2024年8年级完整版_希望杯IHC

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希望数学少年俱乐部 初二年级 2019
1. 已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值等于2,p是数轴上表示原点
ab
的数, 则(cd)2019  p2019  m4 =________.
cd
2. 已知
2019mn  mn2019  4m7n3029 p  3m5n p ,
则 p=_________.
3. 若自然数a除以11, 余数是3, 则a35除以11, 余数是_________.
4. a是被5除余2的正整数, 如果a,a＋5,a＋10这三个数的和是完全平方数,
则a的最小值是________.
5. 设x , x ,…, x （k为整数）是k 个互不相同的正整数, 且
1 2 k
x x x  x  2019, 则k的值最大是________.
1 2 3 k
6. 观察下列一组图形中点的个数, 其中第1个图有4个点, 第2个图有10个点,
第3个图有19个点,……按此规律, 第6个图有________个点.
1·
7. 如图所示,DA=DB=DC, 则x=________°.
8. 如图所示,DE是△ABC 的中位线, 点F在DE 上, 且∠AFB=90°. 若AB=6,
BC=10, 则EF=________.
2·
9. 如图, △ABC 中, ∠A=30°, 线段BP与BE 把∠ABC 三等分,CP 与CE 把∠
ACB 三等分, 则∠BPE=________度.
AP 1
10. 如图所示, 等腰△ABC中,AB=AC,P点在BC边上的高AD上, 且  ,BP
PD 3
的延长线交AC于E. 若S =21, 则S =________.
△ABC △DEC
11. 如图所示, 一次函数 y kxb的图象过点P(1,3), 且分别与x 轴和y轴的正
半轴交于A,B, 点O为坐标原点.△AOB 的面积最小值为_________.
k
12. 如图, 点A(m,8),B(n,2)在反比例函数 y  的图象上,AD⊥x轴于点D,BC
x
⊥x轴于点C, 且DC =6. 则k= ________.
3·
13. 如图, 矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点O, 矩形的边分别平行于坐标
k
轴, 反比例函数 y  的图象分别与BC,CD交于点M,N .已知点A(3,3),
x
且△OMN 的面积为3, 则k2=________.
1
14. 计算： 5 5 3 2912 5  3 2912 5  _________.
4
15. 已知m 31, n 31, 且(3m2 6ma)(4n2 8na) 63, 其中a>0,
则a=________.
2017
16. 若m  , 则m52m4 2017m3=________.
2018 1
4·
17. 若 x  3 4( 413)  3 4( 413) , 则x324x=________.
18. 设正整数a,m,n满足 a2 20 6  m  n , 则m＋n=________.
5 ax 7
19. 若方程   1有增根, 则3a+2=________.
x1 x3 x3
20. 方程 x2 7x10  x2 2x8  x2的解是x=________.
21. 如果多项式x2 (a4)x3a4（其中a>0）能分解成两个一次因式(x+ b),(x
+c)的乘积（b,c为整数）, 则a=________.
22. 已知x2－5x＋6是 f(x) x4 ax3 x2 bx(ab)的一个因式, 则a＋b=
________.
23. 当k=________时, 多项式x2 5xyky2 5x13y6能分解成两个一次因式
的积.
a b n n
24. 已知a,b是实数, 并且ab1, 设M   , N   , 当M=N
a1 b1 a1 b1
时,n=________.
5·
25. 设a,b,c,d 都是自然数, 且a5 b4, c3 d2, ac56, 则bd =________.
3x4yz 11
26. 已知x,y,z≥0, 且满足  , 若S  x2yz, 则S的最大值与最
 x yz  3
小值之和是________.
27. 已知实数a,b满足ab－2a＋2b=15, 则a2 b2的最小值是________.
28. 已知x,y,z为实数, 且x＋4y－2z=8,x－2y＋4z=4, 当x=________时,
x2  y2 z2有最小值.
29. 若正整数n使n2 8n17是质数, 则n最小取_________.
30. 若小于10的质数p,q使得13pq和 pq19也是质数, 则 pq qp ________.
=
6·
答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 17 8077 10 7 63 64 30 2 40 9
题目 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 6 16 27 1 1 0 24 49 9 2
题目 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 8 12 6 1 118 8 26 2 2 57
71  1  5
1. 已知 x, y 都是有理数, 且满足方程   x    y4 0, 那么,
3 4 4 3 4
x–y=__________．
2. 已知n120192 20202, 则 2n1=______.
x y z
35 16 125
3.已知 16, 则2x+3y+4z 的值是________.
     
 8  25  14 
4.已知正整数x, y, z 满足x＜y＜z 且2x 2y 2z 2208, 则xyz= .
5.如果多项式x2 (a7)x6a2能分解成两个一次因式(xb)和(xc)的乘积
（b, c为整数）, 则a的取值有_______个.
4x2 8x2 a b c
6.已知常数a, b, c使得    恒成立, 则方程
x3x x x1 x1
a b c
  的解是y=_______.
ya yb yc
7.设a  35, b, c分别是a, a2的小数部分, 则b2 4bbc=_______．
1
8.已知 y  2 x  x  , 并且 y 的最小值是 a, 最大值是 b, 则4(a2 b2)
4
=________.
1
9.已知2 x43 y94 z16  (x yz), 则x+y+z= .
2
10.不等式5 x2 4x47x8 4x2 12x9的整数解共有_______个.
811.在“9×9”的方格纸中, 每个方格内可以填上 1~4 四个自然数中任意一个, 填满
后, 对每个“2×2”田字形内的 4 个自然数求和, 在这些和中, 相同的和至少有
_______个.
12.甲骑自行车, 乙骑电动车, 丙骑摩托车, 已知摩托车比自行车每小时快 15 千
米, 电动车比自行车每小时快 10 千米, 他们同时从 A 地出发去 B 地, 结果乙比
b
甲早到 a小时, 丙比甲早到b小时, 则 的取值范围是（ ）.
a
2 b b 3 2 b 3 b 3
A.  1 B. 1  C.   D. 
3 a a 2 3 a 2 a 2
13.已知一个直角三角形三条边长都是整数, 其中一条直角边长是两位数ab, 斜
边的长是两位数ba, 则这个直角三角形的面积是________.
32a5b
14.已知 a, b是两个互质的正整数, 且 p  为质数. 则p 的值为________.
ab
15.正整数 n使得 3n3+64 能被n+8 整除, 则n的最大值是________．
16.已知 n是正整数, 且n4 48n2 676是质数, 则n=_______.
abcabc abc
17.已知 是 91 的倍数, 则三位数abc的最小值与最大值的和是
2019个abc
________.
18.—个凸 n边形的最大内角为156°, 其他内角依次减少6°, 则n的值为______．
5 94
19.在平面直角坐标系xOy中, 直线y  x+ 与x轴和y轴的交点分别为A, B,
3 3
则线段AB上（包括端点 A, B）横坐标和纵坐标都是整数的点有______个．
20.如图, 直线 yx3 2与y轴, x 轴分别交于 A, B两点. 直线 AP交x轴于P,
以 AP 为边作等腰直角三角形 APC, 直线 CB 交 y 轴于点 D, 则 BD 的长
9为 .
21.如图, 过点C(–1, 3)分别作x轴, y轴的平行线, 交直线 y  x8于A, B两点, 若
k
反比例函数 y  (x＜0)的图象与△ABC 有公共点, 则k的取值范围是（ ）.
x
A. –15≤k≤–7 B. –15≤k≤–3 C. –7≤k≤–3 D. –16≤k≤–3
22.规定[x]表示不大于 x 的最大整数, 例如[2.1]＝2, [–1.2]＝–2, 那么函数
[x]
y  1 (–2＜x＜2, x≠0)的图象为（ ）.
x
10A. B.
C. D.
4
23.如图, 在平面直角坐标系中, 直线 y  x4分别与x轴, y轴交于A, B两点,
5
定点C 的坐标为(0, 6), 点M(a, 0)为射线 OA 上A点右侧一点, 过点M作MN⊥
CM 交直线 AB 于 N, 连 BM. 若△AMN 与△AMB 的面积比是 3:2, 则 a 的值是
________.
24.如图, AD是等腰△ ABC 的高线, P是 BD上的动点, 过P作 BC 的垂线, 与CA
的延长线交于点E. 已知AB=AC=5, BC=6. 当四边形ADPE的面积与△ ABC的面
积相等时, BP的长为（ ）.
11A. 3 3 B. 2 33 C. 42 3 D.63 3
25.如图, 四边形 ABCD 是正方形, BF∥AC, 四边形 AEFC 是菱形, 则∠ACF=
_______度.
26.如图, 正方形 EFGH, ABCD的边长比为 1:3, 且EF∥AB, M, N 分别是CF, DH
的中点. 若MN  17, 则正方形ABCD 的面积为________.
27.如图, AD=5, AD⊥BD, ∠CDB=∠ACB=45°, ∠CAB=30°, 则 AB 的长为
________．
1228. △ ABC的面积是 2 , AB=AC=2, P为BC上的动点, 且PM⊥AB于M, PN⊥AC
于N, 则10PM2 15PN2的最小值是_______.
29. 已知等边△ABC 的边长为4 3, 动点 P在△ABC 内（不在边界上）, PD⊥BC
1 4 9
于D, PE⊥CA于 E, PF⊥AB于F, 则   的最小值是__________.
PD PE PF
30.正方形ABCD的边长为4, M, N分别是AB, CD上的动点, 将梯形BCNM沿MN
翻折, 点 B恰好落在AD边上, 则梯形 BCNM面积的最小值是________.
答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 33 4039 12 385 3 1 4 21 58 1
题目 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 31 1464 5 1092 8 6 6
5 B 924
题目 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 D A 8 D 150 36 10 12 6 6
13八年级个人战 2020
2020 希望数学国际精英挑战营巅峰对决
八年级个人战
第一部分：90秒一题，共 10题
1. 405504计算结果末尾有________个0．
2. (23)4的立方根是（ ）．
A．23 B．24 C．29 D．227 E．281
1 1 1 1 1
3. − + − +……−
1− 5 5 − 9 9 − 13 13− 17 1365 − 1369
= ________．
x2 −9
4. 若分式 3−| x −4| 有意义，则x的取值范围是（ ）．
x −5
A．x > 5 B．x ≥ 3 且x ≠ 7 C．x > 5 且x ≠ 7
D．5 < x < 7 E．x ≥ 6且x ≠ 7
3
x2 + xy− y2
5. 定义新运算“@”：x @ y = ．如果关于 x的不等式 x @ y < 0的
2
解集如图所示，则 y = _______．
6. 一个四位数，它的千位与十位上的数字之和为 9，百位与个位上的数字之和
也为 9，并且它是个完全平方数．这个数最大是________．
14八年级个人战 2020
7. 一个三角形三个内角的度数分别是(11x+4y+8)°，(5x+3y+23)°，
(9x+5y+15)°，其中x，y都是正整数，则该三角形最大内角的度数是（ ）．
A．65° B．68° C．75° D．90° E．120°
8. 如图，Rt△ABC 的直角边AC =2 2，D在AB上，且AD = 1．平面内一动
点P满足△PAB 的面积是△ABC 面积的一半，则 |PC– PD|的最大值是
_______．
9. 下图中，A 为 DE 中点，△DCB 与△EBC 的面积满足S +S =12，则
DCB EBC
△ABC 的面积是________．
10. 方程 8x−5− 8x−6 = 5x−2 − 5x−3的解为x = ________．
第二部分：180秒一题，共 15题
1 1
11. 已知 x− + −2 + y =3，则2x + 3y = _______．
2 x
15八年级个人战 2020
12. 下图中多边形的内角和是_______°．
13. 如图，用七巧板拼成一幅飞鸟图，刚好放入大长方形内．已知七巧板的面积
为( 2 −1)平方米，那么大长方形的面积为________平方米．
14. 有四个不同的自然数，它们的和是1111，那么这四个数中，最大的数至少是
______．
15. 如图，P是长方形 ABCD内一点，P到点 A，B，C 的距离分别是3 2 ，4 2 ，
5 2，则P到点 D的距离是_______．
16八年级个人战 2020
x−9 x−7
16. 方程 + = 10的解是 x = _______．
x−5+2 x−6 +1
17. 在△ABC 中，∠A = 30°，AB=4 3，点 D为AB边的中点，点P 为直线AC
上的动点，则 PB + PD 的最小值为_______．
18. 若等腰三角形三边的长分别是 a，4a – 4， 5a+6，则a =_______．
1
19. 如果 + a +1=0，那么a 的值是（ ）．
a
1+ 5 1+ 5 5−1 1− 5
A． B．− C．− 5 D． E．
2 2 2 2
20. 有一列数：1，3，2，–1，–3，……从第 2个数起，每一个数都等于它前后
两个数的和，则这列数的前 2020个数的和是________．
21. 已知 p，p + 12，p + 24，p + 36，p + 48 是5 个质数，则p = ________．
22. 在Rt△ABC 中，ACB=90，CD⊥ AB于D，DE ⊥ AC于E，DF ⊥ BC 于
AE 27
F．已知 = ，AB=13，则△ABC 的面积是________．
BF 8
17八年级个人战 2020
1 1 1
23. 已知正整数x，y满足 − = ，那么 y的最小值是________．
x y 2020
24. 若x + 177 与x – 292都是完全立方数，则自然数 x = ________．
3 2 3
25. 初二一班中 是男生．已知男生中属狗的占 ，女生中属狗的占 ．从初二
5 3 4
一班中任选一名属狗的同学，他是男生的概率是（ ）．
3 4 5 4 3
A． B． C． D． E．
7 7 7 5 4
答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 13 B 9 C 1 9801 B 3 6 1
题目 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 10 1800 1 280 6 15 6 2 E 5
题目 21 22 23 24 25
答案 5 39 505 2020 B
18八年级团体战 2020
2020 希望数学国际精英挑战营巅峰对决
八年级团体战 A 组
12 505
1. 当x  时，(4x32023x2018)2020 ________．
2
2. 如图，有一个正三角形 A ．将 A 的每条边三等分，在中间的线段上分别向
1 1
图形外作正三角形，去掉中间的线段后得到的图形记作 A ，它是 12 边形；
2
将A 的每条边三等分，并重复上述过程，得到的图形记作 A ，它是 48边形；
2 3
再将 A 的每条边三等分，并重复上述过程，得到的图形记作 A ，……按此
3 4
规律，A 是（ ）边形．
2020
A．2020 B．432019 C．342019
D．42020 E．3201942019
3. 已知m，n是实数，关于x的不等式mx + 2n – 3m < 0 的解集如图所示，则
关于x的不等式（m + n）x + 5n – 3m < 0 的解集为（ ）．
1 1 1
A．x B．x C．x
3 3 3
1 1 1
D．  x E．x
3 3 3
4. 在梯形 ABCD中，AB∥DC，AB＝40，CD＝60，AC 与BD交于点 P，过P
作MN∥AB，交 AD于 M，交 BC 于N，则 MN＝________．
19八年级团体战 2020
5. 10个正整数的和为 24，这10个数平方和的最大值为a，最小值为 b，则 a +
b = ________．
4
6. 若关于 x 的方程 xa  恰有 3 个不同的实数根，则这 3 个根的平方和是
x
________．
7.
a 表示不超过a的最大整数．若x满足32x43x36，则 x________．
8. 正数 m 是方程x3 (8 2)x2 (158 2)x15 2 0的一个解，则 m2 =
________．
9. 如图，D，E在△ABC的BC边上，∠BAD =∠DAE =∠EAC =∠ACB，BD = 16，
DE = 24，则△AEC 的面积为（ ）．
A．450 7 B．400 14 C．500 5 D．400 10 E．500 3
10. 如图 1，一动点 P按A→B→C→D→E→F→G→H的顺序沿各边运动，速度
为1cm/s．已知 AB=5cm，BC = DE = FG，△PAH的面积S关于时间 t 的函数
图象如图 2所示，则 AH = ________ cm．
图1 图2
20八年级团体战 2020
八年级团体战 A 组答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 1 C E 48 294 28 2 2 A 12
21八年级团体战 2020
八年级团体战 B 组
1. 若ab5 2，a3b3 70 2，则a2 b2 _______．
2. 5个正整数的和为 21．这5个数平方和的最大值为 a，最小值为 b，则a + b =
_______．
 x3a0
3. 如果关于 x 的不等式组 的解集如下图所示，其中恰好有6
k5x2020
个整数，那么k5a的最小值是_______．
x2 xy 5y
   
