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第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
2
“
”
很开心能见到你，本书将带领你进入全新的领域。在过去
的学习中，无论你是卓越还是略有失意，此刻将是新的征途的开
始。你是否已准备好谱写新的辉煌？
在这里，你会知道许多著名数学家的趣事。你也会揭开数学
神秘的面纱，了解数学之美。
大数学家高斯说：“数学是一切科学的皇后。”如果说物理是
上帝的游戏，那数学就是上帝的游戏规则。数学是通往星辰大海
的秘钥，是国防科技的护盾，是我们脚下这片土地的未来。华罗
庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之
变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。”
现在的你，肯定已迫不及待想要扬帆起航。但睿智的你肯定
也明白，学习的事，容不得半点含糊。
亲爱的同学：
第一，凡事预则立，不预则废。
第二，认真听课，积极互动。认真做笔记，总结解题方法、技巧。
第三，温故而知新，可以为师矣。不忘温习，方得始终。
第四，及时完成随堂练习。今朝有题今朝做，明朝又有明朝事。
第五，整理错题，学会总结。聪明人知错就改，糊涂人有错就瞒。
最后，青春的帆已扬起，只待你乘风破浪，勇往直前。
对于初中直播课学习，给你一些建议：
序言
华
罗
庚
高
斯
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第
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请
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文
内
容
3
1
心形函数曲线
π
5
2
3
4
金字塔
有趣的黄金分割线
对称美
古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线条和其他一切
美的形体都必须有对称的形式。”对称本身即具有和谐的
整体美。
早在南北朝时期，大数学家祖冲之就利用割圆术将圆周
率π精算到小数点后七位，直到15世纪，阿拉伯数学
家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
金字塔，是古埃及人智慧代表的巅峰之作。早在古希腊
时期，几何学家泰勒斯就可以根据投影与相似三角形定
理，测量出金字塔的高度。
0.618比1，著名的“黄金分割比”。意大利著名画家
达·芬奇笔下的《蒙娜丽莎》就多次应用黄金分割比，
蒙娜丽莎之所以越看越美，就是因为她的脸型、身材均
符合黄金矩形。
笛卡尔给公主的信中，只有一道函数公式：r=a(1-sinθ）。
而极具浪漫色彩的是，当公主把函数图象画出来后，一颗饱满
的心跃然纸上。这就是著名的“心形线”。
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【相交线与平行线】 能熟练运用平行线
的性质和判定来解决平
行线的证明、平行线间
的动点问题；
【数域拓展课】 实数易错概念辨析
【数形思想课】 平面直角坐标系中的面
积问题
【数形思想课】 平面直角坐标系中的规
律探究
【运算能力课】 含参二元一次方程（组）
【运算能力课】 含参不等式（组）
【实际应用课】 列方程、不等式解应用
题
【动态探究课】 平面直角坐标系中的动
点问题
【运算能力课】 有理数的运算技巧
【数形思想课】 有理数与数轴结合、分
类讨论、绝对值的代数
意义与几何意义
【动态探究课】 数轴上的动态问题
【运算能力课】 整式与整体思想、巧解
一元一次方程与含参一
元一次方程
【实际应用课】 方案选择与阶梯计价
【几何思维课】 线与角的分类讨论、动
态问题
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7
希望学教研团队
亲爱的同学：
当你翻开这本书的时候，你又开始了一段新的学习之旅。
本书由希望学教研团队编写而成。团队有多年的教研沉淀，致力于
为同学们提供小学、初中和高中全学科的课外有益补充，培养学生分
析问题和自主解决问题的能力。锻炼思维，开拓视野，由“知识型”
向“能力型”转化。
下面我们将向你介绍本书的诞生过程：
1、对标教材和课程标准建立课程大纲
希望学教研团队根据教育部审定的最新中学教材，选取重难点模
块，收集各地区题目，精心敲定教学大纲。
2、依据大数据、编撰高标准
①依托多年教研沉淀，精品题库、讲义素材、课件切片等四大库教
研基建，为讲义编撰提供优质素材；
②希望学大数据核心算法定位学习中的薄弱环节；
③百人教研团队，历经1000+小时，严格按照大纲目录进行编写，
三轮审核三轮校对。
3、三审三校
初稿经由希望学教研中心内部一审，学科产品、教学中心、主讲老
师集中二审，外部专家专业三审后进入校对环节。
由编者一次精校；教研中心资深教研员二次精校；排版团队三次精
校。只有经过全面的三审三校，这本书才能发送给我们的用户！
4、排版
编撰与审校结束后，会安排专业团队进行排版印刷。模板和风格由
专业设计师进行设计，并不断更新迭代，紧跟审美风向标，提升可读
性。由供应部门统一调配和发货，这本书就会到达你的手中啦！
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！接下来的每一天，我们都会在
你的见证下不断精进，不断成长。
未来，希望学也会继续承担起用科技推动教育进步的重任，不断致
力于教育资源的均衡发展。伴随着你的成长，见证着你的成功，每天
进步一点点，一起做更好的自己！
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目录
第1 讲
模型观念课——全等综合
1
模块一“对角互补”模型
4
模块二“角含半角”模型
6
模块三
动态问题
9
模块四
拓广探索
10
【习题课】全等综合
15
第2 讲
模型观念课——轴对称综合19
模块一
垂直平分线
22
模块二“将军饮马”
24
模块三
拓广探索
31
【习题课】轴对称综合
36
半期阶段复习
(选取最新试题，班主任发送电子版讲义)
第3 讲
几何直观课——等腰三角形41
模块一
等腰三角形
44
模块二
等边三角形
47
模块三
存在性问题
50
模块四
拓广探索
52
【习题课】等腰三角形
56
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第4 讲
运算能力课——幂运算与
整式乘除
61
模块一
幂运算
64
模块二
整式乘除
67
模块三
拓广探索
70
【习题课】幂运算与整式乘除
74
第5 讲
运算能力课——乘法公式
综合提高
77
模块一
完全平方公式及配方
80
模块二
复杂乘法公式
84
模块三
拓广探索
87
【习题课】乘法公式综合提高
91
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第1 讲
模型观念课—
模型观念课——
全等综合
模块一“对角互补”模型
模块二“角含半角”模型
模块三
动态问题
模块四
拓广探索
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第
1
讲
全
等
综
合
2
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
“对角互补”
模型
“对角互补”模型
★★★
例1
随堂练习2
★★★★
例2
随堂练习5
“角含半角”
模型
“角含半角”模型—
120°含60°
★★★
例3
随堂练习3、4
“角含半角”模型—
90°含45°
★★★★★
例4
动态问题
动点形成的全等
三角形问题
★★★★★
例5
★★★★★
例6
随堂练习1
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综
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3
知识引入
小季：这世界上分为三种人，一是创造者，二是跟随者，三是迷失者。先知先觉者创
造，后知后觉者跟随，不知不觉者迷失。创造者一定是动态思维者，迷失者一定是静态思
维者。班长、小马，你们是哪种人呢？
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第
1
讲
全
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综
合
4
模块一
模块一
“对角互补”模型
知识梳理
“对角互补”模型：
已知：𝐴𝐷=𝐷𝐶，∠𝐴+∠𝐶= 180∘．
求证：𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶．
【思路点拨】
辅助线：延长𝐵𝐶至点𝐸，使𝐶𝐸= 𝐴𝐵，连接𝐷𝐸．
易证：△𝐷𝐴𝐵≌△𝐷𝐶𝐸（
）
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第
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讲
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5
知识模型
“对角互补”模型
典型例题1
如下图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，连接𝐵𝐷，求∠𝐴𝐷𝐵的度数．
典型例题2
如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐷𝐶= 180∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸．若𝐴𝐸= 17，
