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16.2 二次根式的乘除
知识点1：二次根式的乘除法法则
1.二次根式的乘法法则
√a⋅√b=√ab(a≥0,b≥0)
将上面的公式逆向运用可得：
√ab=√a⋅√b(a≥0,b≥0)
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
2.二次根式的除法法则
3. 乘除法对比列表记忆
类型 法则 逆用法则
二次根式的乘法
二次根式的除法
要点诠释：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如
.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 .
知识点2：分母有理化
1.定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2.关键：把分子、分母都乘以一个适当的式子，化去分母中的根号。
3.最简二次根式（1）被开方数不含分母；
（2）被开放数中不含开得尽方的因数或因式。
【例题1】（2020•济宁）下列各式是最简二次根式的是（ ）
√5
A．√13 B．√12 C．√a3 D．
3
【答案】A
【解析】A、√13是最简二次根式，符合题意；
B、√12=2√3，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 |a| ，不是最简二次根式，不符合题意；
√a3= √a
√5 √15
D、 = ，不是最简二次根式，不符合题意．
3 3
【点拨】利用最简二次根式定义判断即可．
√3
【例题2】（2020•聊城）计算√45÷3√3× 的结果正确的是（ ）
5
5
A．1 B． C．5 D．9
3
【答案】A
√15
【解析】原式=3√5÷3√3×
5
√3 √15
=3√5× ×
9 5
√5×3×15
=
15
15
=
15
＝1．
【点拨】根据二次根式的性质化简二次根式后，再根据二次根式的乘除法法则计算即可．2 2
−
【例题3】计算
1−√2+√3 1+√2+√3
【答案】见解析。
【解析】先通分，找准分子公因数。
1+√2+√3−1+√2−√3
=2×
(1+√3) 2 −(√2) 2
原式
2√2
= =√2(√3−1)
√3+1
=√6−√2
一、选择题
1．（2020•济宁）下列各式是最简二次根式的是（ ）
√5
A．√13 B．√12 C．√a3 D．
3
【答案】A
【解析】A、√13是最简二次根式，符合题意；
B、√12=2√3，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 |a| ，不是最简二次根式，不符合题意；
√a3= √a
√5 √15
D、 = ，不是最简二次根式，不符合题意．
3 3
【点拨】利用最简二次根式定义判断即可．
2.（2019•湖北省荆门市）﹣ 的倒数的平方是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
【答案】B．
【解析】根据倒数，平方的定义以及二次根式的性质化简即可．﹣ 的倒数的平方为： ．
3.下列等式不一定成立的是（ ）
A． = （b≠0） B． a3•a﹣5= （a≠0）
C． a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b） D． （﹣2a3）2=4a6
【答案】A
【解析】分别利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质和平方差公式以及积的乘方运算法则化简求出
即可．
A． = （a≥0，b＞0），故此选项错误，符合题意；
B．a3•a﹣5= （a≠0），正确，不合题意；
C．a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b），正确，不合题意；
D．（﹣2a3）2=4a6，正确，不合题意．
4.下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同
时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
A．符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
B．原式= ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C．原式= ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
D．被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误。
5．下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
A. = ，故此选项错误；
B. 是最简二次根式，故此选项正确；
C. =3，故此选项错误；
D. =2 ，故此选项错误。
6．下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条
件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最
简二次根式，否则就不是．
因为 = =2 ，因此 不是最简二次根式．
7.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）[
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】A．被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；
B．被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；
C．被开方数含分母，故C不符合题意；
D．被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意。
8.－的倒数是( )
A. B. C．－ D．5
【答案】C
【解析】－的倒数是－，即－.
9．若m是实数，则下列各数一定是负数的是( )
A．－m2 B．－ C．－(m＋1)2 D．－－1
【答案】D
【解析】≥0，所以－－1一定是负数．
10.＋1和－1的关系是( )
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．以上都不是【答案】B
【解析】＋1与－1的积是1，所以互为倒数．
二、填空题
11.计算 12 3的值是 ．
【答案】6.
【解析】 12 3= 12 3 36=6.