4. 已知 x，y均为正数，且 x x2 y  y 6 y  x ，则 
2x3 xy  y
_______．
5. 已知 a，b，c 是实数．若多项式 2x3 – x2 +ax – 5 能被 x2 +5 整除，且商
式是 bx + c，则 a + b + c = _______．
x3
3
6. 用
x
表示不大于 x 的最大的整数，则方程 x 所有解的和是
2 4
_______．
7. 如图，BE平行于正方形 ABCD 的对角线 AC，且AE = AC，则∠BAE的度数
是_______°．
22八年级团体战 2020
8. 已知 ABCD 和 A'B'C'D' 是两个边长为 31的菱形．若 AC⊥A'C' ，
∠ABC=∠A'B'C' =120°，则阴影部分的周长是_______．
12 20
9. 如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在反比例函数 y  和y 第一象限
x x
的图象上，正方形的两条对角线分别平行于 x轴和y轴．则点B 的横坐标为
_______．
10. 已知函数y ax3bx2 cxd(a0)．当x = 2时，y = 0．当 x 的取值互
为相反数时，对应的函数值 y 也互为相反数．则a，b，c，d中有_______
个正数．
八年级团体战 B 组答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 26 382 2040 2 11 2 15 8 4 1
23八年级团体战 2020
八年级团体战 C 组
1. 如果正数 n是方程x2 3x280的一个根，则
1 1 1
   =_______．
n n2 n2 n4 n58 n60
2
b a b2 a2 
2. 如果  1，那么    _______．
a b a2 b2

3. 10个正整数的和为 24，这10个数的平方和最大是_______．
abc2 1
4. 已知实数 a，b，c 满足 ，则a2019 b2020 c2021 =_______．
ab2
5. 如图，在△ABC 中，A90，ABC 30，D是AC 的中点，CE 是ACB
的平分线，BD 与 CE 相交于 F 点．△ABC 的面积是 100，则△BCF 的面积
是_______．
6. 如图，AB 2，CD  30， AB∥MN∥DC，且四边形MNCD 的面积是
四边形 ABNM面积的 3倍，则MN _______．
24八年级团体战 2020
5
7. 已知实数 x，y满足4x2  y2 14xy y，则x + y = _______．
4
 
8. 已知 a，b，c 是有理数，且 2 ab 2  3bc22ac0，则
3a2bc_______．
9. 如图，直角梯形 FEGH 中，EF//GH，EF = EG = 2，GH = 1，E、F分别是 x
轴正半轴和y轴正半轴上的两个动点．点H到原点O的距离最大是_______．
10. x表示不超过 x的最大整数，x表示 x的小数部分．设  2710 2  a，
 
  2
2710 2 b，则 ab _______．
b
八年级团体战 C 组答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 3 5 234 0 40 3 3 1 3 7
25八年级团体战 2020
八年级团体战 D 组
4 62 3 2
1. 计算：  3 ________．
3 21
2. 两位数ab满足 a + b < 10，这样的两位数有________个．
4x20190

3. 不等式组1 所有整数解的乘积是________．
x20200

3
4. 若A = (2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)(264＋1)，则A 的个位数字
是________．
5. 如图，在正六边形 ABCDEF中，G是BC 的中点，H是FD的中点，则∠GAH
的度数是________°．
6. 如图，梯形 ABCD中，AB//CD，AC⊥BD，AD3 2，BC 3 3，AB∶CD
= 1∶2，则CD = ________．
26八年级团体战 2020
7. 10个正整数的和是 24，这10个数的平方和最小是________．
 
8. 如图，正方形内有一个正八边形．已知正方形面积是64 21 ，那么阴影
部分的面积是________．
2 x 3
9. 正整数 x，y 满足   ，则 y的最小值是________．
5 y 7
10. 如图，在等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，∠D = 60°，E是AD 上一点，EF
⊥AD交BC 于点 F．若AE = CF = 2，EF 7 3，则梯形ABCD 的周长是
________．
八年级团体战 D 组答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 1 45 0 5 60 6 60 32 12 43
27八年级团体战 2020
八年级团体战 E 组
1. 记n!123 n，an aa a．如果 m 是自然数，且12m是100!的
n个a
因数，那么 m最大是________．
2. 计算： 2020 2019 2018 201720151111________．
6x
3. 的最大值是________．
4x2 x1
n1920
4. 正整数 n使得 为大于0的完全平方数，这样的n 有________个．
2020n
5. △ABC 中，∠BAC = 60°，∠AOB =∠BOC =∠AOC．若AO + BO + CO = 57，
AO∶BO = 2∶3，则CO = ________．
6. 10个各不相同的正整数的和为 2020，将这 10个数从小到大排列，第 5个数
的最大值为________．
7. 如图，在△EFG 中有一个正方形 ABCD．已知∠G = 90°，AB = 20，BE = 15，
那么△EFG的周长为________．
28八年级团体战 2020
8. 使x y2018 yz2019 xz2020 2成立的整数组x,y,z有________组．
9. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC = 90°，点 D，E 在 BC 上，且
CD = BE，CN⊥AE于点N，CN 交AD于点 M ．若△AMN 是等腰直角三角
形，
AN  2 2
，则△ABC 的面积为________．
10. 如图，△ABC 的面积为 48，D 为 AC 的中点，E 为 BD 的中点，F 为 CE 的
中点，G为AF 的中点，则△BGH的面积为_________．
八年级团体战 E 组答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 48 2019 2 4 12 332 148 8 2 5
29八年级团体战 2020
八年级团体战 F 组
20202+2018 20172 2017
1. 计算：  ________．
20182 2020 201820214
2. 10张扑克牌如图1所示摆放在桌面上．若每次只能将其中的一张扑克牌在
桌面内旋转180°，要使这些扑克牌的摆放情况变为图2，至少旋转
________次．
图1
图2
3. a，a，a，…，a 是互不相同的非零实数，那么
1 2 3 2020
a |a | a |a |
1  2   2019  2020 的最小值是________．
|a | a |a | a
1 2 2019 2020
4. 10 个各不相同的正整数的和为 2020，将这 10 个数从小到大排列，第 10 个
数的最小值为________．
5. 正实数 a，b 满足 ab2 5 ，则 a2 b2 的最小值是________．
6. 如图，一个长为 16，宽为 9的长方形被分成 4部分，这 4部分可以拼成一个
正方形．阴影部分的周长是________．
30八年级团体战 2020
7. 如图，依次延长四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 至 E，F，G，H，使
BE CF DG AH 6
    ．若四边形ABCD 的面积是125，则四边形 EFGH
AB BC CD DA 5
的面积是________．
8. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y = x + 2k 与直线 y = kx + 2020 的交点横
坐标是整数，则整数 k有________个不同的取值．
9. 如图，四边形 ACDE 和CBFG都是正方形，AB = 10，点P是EF 的中点，则
△PAB的面积是________．
10. 某次射箭比赛规定：射中1号区域得4分；射中2号区域得3分；射中其他区域
得1分．小虎有50支箭，当他还有7支箭未射出时，他的分数超过150分，此时，
小虎至少有_______支箭射中1号区域．
八年级团体战 F 组答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 1 6 0 207 10 36 785 8 25 22
312021 思维挑战冬令营八年级真题
3x+a5
1. 已知关于 x的不等式组 有2021 个整数解，那么整数a 的最大值
7−2xa
为________．
2. 下图是一个面具图案，大圆中有 3个相同的小圆，图中的3条直线都通过
大圆和小圆的圆心．若小圆半径为1，则红色部分的面积是（ ）．
16+4 3 10+4 3 16+4 3 7+4 3 7+2 3
A. π B. π C. π D. π E. π
9 3 3 3 9
3. 一枚棋子沿着边长为 1cm 的正六边形移动，从A点开始，第一次移动 1cm
到达 B点，第2 次移动2cm 到达D点，……，第n次移动n cm，直到第
100 次移动完成．在棋子到达次数最多的点(开始时的A点也算一次到达)，
一共到达过________次．
324. 擎天柱和大黄蜂分别从地球和塞伯坦星球同时出发，相向而行，大黄蜂和
擎天柱的速度比是 4∶5，他们出发1小时后，大黄蜂遇到威震天的拦截而
搏斗了半小时，然后大黄蜂继续前进，但因负伤速度减小了 25%．当大黄
蜂遇到擎天柱时比预计的相遇时间推迟了 22分30秒．如果大黄蜂和擎天
柱的相遇点距地球和塞伯坦星球两地中点 70万千米，那么地球和塞伯坦星
球相距________万千米．
5. 计算：2 6( 5+ 21− 5− 21)=________．
6. 99 个袋子中分别有 1，2，3，4，……，99 枚金币．魔法仙子每次对一些袋
子挥动魔法棒，这些袋子都会增加同样数量的金币．为使每袋金币的数量都
恰好是 100枚，魔法仙子至少需要挥动________次魔法棒．
1
7. 长方形 ABCD中，BE = AB= BC，∠1+∠2=________°．
3
8. 面积为80的长方形，一条对角线长度为2 41，这个长方形的周长是________．
339. 已知 x2+y2+z2=35，则x+3y+5z 的最大值比最小值大________．
10. 在Rt△ABC 中，∠C=90°，D，E分别是 BC，AC 边上的点．已知 AD=17，
BE=13，DE = 97 ，则AB =________．
11. 有 2 个苹果，3 个梨，5 个桔子．从中任取 3 个，恰有两个同类水果的概率
是（ ）．
1 7 5 79 101
A. B. C. D. E.
15 40 12 120 720
12. 如图，已知点A (– 3，0)，B(0，3)，C(3，0)，点P是直线l：y = – 2x+8上的
一个动点．若以点P为端点的任意一条射线与折线ABC最多只有一个交点，
则点 P的纵坐标y 的取值范围是（ ）．
P
14 14 14
A．y −2或y  B． y − 或y 2 C．−  y 2
P P 3 P 3 P 3 P
14 5
D．−2 y  E．  y 5
P 3 3 P
13. 平面直角坐标系 xOy中，点 P(a，b)经过某种变换后得到的对应点为 P′(3a +
2，3b – 1)．已知 A，B，C 是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到
的对应点分别为 A′，B′，C′．则△A′B′C′的面积是△ABC 面积的________倍．
342b+c−1 2c+a−1 2a+b−1
14. 已知 abc > 0，a + b + c > 1，且 = = =m，则直线
a b c
y = mx + m – 3经过（ ）．
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限 E．第二、四象限
15. 三边都不相等的三角形，一条高为 10，一条高为15，那么第三条高不可能
为（ ）．
A．5 B．11 C．17 D． 20 E． 25
xy 1 yz 1 zx 1
16. 已知非零实数 x，y，z 满足 = ， = ， = ，则
x2 + y2 6 y2 + z2 7 z2 + x2 8
51x2 +21y2 +77z2 =________．
17. 正整数 m，n使得关于x的不等式 mx−840  x−n 恒成立，则 m + n的最
小值是________．
18. 如图，一个正三角形各边上分别有 3个三等分点，从这9个三等分点中任取
3个，可构成________个直角三角形．
35(44 +4)(84 +4)(124 +4)(164 +4) (20204 +4)
19. 计算： =________．
(24 +4)(64 +4)(104 +4)(144 +4) (20184 +4)
20. P 为△ABC 内一点，AP 延长线交 BC 于点 D，BP 延长线交 AC 于点 E，CP
PD PE PF  x2 y2 z2 
延长线交AB于点 F．记x = ，y = ，z = ，则58 + + 
AD BE CF  4 9 16
的最小值是________．
21. 已知梯形 ABCD 的上底 AB 与高的积是 2+1，P 为下底 CD 上的动点，连
接PA交梯形对角线 BD于点M，△AMB 与△PMD的面积和记为 S，则S的
最小值是________．
x3+ y3 =3(x+ y)
22. 方程组 有________组实数解．
 x2 + y2 =5(x− y)
1 b
23. 已知 a > 0，b > 0，m > 1，若不等式a+bm a−b 与  2等价，则
2 a
m =________．
36 
1 1 14
24. 化简： −  =________．
  3
 3+2 2 +2 3−2 2 −2
25. 四位数abcd比它的各位数字的平方和大 2021．所有这样的四位数中，最大
的一个是________．
26. 有9 盆花，分别是 3盆红花，2盆蓝花，2盆黄花，1盆紫花，1 盆粉花．把
它们任意排成一排，它们的颜色排列顺序恰好如下图的概率是________．
（注：9！= 9×8×7×6×……×2×1）
1 12 24 48 6
A． B． C． D． E．
9! 9! 9! 9! 9!
27. 已知正整数 a，b 满足 2020a+ 2020b− 2020ab =a b+b a−2020，则
a+b 的最小值为________．
28. 如图，将两个完全相同的三角板叠放在一起，已知每个三角板的面积为 8，
则阴影部分的面积是________．
3729. 如图，等腰直角三角形 ABC 中，∠ABC = 90°．三角形 ABC 内部有一点 D，
满足 AB = AD，且∠BAD = 30°．则∠ACD =________°．
30. 黑匣子中有 10 把钥匙，其中只有 1 把能打开宝箱，每次随机从黑匣子中取
一把试验，无放回．恰好在第 5次试验时打开宝箱的概率是（ ）．
1 1 1 1 1
A． B． C． D． E．
50 20 10 5 2
38答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 12141 A 34 504 12 7 45 36 70 19
题目 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 D A 9 D A 6 58 18 2042221 2
题目 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 1 4 3 4 2051 C 11 5 30 C
39八年级巅峰对决 2021
2021 希望数学国际精英挑战营巅峰对决
八年级巅峰对决
1. 在平面直角坐标系 xOy 中，P(m，n)是第一象限内一点，过 P 点的直线 l 与
x 轴，y 轴分别相交于点 A，B．若直角三角形 AOB 的面积为 2mn，则这样
的直线 l 有________条．
2. 4 x23 18x的最大值是__________．
3. 方程3 91x 3 x612所有实根的和是_________．
4. 如图，竞技比赛在一个半径为 60米，圆心角为 90°的扇形区域内举行，图
中 OC∶CA = 5∶1，D 为OB中点．比赛要求从 C 处出发，先跑到弧线 AB
上的任意位置 M，再爬行到终点 D 处．如果跑步速度为 2 米/秒，爬行速度
为 1米/秒，那么所用时间最少是__________秒．
40八年级巅峰对决 2021
5. 若abbcca12，则a12 b12 c12的最小值为_________．
6. 用火柴棒可以拼出数字 0~9，如下图：
从 10 个数字中取出 7 个数字，使它们相加的和与组成这些数字所需火柴棒
的总根数相等，符合条件的不同取法共有_______种．
7. 正整数 x，y，z 满足x2 2y2 3z2 3xy4xz5yz1190，则
3x+2y+z =________．
8. 如图，ABCD 为圆 O 的内接四边形，P 是圆 O 上不与 A、B、C、D 重合的
点，P在四边形 ABCD各边（或延长线）上的投影依次为 H ，H ，H ，H ，
1 2 3 4
PH PH
则 1 3 =_________．
PH PH
2 4
41八年级巅峰对决 2021
4 n1 2 n1 1
9. 在正整数范围内，方程   3  3 的解是_______．
3 3 3n1
10. 已知 x，y 满足3 x7y2 k，且12 x35y2的最大值与最小值的差是 2021，
则常数 k =_________．
八年级巅峰对决答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 3 20 30 65 3 6 11 1 1,2,3 2021
42八年级个人战 2021
2021 希望数学国际精英挑战营巅峰对决
八年级个人战
1. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（5，4）．若直
线y = kx + 3k恰好将矩形OABC 分成面积比为11∶13的两部分，则此直线
与y轴交点的纵坐标最小为________．
2. 如图，正方形ABCD与正方形CEFG并排在一起，且CD∶CE = 4∶3，P 为
AF中点．若△PCD 的面积是28，则正方形ABCD的面积为_________．
3. 用一张边长为8厘米的正方形纸片，最多可以剪出________个直径为1厘米
的圆形纸片．
43八年级个人战 2021
1 1 1
4. m，n是两个自然数，且m > n，满足   的数对（m，n）有________
m n 10
个．
5. 一个钝角三角形三边的长分别为10，17，n，则整数 n有________个可能值．
6. 若两个质数p，q满足3q – p = 4，p + q < 180，则pq的最大值为________．
4x211x4 a b c
7. 已知 =   ，其中 a，b，c 是常数，那么a2 b2 c2
x(x1)(x2) x x1 x2
=________．
8. 如图，Rt△ABC 的边长均为整数，且它的内切圆半径为1，则 Rt△ABC 的面
积为_________．
44八年级个人战 2021
64 2
9. 在平面直角坐标系xOy 中，动直线 l 与函数 y  的图像恒相切，l 与
x
x轴交于点A，与y轴交于点 B，则Rt△AOB周长的最小值是_________．
10. 已知正数a，b满足b = 5a，且ab  ba，则a8 ________．
11. 如图，在四边形ABDC中，AB 2，AC1，且CBD90，CDB30，则
AD的长最大为（ ）．
A. 3+ 2 B. 3+2 2 C.3+2 2 D.5+2 2 E.5+2 3
45八年级个人战 2021
12. 如图，AB=CD=15， AB，CD 交于O，∠AOC=60°，∠A+∠D=30°，AC=9，
则BD =________．
13.
方程x1x24x5
10所有解的和是（ ）．
A. – 3 B. – 2 C. – 1 D. 1 E. 2
14. 正整数 x，y 使得 M = 377x + 464y 是一个不超过 2020 的完全平方数．则
M 3x2y ________．
15. 一个三角形的边长都是整数，周长等于 7．则这个三角形的面积最大是（ ）．
3 7 35 35
A. B. C. 7 D. E. 2 2
4 4 5
2
 9
16. 已知S ab2  2a ，其中 a 是实数，b 是正实数，则 S 的最小值
 