𝐵𝐶= 8，𝐶𝐷= 6，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为
．
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6
模块二
模块二
“角含半角”模型
知识梳理
“角含半角”模型
当图形中90∘角里含有45∘角，120∘角里含有60∘角或是直接已知𝛼= 1
2𝛽（两个角有公
共顶点）时，我们常称之为半角模型．
此类题目的做法通常为截长补短法．
常见“角含半角”模型——90∘角里含有45∘角
如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷边上一点𝐸，𝐷𝐶边上一点𝐹，若∠𝐸𝐵𝐹= 45∘，则𝐴𝐸+𝐹𝐶=
𝐸𝐹．
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7
知识模型
“角含半角”模型—120∘含60∘
典型例题3
（1）如图1，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷= 120∘，∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90∘，𝐸、𝐹分别是𝐵𝐶，𝐶𝐷上的点，且
∠𝐸𝐴𝐹= 60∘，探究图中线段𝐵𝐸，𝐸𝐹，𝐹𝐷之间的数量关系是
．
（2）如图2，若在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+∠𝐷= 180∘，𝐸，𝐹分别是𝐵𝐶，𝐶𝐷上的
点，且∠𝐸𝐴𝐹= 1
2∠𝐵𝐴𝐷，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（𝑂处）北偏西30∘的𝐴处，舰艇乙
在指挥中心南偏东70∘的𝐵处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令
后，舰艇甲向正东方向以60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50∘的方向以
80 海里/小时的速度前进，1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达𝐸，𝐹
处，且两舰艇与指挥中心𝑂之间的夹角∠𝐸𝑂𝐹= 70∘，试求此时两舰艇之间的距离．
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第
1
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全
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综
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8
知识模型
“角含半角”模型—90∘含45∘
典型例题4
如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸、𝐹分别是边𝐵𝐶、𝐶𝐷上的点，∠𝐸𝐴𝐹= 45∘，△𝐸𝐶𝐹的周长为
4，求正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长．
融会贯通1
已知在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸、𝐹分别为边𝐵𝐶与𝐶𝐷上的点，且∠𝐸𝐴𝐹= 45∘，𝐴𝐸与𝐴𝐹
分别交对角线𝐵𝐷于点𝑀、𝑁．则下列结论正确的是
．
①∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐷𝐴𝐹= 45∘；②∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝑁𝑀；③𝐵𝑀+𝐷𝑁= 𝑀𝑁；④𝐵𝐸+𝐷𝐹= 𝐸𝐹．
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第
1
讲
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综
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9
模块三
模块三
动态问题
知识梳理
动点形成的全等三角形问题
1. 解题时，需要注意题目中对于全等的描述是数学符号还是文字形式．如果是数学符号，
则已经确定了顶点的对应顺序，不需要进行分类讨论，而当是文字描述时，往往需要分
类讨论．
2. 在分类讨论前，不能急于求成，应尽可能挖掘已知的有用信息，如：
(1) 尽可能多的确定点的对应关系，再根据需求进行分类讨论．
(2) 找到相等的角，再去讨论剩下的1 对或2 对顶点的对应关系．
(3) 有时并不能知道两个角相等，但是根据已知条件，可以判定出它们是对应角，比如
两个角都是钝角，可以利用这样的“同类角”来确定对应关系，减少讨论的情况．
典型例题5
点𝐴和动点𝑃在直线𝑙上，点𝑃关于点𝐴的对称点为𝑄，以𝐴𝑄为边作Rt△𝐴𝐵𝑄，使
∠𝐵𝐴𝑄= 90∘，𝐴𝑄∶𝐴𝐵= 3 ∶4．直线𝑙上有一点𝐶在点𝑃右侧，𝑃𝐶= 4cm，过点𝐶作射线
𝐶𝐷⊥𝑙，点𝐹为射线𝐶𝐷上的一个动点，连接𝐴𝐹．当△𝐴𝐹𝐶与△𝐴𝐵𝑄全等时，𝐴𝑄=
cm.
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1
讲
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综
合
10
模块四
模块四
拓广探索
典型例题6
如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 12cm，𝐵𝐶= 20cm，过点𝐶作射线𝐶𝐷//𝐴𝐵．点𝑀从点𝐵出
发，以3cm/s 的速度沿𝐵𝐶匀速移动；点𝑁从点𝐶出发，以𝑎cm/s 的速度沿𝐶𝐷匀速移
动．点𝑀、𝑁同时出发，当点𝑀到达点𝐶时，点𝑀、𝑁同时停止移动．连接𝐴𝑀、𝑀𝑁，设
移动时间为𝑡(s)．
（1）点𝑀、𝑁从移动开始到停止，所用时间为
s．
（2）当△𝐴𝐵𝑀与△𝑀𝐶𝑁全等时．
①若点𝑀、𝑁的移动速度相同，求𝑡的值．
②若点𝑀、𝑁的移动速度不同，求𝑎的值．
（3）如图②，当点𝑀、𝑁开始移动时，点𝑃同时从点𝐴出发，以2cm/s 的速度沿𝐴𝐵向
点𝐵匀速移动，到达点𝐵后立刻以原速度沿𝐵𝐴返回．当点𝑀到达点𝐶时，点𝑀、
𝑁、𝑃同时停止移动．在移动的过程中，是否存在△𝑃𝐵𝑀与△𝑀𝐶𝑁全等的情形？若
存在，求出𝑡的值；若不存在，说明理由．
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第
1
讲
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综
合
11
随堂练习
随堂练习1
如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 12 厘米，𝐵𝐶= 8 厘米，点𝐷为𝐴𝐵的中点．如果点𝑃在
线段𝐵𝐶上以2 厘米/ 秒的速度由𝐵点向𝐶点运动，同时，点𝑄在线段𝐶𝐴上由𝐶点
向𝐴点运动．若点𝑄的运动速度为𝑣厘米/ 秒，则当△𝐵𝑃𝐷与△𝐶𝑄𝑃全等时，𝑣的值
为( )．
A. 2
B. 3
C. 2 或3
D. 1 或5
随堂练习2
如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐶= 5，∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐷𝐶𝐵= 90∘，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面
积为( )．
A. 15
B. 12.5
C. 14.5
D. 17
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合
12
随堂练习3
如图，在五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸中，𝐴𝐵= 𝐴𝐸，𝐵𝐶= 2，𝐷𝐸= 1，∠𝐵+∠𝐸= 180∘，∠𝐵𝐴𝐸= 120∘，连
接𝐴𝐶，𝐴𝐷，∠𝐶𝐴𝐷= 60∘，则𝐶𝐷=
．
随堂练习4
如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐵𝐶中，∠𝐴= 40∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 2，∠𝐵𝐷𝐶= 140∘，𝐵𝐷= 𝐶𝐷，以点𝐷
为顶点作∠𝑀𝐷𝑁= 70∘，两边分别交𝐴𝐵，𝐴𝐶于点𝑀，𝑁，连接𝑀𝑁，则△𝐴𝑀𝑁的周长为
( )．
A. 4
B. 5
C. 6
D. 无法求出
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13
随堂练习5
如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵+∠𝐷= 180∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐸、𝐹分别是线段𝐵𝐶、𝐶𝐷上的点，
且𝐵𝐸+𝐹𝐷= 𝐸𝐹．求证：∠𝐸𝐴𝐹= 1
2∠𝐵𝐴𝐷．
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1
讲
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综
合
14
思维游戏
思维游戏——风吹蜡烛
停电了，小马点着了5 根蜡烛，但外面有一阵风吹来，有2 根
