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练
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章
末
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卷
计算专练与章末小卷
第一章 计算专练
类型一 实数混合运算
1.
解:原式= 5+1-5
= 1.
2.
解:原式= -2+ 3 - 3 +1
= -1.
3.
解:原式= 1+1+2× 1
2
= 1+1+1
= 3.
4.
解:原式=
-1+( 3
4 - 5
2 )×(-8)
= -1+ 3
4 ×(-8)- 5
2 ×
(-8)
= -1-6+20
= 13.
5.
解:原式= 9+3- 1
2 ×(-8)
= 12+4
= 16.
6.
解:(1)一,除法没有分配律;
(2)原式= 12× 1
3 -2÷ 1
6
= 12× 1
3 -2×6
= 4-12
= -8.
类型二 整式化简及求值
1.
解:原式=a
2+ab+a
2-b
2-2a
2
=ab-b
2.
2.
解: 原式= a
2 + 4ab + 4b
2 - ( 4ab -
2b
2)
=a
2+4ab+4b
2-4ab+2b
2
=a
2+6b
2.
3.
解:原式=a
2+6a+9+2a
2-a+4a-2
= 3a
2+9a+7
= 3(a
2+3a-2)+13,
∵a
2+3a-2= 0,
∴原式= 3×0+13= 13.
4.
解:原式= 4xy+y
2+4x
2-4xy+y
2
= 4x
2+2y
2,
当x= -1,y=
2时,
原式= 4×(-1)
2+2×(
2)
2 = 8.
类型三 分式化简及求值
1.
解:原式= 2x-2
x
2-1
=
2(x-1)
(x-1)(x+1)
= 2
x+1.
2.
解:原式= 2x-1
x(x-1)-
x
x(x-1)
=
x-1
x(x-1)
= 1
x .
3.
解:原式= 2
x-1+(x+2)(x-2)
(x-1)
2
·
-(x-1)
x-2
= 2
x-1-x+2
x-1
= - x
x-1.
4.
解:原式=a+1-1
a+1 ·
(a+1)
2
a
=a+1,
当a= -2 时,原式=(-2)+1= -1.
5.
解:原式=
x
(x+1)
2÷( 1
x+1-x+1
x+1)
=
x
(x+1)
2÷ -x
x+1
=
x
(x+1)
2·x+1
-x
= - 1
x+1,
当x= 2 -1 时,原式= - 1
2
= - 2
2 .
6.
解: ( 1 ) 二, 通分时1 没有乘
(x-3);
(2)原式=x+1-(x-3)
x-3
·(x-3)
2
x(x-3)
=x+1-x+3
x-3
·x-3
x
= 4
x .
∵分母不为0,
∴x≠3,∴x 可以取-3 或-1,
当x= -3 时,原式= - 4
3 .
或当x= -1 时,原式= -4.
第二章
类型
计算专练
一 解二元一次方程组
1.
解:令5x= 3y①
x-y= 4②
{
,
由①得x= 3
5 y③,
将③代入②,得3
5 y-y= 4,
解得y= -10,
将y= -10 代入③,得x= -6,
∴原方程组的解为x= -6
y= -10
{
.
2.
解:令5x-3y= 8①
2x+3y= -1②
{
,
①+②,得7x= 7,
解得x= 1,
把x= 1 代入②,得2+3y= -1,
解得y= -1,
∴原方程组的解为x= 1
y= -1
{
.
3.
解:令3x+2y= 5①
2x-3y= 12②
{
,
①×3+②× 2,得9x+ 6y+ 4x- 6y =
15+24,
整理得13x= 39,
解得x= 3,
将x= 3 代入①,得9+2y= 5,
解得y= -2,
∴原方程组的解为x= 3
y= -2
{
.
4.
解:①×12,得4x-3y= 12③,
②-③,得6y= -6,解得y= -1,
将y=-1 代入②,得4x+3×(-1)=
6,解得x= 9
4 ,
∴原方程组的解为x= 9
4
y= -1
{
.
类型二 解一元二次方程
1.
解:∵x
2-3x+2=(x-1)(x-2)= 0,
∴x-1= 0 或x-2= 0,
解得x1 = 1,x2 = 2.
2.
解:移项,得3x(x+1)-2(x+1)= 0,
1
中考试题研究·数学(河北)
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提取公因式,得(3x-2)(x+1)= 0,
即3x-2= 0
或x+1= 0,
解得x1 = 2
3 ,x2 = -1.
3.
解:∵x
2-4x-3= 0,
∴x
2-4x= 3,
配方,得x
2-4x+4= 3+4,
∴(x-2)
2 = 7,∴x-2= ± 7,
解得x1 = 2+
7,x2 = 2-
7.
4.
解:∵4x
2-5x+1= 0,
∴a= 4,b= -5,c= 1,
∴b
2-4ac = ( - 5)
2 - 4× 4× 1 = 25-
16= 9>0,
∴x= -b±
b
2-4ac
2a
= 5±3
8 ,
解得x1 = 1,x2 = 1
4 .
类型三 解分式方程
1.
解:去分母,得x- 2x+ 6 = 0,解得
x= 6,
检验:当x= 6 时,x(x-3)≠0,
∴原分式方程的解是x= 6.
2.
解:去分母,得-3+2(x-4)= 1,解
得x= 6,
检验:当x= 6 时,x-4≠0,
∴原分式方程的解是x= 6.
3.
解:去分母,得3+x
2 -9 = x(x+3),
解得x= -2,
检验:当x=-2 时,(x-3)(x+3)≠0,
∴原分式方程的解是x= -2.
4.
解:嘉嘉和淇淇的解法都错误;
去分母,得1-(x-2)= x,
去括号,得1-x+2=x,
移项,得-x-x= -1-2,
合并同类项,得-2x= -3,
系数化为1,得x= 3
2 .
经检验, x = 3
2 是原分式方程
的解,
∴原分式方程的解是x= 3
2 .
类型四 解不等式(组)
及解集表示
1.
解:去分母,得x+3<6x+9,
移项、合并同类项,得-5x<6,
系数化为1,得x>- 6
5 ,
∴原不等式的解集为x>- 6
5 .
2.
解:解不等式3( x- 1) > 2x- 4,得
x>-1,
解不等式2x≤x+2,得x≤2,
∴不等式组的解集为-1<x≤2.
3.
解:令
x+4≤-5x-8①
x
3 -x+1
2 <1②
{
,
解不等式①,得x≤-2,
解不等式②,得x>-9,
∴原不等式组的解集为- 9<x≤
-2.
4.
解:解不等式3x-5≤4x-1,得x≥
-4,
解不等式x-2
3 +1> x
2 ,得x<2,
将解集在数轴上表示如解图:
第4 题解图
∴不等式组的解集为-4≤x<2.
第三章
计算专练
1.
解:将点(4,5) 代入y = kx 中,得
4k= 5,解得k= 5
4 ,
∴正比例函数的解析式为y =
5
4 x.
2.
解:将点(-1,3)代入y = k
x 中,得
k= -1×3= -3,
∴反比例函数的解析式为y =
- 3
x .
3.
解:(1)∵关于x 的函数y = (2m+
1)x+m-3 的图象经过原点,
∴点(0,0)满足函数的解析式y =
(2m+1)x+m-3,
∴0=m-3,∴m= 3;
(2)∵函数y=(2m+1)x+m-3 的
图象平行于直线y= 3x-3,
∴2m+1= 3,∴m= 1.
4.
解:∵抛物线y = ax
2 +bx+c 经过
点A(0,4),
∴c= 4;
∵抛物线y = ax
2 + bx + c 经过点
B(2,0),
∴4a+2b+c= 0,
∴4a+2b= -4,即2a+b= -2,
∴a,b 满足的关系式为2a + b =
-2.
5.
解:(1)将A 点坐标代入y = mx
2 -
2mx+ 4,得4m + 4m + 4 = 0, 解得
m= - 1
2 ,
∴抛物线的解析式为y = - 1
2 x
2 +
x+4.
∵y=- 1
2 x
2+x+4=- 1
2 (x-1)
2+ 9
2 ,
∴顶点坐标为(1, 9
2 );
(2)当x= -2 时,y= 0,
∵抛物线开口向下,且顶点坐标
包含在取值范围内,
∴当-2≤x≤2 时,y 的最大值为
9
2 ,最小值为0,
∴y 的最大值与最小值的差为9
2 .
第一章 章末小卷
1.
C 【解析】A.
-(+6)= -6<0,是
负数,不符合题意;B.
+ ( - 6) =
-6 < 0, 是负数, 不符合题意;
C.
-(-6)= 6>0,是正数,符合题
意;D.