12．计算 的结果是 ．
【答案】5
【解析】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
直接利用二次根式的性质化简求出即可．
= × =5．
三、解答题
1 a
13．（2020•河南）先化简，再求值：（1− ）÷ ，其中a=√5+1．
a+1 a2−1
【答案】见解析。
1 a
【解析】(1− )÷
a+1 a2−1
a+1−1 (a−1)(a+1)
= ×
a+1 a
＝a﹣1，
把a=√5+1代入a﹣1=√5+1﹣1=√5．
1 x+2
14．（2020•成都）先化简，再求值：（1− ）÷ ，其中x＝3+√2．
x+3 x2−9
【答案】见解析。
【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
x+3−1 (x−3)(x+3)
原式= •
x+3 x+2
＝x﹣3，
当x＝3+√2时，
原式=√2．
15.将下列各式分母有理化1 1
（1）
√2
； （2）
√2+1
。
【答案】见解析。
【解析】分母有理化的关键是找到分母的“有理化因子”．
√2
的有理化因子是
√2
，
√2+1
的有理化因子
是
√2−1
，
1 √2 √2
= =
（1）
√2 √2⋅√2 2
1
√2−1
√2−1
= = =√2−1
（2）
√2+1 (√2+1)(√2−1) 2−1
。
(√5+√3)(√3+1)
16.化简
√5+2√3+1
【答案】见解析。
√5+2√3+1
(√5+√3)(√3+1)
【解析】因为
(√5+√3)+(√3+1)
=
(√5+√3)(√3+1)
1 1
= +
√3+1 √5+√3
√3−1 √5−√3
= +
2 2
√5−1
=
2
2 √5+1
= =
所以原式
√5−1 2
A+B 1 1
= +
AB A B
注：应用 的性质。
17．计算(1)××
(2)(＋3)(－3)
(3)×
(4)－×.
【答案】见解析。
【解析】(1)原式＝×3＝×3＝3×3＝9.
(2)原式＝()2－(3)2＝2－27＝－25.
(3)原式＝(－)×2＝6－＝－.
(4)原式＝2－＝2－＝0.
18．先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋2a2，其中a＝1，b＝.
【答案】见解析。
【解析】(a＋b)(a－b)＋2a2＝a2－b2＋2a2＝3a2－b2，
当a＝1，b＝时，原式＝3×12－()2＝1.
19．仔细观察下图，请你求出A，B两点表示的实数a，b，并求(a－b)2的值．
【答案】见解析。
【解析】在Rt△OGE中，OG＝2，EG＝1，根据勾股定理，得OE2＝OG2＋EG2＝22＋12＝5，
所以OE＝.又因为OA＝OE＝，所以a＝.
同理，在Rt△OHF中，OH＝3，HF＝1，根据勾股定理，得OF2＝OH2＋HF2＝32＋12＝10，
所以OF＝.又因为OB＝OF＝，
所以b＝.
因此(a－b)2＝(－)2＝()2－2××＋()2＝5－2＋10
＝15－2
＝15－2×
＝15－10.
20．探究过程：观察下列各式及其验证过程．
3＝.
验证：3＝×＝
＝
＝＝
＝.
同理可得：4＝
5＝，…
通过上述探究你能猜测出：a＝________(a>0)，并验证你的结论．
【答案】见解析。
【解析】a＝
验证：a＝＝
＝＝
＝＝.
21.把下列根式化为最简二次根式：
（2） √2 47 = √147 = √49×3 = 7√3 = 7√3×2 = 7 √6
50 50 25×25252×210
√25a2b3√25a2b2·b5ab
（3） = = √b(a≥0，b≥0)
121c4 121c4 11c2
【答案】见解析。
【解析】依据最简二次根式的概念进行化简，
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
（2） √2 47 = √147 = √49×3 = 7 √3 = 7 √3×2 = 7 √6
50 50 25×2 5 2 5 2×2 10
√25a2b3 √25a2b2·b 5ab
（3） = = √b(a≥0，b≥0)
121c4 121c4 11c2
1√3 √5
（1） ；（2） ；
2 2 2√3−√2
22.把下列式子的分母有理化：
【答案】见解析。
【解析】把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有
√2 √2 √5+√3与√5−√3 √5+√3与√5−√3
二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如 与 ， 与 均为有理化因式。
1 √3 1 √3×2 1
（1） = = √6
2 2 2 2×2 4
√5 √5(2√3+√2) 2√15+√10
（2） = =
2√3−√2 (2√3−√2)(2√3+√2) 10
23．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以
将其进一步化简：
= = ；（一）
= （二）= = （三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：w W w .X k b 1.c O m
= （四）
（1）请用不同的方法化简 ．
①参照（三）式得 =（ ）；
②参照（四）式得 =（ ）
（2）化简： ．
【答案】见解析。
【解析】（1）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：
同乘分母的有理化因式；因式分解达到约分的目的；
（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的
情况．
（1） = ，
= ；
（2）原式=
+…+
= + +…+= ．
