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【赢在高考·黄金8卷】备战2024年新高考新试卷结构高考数学模拟卷
黄金卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据指对互换运算求出集合 ，解绝对值不等式求出集合 ，结合集合的交集运算即可.
【详解】由题意 ，
，所以 .
故选：C.
2．在 中，若 ，则 的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 分别为 的中点，结合三角形相似推出 ，由题意可得
，确定四边形 面积的最大值，即可得答案.
【详解】设 分别为 的中点，连接 ，则 ，则 ∽ ，故 ,
则 ，故
又 ，则 ，
故 ，
当 时，四边形 面积最大，最大值为 ，
故 的面积的最大值为 ，
故选：D
3．已知函数 在区间 有且仅有2个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意首先得函数 在区间 上的两个零点只能是 ，由此即
可进一步列出不等式组求解.
【详解】由题意
，
当 时， ，
若函数 在区间 有且仅有2个零点，
则这两个零点只能是 ，则当 时， ，解得 .
故选：A.
4．设等差数列 的前 项和为 ，已知： ， ，
则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】由题设，构造函数 ，分析 的奇偶性和单调性，结合等差数列的性质及前n
项和公式，求解即可.
【详解】设函数 ，易知 的定义域为 ，
且 ，
所以 是 上的奇函数，由单调性的性质知 在 上单调递增，
由题意： ， ，两式相加得： ，
因为 是 上的奇函数，所以 ，
又 在 上单调递增，所以 ，即 ，
等差数列 的前 项和为 ，则 ，
因为 ， ，所以 ，
又 在 上单调递增，所以 ，所以 .
故选：D.
5．将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，确定所得多面体的外接球球心位置，再求出其外接球半径即可得解.
【详解】如图，点 是正四面体 所在棱的中点，连接 ，
显然 ，则四边形 是平行四边形，
又 ，且 ，于是 ，
因此 是正方形，则 ，同理 ，
从而得点 在以点 为球心， 为半径的同一球面上，
即这个多面体的外接球球心为 ，半径 ，
所以这个多面体的外接球的表面积为 .
故选：A
6．抛物线E： 的焦点为F，P为准线上任意一点，过点P作E的切线，切点为A，则 的最小
值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】利用抛物线对称性设不妨设切点为A在第一象限，然后利用导函数求切线斜率，进而求出直线方程，得 ，得 ，最后利用基本不等式
求最值.
【详解】由 ，根据抛物线的对称性，不妨设切点为A在第一象限，所以A 在 上，
设 ， ， ，
由 ，得 ，切线斜率为 ，
故切线方程为 ，
又 在直线 ，得 ，
得 ，所以 ，
所以 ， ，
，
当且仅当 ，即 时取等号， 的最小值为 .
故选：A
7．若 ，则下列说法正确的是（ ）
A．B． 为等差数列
C．设 ，则数列 为等差数列
D．设 ，则数列 的前 项的和为
【答案】D
【分析】由分类加法计数原理与展开式中得到每一项的方法，可求解各项系数.选项A，求解 可得；选项
B，用 表示 ，得到递推关系，再运算化简可得；选项C，求解 ，可得 ，特值法可知不满足等差
数列；选项D，分组求和，分别利用等比数列求和公式与常数列求和即可.
【详解】对于A： 为 项的系数，而得到展开式中 项，需要每一个括号里都取x项再相乘，
则 .故A错误；
对于B：由上面推导可得： ，
.
所以 ，
所以 不是等差数列.故B错误；
对于C： ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即数列 不是等差数列.故C错误；
对于D： ，所以数列 的前n项的和
.故D正确.
故选：D
8．已知 、 为双曲线 的左、右焦点，若过 的直线与双曲线的左支交于 、
两点，记 的内切圆的半径为 ， 的内切圆的半径为 ，若 ，则此双曲线离心率的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 的内切圆为圆 ，该圆切 、 、 于点 、 、 ，设 的内切圆为圆
，推导出 ，可得出 ，即可得 、 所满足的等式，即可求得该双曲
线的离心率的值.