被风吹灭了。过了一会儿，又有1 根被风吹灭了。为了防止蜡烛再
被吹灭，小马赶紧关上了窗户，之后，蜡烛就再没被吹灭过。
你知道最后还能剩下几根蜡烛吗？
燃着的蜡烛最终将燃尽。所以，最后只能剩下3 根被风吹灭的
蜡烛。
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15
“三精”习题课
第 讲
1
全等综合
进阶拓展1
频率：高
已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与𝐴重合，将此三角板绕点𝐴旋
转时，两边分别交直线𝐵𝐶，𝐶𝐷于点𝑀，𝑁．
（1）当𝑀，𝑁分别在边𝐵𝐶，𝐶𝐷上时（如图1），求证：𝐵𝑀+𝐷𝑁= 𝑀𝑁．
（2）当𝑀，𝑁分别在边𝐵𝐶，𝐶𝐷所在的直线上时（如图2），线段𝐵𝑀，𝐷𝑁，𝑀𝑁之间又有
怎样的数量关系，请直接写出结论
．
（不用证明）
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1
讲
全
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综
合
16
（3）当𝑀，𝑁分别在边𝐵𝐶，𝐶𝐷所在的直线上时（如图3），线段𝐵𝑀，𝐷𝑁，𝑀𝑁之间又有
怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程．
睛
点
法
方
“角含半角”模型结论：
注意：当该半角旋转至外部时，解题方法的核心仍然是：旋转全等
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1
讲
全
等
综
合
17
进阶拓展2
频率：高
如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶= 8．点𝑃从𝐴点出发沿𝐴−𝐶−𝐵路径向终点
运动，终点为𝐵点；点𝑄从𝐵点出发沿𝐵−𝐶−𝐴路径向终点运动，终点为𝐴点．点𝑃和
𝑄分别以每秒1 个单位长度和3 个单位长度的运动速度同时开始运动，两点都要到相应
的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过𝑃和𝑄作𝑃𝐸⊥𝑙于𝐸，𝑄𝐹⊥𝑙于𝐹．问：点𝑃运
动多少时间时，△𝑃𝐸𝐶与△𝑄𝐹𝐶全等？请说明理由．
睛
点
法
方
直角及三角形形状已确定，根据𝑃、𝑄位置分类讨论即可
注意：
解题时，需要注意题目中对于全等的描述是数学符号还是文字形式．如果是数学符
号，则已经确定了顶点的对应顺序，不需要进行分类讨论；而当是文字描述时，往往
需要分类讨论
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第2 讲
模型观念课—
模型观念课——
轴对称综合
模块一
垂直平分线
模块二“将军饮马”
模块三
拓广探索
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第
2
讲
轴
对
称
综
合
20
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
垂直平分线
垂直平分线
的性质
★★★
例1
★★★
例2
“将军饮马”
“两定一动”型
★★★
例3
随堂练习1、2、3
“一定两动”型
★★★★
例4
随堂练习4
★★★★★
例5
“两定两动”型
★★★★
例6
“两定两动”—
动线段型
★★★★★
例7
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第
2
讲
轴
对
称
综
合
21
知识引入
据说，在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一
个问题：从马所在位置出发到河边饮马，然后再回到营地，走什么样的路线最短？如何确
定饮马的地点？
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第
2
讲
轴
对
称
综
合
22
模块一
模块一
垂直平分线
知识梳理
线段的垂直平分线的定义：
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.
如图，若𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，则直线𝐷𝐸是线段𝐴𝐵的垂直平分线.
【思考】
在直线𝐷𝐸上任意取一点𝑃，用圆规比较点𝑃到点𝐴、𝐵的距离. 你发现了什么？
线段的垂直平分线的性质：
线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
尺规作图：
用直尺和圆规做线段𝐴𝐵的垂直平分线：
【思考】
以上作图的依据是什么？
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第
2
讲
轴
对
称
综
合
23
知识模型
垂直平分线的性质
典型例题1
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐵的垂直平分线交边𝐴𝐵于𝐷点，交边𝐴𝐶于𝐸点，若
△𝐴𝐵𝐶与△𝐸𝐵𝐶的周长分别是40cm，24cm，则𝐴𝐵=
cm．
典型例题2
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，边𝐵𝐶的垂直平分线分别与𝐴𝐶、𝐵𝐶交于点𝐷、𝐸．如果𝐴𝐵= 𝐶𝐷，
∠𝐶= 20∘，那么∠𝐴=
度．
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2
讲
轴
对
称
综
合
24
模块二
模块二
“将军饮马”
知识梳理
春秋晚期，群雄割据，烽烟四起．越王勾践在吴国受辱为奴三年后，回到越国，决心重振旗
鼓，东山再起．于是，他暗中广纳能人．为觅得智勇双全之士为将，他亲自出题，设置层层
关卡：
第1 关：如图，将军您在𝐴处，欲以最快速度渡河𝑙抵达战场𝐵．您将在何处渡河？
第2 关：如图，将军您在𝐴处接到最新消息，有人欲偷袭粮仓𝐵．需要您前去支援，但马
儿需先到河边𝑙饮水，您将选择在何处饮马？
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2
讲
轴
对
称
综
合
25
第3 关：如图，将军您接到一个寻找水源的任务，行至𝑃处，发现前方有两河𝑂𝐴、𝑂𝐵交
汇，为谨慎起见，您需派出一位侦察兵前往探测两河情况，并回到𝑃处复命．则侦察兵应
在𝑂𝐴、𝑂𝐵上的何处侦察才能最快？
第4 关：如图，行至𝑃处，发现前方有两河𝑂𝐴、𝑂𝐵交汇，将军您需独自一人检查水质，先
检测𝑂𝐵河流，再检测𝑂𝐴的水质情况．您如何最快完成任务？
第5 关：如图，前方有两河𝑂𝐴、𝑂𝐵交汇，若将军您在𝐶处接到任务，需检测𝑂𝐴、𝑂𝐵两
河水质后，将𝐷处战俘带回𝐶处．应在河𝑂𝐴、𝑂𝐵的何处检测最快？
第6 关：如图，将军您在𝐴处，要前往河边检阅部队，再回营地𝐵处．若军队沿河一字排
开，排头𝑀到排尾𝑁的距离为𝑎．为尽量减少路途奔波，那么，军队应安排在河边的哪个
位置？
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第
2
讲
轴
对
称
综
合
26
第7 关：如图，军队整顿完毕后，将军您率兵在𝐴地集结，准备临时搭桥渡河，突袭敌方营
地𝐵处．若河宽固定，您想选择在何处搭桥渡河？
本故事纯属虚构，如有雷同，编者太有才了！
在路径最值问题中，还有以下常见模型：
探索1：如图，在𝑙上找一点𝑃，使|𝑃𝐴−𝑃𝐵| 最大．
探索2：如图，在𝑙上找一点𝑃，使|𝑃𝐴−𝑃𝐵| 最大．
探索3：如图，在𝑙上找一点𝑃，使|𝑃𝐴−𝑃𝐵| 最小．
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第
2
讲
轴
对
称
综
合
27
知识模型
“两定一动”型
典型例题3
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，分别以点𝐴，𝐵为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交
于𝐸，𝐹，作直线𝐸𝐹，𝐷为𝐵𝐶的中点，𝑀为直线𝐸𝐹上任意一点．若𝐵𝐶= 4，△𝐴𝐵𝐶的
面积为10，则𝐵𝑀+𝑀𝐷长度的最小值为( )．
A. 5
2
B. 3
C. 4
D. 5
融会贯通1
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，且𝐴𝐷= 𝐵𝐶，𝐵𝐶上方有一动点𝑃满足𝑆△𝑃𝐵𝐶=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶，则当点𝑃到𝐵、𝐶两点的距离之和最小时，∠𝑃𝐵𝐶的度数为( )．
A. 30∘
B. 45∘
C. 60∘
D. 90∘
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第
2
讲
轴
对
称
综
合
28
知识模型
“一定两动”型
典型例题4
如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶= 8，𝐴𝐵= 10，𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵交𝐵𝐶于𝐷
点，𝐸，𝐹分别是𝐴𝐷，𝐴𝐶上的动点，则𝐶𝐸+𝐸𝐹的最小值为
．
典型例题5
四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷= 130∘，∠𝐵= ∠𝐷= 90∘，在𝐵𝐶、𝐶𝐷上分别找一点𝑀、𝑁，使三角
形𝐴𝑀𝑁周长最小，则∠𝐴𝑀𝑁+∠𝐴𝑁𝑀的度数为( )．
A. 80∘
B. 90∘
C. 100∘
D. 130∘
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第