 b
是________．
17. 在平面直角坐标系中，直线y 0.5x2与 x 轴、y 轴的交点分别为点 B、
C．若在3k 2范围内随机取一个实数 k，则直线 y  kx2k 1与直线
y 0.5x2的交点在线段BC 上的概率为（ ）．
1 2 1 1 1
A. B. C. D. E.
15 15 6 4 3
46八年级个人战 2021
18. 如图，等腰直角三角形△ABC 中，∠ACB=90°，CH 为斜边 AB 上的高，P
为CH 上的动点．当PA+PB+PC 最小时，∠APB =________°．
19. 计算：
2322 232 23 233 24 234  22019 232019 22020 232020 2202132021

=________
1 1 1
20. 方程   0的所有解的和是________．
x2 2x3 x2 x3 x2 6x3
47八年级个人战 2021
答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 1 64 68 4 13 3959 14 6 4 25
题目 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 B 12 A 30 A 8 B 120 18 4
48八年级团体战 2021
2021 希望数学国际精英挑战营巅峰对决
八年级团体战 A 组
1. 用一张半径为5cm，圆心角为144°的扇形纸片制作成一个圆锥形玩具纸
帽（接缝处不重叠，无缝隙）．这个圆锥的高为（ ）．
A. 3cm B. 4cm C. 21cm D. 2 5cm E. 5cm
2. x22 9 x102 4的最小值是________．
3. 已知x，y均为质数，且 a2 319  x y ，则自然数a =________．
4. 如图所示的等腰梯形，下底是上底的2倍．若梯形内部一点到该梯形四条边
的距离中，到左腰或右腰的距离最小，则称这个点为“希望点”．在梯形内
随机取一个点，该点是“希望点”的概率为________．
1 1 1 1 1
A. B. C. D. E.
6 5 4 3 2
1 1 1
5. 已知正数a，b，x，y，z 满足a≤x，y，z≤b，且(x yz)    的最大
x y z
9 2b
值与最小值的差是 ，则 =_________．
5 a
x  y 3

6. 在平面直角坐标系中，满足不等式组x 2 的点（x，y）所组成的图形面

y 2

积是_______．
49八年级团体战 2021
ab2 ac2 bc
7. 非零实数 a，b，c 满足 a+b+c=1，则   ________．
abc acb bca
1 3
8. 一个正方形的四个顶点分别在反比例函数 y  和 y  在第一象限的图像
x x
上，则这个正方形的面积为________．
9. 如图，在半径为4的扇形AOB中，∠AOB = 90°，C 为OB的中点，D，E
为圆弧的三等分点，四边形CDEO的面积为________．
10. 在△ABC 中，D是AC 中点，∠DBC=15°，∠DCB=30°，AB 6 2，则
BC =________．
八年级团体战 A 组答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C 13 40 D 5 14 0 1 6 2
50八年级团体战 2021
八年级团体战 B 组
1. 如图，AB∥EF∥CD，若AB = 21，CD = 28，则 EF =________．
x  y 6

2. 在平面直角坐标系中，满足不等式组x 4 的点（x，y）所组成的图形面

y 4

积是_______．
3. 当a =_______时，关于x的方程 x20212022 a恰有三个根．
4. 计算： 20212+2021220222+20222=_________．
5. 如果实数 x，y，z 满足x3 y3 z3 1080，50(x2  y2 z2)(3x4y5z)2，
则xyz =_________．
6. 如图，4个小正方形的面积都是5，那么△ABC 的AB边上的高为________．
51八年级团体战 2021
7. 小明为测量池塘的宽度PC，采用了如下图所示的方法，他量得BP=12 m，
∠B=45°，∠APC=60°，∠C=75°，那么PC =________m．
8. 已知(x 2) 2  2 ，那么|x| =（ ）．
1 1
A. 2 B. 1 C. 2 D. E.
24 28
9. 在平面直角坐标系中，O为原点，A(2，0)，点B在直线 y = x上，AOB是等
腰三角形，则满足条件的B 点有________个．
yz xz xy
10. 已知x，y，z > 0，且x2  y2 z2 27，则   的最小值是________．
x y z
八年级团体战 B 组答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 12 56 2022 4086463 300 3 24 D 4 9
52八年级团体战 2021
八年级团体战 C 组
1. 如图，4个小正方形的边长均为1，那么△ABC 的AB边上的高为（ ）．
3 3 3 4
A． 2 B． 5 C． 5 D． 5 E．1
2 10 5 5
2. 函数y  x2 90x2021   x2 90x2021  ，当x分别取1~2021的正整数时，
对应的2021个函数值的和是________．
3. 有8台设备通过网线连接．为保证任意 3台设备中都至少有2台设备之间有
网线连接，最少需要________条网线．
x2 6
4. 方程  5的所有根的和是________.
3 x
5. 用一张半径为5cm，圆心角为108°的扇形纸片制作成一个圆锥形玩具纸
帽（接缝处不重叠，无缝隙）．这个圆锥的高为（ ）．
91
A. 3cm B. 4cm C. 21 cm D. 2 5cm E. cm
2
1 1 1 1 1 1 1
6. 已知abc  ，    P，abcQ，则   可表示为（ ）．
2 a b c a2 b2 c2
A. P2 4Q B. P2 3Q C. P2 2Q D. P2 Q E. P2 2Q
53八年级团体战 2021
7. 在正方形ABCD中，AB = 2AF = 2AG，EG = 3，则CE =________．
8. 在平面直角坐标系中，O为原点，A(0，3)，点B在直线 y = x上，AOB是等
腰三角形，则满足条件的B 点有________个．
9. 正整数x，y满足x2 2y2  xy3x3y 10，则2x+y =________．
10. 将2x37x2 9因式分解，其中一个因式为2xb，则b =________．
八年级团体战 C 组答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C 20 12 0 E A 4 4 8 3
54八年级团体战 2021
八年级团体战 D 组
1. 将三角形纸片ABC 沿平行于 BC 的直线折叠，折叠的部分交BC 于F，G
两点．已知BC = 9cm，FG = 3cm，则折痕DE的长为________cm．
2. 用一张半径为5cm，圆心角为162°的扇形纸片制作成一个圆锥形玩具纸
帽（接缝处不重叠，无缝隙）．这个圆锥的高为（ ）．
91 319 319
A. 5cm B. 2 21cm C. cm D. cm E. cm
2 4 8
3. 若x4 16x 12，则x2+2x4=________．
4. 如图所示的等腰梯形，下底是上底的2倍．若梯形内部一点到该梯形四条边
的距离中，到上底或下底的距离最小，则称这个点为“希望点”．在梯形内
随机取一个点，该点是“希望点”的概率为________．
1 1 2 1 3
A. B. C. D. E.
4 3 3 2 5
55八年级团体战 2021
5. 函数y  x2 28x187   x2 28x187  ，当 x 分别取 1~2021 的正整数时，
对应的2021个函数值的和是________．
6. 如图，矩形ABCD面积为36，F是DE的中点．若△BCE 的面积为6，则
△BCF 的面积是________．
7. 已知x，y均为质数，且 a2 2021  x y ，则自然数a =________．
8. 如图，已知∠ABC = 30°，∠ADC = 60°，AD = DC．AB = 48，BC = 55，则
BD = _______．
56八年级团体战 2021
9. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=6，M，N 是线段BC
上两点，∠MAN=30°，则MN 的最小值是（ ）．
A. 6 3 B.3 62 3 C.6 23 6 D. 12 26 6
E. 6 2
20212  20212  20212   20212 =20212
10. 若    ，则n =（ ）．
n个20212
A. 1 B.2021 C.20212 D.20213 E.20214
八年级团体战 D 组答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 6 D 6 C 70 6 90 73 D C
57八年级团体战 2021
八年级团体战 E 组
1. a，x，y均为自然数，且 a2 7  x y，则x + y =________．
2. 如图，两个相同的扇形 OAB与O'A'B'重叠在一起，它们的圆心角均为 90°，
半径均为1，P，Q分别为OA，O'B'的中点，则图中S ，S 两个区域的面积
1 2
差是（ ）．
3 3  3 3  3 3  3 3  3 3 
A.  B.  C.  D. + E. 
4 3 4 6 8 6 4 6 8 6
3. 已知正数a, b, c满足abc1，
abcbca bcacab cababc
则   =________．
cab abc bca
58八年级团体战 2021
4. 如图，在直角三角形 ABC 中，∠CAB=30°，∠ACB=90°，AD 平分∠CAB，
BD平分∠ABC，BC=1，则CD =（ ）．
1 31 31 6 2
A. 1 B. C. D. E.
2 2 2 2
5x2
5. 的最大值是________．
2x4 15x2 32
1 1 1 3
6. 方程    的正整数解是 x =________．
x2 x x2 3x2 x2 5x6 40
7. 在平面直角坐标系中，A( – 4，2)，B( – 1，8)．点C 在y轴正半轴上，点D
在x轴负半轴上，则四边形ABCD周长的最小值是（ ）．
A.8 3 B.8 5 C.9 2 D.9 3 E.10 2
8. 如图，在△ABC 中，∠CBD=30°，∠DBA=40°，∠DAB=20°，∠CAD=50°，
则∠BCD=________°．
59八年级团体战 2021
212  212  212   212 =212
9. 若    ，则n =________．
n个212
10. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为斜边上的高，BE 为∠CBA 的平分
线，CD 与BE交于点 F．已知AC=8，CF=3，则BC =________．
八年级团体战 E 组答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 8 C 2 E 5 5 B 10 441 6
60八年级团体战 2021
八年级团体战 F 组
1. 在边长为10cm的正六边形纸片上剪下一个三角形，这个三角形的面积最大
是（ ）．
A.50cm2 B.75 cm2 C. 50 3cm2 D. 75 3cm2 E. 100 3cm2
2. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为斜边上的高，BE 为∠CBA 的平分
线，CD 与BE交于点 F．已知BC=6，CF=3，则AE =________．
 x  x   x 5050
3. 已知实数x
1
,x
2
,