- | -6 | = -6<0,是负数,不
符合题意.
2.
D 【解析】A. 分子、分母都加上3
不符合分式的基本性质,故此选
项不符合题意;B. 分子、分母乘
n,必须n≠0,故此选项不符合题
意;C. 分子、分母都加上n 不符合
分式的基本性质,故此选项不符
合题意;D. 符合分式的基本性质,
故此选项符合题意.
3.
D
【解析】∵1
pm = 10
-12
m,
∴152
pm = 152× 10
-12
m = 1. 52×
10
-10
m.
4.
A 【解析】- 1
3 -2 = -2 1
3 ,- 1
3 +
2= 1 2
3 , 1
3 - 2 = - 1 2
3 , 1
3 + 2 =
2 1
3 ,-2 1
3 <-1 2
3 <1 2
3 <2 1
3 .
5.
D
【解析】A. x 与x
3 不是同类
项,不能合并,计算错误,不符合
题意;B. a
6 ÷a
3 = a
3,a
3 ≠a
2,选项
计算错误,不符合题意;C. -a
2 ·
a= -a
3,a
3 ≠-a
3,选项计算错误,
不符合题意;D. ( -ab)
2 = a
2b
2,选
项计算正确,符合题意.
6.
D
【解析】a
2 ·a
n = a
n +2 ≠a
2 n;
2
参考答案
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(2a)
n =2
na
n≠a
2n;2
a·2
a·…·2
a
ü
þ
ý
ïï
ïï
n
个
2a
=
(2
a)
n = 2
an≠a
2n;
(a·a·…·a)
2
ü
þ
ý
ï
ï
ï
ïï
n
个
a
=(a
n)
2 =a
2n.
7.
B
8.
D
【解析】(
3 +1) +(
3 -1)=
2
3, 结果不是有理数, 则A,
C 不符合题意;(
3 + 1) ÷ (
3 -
1)= (
3 +1)
2
3-1
= 2+
3,结果不是
有理数,则B 不符合题意;(
3 +
1)×(
3 -1)= 3-1 = 2,结果是有
理数,(
3 +1)-(
3 -1)= 2,结果
是有理数,则D 符合题意.
9.
C 【解析】由数轴和刻度尺对应
的数据可得:数轴上的数加上刻
度尺对应的数得到的和为4,∴刻
度尺上的“4. 8
cm”对应数轴上的
数为4-4. 8= -0. 8.
10.
D
11.
B
【解析】A. △= 3x, 原式=
9x
9-3x = 3x
3-x,原式不是最简分式,
故A 不符合题意. B. △= x,原式
是最简分式, 故B 符合题意;
C. △= 1
3 x,
9x
9- 1
3 x
= 27x
27-x,原式
不是最简分式,故C 不符合题
意;D. △= 0. 1x,
9x
9-0. 1x = 90x
90-x,
原式不是最简分式,故D 不符
合题意.
12.
A
【解析】∵计算( P+ 5
2-x) ÷
3-x
x-2的结果为-x-3,∴(P+ 5
2-x)÷
3-x
x-2=-x-3,∴P+ 5
2-x=(-x-3)·
3-x
x-2,∴P=(-x-3)·3-x
x-2- 5
2-x =
(x+3)(x-3)
x-2
+ 5
x-2
= x
2-9+5
x-2
=
(x+2)(x-2)
x-2
=x+2.
13.
-1 【解析】原式= 1-a+1
a-2 = 2-a
a-2=
-1.
14.
22 【解析】∵a+b=6,∴(a+b)
2 =
a
2+2ab+b
2 =36. ∵ab=7,∴a
2+b
2 =
(a+b)
2-2ab= 22.
15.
解:(1)原式= -1-3+9
= 5;
(2)原式= 1-24× 1
8 +24× 1
4 +3
= 1-3+6+3
= 7.
16.
解:(1)∵数轴上AC= 5-(-1)=
6,直尺测量AC= 5. 4,
∴5. 4÷6= 0. 9,数轴上1 个单位
长度的长是0. 9
cm.
∵直尺测量AB= 1. 8
cm,
∴1. 8÷0. 9= 2,
∴数轴上AB= 2,
∴点B 在数轴上对应的数为
-1+2= 1,即b= 1;
(2)由(1)可知数轴上AB= 2,
∴CD=AB= 2.
∵点C 在数轴上对应的数为5,
∴点D 在数轴上对应的数为3
或7,
∴A,C,D 三点在数轴上所对应
的数的和为-1+5+ 3 = 7 或- 1+
5+7= 11.
17.
解:(1)由题图可知图形C2 的长
DG= 2y,宽DF= 4-x,
∴图形C2 的周长= 2(DG+DF)=
2(2y+4-x)= 4y-2x+8;
(2)淇淇的说法正确. 理由如下:
∵由题图可知,图形C1 的周长
为2(EH+BE),图形C2 的周长
为2(DG+DF),且EH+DG=BC,
∴图形C1 和C2 的周长和为
2(BC+BE + DF) = 2( x + 2y + 4 -
2y+4-x)= 16,
∴淇淇的说法正确.
第二章 章末小卷
1.
A
2.
C 【解析】∵关于x 的一元二次
方程x
2-x-c = 0 有实数根,∴Δ =
(-1)
2-4×1×(-c)= 1+4c≥0,解
得c≥- 1
4 ,∴c 可取的最小整数
为0.
3.
D 【解析】移项,得x
2 -2x = 8,方
程两边+1,得x
2 - 2x+ 1 = 8+ 1,配
方,得(x-1)
2 = 9,∴x-1 = ±3,解
得x1 = 4,x2 = -2,由上可得,丁同
学是错的.
4.
C
【解析】∵x1,x2 是一元二次方
程x
2-4x-1 = 0 的两个根,∴x1x2 =
-1.
5.
B 【解析】设每个小矩形地砖的
长为x
cm,宽为y
cm,则可列方程
组x+y= 40,
x= 3y,
{
解得x= 30,
y= 10,
{
则每个
小矩形地砖的面积为30 ×
10= 300(cm
2).
6.
A 【解析】设4 个格中最小的数
为x(x 为正整数),则其他3 个数
分别为x+1,x+7,x+8,A.
x+x+1+
x+7 = 41,解得x = 11,符合题意;
B.
x+x+1+x+8 = 41,解得x = 32
3 ,
不符合题意;C.
x+x+7+x+8 = 41,
解得x= 26
3 ,不符合题意;D.
x+1+
x+7+x+8= 41,解得x= 25
3 ,不符合
题意.
7.
C 【解析】设牧童人数为x,根据
题意可列方程6x+14= 8x-2,故选
项A 错误,不符合题意;设竹竿数
为y 根,根据题意可列方程y-14
6
=
y+2
8 ,故选项B 错误,不符合题意;
解方程6x+14 = 8x-2,得x = 8,即
有8 个牧童,故选项C 正确;解方
程y-14
6
= y+2
8 , 得y = 62, 即有
62 根竹竿,故选项D 错误,不符
合题意.
8.
C 【解析】原方程可化为x
2-2x+
4= 0,∵Δ=(-2)
2-4×1×4 = -12<
0,∴原方程无实数根,故嘉嘉和
淇淇的说法都不对.
9.
D
【解析】1
3x = 1
8x + 5,解得x =
1
24,∴3x 的倒数为1
3x = 8,∴A、B、
C 选项错误,D 选项正确.
10.
A 【解析】令
2(x+1)-k<2①
x-1
2 <1②
{
,解
不等式①,得x < k
2 ,解不等式
②,得x< 3,∵原不等式组的解
集为x<3,∴k
2 ≥3,∴k≥6.
11.
x<-1 【解析】去括号,得2x-2+
1<-3,移项,得2x<-3+2- 1,合
3
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并同类项, 得2x < - 2, 解得x <
-1.
12.
x= -1 【解析】将x = 2 代入x
2+
mx+m- 1 = 0,得2
2 + 2m+m- 1 =
0,解得m = -1,∴关于x 的方程
为x
2-x-2= 0,解得x = -1 或x =
2,∴方程的另一个根为x= -1.
【一题多解】
x= -1 【解析】由根与系数的关
系,得x1+x2 =- b
a =-m,x1x2 = c
a =
m-1,∴当x1 = 2 时,2+x2 = -m,
2x2 =m-1,解得x2 = -1,m = -1,
∴方程的另一个根为x= -1.
13.
10
x +
5
1. 3x = 10
【解析】∵AB =
2BC= 10 米,∴BC= 5 米. ∵小刚
通过AB 的速度为x 米/ 秒,通过
BC 的速度是通过AB 的1. 3 倍,
∴小刚通过BC 的速度为1. 3x
米/ 秒. 又∵小刚共用时10 秒通
过AC,∴10
x + 5
1. 3x = 10.
