3．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图， 的顶点坐标分别为 ， ， ．如果
将 绕 点顺时针旋转 ，得到△ ，那么点 的对应点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，过点C作 轴，分别过
作直线 的垂线，垂足分别为D、E，则 ，由旋转的性质可得
，则可证明 ，再证明 得到
，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点 作 轴，分别过 作直线 的垂线，垂足分别为 、 ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．4．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ，点 ，连接
，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，再将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
连接 ，……，绕点 连续旋转24次得到线段 ，那么线段 的长度为 ．
【答案】3
【知识点】坐标与旋转规律问题
【分析】根据旋转的性质，得到线段 每旋转4次，回到初始位置，即可求出旋转24次线段 的位置，
即可求解，
本题考查了，旋转的性质，坐标与图形，解题的关键是：熟练掌握旋转的性质．
【详解】解：由题意可得，线段 每旋转4次，回到初始位置，
∵ ，
∴线段 与线段 重合，点 与点 重合，
∴ ，
故答案为：3．
5．（24-25八年级上·全国·期末）将 按如图方式放在平面直角坐标系中，其中 ，
，顶点 的坐标为 ，将 绕原点逆时针旋转，每次旋转 ，则第 次旋转结束时，点 对应点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与旋转规律问题
【分析】本题主要考查图形的旋转规律，坐标与图形，掌握题中规律是解题的关键．根据
得 ，由 绕原点逆时针旋转，每次旋转 ，每旋转6次回到原位，
可知第2025次旋转结束时，相当于 由此位置旋转 ，进而可求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 绕原点逆时针旋转，每次旋转 ，每旋转6次回到原位，
∴ ，
∴第2025次旋转结束时，相当于 由此位置旋转 ，
∴第2025次旋转结束时，点 对应点与点A关于原点对称，
∴点 对应点的坐标为 ．
故答案为： ．
6．在 中， 为 边上一点（不与点 重合），将线段 绕点 逆时针旋转
得到 ．
(1)如图1，连接 ，则线段 与 的数量关系是_________，位置关系是________；(2)如图2，当点 在 的延长线上时，连接 ，写出此时线段 之间的等量关系，并加以证明；
(3)如图3，在四边形 中， ．若 ，请直接写出 的长．
【答案】(1) ，
(2) ，证明见解析
(3)
【分析】（1）证明 ，根据全等三角形的性质解答；
（2）证明 ，得到 ，根据勾股定理计算即可；
（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明 ，得到 ，证明 是直角
三角形，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为 ， ；
（2） ，理由是：如图2，∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图3，将 绕点A逆时针旋转 至 ，连接 ，则 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理得： ，
∴ ，
中，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的
判定定理和性质定理是解题关键．
7．已知：正方形 中， ，点E，F，G，H分别在边 ， ， ， 上．
(1)如图1，若 ， ，则 _______；
(2)如图2，若 ，点E，F分别是 ， 上的动点，求证： 的周长是定值；
(3)如图3，若 ， 和 交于点O，且 ，求 的长度；(4)如图4，若点P为正方形 内一点，其中 ， ， ，则 ______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）先证明 得 ，在 中可求出 的
度数；
（2）如图：延长 到点K，使 ，连接 ，构造全等三角形，证明 ，即可求得
的周长；
（3）如图3：过点D作 ，交 于点L，作 ，交 于点M，连接 ，运用（2）中
的结论和勾股定理求出 的长，再用勾股定理求出 的长即可解答；
（4）如图，将 绕点B顺时针方向旋转 得 ，且 ．易得 、 、
，则 是等腰直角三角形， ，即 ；再运用
勾股定理逆定理得到 ，最后根据角的和差即可解答．
【详解】（1）解：如图1，∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）解：如图2：延长 到点K，使 ，连接 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 的周长为40．
（3）解：如图3：过点D作 ，交 于点L，作 ，交 于点M，连接 ，
∵ ，
∴四边形 、四边形 、四边形 都是平行四边形，
∴ ， ， ，∴ ；
由（2）得， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得∶ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（4）解：如图，将 绕点B顺时针方向旋转 得 ，且 ．
∴ ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
在 中， ，
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8．如图1，点 是正方形 两对角线的交点，分别延长 到点 ， 到点 ，使 ，
，然后以 、 为邻边作正方形 ，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，正方形 固定，将正方形 绕点 逆时针旋转 角（ ），得到正方形
；
①在旋转过程中，当 是直角时，求 的度数；
②若正方形 的边长为2，在旋转过程中， 长的最大值为______．
【答案】(1)见解析
(2)①当 时， 或 ；②
【分析】（1）延长 交 于 ，根据四边形 是正方形，可推出 ，得到
，再由 ，得到 ，推出 ，得证；
（2）①在旋转过程中， 是直角时有两种情况，当 由 增大到 过程中，由 ，
，得到 ，再由 ，推出 ，即可；当 由 增大到
过程中， ，同理可求 ，即可求得答案；②在图1连接 ，根据正方形性质
求出 和 ，由题意可知当 ， 、 、 在一条直线上，此时 的长最大，由 即
可得到答案．
【详解】（1）如图，延长 交 于 ，
点 是正方形 两对角线的交点，， ，
四边形 是正方形
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
即 ；
（2）①在旋转过程中， 成为直角有两种情况：
如图2， 由 增大到 过程中，
当 时，
，
在 中，
，
， ，
，
，即 ；
由 增大到 过程中，当 时，如图
同理可求 ，，
综上所述，当 时， 或 ；
②如图，连接 ，
四边形 是正方形，
， ，
正方形 的边长为2，
，
，
则 ，
当 时，
、 、 在一条直线上，此时 的长最大，
最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，平
行线的性质，勾股定理，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