2
讲
轴
对
称
综
合
29
融会贯通2
如图，∠𝐴𝑂𝐵= 30∘，点𝑃为∠𝐴𝑂𝐵内一点，𝑂𝑃= 8．点𝑀、𝑁分别在𝑂𝐴、𝑂𝐵上，则△𝑃𝑀𝑁
周长的最小值为
．
知识模型
“两定两动”型
典型例题6
如图，∠𝐴𝑂𝐵= 30∘，𝑀、𝑁分别是边𝑂𝐴、𝑂𝐵上的定点，𝑃、𝑄分别是边𝑂𝐵、𝑂𝐴上的动点，
记∠𝐴𝑀𝑃= ∠1，∠𝑂𝑁𝑄= ∠2，当𝑀𝑃+𝑃𝑄+𝑄𝑁的值最小时，关于∠1，∠2 的数量关系正
确的是( )．
A. ∠1+∠2 = 90∘
B. 2∠2−∠1 = 30∘
C. 2∠1+∠2 = 180∘
D. ∠1−∠2 = 90∘
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第
2
讲
轴
对
称
综
合
30
知识模型
“两定两动”—动线段型
典型例题7
如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= 8，𝐸为𝐶𝐷边的中点，点𝑃、𝑄为𝐵𝐶边上两个动点，
且𝑃𝑄= 2 ，当𝐵𝑃=
时，四边形𝐴𝑃𝑄𝐸的周长最小．
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第
2
讲
轴
对
称
综
合
31
模块三
模块三
拓广探索
典型例题8
（1）数学模型
如图，已知直线𝑙，点𝐴和点𝐵，试在直线𝑙上确定一点𝑃，使得𝑃𝐴+𝑃𝐵最小，请画
出示意图，标出点𝑃位置，不需说明理由．
（2）实际应用
如图①，在一条笔直的公路边𝑙上建一个燃气站，向𝑙同侧的𝐴、𝐵两个城镇分别铺
设管道输送燃气，同时在𝐴、𝐵两个城镇之间规划一个正方形的生态保护区，燃气管
道不能穿过该保护区，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短，画出示意图，
不需要说明理由．
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第
2
讲
轴
对
称
综
合
32
（3）变化一下
如图②，有一条笔直的河流，河岸𝑚//𝑛，𝐴、𝐵两个城镇位于河流两侧，燃气管道从𝐴
通过河流到𝐵进行铺设，燃气管道位于河面上的部分与河岸垂直，请设计管道铺设
方案，使铺设的管道路线最短，画出示意图，不需要说明理由．
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第
2
讲
轴
对
称
综
合
33
随堂练习
随堂练习1
如图，直线𝑙是一条河，𝑃、𝑄是两个村庄．计划在𝑙上的某处修建一个水泵站𝑀，向𝑃、𝑄
两地供水．现有如下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需管道最短的方案
是( )．
A.
B.
C.
D.
随堂练习2
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 3,𝐴𝐶= 4,𝐵𝐶= 5, 直线𝐸𝐹垂直平分边𝐵𝐶，点𝑃为直线𝐸𝐹上
一动点，则△𝐴𝐵𝑃周长的最小值是
．
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第
2
讲
轴
对
称
综
合
34
随堂练习3
如图，等腰三角形𝐴𝐵𝐶底边𝐵𝐶的长为4cm，面积是12cm2，腰𝐴𝐵的垂直平分线𝐸𝐹
交𝐴𝐶于点𝐹，若𝐷为𝐵𝐶边上的中点，𝑀为线段𝐸𝐹上一动点，则△𝐵𝐷𝑀的周长最短
为
cm．
随堂练习4
已知，等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐸是高𝐴𝐷上任意一点，𝐹是腰𝐴𝐵上任意一点，腰𝐴𝐶=
5，𝐵𝐷= 3，𝐴𝐷= 4，那么线段𝐵𝐸+𝐸𝐹的最小值是
．
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第
2
讲
轴
对
称
综
合
35
思维游戏
思维游戏——过桥洞
一辆载满货物的汽车要通过一个立交桥的桥洞，但是汽车顶
部比桥洞要高1 厘米，怎么也过不去。
你能想办法解决这个难题吗？
只要给汽车轮胎放气，让汽车的高度降低1 厘米，就可以安全
地通过桥洞了。(温馨提示: 此方法仅适用于这个思维游戏，现实生
活中可不要模仿哦∼)
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第
2
讲
轴
对
称
综
合
36
“三精”习题课
第 讲
2
轴对称综合
进阶拓展1
频率：高
如图，点𝑃是∠𝐴𝑂𝐵内任意一点，𝑂𝑃= 6cm，点𝑀和点𝑁分别是射线𝑂𝐴和射线𝑂𝐵上
的动点，△𝑃𝑀𝑁周长的最小值是6cm，则∠𝐴𝑂𝐵的度数是( )
A. 25∘
B. 30∘
C. 35∘
D. 40∘
睛
点
法
方
如图，点𝑃在锐角∠𝐴𝑂𝐵的内部，在𝑂𝐵边上求作一点𝐷，在𝑂𝐴边上求作一点𝐶，
使△𝑃𝐶𝐷的周长最小．
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第
2
讲
轴
对
称
综
合
37
进阶拓展2
频率：高
△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐸，∠𝐴= ∠𝐸𝐶𝐵，点𝐸是𝐵𝐷的中点．
（1）如图1，求证：𝐴𝐷= 𝐵𝐶．
（2）如图2，𝐶𝐸= 8，𝐴𝐷∶𝐷𝐸= 2 ∶1，𝑆△𝐶𝐸𝐵= 18，点𝑀，𝑁分别是𝐴𝐶，𝐶𝐷上的动点，则
𝐴𝑁+𝑀𝑁的最小值是
．
睛
点
法
方
如图，点𝑃在锐角∠𝐴𝑂𝐵的内部，在𝑂𝐵边上求作一点𝐷，在𝑂𝐴边上求作一点𝐶，
使𝑃𝐷+𝐶𝐷最小．
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第
2
讲
轴
对
称
综
合
38
进阶拓展3
频率：较高
如图，护城河在𝐶𝐶′ 处直角转弯，河宽均为5 米，从𝐴处到达𝐵处，须经过两座桥：𝐷𝐷′，
𝐸𝐸′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西，南北方向的，如何架桥可使𝐴𝐷𝐷′𝐸′𝐸𝐵
的路程最短？
睛
点
法
方
如图，在一组平行线𝑙1、𝑙2 两侧有两点𝐴、𝐵，在𝑙1、𝑙2 间找一条线段𝑀𝑁，使𝑀𝑁⊥𝑙1
并且使得𝐴𝑀+𝑀𝑁+𝑁𝐵最小．
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第3 讲
几何直观课—
几何直观课——
等腰三角形
模块一
等腰三角形
模块二
等边三角形
模块三
存在性问题
模块四
拓广探索
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第
3
讲
等
腰
三
角
形
42
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
等腰三角形
等腰三角形的边长
★★★
例1
随堂练习1
等腰三角形的角
★★★★
例2
随堂练习2
等腰三角形综合
★★★★★
例3
随堂练习3
等边三角形
等边三角形的判定
★★★
例4
等边三角形的性质
★★★★
例5
随堂练习4
等边三角形综合
★★★★★
例6
存在性问题
等腰三角形存在性
问题
★★★★★
例7、8
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第
3
讲
等
腰
三
角
形
43
知识引入
图中是一种常见的斜拉桥，通过观察可以发现，不管是中间的桥塔，还是两边的拉索，
都是等腰三角形结构，你知道这是为什么吗？
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第
3
讲
等
腰
三
角
形
44
模块一
模块一
等腰三角形
知识梳理
等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边．
等腰三角形的性质
1．两腰相等；
2．两底角相等；
3．
“三线合一”, 即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；
4．是轴对称图形, 底边的垂直平分线是它的对称轴．
等腰三角形的判定
1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．
2．有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．
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第
3
讲
等
腰
三
角
形
45
知识模型
等腰三角形的边长
典型例题1
已知一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3cm，则
腰长为( )．
A. 2cm
B. 8cm
C. 2cm 或8cm
D. 10cm
知识模型
等腰三角形的角
典型例题2
已知等腰三角形的一条高与一边的夹角为40∘，求三角形的三个内角．
知识模型
等腰三角形综合
典型例题3
数学活动课上，同学们探究等腰三角形中两条线段的关系：如图1，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∠𝐵𝐴𝐶= 45∘，点𝐷是边𝐴𝐶上的一点，且𝐷𝐴= 𝐷𝐵，点𝑃是边𝐴𝐵上一点（不与点𝐵重
合），过点𝑃作𝑃𝐸⊥𝐵𝐶，垂足为点𝐸，交线段𝐵𝐷于点𝐹．线段𝑃𝐹与𝐵𝐸之间存在怎样
的数量关系？
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第
3
讲
等
腰
三
角
形
46
（1）为探究问题的一般情况，同学们先研究特殊情况：当点𝑃与点𝐴重合时，如图2，小
彬猜想得到①△𝐴𝐷𝐹≌△𝐵𝐷𝐶；②𝑃𝐹= 2𝐵𝐸．请你判断这两个猜想是否正确，并说
明理由．
（2）通过特例启发，同学们广开思路，进行了如下研究.
