义务教育教科书
数学
七年级 下册
上海科学技术出版社
致同学
亲爱的同学!
伴随着春天的脚步% 你将步入新学期的新生活&
本册教科书是根据'义务教育数学课程标准"&%&& 年版# ( 编写的0教
科书从你熟悉的日常生活情境及社会和科技发展的实际入手% 为你提供生动有
趣的学习素材% 带你遨游奇妙的数学天地0内容包含)实数* )一元一次不等
式与不等式组* )整式乘法与因式分解* )分式* )相交线+ 平行线与平移*0
无理数的引入使数的范围扩充到)实数*0你将通过类比有理数的学习%
研究实数的概念+ 性质+ 运算及实数与数轴上点之间的对应关系% 体会数的运
算的一致性0
不等式是刻画现实世界中不等关系的重要数学模型0在)一元一次不等式
与不等式组* 中% 你将学习不等式"组# 的概念+ 性质和解法% 运用不等式
解决实际问题0
)整式乘法与因式分解* 将带你研究幂的运算性质+ 整式乘法+ 乘法公式
和因式分解% 体会数式运算的一致性0
)分式* 将带你学习分式的概念+ 性质和运算% 体会分式与分数的关联%
探究分式方程的解法% 运用分式方程解决简单问题0
在)相交线! 平行线与平移* 中% 你将进一步认识)相交* )垂直* )平
行*% 了解平行线的基本事实% 研究平行线的判定和性质% 学会运用平移设计
美丽的图案0
!!在学习的过程中% 相信你会积极参与)观察*
)操作*
)思考*
)交流*
)探究* 等活动% 主动学习% 迸发思维的火花, 在)做数学* 的过程中% 更多
地与同学讨论+ 交流% 促进对数学的理解和运用% 感受数学学习的乐趣% 逐渐
学会用数学的眼光观察现实世界% 用数学的思维思考现实世界% 用数学的语言
表达现实世界0
目录
第6 章 实数
1
--------------------
*!"! 平方根!立方根
&
""""""""""""""""""
*!&! 无理数和实数
$
""""""""""""""""""
数学活动!探究将无限循环小数化为分数
"'
!!!!!!
信息技术应用!求槡'的近似值
"(
!!!!!!!!!!!
数学史话!无理数漫谈
&%
!!!!!!!!!!!!!!
小结·评价
&&
----------------------
复习题
&.
"""""""""""""""""""""
第7 章 一元一次不等式与不等式组
26
--------
'!"! 不等式及其基本性质
&'
"""""""""""""""
'!&! 一元一次不等式
.+
"""""""""""""""""
数学活动!饮品促销方案分析
+%
!!!!!!!!!!!
'!.! 一元一次不等式组
+"
""""""""""""""""
小结·评价
+#
----------------------
复习题
+*
"""""""""""""""""""""
第8 章 整式乘法与因式分解
50
-----------
(!"! 幂的运算
#"
""""""""""""""""""""
(!&! 整式乘法
*#
""""""""""""""""""""
数学活动!求最大乘积
'.
!!!!!!!!!!!!!!
(!.! 完全平方公式与平方差公式
'+
""""""""""""
(!+! 因式分解
(%
""""""""""""""""""""
数学拓展!巧用因式分解
('
!!!!!!!!!!!!!
数学史话!杨辉三角
($
!!!!!!!!!!!!!!!
小结·评价
$"
----------------------
复习题
$&
"""""""""""""""""""""
第9 章 分式
96
-------------------
$!"! 分式及其基本性质
$'
""""""""""""""""
数学拓展!类比推理
"%.
!!!!!!!!!!!!!!
$!&! 分式的运算
"%#
""""""""""""""""""
$!.! 分式方程
""#
"""""""""""""""""""
数学拓展!两个等式的研究
"&%
!!!!!!!!!!!
小结·评价
"&&
----------------------
复习题
"&.
""""""""""""""""""""
第10 章 相交线、平行线与平移
127
---------
"%!"!相交线
"&(
""""""""""""""""""""
数学活动!怎样铺设节省材料
".#
!!!!!!!!!!
"%!&!平行线的判定
".*
"""""""""""""""""
"%!.!平行线的性质
"++
"""""""""""""""""
"%!+!平移
"+(
"""""""""""""""""""""
信息技术应用!探究平移的基本性质
"#"
!!!!!!!
数学活动!钥匙复制原理
"#&
!!!!!!!!!!!!
小结·评价
"#.
----------------------
复习题
"#+
""""""""""""""""""""
综合与实践 简单的排队问题
158
----------
综合与实践 “数”说纳米材料
161
---------
综合与实践 探秘天文景象——火星冲日
164
-----
附录 部分中英文词汇对照表
166
-----------
第6 章
实数
!"!" 年#! 月#$ 日!嫦娥五号返回舱首次完成
月球采样任务!返回地球!返回舱返回地球时!是以
接近第二宇宙速度"
! 的速度进入地球大气层的!"
!
满足以下关系式"
"
!
! #!$%
#其中!$ 取%&' !"#
!! %取(&) &#"
( !$!
如何求"
! 呢% 这就需要学习一种新的运算&&&
开方!
边长为# 的正方形的对角线长能用有理数表示
吗% 圆周率呢%
本章将学习平方根、立方根等知识，并在此基
础上认识无理数，进而将数的范围扩充到实数.
!!
嫦娥五号探测器示意图
6.1
平方根、立方根
1&平方根
!问题"
!*装修房屋!选用了某种型号的正方形地砖!用)块这种地砖正好
铺# !
!!如图(
#! #块这种地砖的边长是多少"
图( #
设#块正方形地砖的边长为'!!根据题意!有
'
! ##
) !
这是已知一个数的平方!求这个数的问题!
一般地!如果一个数的平方等于(!那么这个数叫作(的平方根!也叫作(的
二次方根!
例如!因为#"
! ##""!# )#"$
! ##""!所以#""的平方根是+#"与,#"#可以
合写为-#"$!
交流
#&#(的平方根是什么!
!&"的平方根是什么!
.&,%有没有平方根!
"! 第"章!实数
**一个正数! 的平方根有两个!它们互为相反数"我们用槡(表示(的正的平
方根!读作%根号(&!其中(叫作被开方数!这个根也叫作(的算术平方根!另一
个负的平方根记为,槡( !! 的平方根是!!! 的算术平方根也是!!即槡! "! "负数
没有平方根"
求一个数的平方根的运算叫作开平方!
图( !
由图(
!可知!开平方是平方的逆运算!根据这种关系!我们可以求出一
些数的平方根!
!!
例1 *求下列各数的平方根和算术平方根'
##$ #(*#!$ '#(*#.$
#
() (*#)$ #,.$
! !
解*##$ 因为# *#$
! ##!所以#的平方根是*#!即*槡# #*#(#的算术平
方根是#!
#!$ 因为# *%$
! #'#!所以'#的平方根是*%!即*槡'# #*%('#的算术平
方根是%!