,x
2020
满足
x
1
2
1
 x
2
2
2



 x
2
2
2
0
0
2
2
0
0
12625
，则42020 x
1
x
2
x
2020
=_________．
 6
4. 设整数a 5+ 6 ，则a的最小值为_________．
5. 希希先从 1~6 中随机选 1 个数字作为自己的幸运数字，旺旺随机掷 3 个骰
子，如果朝上的3个面出现希希选中的数字，希希胜；如果未出现希希选中
的数字，旺旺胜．旺旺获胜的概率是（ ）．
1 17 8 91 125
A. B. C. D. E.
216 108 27 216 216
6. 若x4 16x 12，则x12 =________．
61八年级团体战 2021
4a3 1 2a 1
7. 若a x2  2，则    =（ ）．
x4 a4 ax x2 a2 ax
9 2 16 2 18 2
A.3 2 B. C. D. E.4 2
2 3 5
8. 如图，在半径为 4的扇形AOB中，AOB90，C，D分别为AO，BO的中
点，E，F 为圆弧的三等分点，则四边形CDFE的面积为________．
9. 用符号@n表示从1开始的n个连续自然数的最小公倍数．如：@6=60．
满足@n=@(n+4)且不大于100 的自然数n有________个．
1 7
10. 关于x的不等式 xk1 xk  的解为x ，则k =________．
2 16
八年级团体战 F 组答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D 5 10 10582 E 3 C 6 11 1
622022 HMTC 巅峰对决 8 年级
1. 给下面的8个方格染色，每个方格染一种颜色，颜色可以在红、黄、蓝中任
选，要求相邻的方格（相邻是指有公共边的两个方格）颜色不同．一共有
________种染色方法．（图形不可翻转、旋转）
2. 如图所示，大正方形ABCD和小正方形A B C D 的顶点顺次连接，图中阴
1 1 1 1
影部分的总面积为772，小正方形A B C D 的面积为 478，则大正方形ABCD
1 1 1 1
的面积为________．
633. 特警小分队举行技能对抗赛，每场比赛2人进行对抗，任意 2人之间最多进
行1场对抗比赛．如果任意4人中都恰好进行了3场对抗比赛，则特警小分
队最多有________人．
4. 对于自然数k（k≥2），如果存在k个自然数，将它们两两求最大公因数，恰
kk1
好得到1，2，3，…， ，就称k为“牛数”．一共有_______个“牛数”．
2
 1  1   1  1   1  1 
5. 若xy  1  1   yz  1  1  xz  1  1  4，
 x2  y2   y2  z2   z2  x2 
x y z  xyz ，则xy yz zx的值是________．
6. A、B、C、D、E、F、G、H代表1至8中不同的数字，满足：
2022AB余数为C，2022DE余数为F，2022G余数为H，C 大于F．
那么三位数CFH 是_________．
7. 传说蓬莱仙境有一种神狐，它们身上都分别带有一个多位数印记，并且神狐
的尾巴数量正好是这个多位数所有因数的个位数字的种类数量．例如，12
的因数有1，2，3，4，6，12，所有因数的个位数字有1，2，3，4，6共5
种，因此身上印记为 12的神狐有5条尾巴．那么，九尾神狐（9条尾巴）身
上的多位数印记最小是_________．
648. 两个连续自然数，分别计算它们的数字和，发现这两个数字和的最大公因数
是一个奇合数．这两个连续自然数中，较小的自然数最小是________．
9. 三个互不相同的非零自然数，其中任意两数的和均为完全平方数，那么这三
个自然数的和最小为________．
10. 点F是正五边形 ABCDE内的一点，且四边形ABFE为菱形，菱形ABFE比
五边形BCDEF的面积大104 5 ．则正五边形ABCDE的面积是________．
658 年级巅峰对决答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 162 2022 5 2 1 762 180 89989999 55 10
662022 思维挑战冬令营八年级真题
3
1. 若n为整数，且72( )n为整数，则满足条件的n有________个．
2
x4 3x3 6x2
2. 若x 51 ，则 =________．
x3 x2 2x4
2022 2021 2022 2021
3. 计算：  ________．
2022 2021 2022 2021
4. 已知abab1，则a2b2 a2 b2 2a2b2b1=________．
5. 已知x1，x4 4x3 6x2 3，则x3 3x2 3x333=________．
6. 正数a，b，c满足a²+b²=100，a²+c²=81，b²+c²=m²，则满足条件的正整
数m有________个可能值．
[x]3y 5

7. 已知x，y满足 ，那么[x–3y] 的值是________．（注：[x]表示不
[y]x4
超过x的最大整数，如[2.1] = 2，[3] = 3，[– 1.2] = – 2）
678. 用[x]表示不超过x的最大整数，如[1] = 1，[π] = 3，[– 1.2] = – 2．
1 1 1 1 t 
令t     ，则 =________．
 
100 101 102 2022 4
9. 如图所示，在△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°．延长AB到D，使得
CD=AB，则∠BCD =________°．
10. 如图，两个等边三角形的中心重合，并且三组边分别平行．若每组边之间
的距离是 3，则两个等边三角形边长的差是（ ）．
1
A.2 3 B.4 C. 3 3 D.6 E.4 3
2
11. 如图，在长方形ABCD中，AB=36，BC=30，F是AB上一点，G是 BC的中
点，DG上的点E与点 A关于DF对称，则BF =________．
6812. 钝角三角形三边的长为10，17，m，则整数m有________个可能值．
13. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB－AD = 1．若这个四边形的
面积为12，则BC＋CD = ________．
14. 如图，三个大小相同的大圆和一个小圆两两相切，大圆半径与小圆半径的
比值为（ ）．
A. 3 B.2 3 C. 31 D.2 3+3 E. 2 31
6915. 沿图中的正六边形平面将正方体切成两部分后（正六边形的六个顶点是所
在棱的中点），表面积增加了 24 3 cm2，那么原正方体的体积是
________cm3．
16. 将一张长80cm、宽60cm的长方形纸片折叠，使其中一条对角线上的两个
端点重合，折痕的长是________cm．
17. 如图，梯形ABCD的上底和下底之比是3∶5，过AC，BD的交点作EF //
AB，过 CE，DF的交点作GH // AB，则梯形EFGH和梯形ABCD的高的比
是（ ）．
A．1∶4 B．15∶56 C．3∶14 D．2∶7 E．10∶39
7018. 如图，PQ是圆的直径，从直径一端的P点引出“山峰线”．“山峰线”和
直径PQ的夹角都等于α．在四个山峰之后，“山峰线”在点 Q处结束．则
α = ________度．
19. 一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，当∠ β是∠α的一半时，∠
α =________°．
20. 已知x，y，z是实数，且x2 + y2 + z2 = x – z = 2，满足条件的数组（x，y，
z）有________ 组．
21. 方程 x  y  1000的正整数解有________组．
22. 方程 xy 2 x  y 8的整数解有________组．
7123. 一个自然数分别除以3，5，7，11，13，所得商的和是185，所得余数的和
是8（若整除，余数记为0），这个自然数是________．
24. 平面直角坐标系上P，Q，R三点的坐标如图所示，PQ⊥PR，则
m=________．
25. 如图，一只机器蛙在直角坐标系中跳动，它从原点O开始，依次关于点
A，B，C，D做循环对称跳动，第一次跳到O关于A的对称点P，第二次
跳到P关于B的对称点Q，第三次跳到Q关于 C的对称点M，……这样共
跳了1000次，则机器蛙最后所在点的横纵坐标之和是________．
7226. 乐乐为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地按照如图所示的步骤行
走，那么机器人走过的路线所围成图形的面积是（ ）．
3 3 3 13 3
A. B. 3 C. D.3 E.
2 2 4
27. 把10个不同的球全部放入8个不同的空盒子中，每个盒子中至少有1个
球，则共有________种放法．
28. 汉字“希”、“望”、“数”各代表一个数，将它们两两相乘，所得到的
三个乘积相加求和．再将“希 + 1”、“望 + 1”、“数 + 1” 两两相乘，
所得到的三个乘积相加求和．两次求和得到的结果相差2025，那么，
“希”+“望”+“数”=________．
29. 正整数p，q（p<q）分别是正整数 n的最小质因数和最大质因数，并且
p2 + q2 = n + 9，则 n =_________．
30. 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数字组成有序数组
（x，y，z）．若x + y + z是 4的倍数，则满足条件的数组有________个．
73答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 6 1 8086 0 336 9 3 17 15 D
题目 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 16 13 7 D 64 75 B 72 84 1
题目 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 9 9 221 10 500 E 30240000 1011 20 180
742022 HMTC 国际精英挑战营
八年级个人战
 20242 2030  20242 4045 
1. 计算： =________．
2021202320262027
1x2 x3x4 …x2023
2. 已知x2 x10，则 ________．
x2022
3. 已知 x是整数，下列哪一个选项不能写成x x 的形式？（ ）
A.20 B.30 C.110 D.150 E.600
4. 已知 ，则n是________位数．
m
5. 梯形四边边长分别为4 3，4 3，4 3，24 3，其面积为 ，其中 m，n为互
n
质的正整数，则mn________．
756. 等腰三角形的三条边的长度分别为 n² + n，2n + 12，3n + 3，所有满足条件的
n的和是________．
7. 方程22022 220212202022019 22018x的解是 x = ________．
x yz xyz x yz x yyzzx
8. 若   ，则 ________．
z y x xyz
A．– 1或8 B．1 或 – 8 C．– 1 或3 D．1或 – 3 E．3或8
9. 已知 x，y，z 均为非负数，且x + y + z = 1，则 3x1 5y4 7z9的最
小值是________．
10. 方程x  x2 3x1 2 3  x2 3x1  1的不同实根共有________个．
11. 已知正整数 a，b，c，d满足a2 2acd 11cd 10，b2 2bcd 11cd 12，
则d 的所有可能取值之和为________．
7612. 32022除以26的余数是________．
13. 甲、乙两人合伙做生意，一共赚了 a2元钱（a 为两位自然数）．分钱时，甲
先拿 100元，乙后拿 100元，然后甲再拿 100 元，乙再拿100元，……如此
下去，最后一次拿的钱数不足100元．为使两人最终拿钱的总数一样多，多
拿的人退了35.5 元给少拿的人．他们赚的总钱数有________种可能值．
xa5
14. 已知关于x的不等式组 恰有三个不同的整数解，则满足条件的 a的
x7a2
取值范围是（ ）．
5 4 5 4 5 4
A． a B． a C． a
7 7 7 7 7 7
5 4 4 5
D． a E． a
7 7 7 7
15. 如图，在平行四边形 ABCD中，∠C = 40°，DE平分∠ADC，则∠DEB的度
数为________度．
7716. 如图，四个大小不同的正方形拼在一起，图中的数表示相应线段的长，中间
的斜线把整个图形分为面积相等的两部分，则最左侧正方形的边长为
________．
17. 如图，在直角坐标系 xOy中，点A的坐标为（10，0），点 B在y轴正半轴移
动．若△OAB三边的长都是整数，则点 B的纵坐标是________．
18. 设直线l : y 1k12k1xk和直线l : y 1k 2k1xk1，其中k
1 2
为正整数．若 l ，l 及y轴围成的三角形面积为 S ，则
1 2 k
S 2S 3S  2022S 的值是（ ）．
1 2 3 2022
1011 1011 1011
A．2022 B．1011 C． D． E．
2 4 8
7819. 从 1，2，3，4，5，6 这六个数中取出三个互不相同的数替换直线方程
axbyc0中的 a，b，c，可以在平面直角坐标系中画出________条不同
的直线．
2021n 2023n
20. 已知 10~100之间的自然数 n使得 是整数，则n的最大值是
2022
________．
21. 如图，过三角形内一点分别作三条边的平行线，把△ABC 分割成 3个三角形
和3 个四边形．若 3个三角形的面积分别是 1，4，9，则△ABC 的面积是
________．
7922. 在证明勾股定理时可以用四个全等的直角三角形拼成一个正方形（如图1），
我们把这样的图形称为弦图．
类似构造弦图的方法，我们也常常可以用在矩形中．如图 2，过矩形
ABCD的顶点A 作直线EF，分别过点B、D 作EF的垂线，垂足为点 E、F，
则△BEA∽△AFD．
如图3，在矩形 ABCD中，AD = 5，AB = 10，分别以AD、BC 为斜边
构造全等的直角三角形 ADE和直角三角形 CBF．若AE = CF = 3，则
EF2 = ．
23. 盒子里装有2022 个蓝球和2022个红球，每次取 1个球，观察颜色后再放回
盒子中．编号为 1~10的10个人依次从盒子中取球，直到取出红球换下一个
人．若编号n的人取球次数为 n的概率为 P(n)，则P(1) + P(2) + … + P(10) =
________．
1 1 1023 511 255
A. B. C. D. E.
1024 512 1024 512 256
8024. 小喜和小美两人玩跳棋，规则是：
①从起点开始轮流走棋；
②按路线往前跳，先到旗子处的人获胜；
③每次跳的格数有两种选择，要么跳 1 格，要么取走最上面一张卡牌并按该
数字跳格．
如果后走棋的人有必胜策略，那么终点处的旗子可能是第几格？（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 E. 14
卡牌
25. 下图中所有数的和是________．
你可能用到的公式：
n(n1)
1234 n
2
n(n1)(2n1)
12 22 32 42  n2 
6
81答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 1 1 D 60 13 7 30 A 7 1
题目 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 72 1 4 B 110 3 24 D 114 99
题目 21 22 23 24 25
答案 36 221 C C 323204
822022 HMTC 国际精英挑战营
八年级团队战
A 卷
1. 在1，22，33，44，……，20222022这2022个数中，有________个立方数．
8 12 6
2. 已知a 3 9 3 31，那么   4________．
a3 a2 a
3. 边长为60 cm的等边三角形内部有3个相同大小的半圆，3个半圆的圆心分
别在等边三角形的三条边上，并且3个半圆两两相切．则图中 1个半圆的面
积是________ cm2．（π=3.14）
4. 抽奖箱里有10个手感无差别的小球，其中红球 1个，黑球2个，白球7个．每
个红球的奖金是5元，每个黑球的奖金是 2元，每个白球的奖金是0元．光
头强从抽奖箱里同时摸出2个球，奖金大于2元的概率是（ ）．
1 1 17 2 2
A. B. C. D. E.
10 5 90 9 5
5. 已知n为非负整数，且  n2 3n1 2 1为质数，则 n共有________个可能值．
83B 卷
1. n是一个大于1的正整数，下面算式的乘积是一个完全平方数，n的最小值
是________．
2. 计算12 22 32 42 52 62 72 82 20212 20222 ________．
3. 直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，AD是BC 边上的高．分
别以 AB 和 AC 为边向三角形外作等边三角形，则图中阴影部分面积为
________．
A．7572 3 B．128 C．100 3 D．144 3 E．192
4. 投掷一枚骰子两次，记录每次掷出的点数，并把这些点数相乘，乘积为2的
概率是（ ）．
1 1 1 2 1
A. B. C. D. E.
36 18 9 9 6
5. 自然数n满足1≤n≤2022，且2n + n3能被7整除，这样的自然数n有________
个．
84C 卷
1 1 1 1
1. 计算：    ________．
1 2 2 3 3 4 99 100
2. 已知x – y = 100，则代数式 x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx的最小值是________．
3. 长方形ABCD中有两个圆，大圆的半径是 6，小圆的半径是4，长方形的长
BC = 18，则长方形的宽 AB =________．
4 4
4. 设m = 1– 2a，n = 3a – 4，在 a 范围内任取一个数作为a的值代入，
3 3
使得m和n之间（不包括m和n）恰有一个整数的概率为（ ）．
1 1 1 3 1
A． B． C． D． E．
5 4 3 8 2
1 1 1 1
5. 正整数m，n满足m < n，且    ，则
m2 m (m1)2 (m1) n2 n 2021
m + n的最小值是________．
85D 卷
1 1 1
1. 已知x1   ，那么x的整数部分是
1 2 2+ 3 2021+ 2022
________．
2. 设n为正整数，并且nn能整除8(8 8 )，则n的最大值为（ ）．
A．216 B．221 C．222 D．223 E．224
3. 如图，已知∠ABC =30°，∠ADC = 60°，AD=DC，AB = 42，BD = 70，则
BC = _________．
1
4. 若0 ≤ a ≤ 1，0 ≤ b ≤ 1，则 ab  的概率为（ ）．
3
2 1 4 5 7
A． B． C． D． E．
9 3 9 9 9
x y  z  4
5. 设x，y，z 是非负实数，且满足 ，则4x3y2z的最小值为
x y3z  6
________．
86E 卷
1
1. 设实数a0，且满足aa (32a)6a，则 ________．
a
2. 已知x ，x ，…，x 都是正整数，x x x 188，则x2 x 2 x 2
1 2 50 1 2 50 1 2 50
的最小值是________．
3. 在△ABC 中，AB=52，BC=56，CA=60，AD⊥BC 于D，∠BAC 的角平分线
AE交BC 于E，则 DE =________．
4. 满足 1 2 3 n 2022的自然数n 最小是________．
       
