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第十二讲 立体几何与特殊几何问题
✎立体几何之表面积：
例题1（2022 国考）
一个圆柱体零件的高为1，其圆形底面上的内接正方形边长正好也为1。现将圆柱体零
件切割4 次，得到棱长为1 的正方体，则切去部分的总表面积为多少？
A．√2(π + 2)
B．2√2(π −2)
C．(√2 + 1)π + 2
D．2√2π −2
【参考答案】C
【解析】
考场思维，只有C 选项是＋2
解题思维
正方形边长是1，圆的直径是2 ，半径是2
2
例题2（2024 福建）
一个白色圆柱体零件的底面半径是高的1.5 倍，现将其表面涂上黑漆之后，沿下
图所示虚线方向切割为4 个完全相同的部分。问单个部分的黑色面积是白色面积的
多少倍？(π≈3.14)
A．不到1.1 倍
B．1.1～1.2 倍之间
C．1.2～1.3 倍之间
D．1.3 倍以上
【参考答案】B
【解析】
将零件的半径设为3，圆柱体的高就是2
黑色面积：白色面积=半圆＋半个侧面：半圆＋矩形（此处注意不能直接约去半圆）
6
2
9
3
2
9
+
+
Π
Π：
Π
=
Π
5.7
：
6
5.4
+
Π
= Π
5
：
4
3
+
Π
=15.7：13.4=1.2-
✎立体几何之体积：
球的体积公式：
R
Π
3
3
4
柱体的体积公式都是底面积×高
锥体的体积是对应柱体体积的3
1
例题3（2021 辽宁）
如下图1 所示，在一个金字塔造型（底面为正方形，侧面为四个全等的等腰三角形）的
铸造件内部挖空一个圆柱。现沿铸造件顶点A 且垂直底面的方向切开，切开后的截面如下图
2 所示，已知DE、GF 为圆柱的高，BC＝4√2分米，DE＝2 分米，AO＝4 分米，那么挖后铸造
件的体积是多少？
A．128 −4π立方分米
B．
128
3 −4π立方分米
C．
64
3 −4π立方分米
D．64 −4π立方分米
【参考答案】B
【解析】
注：锥体的体积是对应柱体体积的3
1
例题4（2023 湖北）
下图所示是一种帐篷屋顶的示意图，底面是一个长4 米
宽3 米的长方形，屋顶高1 米，上棱长2 米且平行于底面，
那么该帐篷屋顶的体积是多少？
A．5 立方米
B．11 立方米
C．12 立方米
D．24 立方米
【参考答案】A
【解析】
解法一：将屋顶补全后立起来，完整的三棱柱体积是6，现在题干中的是挖去两块，所
以<6，A 项当选。
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解法二：
✎等比放缩：
长度比=1：n
面积比=1：n
2
体积比=1：n
3
例题5（2020 新疆）
某演播大厅的地面形状是边长为100 米的正三角形，现要用边长为2 米的正三角形砖铺
满（如图所示）。问，需要用多少块砖？
A．2763
B．2500
C．2340
D．2300
【参考答案】B
【解析】
长度比=1：50，面积比=1：2500，故需要2500 块砖。
例题6（2023 安徽）
某餐馆承诺25 分钟内上齐一桌菜，若超时则未上的菜品免单。每张餐桌上都有
一个装满后正好25 分钟漏完的圆锥形沙漏（如下图所示）。某位顾客在等待的过程
中发现沙漏内上方沙子的高度为原先的一半，此时还差一道菜未上，则再过多久还未
上菜，这位顾客将享受免单服务？
A．不到3 分钟
B．3～4 分钟之间
C．4～5 分钟之间
D．超过6 分钟
【参考答案】B
【解析】
沙漏上方沙子高度与整个沙漏的高之比是1：2，则剩余圆锥（灰色部分）的体积与整
个圆锥的体积比是1：8，整个沙漏需要25 分钟漏完，现在还有
1
8，所以还需要
1
8×25=3.125
分钟。
例题7（2022 安徽）
商家门口摆放了一把正四棱锥形（底面为正方形，侧面为四个全等的等腰三角形）的遮
阳伞，第一次伞撑开到图1 所示的位置，伞柄与伞骨成角∠CPQ为30°，继续撑开到如图2
所示的位置，伞柄与伞骨成角∠C′PQ′变为60°，那么第二次伞撑开后形成的正方形A′B′C′D′
是第一次撑开后正方形ABCD 面积的多少倍？
A．3√2倍
B．√3倍
C．2 倍
D．3 倍
【参考答案】D
【解析】
例题8（2021 国考）
一个人工湖的湖面上有一个露出水面3 米的圆锥体人工景观（底面朝下）。如人工湖水
深减少20%，则该景观露出水面部分的体积将增加61/64。问原来的人工湖水深为多少米？
A．3.5
B．3.75
C．4.25
D．4.5
【参考答案】B
【解析】
✎几何最值：
矩形的周长一定，正方形面积最大
矩形的面积一定，正方形周长最短
面积一定，越接近球体积越大
体积一定，越接近于球面积越小
例题9（2019 新疆）
某健身馆准备将一块周长为100 米的长方形区域划为瑜伽场地，将一块周长为160 米的
长方形区域划为游泳场馆。若瑜伽场地和游泳场馆均是满足周长条件下的最大面积。问两块
场地面积之差为多少平方米？
A．625
B．845
C．975
D．1150
【参考答案】C
【解析】
周长为100 米的矩形，边长为25 时面积最大，此时面积为625；周长为160 米的矩形，
边长为40 时面积最大，此时面积为1600；二者之差=975。
例题10（2023 安徽）
某村拟建造一个容积为144 立方米，深度为4 米的长方体无盖蓄水池。为节约成本，侧
面积最小为多少平方米？
A．24
B．36
C．96
D．132
【参考答案】C
【解析】
注：侧面积别忘记×4
例题11（2018 四川）
在美化城市活动中，某街道工作人员想借助如图所示的直角墙角，用28 米长的篱笆围
成一个矩形花园ABCD，篱笆只围AB、BC 两边。图中的P 为一棵直径为1 米的树，其与墙CD、
AD 的最短距离分别是14 米和5 米，若要将这棵树围在花园内，则花园的最大面积为多少平
方米？
A．187
B．192
C．195
D．196
【参考答案】C
【解析】
注：题干中说要将树围在花园中，所以需要考虑树的直径一米
✎最短路径：
如果是圆，切线最短
例题12（2023 北京）
一个半径为120 米的圆形人工湖正中有一个半径为60 米的圆形人工岛。甲从岛的正北
岸边出发，以1 米/秒的速度匀速划船前往湖的正南岸边，则最少需要多长时间？
A．不到3 分45 秒
B．3 分45 秒～4 分之间
C．4 分～4 分15 秒之间
D．超过4 分15 秒
【参考答案】B
【解析】
甲的路程是，先走一段圆弧，再走切线
注：圆心与切点的连线垂直于切线，
732
.1
3 =
例题13（2023 湖北）
A、B 两村在一条笔直公路的同侧，到公路的垂直距离分别是3 公里和7 公里，两村相
距8.5 公里，现需在公路边建一个物资集散中心，为节约物资配送成本，集散中心到两个村
的直线路程之和应尽可能小，若货车的速度约为60 公里/小时，那么货车从集散中心出发，
到两村送货后返回中心，路途所花费的最少时间为多少？
A．18 分钟
B．21 分钟
C．24 分钟
D．27 分钟
【参考答案】B
【解析】
注：灵活运用勾股数，8、15、17；3、4、5
货车速度是60 公里每小时，一分钟一公里，故21 公里需要21 分钟
例题14（2022 安徽）
A、B 两个乡镇分布于山谷两侧，山谷间有一条宽为2km 的河道（如下图所示）。当地
政府决定在两个乡镇间修建一条跨河公路促进旅游发展。由于架桥费用高昂，所以要求跨河
公路中的桥梁路段长度最短。那么根据图中数据，从A 镇前往B 镇的最短距离为多少？
A．17km
B．15km
C．19km
D．20km
【参考答案】B
【解析】
先将河道抽掉，将B 上移；再把河道放回来，将B 下移