#.$ 因为
*#
'
(
)
!
# #
() !所以#
() 的平方根是*#
' !即*
#
()槡
#*#
' ( #
()
的算术平方根是#
' !
#)$ 因为# *.$
! #% ## ).$
!!所以# ).$
!的平方根是*.!即* # ).$
槡
! #
*.(# ).$
! 的算术平方根是.!
"#$!平方根!立方根!#
利用计算器可以求一个正数的算术平方根或它的近似值!
!!
例2 *用计算器求下列各式的值#精确到"&"#$'
##$ 槡! (*#!$ 槡# '." (*#.$ ,槡"&'$( (*#)$
/
$槡
!
解*##$ 在计算器上依次键入' 槡*
!
0!显示结果是#&)#) !#. /(!!精确
到"&"#!得槡! " #&)#!
#!$ 槡# '." " )!&$'!
#.$ )槡"&'$( ")"&%)!
第二宇宙速
度是指使人造卫
星摆脱地球引力
束缚"并围绕太
阳运动所需的最
小发射速度!
#)$ 在计算器上依次键入' 槡*
#
/
1 $
$
0!
即可得
/
$槡
" "&'/!
本章引言中提到的速度"
! 是第二宇宙速度!"
! #
!槡$%!其中$取%&' !"#
!!%取(&) &#"
( !!用计算器可
求得**
"
! #
! &%&' &(&) &#"
槡
( # ## !""#!"#$ # ##&!#$!"#$!
图( .
!!
例3 *如图(
.!跳水运动员要在空中下落的
短暂过程中完成一系列高难度的动作!如果不考虑空
气阻力等其他因素影响!弹跳到最高点后!人体下落到
水面所需要的时间+与下落的高度,之间应遵循下面
的公式'
, ##
!
$+
!!
6
$! 第"章!实数
其中,的单位是!!+的单位是#! $取%&' !"#
!!假设跳板离水面的高度是. !!
运动员在跳板上跳起至高出跳板#&! !处开始下落!那么运动员下落到水面约
需多长时间" #精确到"&"# #$
解*设运动员下落到水面需+#!根据题意!得
. -#&! ##
!
&%&'+
!!
+
! #! &)&!
%&'
!
因为+."!所以+# ! &)&!
%&'
槡
" "&%.!
因而!运动员下落到水面约需"&%. #!
练习
#!判断正误!在题后的括号内打"##或"2#$%
!#$ )是#(的算术平方根!
!**$
!!$
!
.是
)
%的一个平方根!
!**$
!.$ !,/$
! 的平方根是,/ !
!**$
!)$ "的算术平方根是" !
!**$
$!求下列各数的平方根&算术平方根'并用式子表示%
!#$ )%(*
!!$ !/ !
%!用计算器求下列各式的值!精确到"&"#$%
!#$ 槡#!$ (*
!!$ 槡"&(./ (
!.$
#
#$%槡
(*
!)$ , #
.槡
!
"#$!平方根!立方根!%
2&立方根
图( )
!问题#
!*要做一个体积是() %!
. 的正方体木箱!如
图(
)!它的棱长是多少"
设正方体木箱的棱长为'%!!根据题意!有
'
. #()!
这是已知一个数的立方!求这个数的问题!
一般地!如果一个数的立方等于(!那么这个数叫作(的立方根!也叫作(的
三次方根!记作
.槡( !读作%三次根号(&!其中(叫作被开方数!.叫作根指数!
求一个数的立方根的运算叫作开立方!
在上面问题中!因为)
. #()!所以()的立方根是)!即
.槡() #)!
开立方与立方互为逆运算!根据这种关系!可求出一些数的立方根!
!!
例4 *求下列各数的立方根'
##$ !$(***#!$ ,()(***#.$ " !
解*##$ 因为.
. #!$!所以!$的立方根是.!即
.槡!$ #.!
#!$ 因为# ))$
. #)()!所以)()的立方根是))!即
一般地"
. )
槡( #)
.槡(
对吗!
. )
槡() #))!
#.$ 因为"
. #"!所以"的立方根是"!即
.槡" #"!**
6
&! 第"章!实数
正数的立方根是一个正数"负数的立方根是一个负数"! 的立方根是! "
利用计算器可以求一个数的立方根或它的近似值!
!!
例5 *用计算器求下列各数的立方根#精确到"&"#$'
##$ !(*#!$ $&$%$(*#.$ ,#$&)/((*#)$
#.$
.%'!
解*##$ 在计算器上依次按键'
&'()*
.槡*
!
0!显示结果是
#&!/% %!# "/!精确到"&"#!得
.槡! "#&!(!
#!$
.槡$&$%$ " #&%'!
请同学们自己算出第#.$#)$题的结果!
练习
#!填表%
!
#
'
!$
()
%槡!
/
(
$
'
%
#"
$!求下列各数的立方根%
!#$ "&$!%(*****
!!$ ,"&$!%(*****
!.$ #
' (*****
!)$ ,#
' !
%!用计算器计算!精确到"&#$%
!#$
.槡!' (***
!!$
.槡"&.)/ (*
!.$
. ,
槡#$&( (*
!)$
. #
)'槡
!
"#$!平方根!立方根!'
习题6&1
#!判断下列各式的正误!在题后的括号内打"##或"2#$'错的请改正%
!#$槡) #*!!
!**$
!!$
! )($
槡
! #)(!
!**$
!.$ ! *槡) $
! #)!
!**$
$!求下列各数的平方根&算术平方根%
!#$ !,)$
!(
!!$ #"
! !
%!用计算器求下列各式的值!精确到"&"#$%
!#$ 槡!' (
!!$ 槡"&)(! (
!.$ ,槡(/ (
!)$ -槡#'&! !
&!一个正方形的面积扩大到原来的%倍'则它的边长是原来的多少倍)
'!求下列各数的立方根%
!#$ $!%(
!!$ !,!$
.(
!.$ !,'$
! !
(!用计算器求下列各式的值!精确到"&"#$%
!#$
.槡.'$ (
!!$
. ,
槡#' (
!.$ ,
. '
!/槡
(
!)$ -
.槡! )"! !
)!如图'如果一个正方体的体积变为原来的!$倍'那么它的棱长发生了怎样的
变化)
!第$题$
****
!第'题$
*!如图'已知一球形储气罐的容积为##/ !
.'球的体积公式为/#)
. !%
.!%是
球的半径$'求这个球形储气罐的半径!!精确到"&# !$
6
(! 第"章!实数
6.2
无理数和实数
我们知道!有理数包括整数和分数!整数和分数可统一写成分数的形式#整
数可以看作分母为#的分数$ !也就是说!有理数总可写成0
1 #1! 0是整数!且
1$"$的形式!例如!
! #!
#
! "&/ ##
!
! )"!'!
#!
#)%
##!
任何有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式!
反过来!任何整数)分数都可以化为有限小数或无限循环小数!因此有理数
是有限小数或无限循环小数!