①𝐴：勤学小组发现图1 中𝑃𝐹= 2𝐵𝐸也成立．他们的思路是：在图1 中的𝐵𝐷上取
一点𝑁，使得𝑃𝑁= 𝑁𝐵，延长𝑃𝑁交𝐵𝐶于点𝑀，得到图3，证明了△𝑃𝑁𝐹≌△𝐵𝑁𝑀，
⋯，请你根据勤学小组的思路接着完成证明𝑃𝐹= 2𝐵𝐸的过程．
②𝐵：善思小组探究了更加一般的情况，当图1 中的点𝑃运动到线段𝐵𝐴的延长线
上时，如图4，其余条件不变，发现此时𝑃𝐹= 2𝐵𝐸也成立，请你帮忙证明．
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第
3
讲
等
腰
三
角
形
47
模块二
模块二
等边三角形
知识梳理
等边三角形的定义
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形．
等边三角形的性质
三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60∘．
等边三角形的判定
1．三条边都相等的三角形是等边三角形．
2．三个角都相等的三角形是等边三角形．
3．有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形．
重要推论
在直角三角形中，30∘角所对直角边的长度是斜边的一半．
【例】如图所示，𝐵𝐶= 1
2𝐴𝐶．
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第
3
讲
等
腰
三
角
形
48
知识模型
等边三角形的判定
典型例题4
下面给出的五种三角形：①所有外角都相等的三角形；②三边上的高都相等的三角形；
③有两个角是60∘的三角形；④有一个角是60∘的等腰三角形；⑤以等边三角形三边中
点为顶点的三角形．其中是等边三角形的有( )．
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
知识模型
等边三角形的性质
典型例题5
已知：△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，△𝐴𝐵𝐷为等边三角形，𝐸是𝐵𝐷的中点，𝐴𝐸，𝐶𝐷
相交于𝑂点，连接𝐵𝑂．
（1）求∠𝐴𝐶𝐷的度数．
（2）求证：𝐵𝐶= 2𝐷𝑂．
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第
3
讲
等
腰
三
角
形
49
知识模型
等边三角形综合
典型例题6
𝐷为等边△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上一点，𝐸为直线𝐴𝐵上一点，𝐶𝐷= 𝐵𝐸．
（1）如图1，求证：𝐴𝐷= 𝐷𝐸．
（2）如图2，𝐷𝐸交𝐶𝐵于点𝑃．
①若𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，𝑃𝐶= 4，求𝐵𝑃的长．
②求证：𝑃𝐷= 𝑃𝐸．
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3
讲
等
腰
三
角
形
50
模块三
模块三
存在性问题
知识梳理
等腰三角形的存在性问题
已知线段AB，在直线𝑙上找一点P, 使得△ABP 为等腰三角形
几何法：
1. 当𝐴𝐵= 𝐴𝑃时，点𝑃在
上；
2. 当𝐴𝐵= 𝐵𝑃时，点𝑃在
上；
3. 当𝐴𝑃= 𝐵𝑃时，点𝑃在
上．
代数法：
等腰三角形的判定：有两条边相等的三角形为等腰三角形.
用含未知数的代数式表示出𝐴𝐵、𝐴𝑃、𝐵𝑃的长度，分类讨论：
（1）𝐴𝐵= 𝐴𝑃；
（2）𝐴𝐵= 𝐵𝑃；
（3）𝐴𝑃= 𝐵𝑃.
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第
3
讲
等
腰
三
角
形
51
知识模型
等腰三角形的存在性问题
典型例题7
如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 10cm，𝐵𝐶= 6cm，𝐴𝐶= 8cm，若动点𝑃从点𝐶开始，按
𝐶→𝐴→𝐵→𝐶的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为𝑡秒．
（1）问𝑡为何值时，△𝐴𝐶𝑃为等腰三角形．
（2）另有一点𝑄，从点𝐶开始，按𝐶→𝐵→𝐴→𝐶的路径运动，且速度为每秒2cm，若𝑃，𝑄
两点同时出发，当𝑃，𝑄中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当𝑡为何值时，直
线𝑃𝑄把△𝐴𝐵𝐶的周长分成相等的两部分．
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第
3
讲
等
腰
三
角
形
52
模块四
模块四
拓广探索
典型例题8
在等边△𝐴𝐵𝐶所在平面上找点𝑃，使得△𝑃𝐴𝐵、△𝑃𝐵𝐶、△𝑃𝐶𝐴同时为等腰三角形，这样
的点有几个？作出这些点．
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第
3
讲
等
腰
三
角
形
53
随堂练习
随堂练习1
已知一个等腰三角形的两边长分别是2 和4，则该等腰三角形的周长为( )．
A. 8 或10
B. 8
C. 10
D. 6 或12
随堂练习2
已知𝐵𝐷是等腰△𝐴𝐵𝐶一腰上的高，且∠𝐴𝐵𝐷= 50∘，求△𝐴𝐵𝐶三个内角的度数．
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第
3
讲
等
腰
三
角
形
54
随堂练习3
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸．
求证：∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷．
随堂练习4
已知：在等边三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐷、𝐸分别在𝐴𝐵和𝐴𝐶上，且𝐴𝐷= 𝐶𝐸，𝐵𝐸和𝐶𝐷相交于
点𝑃．
（1）说明△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝐵．
（2）求∠𝐵𝑃𝐶的度数．
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第
3
讲
等
腰
三
角
形
55
思维游戏
思维游戏——山涧
有一个山涧4 米宽，下面是万丈深渊。山涧上没有桥，来往的
人都是带着木板搭桥通过。一次，一个人带了3.9 米长的木板，另
一人带了3.1 米长的木板。两个人的木板都太短了，搭不了桥。
他们应该用什么方法才能够过山涧呢？
一个人可以把木板向山涧的另一端伸出一部分，并站在木板
的另一端压住。另一人可以把木板搭在自己的一方与对方的木板
之间，就可以从容通过了。然后他可以压住木板，让对方通过。
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第
3
讲
等
腰
三
角
形
56
“三精”习题课
第 讲
3
等腰三角形
进阶拓展1
频率：高
如图，∠𝐵𝑂𝐶= 9∘，点𝐴在𝑂𝐵上，且𝑂𝐴= 1，按下列要求画图：
