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第十五讲
基础排列组合
✎基础排列组合：
有序为排列，无序为组合
分类用加法，分步用乘法
从特殊入手，全部减不符（至少、否定）
组合：
2
5
C 为从五个中选两个
1
2
4
5
2
2
2
5
2
5
A
A
C
（AB 和BA 是同一种，算了
2
2
A 遍，因此要除以
2
2
A ）
排列：
2
5
A 从五个里选俩，并排列
4
5
2
5
A
例题1（2023 广东县级）
某公司向餐馆订购盒饭，要求每份盒饭包含2 种荤菜、2 种素菜。如果餐馆共准备了6 种荤菜和4 种
素菜,则最多有多少种盒饭？
A．42
B．60
C．72
D．90
【参考答案】D
【实战解析】
“每份盒饭包含2 种荤菜、2 种素菜”，可理解为先打荤菜后打素菜，是分步而非分类，因此用乘法。
选的菜是组合，不需排序，所以是
2
6
C 和
2
4
C 。因此，最多有
90
6
15
1
2
3
4
1
2
5
6
2
4
2
6
C
C
种盒饭。
例题2（2023 吉林）
教育平台的网络课程由阅读资料、观看视频、论坛交流、练习作业和问卷考试五部分学习内容组成。
学员需先后完成这五部分学习内容，其中论坛交流与练习作业均不能在最先和最后完成，则学员安排学习
的顺序共有多少种？
A．120 种
B．72 种
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C．36 种
D．24 种
【参考答案】C
【实战解析】
两门课放在中间三个格子，共
2
3
A 种放法，再考虑剩下三门课的排法
3
3
A 种。因此总的顺序共
36
)1
2
3
(
)
2
3
(
3
3
2
3
A
A
种。
例题3（2023 吉林）
在一次“互联网+现代农业”培训会后，为了交流拓展农村电商产业路径，要求各地参会代表一周内
每两人互通一次电话，已知他们一周内共打了120 次电话，这次参与培训交流的人数是多少？
A．20
B．18
C．16
D．15
【参考答案】C
【实战解析】
设参与培训交流的人数为x，每两人互通一次电话，即共打了
2
x
C 次电话。列方程：
120
1
2
)1
(
2
x
x
Cx
，即
240
)1
(
x
x
。240 比
225
152
稍大，因此首先验证C 选项：15×16=240，符合。
例题4（2023 上四川）
如图所示，一面墙被分成A、B、C、D 四块，现有4 种不同的颜色，要求在每一块里涂上一种颜色且
相邻的两块颜色不相同（可以使用少于4 种颜色），问有几种不同的涂法？
也可理解为先选两个位置，即
2
3
C 种选法，
再让两门课排序，
6
2
2
2
3
A
C
种，与
2
3
A 一样。
批注[laotan1]:
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A．84
B．64
C．36
D．24
【参考答案】A
【实战解析】
A 区域有
1
4
C 种颜色可选，即4 种涂法。然后对BD 进行分类讨论：
✎分情况讨论：
①若BD 同色，则有
9
1
3
1
3
C
C
种；
②若BD 不同色，则BD 有
2
3
A 种涂法，C 区域有
1
2
C 种，
12
2
6
1
2
2
3
C
A
种涂法。
因此一共有4×(9+12)=84 种涂法。
例题5（2022 广东）
甲、乙、丙3 个单位订阅同一款报刊，已知3 个单位共订了12 份，其中，每个单位订阅数量不少于3
份，但不超过5 份，则这3 个单位的报刊订阅数量可能有多少种组合？
A．2
B．6
第二个
1
3
C 为C 区域可选的颜色。
批注[laotan2]:
三种颜色里选两种，有顺序地给BD。
批注[laotan3]:
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C．7
D．9
【参考答案】C
【实战解析】
本题采用枚举法。从小到大列举：
3，3，6，超过五份，舍；
3，4，5，符合，此时有
6
3
3
A
种；
4，4，4，符合。共6+1=7 种。
例题6（2022 北京）
将张、王、李、陈、赵五名应届毕业生分配到甲、乙、丙3 个不同的科室，要求每个科室至少分配1
人，甲科室分配的人数多于乙科室，且张和王不能去丙科室。则有多少种不同的分法？
A．12
B．21
C．35
D．72
【参考答案】B
【实战解析】
5 个人分配到3 个科室，枚举法列出可能的数量组合，共2 种：
①甲2，乙1，丙2：先给丙科室在李、陈、赵中选2 个人（因张和王不能去丙科室），有