思考
图(
/是由)条横线#/条竖线构成的方格网"它们相邻的行距#列距
都是# !从这些纵横线相交得出的!"个点$称为格点%中"我们可以选择其
中)个格点作为顶点连接成一个正方形"这样的正方形叫作格点正方形!
还有与这些面
积不相同的格点正
方形吗!
图( /
$#% 有面积分别是#" )" %的格点正方形吗!
$!% 有面积是!的格点正方形吗! 把它画出来!
"#%!无理数和实数!)
图( (
我们看到四个边长为# 的相邻正方形的对角线就围成一
个面积为! 的格点正方形#图(
($!这种正方形的边长是
多少" *
设这种正方形的边长为'!则'
! #!!
因为'."!所以'#槡! !
探究
槡!是一个怎样的数呢!
因为#
! ## 2!! !
! #) .!!所以
# 2槡! 2!!
"
这说明槡!不可能是整数!
在#和!之间的一位小数有#&#! #&!! *! #&%!那么槡!在哪两个一位小数
之间呢"
因为#&)
! ##&%( 2!! #&/
! #!&!/ .!!所以
#&) 2槡! 2#&/!
#
同样!在#&)与#&/之间的两位小数有#&)#! #&)!! *! #&)%!那么槡!在哪
两个两位小数之间呢"
因为#&)#
! ##&%'' # 2!! #&)!
! #!&"#( ) .!!所以
#&)# 2槡! 2#&)!!
$
类似地!可得
#&)#) 2槡! 2#&)#/!
%
**
6
!*! 第"章!实数
像上面这样一直#无限$做下去!我们可以得到'
槡! ##&)#) !#. /(!* !
槡!是一个无限不循环小数!因此它不是有理数!
此外!
槡. ##&$.! "/" '"$*!
.槡. ##&))! !)% /$"*!
!#.&#)# /%! (/.* !
这些数都是无限不循环小数!
无限不循环小数叫作无理数!
无理数可分为正无理数与负无理数!如槡! ! 槡. ! !是正无理数( ,槡! !
,槡. ! ,!是负无理数!
有理数和无理数统称为实数!这样!我们认识的数的范围又一次扩
大了!*
实数可以按如下方式分类'
实数
有理数
正有理数
零
负有理数
有限小数或无限循环小数
无理数正无理数
负无理数无限不循环小数
有理数)无理数都有正)负之分!因此实数也可以分类为'
实数
正实数
零
负实数
"#%!无理数和实数!!!
!第#题$
练习
#!把下列各数分类填入图中%
"' .' ,#' ,#
!
'
#
.
' "&.!
' ,"&!/' .&#)' !'槡. '
.槡! ' 槡() ' ,槡#" ',
.槡' ' 槡!
! ' "&#'# ''# '''*!两
个#之间依次增加一个'$!
$!判断正误!在题后的括号内打"##或"2#$%
!#$ 无限小数都是无理数!
!**$
!!$ 无限不循环小数是无理数!
!**$
!.$ 无理数是带根号的数!
!**$
!)$ 分数是无理数!
!**$
%!在槡% ' 槡#! ' 槡#. ' 槡#( 和槡#$ 中'介于. 和) 之间的无理数有
********!*
思考
每一个有理数都可用数轴上的一个点来表示"无理数槡!能用数轴上
的点表示吗!
如图(
$!以数轴上的单位长度为边作一个正方形!以原点为圆心)这个
正方形的对角线长为半径画圆弧!与数轴正半轴的交点记作3!那么!点3表示
什么数" *
6
!"! 第"章!实数
点34是画圆弧
时与数轴的另一交
点"它表示什么数!
图( $
一般地!每个无理数都可以用数轴上的一个点来表示!数轴上的点不是表示
无理数就是表示有理数!所以!把数从有理数扩充到实数以后!实数和数轴上的
点一一对应!即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示!数轴上的每一个点
都表示一个实数!
在实数范围内!相反数)倒数)绝对值的意义与在有理数范围内完全一样!
例如'
槡!与,槡!互为相反数!有槡! -# )槡! $ #"!
槡!与
#
槡! 互为倒数!有槡! & #
槡!
##!
任意一个实数(的绝对值仍然用3( 3表示!如
5槡. 5#槡. ! 5)槡. 5#槡. !
实数和有理数一样!可以进行加)减)乘)除)乘方运算!正数及零可以进行开
平方运算!任意一个实数可以进行开立方运算!有理数的运算法则和运算律对
于实数仍然适用!
!!
例1 *分别写出'
##$ ,槡$ ! !
.的相反数(
#!$ ,槡. ! !
槡/的倒数(
#.$
. ,
槡!$ ! .&#),!的绝对值(
#)$ 绝对值为槡/的实数!
"#%!无理数和实数!!#
解*##$ ,槡$的相反数是槡$ ! !
.的相反数是,!
. !
#!$ ,槡.的倒数是,#
槡.
! !
槡/的倒数是槡/
! !
#.$
. ,
槡!$的绝对值是.! .&#) )!的绝对值是!).&#)!
#)$ 绝对值为槡/的实数是槡
- / !
在实数运算中"如
果遇到无理数"并且需
求出结果的近似值"可
以按照所要求的精确
度用近似的有限小数
代替无理数"再进行计
算!在计算过程中"
&舍去'的方法是比计
算结果要求的精度多
保留一位小数"最后对
计算结果四舍五入!
!!
例2 *近似计算'
##$槡. -!*#精确到"&"#$(
#!$槡/ &槡$ *#精确到"&#$!
解*##$ 槡. -!" #&$.! -.&#)# # )&'$. " )&'$!
#!$槡/ &槡$ " !&!. &!&() #/&''$ ! " /&%!
两个实数可以像有理数一样比较大小!即数轴上
右边的点所表示的数总是大于左边的点所表示的数!
在实数范围内也有'
正数大于零!负数小于零!正数大于负数"
两个正数!绝对值大的数较大"
两个负数!绝对值大的数反而小"
!!
例3 *在数轴上作出表示下列各数的点!比较它们的大小!并用% 4&连接
它们!
)#!槡! ! )!! )槡! ! 5)!槡! 5! /!
解*
图( '
由数轴上各点的位置#图(
'$!得
)! 2)槡! 2)# 2槡! 25)!槡! 52/!
6
!$! 第"章!实数
交流
你会比较槡! "#
$ 与
%
$ 的大小吗!
练习
!!如图!已知一个实数" 在数轴上的位置为点#!则下列说法错误
!!的是
"&&#!&
"第%题#
"!# "的相反数是""
""# "的倒数是%
"
"## "的绝对值是"
"$# "的绝对值是""
"!近似计算"精确到'('%#$
"%#槡! $槡) %&&&&&
"## %
*
%槡+ &#槡$ !
#!比较下列各组数中两个数的大小$
"%# "槡) ! "槡+ %&&&&&
"## 槡!!槡$ %&&&&
"$# 槡$ "%
#
!
