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2021年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．已知等差数列{a }的首项为3，公差为2，则a = ．
n 10
2．已知z=1-3i，则|z -i|= ．
3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 ．
2x+5
4．不等式 <1的解集为 ．
x-2
5．直线x=-2与直线 3x- y+1=0的夹角为 ．
ìax+by=c a b
6．若方程组í 1 1 1 无解，则 1 1 = ．
îa x+b y=c a b
2 2 2 2 2
7．已知(1+x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1+x)n的系数和为 ．
a
8．已知函数 f(x)=3x + (a>0)的最小值为5，则a= ．
3x +1
9．在无穷等比数列{a }中，lim(a -a )=4，则a 的取值范围是 ．
n 1 n 2
n®¥
10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有
几种运动方式组合 .
A运动 B运动 C运动 D运动 E运动
7点-8点 8点-9点 9点-10点 10点-11点 11点-12点
30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟
y2
11．已知椭圆x2 + =1(00，存在实数j，使得对任意nÎN*，cos(nq+j)< ，则q的最小值是
2
．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)
13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是( )
A． f(x)=x2 B． f(x)=sinx C． f(x)=2x D． f(x)=1
14．已知集合A={x|x>-1，xÎR}，B={x|x2 -x-2…0，xÎR}，则下列关系中，正确
的是( )
A．AÍB B．ð AÍð B C．A B=Æ D．A B=R
R R I U
15．已知函数y= f(x)的定义域为R，下列是 f(x)无最大值的充分条件是( )
A． f(x)为偶函数且关于点(1,1)对称
B． f(x)为偶函数且关于直线x=1对称
C． f(x)为奇函数且关于点(1,1)对称
D． f(x)为奇函数且关于直线x=1对称
16．在DABC 中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在DABC ，使得
uuur uuur uuur uuur uuur
AB×CE=0；②存在三角形DABC ，使得CE//(CB+CA)；它们的成立情况是( )
第1页 | 共2页A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．（14分）四棱锥P-ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE^
平面ABCD．
（1）若DPAB为等边三角形，求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若CD的中点为F ，PF 与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小．
18．（14分）已知A、B、C为DABC 的三个内角，a、b、c是其三条边，a=2，
1
cosC =- ．
4
（1）若sinA=2sinB，求b、c；
p 4
（2）若cos(A- )= ，求c．
4 5
19．（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一
点P满足|PA|-|PB|=20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧
为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线
标准方程和P点坐标．
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|-|QB|=30千
米，|QC|-|QD|=10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°)
20．（16分）已知函数 f(x)= |x+a|-a -x．
（1）若a=1，求函数的定义域；
（2）若a¹0，若 f(ax)=a有2个不同实数根，求a的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得函数 f(x)在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范
围．
21．（18分）已知数列{a }满足a…0，对任意n…2，a 和a 中存在一项使其为另一项
n n n n+1
与a 的等差中项．
n-1
（1）已知a =5，a =3，a =2，求a 的所有可能取值；
1 2 4 3
（2）已知a =a =a =0，a 、a 、a 为正数，求证：a 、a 、a 成等比数列，并求出
1 4 7 2 5 8 2 5 8
公比q；
（3）已知数列中恰有3项为0，即a =a =a =0，2