注：[x]表示不大于x的最大整数，如[3.6]=3，[5]=5．
1 1 1 
5. 已知n为正整数，那么2022    的最大值为________．
n n1 2n
87F 卷
x y yz xz
1. 若 1， 2， 4，则6x2y5z的值为________．
xy yz xz
2. 如图，在四边形ABCD中，AB=80，BC=45，AD=100，AC⊥BD，则
CD=________．
3. 已知x ，x ，…，x 都是正整数，x x x 188，则x2 x 2 x 2
1 2 50 1 2 50 1 2 50
的最大值是________．
4. 用[x]表示不超过x的最大整数，如：[3.7]=3，[5]=5．有________个整数x
3x4
满足 2022．
 
 5 
1 1 1 1
5. 实数a，b，c满足：a0bc，    ，则(a2b)(a3c)的
a 2b 3c a2b3c
值为________．
88答案
A卷 1 2 3 4 5
答案 682 6 471 D 4
B 卷 1 2 3 4 5
答案 30 4090505 A B 290
C卷 1 2 3 4 5
答案 9 7500 16 B 359
D卷 1 2 3 4 5
答案 44 B 56 D 19
E 卷 1 2 3 4 5
答案 64 716 6 216 3033
F卷 1 2 3 4 5
答案 2 75 19370 2 0
892023 Global Peak Challenge (IHC 8)
2023 希望杯国际数学邀请赛巅峰对决（IHC 8）
Individual Thinking Round 个人思考赛
Total of10questions, eachworth 10points, fora total of100points.
Timelimit: 30minutes.
No discussion allowed. Each person answers one exam paper and submits one answer
sheet.
共10道题，每题10分，共100分。
限时：30分钟。
不允许讨论，每人答一份试卷，各提交一份答题卡。
I-1. For positiveintegers a,b,candd: If b2=a，c3=d2，c–a=5,then thevalueof
d–bis _______.
正整数a，b，c，d满足b2=a，c3=d2，c－a=5，则d－b的值为_______。
I-2. Thesolution tothe equation is x= ________.
方程|x1||x2 4x|5x的解为x=________。
I-3. In the figure below, 4 circles with a radius of 1 are drawn with the centers at the
vertices A, B, C, and D of a regular octagon with a side length of 1. The area of
theshaded region is ________.
如图，分别以边长为1的正八边形的四个顶点A、B、C、D 为圆心画半径为
1的圆，则阴影部分的面积是________。
90I-4. In the figure below, two athletesAdam and Bob are training on the same circular
track. They start simultaneously from point A and run in opposite directions.
After finishing 1 lap, they immediately turn around and run the second lap. In the
first lap, Bob's speed is of Adam's speed. In the second lap, Adam's speed
decreases by from Adam’s first lap, while Bob's speed increases by from
Bob’s first lap. They first meet at point B and then meet again at point C. The
distance between points B and C along the track is meters. The length of
thecirculartrack is ________meters.
如图，甲、乙两名运动员在同一条环形跑道上训练，他们同时从 A点出发，
沿相反反方向跑，各自跑完一圈后立即调转回头跑第二圈。跑第一圈时，乙
4 1
的速度是甲的 ，甲跑第二圈速度比跑第一圈降低了 ，乙跑第二圈的速度
5 5
1
比跑第一圈提高了 。两人第 1 次相遇在 B 点，第 2 次相遇在 C 点，B，C
4
800
两点沿跑道的距离是 米，那么这条跑道长________米。
9
91I-5. TeamAcan complete aproject in 10days.Team Bcan complete theproject in15
days. If TeamAand Team B work together, Team A’s efficiency will decrease to
of its original rate, whileTeam B’s efficiency will decrease to of its original
rate. The project is planned to be completed in 8 days, and it is required that the
two teams cooperate for as few days as possible.Therefore, the two teams need to
cooperatefor ________days.
一项工程，甲工程队单独做需要10天完成，乙工程队单独做需要15天完成，
4
如果两队合作，甲队的工作效率将降低到独做时的 ，乙队的工作效率将降
5
9
低到独做时的 。现计划8天完成这项工程，且要求两队合作天数尽量少，
10
那么两队要合作________天。
I-6. The number the pointer points at when you spin the roulette wheel is the number
of points you get. If all wheels get the same sufficient number of spins, which
roulette wheel has the highest possibility of obtaining the most total points?
Roulette( )
转动圆盘，当圆盘停下时指针指向的数就是你获得的点数。如果转动圆盘的
次数相同且足够多，哪个圆盘更容易获得最多的总点数？（ ）
I-7. One cup of sugar water can achieve a new concentration usingmagic to replace a
portion of the sugar with water.Adding more water to the cup can also change the
concentration. The amount of sugar replaced by magic in the first method is
of the original weight of the sugar water,and the amount of water added in the
second method is of the original weight of the sugar water. If the new
concentrations using both methods are the same, then the original concentration
ofthesugar water is ________%.
92一杯糖水，如果用魔法把里面的一部分糖换成水，会得到一个新的浓度；如
果往里面加水，也可以得到同样的新浓度。假如第一种方法中使用魔法换走
1 1
的糖与第二种方法中往里增加的水，重量分别是原来糖水重量的 和 ，那
10 5
么这杯糖水原来的浓度是________%。
I-8. Let . The remainder when M is divided
by4is ________.
记M 13132 33 34 32023 32024，则M除以4的余数是 。
I-9. In the figure below,12 nails are evenly placed on the circumference of a circle.A
triangle can be formed by using a rubber band to encircle any 3 nails. There are
________ different triangles among all the possible triangles that can be formed
bytherubber band.
如图，圆周上均匀地钉了 12 枚钉子，用橡皮筋套住其中的 3 枚，可套得一
个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同形状的共有________种。
I-10. In the figure below, ABC and CDE are isosceles right triangles with BAC
and CDE being righ△t angles. AB△=21 cm, CD = 35 cm, and AE intersects∠BD at
point∠O.Theareaof theshaded region is ________cm2.
如图，△ABC 和△CDE 分别是以∠BAC 和∠CDE 为直角的等腰直角三角形，
AB=21cm，CD=35 cm，AE 与 BD相交于O点，那么图中阴影部分的面积为
________cm2。
93Answer（答案）
Question
I-1 I-2 I-3 I-4 I-5 I-6 I-7 I-8 I-9 I-10
题目
Answer 1
25 -1 2  800 5 D 60 1 12 608
答案 2
942023 Global Peak Challenge (IHC 8)
2023 希望杯国际数学邀请赛巅峰对决（IHC 8）
Team Speed Rounds 团队速度赛
There are a totalof12questions, divided into two rounds with 6questions each. Each
question isworth 10points,for atotal of120points.
Timelimit:Round 1-10minutes; Round 2-10minutes.
Discussion isallowed. Each team will answer oneset of questionpapers andsubmit
onlyone answer sheet.
共 12 道题，分两轮进行，每轮 6 题，每题 10 分，共 120 分。
限时：第 1 轮，10 分钟；第 2 轮，10 分钟。
允许讨论，每个队答一份试卷，只提交一份答题卡。
First Round 第一轮
4 5 6 10
TS-1-1. Calculate: + + ++ =________.
1 2 3 2 3 4 3 4 5 7 8 9
4 5 6 10
计算： + + ++ =________。
1 2 3 2 3 4 3 4 5 7 8 9
1
x=
1
TS-1-2. Given that 2+ ,then x3+5x2 +5x+2023=________.
1
2+
2+...
1
x=
1
已知 2+ ，则x3+5x2 +5x+2023= 。
1
2+
2+...
TS-1-3. Given that , then positive integer m
=________.
95已知 20212 2019202020222023m2，则正整数m的值为________。
TS-1-4. In the figure below, in square ABCD, EB BC = 5 12. Both and are
squares.Then theratio ofthesidelengths ofsqu∶are to∶ is ___①_____.②
如图，正方形 ABCD中，EB∶BC=5∶12，①、②
①
都是
②
正方形，则正方形①
与②的边长比为________。
TS-1-5. Let a be thesum ofthe digits of 111111111, a be thesum of the digits of a
1 2 1,
a be the sum of the digits of a , and so on such that a is the sum of the digits of
3 2 n
a where n is a positive integer greater than 1. If a is a single-digit number,
n－1 n
then thevalue ofa is _________.
n
设a 为111111111的各位数字之和，a 是a 的各位数字之和，a 是 a 的各位
1 2 1 3 2
数字之和，… ，a 是 a 的各位数字之和（n 是大于 1 的正整数）。若 a
n n－1 n
是一位数，则a 的值为_________。
n
TS-1-6. a, b, c, and d are distinct digits from 1 to 9. When the expression
1 1
a c
1 1 is maximized, the corresponding four-digit number abcd
b d 
c a
is at most________.
1 1
a c
a，b，c，d 分别是 1~9 中的不同数字，当算式 1 1 取最大值
b d 
c a
时，对应的四位数
abcd
最大是________。
96Answer（答案）
Question
TS-1-1 TS-1-2 TS-1-3 TS-1-4 TS-1-5 TS-1-6
题目
Answer
161
2026 4084439 85∶229 9 9281
答案 144
972023 Global Peak Challenge (IHC 8)
2023 希望杯国际数学邀请赛巅峰对决（IHC 8）
Team Speed Rounds 团队速度赛
There are a totalof12questions, divided into two rounds with 6questions each. Each
question isworth 10points,for atotal of120points.
Timelimit:Round 1-10minutes; Round 2-10minutes.
Discussion isallowed. Each team will answer oneset of questionpapers andsubmit
onlyone answer sheet.
共 12 道题，分两轮进行，每轮 6 题，每题 10 分，共 120 分。
限时：第 1 轮，10 分钟；第 2 轮，10 分钟。
允许讨论，每个队答一份试卷，只提交一份答题卡。
Second Round 第二轮
TS-2-1. In thefigure below,thereare 8flowerpots labelled fromAto H.Wewant to
plant flowers inthese 8pots undercertain conditions:
● Each potcan only have onespecies offlower.
● Theoptions are roses, tulips, and daffodils.
● It isnot necessary to plant all three types of flowers.
● Every flowerpot without roses must benext toa pot withroses.
There exists _______different arrangements forplanting theflowers.
如图，有编号 A~H 的 8 个花坛，现要在这 8 个花坛中种花，每个花坛种一
种花，花的品种在玫瑰、月季和郁金香中选择，三种花可以不全选。每一个
不种玫瑰的花坛都至少与一个种玫瑰的花坛相邻。共有________种种花的安
排方法。
98TS-2-2. There is a ten-digit number (where the same letter represents
the same digit, and different letters can also represent the same digit) that satisfies
thefollowing conditions:
● The two-digit number is divisibleby2.
● The three-digit number isdivisibleby3.
● …and soon
● The ten-digit number isdivisibleby10.
● However,theseven-digit number isnot divisibleby7.
Thevalue oftheten-digit number is ___________.
有一个十位数 （相同字母表示相同数字，不同字母也可以表示相
abcdeabcde
同数字）满足两位数
ab
可被2整除，三位数
abc
可被3整除，……，以此类
推，十位数
abcdeabcde
可被10整除，但七位数
abcdeab
不能被7整除，则十
位数
abcdeabcde
是___________。
99TS-2-3. In the figure below, the diagonal AC of quadrilateral ABCD measures 5 cm.
The areas of the squares ABFE, BCHG, CDJI, and DALK are 5 cm², 10 cm², 8
cm²,and 13cm² respectively.The area ofquadrilateral ABCDis ________cm2.
如图所示，四边形 ABCD 的对角线 AC 长为 5 cm，正方形 ABFE、BCHG、
CDJI、DALK 的面积分别为5cm2、10cm2、8cm2、13cm2，那么四边形ABCD
的面积为________cm2。
TS-2-4. There are three hills in the zoo: A, B, and C. Hill A has the most monkeys,
and Hill C has the fewest monkeys, with HillAhaving 6 more monkeys than Hill
C. One day, the zookeeper brought 10 boxes of bananas to feed the monkeys.
Each box has the same number of bananas, which is a number from 40 to 49.
Each monkey in HillAgot 1 more banana than each monkey in Hill B, and each
monkey in Hill B got 1 more banana than each monkey in Hill C. After
distributing the bananas, there were 2 bananas left. If there are 16 monkeys in
HillB, then there are ________monkeys in HillA.
动物园有 A、B、C 三座猴山，A 山的猴子最多，C 山的猴子最少，且 A 山
比C 山多 6 只猴子。一天，饲养员拿了 10箱香蕉分给猴子，每箱香蕉数量
相同，都是 40 多根。A 山每只猴子比 B 山每只猴子多分 1 根，B 山每只猴
子比C 山每只猴子多分1根，最后剩下 2根香蕉。如果B 山有16只猴子，
那么A山有______只猴子。
100TS-2-5. Aboat travels from pointAto point B down a river with the current flow and
immediately turns around to travel from point B to point A against the current
flow.It’s given that:
● Theboat's average speed throughout theentire journey is 270meters per hour
● Theboat's speed in stillwater is ameters per hour
● Thecurrent flow speed isbmeters per hour.
● Both aand bare nonzeronatural numbers.
There exists ________such ordered pairs (a，b).
一艘船从上游 A 点顺流而下到达下游 B 点，立即掉头逆流而上返回上游 A
点。如果船全程的平均速度为每小时行 270 米，船在静水中的速度为 a 米/
小时，水速为b米/小时，a和b都是非零自然数，则有序数对（a，b）有________
种不同的情况。
TS-2-6. In the figure below, two congruent right triangles are overlapped together.
AB = DE = 15, AC = DF = 20, and BAC = EDF = 90°. The area of the
pentagon CDFEG is________. ∠ ∠
如图，两个相同的直角三角形叠放在一起，AB=DE=15，AC=DF=20，
∠BAC=∠EDF=90°，则五边形CDFEG的面积为________。
101Answer（答案）
Question
TS-2-1 TS-2-2 TS-2-3 TS-2-4 TS-2-5 TS-2-6
题目
Answer
1377 6480064800 7.5 19 10 198
答案
1022023 Global Peak Challenge (IHC 8)
2023 希望杯国际数学邀请赛巅峰对决（IHC 8）
Team Thinking Round 团队思考赛
There are 10questions intotal, each worth 10points,for atotal of100points.
Timelimit:45minutes.
Discussion isallowed, each team answers onetest paper, and only oneanswer sheet is
submitted.
共 10 道题，每题 10 分，共 100 分。
限时：45 分钟。
允许讨论，每个队答一份试卷，只提交一份答题卡。
1 1 1 1 1 1 1 1
      