%
# !
!"#$无理数和实数$!"
习题6!2
!!选择!
""# 下列实数中$无理数的个数有"###!
!$ $槡%& $ '!(!
%!
$
((
)
$
%槡* $ %!"+" &!
"!# "个
""# (个
"## %个
"$# +个
"(# 与数轴上所有的点一一对应的是"###!
"!# 全体有理数#
""# 全体整数
"## 全体自然数#
"$# 全体实数
"!写出两个介于+和*之间的无理数!
#!求下列各数的相反数和绝对值!
$槡* $槡%
(
$
% $
槡" $ !$%!"+$槡* $槡) $槡% $"!)%!
$!比较下列各组数的大小!
""# $%!"!和$%!"%####
"(# $"
"'和$!%
"%# 槡( 和槡*
(
%
"+# 槡(,和*!% !
%!近似计算"精确到'!'"#!
""#槡% "槡* #(槡) %
"(# (!"槡% "槡( # !
6
!"! 第"章!实数
数学活动
探究将无限循环小数化为分数
##"!请你将下列分数化成小数形式!
"
, -
"(
,, -
"'(
,,, -
%
, -
"%
,, -
("%
,,, -
交流
观察上面各算式"你发现了什么规律#
(!请根据你发现的规律将下列小数写成分数形式"并验算结果是否正确!
'!"!
,!
-
'!"!
(*!
-
'!"!
(( %!
-
探究
'!%!
-'!%%% %$"
'!"!
,!
-'!"," ,", ",$"
%!%!
-%!%%% %$"
",!"!
,!
-",!"," ,", ",$ !
上下两行数字具有怎样的数量关系# 如果设上一行的数分别为$和%"
你能否利用方程的方法"写出它们的分数形式#
%!请你利用上面解一元一次方程的方法"写出下面混循环小数的分数形式!
'!'%!
-
'!(""!
,!
-
"#$!无理数和实数!!#
信息技术应用
求槡7 的近似值
在科学研究%生产生活中经常遇到涉及无理数运算的问题"人们常常根据需
要取无理数的近似值参与计算!
使用计算器等工具"我们可以很容易得到一些无理数的近似值"但我们并不
了解这些工具的计算原理!教材&!( 节中给出了一种求槡(的近似值的方法"我
们可以用同样的方法"借助电子表格软件求槡)的近似值!
打开电子表格软件"在!" 中输入合适的数值"在"" 中输入!& -!".('"在
#"中输入!&)'"在$"中输入!& -""$#"' !下面各行也按照同样的方法操作"
就可以求出槡)的近似值了"如图&
, !
图& ,
6
!$! 第"章!实数
小明同学用图&
"'所示的方法求槡)的近似值"你能用这个方法求槡)的近
似值吗# (精确到千分位)
##因为(
( &) &%
(!
所以( &槡) &%!
##
取(和%的中点"( "%# '( ((!*!
因为(!*
( (&!(* &)!
所以(!* &槡) &%!
取(!*和%的中点(!)*!
因为) &(!)*
(!
所以(!* &槡) &(!)*!
取(!*和(!)*的中点(!&(*!
因为(!&(*
( &)!
所以(!&(* &槡) &(!)*!
取(!&(*和(!)*的中点(!&/) *!
因为) &(!&/) *
(!
所以(!&(* &槡) &(!&/) *!
取(!&(*和(!&/) *的中点(!&*& (*!
$$
图& "'
你还能想到其他的方法吗#
"#$!无理数和实数!!%
数学史话
无理数漫谈
(一) $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
公元前* 世纪左右"在古希腊哲学家和数学家毕达哥拉斯(%&'()*+,)-"前
*/'至前*)'之间*约前*'')的领导下"成立了一个秘密会社"也就是后人所称
的毕达哥拉斯学派" 这个学派的基本信条是&万物皆数' !他们所说的数仅仅指
整数和分数"其中分数被看成两个整数之比!
毕达哥拉斯学派发现一个既不是整数"又不是整数之比的数"它就是边长为
"的正方形的对角线的长度!这一发现动摇了毕达哥拉斯学派的基本信条"引
起数学史上第一次基础理论的危机!
在此后的( '''多年里"人们对无理数进行了孜孜不倦的探索!一直到",
世纪人们才真正对无理数有了一个全面的认识!
徐光启
&有理数'&无理数'这两个名词是由英文翻
译过来的" 有理数一词的英文是& ,)'.+/)0
/1234,'"其中& ,)'.+/)0'有两层含义! 一是&比
率'"二是&合理'!从数学含义来说应该取前者"
所以有理数实际上应该是&比数'"而无理数
&.,,)'.+/)0/1234,'应该是&非比数'!在我国"徐
光启("*&(*"&%%)%李善兰("/""*"//()把它们
译成&有理数' &无理数'"这一译名又流传到日
本!经过长时间的使用"大家也习惯了"所以沿
用至今!
(二) $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
下面给出槡(不是有理数的证明!
假设槡(是有理数"那么有互素的两个正整数)" *"使
6
&'! 第"章!实数
槡( (*
)
"
所以有
*
(
)
( (("
也就是
*
( (()
(!
由于上式的右边()
( 是偶数"故左边*
( 也是偶数"因而* 应是偶数"可设
* ((+(+取整数)"代入上式"得
++
( (()
("
即
(+
( ()
(!
这就得出)也是偶数"由于* 也是偶数"因此* 与)不互素"与假设矛盾"即槡(
不是有理数!
上述这种证明问题的方法"叫作反证法!它是数学中的一种重要的推理方
法"在以后的学习中我们也会经常用到它!
"#$!无理数和实数!&!
小结·评价
##一! 知识体系
ᵥ
/ᵥ
ᐬD0
ᰵ)
ᬌ)
##二! 回顾与思考
"!如果一个数的平方等于,!那么这个数叫作, 的####!求一个
数的平方根的运算叫作####!正数, 的平方根有两个!其中正的平方
根叫作, 的######!' 的算术平方根是####!
(!如果一个数的立方等于,!那么这个数叫作, 的####!求一个
数的立方根的运算叫作####!
%!无限不循环小数叫作无理数!有理数和无理数统称为实数!实数可
按如下方式分类"
ᰵ)
L
Bᰵ)
UᰵKᄻᝂ@@@@@@@ᄻU
ᰵ)
U@@@@@@@@@@@@ᄻU
ᬌ)
ᬌ)
Bᬌ)
+!实数的加#减#乘#除#乘方#开平方#开立方运算具有与有理数相同
的运算法则和运算律!
##三! 自评与互评
"!请你举例说明求平方根和求立方根问题在现实生活中的应用!
6
&&! 第"章!实数
##(!开方运算与什么运算互为逆运算$ 我们研究运算经历了怎样的
过程$
%!数从有理数扩充到实数后!对解决问题有什么好处$ 和同学交流一
下你的看法!
+!选一个无理数!由你和你的同学分别给出估计的近似值!并交流估
计的结果和方法!