以𝐴为圆心，1 为半径向右画弧交𝑂𝐶于点𝐴1，得第1 条线段𝐴𝐴1；
再以𝐴1 为圆心，1 为半径向右画弧交𝑂𝐵于点𝐴2，得第2 条线段𝐴1𝐴2；
再以𝐴2 为圆心，1 为半径向右画弧交𝑂𝐶于点𝐴3，得第3 条线段𝐴2𝐴3；⋯
这样画下去，直到得到第𝑛条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则𝑛=
．
睛
点
法
方
等腰三角形顶角的外角等于底角的两倍．
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第
3
讲
等
腰
三
角
形
57
进阶拓展2
频率：较高
如图，△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，延长𝐵𝐶到点𝐷，又延长𝐵𝐴到点𝐸，使𝐴𝐸= 𝐵𝐷，连接𝐶𝐸、
𝐷𝐸，求证：△𝐶𝐷𝐸为等腰三角形．
睛
点
法
方
等腰三角形的判定：
①有两条边相等的三角形是等腰三角形．
②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．
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第
3
讲
等
腰
三
角
形
58
进阶拓展3
频率：高
如图，过边长为3 的等边△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵上一点𝑃，作𝑃𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸，𝑄为𝐵𝐶延长线
上一点，当𝑃𝐴= 𝐶𝑄时，连接𝑃𝑄交𝐴𝐶于点𝐷，求𝐷𝐸的长．
睛
点
法
方
等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形．
②三个角都相等的三角形是等边三角形．
③有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形．
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3
讲
等
腰
三
角
形
59
进阶拓展4
频率：高
如图，Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，点𝐷在斜边𝐴𝐵上，且𝐴𝐷= 𝐴𝐶，过点𝐵作
𝐵𝐸⊥𝐶𝐷交直线𝐶𝐷于点𝐸．
（1）求∠𝐵𝐶𝐷的度数．
（2）求证：𝐶𝐷= 2𝐵𝐸．
睛
点
法
方
“三垂直”模型+ 等腰三角形“三线合一”
等腰三角形“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
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第4 讲
运算能力课——幂
运算能力课——
幂运算与整式乘除
模块一
幂运算
模块二
整式乘除
模块三
拓广探索
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第
4
讲
幂
运
算
与
整
式
乘
除
62
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
幂运算
同底数幂相乘、相除
★★★
例1
随堂练习1
幂的乘方
★★★
例2
随堂练习2
积的乘方
★★★
例3
随堂练习3
幂的综合运算
★★★★
例4
整式乘除
单项式乘多项式
★★★
例5
随堂练习4
多项式乘多项式
★★★★
例6
化简求值
★★★★
例7
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第
4
讲
幂
运
算
与
整
式
乘
除
63
知识引入
如果20 个手拉手一起走的字母𝑎和30 个手拉手一起走的字母𝑎撞在一起，会发生
什么？
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第
4
讲
幂
运
算
与
整
式
乘
除
64
模块一
模块一
幂运算
知识梳理
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第
4
讲
幂
运
算
与
整
式
乘
除
65
知识模型
同底数幂相乘、相除
典型例题1
（1）计算(−𝑎)3 ⋅(−𝑎2) 的结果是( )．
A. 𝑎5
B. −𝑎5
C. 𝑎6
D. −𝑎6
（2）计算：(𝑎+𝑏)𝑚+1 ÷(𝑎+𝑏)1−𝑚⋅(𝑎+𝑏) =
．
融会贯通1
已知𝑎𝑚= 2，𝑎𝑛= 3，𝑎𝑝= 5，则𝑎𝑚+𝑛−𝑝的值是
．
知识模型
幂的乘方
典型例题2
在①𝑎4 ⋅𝑎2②(−𝑎2)
3③𝑎12 ÷𝑎2④𝑎2 ⋅𝑎3⑤𝑎3 +𝑎3 中，计算结果为𝑎6 的个数是( )．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
融会贯通2
（1）已知𝑎𝑚= 2、𝑎𝑛= 3，𝑚、𝑛是正整数，求𝑎3𝑚+2𝑛的值．
（2）若3𝑥+2𝑦−2 = 0，则8𝑥⋅4𝑦等于
．
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第
4
讲
幂
运
算
与
整
式
乘
除
66
知识模型
积的乘方
典型例题3
下列计算错误的是( )
A. (−3𝑎𝑏)3 = −27𝑎3𝑏3
B. (−1
4𝑎3𝑏2)
2
= 1
16𝑎6𝑏4
C. (−𝑥𝑦2)
3 = −𝑥𝑦6
D. (−𝑎4𝑏3)
2 = 𝑎8𝑏6
融会贯通3
若3𝑚+1 ⋅5𝑚+1 = 152𝑚−3，则𝑚的值为( )．
A. −4
B. 4
C. 2
D. 无解
知识模型
幂的综合运算
典型例题4
化简：
（1）(𝑎2𝑏3)
4 +(−𝑎)8 ⋅(−𝑏6)
2 −(𝑎4𝑏6)
2．
（2）(−3)32 ×[(−2)3]
2
×(−1
3)
23
×(−0.5)32．
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第
4
讲
幂
运
算
与
整
式
乘
除
67
模块二
模块二
整式乘除
知识梳理
整式的乘法
一、单项式乘单项式
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不
变，作为积的因式．
例：2𝑎𝑏2𝑐⋅3𝑎𝑏= 6𝑎2𝑏3𝑐.
二、单项式乘多项式
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相
加．
例：𝑝(𝑎+𝑏+𝑐) = 𝑝𝑎+𝑝𝑏+𝑝𝑐.
三、多项式乘多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的
积相加．
例：(𝑎+𝑏)(𝑝+𝑞) = 𝑎𝑝+𝑎𝑞+𝑏𝑝+𝑏𝑞.
整式的除法
一、单项式除以单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字
母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
例：12𝑎2𝑏3𝑐÷2𝑎𝑏2 = 6𝑎𝑏𝑐.