2 4 6 8 10 12 2022 2024
TT-1. Calculate: ________.
1 1 1 1
  
507 508 509 1012
1 1 1 1 1 1 1 1
      
2 4 6 8 10 12 2022 2024
计算： ________。
1 1 1 1
  
507 508 509 1012
TT-2. At nighttime, a police officer spotted a thief standing under a streetlamp 100
meters ahead. The street has streetlamps placed every 30 meters, with each
streetlamp illuminating a 10-meter area in front and behind it. In an illuminated
area, the police officer’s speed is 8 m/s and the thief’s speed is 5m/s. In a dark
area, the police officer’s speed is 5 m/s and the thief’s speed is 6 m/s. It would
take________seconds for thepoliceofficer tocatch upwiththethief.
一天晚上，警察在街道上发现小偷正好在前方100米远的一盏路灯下面，于
是就追了上去。街道上每隔30米有一盏路灯，每盏路灯能照亮前后各10米
的道路。如果在路灯照亮的地方警察的速度为每秒8米，小偷的速度为每秒
1035米；在黑暗的地方警察的速度为每秒 5 米，小偷的速度为每秒 6 米，那么
警察________秒后能追上小偷。
TT-3. Let n be a natural number in base-10, n ≤ 2023. After converting n and n+1
into base-3, the sum of the two numbers does not result in any carry. There are
________suchvalues ofn.
n是十进制中不大于2023的自然数，将n与n+1转换成三进制数后，两数求
和不产生进位。这样的n有________个。
TT-4. In the figure below,three squares with areas 40, 52, and 68 are placed together.
Thearea oftheshaded triangleis ________.
如图，面积分别为 40，52，68 的三个正方形围在一起，则阴影三角形的面
积为________。
TT-5. The following multiplication problem has some digits already filled in.Among
the 2 factors and the final product, there are 3 odd digits in total (including the
digit 3which is already filled in).Theproduct ofthismultiplication is ________.
下列乘法竖式部分数字已经填好，已知两个乘数与最后的乘积一共有三个奇
数数字（包括已经填好的数字 3），那么这个算式的乘积为________。
104TT-6. A16-digit number has the property that any 3 consecutive digits taken from it
form a 3-digit number that is divisible by 11, 13, or 15. The largest 16-digit
numberthat satisfies these conditions is________.
一个十六位数，任意从中截取三个连续数位都能得到一个三位数，这个三位
数能被11、13或15整除，满足条件的十六位数最大是________。
TT-7. Let numbers that can be represented as the sum of three distinct unit fractions
11
be called a "three-fraction". For example, is a "three-fraction", because it can
12
1 1 1 1 1 1
be represented as   , or   . So, arranging all the "three-fractions" in
2 4 6 2 3 12
descending order,the23rd numberis ________.
11
我们将可以表示为三个不同的单位分数之和的数称为“三分数”，比如 就
12
1 1 1 1 1 1
是一个“三分数”，它可以表示为   （或者表示为   ）。那么，把
2 4 6 2 3 12
所有的“三分数”从大到小排列，第23个数是________。
TT-8. Use 4 different colours to colour the 11 circles in the figure below, ensuring
that any two adjacent circles connected by a line have distinct colours. There are
atotal of________distinct ways tocolourthe11circles.
用四种颜色给下图中的 11 个小圆圈染色，要求有线段相连的两个相邻圆圈
的颜色不能相同。一共有________种不同的染色方法。
105TT-9. A recurring decimal that starts from the first digit after the decimal point is
called apure recurring decimal,suchas and .Thenumber
ofnatural numbers whose reciprocals are0.p1u4re28re5c7urring0d.e0c7im6a9l2s3with arecurring
cycle ofexactly six digits is_________.
循环节是从小数点后第一位开始的循环小数叫做纯循环小数，例如   ，
0.142857
  。其倒数是循环节恰好为六位的纯循环小数的自然数一共有
0.076923
________个。
TT-10. Six numbers a,b,c, d,e, andf satisfy thefollowing conditions:
● All6numbers are less than 40.All6numbers are distinctfrom each other.
● Thenumbers a,b,and eform an increasing arithmeticsequence.
Thenumbers c, d,andf form an increasing arithmeticsequence too.
● Theleast common multiple (LCM) ofthese sixnumbers is 1800.
● Both dand eare perfect square numbers.
The number of factors in the product of d and e is also a perfect square
number.
Thevalue ofd+e + fis ________.
六个数a、b、c、d、e、f满足以下条件：
①这六个数都小于40且各不相同；
②a、b、e是依次增大的等差数列，c、d、f也是依次增大的等差数列；
③这六个数的最小公倍数是1800；
④d、e均为完全平方数，并且d、e 乘积的因数个数也是完全平方数。
那么d+e+f =________。
106Answer（答案）
Question
TT-1 TT-2 TT-3 TT-4 TT-5 TT-6 TT-7 TT-8 TT-9 TT-10
题目
Answer
1 7
70 127 22 63222 9885858585858585 3840 53 44
答案 2 8
1072023 IHC A-8 中文卷
1. 1，2，33，4 4，6 6这 5个数中，最大的是（ ）．
A．1 B． 2 C．33 D．4 4 E．6 6
2. 已知(x3)(x2) 是多项式 2x4 x3ax2 bxab1的因式，则 ab
________．
3. 若3a 9b 324，其中 a和b是整数，那么ab________．
51
4. 已知x ，则x5 5x3________．
2
2
 
2  3 2  3
5. 计算：   =________．
 
 2  2  3 2  2  3 
1 1 1
6. 已 知 a，b，c 为 实 数 ， 且 满 足 abc2 ，   0 ， 则
a2 b3 c4
(a2)2 (b3)2 (c4)2 _________．
7. 已知 a，b，c满足abc4，a2 b2 c2 6，a3 b3 c3 13，则a4 b4 c4 
________．
8. 设 n 个实数 a，a，，a 中的每一个数都是 1 或 1 中的一个．若
1 2 n
a a a a
1  2   n1  n 0，那么n的最小值为________．
a a a a
2 3 n 1
9. 设a，a，，a 为 k 个互不相同的正整数，且ka (k1)a  a 220，那么
1 2 k 1 2 k
k的最大值为__________．
10. 4 个互不相同的非负整数满足a a a a ，且a a a a 2022，令 a
1 2 3 4 1 2 3 4
为a a，a a，a a 这三个数中的最小值，那么 a的最大值为_______．
2 1 3 2 4 3
10811. 设 0≤x，y，z≤1，则M  |xy| |yz| |zx|的最大值为（ ）．
A．1 B． 21 C． 21 D． 2 E．2
12. 若 1 1a  4 2a ，那么a_________．
13. 一个大正方形被分割成 100×100 个边长都为 1 的方格．一只蚂蚱从大正方
形左下角出发，前往右上角．它每次跳跃的距离为5，并且每次跳跃的落点
都是格点．蚂蚱至少要跳________次才能到达终点．
14. 一个正多边形截去一个角后，得到的多边形内角和是 2160°，那么原来的
正多边形的边数不可能是（ ）．
A. 13 B. 14 C. 15 D.16
15. 如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠DBC=45°．翻折梯形 ABCD，使
点 B 重合于点 D，折痕分别交边 AB、BC 于点 F、E．若 AD=2，BC=8，则
BE的长为______．
10916. 如图，△ABC 和△ADE 有一个公共顶点 A，且 B，A，E 共线，D 在边 AC
上，∠AED和∠ACB 的平分线交于点 F．若∠B=40°，∠EDA=56°，则
∠EFC=_________°．
17. 如图，在梯形ABCD 中，BC=2AD，△ABE 和△CDE均为等腰直角三角形．已
知梯形 ABCD的面积是 2022，则△BCE 的面积为________．
18. 下图是鸡蛋的画法：
（1）作两条垂直线，以 O点为圆心，OA为半径向下作出半圆；
（2）在O点上方选取点 C，使得 OC=OA，连接AC、BC 并延长；
（3）以B为圆心，BA为半径作出扇形 BAD，再以A为圆心，AB为半径作
出扇形 ABE；
110（4）以C 为圆心，CD为半径作出扇形 CDE，外围轮廓就是鸡蛋．
现在有一只小鸡从鸡蛋中破壳而出，把扇形 CDE顶破后，鸡蛋只剩下图（3）
的阴影部分．已知 OA=10，则阴影部分的面积为________．（π取3.14）
19. 如图，五边形 ABCDE 中，F、G、H、I分别为AB、BC、CD、DE中点，连
接 FH、GI，M、N 分别为 FH、GI中点．已知 AE=100，则MN=________．
20. 如图所示的正十二边形的面积为 108，阴影部分为两个正方形，则阴影部分
的总面积为________．
21. 唐老鸭与米老鼠举行万米赛跑，米老鼠的速度是每分钟 200米，唐老鸭的速
度是每分钟 100 米．唐老鸭有一个让米老鼠倒退的魔法遥控器，通过这种遥
控器发出第 n次指令，米老鼠就以原来速度的 10%n倒退一分钟，然后再按
原来的速度继续前进．如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出
指令的次数至少是________次．
11122. 希希和望望分别从 A、B两地同时出发相向而行．当他们迎面相对时，希希
的速度是望望的 3倍；当他们不迎面相对时，望望的速度是希希的 3倍．他
们第 1 次相遇点距离 B地 30 米，然后两人继续前进并在 A、B 间往返．那
么从开始出发到第 100次迎面相遇，希希走了______米．
23. 在12022，22021，32020，，20212，20221这些数中，完全平方数有_______个．
⏟ ⋯
111 11
24. 有一列数：1，11，111，1111，⋯， ．
100个1
其中能被17整除的最大的数由________个数字1组成．
46
25. 实数x满足xx2x3x 10x (其中x表示不大于x的最大整数)，
3
那么 12x的值为_______．
26. 用[x]表示不超过 x的最大整数，用{x}表示 x－[x]．例如：[3.7]=3，{3.7}=0.7；
[4]=4，{4}=0．如果一个正数 x 满足x[x]{x}为非零整数，则称 x 为“完美
数”．所有不超过 10的完美数的和是________．
27. 对于一件物品，定义其四个均为自然数的属性为Ilv,Qlv,Mlv,Alv，记Ilv,Qlv中
较大者为q．
Alv和其余三者之间的关系只有以下三种情况：
（1）若Mlv0，则AlvqMlv；
1 1
（2）若Mlv0且q99 Qlv，则Alvq Qlv；
2 2
1
（3）若Mlv0且q99 Qlv，则Alv2q99．
2
对于一件Qlv68,Mlv0的物品，要想使其Alv不低于 56，则其Ilv的最小值
为________．
11228. 一个图形被划分为 A~M这13个区域，分别是 6个正方形、6个三角形和中
间的六边形．若用三种颜色给这个图形染色，要求相邻的区域不同色（相邻
指有公共边），三种颜色都用到，则一共有________种染色方法．
29. 如果一个人过生日时的星期数与出生日的星期数相同，则称这个生日为“幸
运生日”，且过第一次“幸运生日”时的年龄称为“幸运数”．所有可能的
“幸运数”有_______个．
注：（1）“星期数”是星期一、星期二、……、星期日这 7种情况；
（2）2月 29日出生的人，不是每年都过生日.
30. 8个国家举行足球比赛，其中阿根廷队和巴西队实力最强，其余 6支队实力
2
相当，阿根廷队和巴西队战胜其余 6支队伍的概率均为 ．比赛采用淘汰赛
3
制，胜者晋级下一轮．那么在整个赛程中，阿根廷队遇到巴西队的概率是（ ）．
1 1 23 217 334
A． B． C． D． E．
4 3 63 567 567
113答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C 19 7 0 2 121 34 4 10 337
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 B 8 30 D 5 82 337 371 25 72
题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 23 11970 1033 96 4 32 78 2184 7 D
1142023 IHC D-8 中文卷
1 3 5 7 9 11 13
1.       ________.
2023 20232 20233 20234 20235 20236 20237
2. 如图，A+A +A +A +A +A +A +A +A +A +A =________.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A 4 A 5 A
6
A
3
A
7
A
2
A
8
A
1 A
9
A 11 A 10
3. 黑板上写着2023个数，聪明的小希和小望利用它们来做游戏. 两人轮流将这
些数擦除，每人每次只能擦除1~10个数，谁最后把黑板上所有的数擦除就
能获胜. 若小希先开始擦，他第一次要擦除________个数，才有必赢策略.
2 4x2
4. 设正数x，y满足   y 10. x的取值范围为________．
x2 y
5. 如图△ABC，△DEB，△EFC，△ADF 的面积依次是 1，2，3，4.则
AB
=________.
AD
6. 当n是奇自然数时，双阶乘n!!表示从 1 至n的所有奇自然数之积，例如：
7!!75 31，当n是偶自然数时，双阶乘n!!表示从 1 至n的所有偶自然
数之积， 例如：6!!642. 则下式1!!2!!3!!2021!!2022!!2023!!
的个位数字是________.
1157. 自然数3255,4205,5153中最大的是________.
2
 1 
8. y  x2 2 1 的最小值为________.
 