复习题
!组
!!求下列各数的算术平方根及平方根!
""# '!"&%##
"(# ,
+,%##
"%# %
+%##
"+#
$(
%
(
)
(
!
"!求下列各数的立方根!
""# $"
()%
"(# $'!''"%
"%# "(*
/ %
"+# (
& !
#!比较下列各组数的大小!
""# 槡% $槡(和$槡(
%
%####
"(# 槡"(和%!+%####
"%# 槡* $"
( 和%
* !
$!一个正方形的面积扩大为原来面积的+倍$扩大后正方形的边长是原来边长
的多少倍& 若面积扩大为原来面积的*倍呢&
%!计算"精确到'!'"#!
""# -
%槡( #槡% -"(槡( %
"(#
%槡& .!'槡* !
小结!评价!&(
复习题
"组
!!""# 设数轴上点/和点0分别表示数$槡%和槡* $哪些整数所表示的点介于/$
0之间&
"(# 槡%*和
%槡,,分别介于哪两个相邻的整数之间&
"!如图$一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后$完全没入容器内水中$使
容器中的水面升高% 52$如果容器的底面直径是(' 52$求正方体铁块的棱
长!"精确到'!" 52##
"第(题#
#!把两个半径分别是%$ *的铅球熔化后做成一个更大的铅球$这个大铅球的半
径是多少& "精确到'!"$球的体积公式是1(+
% !2
%$其中2是球的半径#
"第%题#
$!如图$直径为"的圆从原点沿数轴向右滚动一周$圆上与原点重合的一点3
到达点34$点34表示什么数&
"第+题#
6
&)! 第"章!实数
复习题
#组
!!在方格网"图&
*#中$你能画出面积为*的格点正方形吗& 一共可以画几个&
"!""# 用计算器计算$并将结果填在表中"精确到'!''"#!
原 式
槡'!''%
槡'!'%
槡'!%
槡%
槡%'
槡%''
槡% '''
结 果
"(# 根据槡% ! "!)%($能得到槡'!''% $ 槡'!'% $ 槡'!% $ 槡%' $ 槡%''的值吗&
"%# 根据
%槡% ! "!++($能得到
%槡'!''% $
%槡'!'% $
%槡%' $
%槡% '''的值吗&
#!下图是两个面积为"的正方形$试对所给图形进行分割$然后拼成面积为(的
大正方形!请在图中画出分割线$并在虚线框内画出拼成的大正方形$写出
大正方形的边长!
"第%题#
小结!评价!&*
第7 章一元一次不等式
与不等式组
数量间的关系有!相等"的情况#还有!不等"的
情况!例如#某表演活动推出个人票和团体票#如何
根据观看人数购买门票更合算$ 对于这个问题#常
常先用代数式分别表示两种购票方案的费用!如果
费用相等#可以利用等式来描述%如果费用不等#则
可以用不等式来描述!然后通过解方程和解不等式
来解决问题!
本章将从什么是不等式说起，类比等式的研究
方法来讨论不等式的基本性质，学习一元一次不等
式和不等式组的解法，以及如何运用不等式解决
问题.
!"! !
国家大剧院
7.1
不等式及其基本性质
在前面的学习中!我们已经知道!两个数或同类的量比较!有相等关系!也有
不等关系!例如!倾斜的天平两边物体的质量关系是不等关系!
!问题"
!!用适当的式子表示下列关系"
#"$ "与#的差是负数!!!!!!!!
##$ $的$倍与"的差大于$的%倍!!!!!!!!
#%$ #$与%的和不大于$ !!!!!!!!
!问题#
!!闪电的温度大约是#& ''' !!比太阳表面温度的()$倍还要高!
设太阳表面温度为%!!那么%应满足的关系式是!!!!!!!!!
!问题$
!!某种药品每片为')#$ "!说明书上写着"%每日用量')*$+#)#$ "
#包括')*$ "和#)#$ "$!分%次服用& !设某人一次服用$片!那么$应满足的
关系式是!!!!!!!!!
不大于! 即
小于或等于!用
"!#表示$不小
于!即大于或等
于!用""#表示!
用不等号#,' "' -' !或#$表示不等关系的式子
叫作不等式!
有一些不等式中不含有未知数!例如" &#! '% ('((
有一些不等式中含有未知数!例如$$'" (%$! #$)
% ! $!!
对于不等式#$)% ! $"
当$取'时!代入原不等式左边!得
#$)% *# +' )% *%!
"#$!不等式及其基本性质!!#
!!当!取"时!代入原不等式左边!得
#!"$ ## $" "$ #%%
当!取#时!代入原不等式左边!得
#!"$ ## $# "$ #&%
这就是说!当!取某些值"如'! "#时!不等式#!"$ ! %成立$当!取另外一
些值"如## 时!不等式#!"$ ! %不成立%
思考
"(判断下列给出的数中哪些能使#!"$ ! %成立!
&"" '(%" "(%" &#%
#(你还能找出使上述不等式成立的其他数吗# 找出后在数轴上标出
来"你有什么发现#
一般地!能够使不等式成立的未知数的值!叫作这个不等式的解%所有这些
解的全体称为这个不等式的解集%
由上可知!不大于"的任何一个实数"如'! "等#都是不等式#!"$ ! %的
解!而所有这些解的全体"!! "# 称为这个不等式的解集%
不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来%如!! "!可用数轴上表示"
的点以及左边所有点来表示"图&
"#%
如果!'""
那么在数轴上把
表示" 的点画成
空心圆圈%
1
0
1
2
图& "
解集!! "包括"!则在数轴上把表示"的点画成实
心点%!
7
!"! 第"章!一元一次不等式与不等式组
练习
!!分别求%满足的数量关系!
""# 甲市某天最低气温为." !$最高气温为$ !$设该市这天某一时刻
的气温为%!%
"## 某段长为%' #$的公路,-对行驶汽车限速为"不超过#/' #$%&$
一辆汽车从,到-的行驶时间为%& !
"!在"$ ($槡# $ .#$ *$ %
# $ !这些数中$哪些是不等式#$'$ &"的解&
#!用含$的不等式表示下图数轴中所表示的不等式的解集!
""#
1 0 1 2 3 4 5
!!!!!!!!"##
1 0
1
2
3
4
我们学过利用等式的基本性质解方程!类似地!在求不等式的解集的过程中
也要利用不等式的基本性质!下面我们先来讨论不等式的基本性质!
观察
如图*
#!在一台天平两端的托盘中分别放置了质量为"! #的砝码!
图中天平倾斜!这直观地说明" (#!这时!如果在两端托盘中同时加上质
量为.的砝码!天平的倾斜方向会改变吗& 这反映的数量关系是什么呢&
图* #
"#$!不等式及其基本性质!!%
!!不等式有如下的基本性质"
!!性质1!不等式的两边都加上!或减去"同一个数!或式子"#不等号的方
向不变#即
如果! "##那么! $%"# $%# ! &%"# &%'
思考
对于倾斜的天平!如果两边砝码的质量同时扩大相同的倍数或同时
缩小为原来的几分之一!那么天平的倾斜方向会改变吗&
!!性质2!不等式的两边都乘以!或除以" 同一个正数#不等号的方向不
变#即
如果! "## %"$#那么!%"#%#
!