【详解】设 的内切圆为圆 ，该圆切 、 、 于点 、 、 ，
设 的内切圆为圆 ，如下图所示：由切线长定理可得 ， ， ，
则 ，
即 ，
所以， ，则 ，
由圆的几何性质可知， 轴，可知， ，同理可知， ，
所以， 、 、 三点共线，且 轴，
因为 ， ， ，所以， ，
所以， ，同理可得， ，
所以， ，
所以， ，所以， ，
即 ，即 ，即 ，
因为 ，所以， ，可得 ，故该双曲线的离心率为 .
故选：D.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得 、 的值，根据离心率的定义求解离心率 的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于 、 的齐次方程，然后转化为关于 的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．一组数据 满足 ，若去掉 后组成一组新数据.则新数据与原数据相
比（ ）
A．极差变小 B．平均数变大 C．方差变小 D．第25百分位数变小
【答案】AC
【分析】根据极差，平均数，方差与百分位数的定义计算出去掉 前后的相关数据，比较后得到答案.
【详解】由于 ，
故 ， ，……， ， ，
A选项，原来的极差为 ，去掉 后，极差为 ，极差变小，A正确；
B选项，原来的平均数为 ，
去掉 后的平均数为 ，平均数不变，B错误；
C选项，原来的方差为 ，
去掉 后的方差为 ，
方差变小，C正确；
D选项， ，从小到大排列，选第3个数作为第25百分位数，即 ，
，故从小到大排列，选择第3个数作为第25百分位数，即 ，
由于 ，第25百分位数变大，D错误.故选：AC
10．已知函数 的定义域为 ， 是奇函数， 是偶函数，且当 时，
，则下列选项正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B．
C． 关于点 对称
D． 关于点 对称
【答案】ABC
【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，推得函数的对称性和周期性，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】因为函数 是奇函数，所以 的图象关于点 对称，所以， ；
因为 是偶函数，所以 的图象关于直线 对称，所以 的图象关于直线 对称，
所以， ；
所以， ，所以 周期为4，又因为 ，所以 ，
即 为奇函数，
对于A项，因为 的图象关于直线 对称，故A项正确；
对于B项，因为 的图象关于直线 对称， 周期为4， 时， ，
所以 ； ；
；所以 ，故B项正确；
对于C项， 为奇函数，图象关于点 对称，则 的图象关于点 对称， 的图象
关于点 对称， 的图象关于点 对称，故C项正确，D项错误.
故选：ABC.
11．刘徽是我国杰出的数学家，他在263年撰写的《九章算术注》以及后来的《海岛算经》，都是我国宝
贵的数学遗产，奠定了他在中国数学史上的不朽地位．其中《九章算术注》一书记载了刘徽利用圆的内接
正多边形来近似计算圆周率的方法，后人称之为“刘徽割圆术”．已知单位圆O的内接正n边形
的边长、周长和面积分别为 ， ， ， 为正n边形 边上任意一点，则下列结
论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，求出正n边形的中心角，由此计算 ， ， 即可判断选项A，B，C；由
即可判断D作答.
【详解】依题意，单位圆O的内接正n边形 的中心角为 ，则 ，
， ，
对于A， ，A正确；对于B， ，B不正确；
对于C，因 ，又 ，则 ，C正确；
对于D，在复平面内令O为原点，由对称性不妨令点 逆时针排列，向量 所
对复数分别为 ，
则 所对复数为 ，将正n边形 逆时针旋转 图形重合，
则由复数的三角形式得： ， ，
因此， 所对复数为 ，
于是有： ，而 ， ，
则 ，即
于是有 ，D正确.
故选：ACD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．圆 与 的位置关系为 ；与圆 ， 都内切的动圆圆心的
轨迹方程为 ．
【答案】 内含
【分析】先利用圆心距与两半径之差的比较得到两圆位置关系；再利用两圆内切推得 ，从
而利用椭圆的定义即可得解.