 x1 
88882222
9.  的各位数字之和是________.
23个8 23个2
10. 设a 是正整数（k = 1，2，…），定义：
k
1 1 1
b 1 ，b 1 ，b 1 ，……
1 a 2 1 3 1
1 a  a 
1 a 1 1
2 a 
2 a
3
则关于这列数下面四个选项中正确的有________个.
A. b b B. b b C. b b D. b b
1 7 3 8 6 2 4 7
a3b3
11. 已知正实数a,b满足ab3 ab,则 =________.
a3 b3
12. 如图，在梯形 ABCD中， AB//CD，点A、B、C 的横坐标分别为2,3,1，
1 k
点 D 的纵坐标是 ，且梯形ABCD的四个点都在反比例函数y  (k 0)的
3 x
图像上，那么k等于________.
1161 1 1
13. 若正数a，b，c，满足abc 2，a 3，b 17，则c ________.
b c a
14. 一个六位数a2022b能被 12 整除，满足条件的所有这样的六位数之和是
________.
15. 代数式(12...n)2(1323...n3)（n为自然数）个位数字可能值之和是
________.
2020a 2020b
16. 方程  4满足ab的正整数解(a,b)=________.
a b
17. 设20264的所有正约数为d ,d ,...,d ，则
1 2 k
 1 1 1 
20262      =________.
d 20262 d 20262 d 20262
 
1 2 k
18. 解方程：x1 x2 2023x 2 x 2 x2023．x________.
19. 如图，平行四边形ABCD中，在边AB、AD上分别取点E、F ，AB与AD长
度的乘积等于AE与AF 长度乘积的5.8倍.DE与BF 相交于点O，四边形
CBOD的面积是四边形AEOF的面积的________倍.
20. 使得2020+7n是完全平方数的最小正整数n为________.
11721. 已知关于x的方程 x2 xc2tx 有两个根分别为 x 、x ，且
1 2
5
x2 x2 t2  t4. 当实数t 为________时，实数 c取得最小值是________.
1 2 2
22. 若干支篮球队进行循环赛，即每支球队与其他球队各进行一场比赛. 已知每
支球队赢了 10 场比赛且输了 10 场比赛. 如果甲、乙、丙三支球队，甲赢了
乙，乙赢了丙，丙赢了甲，称这三支球队为“三平衡组”. 在这若干支篮球
队中，有________个“三平衡组”.
23. 如图，一个大正方形被分割成50×50个边长都为1的方格．一只蚂蚱从大正
方形左下角出发，前往右上角．它每次跳跃的距离为 5，并且每次跳跃的落
点都是格点．蚂蚱至少要跳________次才能到达终点．
1 3
24. 若实数a、b满足ab1，且a1或a4，M   的最小值是
1a 14b
________．
25. 将所有除以 6 余 3，除以 6 余 4 和除以 6 余 5 的正整数从小到大排成一列，
设 S 表 示 这 列 数 的 前 n 项 和 ， [x] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 .
n
[ S ][ S ]

[ S ]=________.
1 2 2023
118答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
506 1 2
答案 900° 10 x 21 6 4205 5 211 2
1022121 2 3
题目 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 9 7569
答案 2 4682016 12 (404,1010) 12.5 5.8 27
18 20 1849
题目 21 22 23 24 25
3 4 34
答案 ，1 385 16 2047276
2 3
1192023I-A-8 卷
1. 一项工程，甲队单独做需要 45天完成；甲、乙两队合做比乙队单独做少用
12天．那么乙队单独做需要________天完成．
2. 在平面直角坐标系中，一个正方形的两个对角顶点的坐标分别为（1，2），
（4，1），这个正方形的面积是________．
3. 如图，每个圆的直径是 8cm，则“？”=（ ）cm．
A.4(12 3) B.4(2 3) C.24 D.8(1 3) E.8(2 3)
4. 如果2x 2023 16y 1，9y 3x 999，那么y x2 ________．
5. 若实数 a，b，c满足a+x2=2022，b+x2=2023，c+x2=2024，且abc=24，
2b 3c 4a
则   的值为________．
a b c
6. 已知M  94 5  112 30 ，则M2 4M 2023________．
7. 用摄氏温度计测量，水的冰点是0 ℃，沸点是100 ℃；用华氏温度计测量，
水的冰点是 32 ℉，沸点是212 ℉．某物体的温度用摄氏温度计和用华氏温度
计测得的温度数值相等，该物体的温度是（ ）．
A. – 40℃ B. 40℃ C. – 48 ℃ D. 48 ℃ E. 32 ℃
120|x|y 20

8. 已知 ，则|x|| y|________．
x| y|10
1 1
9. 已知  x  5，那么  x 3的值是________．
x x3
4a2 4b2 4c2
10. 已知 a，b，c是△ABC 的三边长，且满足 b， c， a，
4a2 4b2 4c2
则△ABC 的面积为（ ）．
A.2 B. 2 C. 3 D. 21 E. 31
11. 已知△ABC 的三个内角满足∠A<∠B<∠C<90°，令α为90°–∠C，∠C–
∠B，∠B–∠A 中的最小值，那么 α的最大值为________°．
12. 若关于 x 的一元二次不等式 6x2+ax–a2<0 恰有 6 个整数解，则符合要求的整
数a 有________个．
x9 2x8 3x7  9x10
13. 已知 的值为整数，则满足条件的正整数 x有
x1
________个．
a2b3c4d 0

a4b9c16d 0 337
14. 已知 ，则1 =________．
a8b27c64d 0 a

 a16b81c256d 1
15. 若 3x2–mx+14=(ax+b)(cx+d)，其中 m，a，b，c，d 都是整数，则满足条件的
整数 m有________个．
12116. 从1，2，…，10 这10个数中任意取出若干个数，其中至少包含 2、4、6或
8中的一个数，共有________种取法．
17. 一个各边长均为整数的直角三角形，若它面积的数值是周长数值的2023倍，
就称它为“好三角形”，那么一共有________个不同的“好三角形”．
18. 若九位数2023a3202是17的倍数，则 a=________．
19. 按如图的程序进行操作，x的取值范围是（ ）时，该程序会进入死循环．
（注：死循环指无法靠自身的控制终止的循环．）
A.0≤x＜10 B.x≤8 C.8＜x＜10 D.10＜x≤18 E.x≥10
20. B船在A船的北偏西 45°方向相距20 km 处，若A船向西航行，B船同时向
南航行，且B船的速度为A船的3倍，那么A、B两船的最近距离是________km．
21. 如图，在△ABC 中，AB=50，AC=110，∠B = 3∠C，则△ABC 的面积是________．
22. 在正△ABC 内部有一点 O，已知∠AOB=116°，∠BOC=121°．若一个三角形
的边长等于 OA、OB、OC，则这个三角形的最大内角为________°．
1224
23. 如图，直线y x4与x轴和y 轴交于 A，B两点，在线段AB 和OB上
3
放有两面镜子．一束光从 O点沿直线y=kx射出，在 AB上的点 P处反射后
照射在 OB上的 Q点，又一次反射后恰好经过点 A，则k=________．
24. 典狱长和两个死囚玩一个游戏，由两个死囚分别在两个房间内扔一个硬币，
硬币出现正面或反面的概率都是二分之一．扔硬币后两个死囚分别猜测另一
个囚犯扔出的是正面还是反面，如果两人都猜对，则两人都被释放；但如果
有人猜错则两人都被执行死刑．假如两个死囚足够聪明，并在扔硬币前商量
好对策，那么他们两人都被释放的概率是________%．
25. 如图，21 名绝顶高手等距离地站在一条周长为 21 米的圆形道路上，现要从
中选出 7 人去匡扶正义，要求选出来的任意两人之间的弧长不能是 7 米和 3
米，那么共有________种不同的选法．
123答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 30 5 D 69 5 2025 A 20 18 C
题目 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 15 4 1 2023 8 960 30 7 B 4 5
题目 21 22 23 24 25
16
答案 2640 63 50 126
13
1242023I-S-8 卷
1. 一项工程，甲队单独做需要 45天完成；甲、乙两队合做比乙队单独做少用
12天．那么乙队单独做需要________天完成．
2. 在平面直角坐标系中，一个正方形的两个对角顶点的坐标分别为（1，2），
（4，1），这个正方形的面积是________．
3. 如图，每个圆的直径是 8cm，则“？”=（ ）cm．
A.4(12 3) B.4(2 3) C.24 D.8(1 3) E.8(2 3)
4. 数列{a }满足a  2，a (a ) 2，若a 为整数，则n的最小值为________．
n 1 n n1 n
5. 若实数 a，b，c满足a+x2=2022，b+x2=2023，c+x2=2024，且abc=24，
2b 3c 4a
则   的值为________．
a b c
21 y
6. 已知有理数 x，y满足 3 3  x y ，则 的值为________．
4 x
7. 用摄氏温度计测量，水的冰点是0 ℃，沸点是100 ℃；用华氏温度计测量，
水的冰点是 32 ℉，沸点是212 ℉．某物体的温度用摄氏温度计和用华氏温度
计测得的温度数值相等，该物体的温度是（ ）．
A. – 40℃ B. 40℃ C. – 48 ℃ D. 48 ℃ E. 32 ℃
125|x|y 20

8. 已知 ，则|x|| y|________．
x| y|10
1 1
9. 已知  x  5，那么  x 3的值是________．
x x3
4a2 4b2 4c2
10. 已知 a，b，c是△ABC 的三边长，且满足 b， c， a，
4a2 4b2 4c2
则△ABC 的面积为（ ）．
A.2 B. 2 C. 3 D. 21 E. 31
11. 已知△ABC 的三个内角满足∠A<∠B<∠C < 90°，令α为90°–∠C，∠C–
∠B，∠B–∠A 中的最小值，那么 α的最大值为________°．
12. 若关于 x 的一元二次不等式 6x2+ax–a2<0 恰有 6 个整数解，则符合要求的整
数a 有________个．
x9 2x8 3x7  9x10
13. 已知 的值为整数，则满足条件的正整数 x有
x1
________个．
a2b3c4d 0