%
"
#
%'
探究
"!如果" (#!那么它们的相反数."与.#哪个大!你能用数轴上点
的位置关系和具体的例子加以说明吗&
#!如果" (#! 那么'" &'#!这个式子可理解为%
" +''"( &# +''"( !
这样!对于不等式" (#!两边同乘以.%!会得到什么结果呢&
%!如果" (#! .&'!那么".与#.有怎样的大小关系&
7
&'! 第"章!一元一次不等式与不等式组
!!性质3!不等式的两边都乘以!或除以" 同一个负数#不等号的方向改
变#即
如果! "## %($#那么!%(#%#
!
%
(
#
%'
性质4!如果! "##那么# (!'
例如!由% ($!可得$&%!
观察
如图*
%!设数轴上的三个点,! -! /分别表示三个实数"! #! .!从
中你能发现不等式的什么性质&
图* %
由上可得"
!!性质5!如果! "## # "%#那么! "%'
例如!由$,($-! $-(%''!可得$,(%''!
交流
等式与不等式的基本性质有哪些相同点和不同点&
"#$!不等式及其基本性质!&(
练习
!!如果" &#$用不等号填空!
""# ("!!!!(#% !!!!!!"## " '"'!!!!# '"'%
"%# "
%
"!!!!
"
%
#%
"(# '$
#
" !!!! '$
#
#!
"!若0 (1$判断下列不等式是否正确!
""# 0'* &1 '*!
"!!#
"## %0 &%1!
"!!#
"%# '$0 ('$1!
"!!#
"(# 0
0
(
1
0 !
"!!#
#!如果$" 2$ " &'$ # ('$用不等号填空!
""# $
"
!!!!
2
"
% !!!!!!"## #$!!!!#2%
"%# #$!!!!$)2%
"(# "#$!!!!"#2!
习题7)1
!!用不等式表示下列关系!
""# "是正数%!!!!!!!!!! !!"## "是负数%
"%# "与$的和是正数%!
"(# #减$的差是负数%
"$# $的%倍大于或等于0%!
"/# 2的一半小于% !
"!下列数中哪些是不等式#$&/的解& 哪些不是&
.%$ .#)$$ '$ "$ %
# $ %$ $)$!
7
&!! 第"章!一元一次不等式与不等式组
#!已知" &#$判断下列不等式是否成立!
""# " '% &# '%!
"!!#
"## #" &##!
"!!#
"%# '$" &'$#!
"!!#
"(# '(" )# &'(# )#!
"!!#
%!用',(或'-(填空!
""# 如果" '" &# '"$那么"!!#%
"## 如果%" (%#$那么"!!#%
"%# 如果'" &'#$那么"!!#%
"(# 如果#" )" &## )"$那么"!!#%
"$# 如果" (#$ 那么""" '##!!#"" '##!
&!用'-(或',(填空!
""# 当" ('$ #!!'时$ "# ('% !!
"## 当" ('$ #!!'时$ "# &'%
"%# 当" &'$ #!!'时$ "# ('%
"(# 当" &'$ #!!'时$ "# &'!
'!根据不等式的基本性质$将下列不等式化成' $(" (或' $&" (的形式!
""# $'" &%% !!
"## /$&$$'#% !!
"%# $
% &$% !!
"(# '($(%!
(!已知实数"$ #$ .满足! " )# ).*'$ %" )## ).('!请判断"与.的大小
关系$并说明理由!
"#$!不等式及其基本性质!&&
7.2
一元一次不等式
!问题
!!某公司的统计资料表明!科研经费每增加" 万元!年利润就增加
")&万元!如果该公司原来的年利润为#''万元!要使年利润超过#($万元!那
么增加的科研经费应高于多少万元)
设该公司增加科研经费$万元!那么年利润就增加")&$万元!因为年利润
要超过#($万元!所以
#'' )")&$(#($!
这样就得到了含有未知数的不等式!像这种含有一个未知数!未知数的次
数是"且不等号两边都是整式的不等式叫作一元一次不等式!
一般地!利用不等式的性质!采用与解一元一次方程相类似的步骤!就可以
求出一元一次不等式的解集!
对于不等式#'' )")&$( #($! 根据不等式的性质"!两边同时减去
#''!得
#'' )")&$'#'' (#($ '#''!
即
")&$(($!
再根据不等式的性质#!两边同时除以")&!得
$(#$!
因此!这个不等式的解集为$(#$!
像这样求不等式的解集的过程叫作解不等式!
&)! 第"章!一元一次不等式与不等式组
%%
例1 !解不等式" #$)$ ! *## '$$!并把它的解集在数轴上表示出来!
解不等式时也
可以"移项#!依据
是什么& 移项时!
是否要改变不等号
的方向&
!!解!去括号!得
#$)$ ! "( '*$!
移项!得
#$)*$! "( '$!
合并同类项!得
0$! 0!
$系数化成"!得
$! "!
在数轴上表示不等式的解集#图*
($!
图* (
练习
!!解下列不等式$并把它们的解集在数轴上表示出来!
""# #$('&% !!!!!!!!!!
"## '($&#%
"%# $$'( ! *$'"%
"(# #$'$ " # )$$!
"!解下列不等式!
""# %"" '$# ! $)&%
"## "# '#$(%"#$'%#!
"#%!一元一次不等式!&*
%%
例2 !解不等式!并把它的解集在数轴上表示出来"
( )$
%
'" &
$
# !
解!不等式两边同乘以/!得
##( )$$ '/ &%$!
去括号!得
& )#$'/ &%$!
移项'合并同类项!得
'$&'#!
$系数化成"!得
$(#!
在数轴上表示不等式的解集#图*
$$!!
图* $
交流
一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法有哪些相同点和不同
点& 为什么解法会有不同&
7
&"! 第"章!一元一次不等式与不等式组
练习
!!解下列不等式!
""# %$)*
$
($'"%
"## #$)"
'"$
(
$'%
%
!
"!当$取什么值时$代数式($'"的值分别满足下列条件!
""# 大于*%
"## 小于'#$)$!
#!设
$
$ 表示三种不同的物体$现用天平称了两次$情况如图所示$
那么
$
$ 这三种物体的质量从大到小的顺序排列应为"!!#!
"第%题#
"(#
$
$
")#
$
$
"*#
$
$
"+#
$
$
%%
例3 !为拓宽农民增收致富渠道!某村依托自身油菜种植业优势!举办
油菜花节!其间进行民俗表演!表演收取门票!个人票每张"'元!#'人以上#含
#'人$的团体票&折优惠!在人数不足#'人的情况下!何时买#'人的团体票
比买个人票要便宜)
"#%!一元一次不等式!&#
!!解!设人数为$!买个人票需要"'$元!买#'人的团体票需要#' +"' +&'!