【详解】依题意，圆心 ，半径 ，圆心 ，半径 ，所以 ，则两圆内含；
设动圆的圆心 ，半径为 ，则 ，
，
依椭圆的定义知， 的轨迹为椭圆，其中 ，
又 ，
所以 的轨迹方程为 .
故答案为：内含； .
13．大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱．现有A，
B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人
只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因
实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有 种．
【答案】84
【分析】分 去生物且生物只去一人、 去生物且生物只去两人、 去影视且生物只去一人、 去影视且
生物只去两人四种情况讨论求出，注意特殊的先讨论.
【详解】 去生物且生物只去一人： 种，
去生物且生物只去两人： 种，
去影视且生物只去一人： 种，去影视且生物只去两人： 种，
一共 种，
故答案为：84
14．在 中，已知 边上的高等于 ，当角 时， ；当角 时，
的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】第一空：由锐角三角函数结合两角和的正切公式即可得解；第二空：注意到 ，结
合基本不等式得 ，由此即可进一步得到 ，注意取等条件是否成
立.
【详解】设 为 边上的高，所以 ，
如图所示：
又因为 ，所以 ，又 ，
所以 ， ， ，
所以 ；
因为 ， ，又 ，所以垂足 落在线段 上，故 都是锐角，所以 均大于0，
因为
，
即 ，等号成立当且仅当 ，
所以 ；
所以 ，
因为 ，所以 ，所以当且仅当 时，有 .
故答案为： ； .
【点睛】关键点睛：第二空的关键是发现 ，由此结合基本不等式以及两角和的正切公式即
可得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）2023年中央一号文件指出,艮旋要复兴,乡村必振兴.为助力乡村振兴,某电商平台准备为某地的
农副特色产品开设直播带货专部.(公众号浙江省高中数学)直播前,此平台用不同的单价试销,并在购买的顾客
中进行体验调本向卷.已知有 名热心参与问卷的顾客,此平台决定在直播中专门为他们设置两次
抽奖活迹次抽奖都是由系统独立、随机地从这 名顾客中抽取20名顾客,抽中顾客会有礼品赠送,若直拱时
这 名顾客都在线,记两次抽中的顾客总人数为 (不重复计数).
（1）若甲是这 名顾客中的一人,且甲被抽中的概率为 ，求 ;（2）求使 取得最大值时的整数 .
解析：（1）记 “甲被抽中”, “第i次被抽中” ,则
解得：
（2）由于 ，记 ,即求 在何时取到最大值，下
面讨论 的单调性：
解得 ，所以，当 或40时, 取到最大值.
16．（15分）如图所示，在四棱锥 中，底面四边形 是菱形， 是边长
为2的等边三角形， 为 的中点， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小．
【答案】(1)证明见详解
(2)【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明；
（2）先证明 平面 ，建立空间直角坐标系，利用向量法求解；
【详解】（1）因为底面四边形 是菱形， ，
所以 是 的中点，又 是 的中点，
， 平面 ， 平面 ，
平面 .
（2）底面四边形 是菱形， ，所以 是 ， 的中点，
又 是等边三角形，
，又 ， ，
又 ， 平面 ，
平面 .又 ，
所以 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
由 是边长为2的等边三角形， ，可得 ，
， ， ， ，
， ，由已知得 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ， ，
所以 ，，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
即直线 与平面 所成角为 .
【点睛】关键点睛：本题第二问是求线面角问题.解题的关键是先根据题意证明 平面 ，可得
两两互相垂直，由此建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
17．（15分）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的极值点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）结合导数的几何意义计算即可得；
（2）结合导数对 的值进行分类讨论即可得.