2
3
C 种分法，
再给甲分配2 人，有
2
3
C 种分法，则此时有
9
3
3
2
3
2
3
C
C
种分法。
②甲3，乙1，丙1：先给丙科室在李、陈、赵中选1 个人，有
1
3
C 种选法，再给甲分配3 人，有
3
4
C 种
分法，则此时有
12
4
3
3
4
1
3
C
C
种分法。
综上，共9+12=21 种分法。
例题7（2022 青海）
某市举办世界遗产大会，开幕式会场需要从6 组志愿者中选出4 组分别从事防疫协助、嘉宾引导、英
语翻译、物资发放四项不同的工作，其中甲、乙组不能从事英语翻译工作，丙组只能从事防疫协助工作，
则派选方案有多少种？
A．36 种
B．72 种
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C．108 种
D．144 种
【参考答案】C
【实战解析】
可分两种情况讨论：
①有丙：先在戊、己、庚中选择一组从事英语翻译，有
1
3
C 种选法，然后把丙安排到防疫协助，有1 种
选法，再将剩余4 组（甲、乙、戊己庚中的两组）安排到剩余两项工作，有
2
4
A 种选法。此时有
36
12
3
2
4
1
3
A
C
种方案。
②无丙：先在戊、己、庚中选择一组从事英语翻译，有
1
3
C 种选法，再将剩余4 组（甲、乙、戊己庚中
的两组）安排到剩余三项工作，有
3
4
A 种选法。此时有
72
24
3
3
4
1
3
A
C
种方案。综上，总共有36+72=108
种派选方案。
✎全部减不符：
问题中有“至少”“不能”等否定条件
例题8（2021 安徽）
某高校开设A 类选修课四门，B 类选修课三门。小刘从中共选取四门课程，若要求两类课程各至少选
一门，则选法有多少种？
A．18 种
B．22 种
C．26 种
D．34 种
【参考答案】D
【实战解析】
可采用全部减不符，即减去选了四门相同课的情况。共有
34
1
2
3
5
6
7
1
3
7
4
4
4
7
C
C
C
种选法。
B 类一共只有三门，不可能全选B 类，所以
不符的情况只能是全选A 类。
批注[laotan4]:
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例题9（2023 黑龙江）
在一个3×3 的表格（如下图所示）中，分别填入5 个数字0 和4 个数字1，若要求灰色方格中不能同
时填入数字1，问有多少种填法？
A．98
B．100
C．120
D．126
【参考答案】C
【实战解析】
采用全部减不符，即减去三个灰色方格都填入1 的情况。全部有
4
9
C 种填法；不符的有
1
6
C 种填法。共
有
120
6
126
6
1
2
3
4
6
7
8
9
1
6
4
9
C
C
种填法。
例题10（2022 安徽）
滑雪和滑冰是冬奥会的两大项赛事，其中高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和
北欧两项是滑雪大项中的6 个分项，短道速滑、速度滑冰和花样滑冰是滑冰大项中的3 个分项。小林打算
去现场观看比赛，共选择6 个项目，并且每个大项不少于1 个，若所有项目比赛时间均不交叉，则不同的
观赛方式有多少种？
A．83 种
B．84 种
C．92 种
D．102 种
【参考答案】A
【实战解析】
采用全部减不符，即减去全选一个大项的情况。
83
1
1
2
3
7
8
9
6
6
6
9
C
C
种观赛方式。
从9 个方格选4 个填入数字1。
批注[laotan5]:
从6 个方格选1 个填入数字1。
批注[laotan6]:
顺序是组委会早就规定好的，我们不排序。
批注[laotan7]:
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例题11（2022 黑龙江）
某智能停车场泊车的泊车位置由电脑随机派位生成。现有两排车位，每排4 个，有4 辆不同的车需要
泊车。泊车要求至少有一车与其它车不同排，且甲乙两车在同一排。则电脑可生成几种派位方式？
A．672
B．480
C．384
D．288
【参考答案】A
【实战解析】
首先，让甲乙两车在同一排，有
1
2
C ×
2
4
A =24 种排法。然后安排剩下两辆车，采用全部减不符：
28
2
2
2
6
A
A
种。因此，一共有24×28=672 种。
在两排中选一排安排甲乙。
批注[laotan8]:
在这排中，安排甲乙的排法。
批注[laotan9]:
即，剩下两辆车排在和甲乙一排时，不符
合。
批注[laotan10]:
