最新沪科版7年级数学课本•上册_26秋新教材初中课本合集，各科目同步电子版一站配齐_全部版本•初中数学电子课本_沪科版•初中数学电子课本

义务教育教科书
　
数学
七年级　上册
上海科学技术出版社
致同学
亲爱的同学!
祝贺你迈入新学段% 开启学习生活新篇章& 在新的学习阶段% 数学将继续
陪伴你成长*
本套教科书是根据'义务教育数学课程标准"&%&& 年版# ( 编写的*教
科书从你熟悉的日常生活情境及社会和科技发展的实际入手% 为你提供生动有
趣的学习素材% 带你遨游奇妙的数学天地*书中丰富的数学知识等着你去理解
掌握% 有趣的)数学活动*
)数学拓展* 等着你去探索实践% )阅读与欣赏*
)数学史话* )信息技术应用* 等多彩的栏目为你拓展视野*
教科书将)数与代数* )图形与几何* )统计与概率* )综合与实践* 四个
领域的内容% 按知识的内在联系整合呈现*在这三年里% 它将和你一起探索代数
的世界% 揭示图形与几何的奥秘% 经历统计分析的过程% 开展综合与实践活动*
书中还设置了)观察* )操作* )思考* )交流* )探究* 等活动% 能让你
更加主动地学习% 在)做数学* 的过程中理解和运用数学% 也让你有更多机会
与同学讨论+ 交流% 促进自我反思与提升*希望你在老师的组织+ 引导和帮助
下% 积极参与探究+ 合作与交流% 感受数学学习的乐趣% 逐渐学会用数学的眼
光观察现实世界% 用数学的思维思考现实世界% 用数学的语言表达现实世界*
本册教科书中% 数的范围扩充到)有理数* ,,,主要研究有理数的表示+
大小比较和运算* )整式及其加减* 引导你用字母表示数% 研究整式及其加减
运算*方程是刻画等量关系的重要模型% )一次方程与方程组* 将带你探索一
元一次方程和二元一次方程组的解法% 运用它们去解决实际问题* )几何图形
初步* 让你领略丰富多彩的图形世界% 进一步认识线段+ 射线+ 直线和角等简
单图形*)数据的收集与整理* 将带你学习收集+ 整理数据的常用方法% 学会
)用数据说话**
)聪明在于勤奋% 天才在于积累** 加油吧% 亲爱的同学&
目录
第1 章　有理数
1
--------------------
","! 正数和负数
&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
",&! 数轴"相反数和绝对值
(
!!!!!!!!!!!!!!!
",-! 有理数的大小
"#
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
",'! 有理数的加减
"$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
",#! 有理数的乘除
-&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
数学拓展!翻币游戏中的数学推理
'"
!!!!!!!!!!
",+! 有理数的乘方
'&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
",)! 近似数
'$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
数学史话!负数
#-
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
数学活动!二维码与幂
#'
!!!!!!!!!!!!!!!
小结·评价
#+
-----------------------
复习题
#(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第2 章　整式及其加减
61
---------------
&,"! 代数式
+&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
&,&! 整式加减
)'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
数学活动!探索规律
(&
!!!!!!!!!!!!!!!!
数学拓展!归纳推理
(&
!!!!!!!!!!!!!!!!
数学史话!数学符号
('
!!!!!!!!!!!!!!!!
小结·评价
(+
-----------------------
复习题
()
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第3 章　一次方程与方程组
91
-------------
-,"! 方程
$&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
-,&! 一元一次方程及其解法
$(
!!!!!!!!!!!!!!!
-,-! 一元一次方程的应用
"%-
!!!!!!!!!!!!!!!
-,'! 二元一次方程组及其解法
"%(
!!!!!!!!!!!!!
-,#! 二元一次方程组的应用
""(
!!!!!!!!!!!!!!
!!-,+! 三元一次方程组及其解法
"&'
!!!!!!!!!!!!!
数学史话!"方程#的由来
"&$
!!!!!!!!!!!!!
小结·评价
"-"
----------------------
复习题
"-&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第4 章　几何图形初步
137
---------------
',"! 几何图形
"-(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
数学活动!制作正多面体
"'&
!!!!!!!!!!!!!
',&! 线段"射线"直线
"'-
!!!!!!!!!!!!!!!!!
',-! 线段的长短
"'(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
','! 角
"#-
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
',#! 角的比较与补#余$角
"#)
!!!!!!!!!!!!!!!
阅读与欣赏!生物中的最佳角
"+'
!!!!!!!!!!!
数学活动!画图
"++
!!!!!!!!!!!!!!!!!
数学史话!"几何#的由来
"++
!!!!!!!!!!!!!
小结·评价
"+(
----------------------
复习题
"+$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第5 章　数据的收集与整理
172
------------
#,"! 数据的收集
")-
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
阅读与欣赏!数据收集的重要性
")+
!!!!!!!!!!
#,&! 数据的整理
")(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
数学活动!字母统计
"(-
!!!!!!!!!!!!!!!
#,-! 用统计图描述数据
"(#
!!!!!!!!!!!!!!!!
#,'! 从图表中的数据获取信息
"$%
!!!!!!!!!!!!!
信息技术应用!用电子表格软件绘制统计图
"$+
!!!!!
小结·评价
"$$
----------------------
复习题
&%%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
综合与实践　干支纪年
206
---------------
综合与实践　一次方程组与CT 技术
209
--------
综合与实践　珍惜水资源
215
--------------
附录1　常用的单位及其符号
218
-----------
附录2　部分中英文词汇对照表
220
----------
附录3　手工纸
223
------------------
第1 章
有理数
今两算得失相反!要令正负以名之!
"""刘徽
在小学!同学们已经学习了整数#分数的运算及其
应用!在减法运算中!如果出现被减数比减数小的情
况!还可以计算吗$
我们的祖先早已给出了答案!大约在两千年前!我
国就开始使用负数!在古代商业活动中!以收入的钱为
正!以付出的钱为负!或以盈余为正!以亏损为负!在农
业活动中!以粮食入仓为正!以出仓为负!
负数与之前学过的数有什么关系? 引入负数后，
如何进行加、减、乘、除四则运算? 以前所学的数的
运算律是否还适用? 这些都是本章将要研究的问题.
! !!
1.1
正数和负数
观察
!"天气预报图!图!
!"!
#"海拔示意图!图!
#"!
图! !
$
图! #
%"#九章算术$是我国古代数学著作%在该书&方程'篇中提出了一个
家畜交易的例子( 卖# 头牛)& 只羊%买!% 头猪%余钱! ''' 是正*卖% 头
牛)%头猪%买(只羊%钱刚好用完*卖)只羊)*头猪%买&头牛%钱不足)''
是负!
上述素材中!气温有"零上#和"零下#!海拔示意图中有高于海平面和低于
海平面的海拔高度!家畜交易中有卖$收入%和买$支出%!有"余钱#和"钱不
足#等!这些问题中都有意义相反的量!为了表示某一问题中具有相反意义
的量!我们把其中一种意义的量!如零上气温&高于海平面的高度&交易中的卖
$收入%&"余钱#等规定为正的!用原来熟悉的数!如!! )! +! (! * *,*"*)!
"! 第"章!有理数
! '''来表示!这样的数叫作正数!把相反意义的量!如零下气温&低于海平面的
高度&交易中的买$支出%&"钱不足#等规定为负的!用在正数前面添上负号"-#
$$
' 除了表示没
有%还常用来表示某
种量的基准!例如
' !不能理解成没有
温度%它是实际温度
为冰点时的计量结
果%用来作为计量温
度的基准!
的数!如"%! "!,! "!&,"%!! ")''来表示!这样
的数叫作负数!正数的前面也可添上正号" .#!如
#!! #)! #+!通常情况下!正数前的正号可省略
不写!
数! 既不是正数!也不是负数!
日常生活中!还有许多具有相反意义的量!如
水库的水位有上升与下降!企业财务状况有盈利与
亏损!计算足球赛净胜球数时!有进球数多于与少
于失球数的不同情况等!也常用正&负数来表示!
交流
#'##年中国女足第九次获得亚洲杯冠军!中)韩)缅)泰四国女足的
战绩如下表(
球　队
进球数
失球数
净胜球数
中国
#%
*
!&
韩国
!!
,
+
缅甸
#
(
"+
泰国
&
!'
"&
$$上表中的净胜球数是什么意思+
"#"!正数和负数!#
$$!!
例1 $$!% 与去年相比!某乡今年的水稻种植面积扩大了!' "#
#$公顷%!
小麦的种植面积减少了& "#
#!油菜的种植面积不变!写出这三种农作物今年种
植面积的增加量!
$#% 某市"!#%!&#平台今年已受理消费者投诉件数' 日用百货类比上年同
期增长了!'!!家用电子电器类比上年同期下降了#'!!写出这两类商品投诉
件数的增长率!
解$$!% 与去年相比!该乡今年的水稻种植面积增加了!' "#
#!小麦种植面
积增加了"& "#
#!油菜的种植面积增加了' "#
# !
$#% 与上年同期相比!消费者投诉问题中!日用百货类增长了!'!!家用电
子电器类增长了"#'!!
交流
请你再举出一些用正)负数表示相反意义的量的实例!
　
练习
"!填空!
"!# 如果向东走% $#记作#% $#$那么向西走# $#记作$$$%
"第#题#
"## 如果将盈利!万元记作#! 万元$那么"#
万元表示$$$#万元%
"%# 如果把水位下降# %#记作"# %#$那么
## %#表示水位$$$$# %#!
#!右图是温度计的一部分$其中温度计甲的示数为
零上&摄氏度$记作$$!%温度计乙的示数为
$$$$摄氏度$记作$$!!
$! 第"章!有理数
1
引入负数后!数的范围扩大了!整数包括正整数&'和负整数!分数包括正分
数和负分数!
整数和分数统称有理数!即
有理数
整数
正整数
'
负整数
分数正分数
负分数
!!
例2 $把下列各数分别填入相应的框里'
"!)! '"',! !
# ! "#
% ! #%#! '! "%")! ","&! #'"(!
解$
$$
'"',! !
# ! #%#! #'"(!
正数
$$
"!)! "#
% ! "%")! ","&!
负数
交流
你认为有理数还可以怎样分类+
　
练习
"!把下列各数填入图中相应的位置$并填写公共部分的名称!
" !
& $ ,$ "!'$ '$ *&$ "%",
ᡥ 
  
ᾥNjNjᾦ
"第!题#
"#"!正数和负数!%
#!把下列各数填入相应的括号内!
!)$
+
!' $ "%$ "("!$ ",$ !#)$ '$ %"!,!
正数!&$$$$$$$$$$$$$'%
负分数!&$$$$$$$$$$$$'%
整数!&$$$$$$$$$$$$$'!
　　习题1"1
"!填空!
"!# 粮库中把运进大米%' &记作#%' &$那么运出大米,' &可表示为$$&%
"## 把保险锁按逆时针方向转!圈记作#!圈$那么"#圈表示按$$$$$
方向转$$$圈%
"%# 质量检测中$把一只乒乓球超出标准质量'"'! ' 记作#'"'! '$那么
"'"'# '表示乒乓球的质量$$$$标准质量'"'# '!
#!下表是某日公布的部分债券行情表$试说明各债券当天的涨跌情况!
名　称
#'国债'!
#'国债',
#'国债')
#'国债'+
#!国债')
上涨／元
'"''
"'"#*
'"',
"'"!'
'"'#
$!光盘()(的质量标准中规定!盘片厚度为!"#'
#'"%'
"'"!' ##的光盘是合格品!说
说"'"!' ##和#'"%' ##所表示的意思!
%!把下列数填入相应的括号内!
"'"!$ !
# $ "($ #$ #!$ "&
# $ "#$ %"&$ '!
整数! &$$$$$$'!$$$$$$$$分数! &$$$$$$'!
正数! &$$$$$$'!$
负数! &$$$$$$'!
&! 第"章!有理数
1
&!下表是国家统计局发布的我国国民经济和社会发展统计公报中的数据!请
以前一年作为基准$写出后一年相对前一年的增加量!
年　度
全年国内生产总值统计"亿元
国内生产总值
第一产业
第二产业
第三产业
#'#!年
! !,( #%+"'
*% #!)"&
,&! &,,"!
)!, ,+)",
#'##年
! #', +#,
** #'+
,+% +('
),# +#+
增加量
'!#'#'年!!月!'日$我国研发的(奋斗者)号全海深载人潜水器在马里亚纳海
沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录$最大下潜深度约!' ('( #!假设以马
里亚纳海沟所在海域的海平面为基准$记为' #$高于马里亚纳海沟所在海
域海平面!'' #记为.!'' #$深度!' ('( #处应如何表示*
"#"!正数和负数!'
(奋斗者)号全海深载人潜水器
1.2
数轴、相反数和
绝对值
机器人在一条东西向的直路上做走步取物试验!根据指令!它从点$处出
发!向西走% #到达点%处!拿取物品!然后!返回点$处将物品放入篮中!再向
东走# #到达点&处取物!
!"在如图!
%所示的直线上画出点%! &两处的位置!
图! %
#"把向东走! #记作" #! ##!向西走! #记作" "! ##!在图!
%中的直
线上标出与点%! &相对应的数!
下面!我们用直线上的点来表示数!
画一条直线!在这条直线上任取一点作为原点!用这点表示数'(规定这条直
线的一个方向为正方向!相反的方向就是负方向!当直线水平放置时!一般取从
左到右的方向为正方向!并用箭头表示(适当选取某一长度作为单位长度!这种
规定了原点&正方向和单位长度的直线叫作数轴!如图!
, !
图! ,
(! 第"章!有理数
!!
例1 $如图!
&!说出数轴上%! &! '! (各点表示的数!
图! &
解$点'在原点表示' !点%在原点左边与原点距离#个单位长度!故表
示"#!同理!点&表示"%"&!点(在原点右边与原点距离#个单位长度!故表
示#!
!!
例2 $在数轴上画出表示下列各数的点'
#,! "!
# ! !
# ! "!"#&! ",!
解$ #,用数轴上位于原点右边与原点距离,个单位长度的点表示! ",用
数轴上位于原点左边与原点距离,个单位长度的点表示!
同理!可画出表示!
# ! "!
# ! "!"#&的点!如图!
) !
图! )
一般地!任意一个有理数!都可以用数轴上的一个点来表示!
　
练习
"!点%$ &$ '$ (在数轴上的位置如下图!
4
3
2
1
0
1
2
3
4
6
5
A
B
C
D
"第!题#
"#$!数轴!相反数和绝对值!)
$ %$ &$ '$ (四个点分别表示数$$$$$$$$$$$$$$!
#!在数轴上画出表示"%$ ##$ "!"&$ ")"&的点!
4
5
6
7
3
2
1
0
1
2
3
4
6
5
"第#题#
观察
# 与"#% ,与",% !
# 与"!
# 各有什么相同点和不同点+ 在数轴!图
!
+" 上画出表示它们的点%说说它们的位置有什么关系!
图! +
#与"#!,与",! !
# 与"!
# 都只有符号不同!我们称只有符号不同的两个
数互为相反数!这就是说!其中一个数是另一个数的相反数!如#与"#互为相
反数!即#的相反数是"#! "#的相反数是#!
不为'的数与它的相反数在数轴上所表示的点在原点的两侧!与原点的距
离相等!
! 的相反数是! !
!!
例3 $写出下列各数的相反数'
%! "+! "#"!! #
% ! "&
!!! '! #'!
解$%的相反数是"%! "+的相反数是+! "#"!的相反数是#"!! #
% 的相反
!*! 第"章!有理数
1
数是"#
% ! "&
!!的相反数是&
!!!'的相反数是'!#'的相反数是"#'!
在任意一个数前面添上" -#号!所得的数就是原数的相反数!如"$#%% )
"%! "$"%% )%! "' )'!$
数*的相反数是"*!这里*表示任意一个数!它可以是正数&负数或者'!
　
练习
"!分别写出下列各数的相反数!
"&$ !$ "%$ "#")$ !"#$ "'"($ !
# !
#!填空!
"!# "#"*是$$$$的相反数$$$$$的相反数是%"#%
"## ""#,# 是$$$$的相反数$ """+# 是$$$$的相反数%
"%# ""#*# )$$$$$ """(# )$$$$!
$!下列说法不正确的是"$$#!
"*# 一个正数的相反数是负数$一个负数的相反数是正数
"+# 在数轴上与原点距离相等但不重合的两个点$所表示的数一定互
为相反数
",# 符号不同的两个数互为相反数
"(# 两个数互为相反数$这两个数有可能相等
观察
在数轴上%表示,与",的点与原点的距离各是多少+ 表示"!
# 与!
#
的点与原点的距离各是多少+
"#$!数轴!相反数和绝对值!!!
绝对值相等)
符号相反的两个
数互为相反数!
$$在数轴上!表示数* 的点与原点的距离叫作数* 的
绝对值!记作/* /!例如#,和",!它们符号相反!表示它
们的点位于原点两侧!但与原点的距离都等于,!即它们的
绝对值都是,!记作+#, +),! +", +),!如图!
*!
图! *
表示数'的点是原点!故+' +)'!
一个正数的绝对值是它本身"一个负数的绝对值是它的相反数"! 的绝对值
是! !即
+* +)
*!
* ,'!
'!
* )'!
"*! * -'!
!!
例4 $求下列各数的绝对值'
"#
% ! #!! "'"!! ,"&!
解$
"#
% )#
% ! +#! +)!! +"'"! +)'"!! +,"& +),"&!
　
练习
"!在数轴上画出表示下列各数的点$并指出它们的绝对值!
#%
# $ "#$ '$ "'"&$ +!
#!填空!
+"% +)$$$$$ +!"& +)$$$$$ +' +)$$$$$
+"'"'# +)$$$$$
#%
,
)$$$$$
"!
)
)$$$$!
!"! 第"章!有理数
1
$!下列等式中不成立的是"$$#!
"*# +"& +)&$$$$$$$$$$$"+# "+& +)"+"& +
",# +"& +)+& +
"(# "+"& +)&
%!计算!
"!# +"* +#+( +%$$$$$
"## +"!# +.+!# +%
"%# +'") +" "%
& %
",# +"% +/+"# +!
　　习题1"2
"!求下列各数的相反数!
"!
# $ "'")!$ !)$ +"* +$ #"&!
#!写出一个正数+两个负数$指出它们的相反数$并把这些数在数轴上表示出来!
$!下列各组数中$哪些是相等的$哪些互为相反数*
"!# #"",# 与""#,#%
"## """,# 与",%
"%# #"#,# 与""",#%
",# ""#,# 与""",#!
%!求下列各数的绝对值!
"#&$ '"'*$ "+$ !"&$ '$ "(
!!!
&!"!# 绝对值是&的数有几个* 是哪些数*
"## 绝对值是'的数有几个*
"%# 是否存在绝对值是",的数* 为什么*
'!在数轴上分别表示出绝对值是%$ !"&$ '的数!
"#$!数轴!相反数和绝对值!!#
(!数轴上点%表示的数是"%$与点%距离#个单位长度的点表示的数是什么*
)!一座桥梁的设计长度为*!' #!桥梁建成后$测量了& 次$测得的数据"单
位! ##是!
*!'",$ *!'"#$ *'("($ *'("+$ *'("*!
如果以设计长度为基准$试用正+负数表示各次测得的数值与设计长度的差
"填表#!哪次测得的结果最接近设计长度* 请说明理由!
测量序号
第!次
第#次
第%次
第,次
第&次
差
!$! 第"章!有理数
1
北盘江第一桥
1.3
有理数的大小
下表是&个旅游区某天的天气预报!
旅游区
天气状况
风向"风力
最高气温"℃
最低气温"℃
泰山
多云
南风0%级
%
",
黄山
小雨
东风0,级
&
'
桂林
小雨
南风0%级
!!
(
张家界
小雨
东风0%级
(
&
延吉
雨夹雪
东南风0%级
(
"&
$$把这一天各旅游区的最低气温在图!
(中的数轴上表示出来!
图! (
探究
把这几个旅游区的最低气温由低到高排列(
$!
这些数的大小顺序与数轴上表示它们的点的位置有什么关系+
数轴上不同的两个点表示的数!右边的点表示的数总比左边的点表示的
数大!*
正数大于!!! 大于负数!正数大于负数!
"#%!有理数的大小!!%
思考
!"在数轴上分别表示出下列各组数%并比较它们的大小(
!!" "!与"#* $$$$$$!#" "'"%与"'"&*
!%" "#与"#"&*
!," " !
# 与" !
, !
#"求出上题中各组数的绝对值%并比较它们的大小!
%"根据上面!% #两题的结果%你有什么发现+ 两个负数的大小和它
们绝对值的大小有什么关系+
两个负数比较大小!绝对值大的反而小!
!
例$比较下列每组数的大小'
$!% "#与"%( $$$$$$$#% "%
& 与"'"*!
解$$!% 因为$ +"# +)#! +"% +)%! # -%!
所以$ "# ,"%!
$#% 因为$ " %
&
)%
& )'")! +"'"* +)'"*!
'") -'"*!即$%
& -'"*!
所以$ "%
& ,"'"*!
　
练习
"!填空"填(0)或(1)#!
"!# #$$!#% $$$$$$$$$$"## # $$ "%%
"%# '$$'"#&%
",# "!&$$'!
!&! 第"章!有理数
1
#!把下列各数在数轴上表示出来$并用(0)把它们连接起来!
"*$ %$ "!'$ ",$ #$ !#!
$!比较下列各组数的大小!
"!# "'"#与"'"#&% $$$$$$$$"## "'"!与"'"'!%
"%# "(与"("!%
",# "%
* 与"&
* %
"&# ",
% 与",
& %
")# "&
) 与")
+ !
　　习题1"3
"!把下列各数在数轴上表示出来$并用(1)连接起来!
"%$ !
% $ "!$ &$ "# !
# $ '$ #$ #+!
#!下面是某年一月份我国几个城市的平均气温!
北京","& !$上海%"# !$广州!& !$
长春"!* !$合肥#"* !$昆明!# !!
把它们按从低到高的顺序排列$并指出该年一月份哪个城市的平均气温最
高$哪个城市的平均气温最低!
$!结合数轴$回答下列问题!
"!# 有没有最大的正整数* 有没有最小的正整数* 如果有$是什么*
"## 有没有最小的负整数* 有没有最大的负整数* 如果有$是什么*
%!"!# 在数轴上表示'$ "!",$ "%$ %
, %
"## 将"!#中各数用(0)连接起来%
"%# 将"!#中各数的相反数用(1)连接起来%
",# 将"!#中各数的绝对值用(1)连接起来!
"#%!有理数的大小!!'
&!比较下列各组数的大小!
$$$$$$$$$$$$$$$$$
"!# "+
( 与"(
!'%
"## " !
!''与"'"'!#%
"%# "#与"+
* %
",# "&
, 与"%
# %
"&# "'"'!与"!''%
")# ","%与"&%
"+# "%
!!与" "&
## %
"*# "# !
% 与"!%
) !
'!用(0)或(1)填空!
"!# +#& +$$ +") +% $
"## +"!'' +$$ """!'!#%
"%# +"'"! +$$ +"'"'! +%
",#
"%
,
$$$$
" "#
%
(
) %
"&#
"!
*
$$$$
!
+ %
")# %的相反数$$&的相反数%
"+# "#的相反数$$ ",的相反数% "*# "%的相反数$$&的相反数!
(!写出绝对值小于&的所有整数!
!(! 第"章!有理数
1
1.4
有理数的加减
1. 有理数的加法
我们已经学过两个加数都是正数!或一个加数是正数而另一个加数是' 的
加法!如
$#&% #$#%% )*! $$
!
& #' )&!$$
"
引入负数后!如何进行加法运算呢)
探究
一间' !冷藏室连续两次改变温度!
!!" 先上升& !%再上升% !*
!#" 先下降& !%再下降% !*
!%" 先下降& !%再上升% !*
!," 先下降% !%再上升& !!
把温度上升记作正%温度下降记作负%在数轴上表示温度连续两次变
化的结果%完成下表!
编号
两次变化在数轴上的表示
变化
结果
算　式
$!%
上升了
* !
$#&% #$#%% )#* #
"#&!有理数的加减!!)
#续表$
编号
两次变化在数轴上的表示
变化
结果
算　式
$#%
上升了
"* !
$"&% #$"%% )"* $
$%%
%
$,%
&
$$通过类比%写出结果!
!"&" #!#&" )$$$$$$!
'
!"&" #' )$$$$$$!
(
观察! 2(式%说说两个有理数相加%和的符号)和的绝对值应怎样
规定!$
有理数的加法法则'
$$"+同号两数相加!取加数的符号!并把绝对值相加!
#+异号两数相加!绝对值不相等时!取绝对值较大的加数的符号!并用较
大的绝对值减去较小的绝对值"绝对值相等时和为! !
$+一个数与! 相加!仍得这个数!
!!
例1 $计算'
$!% $#+% #$#)%($$$$$$$ $#% $"&% #$"(%(
$%% "!
#
(
) #!
% (
$,% $"!'"&% #$##!"&% !
"*! 第"章!有理数
1
解$ $!% $#+% #$#)% )#$+ #)% )!%!
$#% $"&% #$"(% )"$& #(% )"!,!
$%% "!
#
(
) #!
% )" !
# "!
%
(
) )"!
) !
$,% $"!'"&% #$##!"&% )#$#!"& "!'"&% )!!!
互为相反数
的两数之和为' !
!!
例2 $计算'
$!% $"+"&% #$#+"&%(
$#% $"%"&% #'!
解$ $!% $"+"&% #$#+"&% )'!
$#% $"%"&% #' )"%"&!
　
练习
"!填表!
加　数
加　数
和的符号
和的绝对值
和
)
(
")
"(
")
(
)
"(
#!计算!
"!# "#%"&# #"#,"&#%$$$$$$ "## "+
&
(
) # "%
&
(
) %
"%# "!+
!)
(
) # #&
,
(
) %$
",# ##%
*
(
) # "!%
,
(
) !
"#&!有理数的加减!"!
$!计算!
"!# !'' #""!''#%
"## ""("&# #'%
"%# "!
%
(
) # "!
)
(
) %
",# ""*# #""+#%
"&# ""!%# ##,%
")# "'"& #!
# !
%!某潜水员在水中作业时$先潜入水下!!"# #$然后又上升了*"& #$这时
潜水员处在什么位置*
&!我国南极科考站昆仑站某日录得南极异常升温$较常年平均气温高
%'"( !!已知常年平均气温为"&+"# !$该日录得的气温是多少*
我们以前学过加法交换律和结合律!它们在有理数范围内还成立吗)
!问题"
!$计算'
$!% $ "&% #)! ) #$ "&%(
$#%
" !
#
(
) # " !
%
(
) !
" !
%
(
) # " !
#
(
) !
上面各题中计算的结果相同吗) 再换一些数试试!
一般地!有理数的加法中!两个数相加!交换加数的位置!和不变!
加法交换律% # $% &% $#!
!问题#
!$计算'
$!% *$ "#% #$ "*%+ #$ "+%! $ "#% #*$ "*% #$ "+%+(
$#%
!
# # "!
%
(
)
[
] # "#
%
(
) ! !
# #
"!
%
(
) # "#
%
(
)
[
] !
上面各题中计算的结果相同吗) 再换一些数试试!
""! 第"章!有理数
1
一般地!有理数的加法中!三个数相加!先把前两个数相加!或者先把后两个
数相加!和不变!
加法结合律% &# $%' $'&# $&% $''!
!!
例3 $计算' $ "##% #$ "&"&% ### #$ ","&% !
第一步的依据
是什么+
解$ $$ "##% #$ "&"&% ### #$ ","&%
)*$ "##% ###+ #*$ "&"&% #$ ","&%+
)' #$ "!'%
)"!'!
!!
例4 $某生态农业公司应用现代技术手段!加强对品牌酥梨的全产业链
管理!探索数字农业发展新模式!现对一种热销的酥梨逐个称重!超过标准质
量$%'' '%的用正数表示!不足的用负数表示!其中! 盒!# 个酥梨的检测结果
如下表'
样品编号
!
#
%
,
&
)
+
*
(
!'
!!
!#
与标准质量的差", #!' "#' #!& "!' #,' "#' #&' "#' "!&
"*
#!'
#)
在进行多个
有理数相加时%
可根据需要交换
加数的位置%从
而简化运算!
$$求这盒酥梨的总质量!
解$ !' #$ "#'% #!& #$ "!'% #,' #$ "#'% #
&' #$ "#'% #$ "!&% #$ "*% #!' #)
)*!' #$ "!'%+ #*!& #$ "!&%+ #*$ "#'% #
,' #$ "#'%+ #&' #$ "#'% #$ "*% #!' #)
)%*$'%!