【详解】（1）当 时， ，切点为 ．
，斜率 ，所求切线方程为 ，即 ；
（2）函数 的定义域为 ，
，令 ，则 ，
，令 ，解得 ，
当 时， ，即 在 上单调递减，
当 时， ，即 在 上单调递增，
，
①当 时， ，函数 单调递增， 函数 无极值点；
②当 时， ，
，即 ，因此函数 在 上有唯一零点 ，
当 时， ，因此函数 在 上有唯一零点 ，
当 时， ，即 函数 在 上单调递增；
当 时， ，即 函数 在 上单调递减；
当 时， ，即 函数 在 上单调递增．
又 当 时，函数 有两个极值点．
综上，当 时，函数 无极值点；当 时，函数 有两个极值点．
18．（17分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，在椭圆 上
仅存在 个点 ，使得 为直角三角形，且 面积的最大值为 .(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 是椭圆 上一动点，且点 在 轴的左侧，过点 作 的两条切线，切点分别为 、 .求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知，当 时，存在两个点 ，使得 为直角三角形，
设点 ，利用平面向量数量积的坐标运算可得出 ，再利用 面积的最大值可得出 、
的值，可得出 的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）证明出抛物线 在点 处的切线方程为 ，可得出抛物线在点 处的切线方程，
联立两切线方程，求出点 的坐标为 ，设 ，其中 ，利用二次函
数的基本性质可求得 的取值范围.
【详解】（1）解：当 轴时，存在两个点 ，使得 为直角三角形，
当 轴时，存在两个点 ，使得 为直角三角形，
当 时，由题意可知，存在两个点 ，使得 为直角三角形，
设点 ，其中 ，则 ，可得 ，
且 ， ，则 ，可得 ，
由题意可知， ，则 ，
当点 为椭圆短轴的顶点时， 到 轴的距离最大，此时， 的面积取最大值，
即 ，则 ，故 ，
因此，椭圆的方程为 .
（2）解：设点 、 ，先证明出抛物线 在点 处的切线方程为 ，
联立 可得 ，即 ，解得 ，
所以，抛物线 在点 处的切线方程为 ，
同理可知，抛物线 在点 处的切线方程为 ，
联立 可得 ，
所以， ，则 ，即点 ，
因为点 在 轴左侧，则 ，即 ，因为点 在椭圆 上，则 ，
设 ，其中 ，则 ， ，
所以，
，
因为 ，则 ，则 ，
所以， ，
因此， 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
19．（17分）设p为实数.若无穷数列 满足如下三个性质，则称 为 数列：
① ，且 ；
② ；
③ ， ．
（1）如果数列 的前4项为2，-2，-2，-1，那么 是否可能为 数列？说明理由；
（2）若数列 是 数列，求 ；（3）设数列 的前 项和为 .是否存在 数列 ，使得 恒成立？如果存在，求出所有的p；
如果不存在，说明理由．
【答案】（1）不可以是 数列；理由见解析；（2） ；（3）存在； ．
【分析】(1)由题意考查 的值即可说明数列不是 数列；
(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定 的值；
(3)构造数列 ，易知数列 是 的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数 的
值.
【详解】(1)因 为 所以 ，
因 为 所 以
所以数列 ，不可能是 数列.
(2)性质① ，
由性质③ ，因此 或 ， 或 ，
若 ，由性质②可知 ，即 或 ，矛盾；
若 ，由 有 ，矛盾.
因此只能是 .
又因为 或 ，所以 或 .
若 ，则 ，
不满足 ，舍去.
当 ，则 前四项为:0，0，0，1，下面用数学归纳法证明 ：
当 时，经验证命题成立，假设当 时命题成立，
当 时：
若 ，则 ，利用性质③：
，此时可得： ；
否则，若 ，取 可得： ，
而由性质②可得： ，与 矛盾.
同理可得：
，有 ；
，有 ；
，又因为 ，有
即当 时命题成立，证毕.
综上可得： ， .
(3)令 ，由性质③可知：
，
由于 ，
因此数列 为 数列.
由（2）可知:
若 ；
， ，因此 ，此时 ， ，满足题意.
【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新
法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助
于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是
“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