二、多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加．
例：(𝑎𝑚+𝑏𝑚)÷𝑚= 𝑎𝑚÷𝑚+𝑏𝑚÷𝑚= 𝑎+𝑏．
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第
4
讲
幂
运
算
与
整
式
乘
除
68
知识模型
单项式乘多项式
典型例题5
下列各式：①2𝑎3 (3𝑎2 −2𝑎𝑏2)；②−(2𝑎3)
2 (𝑏2 −3𝑎)；③3𝑎(2𝑎4 −𝑎2𝑏4)；④−𝑎4 (4𝑏2 −6𝑎)
中相等的两个是( )．
A. ①与②
B. ②与③
C. ③与④
D. ①与④
知识模型
多项式乘多项式
典型例题6
（1）将一多项式(17𝑥2 −3𝑥+4) −(𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐)，除以(5𝑥+6) 后，得商式为(2𝑥+1)，余
式为0，求𝑎−𝑏−𝑐的值．
（2）已知多项式𝐴除以4𝑥3 +3𝑥2 −1 得商式3𝑥2 +3𝑥，余式𝑥2 −1，求多项式𝐴．
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幂
运
算
与
整
式
乘
除
69
知识模型
化简求值
典型例题7
化简求值：已知𝑎−𝑏= 8，求[(𝑎+2𝑏)2 −(𝑎+𝑏)⋅(3𝑎−𝑏)−5𝑏2]÷(−2𝑎) 的值．
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幂
运
算
与
整
式
乘
除
70
模块三
模块三
拓广探索
典型例题8
观察下列等式：2+22 = 23 −2，2+22 +23 = 24 −2，2+22 +23 +24 = 25 −2，⋯，若250 = 𝑚，
则2100 +2101 +2102 +⋯+2200 =
．(用含𝑚的代数式表示)
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幂
运
算
与
整
式
乘
除
71
随堂练习
随堂练习1
化简(−𝑎2)⋅𝑎5 所得的结果是( )
A. 𝑎7
B. −𝑎7
C. 𝑎10
D. −𝑎10
随堂练习2
若𝑎𝑥= 3,𝑎𝑦= 2，则𝑎2𝑥+𝑦等于( )
A. 18
B. 11
C. 9
2
D. 7
随堂练习3
计算(−2)100 ×(1
2)
101
的结果是( )．
A. 1
2
B. −1
2
C. 2
D. −2
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幂
运
算
与
整
式
乘
除
72
随堂练习4
计算：[(𝑥𝑦+2)(𝑥𝑦−2)−2(𝑥2𝑦2 −2)]÷(𝑥𝑦)．
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讲
幂
运
算
与
整
式
乘
除
73
思维游戏
思维游戏——两个乒乓球
小雪一直吵着要明明陪她一起打乒乓球。明明被吵得实在受
不了，于是想了一个妙计：
“小雪，这袋子里放了两个乒乓球，一个
黄色的，另一个是白色的。现在，要你伸手进去拿乒乓球。如果你
拿到黄色的，我就陪你玩，但如果拿到白色的，你就要放弃了，而且
不能再吵我！”
小雪的眼睛顿时亮了起来，但此时却瞥见转过身的明明放了
两个白色乒乓球进去。
那么，不论她拿到哪一个都会是白色的。
请问，小雪是不是玩不成乒乓球了？
当然不是。小雪从袋子里拿出一个乒乓球之后，立刻藏在身
后。明明肯定要求小雪把它亮出来，而此时小雪就说：
“我亮不亮出
来没有关系，只要看看袋子里面留下的是什么颜色的乒乓球，就知
道我拿的是什么颜色的乒乓球了。”明明当然会无话可说。
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讲
幂
运
算
与
整
式
乘
除
74
“三精”习题课
第 讲
4
幂运算与整式乘除
进阶拓展1
频率：高
使(𝑥2 +𝑝𝑥+8)(𝑥2 −3𝑥+𝑞) 的展开式中不含𝑥2 和𝑥3 项，求𝑝，𝑞的值．
睛
点
法
方
不含某项⇒展开合并同类项后，该项系数为0
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幂
运
算
与
整
式
乘
除
75
进阶拓展2
频率：高
已知𝑎= 255，𝑏= 344，𝑐= 533，那么𝑎、𝑏、𝑐的大小顺序是( )．
A. 𝑎< 𝑐< 𝑏
B. 𝑐< 𝑏< 𝑎
C. 𝑏< 𝑐< 𝑎
D. 𝑎< 𝑏< 𝑐
进阶拓展3
频率：高
已知𝑎= 8131，𝑏= 2741，𝑐= 961，则𝑎、𝑏、𝑐的大小关系是( )
A. 𝑎> 𝑏> 𝑐
B. 𝑎> 𝑐> 𝑏
C. 𝑎< 𝑏< 𝑐
D. 𝑏> 𝑐> 𝑎
进阶拓展4
频率：较高
已知𝑥7 = 2，𝑦9 = 3，试比较𝑥与𝑦的大小．
睛
点
法
方
幂的大小比较
①在幂的大小比较中，对于较小的数，可以通过直接比较法得出大小关系．
②对于较大的数，找出底数或者指数中的公因数，然后化为同底数或者同指数幂进
行比较；若是不能够直接找出底数或指数的公因数，可以选择一个合适的中间数充
当桥梁，进行比较．
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第5 讲
运算能力课——乘
运算能力课——
乘法公式综合提高
模块一
完全平方公式及配方
模块二
复杂乘法公式
模块三
拓广探索
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5
讲
乘
法
公
式
综
合
提
高
78
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
完全平方
公式及配方
配方法求最值
★★★
例1
随堂练习1
配方法综合应用
★★★★
例2
★★★★★
例3
随堂练习2、5
复杂乘法
公式
复杂乘法公式
★★★
例4
随堂练习3、4
三元完全平方
公式及变形
★★★★★
例5、6
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乘
法
公
式
综
合
提
高
79
知识引入
学完平方差和完全平方公式后，你还能迸发出灵感想到其他公式吗？
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5
讲
乘
法
公
式
综
合
提
高
80
模块一
模块一
完全平方公式及配方
知识梳理
完全平方公式
(𝑎+𝑏)2 = 𝑎2 +2𝑎𝑏+𝑏2
(𝑎−𝑏)2 = 𝑎2 −2𝑎𝑏+𝑏2
三个完全平方式的和
(𝑎+𝑏)2 +(𝑏+𝑐)2 +(𝑐+𝑎)2 = 2𝑎2 +2𝑏2 +2𝑐2 +2𝑎𝑏+2𝑏𝑐+2𝑎𝑐
(𝑎−𝑏)2 +(𝑏−𝑐)2 +(𝑐−𝑎)2 = 2𝑎2 +2𝑏2 +2𝑐2 −2𝑎𝑏−2𝑏𝑐−2𝑎𝑐
常见变形：
𝑎2 +𝑏2 +𝑐2 +𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑎𝑐= (𝑎+𝑏)2 +(𝑏+𝑐)2 +(𝑐+𝑎)2
2
𝑎2 +𝑏2 +𝑐2 −𝑎𝑏−𝑏𝑐−𝑎𝑐= (𝑎−𝑏)2 +(𝑏−𝑐)2 +(𝑐−𝑎)2
2
配方法
利用完全平方公式，将代数式变形为完全平方式或部分完全平方式的过程称为配方法．
配方法是代数恒等变形中的一种常见方法，其一般步骤为：
1. 当二次项系数为1 时，加上一次项系数一半的平方，再减去所加的数．
𝑏2 −4𝑏+5 = 𝑏2 −4𝑏+4+1 = (𝑏−2)2 +1
2. 当二次项系数不为1 时，先将二次项系数化为1，再进行处理．
−2𝑏2 +4𝑏+5 = −2(𝑏2 −2𝑏)+5 = −2(𝑏2 −2𝑏+1−1)+5 = −2(𝑏−1)2 +7
配方法的应用
配方可以构造出完全平方式，而完全平方式具有非负性，因此利用配方法可以解决求代
数式的最值、作差比较大小以及解多元方程等问题．
示例：对于多项式(𝑏−2)2 +1，当𝑏= 2 时，存在最小值1．
对于多项式−2(𝑏+1)2 +7，当𝑏= −1 时，存在最大值7．
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乘
法
公
式
综
合
提
高
81
知识模型
配方法求最值
典型例题1
（1）求1
4𝑥2 +2𝑥−1 的最小值．