元!根据题意!得
"'$(#' +"' +&'!!
解不等式!得
$("/!
因为人数必须是小于#'的整数!即$&#'!因此!当人数是"*! "&! "0时!
买#'人的团体票比买个人票要便宜!
练习
!!学校准备用# '''元购买名著和字典$其中名著每套/$元$字典每本('
元!现已购买名著#'套$问最多还能买字典多少本&
"!甲步行的速度为$ #$%&$先走%' $,-后$乙从甲的出发地沿相同路径追赶
甲$乙步行的速度最快为/ #$%&$问乙至少需要多少时间才能赶上甲&
习题7)2
!!解下列不等式$并把它们的解集在数轴上表示出来!
""# '#
%
$&'(% !!!!!!!!!"## "( '*$! 0 '#$%
"%# ("$'%# ! #"$'"#%
"(# "" '%$" #"$'##!
"!设代数式%"".#$#的值不大于.#$求$的取值范围!
#!解下列不等式!
""# #$'( (
/$)"
#
%
"## $'"
#
"($'"# &
%
#
%
"%# ( )$
#
)" "
("$)"#
%
%
"(# #$'$
/
(%$'$)#
(
!
7
&$! 第"章!一元一次不等式与不等式组
%!根据下列用数轴表示的不等式的解集$写出一个相应的含$的不等式!
&!求满足不等式%"$'## &"#的所有正整数解!
'!李老师开车从家到学校$如果离家最初的/ #$$平均速度为%' #$%&$超过
/ #$后$平均速度为$' #$%& !那么$李老师每天从家到学校所需时间不超
过')$ &$求李老师家到学校的距离最远是多少&
(!一水果商某次按每千克( 元购进一批苹果$销售过程中有#'!的苹果正常
损耗!问该水果商把售价定为多少时可以避免亏本&
)!学校举行环保知识竞赛$共有#' 个问题$答对一题得$ 分$不答或答错一
题扣%分!如果王林希望自己的得分不低于&' 分$那么他至少应答对多
少题&
*!请举出一个生活中的事例$说明不等式#$)$ (""的实际意义!
"#%!一元一次不等式!&%
数学活动
饮品促销方案分析
小王和小李自主创业!开了家饮品店!他们销售某种饮品!一杯饮品售价为
&元!成本为#元!现在他们想采用"第二杯半价#的方式进行促销!期望能通过
提高销售量!扩大利润!
'"( 按此促销方式!如果一个顾客一次买两杯这种饮品!相当于多少折扣的
价格优惠&
'#( 假定一杯这种饮品的利润1售价.成本!以前每天平均能售出#''杯!要
使现在每天的平均销售利润比以前有所增长!请建立数学模型分析现在每天的
平均销售量应满足什么要求!
7
)'! 第"章!一元一次不等式与不等式组
7.3
一元一次不等式组
!问题"
!!小莉带$元钱去超市买作业本!她拿了$本!付款时钱不够!于是
小莉退掉一本!收银员找给她一些零钱!请你估计作业本单价的范围!
设作业本的单价为$元!那么$本作业本的价格为$$元!根据%付款时钱不
够&可知$$($!退掉一本!即(本作业本的价格应为($元!由于收银员还找了
一些零钱!于是($&$!这里!作业本的单价$应同时满足上述两个不等式!
把这两个不等式合写在一起!用大括号括起来!就得到一个不等式组"
$$($!
($&$!
"
#
!问题#
!!某村种植杂交水稻& &$
#!去年的总产量是0( &'' #" !今年改进
了耕作技术!估计总产量比去年增产#!+(!#包括#!和(!$ !那么今年水稻
平均每公顷的产量将会在什么范围内)
设今年水稻平均每公顷的产量为$#"!则今年水稻的总产量为&$#"!根据题
意!得
&$" 0( &'' +#" )#!$!
&$! 0( &'' +#" )(!$!
"
#
"#&!一元一次不等式组!)(
!!像上面这样!由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组!
叫作一元一次不等式组!这几个一元一次不等式解集的公共部分!叫作这个一
元一次不等式组的解集!
求不等式组解集的过程叫作解不等式组!
%%
例1 !解不等式组"
#$)% ('!
% )$&%$'"!
"
#
解!解不等式"!得
$('")$!
解不等式#!得
$(#!
利用数轴来
确定不等式组的
解集!直观简明!
!
在数轴上分别表示这两个不等式的解集#图*
/$!
图* /
由图*
/ 可知!这两个不等式解集的公共部分是
$(#!因此!原不等式组的解集是$(#!
练习
!!说出下列不等式组的解集!
""#
$('$
$('#%
!!"##
$&'$$
$&'"%
!!"%#
$(#$
$&*%
!!"(#
$&槡# $
$&")("!
"!解下列不等式组$并把解集在数轴上表示出来!
""#
#$'" " $)"$
$)& &($)"%
!!!!!!"##
$$)/ (($
"$ )0$&"' '($!
7
)!! 第"章!一元一次不等式与不等式组
%%
例2 !解不等式组"
$$'# &*$'(!
#$'"
%
(%$)"
#
!
!"
!
!#
解!解不等式"!得
$("!
解不等式#!得
$&'"!
图* *
在数轴上分别表示这两个不等式的解
集#图*
*$!
从图*
*可知!这两个不等式的解集
无公共部分!因此!原不等式组无解!
交流
")说一说不等式组的解集有哪几种情况&
#)假设" &#!你能很快说出下列不等式组的解集吗&
如果你有困难!
就求助于数轴吧)
#"$
$("!
$(#(
!!!!!##$
$&"!
$&#(
#%$
$("!
$&#(
#($
$&"!
$(#!
练习
!!解下列不等式组$并把解集在数轴上表示出来!
""#
#$)$ ($$)#$
#"$'"# (%$%
!"##
$'#
%
" "$
%$)# " ""%
!"%#
$$'# (%"$)"#$
'*
# $'" " * '%
# $!
"#&!一元一次不等式组!)&
"!解本节开始的问题"$ #中得到的不等式组!
""#
$$($$
($&$%
!!!!!!!"##
&$" 0( &'' +"" )#!#$
&$! 0( &'' +"" )(!#!
习题7)3
!!解下列不等式组!
""#
#$'% ($'($
$$)" &%$)%%
!!!!!!!!"##
#$)" &*$
* " %$)(!
"!解下列不等式组!
""#
%$&/ )$$$
($&#"$'"#%
!!!
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$'(
$
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#"$)"# " "'%
"%#
$'( " %"$'##$
" )#$
%
($'"%
"(# "" &" '#$&#"!
#!某生物兴趣小组要在恒温箱中培养($ )两种菌种$(种菌种生长的温度在
%$+%& !之间$)种菌种的生长温度在%(+%/ !之间$那么恒温箱的温度%!