14.
x = -2
【解析】当x≥0 时,则
x≥-x,∵min { x, - x} = 3x + 4,
∴-x=3x+4,解得x =-1(舍去). 当
x<0 时,则x<-x,∵min{x,-x} =3x+
4,∴x = 3x+4,解得x = -2. 综上
所述,方程min{x,-x} = 3x+4 的
解为x= -2.
15.
解:(1)令y=x-3①
2x+3y= 6②
{
,
把①代入②,得2x+3(x-3)= 6,
解得x= 3.
把x= 3 代入①,得y= 3-3= 0,
∴原方程组的解为x= 3
y= 0
{
;
(2)去分母得(x-2)(x+2)+3x =
x(x+2),
去括号,得x
2-4+3x=x
2+2x,
移项,合并同类项,得x= 4,
检验:当x= 4 时,x(x+2)≠0,
故原方程的解为x= 4;
(3)x
2-4x= -3,
x
2-4x+3= 0,
(x-1)(x-3)= 0,
x-1= 0 或x-3= 0,
解得x1 = 1,x2 = 3.
16.
解:令
2(x-1)-3x<0①
x-1
2 -1≤0②
{
,
解不等式①,得x>-2,
解不等式②,得x≤3,
∴不等式组的解集为-2<x≤3,
∴不等式组的整数解为-1,0,1,
2,3.
解集在数轴上表示如解图.
第16 题解图
17.
解:(1)∵AC= 7,BC= 3,
∴AB=AC-BC= 7-3= 4.
∵点B 表示的数为-2,
∴点A 表示的数-2-4= -6,点C
表示的数为-2+3= 1;
(2)t 秒后,点A 表示的数是-6+
t,点C 表示的数是1-t,
∵AC= 3,
∴(-6+t)-(1-t)= 3 或(1-t) -
(-6+t)= 3,
∴t= 5 或t= 2.
18.
解:(1)由题意可知,每支中性笔
为(x+1. 2)元.
由题意,得
21
x+1. 2 = 12
x ,
解得x= 1. 6,
经检验,x= 1. 6 是原方程的解,
此时,圆珠笔的数量为12÷1. 6 =
7. 5(支),
∵圆珠笔的数量为整数,
∴x= 1. 6 不符合题意,
∴淇淇说嘉嘉搞错了;
(2)由题意可知,每支中性笔为
(x+m)元.
由题意,得21
x+m = 12
x ,
解得x= 4m
3 ,
∵中性笔和圆珠笔的单价均为
整数,且0<m<6,
∴整数m= 3,
∴x= 4,
经检验,x = 4 是原方程的解,且
符合题意.
答:整数m 的值为3.
第三章 章末小卷
1.
B 【解析】∵两点关于x 轴对称,
横坐标不变,纵坐标互为相反数,
∴点B 的坐标是(3,1).
2.
D 【解析】∵1<2,y1 >y2,∴在第
一象限内y 随x 的增大而减小,
∴m+1>0,解得m>-1,∴m 的值
可以为3.
3.
C 【解析】∵-3<0,∴y 随x 的增
大而减小. ∵-2<1<3,∴
y2<y1<y3.
4.
C 【解析】一次函数y = -x+4 的
图象向左平移2 个单位长度,再
向下平移3 个单位长度后得到
y= -(x+2) +4-3 = -x-1,∵平移
后的函数图象经过点( a, 3 ),
∴3= -a-1,解得a= -4.
5.
B
【解析】∵x = - 3,y = 7;x = 5,
y= 7,∴抛物线的对称轴为直线
x= 1,∴当x = 0 和x = 2 时,函数
值相等,而x = 0 时,y = - 8,∴当
x= 2 时,二次函数y = ax
2+bx+c 对
应的函数值为-8.
6.
B
【解析】如解图, 过点A 作
AM⊥x 轴, 垂足为M, 则有
S矩形AMOB =S▱ABCD = | k| = 6.
第6 题解图
7.
B
【解析】由题意,甲和乙的图
象关于x 轴对称,乙和丙的图象
关于直线y= 1 对称,A,C 选项正
确;甲的图象向上平移2 个单位
长度后, 可以与丙的图象重合,
B 选项错误;乙的图象关于x 轴
对称后,再向上平移2 个单位长
度,可以与丙的图象重合,D 选项
正确.
8.
C
【解析】∵抛物线与y 轴交于
点(0,- 3),对称轴为直线x = 1,
∴由抛物线的对称性可得,点(2,
-3)在抛物线上,∴将(2,- 3) 代
入y= ax
2 +bx+c,可得4a+2b+c =
-3,故A 选项错误;∵抛物线的
对称轴为直线x= 1,∴- b
2a = 1,则
b+2a = 0,故B 选项错误;∵a>0,
∴抛物线开口向上. ∵抛物线与
y 轴负半轴相交,∴必然与x 轴有
两个交点,即有b
2 - 4ac> 0,故C
选项正确; ∵抛物线开口向上,
∴二次函数在顶点处取得最小
值,将x = 1 代入y = ax
2 +bx+c,得
y=a+b+c,∴对于任意的实数m,
必有am
2+bm+c≥a+b+c,整理可
4
参考答案
计
算
专
练
与
章
末
小
卷
得a(m
2 - 1) +b( m- 1) ≥0,故D
选项错误.
9.
C
【解析】∵二次函数y = ax
2 -
2ax+a
2 -3,∴二次函数图象的对
称轴为直线x = --2a
2a = 1. ∵a<0,
∴二次函数的图象开口向下,
∴在对称轴左侧,y 随x 的增大而
增大,∴在-5≤x≤-2 内,当x =
-2 时,函数y 取得最大值-15,将
x= -2,y = -15 代入y = ax
2 -2ax+
a
2- 3 中,解得a1 = - 2,a2 = - 6,
∵-4<a<0,∴a = -2,∴二次函数
的解析式为y = - 2x
2 + 4x + 1 =
-2(x-1)
2+3,∴该二次函数的最
大值为3.
10.
B 【解析】∵点D(4,3)在直线
y=kx 上,∴k= 3
4 ,∴直线OD 的
函数解析式为y = 3
4 x. ∵D 是
OP 的中点,且D(4,3),∴P(8,
6). 如解图,过点P 作PF⊥x 轴
于点F,交CD 于点E,∴E(8,
3),F(8,0). 设直线OP 平移后
的函数解析式为y= 3
4 x+b,将点
E(8,3) 坐标代入y = 3
4 x+b,得
3= 3
4 × 8 + b,解得b = - 3,将点
F(8,0)坐标代入y = 3
4 x+b,得
0= 3
4 ×8+b,解得b = -6,∴-6<
b<-3.
第10 题解图
11.
3. 2
【解析】根据表格数据可
知,x 每增加0. 2
mg, y 增加
0. 4
cm,则当x= 1. 2 时,y= 1. 2+
0. 4×5= 3. 2.
【一题多解】
设y 与x 的函数解析式为y =
kx+b ( k ≠0), 将( 0. 2, 1. 2),
(0. 4, 1. 6 ) 分别代入, 得
0. 2k+b= 1. 2
0. 4k+b= 1. 6
{
,解得k= 2
b= 0. 8
{
,则
y 与x 的函数解析式为y = 2x+
0. 8(0<x<2),当x = 1. 2 时,y =
2×1. 2+0. 8= 3. 2.
12.
(-4,7)
【解析】如解图,连接
AC,BD 交于点G,∵四边形ABCD
为菱形,∴AC⊥BD,且BG = DG.
∵B(8,12),D(8,2),∴BD⊥x 轴,
BD = 12 - 2 = 10, ∴BG = DG=
1
2 BD= 5, 则点A 的纵坐标为
yA = 5 + 2 = 7. ∵AB = 13, ∴在
Rt△ABG 中, 由勾股定理可得
AG=
AB
2-BG
2 = 12,则点A 的
横坐标xA = -(12-8)= -4,故点
A 的坐标为(-4,7).
第12 题解图
13.
解:(1)如解图,延长BC 交x 轴
于点G,
∵斜坡OC 的坡比为1 ∶10,
OG= 20,∴CG= 1
10OG= 2.
∵BC = OA = 3,∴BG = BC+CG =
3+2= 5,∴A(0,3),B(20,5),
将点A(0,3),B(20,5)代入y =
- 1
40x
2+bx+c 中,得
c= 3
- 1
40×20
2+20b+c= 5
{
,
解得
c= 3,
b= 3
5 ,
{
∴该抛物线对应的函数解析式
为y= - 1
40x
2+ 3
5 x+3;
第13 题解图
(2)搭建的温室大棚满足要求.