（2）求−3𝑥2 +5𝑥+1 的最大值．
知识模型
配方法综合应用
典型例题2
已知𝑥2 +𝑦2 +4𝑥−6𝑦+13 = 0，其中𝑥，𝑦均是实数，求𝑥+2𝑦的值．
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乘
法
公
式
综
合
提
高
82
融会贯通1
已知𝑎2 −6𝑎𝑏+10𝑏2 −2𝑏+1 = 0，求𝑎−𝑏的值．
融会贯通2
求代数式(𝑎+2𝑏)2 +(𝑎−1)2 +(𝑏−1)2 −7 的最小值．
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乘
法
公
式
综
合
提
高
83
典型例题3
已知：𝑎= 2017𝑥+ 2015，𝑏= 2017𝑥+ 2016，𝑐= 2017𝑥+ 2017，则代数式𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 −𝑎𝑏−
𝑎𝑐−𝑏𝑐的值为( )．
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
融会贯通3
已知𝑎+2𝑏+3𝑐= 12，𝑎2 +𝑏2 +𝑐2 = 𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎，求𝑎+𝑏2 +𝑐3 的值．
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乘
法
公
式
综
合
提
高
84
模块二
模块二
复杂乘法公式
知识梳理
三元完全平方公式
(𝑎+𝑏+𝑐)2 = 𝑎2 +𝑏2 +𝑐2 +2𝑎𝑏+2𝑎𝑐+2𝑏𝑐
立方和、差公式
立方和公式：(𝑎+𝑏)(𝑎2 −𝑎𝑏+𝑏2) = 𝑎3 +𝑏3
立方差公式：(𝑎−𝑏)(𝑎2 +𝑎𝑏+𝑏2) = 𝑎3 −𝑏3
立方和、差公式的逆应用
𝑎3 +𝑏3 = (𝑎+𝑏)(𝑎2 −𝑎𝑏+𝑏2)
𝑎3 −𝑏3 = (𝑎−𝑏)(𝑎2 +𝑎𝑏+𝑏2)
完全立方公式
(𝑎±𝑏)3 = 𝑎3 ±3𝑎2𝑏+3𝑎𝑏2 ±𝑏3
知识模型
复杂乘法公式
典型例题4
（1）计算：(2𝑥−𝑦−1
2𝑧)
2
．
（2）(2𝑥+3𝑦)3．
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乘
法
公
式
综
合
提
高
85
知识模型
三元完全平方公式及变形
典型例题5
阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个
数学等式，例如由图1 可以得到(𝑎+2𝑏)(𝑎+𝑏) = 𝑎2 +3𝑎𝑏+2𝑏2．请解答下列问题：
（1）写出图2 中所表示的数学等式
．
（2）利用(1) 中所得到的结论，解决下面的问题：已知𝑎+𝑏+𝑐= 11，𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑎𝑐= 38，求
𝑎2 +𝑏2 +𝑐2 的值．
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乘
法
公
式
综
合
提
高
86
融会贯通4
设实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎2 +𝑏2 +𝑐2 = 1，若𝑎+𝑏−𝑐= 0，则𝑎𝑏−𝑏𝑐−𝑐𝑎=
．
典型例题6
已知𝑎+𝑏= 1，𝑎𝑏= −1．设𝑆1 = 𝑎+𝑏，𝑆2 = 𝑎2 +𝑏2，𝑆3 = 𝑎3 +𝑏3，…，𝑆𝑛= 𝑎𝑛+𝑏𝑛，
（1）计算𝑆2．
（2）请阅读下面计算𝑆3 的过程：𝑎3 +𝑏3 = 𝑎3 +𝑏3 +(𝑏2𝑎−𝑏2𝑎)+(𝑎2𝑏−𝑎2𝑏)
= (𝑎3 +𝑏2𝑎)+(𝑏3 +𝑎2𝑏)−(𝑏2𝑎+𝑎2𝑏)
= (𝑎2 +𝑏2)𝑎+(𝑎2 +𝑏2)𝑏−𝑎𝑏(𝑎+𝑏)
= (𝑎+𝑏)(𝑎2 +𝑏2)−𝑎𝑏(𝑎+𝑏) ．
∵𝑎+𝑏= 1 ，𝑎𝑏= −1 ，
∴𝑆3 = 𝑎3 +𝑏3 = (𝑎+𝑏)(𝑎2 +𝑏2)−𝑎𝑏(𝑎+𝑏) = 1×𝑆2 −(−1)×1 = 𝑆2 +1 = ．
你读懂了吗？请你先填空𝑆3 的计算结果，再计算𝑆4 ．
（3）猜想并写出𝑆𝑛−2，𝑆𝑛−1 ，𝑆𝑛三者之间的数量关系（不要求证明，且𝑛是不小于2 的
自然数），根据得出的数量关系计算𝑆8 ．
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乘
法
公
式
综
合
提
高
87
模块三
模块三
拓广探索
典型例题7
在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的
乘方规律，称“杨辉三角”．
1 4 6 4 1
1 3 3 1
1 2 1
1 1
1
. . .
“杨辉三角”蕴藏了许多规律，结合你的理解完成以下问题：
（1）直接写出(𝑎+𝑏)4 展开后的多项式：
．
（2）直接运用：
①(𝑎+𝑏)10 展开后的各项的系数和等于 ．
②若今天是星期三，过7 天后仍然是星期三，那么经过82020 天后是星期 .
（3）综合运用：已知𝑎−𝑏= 3，𝑎𝑏= 2，求𝑎5 −𝑏5 的值．
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乘
法
公
式
综
合
提
高
88
随堂练习
随堂练习1
𝑥2 −2𝑥+2 的最小值是( )．
A. 2
B. 1
C. −1
D. 3
随堂练习2
已知：𝑎2 +𝑏2 +10𝑏−4𝑎+29 = 0，则2𝑎−𝑏=
．
随堂练习3
利用三元完全平方公式计算：(𝑥+𝑦+3)2 =
．
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乘
法
公
式
综
合
提
高
89
随堂练习4
计算：(3
2𝑥+ 1
2𝑦)
3
．
随堂练习5
已知：(𝑎+2)2 +(𝑏+3)2 +(𝑐−5)2 = 0，则𝑎2 +𝑏2 +𝑐2 +𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎=
．
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乘
法
公
式
综
合
提
高
90
思维游戏
思维游戏——今天星期几
暑假的日子很快乐，因为不上课，所以都不记得今天是星期几
了。两个孩子想弄明白到底是星期几，因为星期六有好看的动画
片。吉米说：
“当后天变成昨天的时候，那么‘今天’距离星期天的日
子，将和前天变成明天时的那个‘今天’距离星期天的日子相同。”
（这里指距离最近的星期天）
看上去都是比较混乱的逻辑，那么今天到底星期几？他们还能
不能看上动画片？
今天是星期天，当然也就看不成星期六的动画片了。
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讲
乘
法
公
式
综
合
提
高
91
“三精”习题课
第 讲
5
乘法公式综合提高
进阶拓展1
频率：高
已知𝑥= 𝑎2 +𝑏2 +20，𝑦= 4(2𝑏−𝑎)，求𝑥，𝑦的大小关系．
进阶拓展2
频率：较高
已知𝑥−𝑦= −20，𝑦−𝑧= 10，求𝑥2 +𝑦2 +𝑧2 −𝑥𝑦−𝑦𝑧−𝑧𝑥的值．
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讲
乘
法
公
式
综
合
提
高
92
进阶拓展3
频率：中
已知𝑘，𝑛均为非负实数，且2𝑘+𝑛= 2，则代数式2𝑘2 −4𝑛的最小值为( )
A. −40
B. −16
C. −8
D. 0
进阶拓展4
频率：中
𝑥，𝑦，𝑧为有理数且(𝑦−𝑧)2 +(𝑧−𝑥)2 +(𝑥−𝑦)2 = (𝑦+𝑧−2𝑥)2+(𝑥+𝑧−2𝑦)2 +(𝑥+𝑦−2𝑧)2，
求(𝑦𝑧+1)(𝑧𝑥+1)(𝑥𝑦+1)
(𝑥2 +1)(𝑦2 +1)(𝑧2 +1) 的值．
睛
点
法
方
配方法是代数恒等变形中的一种常见方法，其一般步骤为：
①当二次项系数为1 时，加上一次项系数一半的平方，再减去所加的数．
②当二次项系数不为1 时，先将二次项系数化为1，再进行处理．
配方可以构造出完全平方式，而完全平方式具有非负性，因此利用配方法可以解决
求代数式的最值．
11220610482248
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