%'' /!# #%* )% )%*$'% !
即这盒酥梨的总质量为% )%* ' !
"#&!有理数的加减!"#
　
练习
"!计算!
"!# " "%# #!# #" "!+# #" #*#% $
"## " "'"&# #% !
, ##"+& # "& !
#
(
) %
"%# " "%"!,# #" #,"()# #" ##"!,# #" "+"()#%
",# ", &
) #%"!#& # "# !
)
(
) # "& !
*
(
) !
#!某村共有*块小麦试验田$每块试验田今年的收成与去年相比情况如下"增
产为正$减产为负$单位!$'#! &&$ ",'$ !'$ "!)$ #+$ "&$ "#%$ %*!今
年的小麦总产量与去年相比是增加了还是减少了* 增加或减少了多少*
2. 有理数的减法
探究
下表记录了某地某年#月!日至#月!'日每天气温情况(
月／日
# 0!
# 0#
# 0%
# 0,
# 0&
# 0)
# 0+
# 0*
# 0(
# 0!'
最高气温／℃
!#
!'
&
&
%
&
)
)
*
(
最低气温／℃
%
#
",
"&
",
"%
"%
"!
'
"#
怎样求出该地#月%日最高气温与最低气温的差呢+
$$$$$
图! !'
观察图!
!'%& !
比' !高& !%' !比
", ! 高, !% 因此
& !比", !高( !!
"$! 第"章!有理数
1
$$解决这里的问题!就是做减法
& "$",% ))
由于加减法互为逆运算!上式可变为
)#$",% )&!
因为( #$",% )&!所以上式中的))(!即& "$",% )(!
又
& #, )(!
可见
& "$",% )& #$#,%!
比较上式两边
"
#
$
$
有何关系
$
$
"
#
)
& "$ ", % ) & #$ #, % !
#
#
#
$
$
有何变化
$
$
%
#
)
说说你对有理数减法法则的猜想!
有理数的减法法则'
$$减去一个数!等于加上这个数的相反数!即
# (% &# $# (%$!
请你算出上表中#月,日至#月!'日每天最高气温与最低气温的差!
!!
例5 $计算'
$!% $"!)% "$"(%($$$$$ $#% # "+(
$%% ' "$"#"&%(
$,% $"#"*% "$#!"+% !
解$ $!% $"!)% "$"(% )$"!)% #$#(% )"+!
$#% # "+ )# #$"+% )"&!
$%% ' "$"#"&% )' #$##"&% )#"&!
$,% $"#"*% "$#!"+% )$"#"*% #$"!"+% )","&!
"#&!有理数的加减!"%
$$!!
例6 $某次法律知识竞赛中规定' 抢答题答对一题得#'分!答错一题扣
!'分!答对一题与答错一题得分相差多少分)
解$ #' "$"!'% )#' #!' )%'$分%!
即答对一题与答错一题相差%'分!
　
练习
"!填空!
"!# ""*# """!,# )""*# #"$$# )"$$#%
"## ""+# ""#)# )""+# #"$$# )"$$# !
#!计算!
"!# ""!(# """+#%$$$$$$$$$ "## , ")%
"%# ""#"&# ""##"&#%
",# ' """&# !
$!计算!
"!# !# "!+%
"## ""!'# ",%
"%# %# """!*#%
",# ' "!#%
"&# "#
&
(
) " "%
&
(
) %
")# ""!# " #%
#
(
) %
"+# "!
%
(
) " "!
%
(
) %
"*# %
& " ##
&
(
) !
%!巴黎+东京与北京的时差如下表"( .)号表示同一时刻比北京时间早的
时数#!
城　市
巴$黎
东$京
与北京的时差"-
"+
#!
"!# 求巴黎与东京的时差%
"## 巴黎时间*-''时$东京时间是多少*
"&! 第"章!有理数
1
3. 加、减混合运算
!问题
!$某地冬天某日的气温变化情况如下' 早晨)-''的气温为-# !!到
中午!#-''上升了* !!到!,-''又上升了& !!且为当天的最高气温!到!*-''
降低了+ !!到#%-''又降低了, !!则该地当天#%-''的气温是多少)
用正&负数表示气温的上升与下降!那么问题就转化为求'
$ "#% #$ #*% #$ #&% #$ "+% #$ ",% !
!
现在来解上面的问题'
$$ "#% #$ #*% #$ #&% #$ "+% #$ ",%
)$ "#% #$ "+% #$ ",% #$ #*% #$ #&%
$加法交换律%
)*$ "#% #$ "+% #$ ",%+ #*$ #*% #$ #&%+
$加法结合律%
)"!% #!%
)'!
图! !!
即该地当天#%-''的气温是' !!
!式中仅含有加法运算!通常可省去加号及各个括
号!写成
"# #* #& "+ ",!
"
这个式子可读作"负#&正*&正&&负+&负, 的和#或者
读作"负#加*加&减+减,#!
计算器的品
种很多%它们的
计算程序和方法
不尽相同%使用
前要注意看清各
自的说明书!
用如图!
!!所示计算器计算"式的过程如下'
按键顺序
显　示
$ "%
#
# *
# &
" +
" ,
)
'
"#&!有理数的加减!"'
$$!!
例7 $计算'
$!% $#+% "$#*% #$"%% "$")% ##(
$#% %
, # "!
)
(
) "!
% " "!
*
(
) !
解$$!% $#+% "$#*% #$"%% "$")% ##
)$#+% #$"*% #$"%% #$#)% ##$$减法法则%
)+ "* "% #) ##
)$+ #) ##% #$"* "%%$$加法交换律&结合律%
)!& "!!
),!
$#% %
, # "!
)
(
) "!
% " "!
*
(
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, # "!
)
(
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%
(
) # #!
*
(
) $$减法法则%
)%
, "!
) "!
% #!
*
) %
, #!
*
(
) # "!
) "!
%
(
) $$加法交换律&结合律%
)+
* "!
#
)%
* !
　
练习
"!填空!
"!# "#!",# """!"## ""##"&# )"$$# #"$$# #"$$#%
"## ""#'# ""#&# #""%# )"$$# #"$$# #"$$# !
#!计算!
"!# "#!&# #""%'# """!,#%$ "## ",' "#* """!(# #""#,#%
"(! 第"章!有理数
1
$ "%# "#
% # "!
)
(
) " "!
,
(
) "!
# %
",# "+"# "'"( "&") #*"+%
"&# "! ## "% ", #&%
")# "% ", #!( "!!!
$!某同学存钱罐中有*' 元零花钱$第一次取出#' 元$第二次又取出%'
元$第三次存入!''元$第四次取出#'元!这时存钱罐中有多少钱*
%!去年(月%'日到某景区旅游的人数为!万人!同年(十一)期间"!'月
!日至+日#该景区每天旅游人数的变化情况如下表"正数表示比前一
天多的人数$负数表示比前一天少的人数#!
日期
!'月
!日
!'月
#日
!'月
%日
!'月
,日
!'月
&日
!'月
)日
!'月
+日
人数变化"万人
#!"&
#'"+
#'",
"'",
"'")
#'"#
#'"!
"!# (十一)期间游客人数最多的是哪一天* 有多少万人*
"## 求!'月&日去该景区旅游的人数!
　　习题1"4
"!计算!
"!# ""!+# #"#)#%$$$$$$$$ "## "##%# #""!*#%
"%# ""!## #"",#%
",# "#,# #"#*#%
"&# ""'"(# #""#"!#%
")# ""#'# #'%
"+# "#
%
(
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%
(
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& # "!
%
(
) !
#!计算!
"!# ",
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(
) # ",
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!+
(
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"#&!有理数的加减!")
$ "## "'!#& # "# !
*
(
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* #"#!!+&# # "+
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$!计算!
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"## ""%# """&#%
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")# ""!&# "!&%
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) " "# %
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%!计算!
"!# & #"")# #% #* #"",# #""+#%
"## "",!# #"#%'# #"#,!# #""%'#%
"%# ""'"*# #!"# #""'"+# #""#"!# #'"* #%"&%
",# "* #!# "!) "#%%
"&# "+
# #*
% "!)
( #%
# %$$
")# "!
, #&
) ##
% "!
# !
&!分别计算下列每题中的两个算式$比较结果$你有什么发现*
"!# "! "## #"% ",# """& #)#$! "# #% ", #& ")%
"## ""* "!## #""!) ##'#$ "* #!# "!) ##'%
"%# %
, " &
# "#
%
(
) # "&
% #%
#
(
) $ %
, "&
# ##
% "&
% #%
# !
'!下面说法是否正确* 如果不正确$请举例说明!
"!# 两个数的和一定比这两个数中任何一个都大%
"## 两个数的差一定比这两个数中任何一个都小%
"%# 两个数的和是正数$这两个数一定都是正数%
",# 两个数的差是正数$被减数一定大于减数!
#*! 第"章!有理数
1
(!按照要求分别写出两个数$并说明理由!
"!# 两数之和大于这两数之差%
"## 两数之和小于这两数之差%
"%# 两数之和等于这两数之差!
)!一天上午$一辆警车从.车站出发在一条笔直的公路上来回巡逻$行驶的路
程情况如下"向.车站右侧方向行驶为正$单位! $##!
"+$ #,$ #*$ "%$ #!'$ "%$ ")$ "!#$ #($ "%!
"!# 这辆警车在完成上述巡逻后在.车站的哪一侧* 距.车站多少千米*
"## 如果这辆警车每行驶!'' $#的耗油量为!! /$不考虑其他因素$这天上
午共消耗汽油多少升*
.!请完成下表!
已　知
计　算
比较大小
*
1
* "1
* "1与'
*与1
&
%
& "% )#
& "% ,'
& ,%
"#
",
#
"%
%
%
#
,
"%
"!
"&
#
**从上表中$观察两个数的大小与它们差的符号之间有何联系$你发现了
什么规律*
"#&!有理数的加减!#!
1.5
有理数的乘除
1. 有理数的乘法
我们已经学过两个正有理数相乘!以及一个正有理数与'相乘!如
$##% /$#%% ))! $ $##% /' )'!
如果两个有理数相乘!其中有负数!应该怎么计算)
在实验室中!甲标本的温度每! #01下降# !!乙标本的温度每! #01上升
% !!已知甲&乙标本现在的温度都是' !!我们用负数和正数分别表示温度的
下降和上升!例如下降# !记作"# !!上升% !记作% !!又分别用负数和正数
表示变化前后的时间!例如% #01后记作% #01!# #01前记作"# #01!
!问题"
!$% #01后甲标本的温度比现在高还是低) 高$或低%多少)
由图!
!#可知!% #01后甲标本的温度比现在低) !!用算式表达!即
$ "#% /% )")!
图! !#
扩充到有理数
后%乘法也要满足
以前学过的运算律!
请你根据分配
律%结合,! "#" #
#- /% )' 说说为
什么! "#" /% )
")!
#"! 第"章!有理数
$$!问题#
!$# #01前乙标本的温度比现在高还是低) 高$或低%多少)
由图!
!%可知!# #01前乙标本的温度比现在低) !!用算式表达!即
% /$ "#% )")!
根据乘法交
换律%由! "#" /
% )")也可以得
到% /! "#" )")!
图! !%
$$
图! !,
!问题$
!$% #01前甲标本的温度比现在高还是低) 高$或低%多少)
由图!
!,可知!% #01前甲标本的温度比现在高) !!用算式表达!即
利用运算律说
说为什么! "#" /
! "%" ))!
$$$$$$ $ "#% /$ "%% ))!
此外!两个有理数相乘!当一个因数是'时!积仍是'!如
$$$$$$ $ "#% /' )'!$' /$ "#% )'!
总结起来!有下面的有理数乘法法则'
$$"+两数相乘!同号得正!异号得负!并把绝对值相乘!
#+任何数与! 相乘仍得! !
!!
例1 $计算'
$!% $"&% /$")%(
$#% "%
#
(
) /!
) (
"#'!有理数的乘除!##
$%% "%
&
(
) / "&
%
(
) (
$,% * /$"!"#&%!
解$ $!% $"&% /$")% )#$& /)% )%'!
$#% "%
#
(
) /!
) )" %
# /!
)
(
) )"!
, !
$%% "%
&
(
) / "&
%
(
) )# %
& /&
%
(
) )!!
$,% * /$"!"#&% )"$* /!"#&% )"!'!
用计算器计算第$!%!$%%题!操作如下!
按键顺序
显　示
$ "%
&
/ $ "%
)
)
%'
$ "%
%
230
% &
/ $ "%
&
230
% %
)
!
$$与小学所学的一样!如果两个有理数的乘积为!!我们称这两个有理数互为
倒数!
如"&
% 是"%
& 的倒数! "%
& 是"&
% 的倒数!也就是说! "%
& 与"&
% 互为倒数!
　
练习
"!填表!
因　数
因　数
积的符号
积的绝对值
积
#*
")
"!'
#*
"(
",
#'
*
#$! 第"章!有理数
1
#!计算!
"!# "",")# /"#%#%$$$$$$ "## %
, / "*
(
(
) %
"%# "#
&
(
) / "%
,
(
) %$$$$
",# "#
%
(
) / "%
#
(
) %
"&# "#*"&# /""##%$$$$
")# "&
*
(
) /""!##%
"+# ""%"*# /'%
"*# !'' /""'"'!# !
$!写出下列各数的倒数! " #
% $ '"#&$ ")$ !$ "!!
%!判断正误!
"!# '没有倒数!
"$$#
"## 正数的倒数是正数$负数的倒数是负数!
"$$#
在小学我们学习了三条与乘法相关的运算律!即
$$
乘法交换律%#% &%#!
乘法结合律%##%$'&##%'$!
分配律%##% $'$ &#% $#'!
像前面那样规定有理数的乘法法则后!这三条运算律也同样适用!即这里的
*! 1! 2可以表示任何有理数!$
运用运算律有时可以简化计算!
计算的依据是
什么+ 请在括号内
写出!
!!
例2 $计算'
!
, #!
) "!
#
(
) /$ "!#%!
解$$ !
, #!
) "!
#
(
) /$ "!#%
)!
, /$ "!#% #!
) /$ "!#% "!
# /$ "!#%$$$$$$$$%
"#'!有理数的乘除!#%
)$ "%% #$ "#% "$ ")%
)!!
完成下面的填空并思考'多个有理数相乘!有一个因数为' 时!积是多少)
因数都不为'时!积的符号怎样确定)
$!% $ ",% /& /$ "'"#&% )$$$$(
$#%
"%
*
(
) /$ "!)% /$ #'"&% /$ ",% )$$$$(
$%% $ ##% /$ "*"&% /$ "!''% /' /$ #('% )$$$$!
$$几个数相乘!有一个因数为!!积为! !
几个不为! 的数相乘!积的符号由负因数的个数决定!当负因数有奇数
个时!积为负"当负因数有偶数个时!积为正!
　
练习
"!"口答#确定下列积的符号!
"!# " "&# /, /" "!# /%% $
"## " ",# /) /" "+# /" "%#%
"%# " "!# /" "!# /" "!#%
",# " "## /" "## /" "## /" "## !
#!计算!
"!#
"*!
#'
(
) /!"#& /" "*#%
$
"##
"&
%!
(
) / "(
#
(
) / "%!
!&
(
) /#
( %
"%#
+
( "&
) #%
, "+
!*
(
) /" "%)#%
$
",#
",
&
(
) /#
% # ",
&
(
) / "!+
%
(
) !
#&! 第"章!有理数
1
2. 有理数的除法
两个有理数相除!如何计算)
对于有理数!除法也是乘法的逆运算!根据这个关系填表!
乘　法
除　法
$##% /$#%% )#)
$#)% .$##% )$$$$$
$#)% .$#%% )$$$$$
$"#% /$"%% )#)
$#)% .$"#% )$$$$$
$#)% .$"%% )$$$$$
$"#% /$#%% )")
$")% .$"#% )$$$$$
$")% .$#%% )$$$$$
$$通过上面的计算!你能否体会到有理数除法应如何计算)
有理数的除法法则'
$$"!两数相除!同号得正!异号得负!并把绝对值相除!*
#!! 除以一个不为! 的数仍得!" ! 不能作除数!
交流
!!" 小学里进行除法运算时%怎样将除法转化为乘法+
!#" 有理数的除法也可以转化为乘法吗+
与同学交流你的看法!
"#'!有理数的乘除!#'
$$和小学学过的除法运算一样!有理数的除法也可转化为乘法'
$$除以一个不为! 的数!等于乘以这个数的倒数!即
# )% &#! "
% "% & !#!
!!
例3 $计算'
$!% $"*% . "#
%
(
) ($$#% "%'
+
(
) .!'($$%% $ ",% . " #
&
(
) /$ "&%!
解$ $!% $"*% . "#
%
(
) )$"*% / "%
#
(
) )!#!
$#% "%'
+
(
) .!' ) "%'
+
(
) /!
!' )"%
+ !
$%% $",% . "#
&
(
) /$"&% ) $",% / "&
#
(
) /$"&% )" , /&
# /&
(
) )"&'!
　
练习
"!填表!
被除数
除　数
商的符号
商的绝对值
商
"#+
#(
#+&
##&
#!'
"!'
" +
#
" +
,
#!计算!
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,
(
) . "!
,
(
) %$$$$$$$ "## #&
*
(
) .""&#%
"%# # . "!
#
(
) %
",# ""!# . " !
%
(
) %
#(! 第"章!有理数
1
$ "&# "%)
+
(
) .)%
")# ""*# . "!)
&
(
) %
"+# ""'"+&# .&
, %
"*# "","## ." #)#!
$!计算!
"!# "&
#
(
) .""&# /""##%
"## "")# ."",# . ")
&
(
) !
　　习题1"5
"!计算!
$$$$$$$$$$$$$$$
"!# ""*# /"#!"#&#%
"## ' /""! (!(#%
"%# "#'"''## / " !
&''
(
) %
",# #*
%
(
) / "*
%
(
) %
"&#
"! #
%
(
) / " !
&
(
) %
")# " "%"+&# / "! %
&
(
) !
#!计算!
"!# " "!+# /" "(# /' /%+% "## " "'!!# /" "!''# /'"'! /" "!'#%
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* !
%!填空!
"!# " "&# #"$# )!%$$
"## " "&# ""$# )!%
"%# " "&# /"$# )!%$$
",# " "&# ."$# )!!
"#'!有理数的乘除!#)
&!计算!
"!#
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"## " "'"!# .'"& /" "!''#%
"%# " "&,# . %
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% ." "%##%
",# " "&# . " +
#&
(
) #" "!## / #&
+ !
'!探空气球的气象观测统计资料表明$高度每增加! $#$气温降低大约) !!
现在地面气温是#! !$那么!' $#高空处的气温约是多少*
$*! 第"章!有理数
1
施放探空气球$$$
　
　数学拓展
翻币游戏中的数学推理
$!% %' '圆形普制金质
纪念币正面
$#% %' '圆形普制金质
纪念币背面
图! !&
一种金质纪念币的正面)背面如图!
!&所示!
桌子上有%枚正面向上的纪念币!现在我们来做
一个游戏%每次翻动其中# 枚%使其另一面朝上%能否
经过若干次翻动%使%枚纪念币的背面全部向上+
请你先动手做一做%看有没有可能!
你有什么发现+ 能说明其中的道理吗+ 和同学们
交流一下!
通过操作%发现无论翻动多少次%都不可能使%枚
纪念币的背面全部向上!
要解释这种现象%我们可以尝试将上面的问题转
化为数学问题!为区分纪念币的正反面%先在每枚纪
念币的正面标上#!%背面标上"!!这样每翻动一次
就相当于把原来向上一面的数乘上"!%每次翻动#枚
纪念币%就是每次改变#枚纪念币上数的符号!
接下来研究%枚纪念币向上一面上标记的%个数的积3!开始时%枚纪念
币都正面向上% 3)!#!"/!#!"/!#!" )#!!如果能使%枚纪念币的背面都向
上%则此时3)!"!" /!"!" /!"!" )"!!
翻动!次后%3由!#!"/!#!"/!#!"变为!#!"/!#!"/!#!" /,! "!" /
! "!"-%结果仍是#!!再翻动!次后3还是#!!事实上不管翻动多少次%3都
不可能是"!%即不可能使%枚纪念币的背面全部向上!
请你进一步思考!
!"如果纪念币个数是&% +或其他奇数时%结果又如何+
#"如果桌子上有+枚正面向上的纪念币%每次翻动其中,枚%能否经过若干
次翻动%使+枚纪念币的背面全部向上+
"#'!有理数的乘除!$!
1.6
有理数的乘方
如图!
!)$!%!边长为& 的正方形!它的面积是& /& )#&! & /& 可记
作&
# !$
如图!
!)$#%!棱长为#的正方体!它的体积是# /# /# )*! # /# /#可
记作#
% !
$!%
$$$$$$$
$#%
图! !)
一般地!4个相同的因数*相乘!记作*
4!即
这种求4个相同因数的积的运算叫作乘方!乘方的结果叫作幂!
图! !+
在乘方运算*
4 中!* 叫作底数!4 叫作* 的幂的指
数!简称指数!*
4 读作*的4次方!*
4 看作是*的4次
方的结果时!也可读作*的4次幂$图!
!+%!
例如!在幂&
# 中!底数是&!指数是#! &
# 读作&的#
次方$或&的平方%或&的#次幂!#
% 读作#的%次方
$或#的立方%或#的%次幂!
一个数的一次方!就是这个数本身!例如)
! 就是)!指数!通常省略不写!
$"! 第"章!有理数
$$!!
例1 $计算'
$!% $",%
%($$$$$$$$ $#% $"#%
,!
解$$!% $",%
% )$",% /$",% /$",% )$$$!
$#% $"#%
, )$$$$$$$$$$$ )$$$!
用计算器按下列顺序计算'
按键顺序
显　示
$
$ "%
,
%
5
%
)
"),
$
$ "%
#
%
'
,
)
!)
$$乘方运算实际上就是乘法运算!根据有理数的乘法法则!可得乘方运算的法则'
$$求非! 有理数的乘方!将其绝对值乘方!并取符号% 正数的任意次幂都取
正号"负数的奇次幂取负号!负数的偶次幂取正号!
交流
拉面师傅制作拉面时%按对折)拉伸的步骤%重复多次%如图!
!* !
图! !*
!!" 先用乘法计算拉!# 次得到的面条
数%再改用计算器计算幂%这两种方法哪种算
得快+
!#" 如果拉面师傅每次都将面条的长度
拉伸到'"* #%那么拉!# 次后%得到的面条总
长是多少米+
　
练习
"!举出用乘方计算的实例!
"#(!有理数的乘方!$#
#!填空!
"!# 在+
, 中$底数是$$$$指数是$$$%
"## 在"!
#
(
)
& 中$底数是$$$$指数是$$$!
$!计算!
"!# ""!"&#
#%$$$$$$$$$$$ "## , /""##
%%
"%# """##
,%$$
",# ""##
% /""##
#!
在进行有理数的加&减&乘&除以及乘方混合运算时!一般应按下列顺序
进行'
先乘方!再乘除!后加减"如果有括号!先进行括号里的运算!
!!
例2 $计算'
$!% "!' #* .$"#%
# "$",% /$"%%(
$#% "(
&
(
) / "&
%
(
)
#
# "%
*
(
) . "!
#
(
)
%
"!
,
[
] !
解$ $!% "!' #* .$"#%
# "$",% /$"%%
)"!' #* ., ", /%
)"!' ## "!#
)"#'!
$#% "(
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(
) / "&
%
(
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# "%
*
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) . "!
#
(
)
%
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,
[
]
) "(
&
(
) /#&
( # "%
*
(
) . "!
*
(
) "!
,
[
]
) "(
&
(
) /#&
( # "%
*
(
) . "%
*
(
)
)"& #!
)",!
$$! 第"章!有理数
1
　
练习
"!计算!
"!# "#
% "% /""!#
% """!#
,%
"## ""##
% .,
( / "#
%
(
)
#
!
#!计算!
"!#
!
# "% #&
) "+
!#
(
) /" ")#
#%
"## "!
( / ! "" "##
% " !
* "#
%
(
) /#,!
在日常生活中!常会接触到一些比较大的数!如长江三峡水库容量达
%( %'' ''' ''' #
%!光在空气中传播的速度大约是%'' ''' ''' #45$图!
!(%!
$!% 长江三峡水库
$$
$#% 光的传播
图! !(
这些较大的数!按上面的写法!写起来既麻烦又容易出错!于是我们常用更
大的数量级来表示!如将%( %'' ''' '''表示为%(%亿!
由于!'的正整数次幂!'
! )!'! !'
# )!''! !'
% )! '''! !'
, )!' '''! ,!因
而!也可用!'的幂来表示上述大数!例如
%( %'' ''' ''' )%"(% /!' ''' ''' ''' )%"(% /!'
!'!
%'' ''' ''' )% /!'' ''' ''' )% /!'
*!
"#(!有理数的乘方!$%
一般地!绝对值大于!'的数都可记成6* /!'
4的形式!其中! ( * -!'! 4
等于原数的整数位数减! !这种记数方法!在科学技术方面是常用的!习惯上称
之为科学记数法!
!!
例3 $-#'#'年全球森林资源评估.报告指出' !(('年以来!全球因砍伐
而丧失了约,"#亿公顷森林!但森林丧失的速度已大幅下降!#'!&至#'#'年!每
年因砍伐而丧失的森林面积约为! '''万公顷!请用科学记数法表示,"#亿和
! '''万!并用计算器表示!
解$ ,"#亿),#' ''' ''' ),"# /!'
*!
! '''万)!' ''' ''' )! /!'
+!
计算器表示如图!
#''
$
图! #'
　
练习
"!用科学记数法表示下列各数!
!' '''$ *'' '''$ &) ''' '''$ + ,'' '''!
#!下列用科学记数法表示的数原来分别是什么数*
! /!'
+$ , /!'
%$ *"& /!'
)$ +"', /!'
&!
$!截至#'##年!#月%!日$中国共产党党员总数为( *',"!万名!用科学
记数法表示( *',"!万!
%!从#'!#年到#'#!年$我国国内生产总值从&,万亿元增长到!!,万亿
元!试用科学记数法表示&,万亿和!!,万亿!
$&! 第"章!有理数
1
　　习题1"6
"!当* )"#时$判断下列各式是否成立!
$$$$$$$$$$$$$$$$$
"!# *
# )""*#
#%
"## *
% )""*#
%%
"%# "*
# )+"*
# +%
",# *
% )+*
% +!
#!计算!
"!# ""##
% /""%#
#%
"## "&
* /"",#
# "'"#& /""&# /"",#
%%
"%# "#
, "", ")#
# "!# /""##
#%
",# "%
# / "%
# / "#
%
(
)
%
"#
[
] !
$!用科学记数法表示下列数!
"!# %', '''%
"## * +'' '''%
"%# &'' ('' '''%
",# )% ''' ''' !
%!下列用科学记数法表示的数$原来分别是什么数*
"!# (") /!'
&%$
"## )"'% /!'
*!
&!#'#!年#月#&日$习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告$
经过全党全国各族人民共同努力$在迎来中国共产党成立一百周年的重要时
刻$我国脱贫攻坚战取得了全面胜利$现行标准下( *((万农村贫困人口全部
脱贫$*%#个贫困县全部摘帽$!#"*万个贫困村全部出列$区域性整体贫困得
到解决$完成了消除绝对贫困的艰巨任务$创造了又一个彪炳史册的人间奇
迹, 请用科学记数法表示( *((万和!#"*万!
'!用科学记数法表示下列数!
"!# 地球的半径约为) ,'' ''' #%
"## 青藏铁路中从青海西宁到西藏拉萨的铁路全长约! (&) ''' #%
"%# 长江每年流入大海的淡水约!' '''亿立方米%
",# 卧龙国家级自然保护区总面积约#'' ''' "#
#%
"&# 马拉松长跑全程约,# !(& #!
"#(!有理数的乘方!$'
(!填空!
"!# 我国(神威-太湖之光)超级计算机的持续运算速度约为(% '''万亿次05$
用科学记数法表示就是$$$$次05%
"## #'#!年)月#&日$我国首个! &'' #深水自营大气田...(深海一号)正
式投产$每年将向粤港琼等地稳定供气% /!'
( #
%$也就是$$$$亿立
方米!
$(! 第"章!有理数
1
(深海一号)大气田
1.7
近似数
操作
!"数一数今天班上的同学数!
#"查一查你的数学课本的页数!
%"量一量数学课本的宽度!
,"称一称你的书包的质量!
上面操作得到的数据中哪些是精确的+ 哪些是近似的+
在上述"操作#中!操作!和#的数据由计数得来!是准确数!操作%和,的
数据由测量得来!由于受测量工具&测量方法&测量者等因素的影响!测量的结
果一般只是一个与实际数值很接近的数!我们称此数为近似数!