a4b9c16d 0 337
14. 已知 ，则1 =________．
a8b27c64d 0 a

 a16b81c256d 1
15. 实数 a，b，c满足 a1≥bc ， b1≥ca ， c1≥ab ，则 a+b+c的
最大值是________．
12616. 从1，2，…，10 这10个数中任意取出若干个数，其中至少包含 2、4、6或
8中的一个数，共有________种取法．
17. 如图，在□ABCD 中，BC＝2AB，BE⊥CD于E，F为AD的中点．若∠DEF
＝48°，则∠A 的度数为________度．
18. 20232024+20242023被3除，余数是________．
19. 按如图的程序进行操作，x的取值范围是（ ）时，该程序会进入死循环．
（注：死循环指无法靠自身的控制终止的循环．）
A.0≤x＜10 B. x≤8 C.8＜x＜10 D.10＜x≤18 E. x≥10
20. B船在A船的北偏西 45°方向相距20 km 处，若A船向西航行，B船同时向
南航行，且B船的速度为A船的3倍，那么A、B两船的最近距离是________km．
A.0 B.2 5 C.4 2 D.4 5 E.10 2
21. 如图，在△ABC 中，AB=50，AC=110，∠B = 3∠C，则△ABC 的面积是________．
22. 在正△ABC 内部有一点 O，已知∠AOB=116°，∠BOC=121°．若一个三角形
的边长等于 OA、OB、OC，则这个三角形的最大内角为________°．
1274
23. 如图，直线y x4与x轴和y 轴交于 A，B两点，在线段AB 和OB上
3
放有两面镜子．一束光从 O点沿直线y=kx射出，在 AB上的点 P处反射后
照射在 OB上的 Q点，又一次反射后恰好经过点 A，则k=________．
16 4 14
A.1 B. C. D. E.2
13 3 11
24. 典狱长和两个死囚玩一个游戏，由两个死囚分别在两个房间内扔一个硬币，
硬币出现正面或反面的概率都是二分之一．扔硬币后两个死囚分别猜测另一
个囚犯扔出的是正面还是反面，如果两人都猜对，则两人都被释放；但如果
有人猜错则两人都被执行死刑．假如两个死囚足够聪明，并在扔硬币前商量
好对策，那么他们两人都被释放的概率是________%．
25. 如图， 21名绝顶高手等距离地站在一条周长为21米的圆形道路上，现要从
中选出 7 人去匡扶正义，要求选出来的任意两人之间的弧长不能是 7 米和 3
米，那么共有________种不同的选法．
128答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 30 5 D 3 5 2 A 20 18 C
题目 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 15 4 1 2023 3 960 84 0 B D
题目 21 22 23 24 25
答案 2640 63 B 50 126
1292024 IHC A-8 中文卷
1. 已知实数 x，y满足 ， ，x≠y，那么x+y=________。
2. 已知
1
x 2  2 x y  2 y 2  1 0 x  1 6 y  3 4  0 ，则 x+y=________。
3. 已知 6 x 2  5 x y  4 y 2  1 1 x  2 2 y  m 可分解为两个一次因式的积，则m的值是（ ）。
A. 10 B. 8 C.1 D. －8 E. －10
4. 已知实数m1，且不等式 ( m  1 ) x  ( m  1 ) ( m  2 ) 的解是不等式 || x  3 |  | x  3 || 3 的
解的一部分，则 m 的取值范围是（ ）。
A. m 
7
2
B. m 
7
2
或 m 
1
2
C. m 
1
2
D. m 
7
2
E. m 
1
2
5. 有四个数，从小到大依次是 1，a，b，c（ 1  a  b  c ），其中两两求和，得到六个
互不相同的和，而把这六个和从小到大排列正好形成一个等差数列。已知这个等差
数列的和是201，则a，b，c的值有________种情况。
6. 满足 a b  4 a  5 b  8  0 的整数对  a , b  有________个。
7. 用  x  表示不超过 x的最大整数，则
 1    2    3    4    5     2 0 2 1    2 0 2 2    2 0 2 3   ________。
8. 如图，P、Q 是矩形 ABCD 的边 BC 和 CD 延长线上的两点，AP 和 CQ 相交于点 E，
且使  P A D   Q A D ，已知 S
A B C D
 2 5 2 0
x2 7x y y2 7yx
，则S _________。
APQ9. 若等腰三角形的一条高把该三角形分成面积比为 1∶3的两部分，则该三角形腰长与
底边的比值为（ ）。
A.
2
2
5
或 5 B.
2
6
或 3 C. 2 或
3
6
D. 7 或 5 E.
2
3
或
2
6
10. 在矩形 A B C D 中，E、F 分别在 B C 、 C D 上，若△ADF，△ABE，△CEF的面积分
别为8，15，20，则△AEF的面积为________。
11. 把1，2，3，……，99分成n组，使每组的数的个数不同，但每组数的和相同，n最
大是________。
12. 已知20a=24，24b=121，121c=20，则(abc)2024=________。
13. 若x，y均为自然数，关于 x，y的方程[20.24x]+[12.1y]=88 的解（x，y）有________
组。（注：[a]表示不超过 a的最大整数）
14. 熊大和熊二都收集了一些怪兽卡片。如果熊大给熊二40张卡片，那么熊二的卡片数
就是熊大的 2 倍；如果熊二给熊大一些卡片，那么熊大的卡片数就是熊二的 4 倍。
熊大和熊二最少共有________张卡片。
15. 若x2 7x20，则1001x38x3 ________。
16. 满足等式 5x4 x1 26x10 x1 3的整数x有________个。17. 如图是一种新式桌球游戏，桌面是一个边长 1 m 的正五边形ABCDE，五个顶点是洞
口，每次从AE的中点 O发球，球碰到桌边都会反弹，球正好到达洞口就会掉进去。
某次发球后，球先击中 AB边上的P点，被反弹后射向 BC 边，在 BC 边被反弹后又
射向CD边，在CD边被反弹后恰好掉入洞口E中。则P点与A点的距离是________cm。
18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BD，AE 是角平分线，过 C 作 BD 和 AE 的垂线，
垂足为M和N。已知 AC+BC=140，MN=20，则△ABC 的面积是________。
19. 计算：
3
 2 0 2 0    2 0 2 1    2
2
0
0
2
2
2
0
 

 2
2
0
0
2
2
3
5
   2 0 2 4    2 0 2 5 
 （ ）。
(注：  x  表示不超过 x的最大整数)
A.
1
2
8
5
9
9
2
53
B. C.
396 1
2
9
6
8
9
0
D.
1
2
8
6
9
3
2
E.
1
2
9
6
8
3
0
20. 一次测试有 3 道相互独立的题，至少答对 2 道题才能通过测试。已知希希答对每题
的概率分别为 0.7，0.6和0.4，那么希希通过这次测试的概率是（ ）。
A.0.144 B.0.168 C.0.18 D.0.604 E.0.72
 x yz 4,

21. 已知实数x，y，z 满足x2  y2 z2 12,则zxy2024 ________。

x3 y3z3 34,
22. 如图，AD是△ABC 的高。
希希想画一个与△ABC 完全一样的三角形，有如下6种方法：
①量边AB，边BC，边AC；
②量边AB，边BC，角B；
③量角A，角B，角 C；
④量边AB，角B，角C；
⑤量边AD，边BC，角C；
⑥量边AB，边AC，边AD。
其中，能画出完全一样的△ABC 的方法有________种。
23. 一个三角形的三边均为正整数且不是等边三角形，若其中一条边长度为 1，则此三角
形周长最小值为________。
24. 正整数a，b满足 a＋b =2023，那么a!·b!的末尾至少有________个0。
（注：m!=1×2×…×m）
25. 六人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左右相邻的两人，然后每人把
左右两个相邻的人告诉自己的数的平均数亮出来，分别为 1，1，2，3，5，8．那么
两个亮1的人心中想的数之和是________。
4答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 6 5 E B 2 4 22 2520 C 37
题目 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 9 1 1 90 700 22 40 2400 B D
题目 21 22 23 24 25
答案 1 5 5 499 4
52024 IHC C-8 中文卷
1. 方程
1
2 2 x  (  4 ) x 2  2 有________个解．
1 1
2. 计算：   ________．
6 8924 5 4 10540 5
3. 已知a = 5 – 1，则 2a3+7a2 – 2a+2023 =_________．
4. 若x2–7x+11=0，则(x–1)(x–2)…(x–6)=_________．
5. 街心小广场是一个宽 8 m 的长方形，对角线长为16 m，在广场的周围和一条对角线上
修建了1 m 宽的小路，其余部分都是草坪，如下图，那么每一个三角形草坪的周长是
（ ）m．
A． 1 8  6 3 B． 1 9  5 3 C． 1 9  6 3 D．206 3 E．212 3
6. 若x满足3x35x2 11x30，则 3  x  x  2 的最大值是________．
7. 如图，AD是△ABC 的角平分线，AB=50，AC=110，∠B = 3∠C，则△ABD的面积是
________．8. 如图，一个高为10 cm，半径为5 cm 的圆柱以每 5秒转一圈的速度旋转，一把宽为 1 cm
的刷子从圆柱侧面的顶端以每秒钟1 mm的速度竖直向下移动．刷子刷过圆柱侧面90%
的面积所用的时间为________秒．
9. 已知n为小于 100的正整数，并且
2
2 n  1 能被 7整除，则这样的n有________个．
10. 已知正整数 x，y满足 x 3  y 3  x 2 y  x y 2  5 ，则 xy  yx  ．
11. 已知实数a，b，c满足 a+b+c=1，
a 
1
b  c

b 
1
c  a

c 
1
a  b
 1 ，则abc=________．
12. 已知x+y=5， x 2  1  y 2  9 的最小值是 a，则 a2＝ ．
     
a1 b1 a1 b1 2ab
13. 已知关于x的方程   无解，实数a，b满足（a–b）ab≠0，
x2 x2 x
则
a
b

b
a
的值是________．
14. 凸四边形 ABCD 的边长分别为 AB=15，BC=7，CD=20，DA=24，则其面积最大是
________．
15. 已知△ABC 的周长是 54，M是AB的中点，MC＝MA＝12，则△ABC 的面积是________．16. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠A=90°，AB=AC，CD=BF，BD=CE，则∠EDF
的度数是________°．
17. 已知
3
 x
y
x

 y
y
x


3 4
1 7
4 ，则(x–y)2=_________．
18. 在△ABC 中，BC=6，AC=8，AB=10，点 D，E分别在AB，AC 上．若 DE将△ABC 分
成面积相等的两部分，则 D E 2 的最小值为_________．
x3 x
19. 若[x]表示不大于 x的最大整数，例如[2.7] = 2，[–3.7] = –4，则方程  11的解
 
 7  2
是x=_________．
20. 已知12，14，37，65 是方程ab–ac+bd =182 的一组整数解，则ab+cd = ．
21. 欢欢和乐乐两个人玩游戏，欢欢的五张扑克牌为 10，3，2，9，5，乐乐的五张扑克牌
为7，4，9，6，3．每人从自己的牌中随机出一张牌，谁牌上的数大谁赢，则欢欢赢的
概率为（ ）．
2 11 12 13 14
A． B． C． D． E．
5 25 25 25 25
22. 从1，2，3，…，2022，2023中最多可取出_________个数，满足其中任意两个数的差
都不等于3．23. 任取正整数a，b，c，d中的3个求和，所有可能得到的结果为 35，36，37，那么这四
个数的和为_________．
24. 希希进行一个挑战，规则如下：将一枚棋子放在最左侧标有○的格子中，然后投掷一
枚骰子（点数为1~6），掷出的点数是几，就将棋子向右移动几格．如掷出的点数为 6，
棋子就移动到标有※的格子中．从起点开始连续投两次骰子，相应地移动棋子两次，
如果棋子落到标有☆的格子，就算挑战成功．那么，希希挑战成功的概率为（ ）．
A．
4
1
6
B．
1
8
C．
1
9
D．
1
1 2
E．
1
1
5
○ ※ ☆
25. 从下图16 个方格中选择 5个互不相邻的方格，有________种选择方案．
（注：相邻指的是有公共边．）答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 1 18 2035 5 B 3 825 80 33 3
题目 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 0 41 0 234 81 45 900 16 18 1354
题目 21 22 23 24 25
答案 B 1012 48 C 304
52024I-S-8 卷
1. 有理数a，b，c，d，e，f满足：
1
a
a
 b

1
3
,
b
b
 c

1
4
,
c
c
 d

1
5
,
d
d
 e

1
6
,
e
e
 f

1
7
，
则
f
a
=________。
2. 算式(((111)1)2)3+(((222)2)3)4+…+(((888)8)9)10+(((999)9)10)11得数的个位数字是
________。
3. 若x和y都是正整数，且 x  y  2 0 2 4 ，则x+y的值为________。
4. 如图，连接正六边形的各边中点得到一个小的正六边形，阴影部分的面积与
小六边形的面积之比是（ ）。
A.1∶2 B.2∶5 C.1∶3 D.1∶4 E.1∶5
5. 在一场篮球比赛中，希希共投篮80次，命中 30次，假设这以后他的投篮总
是先命中1次再失败1次，为使总投篮命中率不低于 40%，他至少要再投篮
________次。
6. 在平面直角坐标系中，一个菱形四条边中点的坐标分别为（3，3）、（9，3）、
（3，1）、（9，1）。这个菱形的边长是（ ）。
A.6 B.2 10 C.8 D.4 5 E.10
7. 已知满足 x2 6x20 24 a的实数x恰好有7个，则a 的值为________。8. 如图，在等腰直角△ABC中，CD和AE分别是AB和BC的中线，且CF⊥AE。
若△ABC 的面积是 108，则△CDF的面积是________。
9. 两个两位数
2
A B 、CD相乘，积恰好等于四位数 A B C D 的一半，则 A B C D
=________。
10. 大于 1的正整数 n的所有正因数的乘积是 n6，则n最小是________。
11. 如图，在直角梯形 ABCD 中，∠B=∠C=90°，MN⊥AD，且 MA=MN=MD。
若四边形 MNCD 的面积是2024，则梯形 ABCD的面积是________。
12. 若x2=5x–1，则 x3+x–3的值为________。
13. 代数式 9 a 2  5 b 2  1 2 a b  6 a  2 b  1 1 0 的最小值是________。
14. 满足等式 x y  y x  2 0 2 4 x  2 0 2 4 y  2 0 2 4 x y  2 0 2 4 的正整数对（x，y）
有________个。15. 如图，正方形ABCD 的边长为
3
6  4 3 ，E，F分别在BC，CD上，∠EAF=45°。
沿EF折叠△CEF，若折叠后点C 位于△AEF的内部，则所有符合条件的点
E构成的线段的长度为________。
16. 已知实数 a>b>c>0，且 a2b – ab2 + a2c – ac2 + b2c + bc2 = 3abc，则
a 
2 a
b  c
的
值为________。
17. 正整数 x使得代数式 4x2 + 5x – 6的值恰好是两个大于 0的连续偶数的乘积，
那么 x的值为________。
18. 海盗把一些珠宝放入9个小方格中，每个小方格至少放 1颗珠宝。无论海盗
怎么放，总有3个小方格中的珠宝数量一样多。海盗最多有________颗珠宝。
19. 定义新运算： x @ y 
 x
y
(
(
x
x


y
y
)
)
。若|m+6|@（3–2m）=|m+6|，则 m的最大值
是（ ）。
A.3 B.  2
3 1
C. D.–1 E.
2 21
20. 函数 y=kx（k＞0）与函数 y 的图像相交于 A，C 两点，AB垂直 x轴于B，
x
则△ABC 的面积为________。
21. 已知两个正方形的周长和是 2024，则这两个正方形的面积和最小是________。
22. 用一些单位正方体拼成一个大正方体，将大正方体的六个面都涂上颜色后发
现，在所有单位正方体中，没被涂色的面的数量比被涂色的面的数量多 450
个，则六个面都没被涂色的单位正方体有________个。
 2022 2023 2024 2025 2026 2027
           
23. 记S= ，其中[x]
 2024 2025
   
表示不超过实数 x的最大整数，则
4
 1
S

的值为________。
24. 如果三个正整数能够构成直角三角形的三条边，则称这三个正整数为一组勾
股数。从 3，4，5，…，15 这 13 个数中任取三个不同的数，这三个数构成
勾股数的概率是（ ）。
A.
C
2
31
3
B.
C
3
31
3
C.
C
4
31
3
D.
C
5
31
3
E.
C
6
31
3
25. 把1~150的连续的自然数排成一行：
1234567891011……149150
从某个非零数字开始向右截取 4 位，构成一个四位数，这样的四位数有
________个（相同的数只计一次）。答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 720 3 1012 C 15 B 5 18 1352 60
题目 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 4048 110 100 16 4 1 6 24 D 1
题目 21 22 23 24 25
答案 128018 27 7 C 307
5