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1
第十六讲
基础概率问题
✎基础概率问题：
所求概率=
符合要求的情况数
所有的可能情况数（相当于排列组合算两遍）
符合“分步用乘法”
例题1（2019 江苏）
已知一个箱子中装有12 件产品，其中有2 件次品。若从箱子中随机抽取2 件产品进行检验，则恰好抽到1
件次品的概率是多少？
A．13
22
B．10
33
C．
7
11
D．
8
11
【参考答案】B
【实战解析】
恰好抽到1 件次品，即抽到了1 件次品和1 件正常品。
P=
C2
1×C10
1
C12
2
=
10
33
例题2（2023 北京）
甲和乙两个办公室分别选出2 人听一个讲座。如每个办公室均随机选择，则甲办公室员工小刘和小陈同时被
选中的概率正好为10%。乙办公室员工小吴被选中的概率为20%，则两个办公室共有多少名员工？
A．11
B．15
C．16
D．20
乙办公室也选了两个人，其中一个人是小吴。
批注[西西1]:
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2
【参考答案】B
【实战解析】
设甲办公室有x 人，乙办公室有y 人。
则有
C2
2
Cx2=10%，解方程得x(x-1)=20，解得x=5。
另有
C1
1×Cy−1
1
Cy2
=20%=1
5，解方程得y=10。
综上，两个办公室共有15 人。
例题3（2023 辽宁）
抛掷两颗质地均匀的骰子，记录向上的面出现的数字，那么这两个数字之和等于8 的概率是多少？
A．5
36
B．1
6
C．
1
12
D．
5
24
【参考答案】A
【实战解析】
两个骰子，每个骰子都有6 种可能（数字1-6），因此一共有6×6=36 种可能。符合两个数字之和为8 的情
况有：（2，6）、（3，5）、（4，4）、（5，3）、（6，2），共有5 种情况。因此概率为
5
36。
例题4（2023 黑龙江）
如果3 个学生一起报名，且3 个学生都通过科目一考试，那么就可以减免1 个学生的报名费。他们3 人不能
通过科目一考试的概率分别为1
2、1
3、1
4，则减免1 个学生报名费资格的概率为多少？
A．3
4
B．2
3
C．
1
3
D．
1
4
选了小吴。
批注[西西2]:
分子也带着顺序，分母也带着顺序。
批注[西西3]:
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3
【参考答案】D
【实战解析】
减免1 个学生报名费资格的概率，就是3 个学生都通过科目一考试的概率。他们3 人不能通过科目一考试的
概率分别为1
2、1
3、1
4，那么他们3 人可以通过科目一考试的概率分别为1-1
2、1-1
3、1-1
4，即1
2、2
3、3
4。他们3 人都通
过科目一考试的概率是1
2×2
3×3
4=1
4。
例题5（2020 山东）
在ATM 机上输入银行卡密码时，若连续三次输入错误则会吞卡，老李忘了银行卡密码的末两位数，只记得是
两个不相同的奇数，若他在末两位上随意输入两个不同奇数，能在吞卡前猜中正确密码的概率是多少？
A．3
20
B．1
5
C．
1
9
D．
2
9
【参考答案】A
【实战解析】
密码数字是有顺序的，一位数的奇数一共有5 个，则末两位密码一共有A5
2=20 种可能，因此每次猜对密码的
概率为
1
20。由于连续三次输入错误则会吞卡，则吞卡前老李有三次机会，故老李能在吞卡前猜中正确密码的概率
为3
20。
知识拓展：
每次猜对的概率均为1
20。
假设第一次没猜对，那么第二次猜对的概率为：
19
20×
1
19=
1
20，因此，每次猜对的概率均相同。
✎分情况讨论与全部减不符：
分类用加法，分步用乘法（与排列组合相同)
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4
例题6（2022 江苏C）
“双减”政策实施后，某小学下午5：30 放学，小李5:00 下班去接孩子回家，当不堵车时，5:30 之前到校；
当堵车时，5:30 之前到校的概率为0.6。若5:00～5:30 堵车的概率为0.3，则小李5:30 之前到校的概率是多少？
A．0.78
B．0.80
C．0.88
D．0.91
【参考答案】C
【实战解析】
分情况讨论：
（1）如果不堵车：0.7×1=0.7
（2）如果堵车：0.3×0.6=0.18
因此，小李5:30 之前到校的概率为0.7+0.18=0.88=88%
也可用全部减不符：1-0.3×0.4=0.88=88%
例题7（2023 安徽）
某学习平台收到的征文，将通过两轮评审决定能否采用。先由两位编辑进行初审，若两位编辑评审都通过，
则予以采用；若两位编辑都未予通过，则不予采用；若仅有一位编辑初审通过，则再由主编进行复审，若复审通
过，则予以采用，否则不予采用。设稿件能通过各初审编辑评审的概率均为0.4，复审的稿件能通过的概率为0.2，
各编辑独立评审，则每篇征文被采用的概率为多少？
A．0.32
B．0.256
C．0.24
D．0.208
【参考答案】B
【实战解析】
分情况讨论：
（1）两位初审都通过：0.4×0.4=0.16
（2）一位初审通过，一位初审不过；主编审核通过：C2
1×0.4×0.6×0.2=0.096
因此，征文被采用的概率为0.16+0.096=0.256
堵车概率
批注[西西4]:
堵车时，5:30 之后到校的概率
批注[西西5]:
本题使用“全部减不符”较为麻烦。
批注[西西6]:
“仅有一位编辑初审通过”有两种情况。
批注[西西7]:
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5
例题8（2022 天津）
某部门共7 人，其中有2 人博士毕业，5 人硕士毕业。某日，该部门随机分成3 个小组参加3 项不同的活动，
3 个小组人数各不相同。问其中2 位博士毕业人员分在同一小组的概率在以下哪个范围内？
A．不到25%
B．在25%到35%之间
C．在35%到45%之间
D．45%以上
【参考答案】B
【实战解析】
7 人分成3 组，每个小组人数各不相同，因此3 个小组的人数依次为：1、2、4。
分情况讨论：
（1）2 个博士在二人组：C5
1
（2）2 个博士在四人组：C5
2×C3
1
因此，2 位博士毕业人员分在同一小组的概率=
符合要求的情况数
所有的可能情况数=
A3
3(C5
1+C5
2×C3
1)
A3
3（C7
1×C6
2) =
33
105=33.3%
例题9（2022 广东）
某街道对辖内6 个社区的垃圾分类情况进行考核评估，结果显示，有2 个社区的垃圾分类考核不通过。如果
从6 个社区中随机抽取3 个进行现场检查，则抽取的社区中，既有考核通过的又有考核不通过的社区的概率为多
少？
A．
1
5
B．
1
2
C．2
3
D．4
5
【参考答案】D
【实战解析】
分情况讨论：
（1）1 个通过2 个不通过：C4
1×C2
2
（2）2 个通过1 个不通过：C4
2×C2
1
因此，有考核通过的又有考核不通过的社区的概率=
C4
1×C2
2+C4
2×C2
1
C6
3
=
4
5
本题可以用全部减不符，减去全部通过的概率=1-
C4
3
C6
3=4
5
去掉2 个博士，剩下5 个人里选1 个人去一
人组。
批注[西西8]:
去掉2 个博士，剩下5 个人里选2 个人和两
个博士组成四人组。
批注[西西9]:
四人组已经组成，在剩下的3 个人里面选1
个人去一人组。
批注[西西10]:
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6
例题10（2022 安徽）
为了加强环境治理和生态修复，某市派出4 位专家（甲、乙、丙、丁）前往某山区3 个勘探点进行环境检测，
要求每个勘探点至少安排一名专家。那么甲、乙两名专家去了不同勘探点的概率是多少？
A．3
4
B．1
6
C．
5
6
D．
1
4
【参考答案】C
【实战解析】
用全部减不符，减去甲、乙两名专家去相同探勘点的情况。
因此，甲、乙两名专家去了不同勘探点的概率=1-
A3
3
C4
2×A3
3=1-1
6=5
6
（其中，分子A3
3为甲乙一组、丙一组、丁一组，分别去3 个勘探点。分母C4
2 × A3
3为选两个人组成一组，再
分别去3 个勘探点）
引出新知识点：
排列组合8 种题型，需要分别记忆。
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