如图!
#!!测量数学课本的宽度!图$!%是用只有厘米刻度的尺去测量!得
宽度约!*", %#!图$#%是用有毫米刻度的尺去测量!得宽度约!*",% %#!这里
得到的!*", %#!!*",% %#都是数学课本宽度的近似值!
$!%
$$$$$$$
$#%
图! #!
"#)!近似数!$)
$$近似值与它的准确值的差叫作误差!即
误差)近似值"准确值!
误差可能是正数!也可能是负数!误差的绝对值越小!近似值就越接近准确
值!也就是近似程度越高!
黄山莲花峰
近似数与准确数的接近程度通常用精确度
表示!前面测得的数学课本宽度值!*", %#!
!*",% %#都是近似数!!*", %#是精确到十分位
$或者说精确到'"! %#%的近似数!!*",% %#是精
确到百分位$或者说精确到'"'! %#%的近似数!
不仅是测量会得到近似数!在许多情况下很
难取得准确数!或者不必使用准确数!这时!我们
可以使用近似数!例如!涉及圆的周长或面积计
算时!常取)) %"!,!又如黄山的最高峰///莲
花峰海拔! *),"* #!介绍时常说约! ('' #!或约
! *)' #!近似数一般由四舍五入法取得!四舍
五入到某一位!就说这个近似数精确到那一位!
!!
例1 $下列由四舍五入法得到的近似数各精确到哪一位)
$!% ,*"%($$$$$$$$ $#% '"'%' *)(
$%% #",'万(
$,% )"& /!'
,!
解$$!% ,*"%精确到十分位!
$#% '"'%' *)精确到十万分位$或精确到'"''' '!%!
$%% #",'万精确到百位!
$,% )"& /!'
, 精确到千位!
!!
例2 $第五届中国国际进口博览会意向成交金额达+%&"#亿美元!会期
六天!平均每天达成意向成交金额多少亿美元) $精确到'"!亿美元%
%*! 第"章!有理数
1
!!解!平均每天达成意向成交金额为
"#$%& !' ! (&&%$# ! (&&%$!亿美元""
""
例3 !#十一$期间%某商场准备对商品打) 折促销"一种原价为#*) 元
的微波炉%打折后%如果精确到元%定价是多少&
解!这种微波炉打)折后的价格为
#*) #)
(+ $&")%*!元""
精确到元的定价为&") 元"
　
练习
!"下列各题中的数据哪些是近似值!
"(# 小芳班上有*$人$
"&# 我国有$'个民族$
"## 南水北调东线一期工程全长( *'" !"$
"*# 举世瞩目的西气东输一线工程全长* &++ !""
""用四舍五入法%按括号中的要求对下列各数取近似值&
"(# +%)$( *,"精确到千分位#$!!!!!
"&# *,%,'"精确到十分位#$
"## (%$," &"精确到+%+(#$
"*# #" &$+"精确到千位#"
#"据某景区管理委员会发布的数据显示%&+&& 年(+ 月( 日至) 日该景区
共接待游客(&%'"万人"求平均每天接待的游客人数""精确到+%+(
万人#
!"#$近似数$!"
　　习题1%7
!"下列各数都是由四舍五入法得到的近似数%它们分别精确到哪一位!
"(# 小强的身高为(%'+ "$
"&# 截至&+&&年底%我国公路里程约为$%#$ #(+
' !"$
"## 我国的陆地面积为,%' #(+
' !"
&$
"*# 京九铁路线北起北京%南达香港九龙%全长为&%* #(+
' ""
""用四舍五入法%对下列各数按括号中的要求取近似值&
"(# +%"+, '"精确到千分位#$
"&# #$ ,++"精确到千位#"
#"下列由四舍五入法得到的近似数各精确到哪一位!
"(# &$%"$!!!!!!!!!!!!"&# +%++* +"$
"## (#亿$!!!
"*# &%$+ #(+
*"
$"应用激光技术测得某时刻地球和月球之间的距离为#"" ,)$ '$*%#& "%请按
下列要求分别取这个数的近似数"
"(# 精确到万位$
"&# 精确到亿位"
!#$ 第!章$有理数
1
'天琴计划(激光测距台站
　
　数学史话
负　　数
刘徽
负数的概念最早出现在我国古代数学著作!九章
算术"中"该书最晚成书于东汉早期#约公元(世纪$%
魏晋时期数学家刘徽#约&&$&约&,$$和唐代天文学
家'数学家李淳风#'+&&'"+$等人对该书进行了创造
性的校注%使得这部书得以完整"北宋时期该书被刊
刻为教科书"书中提出了正负数加减法运算的法则"
这部著作的第八章#(方程)篇$讲述了三元一次
方程组的建立和求解%其中多次出现了(正负术)"
)九章算术*书影
今有卖牛二'羊五%以买一十三豕%有余钱一千"
卖牛三'豕三%以买九羊%钱适足"卖羊六'豕八%以买
五牛%钱不足六百"问牛'羊'豕各几何"
这一问题就是讲述了一个故事* 一个人有一次到
家畜市场%进行了卖买牛'羊'猪等交易活动"(卖)#收
入$是正%(买) #支出$是负%(余钱)是正%(钱不足)
是负"!
由此可以看出%负数和正数一样%都是对现实问题
中数量的抽象"
该书对上述问题给出了具体解法"
术曰* 如方程%置牛二'羊五正%豕一十三负%余钱数正+次置牛三正%羊九
负%豕三正+次置牛五负%羊六正%豕八正%不足钱负%以正负术入之"
在另一题中%已给出了(正负术)的内容"
正负术曰* 同名相除%异名相益%正无入负之%负无入正之"其异名相除%同
名相益%正无入正之%负无入负之"
刘徽对此作了相应注释"
这中间就体现了正'负数的加减运算法则"
!"#$近似数$!$
关于正负数乘除法则%元代朱世杰#约(&'+&约(#&+$于!算学启蒙"中已
明确规定*(同名相乘为正%异名相乘为负)(同名相除所得为正%异名相除所得
为负) "
因此最迟于(#世纪末%我国对有理数四则运算法则已全面作了总结"
在国外%"世纪的印度数学家也开始使用负数%欧洲对负数的认识进展缓
慢%直到('世纪在韦达的著作中还回避负数"
　
　数学活动
二维码与幂
生活中二维码随处可见%如支付码'乘车码等%为我们提供了很大的便利"
二维码的前身是条形码"因为单一条形码的存储量有限%所以科学家又发
明了可以存储更多信息的二维码%图(
&& 是二维码结构示意图"二维码用白
色小方块表示+%黑色小方块表示(%黑白相间的小方块就能连成一串编码%置入
大方块中"
图( &&
目前%二维码有多种版本%小的尺寸为&( #&( 的正方形方块%大的尺寸为
("" #(""的正方形方块"接下来思考怎么计算某种尺寸的二维码数量"
!%$ 第!章$有理数
1
探究!!
如图(
&#所示*
图( &#
(个小方块%要么白%要么黑%有&种情形+
&个小方块排成一排%黑白格子的排列方案有!!!!种情形+
#个小方块排成一排%黑白格子的排列方案有!!!!种情形+
*个小方块排成一排%黑白格子的排列方案有!!!!种情形+
,,
%个小方块排成一排%黑白格子的排列方案有!!!!种情形"
探究"!
还是#个小方块%但改变它们排列的方式%结果会有变化吗-
图(
&*%黑白格子的排列方案有!!!!种情形+
图(
&$%黑白格子的排列方案有!!!!种情形"
图( &*
!!!!!!!!
图( &$
由此%我们可以得出这样的结论*
%个位置确定的小方块%黑白格子的排列方案有!!!!种情形"
某种二维码尺寸为&$ #&$%共有'&$个小方块%除去用于定位'纠错等功能
的方块之外%最终剩下*")个小方块%总共可以组合成多少种不同的二维码-
同学们如果想进一步了解二维码的发展历史和制作原理%可以查阅资料%并
与同伴进行交流"
!"#$近似数$!!
小结·评价
!!一! 知识体系
ᰵ)᪜
,ڟẮᔡ
๓ᄻ!D
Ꮐ*
D0
D0ᒷ
"݅
 B᪜
᪜D
, ᪜ȟ4ᄥը
ߌۻ
΄K
΄᫥
ϐᢎᒷ
3 ᒷܲ
Fᒷ
.႒@᪜"
DѨ᪜
!!二! 回顾与思考
(%什么是有理数! 有理数可以如何分类!
&%规定了原点"正方向和单位长度的直线叫作数轴"结合数轴说一
说#什么是相反数和绝对值! 如何进行有理数的大小比较!
#%若& 为有理数#则
&
$
!!!!# & '+#
!!!!# & $+#
!!!!# & (+"
!&$ 第!章$有理数
1
!!*"有理数的运算
$(% 运算法则
运　算
两数同号
两数异号
符　号
绝对值
符　号
绝对值
两数中
一个为%
加法
乘法
!!减法可化为加法& 减去一个数#等于加上!!!!!!"
除法可化为乘法& 除以一个不为+ 的数#等于乘以!!!!!!"
乘方是相同因数的乘法"
$&% 运算律
设&# )# *是任意有理数#用式子表示下面运算律&
运　算
加　法
乘　法
交换律
结合律
分配律
!!$#% 运算顺序&!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
$%引入负数后的四则运算$加"减"乘"除% 与小学学习的有什么相同
和不同之处!
'%数轴是研究数学问题的重要工具#数形结合是学习数学的重要方
法"结合本章学习谈谈数轴是如何帮助你理解所学知识的"
"%从特殊到一般是数学中探索发现新知识的常用方法"请你举例说
明本章哪些知识的学习运用了这种方法!
!!三! 自评与互评
(%负数的引入帮助我们解决了什么问题! 谈谈你的看法"如果你是
小结!评价$!'
老师#你准备结合什么问题向学生解释算式& +# $+( 表达的意义! 与同
学交流你的想法"
&%参考教科书中的例题"习题#编制一道有理数混合运算$含加"减"
乘"除"乘方%的问题#同学之间相互解答#并交流计算过程"
复习题　　
!组
!"判断正误&
"(# 有理数分为正有理数和负有理数"
"!!#
"&# +&一定表示负数"
"!!#
"## +,+& ,$&"
"!!#
"*# "+##
#+ '+"
"!!#
""报纸上常出现进出口贸易'顺差(和'逆差( "查一查资料%说一说它们的
含义"
#"在数轴上表示下列各数%并用'-(号把它们连接起来"
+*% +% +(%$% (% ++%$% +'% -"% &%$"
$"比较下列各组数的大小&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"(# +"-+%('# 与+,++%('( ,$!!!!!!!!!
"&# +"+($# 与($$
"## ++%###与+(
# $
"*# ,+, ,与+,-, ,"
&""(# 在数轴上到原点的距离等于'个单位长度的点表示什么数!
"&# 求等式,& ,$,+$ ,中&的值"
!($ 第!章$有理数
1
'"计算&
"(# "+(+# -)$!!!!!!!!! "&# "+(## -"+#+#$
"## "+($# +&($
"*# "+#&# +"+#&#$
"$# &$ +"+&$#$
"'# +&
$
(
) # +$
&
(
) $
""# "+((# #(&$
")# "+,(# !(#$
",# +(
#
(
) ! +*
#
(
) $
"(+# &%$ !"+$#"
("判断正误&
"(# 两个数的积是正数%那么这两个数都是正数"
"!!#
"&# 负数的任意次方都是负数"
"!!#
)"计算&
"(# "%# +)%& -$%( +(%&$
"&# ($ ++( +"+(+ +*#,$
"## +&
# - +(
'
(
) + +(
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(
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) - +#
*
(
) !"++%&$#$
""# "+$'# !"+(& -)# -"+&# #$$ ")# +#
& +"+&#
& -"+##
# +&
#"
*"填空&
"(# ( 天文单位约为(%*,' 亿千米% (%*,' 亿用科学记数法表示应为
!!!!!!$!
"&# 截至&+&&年底%我国$#用户达$%'( 亿户%$%'( 亿用科学记数法表示
应为!!!!!!"
!%"用四舍五入法对下列各数按要求取近似值&
"(# )'+ *++"精确到千位#$!!!!!!"&# ,&%$,)"精确到百分位#"
!!"某冷冻厂的一个冷库的温度是+& $"现有一批食品需要在+&) $下冷
藏%如果该冷库每小时能降温* $%经过多长时间能降到所要求的温度!
小结!评价$!)
!""某数控机床在进行高精度加工时%要求环境温度范围是"&# .+%$# $"问&
"(# .+%$是什么意思!
"&# 环境温度最高是多少! 最低是多少!
!#"学校开运动会选拔男仪仗队员"身高以("$ %"为基准%高于基准记为正%低
于基准记为负"现有参选队员$ 人%量得他们的身高后%分别记为+$ %"%
+# %"% +( %"% & %"% # %""如果实际选拔男仪仗队员的身高标准为
("# /("" %""包括("# %"和("" %"#%那么上述$人中有几人可入选!
复习题　　
"组
!"若0(% 0& 分别是有理数1
(% 1
& 在数轴上对应的两点%我们就把1
(% 1
& 叫作
0(% 0& 的一维坐标"一般地%称,1
& +1
( ,为点0( 与点0& 之间的距离"根据
下列1
(% 1
& 的值%求,1
& +1
( ,的值"
"(# 1
( $$% 1
& $&$!!
"&# 1
( $&% 1
& $+$$
"## 1
( $'% 1
& $+#$
"*# 1
( $+#% 1
& $+'"
""%是正整数%求"-(#
% -"+(#
%
&
的值"
#"计算&
"(# ( +& -# +* -$ +' -- -,, +(++$
"&# ( +& -# +* -$ +' -- -,, +(++ -(+($
"## ( +& -# +* -$ +' -- -" +(#
%-(% "%为正整数#"
&*$ 第!章$有理数
1
第2 章
整式及其加减
&+&( 年* 月&, 日(( 时&# 分#我国空间站天和核
心舱在海南文昌航天发射场发射升空"天和核心舱在
轨飞行速度约"%') !"&'#绕行地球一周约需,+ "() "
天和核心舱绕行地球一周#约飞行多少千米! 天和核心
舱绕行地球% 周#约飞行多少千米!
在小学我们已经学习了用字母表示数#并会用含有
字母的式子表示简单的数量关系#这些式子都有哪些类
型! 这些式子可否进行相关的运算!
本章我们将学习代数式的相关概念，重点研究整
式的加减运算.
$ $&"
中国空间站天和核心舱发射升空
2.1
代数式
1. 用字母表示数
中国空间站模拟构型图
#问题$
#!在上一页引言中%天和核心舱绕行
地球一周约飞行!!!! !"%绕行地球% 周约飞
行!!!! !""!
#问题%
#!能被&整除的整数叫作偶数%不能
被&整除的整数叫作奇数"
设2表示任意一个整数%用含有2的式子表示'
!(" 任意一个偶数' !!!!(
!&" 任意一个奇数' !!!!"
#问题&
#!如图&
(%用长方形框任意框出某月份月历中#个数
"
!(" 若& $2%则)% *分别可表示为!!!!!!!!!用含2的式子表示"(
!&" &% )% *存在的等量关系是!!!!!!!!"
图& (
&#$ 第%章$整式及其加减
!!从上面的例子可以看出%用字母表示数%可以把一些数量关系更简明地表示
出来"把具体的数换成抽象的字母%使所得式子反映的规律具有普遍意义%从而
为叙述与研究问题带来方便"
　
练习
!"用所给字母表示下列图形的周长和面积的计算公式"
名　称
图形
用字母表示公式
周长（!）
面积（"）
正方形
3$*&
4 $&
&
三角形
梯!形
圆
""填空&
"(# 甲.乙两地相距5!"%一辆汽车以! !"&* 的平均速度从甲地到乙
地%走完全程共需要!!!!*$
"&# 圆锥的底面半径为6%"%高为7 %"%它的体积为!!!!%"
#$
"## 把& + 盐放入) + 水中%完全溶化后得到的盐水含盐的百分率为
!!!!$!
"*# 正方体的所有棱长之和为(&&%则它的体积为!!!!!!"
%"!$代数式$&$
#"填空&
"(# 如果&% )互为相反数%那么& -) $!!!!$
"&# 在图&
( 中%用长方形框任意框出月历一行里的* 个数
!!
&% )% *% 8 %则&% )% *% 8满足的等量关系是!!!!!!!!!"
2. 代数式
在前面%我们得到了式子*( *"&%% &2% &2+(% 2-"% & -*% &
&% 5
! % (
# !6
&7%
&
& -)等%像这样用加)减)乘)除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而
成的式子%叫作代数式"
单个的数或字母也是代数式"
在代数式中'
!(" 如果出现乘号%可以写成#*$或不写"数字与字母相乘时%数字写在字
母前%如*( *"& #%写成*( *"&%"字母与字母相乘时%相同字母写成幂的形式%
如&*&写成&
& "数字与数字相乘时%乘号#.$不能省略"
!&" 如果式中出现除法%如5!!%一般写成5
! 的形式"
在今后的学习中%为解决问题%常需要先把问题中的一些数量关系用代数式
表示出来%也就是列出代数式"
""
例1 !用代数式表示'
!(" 某商店上月收入1元%本月收入比上月的&倍还多$万元%该商店本月
收入为!!!!元(
!&" 一件&元的衬衫%降价(+!后%价格为!!!!元"
解!!(" &1-$+ +++"
!&" !( +(+!"&"
&%$ 第%章$整式及其加减
2
""
例2 !用代数式表示'
!(" 把&本书分给若干名学生%若每人$本%还剩余#本%求学生数(
!&" 某次高铁列车先以&,+ !"&*的速度运行& *%后以#(+ !"&* 的速度
运行) * "求它行驶的路程"
解!!(" 因为从&本书中去掉#本后%按每人$本正好分完%所以学生数为
& +#
$
"
!&" 该次高铁列车行驶的路程为!&,+& -#(+)" !""
""
例3 !说出下列代数式的意义'
!(" 如果圆珠笔每支售价& 元%练习簿每本售价) 元%那么#& -*) 表示
什么&
!&" 如果长方形的长)宽分别为&% )%那么!& -(")表示什么&
解!!(" #支圆珠笔与*本练习簿的总金额"
!&" 长为& -()宽为)的长方形的面积"
　
练习
!"用代数式表示&
"(# 购买单价为&元的贺年卡%张%付出$+元%应找回
!元$
"&# 女儿今年1岁%妈妈的年龄是女儿的# 倍%# 年后妈妈的年龄是
!!!!!!岁$
"## 苹果每千克售价9 元%买$ !+ 以上, 折优惠"现买($ !+%应付
!!!!!!元$
"*# 被#除所得的商为%.余数为&的整数为!!!!!!"用%表示#"
""用代数式表示&
"(# 一桶质量为:!+ 的盐水%含盐为9!%则这桶盐水中水的质量为
多少!
%"!$代数式$&!
! "&# 某超市一种品牌的矿泉水进价为每瓶&元%零售时每瓶加价&+!%
每瓶的零售价是多少元!
"## 长方体的长为# "%宽和高都是& "%则这个长方体的体积是
多少!
#"如图%一组有规律的图案中%第(个图案由*个基础图形组成%第&个图
案由"个基础图形组成%--%则第%"% 是正整数#个图案由多少个基
础图形组成!
!("
!!
!&"
!!
!#"
!+
"第#题#
观察
观察代数式*&% &
&% (
# !6
&7% +;"它们都有什么特点-
这些式子都是数与字母的积%像这样的代数式叫作单项式%其中*% (% (
# !%
+(分别是*&% &
&% (
# !6
&7% +;的系数"单项式的系数是(或+(时%#($ 省略
不写"
单个的字母或数也是单项式%如&% "等"
一个单项式中%所有字母的指数之和叫作这个单项式的次数"如*&% +;的
次数都是(%而&
&% (
# !6
&7的次数分别是&% #"
&&$ 第%章$整式及其加减
2
思考
代数式&1-#% ) -&% &) -&*% <+&% (++& -(+) -(+*"它们是单
项式吗-
它们不是单项式%是几个单项式的和%像这样的代数式叫作多项式"
在多项式里%每个单项式叫作多项式的项%其中不含字母的项叫作常数项"
如*&
& +& -"中% *&
&% +&和"都是它的项%其中"是常数项"
一个多项式含有几项%这个多项式就叫作几项式"一个多项式里%次数最高
的项的次数叫作这个多项式的次数%如*&
& +& -"是二次三项式"
单项式与多项式统称为整式"
""
例4 !写出下列单项式的系数和次数'
+($&
&)% 1;% &
# &
&)
&% +&% (
& &7"
解!
单项式
+($&
&)
1;
&
# &
&)
&
+&
(
& &7
系　数
+($
(
&
#
+(
(
&
次　数
#
&
*
(
&
""
例5 !下列多项式分别是几次几项式&
&
# 1+(
& ;% *&
& +&) -)
&% 1
&;
& +(
# 1;+("
%"!$代数式$&'
解! &
# 1+(
& ;是一次二项式"
*&
& +&) -)
& 是二次三项式"
1
&;
& +(
# 1;+(是四次三项式"
　
练习
!"判断正误&
"(# 1是一次单项式"
"!!#
"&# +(不是单项式"
"!!#
"## 单项式1;没有系数"
"!!#
"*# &
#1
& 是五次单项式"
"!!#
"$# #1-;是二次二项式"
"!!#
""填表&
单项式
+"&
#
$ 1
&;
#
:
+%#1;
&&)
+1
&;
系　数
次　数
#"下列多项式是几次几项式! 指出它们的最高次项和常数项"
"(# +&1-($ !!!!!!!
"&# #1+*1
& +($
"## 1
& +1;-;
&$
"*# +:% +:-&"
&($ 第%章$整式及其加减
2
3. 代数式的值
思考
图& &
!!松手释放一个小球%让它从高处自由落下#图&
&$%
测得它下落的高度7与时间=的有关数据如下表*
#$+
(
&
#
%$,
(
& #,%) #(
(
& #,%) #*
(
& #,%) #,
#$+
*
$
+
%$,
(
& #,%) #('
(
& #,%) #&$
+
!!#($ 观察表中的数据%你发现有什么规律-
#&$ 用含=的式子表示7%并求出=$(+ '时的7值"
我们可以发现%下落高度7与时间=符合如下规律' 7 $ (
& #,%) #=
&"当
=$(+ '时%下落高度为(
& #,%) #(+
& $*,+!"""
像这样%用数值代替代数式里的字母%按照代数式中字母的运算关系计算得
出的结果叫作代数式的值"
""
例6 !当1$+#% ;$&时%求下列代数式的值'
!(" 1
& +;
&(!!!!!! !&" !1+;"
&"
解!当1$+#%;$&时%
!(" 1
& +;
& $!+#"
& +&
& $, +* $$"
!&" !1+;"
& $!+# +&"
& $!+$"
& $&$"
%"!$代数式$&)
!!""
例7 !某堤坝的横截面是梯形!图&
#" "测得该梯形的上底& $() "%
下底) $#' "%高7 $&+ ""求这个堤坝的横截面面积"
!("
!
!&"
图& #
解!梯形的面积公式是
4 $(
& !& -)"7%
将& $() "% ) $#' "% 7 $&+ "代入上面的公式%得
4 $(
& !& -)"7
$(
& #!() -#'" #&+
$$*+!"
&""
答' 这个堤坝的横截面面积是$*+ "
& "
　
练习
!"填图&
"第(题#
'*$ 第%章$整式及其加减
2
""如图%一枚玉璧的形状可看作一个圆环%外圆与内圆的半径分别是>
和6"!
"(# 用代数式表示圆环的面积$
"&# 当>$$ %"% 6$& %"时%圆环的面积是多少"!取#%(*#!
曾侯乙墓出土玉璧
!!
"第&题#
#"设甲数是1%乙数是;"
"(# 用代数式表示甲.乙两数和的平方$
"&# 用代数式表示甲.乙两数的平方和$
"## 当1$+&% ;$+(时%计算上面"(#和"&#两题所列代数式的值"
　　习题2%1
!"填空&
"(# 如果&+ !+种子售价&元%那么:!+种子的售价是!!!元$
"&# 某旅游景区有自行车出租%前& * 每辆每小时收租金(+ 元%以后每小时
收租金&元%那么一辆自行车出租$ *应收租金!!!!元"
""填空&
"(# 若三个连续整数中%中间一个整数是%%则其余两个整数分别是!!!和
!!!$
"&# 若&%是偶数%则与它相邻的偶数是!!!!!!!!!"
%"!$代数式$'"
#"某商品实行)折优惠"
"(# 如果它的原价为1元%求优惠价$
"&# 如果优惠价为1元%求原价"
$"如图%求图中阴影部分的面积"
!("
!!!!!!
!&"
"第*题#
&"已知代数式&
#1% $
& &)% +;% & -)% ( -1
& +#1% +&=
&% #1+(
& % :
& +("
"(# 其中哪些是单项式! 分别指出它们的系数和次数$
"&# 其中哪些是多项式! 它们分别是几次几项式! 如果有常数项%那么常
数项各是什么!
'"当1$(
& % ;$+&时%求下列代数式的值&
"(# &1
& +;-&$!!!!!!!!!!
"&# *1
& -1;-&"
("将& $+)% ) $#% *$&% 8 $+*分别代入"& +)# +"*+8 #和& +) +*-8
两个式子%计算结果%看看它们是否相等"再任给&% )% *% 8赋若干组你喜
欢的值%代入上面式子中%计算结果"从中你能得到什么结论!
)"从山脚起每升高(++ "%气温降低+%' $"已知山脚的气温是&' $%高出山
脚1"处的气温是多少! 高出山脚)++ "处的气温是多少!
'#$ 第%章$整式及其加减
2
"第,题#
*"一种放铅笔的,形槽如图所示%从下向上数%第一层
放(支%第二层放& 支%每层比下一层多放( 支"只
要数一数顶层的支数%%就可以用代数式%"% -(#
&
算
出槽内铅笔的总数"当% $'% % $(&时%分别计算槽
内铅笔的总数"
!%"某商店出售一种商品%其数量1与售价;之间的关系如下表"表中+%& 元是
包装费#&
数量& $件
(
&
#
*
+
售价'$元
&%# -+%&
*%' -+%&
'%, -+%&
,%& -+%&
+
"(# 写出用数量1表示售价;的代数式$
"&# 求&+件这种商品的售价$
"## 若客户购买这种商品花费了&#%&元%则该客户购买了多少件!
%"!$代数式$'$
2.2
整式加减
#问题
#!在甲)乙两面墙壁上%各挖去一个圆形空洞设置排气管道%其余部分
刷上油漆"请根据图中尺寸!图&
*"算出'
!(" 两面墙上油漆面积一共有多大&
!&" 较大的一面墙比较小的一面墙油漆面积大多少&
图& *
1. 合并同类项
解答上面问题!("%可以先算两个长方形墙面的面积之和&&) -&)%再减去
两个圆面积之和!6
& -!6
&%得两面墙上油漆面积共为&&) -&) +!!6
& -!6
&""
观察
&&) -&)中的两项&&)和&)% !6
& -!6
& 中的两项!6
& 和!6
&%它们有
什么共同特征-
&&)与&)都含有字母&和)%并且&的指数都是(%)的指数也都是((!6
& 与
!6
& 都含有字母6%并且6的指数都是& "像这样%所含字母相同%并且相同字母
的指数也分别相同的项叫作同类项"常数项与常数项是同类项"
'%$ 第%章$整式及其加减
在多项式中遇到同类项%可以运用加法交换律)加法结合律)分配律进行合
并%如
!*1
& -&1+( +#1
& -#1-&
$*1
& +#1
& -&1-#1+( -&
$!* +#"1
& -!& -#"1-!+( -&"
$1
& -$1-("
把多项式中的同类项合并成一项%叫作合并同类项"
合并同类项的法则是'
!!同类项的系数相加"所得结果作为系数"字母和字母的指数不变(
依据以上法则%计算!&&) -&)" +!!6
& -!6
&" $!!!!!!!!"
""
例1 !合并同类项'
!(" *&
& -#)
& +&&) +#&
& -)
&(
!&" #& -&)*+(
# *
& +#& -(
# *
& +&&)*"
解!!(" *&
& -#)
& +&&) +#&
& -)
&
$*&
& +#&
& +&&) -#)
& -)
&
$!* +#"&
& +&&) -!# -(")
&
$&
& +&&) -*)
&"
!&" #& -&)*+(
# *
& +#& -(
# *
& +&&)*
$#& +#& +(
# *
& -(
# *
& -&)*+&&)*
$!# +#"& - +(
# -(
#
(
) *
& -!( +&"&)*
$+&)*"
%"%$整式加减$'!
　
练习
!"下列各题中的两项是不是同类项!
!!!!!!!!!!!!!!!
"(# #&
&)与#&)
&$
"&# 1;与+1;$
"## *&)*与*&*$
"*# +#与(
# "
""下列合并同类项的结果是否正确! 若不正确%请给出正确结果"
"(# $1
& -'1
& $((1
*$
"&# $1-&1$"1
&$
"## $1
& +#1
& $&$
"*# ('1;+(';1$+"
#"合并同类项&
"(# +)1-)1$!!!!!!$
"&# +& +"& -#& $!!!!!!$
"## (
# 1;
& +&;
&1$!!!!$
"*# &)*+*
# &)*-(
# &)*$!!!!"
2. 去(添)括号
思考
本节问题#&$的解答%就是求整式&&) +!6
& 与&) +!6
& 的差*
#&&) +!6
&$ +#&) +!6
&$"
要计算上式%先要去括号"如何去括号呢-
上式中% !&&) +!6
&" $! -(" #!&&) +!6
&"
$! -(" #&&) +! -(" #!6
&
!分配律"
$&&) +!6
&"
'&$ 第%章$整式及其加减
2
+!&) +!6
&" $! +(" #!&) +!6
&"
$! +(" #&) +! +(" #!6
&
!分配律"
$+&) -!6
&"
一般地%我们有如下去括号法则'
--!(如果括号前面是#.$号"去括号时把括号连同它前面的#.$号去掉"括
号内的各项都不改变符号(
"(如果括号前面是#/$号"去括号时把括号连同它前面的#/$号去掉"括
号内的各项都改变符号(
根据以上法则得
!!&&) +!6
&" +!&) +!6
&"
$&&) +!6
& +&) -!6
&
$&&) +&) +!6
& -!6
&
$!& +("&) -! +( -("!6
&
$&)"
""
例2 !先去括号%再合并同类项'
!(" )& -&) -!$& +)"(
!&" & -!$& +#)" +&!& +&)""
解! !(" )& -&) -!$& +)"
!!! $)& -&) -$& +)
!!! $)& -$& -&) +)
!!! $!) -$"& -!& +(")
!!! $(#& -)"
%"%$整式加减$''
!! !&" & -!$& +#)" +&!& +&)"
$& -!$& +#)" +!&& +*)"
$& -$& +#) +&& -*)
$& -$& +&& -*) +#)
$!( -$ +&"& -!* +#")
$*& -)"
　
练习
!"去括号&
"(# 1-"+;-##$!!!!!!!!! "&# 1+"# +;#$
"## 1+" +;-##$
"*# # +"1+;#"
""判断下列去括号有没有错误%若有错误%请改正"
"(# 1
& +"#1+&# $1
& +#1+&$
"&# "& -"$) +(# $"& -$) -($
"## &:
& +"#:-$# $&:
& +#:+$$
"*# +"& +)# -"&) +(# $+& +) -&) +("
#"先去括号%再合并同类项&
"(# "*&) +&
& +)
&# +"+&
& -)
& -#&)#$
"&# 1-"+( +1# +&"&1+*#"
在解答本节的问题!("时%也可以先分别算出甲)乙两面墙的油漆面积再求
和%这时就需要先去括号)后添括号%即
! !!&&)+!6
&" -!&)+!6
&"
$&&) +!6
& -&) +!6
&
$&&) -&) +!6
& +!6
&
$!&&) -&)" +!!6
& -!6
&"
$#&) +&!6
&"
'($ 第%章$整式及其加减
2
添括号法则'
添括号是否
正确%可以用去
括号法则检验"
--!(所添括号前面是# .$号"括到括号内的各项
都不改变符号(
"(所添括号前面是# /$号"括到括号内的各项
都改变符号(
　
练习
!"在下列各题的括号内%填写适当的项&
"(# & +) -*+8 $& -"!!!!#$
"&# & +) +*-8 $& +"!!!!#$
"## & +) +*-8 $& -"!!!!# -8$
"*# & +) -*+8 $& +) +"!!!!#"
""下列添括号有没有错误! 若有错误%请改正"
"(# & +&) +#:-% $& +"&) +#:-%#$
"&# :+&% -& +) $:-"&% -& +)#$
"## 1+&& +*) -;$"1+&&# +"*) +;#$
"*# & +&) -*+( $+"& -&) +*-(#"
#"不改变多项式1
# +1
&;-1;
& +;
#的值%按下面的要求把它的后两项用括
号括起来&
"(# 括号前带有'/(号$!!!!!
"&# 括号前带有'0(号"
%"%$整式加减$')
3. 整式加减
通过前面的研究我们知道%整式加减运算可归结为去括号)合并同类项"
""
例3 !求多项式* +$1
& -#1与+&1-"1
& +#的差"
解!!* +$1
& -#1" +!+&1-"1
& +#"
$* +$1
& -#1-&1+"1
& -#
$!+$1
& +"1
&" -!#1-&1" -!* -#"
$+(&1
& -$1-""
整式加减的运算结果%通常将多项式按照某个字母!如1"的指数从大到小
!或从小到大"依次排列%这种排列叫作关于这个字母!如1"的降%升&幂排列"
例#的结果是按照1的降幂排列"
""
例4 !先化简%再求值"
$&
& +,&
& +!&& +$&
&" +&!&
& +#&"-% 其中& $*"
例*还可以怎
样化简-
!!解!原式$$&
& +!&
& +&& -$&
& +&&
& -'&"
$$&
& +!*&
& -*&"
$$&
& +*&
& +*&
$&
& +*&"
当& $*时%原式$&
& +*& $*
& +* #* $+"
　
练习
!"计算&
"(# +#& -"+&&
&# +"+&&# +#&
&$
"&# +(
# 1;
(
) - +&
$ 1
&
(
) +(
& 1
& + +(
' 1;
(
) "
(*$ 第%章$整式及其加减
2
"""(# 求#1
& +&1-(与# +&1
& +1的和%结果按1的降幂排列$
"&# 求" +&1-1
& 与$ -#1+&1
& 的差%结果按1的升幂排列"
#"求值& +& +"&& +#) -(# +"#& -&)#%其中& $+#% ) $+&"
　　习题2%2
!"合并同类项&
"(# +)1-'1+1$!!!!!!!! "&# *&) +$&) -&&)$
"## &1
& -1+1
& +1$!!
"*# #1
& +' -*1+'1+&1
& -$"
""把下列多项式先按1的降幂排列%再按1的升幂排列&
"(# (#1+*1
& +&1
# +'$
"&# #1
&;+#1;
& -;
# +1
#"
#"先去括号%再合并同类项&
"(# #& +) -"$& +#) -##$
"&# "&) +#&# +"&& +#) -(#$
"## *1
& -&"1
& +;
&# +#"1
& -;
&#"
$"在下列各式的括号内填上适当的项&
"(# && -&
& +)
& $&& -"!!!!#$
"&# * +&
& -&&) +)
& $* +"!!!!#$
"## & -) +&
& -)
& $& -) +"!!!!#"
&"计算&
"(# "#& -&) -)*# -"&& +#) +$*#$
"&# "&1;-1
& +;
&# +"1
& +;
& +#1;#$
"## #1
& ++$1-"*1+$# +,1
&,"
'"先化简%再求值&
"(# &"& +&) -#*# +#"& +) -*#%其中& $(% ) $&% *$+($
"&# "&1;+1-;# +#";+1+1;#%其中1$+(% ;$("
%"%$整式加减$("
　
　数学活动
探索规律
(%一个两位数%个位上的数字为&%十位上的数字为) "
#($ 这个两位数可以用代数式表示为!!!!+!
#&$ 如果& -)能被#整除%那么这个两位数能被#整除吗-
写出你发现的规律"
&%任意写一个三位数%比如*(, "然后把这个三位数重写一次与它并排构
成一个六位数%如*(, *(, "对于这个六位数%先用" 去除%把得到的商用(( 去
除%对第二次得到的商再用(#去除"这时%你得到怎样的结果-
再写几个三位数%按上述步骤试试"
你有什么发现- 试说明其中的道理"
　
　数学拓展
归纳推理
用一些相同的小正方形%排成如下的一些大正方形图案%如图&
$ "
!("!! !&" !! !#"
!!
!*"
!!
!$"
!
+
图& $
("把每个图中一边上的小正方形个数和有阴影的小正方形的个数填入
表中*
(#$ 第%章$整式及其加减
2
图号（)）
(
&
#
*
$
+
2
+
一边上小正方形个数（)）
(
&
#
+
+
阴影小正方形个数（*)）
(
#
$
+
+
!!&"第(个图中小正方形只有(个%且有阴影%记作4( $("把第(个图并入
第&个图%这时第&个图中阴影小正方形数就是前面两个图中阴影小正方形数
的和* &( -&& $( -# $*"我们把这个和&( -&& 记作4&%即
4& $&( -&& $( -# $&
&"
把第(%&两个图中的阴影部分一起并入第# 个图%这时第# 个图中的阴影
小正方形数就是前面三个图中阴影小正方形数的和%记作4#%即
4# $&( -&& -&# $( -# -$ $, $#
&"
下面%请你观察图后%归纳并猜想结果*
!!!!4( $&( $(%
4& $&( -&& $( -# $&
&%
4# $&( -&& -&# $( -# -$ $#
&%
4* $!!!!!!!!!!!!!!%
4$ $!!!!!!!!!!!!!!%
,,
4% $!!!!!!!!!!!!!!"
像这样%根据某类事物的部分对象具有的某种性质%推出这类事物的所有对
象都具有这种性质的推理%叫作归纳推理"
%"%$整式加减$($
思考
("观察下面两列数%通过归纳%给出每个序列中的后续项*
#($ (% &% *% )% ('% #&%!!% !!+
#&$ &+% ()% ('% (*% (&% (+%!!% !!"
&"平面内&条直线'#条直线'*条直线最多有几个交点- %条呢-
对于科学发现%归纳推理是十分有用的"通过观察'实验%对有限个对象的
性质作归纳整理%提出对某类事物带有规律性的猜想%是科学研究的基本方法
之一"!
　
　数学史话
数学符号
在古代%要记录'说明'解决一个数学问题%通常要采取刻痕'画图或写字等
方式表达"!
图& '
图&
'是埃及出土的(莱茵德纸草书)#约公元前('$+年$上的问题"用现
在的数学符号来表示%就是下面这道数学题"
&
# -(
& -(
" -(
(
) 1$#""
我国在商代创立了甲骨文的(+进非位值制记数法"此后%大约在春秋时期
#公元前""+年至公元前*"'年$又创造了一种筹算的(+ 进位制记数法"所谓
(%$ 第%章$整式及其加减
2
(筹算)是用一种叫算筹的运算工具来进行数字运算的方式%正如用珠算盘进行
运算称为珠算一样"算筹通常用竹制成%形如细筷%但要短些"汉时算筹长约
(# %"%后来逐渐改短增粗"算筹是我国独创的一种计算工具"在明代珠算盘被
普遍使用之前%我国古代一直是用算筹来进行数字运算%并创造出卓越数学成
就的"!
用算筹摆出的数字有纵横两种形式"
记数时%个位常用纵式%之后横纵相间%如' (*#的筹式是
"
如遇零%便空一位%如#+'的筹式是
"这种记数法实质上就是现在我们
采用的(+进位制记数法%是科技史上的一大发明"
韦达
数学符号系统化首先归功于法国数学家韦达#,(-./%
($*+&('+#$ "他受古希腊数学家丢番图#0(12*/).3'%公
元&$+年前后$在著作中采用了一些符号的启发%第一次
有意识地系统使用代数字母与符号"其后%奥特雷德
# 43+*.5-6% ($"*&(''+ $' 笛卡儿# 0-'%/5.-'% ($,'&
('$+$'莱布尼茨# 7-(8)(9%('*'&("('$'牛顿# :-;.1)%
('*#&("&"$'欧拉#<3=-5%("+"&(")#$等数学家对数学
符号系统的完善都作出过很多贡献"我们今天所使用的
符号实际上是经过历代数学家长期实践后所留下来的"
数学符号系统的建立对于数学本身的发展及其应用是至关重要的"今天%
数学符号已经成为全世界通用的语言"
%"%$整式加减$(!
小结·评价
!!一! 知识体系
,ڟẮᔡ
ߌۻD0
 Mᐻ
ๆMᐻ
 Ꭲ 1M
 U#U᠘ 
Џ᪜ᐻ
᪠ᐻ
!!二! 回顾与思考
(%用加"减"乘"除"乘方等!!!!符号把数或表示数的!!!!连
接而成的式子#叫作代数式"单个的数或!!!!也是代数式"
&%只含有数字与! !!乘积的式子叫作单项式"单个数或! !!
也是单项式"几个单项式的和叫作多项式"单项式与多项式统称为
!!!!"!
#%结合具体例子说明用数学符号表示的数学结论具有普遍意义"
*%合并同类项"去括号的依据是什么! 试举例说明"
$%整式加减运算的实质是什么! 它与有理数的加减有什么区别与
联系!
!!三! 自评与互评
(%用数学符号可以表示数量关系"解决问题时你能否主动这样做!
&%在进行整式加减运算时#要注意哪些问题! 编几道整式加减问题#
对你的同伴进行测试"
(&$ 第%章$整式及其加减
2
复习题　　
!组
!"填空&
高精度数控蜗轮加工机床
"(# 小麦播种前每公顷土地施肥)++ !+ 作底肥%若
这种底肥价格为每千克&%"$ 元%则给& *"
&
土地施底肥共需花费!!!!元$
"&# 某工厂(+月份生产机床&台% ((月份比(+月
份增产(+!%则((月份生产机床!!!!台"
""用代数式表示&
"(# 宽为& %"%长比宽多& %"的长方形的周长$
"&# 长为& %"%周长为&+ %"的长方形的面积"
#"设;$# +&1%将对应的;值填入表中&
&
+(
+ (
&
+
(
&
(
#
&
&
'
$"某初级中学的七.八.九各年级的学生数之比是* ># >#%已知全校学生数为
:%那么七年级学生数是多少!
&"一个三位数的百位上的数字是&%十位和个位上的数字组成的两位数为1%用
代数式表示这个三位数"
'"某种药品的原价为9元%连续两次降价(+!后%售价是多少元!
("下列代数式中%哪些是单项式! 哪些是多项式! 把它们填在相应的框中"
#1% +$% 1-(
& ;% 1
& -;
&% $
& 1
&;% &1+;% )
& +*&*"
小结!评价$('
)""(# 指出下列单项式的系数和次数&
+*1
&;
&% &&)
# % &&% +&)
&$
"&# 指出下列多项式的项数和次数&
&
& -&& +(% =+(% 1
& +&1;+;
& -("
*"填空&
"(# 多项式&) -)
& +&
& -(按字母&的降幂排列为
!$
"&# 代数式#1
&;% +&1;
&% (
& 1;% +1
&;% #1中%与$1
&;是同类项的有!!!!
!!!!!!$
"## &
& +1
& -&1+( $&
& +"!!!!#$
"*# 1
& +";
& +1-;# $1
& +;
& -"!!!!#$
"$# "&& +) -*#"&& -) +*# $+&& +"!!#,+&& -"!!#,"
!%"计算&
"(# #"&
& +&&)# +"+&) -)
&#$
"&# +&"&1
& +1-*# -#"1
& +&1-##"
!!"求值&
"(# "#1
& +&# +"*1
& +&1+## -"&1
& +(#%其中1$+&$
"&# #1
&;++&1
&;+"&1;?+1
&?# +*1
&?, +1;?%其中1$+&% ;$+#%
?$ ("!
!""某体育场看台第(排有&个座位%后面每排比前一排多&个座位%第&排.第
#排.第*排各有几个座位! 如果第%排的座位数为:%那么:是多少! 当
& $&+% % $(&时%求:的值"
(($ 第%章$整式及其加减
2
国家体育场/鸟巢
复习题　　
"组
!"某人购买?% @% A三种商品%所用金额之比是( >(%$ >&%$"若购买@商品的
金额为1元%求购买三种商品的总金额"
""甲.乙两地相距1!"%汽车从甲地到乙地%速度为"+ !"&* "如果汽车每小时
多行(+ !"%可以提前多长时间到达乙地!
#"根据公式5$5
+ -!=填写下表&
+
+
%
!
=
#+
(&
*
(&+
'+
&
"$
($
(&
(*+
&+
*+
$"某房产公司卖出?% @两套公寓%均售得&万元%其中公寓?亏本&+!%公寓
@盈利&+!"
"(# 用代数式表示公寓?% @的成本价$
"&# 设房产公司在这两笔交易中的盈亏为9 万元"写出用& 表示9 的代数
式%并说明& $(&+时的盈亏情况"
复习题　　
'组
!"下图是花朵摆成的三角形图案%每条边上有%"% '(# 个点"即花朵#%每个图
案的总点数"即花朵总数#用4表示"
"(# 观察图案%当% $'时%4 $!!!!$
"&# 分析上面的一些特例%你能得出怎样的规律! "用%表示4#
小结!评价$()
"## 当% $(++时%求4 "
"第(题#
""探索, #%的数字规律"%为正整数#"
"(# 当& # % # ,时%记, #% $&)% &)表示两位数(+& -)%如() $(+ -)"
猜想&% )与%的关系%得& $!!!!% ) $!!!!$
"&# 说明上面猜想的正确性$
"## 计算, #(&% , #(#% -% , #(,%记, #(% $&)*"& # % # ,#% &)*表示
三位数(++& -(+) -*%观察计算结果%猜想) $!!!!% *$!!!!
"用含%的代数式表示#"
)*$ 第%章$整式及其加减
2
第3 章
一次方程与
方程组
今有雉兔同笼!上有三十五头
下有九十四足!问雉兔各几何
'雉$鸡%兔同笼(是一个广为流传的中
国古算题#十分有趣#你会解吗!
方程是解决问题的一种重要数学模型#
应用非常广泛"
本章我们主要学习一元一次方程和二
元一次方程组，以及如何应用它们解决实
际问题.
$ $)"
3.1
方程
北京冬奥会开幕式&中国代表团入场
#问题$
#!在参加&+&&年北京冬奥会的中
国代表队中%自由式滑雪运动员有&( 人%比花
样滑冰运动员的#倍少#人"参加本届冬奥会
的花样滑冰运动员有多少人&
设参加冬奥会的花样滑冰运动员有1人%
根据题意%得#1+# $&("
#问题%
#!王玲今年(&岁%她的爸爸#'岁"再过几年%她爸爸年龄是她年
龄的&倍&
你能用算术方法解决这个问题吗&
设再过1年%王玲爸爸的年龄是她年龄的&倍"这时王玲的年龄是!(& -1"
岁%她爸爸的年龄是!#' -1" 岁"根据题意%得#' -1$&!(& -1""
#问题&
#!已知长方形的面积为()+ "
&%其中长比宽多# "%求长方形的宽是
多少"
设宽为1"%则长为!1-#"""根据题意%得1!1-#" $()+"
有些问题用算术方法解决并不容易"我们可以用1% ;% ?这样的字母来表
示未知数%然后根据问题中的等量关系%写出含有未知数的等式"像#1+# $&(%
#' -1$&!(& -1"% 1!1-#" $()+这样%含有未知数的等式叫作方程"
对于方程#1+# $&(%
当1取"时%代入原方程左边%得
#1+# $()(
)#$ 第&章$一次方程与方程组
当1取)时%代入原方程左边%得
#1+# $&((
当1取,时%代入原方程左边%得
#1+# $&*"
我们发现%当1取)时%方程的左边等于右边(当1取"或,时%方程的左边
不等于右边"
使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解"比如1$) 就是方程
#1+# $&(的解"
求方程的解的过程叫作解方程"
""
例1 !根据题意%设未知数并列出方程"
!(" 已知长方形的周长是(' %"%长比宽多& %"%则这个长方形的长是多少&
!&" 把若干本书发给学生"如果每人发*本%还剩下&本(如果每人发$本%
还差$本"共有多少名学生&
解!!(" 设这个长方形的长是1%"%则宽是!1+&"%"%
根据题意%得
&,1-!1+&"- $('"
!&" 设共有;名学生%
根据题意%得
*;-& $$;+$"
　
练习
!"根据题意%设未知数并列出方程"
"(# 小华的年龄是&(岁%小华的年龄比小强年龄的&倍小$岁%求小强
的年龄$
&"!$方程$)$
! "&# 某班$+名学生集体看电影%买电影票共花费( #$+元"电影票有单
价&$元和单价#+元两种"这两种电影票各买了多少张!
"## 足球比赛的计分规则为& 胜一场得#分%平一场得(分%负一场得+
分"一支球队打了(*场比赛%负$场%得(,分%那么这支球队胜了多
少场!
""下列各数中%哪些是方程1"1-## $()+的解!
+($% +(&% (&% ($"
要得到方程的解%我们就要讨论如何解方程"
对于方程1-& $*% #1$'%你能用所学知识求出它们的解吗&
方程是等式%解方程的过程实际上就是等式的变形过程"为了进一步讨论
解方程%我们先来看看等式有什么性质"
观察
如图#
(%在一台天平两端的托盘中分别放置了质量为&% )的物体%
天平平衡%这直观地说明& $)"
这时%如果在两端托盘中同时加上质量为*的物体%天平还保持平衡
吗- 反映的数量关系是什么呢-
图# (
)%$ 第&章$一次方程与方程组
3
如图#
&%天平还保持平衡吗- 这又反映了怎样的数量关系呢-
图# &
等式有如下基本性质'
性质1!等式的两边都加上!或减去"同一个整式%所得结果仍是等式%即
如果* ,-"那么* ./,- ./" * 0/,- 0/(
性质2!等式的两边都乘以!或除以"同一个数!除数不能为+"%所得结果
仍是等式%即
如果* ,-"那么*/,-/" *
/,-
/%/$ %&(
性质3(对称性)-如果* ,-"那么- ,*(
例如%由+* $1%得1$+*"
性质4(传递性)-如果* ,-" - ,/"那么* ,/(
例如%如果;$1% 1$#%那么;$#"
根据等式这一性质%将一个量用与它相等的量代替%称为等量代换"
下面%我们利用等式的基本性质解简单的方程"
&"!$方程$)!
""
例2 !解方程' #1+# $&("
解!两边都加上#%得
!!!!!!!!!! #1$&( -#%!!性质("
即
#1$&*"
两边同除以#%得
1$)"!!性质&"
检验' 把1$)代入原方程%得
左边$# #) +# $&(%
右边$&(%
左边$右边"
所以1$)是原方程的解"
　
练习
!"指出下列等式变形的依据"
"(# 如果$1-# $"%那么$1$*$
"&# 如果+)1$*%那么1$+(
& $
"## 如果+$& $+$)%那么& $)$
"*# 如果#1$&1-(%那么1$($
"$# 如果++%&$ $1%那么1$++%&$$
"'# 如果1$;% ;$?%那么1$?"
""解方程并检验"
"(# $1+" $)$!!!"&# &" $" -*1$!!!"## (
& $(
# 1+(
' "
)&$ 第&章$一次方程与方程组
3
　　习题3%1
!"填空%并在括号内注明是根据等式的哪条基本性质变形的"
"(# 如果1-" $(+%那么1$(+ +!!"
"!!!!!!#
"&# 如果1
& $#%那么1$!!"
"!!!!!!#
"## 如果&1+&
# $+&
# %那么&1$!!"
"!!!!!!#
"*# 如果+*1$&%那么1$!!"
"!!!!!!#
""根据等式的基本性质解下列方程%并检验"
"(# 1-" $*$!!!!!!!!!! "&# $1$*1-#$
"## +&1$'$
"*# +%$1-( $#"
#"在解方程1+& $#时%小华的求解过程如下&
1+& $# $1$# -& $$"
这样写对不对! 为什么! 应该怎样写!
$"根据题意%设未知数%列出方程"
"(# 小赵为班级买三副同样的羽毛球拍%付了#++ 元%找回($ 元"羽毛球拍
的单价是多少!
"&# 有宿舍若干间%如果每间住*人还空一间%如果每间住#人就有$人没有
床位"有多少间宿舍!
"## 某校七年级&*+名同学参加了美术.音乐和体育活动%每人只参加一项%
其中参加体育活动的人数是参加美术活动的人数的# 倍%参加音乐活动
人数是参加美术活动人数的&倍"参加美术活动的同学共有多少名!
&"!$方程$)'
3.2
一元一次方程
及其解法
方程的两边都是整式%这样的方程称为整式方程"
观察下面的方程'
#1+# $&(% #' -1$&!(& -1"% *;-& $$;+$"
它们有什么共同特征&
像这样%只含有一个未知数!元"%未知数的次数是(%且等式两边都是整式
的方程叫作一元一次方程"
一元方程的解也叫作根"
我们已经知道%利用等式的基本性质可以对等式进行变形"下面我们讨论
如何利用等式的性质解一元一次方程"
观察
仔细观察以下解答过程*
3
ᾪ3
21,

x
3
ᾨ3
21
.

x
你发现了什么-
根据等式的基本性质( 对方程进行变形%相当于把方程中某一项改变符号
后%从方程的一边移到另一边%这种变形叫作移项"
""
例1 !解方程' #1-$ $$1+""
解!移项%得
)($ 第&章$一次方程与方程组
#1+$1$+" +$"
合并同类项%得
+&1$+(&"
两边同除以+&%得
1$'"
""
例2 !解方程' &!1+&" +#!*1+(" $,!( +1""
解!去括号%得
&1+* +(&1-# $, +,1"
移项%得
&1+(&1-,1$, -* +#"
合并同类项%得
+1$(+"
两边同除以+(%得
1$+(+"
　
练习
!"下面的移项对不对! 如果不对%错在哪里! 应当怎样改正!
"(# 由, -1$"%得1$" -,$
"&# 由$1$" +*1%得$1+*1$"$
"## 由&;+( $#;-'%得&;+#;$' +("
""下面解方程的过程正确吗! 请说明理由"
解方程& #";+## +$"( -;# $"";+(#"
解!去括号%得
#;+# +$ -$;$";+("
&"%$一元一次方程及其解法$))
! 移项%得
#;-$;+";$+( -# +$"
合并同类项%得
;$+#"
#"解下列方程&
"(# $1-&( $" +&1$! !!!
"&# &1+(
& $+(
& 1-&$
"## +"$":-)# ++%'"&:+"# $(%,$
"*# #"&;-(# $&"( -;# -#";-##"
""
例3 !解方程' 1+(+1-(
'
$&1-(
*
+("
解!去分母%得
(&1+&!(+1-(" $#!&1-(" +(&"
去括号%得
(&1+&+1+& $'1-# +(&"
移项%得
(&1+&+1+'1$# +(& -&"
合并同类项%得
+(*1$+""
两边同除以0(*%得
1$(
& "
通过上面的例子可以看出%解一元一次方程就是根据等式的性质将方程变
形为&1$)!& $ +" 的形式%从而最终得到1$)
& "
"**$ 第&章$一次方程与方程组
3
　
练习
!!解下列方程!
"!# ""#!
#
$"#!
$
%%$&&&&& &
""# &$&$!
"
%$&#"
#
$
"$# $
"
!
' "$ "
$
(
) $""### %%$&
"(# $)" $""
%)$
%!)$ $$"
%)"
!
　　习题3)2
!!解下列一元一次方程!
"!# $"%!" #""$ &
""# $'"$* %$*"#!$
"$# #"#""#!# %!+$
"(# $""$*# ##""$(# %!#$
"## $' #"%""!" #"#!
"!解下列一元一次方程!
"!# !
"
!
" "$!
(
) $! %!$&
""# "#!
$
%""#!
(
$
"$# "$"
(
$""$!
'
%!$&
!"#$一元一次方程及其解法$!"!
"(# "#(
%)" $"$$
%)# %$!)'!
#!"等于什么数时%代数式' #"
$ 与# $""
" 的值相等&
$!在公式! %!% #'(中%已知! %!%%% !% %"#% ' %!%%求(的值!
%!在公式) %"!*"*#+# 中%已知) %+("% *%!%%求+的值!"!取$)!(#
&!已知"%#是方程'"$, %"% #'的解%求'的值!
!"#$ 第!章$一次方程与方程组
3
3.3
一元一次方程的应用
5
4
ᾥՋύᾷcmᾦ
图$ $
!!
例1 &如图$
$!李明同学从一张正方形纸片
上剪去一张宽为( !"的长方形纸条!再从剩下的长方
形纸片上剪去一张宽# !"的长方形纸条!如果两次
剪下的长方形纸条面积正好相等!那么原正方形的边
长为多少"
解&设正方形的边长是"!"!根据题意!得
("%##"$($!
解方程!得"%"%!
答%原正方形的边长为"% !"!
!!
例2 &某县举办越野赛!选手从起点出发!先沿着山区公路跑步到达补
给站!再登山到达比赛终点!张老师参加了这个比赛!他的相关数据如下表%
总距离!'(
跑步平均速度!'(·)
*!
登山平均速度!'(·)
*!
,)"
!%
$
&&已知张老师在补给站休息了!% "#$!用时!)# %完成了比赛!求补给站与起
点的距离!
解&设补给站离起点"&"!根据题意!得
"
!% # ,)" $"
$
%!)# $ !%
'% !
解方程!得"%'!
答%补给站与起点的距离为' &"!
!"!$一元一次方程的应用$!"$
交流
运用一元一次方程解决实际问题的基本过程是怎样的!
 ᭣ᬦᰃ
 ᭣ᬦᰃ
ᅨዳ 
 ዬᨸҀ፥ᾩӓӁ ኌ
 ᱬ
  ᬦᰃ
ᾥʷѩʷ  ኌᾦ
  ᬦᰃᅨឫ
ᾥʷѩʷ  ኌᅨឫᾦ
ឫ ኌ
列方程解应用题的一般步骤如下%
#!$ 弄清题意和题中的数量关系!用字母#如"! &$表示问题涉及的未知数&
#"$ 分析题意!找出等量关系#可借助示意图'表格等$&&
#$$ 根据等量关系!列出需要的代数式!并列出方程&
#($ 解这个方程!求出未知数的值&
##$ 检查所得的值是否正确和符合实际情形!并写出答案#包括单位$!
　
练习
列方程%解下列各题!
!!一种小麦磨成面粉%出粉率为,%!"即"%!成为麸子#!为了得到( #%% &'
面粉%至少需要多少小麦&
"!甲厂有钢材($" (%乙厂有钢材+' (!如果每天从甲厂运出"% (%乙厂运
出( (%几天后甲厂剩余的钢材是乙厂的"倍&
#!甲'乙两地相距!,% &" !一人骑自行车从甲地出发%每小时骑行
!# &"!另一人骑摩托车从乙地同时出发!两人相向而行!已知摩托
车车速是自行车车速的$倍!多少时间后两人相遇&
!"%$ 第!章$一次方程与方程组
3
&&!!
例3 &王大伯两年前把一笔钱作为" 年定期存款存入银行!年利率为
")"#!!到期后得到本息和!%( #%% 元#不计复利$ !王大伯当时存入银行多
少钱"
分析" 本题中涉及的等量关系有
本金"利率"期数#利息!
本金$利息#本息和%
解&设王大伯当时存入银行"元!"年的利息为" ,")"#!"元!
根据题意!得
"#" ,")"#!"%!%( #%%!
解方程!得
"%!%% %%%!
答% 王大伯当时存入银行!%% %%%元!
!!
例4 &某商店将一种书包按进价提高$%!作为标价!然后再按标价+ 折
出售!这样商店每卖出一个这种书包可盈利,)#% 元!这种书包每个进价是
多少"
分析" 买卖商品的问题中涉及的等量关系有
实际售价&进价"或成本# #利润%
解&设每个书包进价为"元!那么这种书包的标价为#! #$%!$"元!打+
折后的售价为+
!% ,#! #$%!$"元!
根据题意!得
+
!% ,#! #$%!$"$"%,)#%!
解方程!得"%#%!
答% 这种书包每个进价为#%元!
!"!$一元一次方程的应用$!"&
　
练习
!!爸爸为小亮存了一笔钱%为期" 年%年利率为")*#!!" 年后本息共
#( ,'%元!小亮爸爸当时存入了多少元&
"!一件夹克衫按进价加价#成即#
!%
(
)作为定价!后因季节关系%按定价的
,折出售%打折后每件卖'%元!夹克衫卖出后商家是赔还是赚&
!!
例5 &三支农机服务队共同为某镇抢收小麦$%% %"
" !如果三支服务队
收割小麦的面积之比为( -# -'!求他们分别收割小麦多少公顷!
分析" 小麦面积共有( ## #' %!#份#总计$%% %"
" !据此#得解法如下!
解&设收割小麦的面积每份为"%"
"!三支服务队收割面积分别为("%"
"!
#"%"
"! '"%"
" !根据题意!得
("##"#'"%$%%!
解方程!得
"%"%!
("%,%! #"%!%%! '"%!"%!
答% 三支服务队分别收割小麦,% %"
"! !%% %"
"! !"% %"
" !
注意" 本题中$设收割小麦的面积每份为"%"
"%属间接设未知数法!难以
直接设未知数时#常用这种方法!
　
练习
!!长方形的长与宽之比为# )"%周长为#' !"%求这个长方形的面积!
"!兄弟两人合伙从事经营%哥哥入股"#% %%% 元%弟弟入股"%% %%% 元%一
年后盈利,$ #"%元!按入股的资金比例分配盈利%兄弟两人各应分得
多少元&
!"'$ 第!章$一次方程与方程组
3
　　习题3)3
!!将一个长'宽'高分别为!" !"% ' !"% (* !"的长方体铁块和一个棱长为' !"
的正方体铁块熔成一个底面边长均为!# !"的长方体%求这个长方体的高!
"!小张和小李参加周末骑行活动!两人同时从甲地出发到乙地!小李用了
")# % !小张的骑行速度比小李快# &"*%%结果他比小李早%)# % 到达!求
甲'乙两地间的距离!
#!我国古代数学著作(九章算术)的第七卷*盈不足+中的一题!*今又共买物!
人出八%盈三$人出七%不足四!问! 人数'物价各几何&+意思是!假设大家一
起购物%每人出, 钱则多$ 钱%每人出* 钱则差( 钱!人数'物价各是多少&
试求解该问题!
$!一个两位数%个位上的数字是十位上的数字的"倍!如果把个位和十位上的
数字对调%那么所得两位数比原两位数大$' !求原来的两位数!
%!某种贺卡大量上市%几天来价格不断下滑!小红第一天买了$张!第二天贺卡
的价格打,折%小红买了#张!第三天每张贺卡的价格又下跌了%)#元%小红又
买了"张!三天共花了("元!如果用("元在第三天买这种贺卡%能买多少张&
!"!$一元一次方程的应用$!"(
钢铁热轧生产车间
3.4
二元一次方程组
及其解法
!问题"
!&(鸡兔同笼)是我国古代数学著作
*孙子算经+上的一道题!今有鸡兔同笼!上有三
十五头!下有九十四足!问鸡兔各几何!
思考
这个问题可以用算术方法来解#也可
以列一元一次方程来解!问题中有两个
未知数#如果分别设为"# &#又该如何求
解呢! &
设鸡有"只!兔有&只!由(上有三十五头)!得
"#&%$#!
"
又由(下有九十四足)!得""#(&%+(!
#
这里的"! &既要满足(上有三十五头)!又要满足(下有九十四足)!就是说
它必须同时满足上面"#两个方程!因此!我们把上面两个方程加上括号联立
在一起!写成
"#&%$#!
""#(&%+(!
"
#
像"和#这样!含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程!几个方程联
立在一起!称为方程组!由两个一次方程组成!且含两个未知数的方程组叫作
二元一次方程组!
!")$ 第!章$一次方程与方程组
!问题#
!&某班同学在植树节时植樟树和
白杨树共#% 棵!已知樟树苗每棵!%元!白杨
树苗每棵$元!购买这些树苗用了"+%元!樟树
苗'白杨树苗各买了多少棵"
设樟树苗买了"棵!白杨树苗买了&棵!可
得二元一次方程组
"#&%#%!
!%"#$&%"+%!
"
#
,第!"!#题-
　
练习
!!根据题意%列出二元一次方程组!
"!# 小华买了'% 分与,% 分的邮票共!% 枚%花
了*元"角%那么'%分和,%分的邮票各买
了多少枚&
""# 植树节七"!#班和七""#班共植树!$, 棵%
七"!#班植树数量比七""#班的"
$ 多,棵!
两班分别植树多少棵&
"$# 将一摞笔记本分给若干同学!每个同学# 本%则剩下, 本$每个同
学,本%又差了*本!共有多少本笔记本'多少个同学&
"!请你根据生活实例%编一道应用二元一次方程组的问题%并列出方程组!
思考
问题!&$鸡兔同笼%'中#我们得到方程组
"#&%$##
""#(&%+(!
"
#
怎样求出其中"# &的值呢!
!"%$二元一次方程组及其解法$!"*
&&由"!得
&%$# $"!
$
这一步就是用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数!
把$代入#!得
""#(#$# $"$ %+(!
这是一个一元一次方程!
解方程!得
"%"$!
把"%"$代入$!得
&%!"!
把"%"$! &%!"代入原方程组的两个方程中检验!两个方程都成立!所以
它们是这个二元一次方程组的解!我们将其写成如下形式%
"%"$!
&%!"!
即笼中有鸡"$只!兔子!"只!
使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值!叫作二元一次方
程组的解!
上面解二元一次方程组的基本思想是(消元)!也就是要消去其中一个未知
数!把解二元一次方程组转化成解一元一次方程!
从一个方程中求出某一个未知数的表达式!再把它(代入)另一个方程!进行
求解!这种方法叫作代入消元法!简称代入法!
!!
例1 &解方程组%
""#$&%$*!
"#"&%$!
"
#
!!"$ 第!章$一次方程与方程组
3
分析" 考虑将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示
出来!方程#中"的系数是!#可以先将方程#变形#用含&的代数式表示"#再
代入方程"求解!
解&由#!得
"%$ $"&!
$
把$代入"!得
"#$ $"&$ #$&%$*!
$&%$!$!
&%!$!
把&%!$代入$!得
"%$ $" ,!$!
"%$"$!
所以
"%$"$!
&%!$!
思考
本节例!中可以用"表示&吗! 试试看!
　
练习
!!把下列方程写成用含"的代数式表示&的形式!
"!# $"$"&%($&&""# #"$&%#$&&"$# #"#"&#! %%!
"!用代入法解下列方程组!
"!#
"#&%$%%%
"%&#!%$
&&&&&&&&& ""#
"#&%#%%
!%"#$&%"+%$
!"%$二元一次方程组及其解法$!!!
& "$#
$"$"&%!%%
""$&%%$
"(#
$-$(. %*%
+-$!%. #"$ %%!
#!已知关于"% &的二元一次方程组
'"#/&%!$%
"' #/#"$'&%+的解为
"%$%
&%"!求
'% /的值!
思考
解问题!中的方程组#除代入消元法外#是否还有别的消元方法!
根据等式的基本性质!可这样来考虑!
"#&%$#!
"#"&%(*!
"
#
方程#的两边分别减去方程"的两边!得
"&$&%(* $$#!
这样也得到一个一元一次方程!
解方程!得
&%!"!
把&%!"代入"!得
"#!" %$#!
解方程!得
"%"$!
所以
"%"$!
&%!"!
!!#$ 第!章$一次方程与方程组
3
像这种把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法叫作加减
消元法!简称加减法!
!!
例2 &解方程组%
("#&%!(!
,"#$&%$%!
"
#
分析" 在这个方程组中#直接将两个方程相加或相减#都不能消去未知数"
或&#怎么办! 我们可以利用等式的基本性质" 对其中一个&或两个'方程进行
变形#使得这个方程组中"或&的系数相等或互为相反数#再来求解!
如果消去&#
如何求解! 请同
学们自行完成!
解&将" ,"!得
,"#"&%",!
$
# $$!得
&%"!
把&%"代入"!得
("#" %!(!
"%$!
所以
"%$!
&%"!
!!
例3 &解方程组%
("#"&%$#!
#"$$&%$+!
"
#
分析" 比较方程组中的两个方程#&的系数的绝对值比较小# " ,$## ,"#
就可使&的系数绝对值相等#再用加减法即可消去&!
解& " ,$!得
!""#'&%$!#!
$
# ,"!得
!%"$'&%$!,!
%
$ #%!得
"""%$$$!
!"%$二元一次方程组及其解法$!!$
"%$$
" !
把"%$$
" 代入"!得
$' #"&%$#!
&%!
" !
所以
&"%$$
" !
&%!
" !
加减消元法通过(把两个方程相加减)实现消元!加减的条件是(两个二元
一次方程中同一未知数的系数相等或互为相反数)!
　
练习
!!用加减法解下列方程组!
&&&&&&&&&&&&&&&&&
"!#
""$$&%#%
""$"&%$!$
""#
"#"0$+ %%%
$"$0#! %%$
"$#
("$"&%$+%
$"$(&%!,$
"(#
!
$ "#$&%!+%
!
$ &#$"%!!!
交流
用代入法(加减法解方程组的基本思路(具体步骤各是什么! 用代入
法(加减法解题时各应注意些什么!
!!%$ 第!章$一次方程与方程组
3
!!
例4 &解方程组%
"#"$!#%$ %##$&##%$!
!%!,"#'!,&%,)#! ,,%%!
"
#
解&将原方程组化简!得
""$!#&%##%!
#"#$&%$ (%%!
$
%
$ #% ,#!得
"*"%!* ##%!
"%'#%!
将"%'#%代入%!得
# ,'#% #$&%$ (%%!
&%#%!
所以
"%'#%!
&%#%!
代入法和加减法是二元一次方程组的两种解法!它们都是通过消元使方
程组转化为一元一次方程!我们应该根据方程组的具体情况!选择合适的
解法!&
　
练习
!!解下列方程组!
"!#
%),"$%)+&%%)"%
'"$$&%($
&& ""#
-#.
$
$. $-
(
%"%
(-#.
$ %,$
"$#
+"#*&%$%%
*"#+&%$($
"(#
"#&%'%%
$%!."#'%!.&%!%! ,'%!
!"%$二元一次方程组及其解法$!!&
　　习题3)4
根据第!.$题中的问题%列出方程组!
!!如图%图"!#中天平的左盘放着一只梨和一只苹果%右盘放有$%% '的砝码%此
时天平平衡$图""#中梨和苹果分别放在天平的左'右盘%当右盘内加一个
#% '的砝码时%天平又达到平衡!一只梨和一只苹果各为多少克&
&
&#!$&&&&&&&&&&&&&&&#"$
"第!题#
"!赵亮家年初从承包的鱼塘中捕捞鲫鱼和鲢鱼共" %%% &'%卖出后得$$ '%%元!
已知鲫鱼每千克!,元%鲢鱼每千克!'元!捕捞了鲫鱼'鲢鱼各多少千克&
#!近年来%我国生态环境质量总体改善%生物多样性下降势头得到基本控制!
根据"%"%年(中国生态环境状况公报)%我国列入国家重点保护野生动物名
录的珍稀濒危水生和陆生野生动物有*%,种"类#%其中大熊猫'金丝猴'扬子
鳄等数百种动物为我国所特有!已知珍稀濒危水生野生动物比陆生野生动
物的一半多++种"类# !我国珍稀濒危陆生野生动物'水生野生动物各有多
少种"类#&
!!'$ 第!章$一次方程与方程组
3
四川山鹧鸪
$!用代入法解下列方程组!
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
"!#
$"#(&%"%
""$&%#$
&&&&&
""#
"#&%#%
$"$*&%!!$
"$#
""$$&%,%
$"#*&%%)#$
&&
"(#
+"#,&%$"%
("##&%$!!$
"##
$""$!# %&##%
#"&$!# %$""###$
&&
"'#
"1
$ #$!
( %!
" %
(1
# ##!
' %*
!#!
%!用加减法解下列方程组!
"!#
(-$$. #! %%%
"-#'. %*$
&&
""#
#"#"&%"%
*"$#&%$($
"$#
$"#&#! %%%
$&%""#!+$
"(#
$"$(&## %%%
#"#"&%+$
"##
,"#$&#" %%%
'"##&#* %%$
"'#
"#!
$
$&#"
(
%%%
"$$
(
$&$$
$
%!
!"!
&!写出一个符合下列条件的二元一次方程组!
"!# 两个方程中未知数"% &的系数都不为%$
""# 方程组的解为
"%!%
&%$$!
+!解下列方程组!
"!#
""""$&# #"#&%#%
""$&$"%! #&$
&
""# "! #(
$
%$! $"(
,
%$$
"$#
"""$&#
$
%"#&
(
$!%
'""#&# %(""$&# #!"!
!"%$二元一次方程组及其解法$!!(
3.5
二元一次方程组
的应用
方程组是反映等量关系的模型!前面我们学习了二元一次方程组的解法!
本节着重研究如何运用二元一次方程组解决实际问题!
!!
例1 &某市举办中学生足球比赛!规定胜一场得$ 分!平一场得! 分!负
一场得%分!在本次比赛中!该市第二中学足球队比赛!!场!没有输过一场!共
得"*分!该队胜几场!平几场"
解法一&如果设该市第二中学足球队胜"场!那么该队平#!! $"$ 场!根
据得分规定!胜"场!得$"分!平#!! $"$ 场!得#!! $"$ 分!共得"*分!得方程
$"##!! $"$ %"*!
解方程!得
"%,!
此时
!! $"%!! $, %$!
答% 该市第二中学足球队胜,场!平$场!
思考
如果该市第二中学足球队胜的场数与平的场数分别用未知数"# &来
表示#是否能列出方程组来求解呢!
解法二&设该市第二中学足球队胜"场!平&场!由该队共比赛!!场!得方程
"#&%!!!
"
又根据得分规定!胜"场!得$"分!平&场!得&分!共得"*分!因而得方程
$"#&%"*!
#
!!)$ 第!章$一次方程与方程组
解方程"#组成的方程组
"#&%!!!
$"#&%"*
!得
"%,!
&%$!
答% 该市第二中学足球队胜,场!平$场!
!!
例2 &甲'乙两人相距( &"!以各自的速度同时出发!如果同向而行!
甲" %追上乙&如果相向而行!两人%)# %后相遇!两人的速度各是多少"
分析" 用示意图来表示数量关系比较直观!本例中$同时出发#同向而行%
可用图$
(表示!
图$ (
画示意图可
以帮助我们理清
数量间的关系!
$同时出发#相向而行%#可用图$
#表示!
图$ #
解&设甲'乙的速度分别是"&"*%! &&"*% !根据题意得
""$"&%(!
!
" "#!
" &%(!
&"
&
&#
解方程组!得
"%#!
&%$!
答% 甲的速度是# &"*%!乙的速度是$ &"*% !
!"&$二元一次方程组的应用$!!*
　
练习
!!某班课外活动小组买了+副象棋和*副跳棋%共计*%%元!已知"副象
棋的价格比!副跳棋的价格高!#元!!副象棋和!副跳棋的价格各是
多少元&
"!某人骑自行车%计划用同样时间往返于甲'乙两地!来时每小时行
!" &"%结果多用了' "#$$返回时每小时行!# &"%结果少用了"% "#$ !
试求甲'乙两地之间的路程和此人原来计划使用的时间!
#!一艘江轮航行在相距*" &"的两个港口之间%顺流需( %%逆流需
( % (, "#$%求江轮在静水中的速度!
"顺流航行的速度%静水中速度#水流速度$逆流航行的速度%静水中
速度$水流速度#
!!
例3 &玻璃厂熔炼玻璃液!原料是由石英砂和长石粉混合而成的!要求
原料中含二氧化硅*%!!已知石英砂中含二氧化硅++!!长石粉中含二氧化硅
'*!!在$)" (原料中!石英砂和长石粉各有多少"
分析" 问题中涉及哪些已知量和未知量! 它们之间有何关系! 引入未知
数#补全下表!
列表可以帮
助我们理清数量
关系!
原料成分
石英砂
长石粉
总量
质量!,
"
&
含二氧化硅量!,
++!"
'*!&
&&解&设原料中石英砂有"(!长石粉有&(!根据题
意!得
"#&%$)"!
++!"#'*!&%*%! ,$)"!
!#"$ 第!章$一次方程与方程组
3
本题如果只引
入一个未知数能
解决吗! 试试看!
&&解方程组!得
"%%)$!
&%")+!
答% 在$)" (原料中!石英砂有%)$ (!长石粉有
")+ (!&
　
练习
!!某乡今年春播作物的面积比秋播作物的面积多'$% %"
" !计划明年春
播作物的面积增加"%!%秋播作物的面积减少!%!%这样明年春播'秋
播作物的总面积将比今年增加!"!!这个乡今年春播与秋播作物的面
积各是多少&
"!石岭村原有林地'旱地共!'" %"
" !村里把一部分旱地改造为林地%使
旱地面积为林地面积的"%!!求改造后的旱地面积和林地面积!
!!
例4 &某村!,位农民筹集#%万元资金!承包了一些低产田地!根据市
场调查!他们计划对种植作物的品种进行调整!改种蔬菜和荞麦!种植这两种作
物每公顷所需的人数和投入的资金如下表!
作物品种
每公顷所需人数
每公顷投入资金!万元
蔬菜
#
!#
荞麦
(
!%
&&在现有的条件下!这!,位农民应承包多少公顷田地!怎样安排种植才能使
所有的人都有工作!且资金正好够用"
!"&$二元一次方程组的应用$!#!
分析" 怎样理解$所有的人都有工作%及$资金正好够用%! 能用等式来表示
它们吗! 根据题意列表如下!
作物品种
种植面积'!)(
"
需要人数
投入资金!万元
蔬菜
"
#"
!#"
荞麦
&
(&
!%&
合计
!,
#%
还可以怎样设
未知数呢!
&&解&设蔬菜的种植面积为"%"
"!荞麦的种植面积
为&%"
" !根据题意!得
#"#(&%!,!
!#"#!%&%#%!
解方程组!得
"%"!
&%"!
则"#&%(!
此时#"%# ," %!%! (&%( ," %,!
答% 这!,位农民应承包( %"
" 的田地!种植蔬菜和荞麦各" %"
"!并安排!%
人种蔬菜!,人种荞麦!这样能使所有的人都有工作!且资金正好够用!
　
练习
!!某医院利用甲'乙两种原料为患者配制营养品!已知每克甲原料含%)'
单位蛋白质和%)%,单位铁质%每克乙原料含%)#单位蛋白质和%)%(单
位铁质%如果患者每餐需$(单位蛋白质和( 单位铁质%那么每餐甲'乙
两种原料各多少克恰好满足患者的需要&
"!向某地运送物资!第一批(,% (%用, 节火车车厢和"% 辆卡车正好装
完!第二批#(% (%用!%节火车车厢和#辆卡车正好装完!求每节火车
车厢和每辆卡车分别能装多少吨!
!##$ 第!章$一次方程与方程组
3
　　习题3)5
!!若干学生分若干支铅笔%如果每人#支%那么多余$支$如果每人*支%那么缺
#支!试问有多少名学生& 共有多少支铅笔&
"!甲'乙两人都以不变的速度在环形路上跑步!如果同时同地出发%相向而行%
每隔" "#$相遇一次$如果同向而行%每隔' "#$相遇一次!已知甲比乙跑得
快%甲'乙每分钟各跑多少圈&
#!某商场向银行申请了甲'乙两种贷款%共计', 万元!每年应付利息$)," 万
元%甲种贷款年利率是'!%乙种贷款年利率是#!!试问这两种贷款的金额
各是多少&
$!某人装修房屋%原预算!#% %%%元!装修时因材料费下降了"%!%装修工人的
工资涨了!%!%实际用去!$# %%%元!原预算中材料费和付给装修工人的工
资各多少&
%!购买!个+产品和" 个,产品需(%% 元%购买" 个+产品和# 个,产品需
+%%元%求两种产品的单价!
&!甲'乙两人同时加工一批零件%前$ %两人共加工!"'件!后# %甲先花了! %
修理工具%因此甲每小时比以前多加工!% 件%结果在后一段时间内%甲比乙
多加工了!%件!甲'乙两人原来每小时各加工多少件&
+!某铁路桥长! %%% "%现有一列火车从桥上通过%测得火车从开始上桥到完全
过桥共用'% -%整列火车在桥上的时间是(% -!试求车速和车长!
-!二果问价"源自我国古代数学著作(四元玉鉴)#!
九百九十九文钱%
甜果苦果买一千%
甜果九个十一文%
苦果七个四文钱%
试问甜苦果各几个& 又问各该几文钱&
!"&$二元一次方程组的应用$!#$
"3.6
三元一次方程组
及其解法
&&本套书中凡是标有"的内容均为选学内容!不作考试要求!
&&许多实际问题涉及的未知数往往不止两个!如本章(数学史话)所列方
程组
$"#"&#0%$+!
""#$&#0%$(!
"#"&#$0%"'!
这种由三个一次方程组成!且含三个未知数的方程组!叫作三元一次方
程组!
思考
解二元一次方程组的消元法&加减法和代入法'是否也能用来解三元
一次方程组呢!
!!
例1 &解方程组%
"#&#"0%$!
$""$&#0%$$!
"#"&$(0%$#!
"
#
$
解&先用加减消元法消去"!
# #" ,"!得
&##0%$!
%
!#%$ 第!章$一次方程与方程组
$ $"!得
&$'0%$,!
&
下面解由%&联立成的二元一次方程组!
% $&!得
!!0%!!!
0%!!
'
将'代入%!得
&%$"!
将&! 0的值代入"!得
"%$!
所以&
"%$!
&%$"!
0%!!
　
练习
!!解下列方程组!
"!#
"#&#0%'%
""#$&$0%(%
$"$&#0%,$
&&&&&&&
""#
""$&#$0%!%
""#"0%'%
("#"&##0%(!
"!"'$三元一次方程组及其解法$!#&
&&!!
例2 &某营养餐应包含$#单位的铁'*%单位的钙和$#单位的维生素!
现有一营养师根据上面的标准配餐!其中包含+! ,! .三种食物!下表给出的
是每份##% '$食物分别所含的铁'钙和维生素的量!
食　物
铁!单位
钙!单位
维生素!单位
+
#
"%
#
,
#
!%
!#
.
!%
!%
#
&&#!$ 设配餐中+! ,! .三种食物分别为"! &! 0份!请根据题意列出方程组&
#"$ 解该三元一次方程组!求出满足要求的+! ,! .的份数!
解&#!$ 设配餐中+! ,! .三种食物分别为"! &! 0份!由题意得
&#"# #&#!%0%$#!
"%"#!%&#!%0%*%!
&#"#!#&# #0%$#!
"
#
$
#"$ 由"得
"%* $&$"0!
%
将%代入#$!得
&#$0%*!
"&$0%%!
&
'
你还有其他解
法吗!
解这个方程组!得
&%!!
0%"!
将
&%!!
0%" 代入%!得"%"!
所以
"%"!
&%!!
0%"!





答% +种食物"份!,种食物!份!.种食物"份!
!#'$ 第!章$一次方程与方程组
3
!!
例3 &已知甲'乙两数之和为$!乙'丙两数之和为'!甲'丙两数之和为*!
求这三个数!
解&设甲'乙'丙三数分别为"! &! 0!由题意得
"#&%$!
&#0%'!
"#0%*!
"
#
$
" ## #$!两边同除以"!得
"#&#0%,!
%
% $"得0%#!
% $#得"%"!
% $$得&%!!
答% 甲'乙'丙三数分别为"! !! # !
解三元一次方程组的思路是通过消元!把方程组化为二元一次方程组!再转
化为一元一次方程!
　
练习
!!解下列方程组!
"!#
$"#&$(0%!$%
#"$&#$0%#%
"#&$0%$$
&&&&&&&& ""#
$"$&#0%(%
""#$&$0%!"%
"#&#0%'!
"!某厂家生产甲'乙'丙三种型号的手机%出厂价分别为每部$ '%% 元'
! "%%元和" (%%元!一商场用!"% %%% 元购买上述三种型号手机共(%
部%其中甲型号手机比丙型号手机多"(部!求该商场购买上述三种型
号手机各多少部!
"!"'$三元一次方程组及其解法$!#(
　　习题3)6
!!解下列方程组!
"!#
"#&#0%$%
"#"&#$0%'%
""#&#"0%#$
&&
""#
"#"&%+%
&$$0%$#%
$"##0%!($
"$#
""$"&#0%%%
""#&$0%!%
"#$&$"0%!$
"(#
""#$&#0%!!%
"#&#0%'%
$"$&$0%$"!
"!甲'乙'丙三个数的和为((%甲的两倍比乙大!%%乙的!
$等于丙的!
" %求这三
个数!
#!在等式&%'"
" #/"#2中%当"%$!时&%%%当"%"时&%$%当"%#时&%
'%!求'% /% 2的值!
$!某饮食方案要求每天食谱中包含!%%单位的脂肪'"%%单位的蛋白质'(%% 单
位的淀粉!现有三种食品+% ,% .%每份"#% '#含脂肪'蛋白质和淀粉量如
下表!&
食　品
脂肪!单位
蛋白质!单位
淀粉!单位
+
"
*
!*
,
"
(
*
.
!%
!'
$%
试用+% ,% .三种食品配餐以满足方案要求!
!#)$ 第!章$一次方程与方程组
3
　
　数学史话
“方程”的由来
图$ '
解方程在数学史上占有重要的地位!我
国古代数学著作)九章算术*第八章的章名就
叫$方程% !图$
' 讲的就是列多元一次方
程组解决实际问题!
$方程%中的第一题"$今有上禾三秉#中
禾二秉#下禾一秉#实三十九斗+上禾二秉#中
禾三秉#下禾一秉#实三十四斗+上禾一秉#中
禾二秉#下禾三秉#实二十六斗!问上(中(下
禾实一秉各几何!%
按今天的解法#即设上(中(下等稻子
&禾'每捆&秉'分别可出谷子&实' "# &# 0
&斗'#于是得含三个未知数的方程组"
$"#"&#0%$+#
""#$&#0%$(#
"#"&#$0%"'!
我国古代没有列未知数的习惯#而是直接用算筹将数目列在算筹板或者桌
面上#像上面这个问题#列出的算式如图$
*&!'所示!
&&&&#!$
&&
#"$
&&
#$$
图$ *
"!"'$三元一次方程组及其解法$!#*
由于这样排出的数字构成一个方阵#而且方阵中各个数字所在位置不可任
意调换#排列有严格程式#)九章算术*称它为$方程% !这也是方程一词的来
源!以后#就把含未知数的等式&不论是含一个或多个未知数'统称为方程了!
)九章算术*解这个$方程%用的是$遍乘直除法% !具体说#是将图$
*&!'
中"式上禾的秉数$遍乘#式各数#得'# +# $# !%"#然后两次减去"式对应各
数#得%# ## !# "(#又用$遍乘$式各数#得$# '# +# *,#减去"式对应各数得%#
(# ,# $+ !&
经如此步骤#图$
*&!'成为图$
*&"'!
图$
*&"'中的#与$相当于"
#&#0%"(#
(&#,0%$+!
再消去一元就可以得到答案!用图$
*&"'中#式中禾的秉数# 遍乘图$
*
&"'中$式得"%# (%# !+##四次减去图$
*&"'中#式对应的数## !# "( 得%#
$'# ++#以+约之#得%# (# !!#这样得到图$
*&$'#其中#$式相当于(0%!!#所
以0%!!
( !为求中禾上禾一秉的实#再如上用$遍乘直除法%!
由于$遍乘直除法%是一种解线性方程组的一般方法#因此它不仅可解三元
方程组#而且可用来解.元方程组!在)九章算术*中就有四元者两问&第!(# !*
题'#五元者一问&第!,题'!
图$ ,
用$遍乘直除法%解方程组过程中难免出现小数减去大
数的情况#如第$ 题#$今有上禾二秉#中禾三秉#下禾四秉#
实皆不满斗#上取中(中取下(下取上各一秉而实满斗#问上(
中(下禾实一秉各几何!%列出的$方程%如图$
, !
相当于
""#&%!#
$&#0%!#
"#(0%!!





用$遍乘直除法%边乘边减#必然会出现减数大于被减数的情况!为使运算
继续下去#就必须引进负数概念!
!$"$ 第!章$一次方程与方程组
3
小结·评价
&&一! 知识体系̬
ٯ̬
 ᫥/+
,ڟẮᔡ
0ᐻ+ ᱘ᕓB̬
ٯ̬
 ᫥/+?"
θٯ̬
 ᫥/U3U
+,ڟẮᔡ
θٯ̬
 ᫥/3+?"
θٯ̬
 ᫥/3
 ڢ?"
θٯ̬
 ᫥/3+Ꮐ*̬
ٯ̬
 ᫥/
 ڢ?"̬
ٯ̬
 ᫥/+Ꮐ*̬
 ᫥/̺
᫥/3
&&二! 回顾与思考
!!等式的基本性质是!
"!#
&$
""#
&$
"$#
&$
"(#
&!
")说一说一元一次方程和二元一次方程的区别与联系!
$)解关于"的一元一次方程%就是根据等式的性质和运算律%将方程
逐步化简%最后变为"%' 的形式%解法本身蕴含着化归的思想方法!化归
的思想方法在解二元一次方程组的过程中也有所体现%请举例说明!
小结!评价$!$!
&&()代入法和加减法是解二元一次方程组的两种主要方法!&代入'与
&加减'的目的是什么(
#)列方程与列代数式有怎样的区别与联系(
')方程"组#是解决问题的有力工具%对此你有什么体会(
&&三! 自评与互评
!)你能根据二元一次方程组的特征%选择适当的方法解二元一次方程
组吗( 自我评测一下!
")请收集一些与经济发展)民生工程)日常生活等有关的素材%分析加
工后编拟出一道与一元一次方程或二元一次方程组有关的实际问题!完
成后与同学交流)互评!
复习题　　
$组
!!解下列一元一次方程!
"!# *"%$$"##$&&&&&&&& ""# $"$"* %!# $$"$
"$# !" $$"" $&# %'&##$&
"(# '"&#*# $$ %("$ $&# #$!
"!解下列一元一次方程!
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# "&$*#!
#!解下列方程组!
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!$#$ 第!章$一次方程与方程组
3
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$"""$## $("$&#(# %#$
& "(#
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$ $"#!
'
%$%
" "$&
"
(
) %$ "#&
!,
(
) !
$!在等式&% 3"#/中%当"% !时%&% $$当"%$"时%&% +!试求3% /
的值!
%!把一根+ "长的铜管截成! "和" "长两种规格的短铜管%且没有剩余%求
一共有多少种不同的截法!
&!某公路收费站的货车收费标准是!第一类!%元4车次%第二类"%元4车次%第
三类$%元4车次%某天通过该收费站的三类货车的车次之比是!% )$ )"%共
收费()(万元!这天通过该收费站的三类货车各有多少车次&
+!运输户承包运送" %%%套玻璃茶具%运输合同规定! 每套运费!)'元$如有损
坏%每套不仅得不到运费%还要赔!, 元!结果%这个运输户得到运费
$ !%"元!运输过程中损坏了几套茶具&
-!甲便民服务点有工作人员"* 人%乙便民服务点有工作人员!+ 人!现有"%
名志愿者前来支援!要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的"
倍%应怎样分配前来的志愿者&
.!一旅客携带$% &'行李乘飞机!按规定%旅客最多可免费托运"% &'行李%超
重部分每千克按当班飞机票价格的!)#!收费!现该旅客支付了!"% 元的
托运费%当班飞机票的价格是多少元&
!/!在长方形5678中%放入,个形状和大小相同的小长方形%位置和尺寸如图
所示!试求阴影部分的面积!
A
B
C
D
4
16
"第!%题#
小结!评价$!$$
!!!某厂现有厂房!# %%% "
"%计划拆除部分旧厂房%重建新厂房%使厂房总面积
扩大(%!!如果新建厂房的面积是拆除的旧厂房面积的$ 倍%那么应该拆
除多大面积的旧厂房& 新建厂房面积有多大&
!"!某校今年秋季招收七年级'高中一年级新生共#%%人!计划明年秋季这两个
年级招生数比今年增加!,!%其中七年级增加"%!%高中一年级增加!#!!
该校明年计划招收七年级'高中一年级新生各多少人&
!#!将浓度为'#!的酒精与浓度为+#!的酒精混合%制成了浓度为*#!的酒精
%)+ &' !两种酒精各使用了多少千克&
!$!某天%一蔬菜经营户用"!,元从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共(% &'
到菜市场去卖%西红柿和豆角这天每千克的批发价与零售价如下表所示!
品　名
西红柿
豆角
批发价!元
#)'
#)%
零售价!元
+)"
,)"
卖出这些西红柿和豆角%共能赚多少钱&
!%!(算法统宗)中有这样的问题!*一支竿子一条索%索比竿子长一托%对折索子
来量竿%却比竿子短一托"一托约# 尺# !+大意是!现有一根竿子和一条绳
子%绳子比竿子长#尺%如果将绳子对折后去量竿%它比竿子短#尺!求竿子
长几尺!
!&!我国古代数学著作(九章算术)中有一题!用卖" 头牛'# 头羊的钱买!$ 头
猪%剩钱! %%%$用卖$头牛'$头猪的钱买+ 头羊%钱正好$用卖' 头羊', 头
猪的钱买#头牛%还差钱'%% !牛'羊'猪每头的价钱各为多少&
复习题　　
%组
!!甲'乙两人同时解关于"% &的方程组
'"#/&%"%
-"$*&%,!
!$%$ 第!章$一次方程与方程组
3
甲解对了%得
"%$%
&%"!乙写错了-%得
"%$"%
&%$"!
试求原方程组中'% /% -的值!
"!某商品的进价为"%%元%标价为$%%元%打折销售后的利润率为#!!此商品
是按几折销售的& 利润率%利润
进价&
(
)
#!设'% /% 2为互不相等的有理数%且/ % (
# ' #!
# 2%则下列结论正确的是
"&&#!
"+# ' 9/ 92&&&&&&&&&&",# ' 929/
".# ' $/ %("/ $2#
"/# ' $2%#"' $/#
$!用!块+型钢板可制成(件甲种产品和!件乙种产品$用!块,型钢板可制
成$件甲种产品和"件乙种产品!要生产甲种产品$* 件%乙种产品!, 件%
恰好需用+% ,两种型号的钢板共多少块&
%!将两块完全相同的长方体木块先按左图的方式放置%再按右图的方式放置%
测得的数据如图所示%求桌子的高度!
"第#题#
复习题　　
&组
!!三个连续整数的和为''%求这三个数!如果是三个连续偶数%是否有解& 如
果是三个连续奇数%是否有解&
小结!评价$!$&
"!某电视台在黄金时段的" "#$广告时间内%计划插播长度为!# -和$% -的两
种广告%!# -广告每播!次收费%)'万元%$% -广告每播!次收费!万元!若
要求每种广告播放不少于"次%插播的广告正好排满" "#$ !
"!# 两种广告的播放次数有哪几种安排方式&
""# 电视台选择哪种方式播放收益最大&
#!某企业有+% ,两条加工同种原材料的生产线!在一天内%+生产线共加
工' (原材料%加工时间为"(' #!# %% ,生产线共加工/ (原材料%加工时间
为""/ #$# %!第一天%该企业将# (原材料分配到+% ,两条生产线%两条生
产线都在一天内完成了加工%且加工时间相同%则分配到+生产线的原材料
质量与分配到,生产线的比为&&&&!第二天开工前%该企业按第一天
的分配结果分配了# (原材料后%又给+生产线分配了-(原材料%给,生产
线分配了. (原材料!若两条生产线仍能在一天内加工完各自分配到的原材
料%且加工时间相同%则-
. 的值为&&&&!
!$'$ 第!章$一次方程与方程组
3
新能源汽车部件自动化生产
第4 章
几何图形初步
在我们周围有无数物体%形状各异%千姿百态%构成
丰富多彩的图形世界!
你能从复杂图形中发现线段与角吗( 你会比较线
段的长短和角的大小吗(
几何是研究图形的形状、大小和位置关系的学
科. 本章将带你步入几何图形的世界，进一步学习线
段、射线、直线和角的有关知识.
$ $!$(
4.1
几何图形
我们周围的物体形态各异'多姿多彩!如果只研究它们的形状'大小和位
置!而不涉及其他性质!就得到各种几何图形!在小学!已经学过长方体'圆柱'
球'长方形'三角形'圆'角'直线等几何图形!
操作
画线#把图(
!中上一行的物体与下一行中类似它们的几何图形
连接起来!
图( !
!$)$ 第%章$几何图形初步
&&说说还有哪些物体的形状是上面的几何图形"
长方体'四面体'圆柱'圆锥'球等都是几何体!简称体!
包围着体的是面!窗户玻璃的表面'黑板的表面给我们以平面的形象!平面是
没有边界的!长方体'四面体等!围成它们的面都是平面的一部分!它们都是多
面体!圆柱'圆锥的侧面和球的表面给我们以曲面的形象!它们都是旋转体!
图( "
架设的电线#图(
"$'墙面与地面的交线
都给我们以线的形象!面与面相交形成线!
多面体中面与面的交线是直的!它们叫作多面
体的棱!圆柱'圆锥中的侧面与底面的交线是
曲线!
线与线相交得到点!多面体中棱与棱相
交的点叫作顶点!如长方体有,个顶点!四面体
有(个顶点!
几何图形是由点$线$面$体组成的%其中点是最基本的图形!
几何图形是数学研究的主要对象之一!
几何图形中!像直线'角'三角形'圆等!它们上面的各点都在同一个平面内!
这样的图形叫作平面图形&像长方体'圆柱体'球等!它们上面的各点不都在同一
个平面内!这样的图形叫作立体图形!
几何图形在建筑'图案'徽标等许多方面被广泛应用!如图(
$ !
建筑
&&&&&&第"(届国际数学家大会会徽
花边
&&&&&&
窗花
图( $
%"($几何图形$!$*
　
练习
!!试举出图形是长方体'圆柱的实例!
"!下图中的蒙古包可看作是由哪些几何体组成的&
"第"题#
#0"!# 围成下列几何体的各个面中%哪些面是平的& 哪些面是曲的&
""# 将下列几何体分类%并说明理由!
"
&&
#
&&
$
%
&
"第$题#
!%"$ 第%章$几何图形初步
4
　　习题4)1
!!把图中的实物与类似它们的几何图形用线连接起来!
"第!题#
"!如图%将平面图形绕轴旋转一周后得到立体图形!将有对应关系的两幅图形
连接起来!
&
&
&
&
&
&
&
&
"第"题#
#!收集生活中的商标'图案'标志等!从中可以抽象出哪些几何图形&
%"($几何图形$!%!
　
　数学活动
制作正多面体
本书最后附有三张如图!
! 所示且放大了的手工图纸!请剪下后黏结!做
成"个正多面体的模型!
!#"
$
!%"
$
!&"
$
!!"
$
!""
图! !
对照模型!填写下表!
名　称
面数（!）
顶点数（"）
棱数（#）
!$"%#
!#" 正四面体
!%" 正六面体
!&" 正八面体
!!" 正十二面体
!"" 正二十面体
$$从中你能发现怎样的规律"
数学家欧拉发现多面体的面数"#顶点数!和棱数#之间存在着
本题中得到的重要关系式!并证明了它!人们把这个著名的关系式
称为欧拉公式!
!"#! 第"章!几何图形初步
4
4.2
线段、射线、直线
观察
!!如图(
#&!'#数学课本封面的边是什么图形!
"!如图(
#&"'#茶叶盒的棱可以看作是什么图形!
#!$
&&&&&
#"$
图( #
在图(
#中!像长方形的边'长方体的棱!这些图形都是线段!
如图(
'!以5! 6为端点的线段!记作线段56#或线段65$或线段' !
图( '
线段可以延长!用直尺画线段56的延长线!如图(
*#!$&延长线段65
#或称反向延长线段56$!如图(
*#"$!
%"#$线段"射线"直线$!%$
#!$
&&&&&&
#"$
图( *
将线段向一个方向无限延长就得到了射线!图(
,#!$中的光给我们以射
线的形象!可以用图(
,#"$所示的方法表示射线!记作射线<=#端点<应写
在点=之前$!
#!$
&&&
#"$
图( ,
&&&
#!$
#"$
图( +
将线段向两个方向无限延长就形成了直线!可以用如图(
+所示的方式
表示直线!记作直线56#或直线65$或直线>!
　
练习
!0用两种方式表示图中的两条直线!
A
B
C
m
n
"第!题#
&&&
"第"题#
"!如图%下列说法是否正确& 为什么&
"!# 线段56与线段67是同一条线段$
""# 直线56与直线67是同一条直线$
"$# 点5在线段67上$
"(# 点7在射线56上!
!%%$ 第%章$几何图形初步
4
#0如图%点6% 7在线段58上!
"!# 以点5为端点的线段有哪几条& 以点6为端点的线段又有哪几条&
""# 写出图中所有的线段!
A
B
C
D
"第$题#
思考
!!如图(
!%&!'#经过一点5画直线#可以画几条! 如图(
!%&"'#
经过两点5# 6画直线#可以画几条!
#!$&&&&&&
#"$
图( !%
&&&&&
图( !!
"!如图(
!!#要把一根挂衣帽的挂钩架#水平固定在墙上#至少要钉
几个钉子!
由上面的问题!我们发现直线有如下的基本事实%
经过两点有一条直线%并且只有一条直线%
这一基本事实可以简述为%两点确定一条直线%
图( !"
当两条不同的直线有一个公共点时!我们称这两条直
线相交!或称它们是相交直线!这个公共点叫作它们的交
点!例如!图(
!"中!直线>和直线-相交!点<是它们
的交点!
思考
两条不同的直线能有两个公共点吗!
%"#$线段"射线"直线$!%&
　
练习
!0举一个实际的例子%说明*经过两点有一条直线%并且只有一条直线+的
应用!
"0经过5% 6% 7三个点中的两个点作直线%小明说总能作出$条!他的说
法对吗& 为什么&
#!读下列语句%并按照这些语句分别画出图形!
"!# 直线8?经过点@$
""# 点=在直线>外$
"$# 在同一平面内%三条直线'% /% 2经过点<$
"(# 直线56和78相交于点<!
　　习题4)2
!!如图%已知三点5% 6% 7!画线段56'直线67'射线75!
"第!题#
"!填空!
"!# 图"!#中共有&& 条线段%它们是&&&
$
""# 图""#所示的长方体共有&& 条棱%其中以点6为端点的棱有&&条%
它们是&&&&&&&& &!&
!%'$ 第%章$几何图形初步
4
#!$
&&&&&&&&
#"$
"第"题#
#!如图%点5% 6% 7在同一条直线上!
"!# 图中有几条直线& 请表示出来$
""# 图中有几条射线& 射线56和射线67是同一条射线吗&
"$# 图中有几条线段& 线段56和线段65是同一条线段吗&
"第$题#
$!*在队列中向右看齐时%判断自己是否与其他队员排齐%最直接的方法是看自
己能否隔着身边的一个队友看到另一个队友的肩膀或者头部%如果看不到%
就说明与其他队员排齐了+%这里用到了什么数学知识&
%!如图%平面上有5% 6% 7% 8四个点%根据下列语句画图!
"!# 画射线58% 67交于点@$
""# 连接57%并将其反向延长$
"$# 取一点=%使点=既在直线56上又在直线78上!
"第#题#
%"#$线段"射线"直线$!%(
4.3
线段的长短
观察
图( !$
&&两支笔放在一起#哪支长&图(
!$'!
比较两条线段56与78的长短!可以利用刻度尺量出其长度来比较!也可
以采用叠合的方法!
将56!78放在同一条直线上!如图(
!(!使端点5与7重合!端点6与8
落在5的同侧!
#!$
#"$
#$$
图( !(
!!当点8与6重合时!线段56与线段78相等-图
(
!(#!$.!记作
56%78!
"!当点8在5! 6两点之间时!线段56大于线段
78-图(
!(#"$.!记作
56978!
如果56%'! 86%/!那么58为'与/的差!记作
58%' $/!
$!当点8在线段56的延长线上时!线段56小于
线段78-图(
!(#$$.!记作
56A78!
!%)$ 第%章$几何图形初步
如果56%'! 68%/!那么58为'与/的和!记作58%' #/!
!!
例1 &如图(
!#!已知线段'!画一条线段56!使得56%'!
图( !#
方法一&用刻度尺量出'的长度!再在一条直线上画出一条线段56%'!
方法二&我们也可以只用没有刻度的直尺和圆规来画!这种只用没有刻度
的直尺和圆规作图的方法称为尺规作图!
图( !'
作图步骤如下%
#!$ 作直线>!如图(
!' !
#"$ 在直线>上任取一点5!以点5为圆心!以线段'的
长度为半径画弧!交直线>于点6!
线段56即为所求作的线段!&
!!
例2 &已知% 线段'! /#' 9/$!如图(
!*!作一条线段56!使得%
#!$ 56%"'&
#"$ 56%' $/!
图( !*
作法
#!$ 作射线5B!在射线5B上顺次截取57%76%'!
线段56%"'即为所求作的线段#图(
!,$!
图( !,
&&&&&
图( !+
#"$ 作线段5C%'!
在线段C5上截取C6%/!
则线段56%' $/即为所求作的线段#图(
!+$!
%"!$线段的长短$!%*
　
练习
!!比较各图中线段56与78的长短!
#!$
&&&&&&&&&&
#"$
"第!题#
"!如图%7% 8是线段56上不同的两点%那么!
"!# 57%&&& $87% 68%&&& $78$
""# 57%&&& $67% 68%&&& $58$
"$# 56%&&& #&&& #&&&!
"第"题#
&&&
"第$题#
#0如图%已知线段'% /%作线段56%使得!
"!# 56%' #/$
""# 56%"' $/!
在图(
"%中!点7在线段56上!且57%76!像这样把一条线段分成两条
相等的线段的点!叫作线段的中点!
图( "%
此时!57%76%!
" 56或56%"57%"76!
!&"$ 第%章$几何图形初步
4
!!
例3 !已知线段!"#"!延长!"至点$!使!$###%点&是!"的中点!
点'是!$的中点!求&'的长%
解!如图"
$#!因为!"#"!点&为!"的中点!所以!&##
$ !"#$%
图" $#
又因为!$###!点'为!$中点!所以!'##
$ !$#%&%%
所以&'#!'(!&#%&% ($ #'&%%
思考
#%如图"
$$!甲"乙两地间有曲线"折线"线段等"条路线!其中哪一
条路线最短#
图" $$
!!!!
图" $'
$%如图"
$'!人们修建公路遇到大山阻隔时!常会打一条隧道直穿
过去!为什么#
上面的问题反映了如下的基本事实"
两点之间的所有连线中!线段最短!
两点之间线段的长度!叫作这两点之间的距离%
!"#$线段的长短$!"!
M
P
N
!第#题"
　
练习
!"如图#)是线段*+的中点#那么*+#
!!!!*)#!!!!)+# *)#)+#
!!!!*+%
A
B
C
!第$题"
#%如图#用刻度尺量出!"# !$# "$的长度#并
比较!",!$与"$的长短%不通过测量#
你能比较!",!$与"$的长短吗$ 依据是
什么$
　　习题4&3
!%如图#已知线段!"# $&!!"($&"#按下列语句画图%
!#" 在!"上取一点'#使!'#!"($&&
!$" 在!"延长线上取一点-#使!-#!",$&%
!第#题"
!第$题"
!第"题"
#%如图#$#&是线段!"上两点#&是!$的中点# $"#" !"# &"#) !"# 求
!"# !$的长%
$%同一条直线上有!# "# $# &# '# -六个点#且$是!"的中点#"是!&的中
点#!是"'的中点#&是'-的中点# !$###求'-的长%
%%如图#点!# "在直线.两侧%在.上找一点)#使得!),")最小#并说明
理由%!
&%已知线段!"##* !"#点$是任意一点#求!$,"$的最小值%
!"#$ 第!章$几何图形初步
4
4.4
角
钟面上的时针与分针所构成的图形#四面体中任意两条相交棱所构成的图
形$图"
$"%!都呈现了角的形象%
$#%
!!!!!!!!
$$%
图" $"
用三个字母
表示角时!要把
表示顶点的字母
写在中间%
角可以看作是从一点/出发的两条射线/!! /"所
组成的图形$图"
$%%!其中点/叫作角的顶点!射线
/!! /"叫作角的边%这个角可记作"!/"!读作&角
!/"'$没有歧义时!也可记作"/%%
图" $%
!!!
图" $+
如图"
$+!角还可以用"#! "$! "!等方法表示%
"!/"也可以看成射线/!绕着它的端点/旋转到/"的位置后形成的图
形$图"
$%%%射线/!! /"分别叫作"!/"的始边和终边%始边旋转时经过
的平面部分称为角的内部!
!"!$角$!"$
当射线/!绕点/旋转!第一次旋转到与/!在同一条直线上时!形成的角
叫作平角%继续旋转回到初始位置/!时!形成的角叫作周角%
本书后面说到的角!除特殊注明外!都是指锐角#直角或钝角%
　
练习
!%填空%
如图#从端点/引出射线/!# /"# /$# /&%图中的角分别是!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!%
!第#题"
#%填表%
名　称
锐角
钝角
周角
图形
范　围
!#,*-
!#'+*-
角的度量单位是&度#分#秒'%把一个周角'+*等分!每一等份是#度的角!
#度记作#-(把#-的角+*等分!每一等份是#分的角! #分记作#.(把#.的角+*
等分!每一等份是#秒的角!#秒记作#/%即
#-#+*.! #.#+*/%
!"%$ 第!章$几何图形初步
4
!!
例1 !计算"
$#% 用度#分#秒表示'*&$+-(
$$% "$-#0.#%/等于多少度) $精确到*&**#-%
解!$#% 因为*&$+-#+*.0*&$+ ##%&+.!
*&+.#+*/0*&+ #'+/!
所以'*&$+-#'*-#%.'+/%
$$% 因为#%/# #
+*
( )
.0#% #*&$%.!
!!!#0&$%.# #
+*
( )
-0#0&$% # *&'*"-!
所以"$-#0.#%/# "$&'*"-%
!!
例2 !把一个周角#)等分!每份是多少) $精确到#.%
解! '+*-1#) #$#-,'-1#)
#$#-,#0*.1#)
# $#-##.%
　
练习
!%填空%
!#"
#
"( )
-#!!.!!/&!!!!!!
!$" %$-#,.#$/#!!!!-%
#%计算%
!#" $%-$'.#)/,"+-%'."'/&
!$" )%-$'.#$/("+-%'."'/&
!'" #,-$*.$"/0"&
!"" #'"-$$.1'%
!"!$角$!""
　　习题4&4
!%下图是部分电视节目的播出时间%分别确定钟表上时针与分针所成的最小
的角的度数%
!第#题"
!第$题"
#%如图#/!是表示北偏东$*-方向的一条射线%仿照
这条射线画出表示下列方向的射线%
!#" 北偏西%*-&!!!
!$" 南偏东#*-&
!'" 西南方向!即南偏西"%-"%
$%计算%
!#" "*&0$-#!!!-!!!.!!!/&!
!$" '*-#,.$#/,#%-"*."$/&!!!!!!!!!
!'" ,*-(+0-#).%*/&
!"" %$-$$.0,&
!%" #)0-%'.1%!精确到#."%
!"&$ 第!章$几何图形初步
4
4.5
角的比较与
补（余）角
观察
我们可用量角器量出角的度数!再比较它们的大小!也可以采用叠合
的方法%
如图"
$)!移动"&'-!使它的顶点'和"!"$的顶点"重合!一边
'&和"!重合!另一边'-和"$落在"!的同侧%
$#%
!!!
$$%
!!!
$'%
图" $)
如果'-和"$重合!那么"&'-#"!"$$图"
$)%#&'(
如果'-落在"!"$的内部!那么"&'-2"!"$$图"
$)%$&'(
如果'-落在"!"$的外部!那么"&'-3"!"$$图"
$)%'&'%
图" $0
在图"
$0 中!"!/$是"!/"与""/$的和!记
作"!/$#"!/",""/$! "!/"是"!/$与"$/"
的差!记作"!/"#"!/$("$/"%类似地! "$/"#
"!/$("!/"%
!"%$角的比较与补!余"角$!"'
图" $,
!!!!
例1 !如图"
$,!求解下列问题"
$#% 比较"!/$与""/$! ""/&与"$/&的
大小(
$$% 将"!/$写成两个角的和与两个角的差的形式%
解!$#% 由图"
$,可以看出
"!/$ 3""/$!$/"在"!/$内%
""/& 3"$/&%$/$在""/&内%
$$% "!/$#"!/",""/$!
"!/$#"!/&("&/$%
图" '*
在角的内部!以角的顶点为端点的一条射线把这个
角分成两个相等的角!这条射线叫作这个角的平分线%
如图"
'*!/$是"!/"的平分线!此时"!/$#
"$/"##
$ "!/"!或"!/"#$"!/$#$"$/"%
　
练习
!"如图#以!"为一条边的角有哪些$ 将这些角按从大到小的顺序用' ((
号连接起来%
#"只用一副三角板#画出#%## )%#的角%
!第#题"
!!!!
A
B
C
D
E
!第'题"
$"如图#"!"$#+*-# "!"&##"%-# "'平分"!"$%求"&"'的度数%
!"($ 第!章$几何图形初步
4
!!如果两个角的和等于一个平角!那么我们就称这两个角互为补角!简称
互补%!
如图"
'#! "# ,"$ ##0*-! "#叫作"$的补角!"$也叫作"#的补角!
"#与"$互补%
图" '#
!!!!!!!!
图" '$
如果两个角的和等于一个直角!那么我们就称这两个角互为余角!简称
互余%!
如图"
'$! "!,"" #,*-! "!叫作""的余角!""也叫作"!的余角!
"!与""互余%
!!
例2 !已知" "# #"'! "#与"$互补!"'与""互补%那么"$与""
有什么关系)
解!因为"#与"$互补!所以"$ ##0*-(!!!%
因为"'与""互补!所以"" ##0*-(!!!%
又因为"# #"'!所以!!! #!!!%
于是得到补角的性质"
同角"或等角#的补角相等!
思考
余角有类似的性质吗# 如果有!请给出结论并说明道理%
同角"或等角#的余角相等!
!"%$角的比较与补!余"角$!")
　
练习
!"填表%
"!
%*-
4-$* 24 2,*%
"!的余角
"%-
"!的补角
#$*-
!第$题"
#%如图#点/为直线!"上一点#/$是"!/"的平分
线#/&在"$/"内部%看图填空%
"!/&的补角是!!!#"$/&的余角是!!!#
""/&的补角是!!!#"!/$的补角是!!!%
$"!#" 如果"!的余角是"!的$倍#求"!的度数&
!$" 如果"#的补角是"#的'倍#求"#的度数%
!!
例3 !已知"**图"
''$#%+!画"!/"!使得"!/"1"*%
$#%
!!!!!
$$%
图" ''
解!用量角器量得"* ###*-%
画"!/"###*-! "!/"即为符合题意的角*如图"
''$$%+%
!&*$ 第!章$几何图形初步
4
操作
如图"
'"!张开圆规!当圆规两足末端的距离为5时!圆规的张角
为"!%将圆规闭合后重新张开!如何调整圆规使张角仍为"!#
!!!!!!!!
图" '"
基于上面的发现!我们来学习用尺规作一个角等于已知角%
尺规作图!作一个角等于已知角%
已知" "!/"$图"
'%%%
求作" "&'-!使得"&'-#"!/"%
图" '%
作法" $#% 作射线'6%
$$% 在"!/"上以点/为圆心!任意长为半径画弧!分别交射线/!和/"
于点)! 7%
$'% 以点'为圆心!线段/)长为半径画弧!交射线'6于点&%
$"% 以点&为圆心!线段)7长为半径画弧!与$'%中所画弧交于点-%
$%% 作射线'-%
"&'-即为所求作的角%
!"%$角的比较与补!余"角$!&!
!!
例4 !如图"
'+!已知两个角"# 和"$$"# 3"$%!求作这两角
的和%!
图" '+
作法!作"!/"#"#!以/为顶点!/"为一边在"!/"外作""/$#
"$!那么"!/$#"# ,"$$图"
')%%
图" ')
　
练习
!%如图#已知"!#用尺规作"!/"#$"!%
α
!第#题"
#%参考例"#作给定两角的差%
!&#$ 第!章$几何图形初步
4
　　习题4&5
!%!#" 图中共有几个角$ 说出它们之间的大小关系&
!$" 把图中的一个角写成另两个角的和&
!'" 把图中的一个角写成另两个角的差%
!第#题"
!!!!!!!!
!第$题"
#%如图#点!#/#"在同一条直线上#/$是一条射线#/'#/-分别是"!/$#
"$/"的平分线%你能说出"'/-的度数吗$ 你是怎样得到的$
$%互余且相等的两个角各是多少度$
%%一个锐角的补角比这个角的余角大多少度$
&%如图#已知"#与线段5#用尺规按下列步骤作图!保留作图痕迹#不写作法"%
!#" 作"!#"#&
!$" 在"!的两边分别作!* #!+#5&
!'" 连接*+%
!第%题"
!!!
!第+题"
'%三角板!"$和&'-按如图所示的方式放置#其中直角顶点"和'重合#
"!"&##+%##求"$"-的度数%
!"%$角的比较与补!余"角$!&$
(%如图#从点/依次引四条射线/!# /"# /$# /&#如果"!/"# ""/$#
"$/&# "&/!的度数之比为# $$ $' $"#求""/$的度数%
!第)题"
!!!!!!!!
!第0题"
)%如图# "$/"# $"!/$# /&平分"!/"#且"$/&# #,-# 求"!/"的
度数%
*"已知一条射线/!#若从点/再引两条射线/"# /$#使"!/"#)$-#
""/$#'+-#求"!/$的度数%
　
　阅读与欣赏
生物中的最佳角
#%如图"
'0!大雁迁徙时常排成人字形!这个人字形的一边与其飞行方向夹
角约%%-%从空气动力学角度看!这个角度对于大雁队伍飞行最佳!所受阻力最小%
图" '0
!&%$ 第!章$几何图形初步
4
!!$%不少植物的叶子在茎上的排布很有规律!如图"
',%#&%从茎的顶端沿
茎向下看!相邻两片叶子间的夹角是#')-$0.!如图"
',%$&%
$#%
!!!!!!!
$$%
图" ',
研究表明) 这个角度对植物叶子通风"采光来讲!都是最佳的%
'%蜂窝的形状如图"
"*%#&!其中单个蜂房的横断面是正六边形!如图
"
"*%$&%蜂房顶由三个菱形拼接而成!如图"
"*%'&(菱形的钝角是#*,-$0.!
锐角是)*-'$.!如图"
"*%"&%
这种结构使蜂窝具有省料且质量轻的特点%
$#%
!!!!!
$$%
$'%
!!!!!!!!
$"%
图" "*
!"%$角的比较与补!余"角$!&"
　
　数学活动
画　　图
#%%#& 任意画一个圆(
%$& 以圆心为顶点!利用量角器接连画五个)$-%'+*-1%& 角!这些角的边
与圆周交于五个点(
%'& 用线段连接相间的点!即得五角星!如图"
"# %
图" "#
!!
图" "$
$%%#& 过纸上一点画一组直线!使相邻两条直线之间的夹角都是#*-%图
"
"$%#&是先画出的%条直线(
%$& 以该点为中心!分别以# !"! $ !"! ' !"! " !"! % !"等为半径作圆(
%'& 在这个图形上按一定规则着色可得到不同的图案%图"
"$%$&是一
种具有*螺旋+感的图案(
%"& 按不同的规则着色!看能得出哪些别样的图案%
　
　数学史话
“几何”的由来
人类早期对几何图形的认识和研究是出于生产和生活的需要%几何研究的
起源在国外可追溯到公元前' ***年的古埃及%由于尼罗河泛滥成灾!经常要重
!&&$ 第!章$几何图形初步
4
欧几里得
新丈量被河水冲毁的土地!便逐步积累了几何图形及求解的
相关知识%埃及文化传入希腊后!公元前'** 年左右!希腊
数学家欧几里得% %&!'()!约前''*,前$)%& 在泰勒斯
%*+,'-.!约前+$",约前%")&"毕达哥拉斯%/01+,234,.!前
%0*至%)*之间,约前%**&等前人工作基础上!结合自己的
发现!将当时已有的数学内容归纳整理!写出了一本#'卷的
巨著,,,'.8984:;%-原本.&%在这本书里!对几何图形性质
的研究!是从一些基本定义和尽可能少的几条一致公认的基
本事实%称为公理&出发!运用逻辑推理的方法!推演出内容丰富"准确可靠的几何
学%从此几何学成为一门系统演绎的科学%-原本.中有%条公理"%条公设%现代
数学已不区分公设与公理!都称之为公理&"##,个定义和"+%条命题!构成了历史
上第一个数学公理体系!它是一部划时代的数学巨著!影响遍及整个科学领域%
#+*)年!我国明代科学家徐光启%#%+$,#+''&和意大利传教士利玛窦
%5,11-3 6(!!(! #%%$,#+#*&合作!把该书的前+卷翻译成中文!取名-几何原本.%
书名所加的*几何+两字出自拉丁文7-3"-140%7-3指土地!"-140指测量&中7-3
的音译!*几何+在中文里还有*多少+的含义%这样!音义兼顾!十分贴切"巧妙%
我们的祖先在很早的时候就已经能认识一些几何图形%如在中国国家博物
馆展出的一些新石器时代陶器上!有网格纹"旋涡纹"三角纹等几何图案%图
"
"'&%#,%$年!我国考古学家在陕西省西安市半坡村发现了距今约六七千年
的氏族部落遗址!其中的建筑表明当时人们已经会建造圆锥形和长方体形的房
屋%图"
""& %汉代画像石上有伏羲执矩%曲尺&"女娲执规%圆规&的画像%图
"
"%&!这也说明我们的祖先很早就会在生活中使用*规+和*矩+%
在我国的古代数学中!也有着丰富的几何学内容!如在-墨经. -周髀算经.
-九章算术.等著作中就记载了一些图形知识和处理图形问题的方法!这些古代数
学家的研究和实践经验!对于我国数学和科学的发展起到了重要的推动作用%
图" "'
!
图" ""
!
图" "%
!"%$角的比较与补!余"角$!&'
小结·评价
!!一! 知识体系
3
 
>
᎟
L
 
ᒎ
܌
ҁ
 
ᒎ
3 +๓ᄻȟ!DȟD0 *"͐
%K+C.
>+๓ᄻȟ!DȟD0 *"҅
>̺
=>
ๆLѿȟ᫷Dѿ
/ѿ ᒎ
 ᱘η჊
,3ȟᄰ3
!!二! 回顾与思考
本章主要研究有关线段和角的概念!性质!画法与计算%
#&线段可以看作直线上两点间的部分"射线可以看作直线上一点和它
一旁的部分%
##$ 说说线段!射线!直线之间的区别与联系"
A
C
B
图" "+
图" ")
#$$ 与线段和直线有关的基本事实有
哪些%
#'$ 线段的中点&如图"
"+'点$是线段
!"的中点'则!$#!!!! #!!!!!"%
$&什么是角的始边和终边% 这是从什么
角度来认识角这个图形的%
##$ 角平分线& 如图"
")' 若/$平
分"!/"' 则"!/$ #!!!! #!!!!
"!/""!
!&($ 第!章$几何图形初步
4
!!#$$ 余角的性质&!!!!!!!!!!!!!!!!"
补角的性质&!!!!!!!!!!!!!!!!%
它们是如何得到的%
'&用尺规作一条线段等于已知线段与作一个角等于已知角都是几何
中的基本作图'它们各有哪些主要步骤% 用尺规作角与我们以前的画角有
什么不同%
"&余角!补角的概念与锐角!直角!钝角的概念有什么不同% 以前我们
是否学习过类似的概念%
%&本章在学习线段时主要是从哪几个方面研究的% 比较线段和角的
研究过程'指出它们的相似之处%
!!三! 自评与互评
#&你能用折纸的方法折出相等的线段和角吗% 和同学交流你的方法%
$&学习几何不仅要注意观察实物和模型'还要注意画图和表示图形%
与同学合作'检测自己能否根据语言描述准确地画出相应图形"能否用语
言准确描述给定的几何图形%
复习题　　
!组
!%已知线段!"# $ !"%延长!"到点$#使"$# $!"%&为!"的中点#求
&$的长%
!第'题"
#%把一条'$ !"的线段分成三段#中间一段长为0 !"%
第一段中点到第三段中点的距离等于多少$
$%如图#用'(('2(或' 1(填空%
!#" 若"'是"!"$的平分线#则"!"'!!"'"$&
!$" 已知&是"$上一点#则"&!$!!""!$%
小结#评价$!&)
%%!#" 作"!/"#,*-# 在"!/"的内部作""/$ #'*-# "!/& #)%-#
"!/'#'*-&
!$" 在上面所作的图中# "$/&#!!!#射线/&是""/$的!!!#/'
是"!/$的!!!# "&/'#!!!%
&%如图#"!/"是一个平角# "# #"$# "' #""%
!#" /&是!!!的角平分线&
!$" "!/$的补角是!!!#""/'的补角是!!!#"!/&的补角是
!!!&!
!'" "'的余角是!!!#"#的余角是!!!%
!第%题"
!!!!!!
!第+题"
'%如图#点/在直线!&上# ""/'#"$/&#,*-#写出%
!#" 互为余角的角&
!$" 互为补角的角&
!'" 相等的角%
!第)题"
(%根据下列条件#用量角器)刻度尺在右图中画出点的位置%
!#" 点!在北偏东'*-方向上#与点/相距$ !"&
!$" 点"在北偏西)*-方向上#与点/相距# !"&
!'" 点$在西南方向上#与点/相距#&% !"&
!"" 点&在正东方向上#与点/相距#&% !"%
)%已知甲从点!出发向北偏东'*-方向走%* "到达点"#
乙从点!出发向南偏西'%-方向走了0* "到达点$%
试求!"# !$所成的最小的角的度数%
!'*$ 第!章$几何图形初步
4
复习题　　
"组
!%过!# "# $# &四点中的两点作直线#最多可以作多少条$
#%线段!"##$ !"#点*是!"中点#点$在*"上且*$$$"## $$%求线
段!$的长%
$%在平面内有"!/"#%*-# ""/$#'*-# /*是"!/"的平分线#/+是
""/$的平分线%求"*/+的度数%
复习题　　
#组
!%有两块三角板#一块的三个角分别是,*-#+*-#'*-#另一块的三个角分别是
,*-#"%-#"%-%用这两块三角板#你能画出多少个小于平角的)度数确定且互
不相等的角$
!第$题"
#%如图#"!/"的平分线为/*# /+为"!/*内的一条
射线%
!#" 若""/+#%%## "!/+##%##求"*/+的度数&
!$" 用等式表示"*/+与"!/+# ""/+的关系#并
说明你是如何得到的%
!第'题"
$%如图#给定一条线段!"#这时图中的线段条数为##记
作<* ##%如果在线段!"上任取一点$!不与原有端
点重合"#这时共有<# 条线段#
<# ## ,$ #'%
如果在线段!"上任取两个不同点!不与原有各点重合"#这时#共有<$ 条线段#
<$ ## ,$ ,' #+%
依此类推# <'#<"各等于多少$ 在线段!"上任取4个不同点# <4等于多少$
小结#评价$!'!
第5 章
数据的收集与
整理
翻阅报纸!收看电视!浏览网页(( 你会见到许多
数据%数据是信息的载体'生活离不开数据%
如何收集数据!整理数据!从数据中获取信息% 如
何利用这些信息客观地认识实际问题!作出科学的预测
或提出合理的建议%
本章我们将进一步学习收集和整理数据的一些基
本方法，经历调查的过程，学习怎样从统计图表中获
取信息，学会“用数据说话”.
!'#$ $
5.1
数据的收集
生活中!数据无处不在%你是否知道这些数据是如何得到的)
$问题%
$!班级要举办球类比赛!如果由你来策划这次活动!你将如何
安排)
解决这个问题!首先要了解全班同学分别喜爱哪项球类活动%为此需要调
查%你可以围绕要调查的问题设计调查问卷%
调查问卷
你喜爱的球类活动是$只选一项%
$!!%%
8%篮球!!!9:足球!!!;:乒乓球
<:羽毛球!!%:排球
填完后!请将问卷交给王平同学!谢谢合作%
将问卷发给该班%*位同学!然后收集#记录%下面是收集的资料%习惯上
把所收集的资料称为&数据'%
用字母代替
球类活动的类
型!便于统计%
调查是收集数据的重要方法%在问题# 提到的收集数据活动中!全班同学
!!
%"&$数据的收集$!'$
人口普查是
国家为了解人口
情况!定期进行
的人口调查!它
的对象是全国所
有人口%我国第
七次全国人口普
查是于$*$* 年
##月# 日* 时开
始的%
是我们要考察的对象!我们用问卷对全体同学逐一进行了
调查%像这样对全体对象进行的调查叫作全面调查"普
查#%我国政府定期进行的人口普查就是采用全面调查%
$问题&
$!某灯泡生产厂家改进了生产过程中的某
项工艺!生产出%** 只新灯泡%现对这%** 只新灯泡进
行试验!看新灯泡的使用寿命是否比原灯泡长%做这样
的试验时!是否有必要对这%** 只灯泡全部进行试验)
为什么)
采用普查可以收集到较全面#准确的数据! 但工作
量比较大!有时受客观条件$人力#财力等%的限制难以进
行!有时由于调查具有破坏性!不允许采用%在这些情况下!常常采用抽样调查!
即从被考察的全体对象中抽出一部分对象进行考察的调查方式%
在一个统计问题中!我们把所要考察对象的全体叫作总体!其中的每一个考
察对象叫作个体!从总体中所抽取的一部分个体叫作总体的一个样本!样本中个
体的数目叫作样本容量%
例如!在通过试验考察%**只新工艺生产的灯泡的使用寿命时!从中抽取%*
只进行试验%这%**只灯泡的使用寿命的全体是总体!其中每只灯泡的使用寿
命是个体!抽取的%*只灯泡的使用寿命是总体的一个样本!%*是这个样本的样
本容量%
为了使抽取的%*只灯泡能很好地反映%**只灯泡的情况!抽取时要使每只
灯泡被抽到的机会相等!应该如何抽取)
可以先对%**只灯泡逐一进行编号!再把编号写在外观#质地等均无差别的
小纸片$或卡片#小球等%上!将小纸片放在一个不透明的容器内!充分搅拌后!从
中一个一个地抽出%*个号签%
上面抽取样本的过程中!总体中的各个个体都有相等的机会被抽到!像这样
的抽样方法是一种简单随机抽样%
!'%$ 第%章$数据的收集与整理
5
　
练习
!%下列问题都要求收集数据#你认为采用全面调查合适还是抽样调查
合适$
!#" 了解本班学生每周的课外阅读时间&
!$" 调查*新闻联播+节目的收视率&
!'" 对我国'天问一号(火星探测器所用运载火箭'长征五号(的零部件
的检查&
!"" 一批罐头产品的质量检查&
!%" 对河水的污染情况的调查%
#%分别指出以下各问题中的总体)个体)样本和样本容量%
!#" 考察某商场一年中每天的营业额#从中抽取"*天的营业额&
!$" 了解一批某种型号电池的使用寿命#从中抽取#*节进行检测%
$%某乡为了解果农的年收入情况#从全乡果农中抽取%*户进行调查#这%*
户果农的年收入是!!!"%
!8" 样本!!
!9" 样本容量!
!;" 个体!!
!<" 总体
%%某班举办元旦联欢会#主持人从全班同学中抽取%名颁发幸运奖%要使
每名同学都有相等的中奖机会#你认为应该如何抽取$
　　习题5&1
!%下列调查中#调查方式选择最合理的是!!!"%
!8" 旅客上飞机前的安检采用抽样调查
!9" 某市招聘教师#对应聘教师进行面试#采用抽样调查
%"&$数据的收集$!'"
!
!;" 调查全国人民最喜爱的冬奥会运动项目#采用全面调查
!<" 调查某区域常见鸟类的数量#采用抽样调查
#%下列问题中#总体)个体)样本和样本容量各是什么$
!#" 为了检查一批零件的长度是否符合要求#从中抽取#* 件#量得它们的长
度如下!单位% !""%
$$&'+!$$&'%!$$&''!$$&'%!$$&')
$$&'"!$$&'0!$$&'+!$$&'$!$$&'%
!$" 某县参加初中学业水平考试的学生共有% *** 名#从中抽取%** 名考生
的成绩进行分析%
$%请设计一个调查个人情况!包括姓名)性别)出生年月)身高)体重)视力等"的
问卷#对全班的同学进行调查%
　
　阅读与欣赏
数据收集的重要性
为了充分利用天然来水!通常要兴建水库%在河流上拦河筑坝形成的人工
湖就是水库%水库的天然来水%包括水库上游河道来水和库区范围内降雨"降雪
等&高峰时间往往与用水部门用水高峰时间不相吻合%例如!大型水库配套建设
的电站冬季发电需水量较多!而此时水库正处于枯%亏&水期%来水流量小于出
水流量&%每年汛期!水库大多处于丰%余&水期%来水流量大于出水流量&!因此
提前开闸放水以预留库容%
下表收集的是某水库某年各月来水流量和用水流量!其中每月用水流量都
是$*&* "
' =.%
!'&$ 第%章$数据的收集与整理
5
月　份
'
"
%
+
)
0
,
#*
##
#$
#
$
合计
来水流量
"+
$·,
-!
'#&# "*&" +0&$ 0%&0 %0&$ '*&+
#'&"
+&%
'&$
"&"
,&$
#%&%
'++&%
用水流量
"+
$·,
-!
$*&* $*&* $*&* $*&* $*&* $*&*
$*&*
$*&*
$*&*
$*&*
$*&*
$*&*
$"*&*
余水量
"+
$·,
-!
##&# $*&" "0&$ +%&0 '0&$ #*&+ (+&+ (#'&%(#+&0(#%&+(#*&0 ("&% #$+&%
在水利计算
中常用*流量/
月+表示水量!一
个月以'*&" 日
计!即#%"
' =.&/月
#$ +$+ %+* "
'%
!!从上表可以看出!'月至0月为余水期!,月至次年$
月为亏水期%+ 个月余水期总余水量为##&# ,$*&" ,
"0&$ ,+%&0 ,'0&$ ,#*&+ ##,"&'$%"
' =.&/月'%+个
月亏水期总亏水量为+&+ ,#'&% ,#+&0 ,#%&+ ,#*&0 ,
"&% # +)&0$%"
' =.& / 月'! 水库在亏水期要补充
+)&0$%"
' =.&/月' 的水量%由于余水期多余的水量远
远超过亏水期所缺的水量!所以该年在亏水期也能正
常供水%
由于每年水库的天然来水流量各不相同!所以要综合考虑汛期与枯水期发
电"水坝与电站安全及下游用水等因素!对水库出水流量进行合理调节!以获得
最佳的综合效益%为此采集历年的来水流量数据!观察来水流量变化规律!预估
未来余"亏水量可能的变化情况!提前拟定水库未来蓄"放水的工作预案%
%"&$数据的收集$!''
5.2
数据的整理
在上一节&你喜爱的球类活动'调查中!我们得到了如下数据%
思考
从这些数据中!你能直接看出喜爱哪项球类活动的同学最多吗#
收集到的数据一般比较散乱!难以从中获得需要的信息%为此!要对数据进
行整理%
通常将这些数据制成表格%
全班同学喜爱的球类活动统计表
球　类
记　录
人　数
百分率"％
篮球$8%
正正正■
#)
'"
足球$9%
正■
0
#+
乒乓球$;%
正正■
#"
$0
羽毛球$<%
正■
+
#$
排球$%%
正
%
#*
!'($ 第%章$数据的收集与整理
!!把数据整理成表格!同时还常用一些统计图来直观地表达经整理后得到的
结果!使之一目了然%我们已经学过三种常用的统计图" 条形统计图#折线统计
图和扇形统计图!如图%
##图%
$和图%
' %
图% #
!!!
图% $
图% '
由图%
'可见!扇形统计图可以直观#生动地反映出喜爱各种球类活动的
同学数占全班人数的百分率%
在扇形统计图中"
扇形圆心角的度数#'+*-0该部分占总体的百分率%
如表示&篮球'部分的扇形圆心角的度数为
'+*-0'"! ##$$&"-%
怎样绘制扇形统计图呢) 我们来看下面的例子%
%"'$数据的整理$!')
!
例$#阖家团圆庆新春$欢欢喜喜拜新年%!现代通信的发展使人们的交流
方式更加多元化$拜年方式也从传统的#走亲访友%变化为视频通话&打电话&发
信息等多种方式!%'%#年某调查机构进行了#你选择什么方式拜年%的调查$结
果如下'
拜年方式
视频通话
打电话
发信息
登门
其他方式
占比&％
&"()*
&'(+&
%&(#!
*(#+
&(+,
$$请根据上面的数据$画出表示调查结果的扇形统计图!
分析$ 根据人们的"种选择情况!要把表示总体的圆分成"个扇形!先由每
种选择的人数占调查总人数的百分率计算出相应扇形圆心角的大小!然后根据
各扇形圆心角的度数画出各个扇形!
解$表示#视频通话%部分的扇形的圆心角为
&*'-$&"()*! %#%,()&*-!
表示#打电话%部分的扇形的圆心角为
&*'-$&'(+&! %###(&!,-!
表示#发信息%部分的扇形的圆心角为
图" !
&*'-$%&(#!! %,&(&'!-!
表示#登门%部分的扇形的圆心角为
&*'-$*(#+! %%%(%,!-!
表示#其他方式%部分的扇形的圆心角为
&*'-$&(+,! %#!(&%,-!
用量角器画出相应的扇形的圆心角$标明各扇
形表示的部分的名称和所占百分率$得到图
"
! !$
!$%! 第#章!数据的收集与整理
5
　
练习
!%体育老师对某班同学进行了# "(> 跳绳次数的体能测试#所得数据
如下%
#%+!#%0!#+"!#"#!#0)!#0'!#)%!#)*
$*$!#)%!#+)!#)"!#0#!#'%!#)'!#0'
#,,!#,'!#)0!$*"!#,*!#"'!#0'!$##
#00!$*+!#)+!#,"!#,,!$**!#,,!#+*
!#" 根据上述数据#完成下表%
全班同学! +./跳绳次数分布表
次　数
记　录
人　数
百分率"％
#'%3#%"
#%%3#)"
#)%3#,"
#,%3$#"
!$" 根据表格绘制扇形统计图%
#%如图#从这两个统计图中#你能判断哪个学校的男教师多吗$ 说说
理由%!
!第$题"
%"'$数据的整理$!(!
　　习题5&2
!%在一次数学活动后#老师对全班学生就'你是否愿意参加这样的数学活动(进
行了调查#结果如下%
态　度
人　数
百分率"％
愿意参加
'%
无所谓
#*
不愿意
%
!#" 持各种态度的学生数占全班人数的百分率分别是多少$ 请填入上表%
!$" 用扇形统计图表示上述调查结果%
#%下面是某班"*名同学立定跳远的得分记录%
)!!#*!! )!!#%!!#%!! "!!#$!! ,!! ,!! ,
#"
,
,
##
+
,
0
##
,
+
"
)
)
,
+
%
,
#*
##
%
%
+
,
#"
"
##
,
#$
#'
#%
!#" 用表格整理上面的数据&
!$" 用条形统计图表示上面的数据%
$"下表是我国国家统计局公布的$*#+,$*$#年的税收收入统计表%
年份
$*#+
$*#)
$*#0
$*#,
$*$*
$*$#
税收收入
"亿元
#'* '+*&)'
#"" '+,&0)
#%+ "*$&0+
#%0 ***&"+
#%" '#$&$, #)$ )'%&+)
请用折线统计图来表示上述税收收入情况%
!(#$ 第%章$数据的收集与整理
5
　
　数学活动
字母统计
下面是一篇英语幽默短文%
0123.4,5678 759:1;;<
?+-> 9(''!,"-@,!A B43".!+33'3> 1+-B(4.1),0!+(."31+-4,.A-) +(":
531+-4) C.(1(>1-4-.1(>2 13 23 13 .!+33'#
9('') D-.:8B1-4!',..! C+,E-,233) 1("-F(1+ ,B-F !',..",1-.:CBC)3>G1
+,E-,>0 !',..-.! (1F(''@--E-> "34-(>1-4-.1(>2 13 23 13 .!+33'0
#&分组完成下面的统计表%
字
母
字母出现
的次数
占字母总数的
百分率"％
字
母
字母出现
的次数
占字母总数的
百分率=％
,
>
@
3
!
H
)
I
-
4
B
.
2
1
+
&
(
E
J
F
A
K
'
0
"
L
%"'$数据的整理$!($
!!上述表中)
%#& 出现最多的字母为!!!!!(
%$& 出现的百分率超过"!的字母有!!!!!%
$&将$+个字母及空格按出现次数从大到小的顺序进行排列!并思考以下
问题%!
%#& 为什么将空格键设计在键盘下方的中央位置#
%$& 计算机键盘中的字母排列有规律吗#
%'& 你还能给出其他合理的键盘方案吗#
!(%$ 第%章$数据的收集与整理
5
5.3
用统计图描述数据
$问题%
$!为了解七年级学生的视力情况以及开始戴眼镜的年龄!王老师随
机抽取#**名学生进行了调查!得到如下两方面的数据%
调查项目!　视力情况统计表
近视度数
不近视
* 2度数
2$**
$** $度数
2"**
"** $度数
2+**
度数% +**
占被调查人数的
百分率"％
$*
$%
''
#)
%
调查项目#　戴眼镜的起始年龄统计表
年龄
0岁之前
0岁
,岁
#*岁
##岁
#$岁
#'岁
人数
0
"
%
0
#'
#,
$'
!!对于调查项目$!王老师画了两幅统计图$图%
%和图%
+%%
图% %
%"#$用统计图描述数据$!("
图% +
思考
#%要很快地了解戴眼镜的起始年龄人数的变化情况!你认为选择图
%
%和图%
+中的哪幅图较合适#
$%对于调查项目#!用怎样的统计图较合适#
'%对于常用的三种统计图即条形统计图"折线统计图和扇形统计图
%图%
)&!说说它们各自在描述数据上的优势%
$#%条形统计图
能清楚地表示出事物的绝对数量
!!
$$%折线统计图
能清楚地反映事物的变化趋势
!!
$'%扇形统计图
能清楚地表示各部分
占总体的百分率
图% )
$问题&
$!$*#* 年#$*$*年两次全国人口普查中!都对每#*万人中受教育
程度的人数进行了统计!结果如下表"
!(&$ 第%章$数据的收集与整理
5
每!= 万人中受教育程度的人数统计表
普查
受教育程度
大学
（指大专以上）
高中
（含中专）
初　中
小　学
其　他
$*#*年第六次
0 ,'*
#" *'$
'0 )00
$+ )),
## ")#
$*$*年第七次
#% "+)
#% *00
'" %*)
$" )+)
#* #)#
!!$#% 小王用两幅条形统计图比较两次普查各种受教育程度人数情况!如图%
0(
$#%
!!
$$%
图% 0
$$% 小莉用一幅条形统计图比较两次普查各种受教育程度人数情况!如图%
,%
图% ,
哪种描述方法效果好) 好在哪里)
%"#$用统计图描述数据$!('
　
练习
!%小明就某电视台的节目受欢迎的情况#对本班%*名同学作了一次调查#
结果如下%
最受我班同学欢迎的电视节目
节目
新闻
体育
综艺
动画
其他
人数
#+
#0
0
%
'
选用适当的统计图描述上表数据%
#%下面是某报刊载的'城市居民最关心的生活问题(的调查结果%
城市居民最关心的生活问题
最关心的问题
医疗保障
收入
子女教育
健康
就业
其他
占总人数的
百分率"％
$#
$*
#,
#%
#"
##
试将上面的调查结果用适当的统计图表示出来%
　　习题5&3
!%下表给出了$*#)年至$*$$年人口自然增长率情况%
年　份
$*#)
$*#0
$*#,
$*$*
$*$#
$*$$
增长率"‰
%&%0
'&)0
'&'$
#&"%
*&'"
(*&+*
请制作适当的统计图表示我国$*#) 年至$*$$ 年人口自然增长率的变化
情况%
!(($ 第%章$数据的收集与整理
5
#"某校安排了丰富多彩的校本课程%小明对本学期全班%*名同学最喜欢的校
本课程类别进行了统计#每人只能选一类#根据收集的数据制作了下表%
最喜欢的校本课程类别
体育
科技
艺术
所选人数
$%
占全班人数百分率"％
'*
!#" 请完善表格中的数据&
!$" 根据上述表格中的人数百分率#绘制合适的统计图%
%"#$用统计图描述数据$!()
5.4
从图表中的数据
获取信息
统计图表反映了被描述对象的重要内容和数据情况!它简单明了!有利于我
们把握数据的特点!统计图还能直观#生动地传递信息%
$问题%
$!能源是经济发展的重要基础!我国持续推进能源消费转型%
图%
#*是$*#',$*$#年我国天然气占能源消费总量比重统计图和煤炭占
能源消费总量比重统计图%
$#%
$$%
图% #*
$#% 从图中你得到了哪些信息)
$$% 预计%年后我国天然气占能源消费总量的比重将会是多少)
!)*$ 第%章$数据的收集与整理
!!$问题&
$!以下是$*#'年#$*$#年我国能源消费结构图$图%
##%%
图% ##
将两幅图进行对比!你可以得出哪些信息)
!
例!根据统计表和统计图$图%
#$#图%
#'%回答问题%
#=!&—#=#= 年全国完成造林面积及增速统计表
年份
$*#%
$*#+
$*#)
$*#0
$*#,
$*$*
完成造林面积
"万公顷
+'$&"%
+)0&0
)'+&$
)*)&"
)*+&)
+))
增速"％
"&,"
)&''
0&"+
('&,#
(*&#*
("&$*
图% #$
!!
图% #'
%"!$从图表中的数据获取信息$!)!
!!$#% #,0#,$*$#年我国森林覆盖率变化趋势是什么)
$$% $*#),$*$*年全国每年完成造林面积变化趋势是什么)
$'% $*#),$*$*年全国每年完成造林面积增速由正转负!所以全国完成造
林总面积从$*#)年开始逐渐减少!你认为这种说法正确吗)
解!$#% #,0#,$*$#年我国森林覆盖率逐年增加%
$$% $*#),$*$*年全国每年完成造林面积逐年减少%
$'% 这种说法是错误的%造林面积的增速由正转负!说明了每年完成的造
林面积逐年减少!但是每年都造林!全国完成造林总面积仍在逐年增加%
$问题'
$!某媒体统计了春节期间甲#乙#丙三档节目的收视率%小华和小
明同学绘制了如图%
#"所示的两幅条形统计图%
$#%
!
$$%
图% #"
统计图表示
的数据是否从*
开始!横轴"纵轴
上单位长度是否
一致会导致直观
上的差异%
比较上面这两幅统计图%请你说一说!这三档电视
节目收视率的差别大吗) 为什么两幅统计图表示的数据
相同!给人的感觉却不一样)
由此可知!用不当的图表来表达数据会给人以误导%
从图表中获得信息时!要关注数据的来源#收集的方法和
描述的形式!以便获得可靠的信息%
!)#$ 第%章$数据的收集与整理
5
　
练习
!%根据下面统计图回答问题%
!第#题"
!#" 该地区何时该类汽车销售量最大$
!$" 何时该类汽车销售量增长率最高$
#%根据下表数据绘制的两幅折线统计图#表示的是某股票$*#,,$*$$ 年
最高价格的变化情况%
年　份
$*#,
$*$*
$*$#
$*$$
股票最高价格"元
"'
%)
+*
++
!第$题"
%"!$从图表中的数据获取信息$!)$
! !#" 哪一幅图显示的增长幅度可能给人以误导$
!$" 造成误导的原因是什么$
$%下图是甲)乙两家公司的利润增长情况统计图#哪一家公司的利润增长
速度较快$
!第'题"
　　习题5&4
!%下图是甲)乙两个家庭支出情况的扇形统计图%
!第#题"
!#" 两家在食物方面的支出分别占各自总支出的多大比例$
!$" 能否从图中得出'在交通支出方面甲家庭比乙家庭花去的钱少($
!'" 要回答上面的问题!$"#还需什么信息$
!)%$ 第%章$数据的收集与整理
5
! !"" 如果食物的支出占家庭全部支出的比例越小#说明生活水平越高#你认
为哪家生活状况好些$
#%下图为某公司下属两个销售部+个月的销售额%
!第$题"
!#" 哪一个月销售部9与销售部8的销售额差距最小$
!$" 为什么+月对于销售部8来说是不一样的一个月$
!'" 两部门总销售额最多的一个月#销售部9比销售部8约多百分之几$
$%下图为两本中学生科普图书近年销售情况的折线统计图%
!第'题"
!#" 分别描述两本书$*#),$*$$年间的销售情况&
!$" 根据图中后几年的销售趋势预测两本书今后的销售情况%
%%城镇化水平通常用城镇人口占总人口的比例来表示#下表为我国城镇人口占
总人口的百分率%
年　份
#,+"
#,0$
#,,*
$***
$*#*
$*$*
百分率"％
#0&"
$*&*+
$+&$'
'+&*,
",&+0
+'&0,
%"!$从图表中的数据获取信息$!)"
! !#" 绘制城镇人口占总人口比例的折线统计图&
!$" 我国城镇化水平在哪几个阶段提高较快$
&%某公司去年),#$月的销售额如下表%
月　份
)
0
,
#*
##
#$
销售额"万元
0*
0%
0%
,*
,%
#**
下图是公司王经理和业务员小张根据上述数据分别绘制的折线统计图%
!第%题"
王经理指着自己画的图说% 下半年我公司业绩上升的速度较为缓慢%业务员
小张说% 下半年我公司业绩直线上升%
为什么这两幅图表示的数据相同#但给人的感觉不一样$
　
　信息技术应用
用电子表格软件绘制统计图
我们可以利用多种计算机软件绘制出各种统计图表!电子表格软件就是其
中的一种%
通过下面的操作!我们来了解用电子表格软件绘制统计图的方法%
!)&$ 第%章$数据的收集与整理
5
!!!
例!根据下表!绘制统计图%
#=!)—#=## 年我国科技成果登记数统计表
年　份
$*#0
$*#,
$*$*
$*$#
$*$$
登记数=项
+% )$*
+0 %+$
)+ %$#
)0 +%%
0" '$"
!!具体操作步骤如下)
%#& 打开电子表格软件!在打开的窗口中根据上表输入数据!选中*年份+与
*登记数=项+数据8$39+%图%
#%&(
图% #%
!!!
图% #+
%$& 选择*插入+菜单中的*全部图表+命令%图%
#+&!在弹出的*全部图
表%6&+对话框中选择需要的图表类型%图%
#)&(
图% #)
%"!$从图表中的数据获取信息$!)'
!!%'& 点击*下一步+按钮!按照提示一步一步做下去!就能画出你需要的统计
图%折线统计图"条形统计图"扇形统计图&!如图%
#0 %
$#%
!!
$$%
2018 
2019 
2020 
2021 
2022 
18
18
20
21
23
2018 ᔎ2022  ۬
ቷ   ᅤ៌
   Ꮀើۭ
$'%
图% #0
进一步修饰上述图表) 调整纵轴上数据的起点!将横轴上显示的数据改成
月份!给图表加上标题等%
!)($ 第%章$数据的收集与整理
5
小结·评价
!!一! 知识体系
A
ᴑ
᫥
ᐻ
៩ᵣAᴑ
0 Kᱦ
៩ᵣ
᪜
ᢚ
+ᩢ
K̺
᪠
)
᪜
ᢚ
+ᩢ
K
Ϻ =͙
8 ԍᖛ
ڔLAᴑ
ᕧѿ͖
ѿ
ᵣ᱘
ᵣ᱘ქF
4@=
᲍ᒎ4@ 
ោ34@ 
᪜ᢚ+᪠)̺
᣻Eᝳ
ᒎ4@ 
!!二! 回顾与思考
#&收集数据的调查方式有&!!!!和!!!!%为使收集的数据具
有代表性'抽样方法要合理%本章介绍的常用的抽样方法是&!!!!!
!!!!!!!!!%
$&什么是总体!个体!样本!样本容量% 你能举例说明吗%
'&三种常见的统计图分别是&!!!!!!!!!和!!!!%它们
是如何绘制的% 在描述数据时分别有何优势%
小结#评价$!))
!!"&结合自己参与的调查实例'说说数据的收集和整理应当注意些什么%
!!三! 自评与互评
#&数据中蕴含着信息'你有从数据中获取信息的经历吗% 与同伴交
流'谈谈你的经历和体会%
$&如果让你去了解本市学生是否喜欢某电视节目'你会怎么去做% 和
同伴说说你的想法'请他对你的设想作出评价%
复习题　　
!组
!%对全校七年级同学到校交通方式进行一次调查%
!#" 调查目标是
!&
!$" 调查对象是
!&
!'" 记录的数据是调查对象的
!&
!"" 设计一张这个项目的调查表%
#%下图是中国秦初至清末部分朝代历经的时间%
!第$题"
#**$ 第%章$数据的收集与整理
5
!!" 哪个朝代历经的时间最长# 哪个朝代最短#
!"" 有多少个朝代历经的时间超过"#$年#
!%" 如果把西汉$东汉合为汉%北宋$南宋合为宋%那么上面!!"%!""题答案有
什么变化#
!!下图是某人腋窝体温记录的折线统计图!根据图表信息%回答下列问题!
!第%题"
!!" 此人每隔&&&&!测一次体温&
!"" 腋窝体温在%' "到%()* "为体温平稳!%月&&日&&时起%此人体
温平稳&
!%" 请简要描述此人三日体温变化情况!
"!王蓉同学负责做一期班级墙报的编辑%她想了解同学们对这期墙报的评价%
对全班**名同学进行了一项问卷调查%调查结果如下!其中#表示很好%$
表示较好%%表示一般%&表示不好"!
#&%&&&$&$&#&%&%&#&#&$
%&$&%&%&#&$&%&#&$&#&#
$&$&$&%&&&%&$&%&#&$&%
$&&&%&$&$&&&$&#&&&#&$
!!" 把上面的资料整理成统计表&
!"" 作何种评价的人数最多#
!%" 根据统计表%请你对这期墙报进行总体评价!
小结!评价!!"#
复习题　　
!组
#!请你选择适当的统计图将下表中的增长率表示出来%并根据所制作的统计图
说说你所获得的信息!
年份
某地专任教师数
增长率（与上一年相比）!％
"$!#
'!+ *#(
$)+
"$!'
'"* $*#
$),
"$!(
'%( '!!
")"
"$!+
'#* !*(
")'
"$!,
''( '''
")!
"$"$
'," '$(
%)(
"$"!
(!, #*'
%),
"$""
('" *("
')$
$!下表给出了在第!( 届$第!+ 届亚运会上%获得金牌前五名的国家的奖牌
情况!&
第#% 届
国家
金牌
银牌
铜牌
中国
!#!
!$+
+%
韩国
(,
(!
+*
日本
*(
('
((
哈萨克斯坦
"+
"%
%%
伊朗
"!
!+
!+
&
　　第#& 届
国家
金牌
银牌
铜牌
中国
!%"
,"
'#
日本
(#
#'
(*
韩国
*,
#+
($
印度尼西亚
%!
"*
*%
乌兹别克斯坦
"!
"*
"#
!"!! 第"章!数据的收集与整理
5
!!" 从这两张统计表你能得到哪些信息#
!"" 小翔将表中的数据制成了下面的两幅统计图%请你对这两幅统计图进行
评价!
!!"
&&&&
& !""
!第"题"
!!下图是某村#至'六个村办企业上缴利润占比的扇形统计图(
!第%题"
!!" $企业"$""年上缴的利润是否比"$"!年上缴的利润少#
!"" '企业"$""年上缴的利润比"$"!年上缴的利润增加了百分之几#
!%" 完成下面的条形统计图!
小结!评价!!"$
某村"$"!年与"$""年村办企业上缴利润统计图
!第%题"
"!中国体育代表团自!,,"年以来各届奥运会所获奖牌数如下表所示!
年份
!,,"
!,,'
"$$$
"$$*
"$$+
"$!"
"$!'
"$"! 合计
"枚
金牌!枚
!'
!'
"+
%"
*+
%,
"'
%+
银牌!枚
""
""
!'
!(
""
%!
!+
%"
铜牌!枚
!'
!"
!*
!*
%$
""
"'
!,
合计!枚
!!" 完成上表&
!"" 用折线统计图表示中国体育代表团在各届奥运会上获得的奖牌总数&
!%" 从图中你还能获得哪些信息#
!"%! 第"章!数据的收集与整理
5
复习题　　
"组
#!下图是甲$乙两个旅游地的月平均气温和平均降雨量%其中折线表示气温!单
位' ""的变化%条形表示降雨量!单位' ))"!
!第!题"
!!" 描述甲$乙两地气温$降雨量的特点&
!"" 甲地是位于北半球还是南半球# 乙地呢#
!%" 王伯伯准备从甲$乙两地中选一个#月份气温适宜的去旅游%你认为该选
哪里#
$!就你自己生活或学习中的某一方面数据制作合适的统计图%并分析其结果和
原因%更好地指导自己的生活或学习!
小结!评价!!"&
综合与实践
　
干支纪年
　
#兰亭集序$为我国晋代杰出书法家王羲之!%$%%%'!"与友人在会稽山阴
举办兰亭雅集时饮酒赋诗所作&全卷跌宕遒丽&是书法的珍品!
(兰亭集序)
文章开篇写道'永和九年&岁在癸丑&暮春之初&(()&即王羲之与友人相聚
的年份与时间&使用了我国古代两种常用的纪年%%%年号纪年与干支纪年!干
支纪年是中国历法上一直使用的&许多重要的历史事件都用它来指称&如'戊戌
变法)'辛亥革命)'甲午战争)等!今天我们就一起来探究干支纪年的规律!
研究任务
!)了解干支纪年法及其相关历史文化知识!
!"'! 综合与实践!干支纪年
")探究天干与地支的搭配规律&并用数学式子表示!
%)探究公元纪年与干支纪年之间的关系&推导出不同纪年之间的换算公式!
实施要求
与同学合作&组成研究小组!从上面的'研究任务)中选!-"个进行重点研
究!也可自行提出与主题相关的问题进行研究&如根据#兰亭集序$中的记载&推
断王羲之与友人在兰亭聚会一事发生在公元多少年!
成果展示
请根据你的研究过程完成下面的研究报告&并在班级中展示小组的研究
成果!&
研究报告
项目主题
研究目标
小组成员
完成时间
研究计划
研究方法
!简述研究过程*
方法以及创新点"
综合与实践!干支纪年!!"(
!续表"
研究结论
收获与反思
交流评价
!)研究过程中&及时开展形式多样的交流与评价活动!
")研究结束后&对研究方法*研究成果*团队表现进行评价!根据交流与评
价情况&修改*完善成果!
!")! 综合与实践!干支纪年
综合与实践
　
一次方程组与CT 技术
　
%*是+射线计算机断层成像的简称(它显著地改善了+射线检查的分辨
能力&其分辨率大大高于一般+光机&能清楚地显示出器官是否有病变&因而被
广泛地用于医学诊断(你了解%*的工作原理吗+
阅读下列材料&了解%*的工作原理!
根据人体不同组织对+射线吸收程度的不同!运用灵敏度极高的仪器对
人体进行检查!将获取的数据输入计算机!由计算机对数据进行处理就可得到
人体被检查部位的各断层的影像!从而发现体内任何部位的微小病变!
在对人的大脑进行%*检查时!为了显示整个头部的情况!先把它分成多
个连续的横断面即断层"图!#!断层厚度一般为!-!$ ))!再进行扫描!以获
得各断层影像!
图!&头部断层
综合与实践!一次方程组与#$技术!!"*
&&各断层的%*影像是如何得来的$ 我们在受检体内欲成影像的断层表面
上!按一定大小"长或宽为!-" ))#把断层划分成许多小块"其高就是断层的
厚度#!这些小块称为体素!一般用吸收值来表示+射线束穿过一个体素后被
吸收的程度!要得到该断层的影像!发现受检体有无病变!就要把各体素的吸
收值都求出来!
+射线穿透人体器官或组织时!由于人体器官或组织是由多种物质
构成的!同种物质各处密度亦不相同!所以各体素对+射线的吸收系数是不
同的!
+射线的衰减有这样的规律%+射线束沿某方向通过#个体素后!总的吸
收值等于这#个体素的吸收值之和!
研究问题
!)什么是断层与体素+ %*的断层影像是如何得到的+
")+射线束沿图"所示方向通过$& %& &三个体素&如何用等式表示总吸
收值'与这%个体素的吸收值(& )& *之间的关系+
图"
解决问题
问题!
如何求一个断层上各体素的吸收值+
!#"! 综合与实践!一次方程组与#$技术
&&图%中体素$& %& &的吸收值分别为(& )& *!+射线束!穿过体素$和
%后&探测器测得的总吸收值为'!, +射线束"穿过体素$和&后&测得总吸收
值为'", +射线束%穿过体素%和&后&测得总吸收值为'% !列出关于(& )& *
的三元一次方程组并求解&即可求出各体素的吸收值!
图%
此方法称为联立方程法!由于需建立的方程太多!因而建立影像
的速度较慢!目前%*影像的建立普遍采用滤波反投影法!这种方法
建立影像的速度很快!+射线扫描结束即可得%*影像!
请列出关于(& )& *的方程组&与同学交流列方程组过程中所依据的等量
关系!
问题"
现测得图%中的%个总吸收值为'! +$)+& '" +$)##& '% +$)'#&体素$& %&
&的吸收值分别是多少+
问题%
设甲*乙*丙三人的%个体素$& %& &被+射线束!& "& %分别穿过后所测
得的总吸收值如下!
综合与实践!一次方程组与#$技术!!##
受试者
总吸收值
"#
"$
"!
甲
$)*#
$)**
$)%,
乙
$),$
$)++
$)+"
丙
$)''
$)'*
$)($
&&!!" 设(& )& *分别为体素$& %& &的吸收值&完成下表, &&
受试者
体素吸收值
#
$
%
甲
乙
丙
&&!"" 设+射线束穿过健康器官*肿瘤*骨质的体素吸收值如下!
组织类型
体素吸收值
健康器官
$)!'" #-$)",( (
肿瘤
$)"'( ,-$)%,% $
骨质
$)%+# (-$)#!$ +
在%*影像
中!各体素的黑
白程度表示吸收
值的大小!深色
表示低吸收值
区!浅色表示高
吸收值区!
&&对照上表&分析甲*乙*丙三人的检测情况&判断哪位
患有肿瘤!
!#!! 综合与实践!一次方程组与#$技术
拓展活动
!)如何求" ,"的断层上体素$& %& && -的吸收值(& )& *& .+
")如图*&* 条射线束穿过该断层时&若测得的总吸收值分别为'! +!)!&
'" +!)$& '% +$)+& '* +!)%&请列出(& )& *& .满足的方程组!
图*
%)根据你所列出的方程组能否唯一确定(& )& *& .的值+
综合与实践!一次方程组与#$技术!!#$
交流评价
!)梳理解决问题的过程&总结学习的经验与成果&在班级汇报交流&开展自
评与互评!
")有兴趣的同学可查阅资料&了解%*技术的发展过程和发展趋势&提出自
己想研究的问题&与同伴合作解决!
!#%! 综合与实践!一次方程组与#$技术
综合与实践
　
珍惜水资源
　
水是万物之母*生存之本*文明之源!
地球的储水量很丰富&共有!*)#亿立方千米之多!但是&淡水资源仅占总
水量的")#!&人类真正能够利用的淡水资源约占总水量的$)"'!!又由于陆地
上的淡水资源分布不均匀*人口的急剧增长*水污染等多种原因&全球近三分之
一人口生活在'高度缺水)的国家!我国是水资源紧缺的国家之一&人均水资源
占有量约为世界人均水平的四分之一!
水资源正在变成一种宝贵的稀缺资源&关系到国家经济*社会可持续发展和
长治久安!每年的%月""日是联合国确定的'世界水日)&旨在提醒人们要保护
水资源*珍惜水*节约用水!
研究任务
不容忽视的水资源浪费
!)调查居民生活用水中的浪费现象&并指出其中哪些现象最为普遍!
")设计一个数学实验&针对浪费现象中的一种-测量某段时间内浪费的
水量!&
节约用水从我做起
了解身边居民有哪些节水措施&你认为哪一种最有效+ 向同伴推荐一种你
认为最有效的节水妙招!
综合与实践!珍惜水资源!!#&
实施要求
!)独立思考&形成思路!
")小组讨论&确定方案&分工合作&研究汇报!
成果展示
!)完成研究报告!
")根据小组研究结果&结合今年'世界水日)'中国水周)的活动主题和宣
传口号&制作节水手抄报或电子演示文稿&开展一次'珍惜水资源)的宣传
活动!
研究报告
项目主题
研究目标
小组成员
完成时间
研究计划
研究方法
!简述研究过程*
方法以及创新点"
!#'! 综合与实践!珍惜水资源
!续表"
研究结论
收获与反思
交流评价
!)研究过程中&及时开展形式多样的交流与评价活动!
")研究结束后&对研究方法*研究成果*团队表现进行评价!根据交流与评
价情况&修改*完善成果!
综合与实践!珍惜水资源!!#(
附录1　常用的单位及其符号
量的名称
单位（符号）
备　注
长度
毫米!))"
厘米!,)"
米!)"
千米!-)"
海里!. )/01"
! ,)2!$ ))
! )2!$$ ,)
! -)2! $$$ )
! . )/012!)+#" -)
面积
平方毫米!))
""
平方厘米!,)
""
平方米!)
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公顷!!)
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平方千米!-)
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体积
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%
容积
毫升!)3"
升!3"
! )32! ,)
%
! 32! $$$ )3
质量
毫克!)4"
克!4"
千克!-4"
吨!5"
! 4 2! $$$ )4
! -4 2! $$$ 4
! 52! $$$ -4
时间
秒!6"
分!)/."
.小/时!!"
! )/. 2'$ 6
! ! 2'$ )/.
!#)! 附录%!常用的单位及其符号
!续表"
量的名称
单位（符号）
备　注
角度
秒!."
分!/"
度!0"
!/2'$.
!02'$/
速度
米7秒!)76"
千米7时!-)7!"
&
! -)7! 2#
!+ )76
温度
摄氏度!""
附录%!常用的单位及其符号!!#*
附录2　部分中英文词汇对照表
中　　文
英　　文
正数
896/5/:1.;)<1=
负数
.14>5/:1.;)<1=
整数
/.5141=
分数
?=>,5/9.
有理数
=>5/9.>0.;)<1=
原点
9=/4/.
正方向
896/5/:1@/=1,5/9.
单位长度
;./501.45!
数轴
.;)<1=>A/6
相反数
98896/51.;)<1=
绝对值
><690;51:>0;1
倒数
=1,/8=9,>0
幂
89B1=
底数
<>61.;)<1=
指数
1A89.1.5
科学记数法
6,/1.5/?/,.95>5/9.
近似数
>88=9A/)>51.;)<1=
误差
1==9=
偶数
1:1. /.5141=
奇数
9@@ /.5141=
代数式
>041<=>/,1A8=166/9.
单项式
)9.9)/>0
!!"! 附录&!部分中英文词汇对照表
!续表"
中　　文
英　　文
系数
,91??/,/1.5
次数
@14=11
多项式
890C.9)/>0
项
51=)
常数项
,9.65>.551=)
整式
/.514=>01A8=166/9.
同类项
0/-151=)
一元一次方程
0/.1>=1D;>5/9. B/5! 9.1;.-.9B.
二元一次方程组
6C651)9?0/.1>=1D;>5/9.6B/5! 5B9 ;.-.9B.6
代入法
10/)/.>5/9. <C 6;<65/5;5/9.
加减法
10/)/.>5/9. <C >@@/5/9. >.@ 6;<5=>,5/9.
体
690/@
面
?>,1
线
0/.1
点
89/.5
线段
0/.1614)1.5
射线
=>C或!>0?0/.1
直线
65=>/4!50/.1或=/4!50/.1
相交
/.51=61,5/9.
交点
89/.59?/.51=61,5/9.
中点
)/@@0189/.5
距离
@/65>.,1
角
>.401
角的平分线
>.4;0>=</61,59=
附录&!部分中英文词汇对照表!!!#
!续表"
中　　文
英　　文
补角
6;8801)1.5>=C >.401
余角
,9)801)1.5>=C >.401
抽样调查
6>)80/.4 6;=:1C
总体
898;0>5/9.
个体
/.@/:/@;>0
样本
6>)801
样本容量
6>)8016/E1
简单随机抽样
6/)801=>.@9)6>)80/.4
条形统计图
<>=,!>=5
折线统计图
0/.1,!>=5
扇形统计图
8/1,!>=5
!!!! 附录&!部分中英文词汇对照表
附录3　手工纸
"本书第!*"页数学活动手工纸#
附录'!手工纸!!!$
!!%! 附录'!手工纸
附录'!手工纸!!!&
!!'! 附录'!手工纸
附录'!手工纸!!!(
!!)! 附录'!手工纸
后&&记
本套数学教科书是在原#义务教育教科书&数学!七年级上册至九
年级下册"$的基础上&依据教育部颁布的#义务教育数学课程标准!"$""
年版"$&对教科书进行了全面修订完成的!
为了做好本次的修订工作&我们调整*加强了编写队伍!本套教科
书编写组由苏淳*吴之季担任主编&叶向东院士担任顾问!
本册编写修订工作主要由胡涛*李群*张永超*董建功*李国凯*郝丽
娟完成!
此外&在本册修订过程中&薛凌参与了审读和修订研讨&李莹莹参与
了章前言和第*章的修改及综合与实践的编写&吕莲花参与了小结与评
价和第# 章的修改&葛基雲参与了综合与实践和部分习题的修改&梁镇
参与了章前言和部分习题的修改!
在编写本套教科书的过程中&我们得到许多专家*学者以及广大数
学教育工作者的大力支持和热情帮助&部分省市的一线教师参与了教科
书的试教试用&提出了宝贵的意见和建议!在此&我们表示衷心的感谢0
教材建设是一项长期任务&需要不断探索*实践*完善!我们恳请广
大师生持续关注和支持本套教科书&在使用过程中提出宝贵的意见和
建议!&
联系电话- $"!
'*+*+$"#!
电子邮箱- F,16658),. !
编者
本书图片提供信息%
本书中的部分图片由视觉中国& G%8!959& 上海飞果信息技术等提供!
声明&按照'中华人民共和国著作权法(第二十五条有关规定!我们已尽量
寻找著作权人支付报酬!著作权人如有关于支付报酬事宜可及时与出版社
联系!&