理由如下:设直线OC 对应的函
数解析式为y = kx ( k ≠0 ),
将C(20,2)代入y=kx 中,得2 =
20k,解得k= 1
10,
∴直线OC 对应的函数解析式
为y= 1
10x.
设点D(m,- 1
40m
2 + 3
5 m+3),则
E(m, 1
10m),
∴DE= - 1
40m
2+ 3
5 m+3- 1
10m=
- 1
40(m-10)
2+11
2 .
∵- 1
40<0,0<m<20,
∴当m = 10 时,DE 的最大值为
11
2 . ∵11
2 <6,
∴搭建的温室大棚满足要求.
14.
解:(1) ∵点C( - 1
3 ,0) 在直线
l2:y=mx+1 上,
∴- 1
3 m+1= 0,解得m= 3,
∴直线l2 的函数解析式为y =
3x+1;
(2)在函数y = x+ 3 中,当x = 0
时,y= 3,
在函数y = 3x+1 中,当x = 0 时,
y= 1,
∴B(0,3),D(0,1),
∴BD= 3-1= 2,
联立y=x+3
y= 3x+1
{
,解得x= 1
y= 4
{
,
∴两直线交点坐标为(1,4),
∴l1、l2 与y 轴所围成的三角形
的面积= 1
2 ×2×1= 1;
(3)∵M(1,2)和N(3,2),
∴MN= 2.
如解图,设直线MN 与l1 和l2 分
别交于点E 和F,
在函数y = x+ 3 中,当y = 2 时,
x= -1,
在函数y = 3x+1 中,当y = 2 时,
x= 1
3 ,
∴E(-1,2),F( 1
3 ,2),
∴EF = 4
3 ,ME = 2,即线段MN
向左平移2 个单位开始有2 个
交点,
xN-xF = 3- 1
3 = 8
3 ,
∴n 的取值范围为2 ≤n ≤
5
中考试题研究·数学(河北)
计
算
专
练
与
章
末
小
卷
2+ 2
3 = 8
3 .
故将线段MN 向左平移n 个单
位,若与直线l1、l2 同时有公共
点,n 的取值范围为2≤n≤8
3 .
第14 题解图
第四章 章末小卷
1.
D 【解析】∵直线l1∥l2∥l3,直线
a 和b 被l1, l2, l3 所截, ∴AB
BC =
DE
EF,AB
AC = DE
DF, AB
DE = BC
EF,故符合题
意的是选项D.
2.
A
【解析】∵AB∥CD,∠1 = 40°.
∴∠C = ∠1 = 40°. ∵∠2 = ∠C+
∠D = 2 ∠D,∴∠D = ∠C = 40°,
∴∠2= 2∠D= 80°.
3.
B
【解析】由题意可知∠EAD =
45°,∴∠FBA = ∠EAD - ∠AFB =
45°-30° = 15°.
4.
C 【解析】A.
图中小棒被剪刀剪
成两段,这两段相减比上面那根
木棒还长,不符合三角形的三边
关系,无法围成三角形,不符合题
意;B.
图中小棒被剪刀剪成两
段,这两段加起来比下面那根木
棒短,不符合三角形的三边关系,
无法围成三角形, 不符合题意;
C.
图中小棒被剪刀剪成两段,这
两段加起来比上面那根木棒长,
这两段相减比上面那根木棒短,
符合三角形的三边关系,可以围
成三角形,符合题意;D.
图中小
棒被剪刀剪成两段,这两段加起
来和上面那根木棒长度相等,不
符合三角形的三边关系,无法围
成三角形,不符合题意.
5.
B 【解析】∵D,E 分别为AB,AC
边的中点,∴BD = AD = 3,DE 为
△ABC 的中位线,∴DE∥BC,DE =
1
2 BC=4,∴∠DFB=∠CBF. ∵BF 平
分∠ABC, ∴
∠ABF = ∠CBF,
∴∠ABF= ∠DFB,∴DF = BD = 3,
∴EF=DE-DF= 1.
6.
B
【解析】∵AB = AC,∠A = 40°,
∴∠B =∠ACB = 1
2 ×(180°-40°)=
70°. 又∵以点B 为圆心,BC 的长
为半径画弧,与AB 交于点D,连
接CD, ∴BD = BC, ∴∠BCD =
∠BDC = 55°,∴∠ACD = ∠ACB-
∠BCD= 70°-55° = 15°.
7.
C
【解析】∵∠ACB = 90°,CE =
AC, ∴∠CAE = ∠AEC = 45°.
∵∠BAE = 15°, ∴∠CAB = 60°,
∴∠B= 30°. ∵O 为AB 的中点,
∴CO = BO = AO = 1
2 AB,∴△AOC
是等边三角形, ∠OCB = ∠B =
30°,∴AC = OC = CE,∴∠COE =
1
2 ×(180°-30°)= 75°.
8.
D 【解析】∵△ABC 与△DEF 是
位似图形,经过对应点B 与E,C
与F 的两直线交于点O,点C 是
OF 的中点,∴点O 是位似中心,
∴直线AD 一定经过点O,BC∥
EF,位似比为1 ∶2,∴△ABC 与
△DEF 的相似比为1 ∶2,∴AC ∶
DF= 1 ∶2,S△ABC ∶S△DEF = 1 ∶4,
∴DF= 2AC,S△DEF = 4S△ABC.
9.
B
【解析】嘉嘉的作法:∵PQ∥
BC,∴△APQ∽△ABC,∴嘉嘉的
作法错误. 淇淇的作法:如解图,
∵B,C,Q,P 四点共圆,∴∠B +
∠CQP= 180°. ∵∠AQP+∠CQP =
180°, ∴∠AQP = ∠B. ∵∠A =
∠A,∴△AQP∽△ABC,
∴淇淇
的作法正确.
第9 题解图
10.
B
【解析】∵∠BAC = 90°,AC =
AB,AD ⊥BC, ∴∠ABC = ∠C =
45°, AD = BD = CD, ∠ADN =
∠ADB = 90°, ∴∠BAD = 45° =
∠CAD. ∵
BE
平分∠ABC,
∴∠ABE= ∠CBE = 1
2 ∠ABC =
22. 5°,∴∠BFD = ∠AEB = 90°-
22. 5°= 67. 5°,∴∠AFE =∠BFD =
∠AEB= 67. 5°,∴AF = AE,故甲
错误. ∵M 为EF 的中点,∴AM⊥
EF, 故乙正确; ∵AM ⊥EF,
∴∠AMF
=
∠AME
=
90°,
∴∠DAN= 90°-67. 5° = 22. 5° =
∠MBN,在△FBD 和△NAD 中,
∠FBD=∠DAN,
BD=AD,
∠BDF=∠ADN,
{
∴
△FBD ≌
△NAD(ASA),∴DF = DN,故丙
错误.
11.
BA=BD(答案不唯一)
12.
3 + 1
【解析】如解图,过点A
作AD⊥BC 于点D,则∠ADB =
∠ADC = 90°. ∵∠BAC = 105°,
∠B = 30°,∴∠BAD = 90°-∠B =
60°,∴∠DAC = ∠BAC-∠BAD =
45°,∴AD = DC,在Rt△ADC 中,
AC =
2, ∴AD = DC = 1. 在
Rt△ABD 中,BD =
AD
tan
30° =
3,
∴BC=BD+DC=
3 +1.
第12 题解图
13.
1
3 【解析】如解图,延长ED 至
点G, 使得DG = DE, 连接BG.
∵D 是BC 的中点,∴BD = CD,
在
△EDC
和
△GDB
中,
CD=BD,
∠CDE=∠BDG,
DE=DG,
{
∴
△EDC ≌
△GDB ( SAS ), ∴
∠DCE =
∠DBG,∴AC∥BG,∴FA
FB = FE
FG.
∵DE=EF,∴FG=3FE,∴AF
BF= 1
3 .
第13 题解图
14.
32
【解析】如解图,过点E 作
EF⊥BC 于点F,∵∠ADE = 90°,
∴∠EDB+∠ADC = 90°. ∵∠ACB =
90°, ∴∠ADC + ∠DAC = 90°,
∴∠EDB= ∠DAC.
∵EF⊥BC,
∴∠EFD = 90°, ∴∠EFD =
∠ACD, ∴
△EDF ∽△DAC,
6
参考答案
计
算
专
练
与
章
末
小
卷
∴DE
AD = DF
AC,∴4
5 = DF
20 , ∴DF =
16. ∵BE = DE,EF⊥BD,∴BF =
DF= 16,∴BD= 32.
第14 题解图
15.
( 1) 证明: ∵BD 平分∠ABC,
∴∠ABF=∠DBC.
∵AF⊥BD,
∴∠AFB=∠C= 90°.
在△ABF 和△DBC 中,
∠AFB=∠C,
∠ABF=∠DBC,
AB=DB,
{
∴△ABF≌△DBC(AAS),
∴AF=CD;
(2 ) 解: 由( 1 ) 知, △ABF ≌
△DBC,∴BF=BC= 4,BD = AB =
5, ∴DF = BD - BF = 1. 在
Rt△ABF 中,AF =
AB
2-BF
2 =
3,∴CD = AF = 3. 在Rt △ADF
中, AD =
AF
2+DF
2 =
10,
∴四边形ADCB 的周长为AB+
BC+ CD + AD= 5 + 4 + 3 +
10 =
12+
10.
16.
解:(1)如解图,连接EF,过点A
作AG ⊥CD 于点G, 则四边形
ABDG 为矩形, ∴∠AGC = 90°,
AG = BD = 4. 85
m,DG = AB =
1. 7
m.
∵CE=CF,CD⊥EF,
∴CD 平分∠ECF.
∵∠ECF= 150°,
∴∠ACD= 1
2 ∠ECF= 75°.
在Rt△ACG 中,
CG=
AG
tan∠ACG= 4.85
tan
75°≈1.30(m),
∴CD = CG + DG ≈1. 30 + 1. 7 =
3. 0(m);
第16 题解图
(2)如解图,∵EF⊥CD,CE=CF,
∴∠PCD=∠ACD= 75°.
在Rt△CDP 中,
CP=
CD
cos∠DCP =
3. 0
cos
75°,
在Rt△ACG 中,
AC=
AG
sin∠ACG = 4. 85
sin
75°.
∵AE= 2,
∴CE=CF=AC-AE= 4. 85
sin
75°-2,
∴PF = CP - CF =
3. 0
cos
75° -
( 4. 85
sin
75°-2)≈8. 5(m).
答:此时拉直CF 所需的绳子PF
的长约为8. 5
m.
第五章 章末小卷
1.
C 【解析】如解图,延长a,b 交于
点C, ∵a ⊥b, ∴∠ACB = 90°,
∴正多边形的一个外角为
180°-90°
2
= 45°,∴n= 360°
45° = 8.
第1 题解图
2.
C 【解析】根据两组对边分别平
行的四边形是平行四边形,可以
添加AD∥BC;根据一组对边平行
且相等的四边形是平行四边形,
可以添加AB= CD,故两人的都正
确,故选C.
3.
B 【解析】∵四边形ABCD 是菱
形,∴AC ⊥BD, ∴∠AOB = 90°.
又∵OE ⊥AB, ∠BOE = 30°,
∴∠OBE = 60°, ∴在Rt △AOB
中,AO=
3OB= 2
3.
4.
A
【解析】∵四边形ABCD 为平
行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAE =
∠AEB,由折叠的性质,得∠AEB =
∠AEB′, BE = B′E, ∴∠DAE =
∠AEB′, ∴DA = DE. ∵AD = 8,
∴DE= 8. ∵BE = 3, ∴B′E = 3,
∴DB′=DE-B′E= 8-3= 5.
5.
A 【解析】由折叠性质,得AB =
CB′,BE=B′E. ∵四边形OABC 为
矩形,点B(4,3),∴OA = BC = 4,
AB= CB′ = 3,∠B = ∠B′ = 90°. 设
CE = x, 则BE = B′ E = 4 - x, 在
Rt△CB′E 中,B′C
2 + B′E
2 = CE
2,
即3
2 +(4-x)
2 = x
2,解得x = 25
8 ,
∴CE= 25
8 ,∴点E 的坐标为( 25
8 ,3).
6.
C
【解析】如解图,连接AC,令
CG 交AF 于点P,由题意得,AB =
BC, ∠ABC = ∠BAI = ∠AIH =
140°, ∴∠ACB = 20°, ∠BCG =
∠HGC = ( 720° - 4 × 140°) ÷ 2 =
80°, ∴∠ACP = ∠CAP = 80° -
20° = 60°, ∴△ACP 为等边三角
形,∴弦AF,CG 相交所成锐角的
度数为60°.
第6 题解图
7.
A 【解析】①∵DF∥AC,DE∥AB,
∴四边形AFDE 为平行四边形.
∵DE⊥AC,∴四边形AFDE 为矩
形,故①正确;②∵四边形AFDE
为平行四边形, AD 平分∠BAC,
∴四边形AFDE 为菱形,故②正
确;③∵△ABC 为等腰直角三角
形,∴∠BAC = 90°, ∠B = ∠C =
45°. ∵四边形AFDE 为平行四边
形, ∴四边形AFDE 为矩形, 即
△ABC 为等腰直角三角形时,只
能证明四边形AFDE 为矩形,故
③错误.
8.
D
【解析】如解图,连接CE,设
AC 与EF 交于点O,由作图痕迹
可知,EF 垂直平分AC,∴设CE =
AE= x,则BE = 8-x,在Rt△CBE
中,x
2 = 4
2 + ( 8 - x)
2,解得x = 5,
∴AE=CE = 5. ∵四边形ABCD 是
矩形,∴∠ADC = 90°. 在Rt△ADC
中, 由勾股定理得, AC = 4
5,
∴OC=AO =2
5,在Rt△EOC 中,
EO=
EC
2-OC
2 =
5
2- 2
5
(
)
2 =
5, ∵
AB ∥CD, ∴
∠BAC =
∠ACD,∴易证△AOE ≌△COF,
∴OE= OF,∴EF = 2OE = 2×
5 =
2
5.
第8 题解图
9.
D
【解析】设AO = a, OD = b,
∴OF=b-a,∴阴影部分面积S1 =
4S△DFA = 4 ×
1
2
a
2 = 2a
2, 在
Rt△AOD 中,由勾股定理得AD
2 =
7
中考试题研究·数学(河北)
计
算
专
练
与
章
末
小
卷
a
2 + b
2, ∴S2 = AD
2 - S1 = b
2 - a
2,
∴
S1
S2
=
2a
2
b
2-a
2 = 9
8 , 解得25a
2 =
9b
2,∴a
2
b
2 = 9
25. ∵a > 0, b > 0,
∴a
b = 3
5 ,∴tan
α= a
b = 3
5 .
10.
B
【解析】如解图, 连接AC,
BD,∵点A1,B1,C1,D1 分别是
四边形ABCD 各边的中点,
∴A1B1 = D1C1 = 1
2 AC, A1D1 =
B1C1
=
1
2
BD, ∴
四边形
A1B1C1D1 是平行四边形,A 选项
正确;四边形A1B1C1D1 的周长
与四边形ABCD 的周长关系无
法确定,B 选项错误;设AC 与
BD 交于点O,BO 与A1B1 交于
点E, AO 与A1D1 交于点F,
∵A1F∥BO,∴△AA1F∽△ABO.
∵A1 是AB 的中点,∴S△AFA1 = 1
4
S△AOB, 同理可得
S△A1EB
=
1
4 S△AOB, ∴S四边形A1EOF = S△AOB -
S△AFA1 -S△A1EB = 1
2 S△AOB,同理可
得在△AOD,△DOC,△BOC 中,
四边形A1B1C1D1 与其重叠部分
均占了三角形面积的1
2 ,
∴S四边形A1B1C1D1 = 1
2 S四边形ABCD,同理
可得S四边形A2B2C2D2 = 1
2 S四边形A1B1C1D1,
∴S四边形A2B2C2D2 = 1
4 S四边形ABCD,C 选
项正确;当AC=BD 时,A1B1 =D1C1
=A1D1 =B1C1,∴▱A1B1C1D1 为菱
形,∴A1C1 与B1D1 互相垂直,∴
四边形A2B2C2D2 各邻边互相垂
直,∴四边形A2B2C2D2 是矩形,
D 选项正确.
第10 题解图
11.
B
【解析】如解图,连接EF,过
点E 作EM ⊥DC 于点M,
∵S△DEC = 1
2 DC · EM, S▱ABCD =
DC·EM= c,∴S△DEC = 1
2 c. ∵四
边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥
CD,∴△EFC 的FC 边上的高与
△BCF 的FC 边上的高相等,
∴S△EFC = S△BCF,∴S△EFQ = S△BCQ,
同理可得S△EFD = S△ADF,∴S△EFP
= S△ADP. ∵S△APD = a, S△BQC = b,
∴S四边形EPFQ =a+b,∴阴影部分的
面积为S△DEC - S四边形EPFQ = 1
2 c -
a-b.
