文档内容
二次型
即刻题库 www.jike.vip
1 、 单选题
A ： 相似且合同
B ： 相似不合同
C ： 合同不相似
D ： 不合同也不相似
正确答案： C
解析：
由|λE-A|=0得A的特征值为1，3，-5，由|λE-B|=0得B的特征值为1，1，-1，所以A与B
合同但不相似，选(C).
2 、 单选题
设A,B为n阶可逆矩阵,则().
正确答案： D
解析：
因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，选(D).3 、 单选题
设A,B为,N阶实对称矩阵,则A与B合同的充分必要条件是().
A ： r(A)=r（B）
B ： A｜=｜B｜
C ： A～B
D ： A,B与同一个实对称矩阵合同
正确答案： D
解析：
因为A，B与同一个实对称矩阵合同，则A，B合同.反之，若A，B合同，则A，B的正、负
惯性指数相同，从而A，B与 合同，选(D).
4 、 单选题
正确答案： D
解析：5 、 单选题
设A,B都是N阶矩阵,且存在可逆矩阵P,使得AP=B,则().
A ： ,B合同
B ： A,B相似
C ： 方程组AX=0与BX=0同解
D ： r(A)=r(B)
正确答案： D
解析：
因为P可逆，所以r(A)=r(B)，选(D).
6 、 单选题
A ： 合同且相似
B ： 相似但不合同
C ： 合同但不相似
D ： 既不相似又不合同
正确答案： C
解析：
显然A，B都是实对称矩阵，由｜λE-A｜=0，得A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=9，
由｜λE-B｜=0，得B的特征值为λ1=1，λ2=λ3=3，因为A，B惯性指数相等，但特征值不
相同，所以A，B合同但不相似，选(C).
7 、 单选题
N阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是().
A ： 无负特征值
B ： A是满秩矩阵
C ： A的每个特征值都是单值
D ： A^-1是正定矩阵
正确答案： D解析：
A正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，(A)不对；若A为正定矩阵，则A一定是满
秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；
(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件，选(D).
8 、 单选题
设A是三阶实对称矩阵,若对任意的三维列向量X,有X^TAX=0,则().
A ： |A|=0
B ： |A|>0
C ： |A|
D ： 以上都不对
正确答案： A
解析：
9 、 单选题
下列说法正确的是().
A ： 任一个二次型的标准形是唯一的
B ： 若两个二次型的标准形相同,则两个二次型对应的矩阵的特征值相同
C ： 若一个二次型的标准形系数中没有负数,则该二次型为正定二次型
D ： 二次型的标准形不唯一,但规范形是唯一的
正确答案： D
解析：
(A)不对，例如：
(B)不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其
对应的矩阵的特征值相同；(C)不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负
惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n；选(D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性
指数决定，故其规范形唯一
10 、 单选题
设A为可逆的实对称矩阵,则二次型XtAX与XTA^-1X().
A ： 规范形与标准形都不一定相同B ： 规范形相同但标准形不一定相同
C ： 标准形相同但规范形不一定相同
D ： 规范形和标准形都相同
正确答案： B
解析：
11 、 单选题
设N阶矩阵A与对角矩阵合同,则A是().
A ： 可逆矩阵
B ： 实对称矩阵
C ： 正定矩阵
D ： 正交矩阵
正确答案： B
解析：
12 、 单选题正确答案： B
解析：13 、 单选题
设A,B为三阶矩阵,且特征值均为-2,1,1,以下命题：
(1)A～B；(2)A,B合同；(3)A,B等价；(4)｜A｜=｜B｜中正确的命题个数为().
A ： 1个
B ： 2个
C ： 3个
D ： 4个
正确答案： B
解析：
因为A，B的特征值为-2，1，1，所以|A|=|B|=-2，又因为r(A)=r(B)=3，所以A，B等价，
但A，B不一定相似或合同，选(B).
14 、 单选题正确答案： A
解析：
