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16.2 二次根式的乘除
知识点1：二次根式的乘除法法则
1.二次根式的乘法法则
√a⋅√b=√ab(a≥0,b≥0)
将上面的公式逆向运用可得：
√ab=√a⋅√b(a≥0,b≥0)
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
2.二次根式的除法法则
3. 乘除法对比列表记忆
类型 法则 逆用法则
二次根式的乘法
二次根式的除法
要点诠释：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如
.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 .
知识点2：分母有理化
1.定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2.关键：把分子、分母都乘以一个适当的式子，化去分母中的根号。
3.最简二次根式（1）被开方数不含分母；
（2）被开放数中不含开得尽方的因数或因式。
【例题1】（2020•济宁）下列各式是最简二次根式的是（ ）
√5
A．√13 B．√12 C．√a3 D．
3
√3
【例题2】（2020•聊城）计算√45÷3√3× 的结果正确的是（ ）
5
5
A．1 B． C．5 D．9
3
2 2
−
【例题3】计算
1−√2+√3 1+√2+√3
一、选择题
1．（2020•济宁）下列各式是最简二次根式的是（ ）
√5
A．√13 B．√12 C．√a3 D．
3
2.（2019•湖北省荆门市）﹣ 的倒数的平方是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
3.下列等式不一定成立的是（ ）
A． = （b≠0） B． a3•a﹣5= （a≠0）C． a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b） D． （﹣2a3）2=4a6
4.下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
5．下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）[
A． B． C. D．
8.－的倒数是( )
A. B. C．－ D．5
9．若m是实数，则下列各数一定是负数的是( )
A．－m2 B．－ C．－(m＋1)2 D．－－1
10.＋1和－1的关系是( )
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．以上都不是
二、填空题
11.计算 12 3的值是 ．
12．计算 的结果是 ．
三、解答题
1 a
13．（2020•河南）先化简，再求值：（1− ）÷ ，其中a=√5+1．
a+1 a2−1
1 x+2
14．（2020•成都）先化简，再求值：（1− ）÷ ，其中x＝3+√2．
x+3 x2−9
15.将下列各式分母有理化
1 1
（1）
√2
； （2）
√2+1
。(√5+√3)(√3+1)
16.化简
√5+2√3+1
17．计算
(1)××
(2)(＋3)(－3)
(3)×
(4)－×.
18．先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋2a2，其中a＝1，b＝.
19．仔细观察下图，请你求出A，B两点表示的实数a，b，并求(a－b)2的值．
20．探究过程：观察下列各式及其验证过程．
3＝.
验证：3＝×＝
＝
＝＝
＝.
同理可得：4＝
5＝，
…
通过上述探究你能猜测出：a＝________(a>0)，并验证你的结论．
21.把下列根式化为最简二次根式：
（2） √2 47 = √147 = √49×3 = 7√3 = 7√3×2 = 7 √6
50 50 25×25252×210
√25a2b3√25a2b2·b5ab
（3） = = √b(a≥0，b≥0)
121c4 121c4 11c2
1√3 √5
（1） ；（2） ；
2 2 2√3−√2
22.把下列式子的分母有理化：
23．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以
将其进一步化简：= = ；（一）
= （二）
= = （三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：w W w .X k b 1.c O m
= （四）
（1）请用不同的方法化简 ．
①参照（三）式得 =（ ）；
②参照（四）式得 =（ ）
（2）化简： ．