第11 题解图
12.
D 【解析】由折叠的性质可得,
△BEF ≌△PEF, △DGH ≌
△PGH, ∴EP = EB, FP = FB,
∠EPF = ∠EBF = ∠GPH =
∠GDH= 90°. ∴∠EPG=∠FPH =
90°. ∵两个直角的顶点重合于
对角线BD 上的点P 处,∴EF
是BP 的垂直平分线,GH 是PD
的垂直平分线. ∵AC 与BD 互相
垂直平分, ∴EF ∥AC ∥GH,
∴∠BEF
=
∠BAC
=
45°,
∴∠BEP= 90°,∴四边形BEPF
是矩形,∴EF = BP,同理可得,
GH = PD. ∵∠AEP = ∠EPG =
∠EAG= 90°,∴四边形AEPG 是
矩形,∴AE = PG,同理可得FC =
PH,∴阴影部分的周长= EP +
PG+GH+HP+PF+FE = BE+AE+
PD+BP+FC+BF=AB+BC+BD.
13.
AC=BD(答案不唯一)
14.
3
3 【解析】由题意得,正六边
形的一个外角为360°
6
= 60°.
∴∠NDP= 60°. ∵M,N 分别为
AB,DE 边的中点,∴MN⊥DE,
∴∠DNP = 90°. ∵DE = 6,∴DN =
3,∴NP=DN·tan
60° = 3
3.
15.
17 【解析】如解图,连接AC,
CF,∵四边形ABCD 和四边形
CEFG 都是正方形,∴AD = CD =
BC = 1, CG = CE = EF, ∠ACD =
∠FCG= 45°,∠ADC = ∠E = 90°,
∴∠ACF=∠ACD+∠FCD = 90°.
∵点H 是AF 的中点, ∴AF =
2CH = 6. ∵AC =
1
2+1
2 =
2,
∴CF=
AF
2-AC
2 =
34,∴CG =
2
2 CF=
17.
第15 题解图
16.
(1)证明:∵AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO.
∵EF 是AC 的垂直平分线,
∴OA=OC,AE=CE.
在△AEO 和△CFO 中,
∠EAO=∠FCO,
OA=OC,
∠AOE=∠COF,
{
∴△AEO≌△CFO(ASA),
∴AE=CF.
又∵AE∥CF,
∴四边形AFCE 是平行四边形.
∵AE=CE,
∴四边形AFCE 是菱形;
(2) 解:∵F 是BC 的中点,O 是
AC 的中点,
∴OF 是△ABC 的中位线,
∴OF∥AB.
∵AC⊥EF,∴AC⊥AB.
∵AE= 5,∴CF= 5,
∴BC= 2CF= 10,
∴AC=
BC
2-AB
2 =
10
2-6
2 =8.
第六章 章末小卷
1.
D
【解析】∵AB 是☉O 的直径,
∠AOC = 40°, ∴∠COB = 140°,
∴∠D= 1
2 ∠COB= 70°.
2.
B 【解析】∵O 为△ABC 的内心,
∴点O 到AB, AC 的距离相等,
∴△AOB、△AOC 面积的比=
AB ∶AC = 8 ∶6 = 4 ∶3. ∵△ABO
的面积为20, ∴△ACO 的面积
为15.
3.
C
【解析】如解图, 连接AD,
∵BC
与☉O
相切于点
B,
∴∠ABC= 90°. ∵
∠C = 40°,
8
参考答案
计
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章
末
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卷
∴∠BOD= 90° - ∠C =
50°,
∴∠BAD= 1
2 ∠BOD= 25°. ∵BE
(
=
BD
(
,∴∠BAE=∠BAD= 25°.
第3 题解图
4.
D
【解析】∵∠BOD = 120°,
∴∠AOD = 60°. ∵
AC ∥OD,
∴∠BAC= ∠AOD = 60°. ∵AB 是
☉O 的直径, ∴∠ACB = 90°,
∴∠ABC= 90°-60° = 30°.
5.
B
【解析】∵∠ADC = 60°,
∴∠AOC=
2 ∠ADC
=
120°,
∴∠COE = 180° - ∠AOC = 60°.
∵弦CD⊥AB,∴CE=DE= 1
2 CD=
2
3,在Rt△COE 中,OC=
CE
sin
60° =
4,即☉O 的半径为4.
6.
C 【解析】由圆内接四边形的性
质可知∠ADC = 180° - ∠ABC =
180° - 70° = 110°, ∵AB
(
= BC
(
,
∴∠ADB=∠BDC= 1
2 ∠ADC=55°.
7.
C
【解析】如解图,∵OA = OB,
∴∠3=∠4,同理可得,∠1 = ∠5,
∠2= ∠6,∵∠3+∠4+∠1+∠5+
∠2 + ∠6 = 180°, ∴∠1 + ∠2 +
∠3= 90°.
第7 题解图
8.
A 【解析】如解图,连接OA,OC.
∵正五边形ABCDE 与☉O 相切
于点A,C,∴OA⊥AE,OC⊥CD,
∴∠OAE=∠OCD = 90°. ∵∠EAO+
∠AOC+∠OCD+∠D+∠E = 540°,
∠D = ∠E = 108°, ∴∠AOC =
144°. ∵☉O 的半径为5,∴劣弧
AC
(
的长为144π×5
180
= 4π.
第8 题解图
9.
A 【解析】如解图,连接CO,DO,
AC,∵C,D 是以AB 为直径的半圆
上的三等分点,CD
(
的长为2
3 π,
∴∠COD= 60°,圆的半周长= πr =
3× 2
3 π = 2π,∴r = 2. ∵△ACD 的
面积等于△OCD 的面积,弓形AC
的面积等于弓形CD 的面积,
∴S阴影=S扇形COD =60π×2
2
360
= 2
3 π.
第9 题解图
10.
C 【解析】如解图,连接BO 并
延长,交☉O 于点D,连接AD,
∴BD= 2×5= 10. ∵BD 为☉O 的
直径, ∴
∠DAB =
90°, 在
Rt△DAB 中,由勾股定理得AD =
BD
2-AB
2
= 6. ∵
∠ACB =
∠ADB,∴cos∠ACB=cos∠ADB=
AD
BD = 6
10 = 3
5 .
第10 题解图
11.
A
【解析】如解图, 连接AO,
BO, ∵∠C = 50°, ∴∠AOB =
2∠C= 100°. ∵PA,PB 是☉O 的
两条切线,∴PA =PB,∠P = 180°-
∠AOB = 180° - 100° = 80°,
∴∠PBA= 1
2 ×(180°-80°)= 50°.
第11 题解图
12.
A
【解析】∵△OAB 是等边三
角形,∴∠AOB = 60°,∴∠AOC+
∠BOD = 120°. 设∠AOC = n, 则
∠BOD= 120°-n,∴AC
(
的长度+
BD
(
的长度
=
nπ×1
180
+
(120-n)π×1
180
= 2π
3 ,∴结论Ⅰ正
确;∵∠AOB = 60°, ∴∠AOC +
∠BOD= 120°,∴∠BCD+∠ADC =
1
2
∠BOD
+
1
2
∠AOC
=
1
2 (∠BOD + ∠AOC ) =
60°,
∴∠CPD= 120°, 使得∠CPD =
120°的α 值有无数个,∴结论Ⅱ
错误.
13.
2
【解析】如解图, 连接AC,
∵四边形ABCD 是正方形,AB =
2,∴AC = 2
2. ∵正方形ABCD
内接于☉O,∴AC 是☉O 的直
径, ∴
☉O
的半径为
2,
∴S阴影= 1
2 S☉O - S弓形AC = 1
2 π ×
(
2 )
2 -( 1
4 π×2
2 - 1
2 ×2×2) =
π-π+2= 2.
第13 题解图
14.
4π 【解析】∵∠ACB = ∠CDB =
60°, ∴∠A = ∠ACB = 60°, 即
△ABC 是等边三角形,如解图,
连接OB,OC,过点O 作OE⊥BC
于点E,∴BC=AC=2
3,∠OBC=
∠OCB = 30°, BE = 1
2 BC =
3,
∴OB=
BE
cos30° = 2,∴☉O 的面积
为4π.
第14 题解图
15.
( 1) 证明: 如解图, 连接BD,
∵DE⊥CB, 且圆心O 在线段
DE 上,
∴BD=CD,
∴∠DCB=∠DBC=∠DAC.
∵四边形ABCD 是☉O 的内接
四边形,
∴∠DCB+∠DAB= 180°.
∵∠DAB+∠BAF= 180°,
∴∠BAF=∠DCB,
9
中考试题研究·数学(河北)
计
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章
末
小
卷
∴∠BAF=∠DAC;
第15 题解图
(2) 解: 由( 1 ) 可得∠DEF =
∠CED = 90°,且圆心O 在线段
DE 上,
∴CE=BE= 1
2 BC= 6.
在Rt△CDE 中,CD=
DE
2+CE
2 =
10.
∵AC 是☉O 的直径,
∴∠CDA= 90°,
∴∠CDE+∠FDE= 90°.
∵∠F+∠FDE= 90°,
∴∠F=∠CDE,
∴△CDE∽△DFE,
∴CE
DE =CD
DF,即6
8 = 10
DF,
解得DF= 40
3 .
16.
(1) 证明:∵AC 是☉O 的切线,
∴∠ACB= 90°.
∵F 是AB 的中点,
∴FC=FB,∴∠FCB=∠ABC.
∵四边形BDEC 内接于☉O,
∴∠CED + ∠FBC = ∠CED +
∠FED= 180°,
∴∠FED=∠FBC,
∴∠FED=∠FCB,
∴DE∥BC;
(2) 解:∵∠ACB = 90°,F 是AB
的中点,
∴AF=CF,∴∠A=∠ACF,
∴tan∠ACF=tan
A=BC
AC = 3
4 .
设BC= 3x,则AC= 4x,
∵AB= 10,
∴在Rt△ABC 中,(3x)
2+(4x)
2 =
10
2,
解得x=2(负值已舍去),
∴BC=6,AC=8.
∵BC 是☉O 的直径,
∴∠BEC=∠ACB=90°,
由(1)知∠ECB=∠ABC,
∴△BCE∽△ABC,
∴CE
BC=BC
AB,即CE
6 = 6
10,
解得CE= 18
5 .
∵CF= 1
2 AB=5,
∴EF=CF-CE=5-18
5 = 7
5 .
第七章 章末小卷
1.
D 2.
C 3.
C 4.
D
5.
A 【解析】A 选项的主视图如解图
①,B 选项的主视图如解图②,C 选
项的主视图如解图③,D 选项的主
视图如解图④,故选A.
图①
图②
图③
图④
第5 题解图
6.
B 【解析】将图③展开铺平后如解
图,∴该四边形既是轴对称图形,又
是中心对称图形.
第6 题解图
7.
B
【解析】A.
由作图得,CM 为
∠ACB 的平分线,∵AC>BC,∴CM
不是△ABC 的中线,∴M 不是AB
的中点,故A 选项错误;B.
由作图
得,所作的直线是AB 的垂直平分
线,∴M 是AB 的中点,故B 选项正
确;C.
由作图得,CB = MB,无法判
断AM 的长度,∴无法判断M 是不
是AB 的中点,故C 选项错误;D.
由
作图得,所作的直线不是AB 的垂
直平分线,∴M 不是AB 的中点,故
D 选项错误.
8.
C 【解析】如解图,连接DD′,∵四
边形A′B′C′D′是由四边形ABCD 平
移得到的,BB′= 3,A′D′= 8,∴AD =
A′D′ = 8,BB′ = DD′ = 3,∴8 - 3 <
AD′<8+3,即5<AD′<11,∴AD′的
长可能是10.
第8 题解图
9.
B 【解析】由作图痕迹可知,AD
为∠BAC 的平分线,DE 为AB 的
垂线,∵∠ACB = 90°,∴CD = DE.
∵
AD = AD, ∴
Rt△ACD ≌
Rt△AED(HL),∴AC = AE,∴AC =
BC= AE,∴△BDE 的周长为BD+
DE+BE = BD+CD+BE = BC+BE =
AE+BE=AB= 6.
10.
B 【解析】由题意可得∠BAE =
∠BFE = 90°, 又∵∠B = 90°,
∴四边形
ABFE
是矩形,
∴∠AEF = 90°, ∴
∠AED +
∠CEF = 90°. 又∵∠D = 90°,
∴∠AED+∠EAD = 90°,∴∠EAD =
∠CEF. 又∵∠D = ∠EFC = 90°,
∴△ADE∽△EFC. ∵Rt△ADE 与
Rt△CEF 恰好可以拼成一个矩
形, ∴Rt △ADE ≌Rt △EFC,
∴AD=EF= 4,DE = FC,AE = EC.
∵四边形ABFE 是矩形,∴AB =
EF= 4,BF=AE=EC. ∵DE+EC =
CD= 8,∴CF+BF = BC = 8,∴四
边形ABCD 的周长为4 + 8 + 8 +
4= 24.
11.
B 【解析】∵正方形ABCD 的对
角线AC,BD 交于点O,∴OC =
OD= BO = AO,∠BAO = ∠CBO =
45°, AC ⊥BD.
∵
∠MOA +
∠BOM = 90°,∠BON+∠BOM =
90°, ∴
∠AOM = ∠BON. 在
△AOM
和
△BON
中,
∠OAB=∠OBN,
OA=OB,
∠AOM=∠BON,
{
∴△AOM ≌
△BON(ASA),∴OM = ON,AM =
BN,S△AOM =S△BON,∴两个正方形
重叠部分形成图形的面积=
S△BOM + S△BON = S△AOB, ∴m =
1
4 S正方形ABCD = 9. ∵△BMN 的周
长为n,∴n=BM+BN+MN = BM+
AM+MN = 6+MN,∴当MN 有最
小值时,n 有最小值. ∵OM = ON,
∠MON=90°,∴MN=
2OM,∴当
OM⊥AB 时,OM 有最小值为3,
∴n 的最小值为6+3
2. ∵点M
不与点A,B 重合,∴OM 不存在
最大值,∴MN 不存在最大值,∴
n 不存在最大值, ∴淇淇的说
法对.
12.
1
【解析】由尺规作图知BE =
BC,BF 平分∠CBE,∴∠CBF =
∠EBF. ∵四边形ABCD 是平行
四边形, ∴AD∥BC, AD = BC,
∴∠F=∠CBF,∴∠F = ∠EBF,
∴BE=FE,∴EF=BC=AD,∴AD-
0
1
参考答案
计
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末
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DE = EF - DE, 即AE = DF,
∴AE
DF = 1.
13.
14
【解析】如解图,过点C′作
C′E ⊥B′ D′ 于点E, ∵四边形
ABCD 是菱形,∴BC = CD = AB =
6,由平移的性质知B′C′=C′D′=
BC = 6,B′D′ = BD = 4. ∵C′E ⊥
B′D′,∴ED′ = 1
2 B′D′ = 2. ∵四边
形ABC′D′是矩形,∴∠BC′D′ =
∠C′ED′= 90°. ∵∠C′ D′ B =
∠ED′C′,∴△C′D′B∽△ED′C′,
∴C′D′
ED′ = D′B
D′C′,即6
2 = D′B
6 ,解得
BD′= 18,∴DD′=BD′-BD= 14.
第13 题解图
14.
6
7
【解析】如解图,过点E 作
EM⊥AC 于点M,由旋转的性质
可知, AD = AE, ∠DAE = 90°,
∴∠DAC+ ∠MAE = ∠MAE +
∠AEM
=
90°,
∴∠AEM
=
∠DAC.
在△AEM 和△DAC 中,
∠AEM=∠DAC,
∠AME=∠C,
AE=AD,
{
∴△AEM
≌
△DAC(AAS),∴AM = CD,EM =
AC.
设AC = BC = 2a,∵点D 为
BC 的中点, ∴CD = BD = a,
∴AM= CD = a, EM = AC = 2a,
∴EM=BC,
∴AE =
a
2+(2a)
2 =
5a. 同理可得△EMF≌△BCF,
∴MF = FC =
1
2 a, ∴EF =
(2a)
2+( 1
2 a)
2 =
17
2
a. 过点
F 作FN⊥AE 于点N,∴S△AEF =
1
2 AF·EM = 1
2 AE·NF,∴NF=
AF·EM
AE
=
3
2 a·2a
5a
=3
5
5 a,∴EN=
(
17
2 a)
2-(3
5
5 a)
2
= 7
5
10
a,
∴tan∠AEF=NF
EN =
3
5
5 a
7
5
10 a
= 6
7 .
第14 题解图
15.
(1) 解:如解图①,点E 即为所
求;(作法不唯一,合理即可)
第15 题解图①
(2)证明:如解图②,在Rt△ABC
中,∵E 是BC 的中点,
∴AE=BE=CE= 1
2 BC.
∵AB=AE,
∴△ABE 为等边三角形,
∴∠B=∠AEB= 60°,
∵四边形ABCD 为平行四边形,
∴AB=CD=CE,∠ECD= 120°,
∴∠CED=∠CDE= 30°,
∴∠AED= 180°-∠AEB-∠CED=
90°,
∴AE⊥ED.
第15 题解图②
16.
解:(1)如解图①,连接CE.
∵AB=AC,∠BAC= 90°,
∴∠ABC=∠ACB= 45°.
∵AD 绕点A 逆时针旋转90°得
到AE,
∴AD=AE=4,∠DAE=90°=∠BAC,
∴∠BAD = ∠CAE,DE =
2 AD =
4 2.
在△BAD 和△CAE 中,
AB=AC,
∠BAD=∠CAE,
AD=AE,
{
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE= 45°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE= 90°.
∵F 是DE 的中点,
∴CF= 1
2 DE= 2 2;
第16 题解图①
(2)①作出CD 的中点M 如解图
②所示;
②AM= 1
2 BE,AM⊥BE.
证明:如解图②,作△ADE 关于
AE 的对称图形△AD′ E, 连接
CD′与BE 交于点G, 则AD =
AD′=AE,∠D′AE=∠DAE= 90°.
∵∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠EAD′,
∴∠BAE=∠CAD′.
∵AB=AC,AE=AD′,
∴△BAE≌△CAD′(SAS),
∴BE=CD′,∠AEB=∠AD′C.
∵M 是CD 的中点,AD=AD′,
∴AM 是△DCD′的中位线,
∴AM= 1
2 CD′= 1
2 BE,AM∥CD′.
∵∠AD′E+∠D′EA= 90°,
∴∠AD′C+∠CD′E+∠D′EA=90°.
∵∠AD′C=∠AEB,
∴∠AEB+∠CD′E+∠D′EA=90°,
∴∠D′GE= 90°,∴CD′⊥BE,
∵AM∥CD′.
∴AM⊥BE;
第16 题解图②
(3) 当线段BN 取得最小值时,
△BCN 的面积为4.
【解法提示】如解图③,易知点E
的运动轨迹为以点A 为圆心,AE
的长为半径的圆上的一段圆弧.
∵△ABC 和△ADE 均为等腰直
角三角形, AB = AC, AD = AE,
∴∠BAC=∠DAE= 90°,∠ACB=
45°,∴∠CAE= ∠BAD. 在△CAE
和△BAD 中,
AE=AD,
∠CAE=∠BAD,
AC=AB,
{
∴
△CAE ≌△BAD ( SAS ),
∴∠ACE=
∠ABD, ∠BDA
=
∠CEA, 记AB, CN 交于点P.
∵∠ACP+∠APC = 90°,∠BPN =
∠APC,∴∠ABD+∠BPN = 90°,
∴∠CNB = 90°, ∴△BCN 是直
角三角形. ∵C,E,N 三点共线,
点E 始终在☉A 的一段弧上运
动,∴CN 与☉A 的位置关系为相
切或相交. 如解图④,由点B 和
CN 的位置关系可知,当CN 与
☉A 相切于点E 时,点A 到直线
1
1
中考试题研究·数学(河北)
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CN 的距离最大,点B 到直线CN
的距离最小, 此时BN 最小,
∴∠AEN = 90°,∴四边形AEND
为矩形. ∵AD = AE, ∴四边形
AEND 为正方形, ∴AE = EN =
DN=AD = 2,在Rt△ACE 中,CE =
AC
2-AE
2 = 2 3,∴BD = CE =
2 3,∴BN = BD - DN = 2 3 - 2,
CN=CE+EN = 2 3 +2,∴S△BCN =
1
2 BN · CN = 1
2 × ( 2 3 - 2) ×
(2 3+2)= 4,∴当线段BN 取得
最小值时,△BCN 的面积为4.
图③
图④
第16 题解图
第八章 章末小卷
1.
C 【解析】了解一批电视机的使
用寿命, 采用抽样调查的方式,
A 选项错误;为了更直观地介绍
某品牌牛奶的各项营养指标占
比,最适合用的是扇形统计图,
B 选项错误;在连续5 次的测试
中,两名同学的平均分相同,方差
较小的同学成绩更稳定,C 选项
正确;“煮熟的鸭子飞了” 是一个
不可能事件,D 选项错误.
2.
C 3.
A
4.
C 【解析】由题意得总题数为3÷
1
4 = 12(道),其中有3 道几何题,
∴代数题有12 - 3 = 9 ( 道), 故
选C.
5.
A
【解析】这组数据中成绩为
32,34,39 的人数和为41-(2+6+
7+19)= 7,则这组数据中出现次
数最多的数38,即众数为38,第
21 个数据是38,则中位数为38.
6.
C
7.
B 【解析】本次随机调查被抽取
的八年级学生人数为3+ 7+ 17+
15+8= 50,故选项A 正确,不符合
题意;由条形统计图可知,50 个
数据的第25、26 个数均为8,∴所
抽取的这组学生最近一周的读书
时间数据的中位数为8
h,故B 错
误,符合题意; 由扇形统计图可
知,“9
h”部分所对应的扇形的圆
心角度数为360°×30% = 108°,故
选C 正确,不符合题意;∵1
000×
(30%+ 16%) = 460(人),∴该校
最近一周的读书时间达9
h 及以
上的学生人数约为460,故选项D
正确,不符合题意.
8.
C 【解析】将这四大国粹分别记
为A,B,C,D,画树状图如解图,共
有12 种等可能的结果,其中两人
恰好抽中京剧和武术结果有
2 种,∴P(两人恰好抽中京剧和
武术)= 2
12 = 1
6 .
第8 题解图
9.
D 【解析】∵4,4,6,7,8,9,10 的
众数是4,中位数是7,∴去掉的
两个数可能是6,8 或6,9 或6,
10,不能去掉的数是4 和7.
10.
A
【解析】∵前3 名同学的跳
绳个数分别为120,115,95,∴平
均数为120+115+95
3
= 110,中位
数为115,B,D 选项均会使平均
数变小,∴选项B,D 不符合题
意;在A 选项中,将跳绳个数从
大到小重新排序后为120,120,
115,100,95,∴中位数为115,平
均数为110,即中位数和平均数
都不变,符合题意;在C 选项中,
将跳绳个数从大到小重新排序
后为120,115,110,110,95,∴中
位数为110,平均数为110,中位
数变小,不符合题意.
11.
丙 【解析】∵1. 3>1. 2>1. 1,且
0. 4<0. 5<1. 8,∴应选择丙培养
室才能使上海青生长速率又快
又稳定.
12.
2 【解析】列表如下:
甲
乙
红
红
白
红
红,红
红,红
红,白
白
白,红
白,红
白,白
红1 红1,红
红1,红
红1,白
…
…
…
…
红a 红a,红红a,红红a,白
由列表可知:共有3(2+a) 种等
可能结果,其中摸出的2 个球都
是红球的结果数为2(a+1),
所以摸出的2 个球都是红球的
概率为2(a+1)
3(2+a),∴2(a+1)
3(2+a) = 1
2 ,
解得
a = 2,经检验
a = 2 是原方
程的解,且符合题意,∴a= 2.
13.
解:(1) 1
2 ;
【解法提示】小球经过B2 通道的
概率是1
2 .
(2)根据题意,画出树状图如解
图,共有4 种等可能结果,其中
落入①号槽的有1 种,落入②号
槽的有2 种,落入③号槽的有
1 种,
∴P(落入①号槽)= 1
4 ,P(落入
②号槽)= 2
4 = 1
2 ,P(落入③号
槽)= 1
4 .
第13 题解图
14.
解:(1)7. 45,7. 9;
【解法提示】地下水的pH 值按
从小到大顺序排列为7. 1,7. 2,
7. 3, 7. 3, 7. 4, 7. 5, 7. 5, 7. 5,
7. 6,7. 6,排在第5,6 位的分别
是7. 4, 7. 5, ∴
中位数为
7. 4+7. 5
2
= 7. 45. 观察折线统计
图,海水pH 值的最小值为7. 9.
(2) 未受污染的海水pH 值在
8. 0~8. 3 之间(包含端点) 的有
7 个样本,∴未受污染的海水所
占百分比为7
10×100% = 70%;
(3)赞同.
理由: 地下水样本的pH 值在
7. 1~ 7. 6 之间,海水样本的pH
在7. 9 ~ 8. 4 之间,掉落样本的
pH 值为8. 2,在7. 9 ~ 8. 4 之间,
∴该样本大概率是海水样本.
(理由合理即可)
2
1