应该设定在什么范围内&
%!黄山素以奇松)怪石)云海)温泉)冬雪'五绝(景观著称于世$境内群峰竞秀$
怪石林立!一位游客在登山时$从某休息处"海拔&''+0'' $#准备攀登海拔
约" &/()& $的最高峰***莲花峰!莲花峰与休息处海拔高度差的范围是
多少&
7
))! 第"章!一元一次不等式与不等式组
黄山莲花峰
小结·评价
!!一! 知识体系̹
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0ᐻ+ ᱘ᕓB̬
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!!二! 回顾与思考
"!不等式的基本性质&
'"(
!%
'#(
!%
'%(
!%
'((
!%
'$(
!!
#!解一元一次不等式#就是根据不等式的基本性质和运算律#通过
!!!!)!!!!)!!!!)!!!!等步骤#将原不等式变形为不等
式!"#$'! # '( 的形式#再在不等式两边同除以未知数的系数"#从而得
到不等式的解集$!!!!'当! #' 时(*或$!!!!'当! %' 时(+!
%!解不等式组是求不等式组!!!!的过程!
假设" (##
'"( 不等式组
"#!#
"#$
的解集为!!!!!!%
'#( 不等式组
"%!#
"%$
的解集为!!!!!!%
'%( 不等式组
"%!#
"#$
的解集为!!!!!!%
'(( 不等式组
"#!#
"%$
的解集为!!!!!!!
小结!评价!)*
!!(!不等式'组(是反映现实世界数量之间不等关系的一个数学模型#
建立不等式'组(模型解决实际问题的关键是&
'"( 分析问题中有哪些数量%
'#( 分析这些数量间的关系%
'%( 建立不等式'组(模型!
!!三! 自评与互评
"!解一元一次不等式'组( 过程中#有哪些需要注意的问题$ 与同学
们分享!
#!方程和不等式都是描述现实生活中数量关系的重要模型#你能说说
两者的相同点与不同点吗$
复习题
%组
!!填空!
""# $的"
%与$的差为正数$用不等式表示为!!!!%
"## 某种植物生长的适宜温度不能低于"& !$也不能高于## !$若设该种植
物生长的适宜温度为$!$请你用含$的不等式表示这种植物生长的适
宜温度范围!!!!!!%
"%# 恩格尔系数是指家庭日常食品支出占家庭消费支出总额的比例$它反映
了居民家庭的实际生活水平!根据联合国粮农组织提出的标准$不同类
型家庭的恩格尔系数如下表所示!
家庭类型
贫穷
温饱
小康
相对富裕
富足
极其富裕
恩格尔系数
/'!以上
$'!+/'! ('!+$'! %'!+('! #'!+%'!
#'!以下
!!设恩格尔系数为1$请你用含1的不等式表示小康型家庭的恩格尔系数
的范围!!!!!!%
7
)"! 第"章!一元一次不等式与不等式组
"(# 如果" )# (.)#$那么"!!.%
"$# 如果.&'$且"
. ( #
.$那么"!!# !
"!在下列括号内填上不等式变形的依据!
""# 由%$'$ ("$得%$(/!
"!!!!!!!!!!!!!!!!#
"## 由'#$("$得$&'"
# !
"!!!!!!!!!!!!!!!!#
"%# 由" '$&%$得'$&#!
"!!!!!!!!!!!!!!!!#
"(# 由"
$ $( "
% $得$( $
% !
"!!!!!!!!!!!!!!!!#
#!解下列不等式$并在数轴上表示它们的解集!
""# * '#"$'%# ! $$'"% !!!!!!"## " '$
% ! $)"'
#
!
%!解下列不等式组!
""#
$'" &'$
" '$" %%
"## " &($'% &$%
"%#
#$'% ($'"$
#$)0 &($'"%
!!!!!!!
"(#
%$'$
#
! $'#$
%"$'"# &("$'"#!
&!去年某市空气质量优良的天数与全年天数"%/$天#之比达到*'!$如果明年
"%/$天#这样的比值要超过0'!$那么明年空气质量优良的天数比去年至少
要增加多少天&
'!某乡在遭遇洪水后$为排除局部低洼地的内涝$安排了抽水速度为#' $
% %$,-
的抽水机$台同时工作!估计积水量为")$ &"'
$ '")& &"'
$ 2
%"包括")$ &
"'
$ 2
% 和")& &"'
$ 2
%#$问大约需多少时间才能将积水排完&
小结!评价!)#
复习题
!组
!%选择!
""# 由!'.能得到(!-(.$则"!!#%
"!# ( # '!!!!
""# ( ! '
"## ( -'!!!!
"$# ( ''
"## 若( ') ''$则下列各式中$不能成立的是"!!#%
"!# "
) ' "
( !!!!!!
""# ( &) ''
"## (
) -"
"$# (
) '"
"%如图$数轴上/$ 0两点对应实数($ )$用%*&或%+&填空!
""# ( ")!!'' !!!!!!!!
"## ()!!''
"$# ( &)!!'' !
")# 1( 1&1) 1!!'%
"第#题#
#%求不等式组&# ! " "#!
$
! #的整数解%
$%求不等式组
)
$ !-!&#$
$!"#
)
# #!""的最大整数解和最小整数解%
%%三个连续自然数组成一个自然数组$其和小于",$问这样的自然数组共有多
少组( 把它们分别写出来%
7
%"! 第"章!一元一次不等式与不等式组
'!暑假来临$某游泳馆推出会员卡制度$标准如下表!
会员类型
卡费)元
单次游泳费用)元
(
"'
%'
)
"''
"$
小丽准备在该游泳馆购买会员卡游泳$她怎样选择最省钱!
复习题
'组
!!如果不等式"" '"#$(" '"的解集是$&"$那么"的取值范围是什么&
"!如果不等式组
'$)# &$'/$
$("
的解集是$(($ 那么" 的取值范围是
什么&
#!方程组
%$)*2*4$
#$)$2*#'的解$$ 2都是正数$求整数4!
%!如果" (#$ .(5$那么" ).(# )5吗& 请说明理由!
小结!评价!)%
第8 章
整式乘法与
因式分解
=
+
+
a
b
a
b
(a+b)2
a2
b2
ab
ab
'" )#(
# *"
# )#"# )#
#
! !
上图直观地解释了两数和的平方公式#你知道
如何由整式乘法得到它吗$
由右到左运用公式#我们就可以把一个二次三
项式写成两个相同一次式乘积的形式#这种变形方
法是不是与数的分解相类似$
本章我们将学习整式乘法与因式分解的有关知
识，并运用它们解决问题.
*'! !
8.1
幂的运算
1!同底数幂的乘法
!问题
!"中国设计并制造的!神威"
太湖之光#是世界上首台峰值性能超过每秒
#$亿亿次的超级计算机!峰值运算性能高
达#!%& "#$
#'次#!$它工作# "%(!) "#$
( !&
可进行多少次运算'
"%#!%& "#$
#'& "%(!) "#$
(&
$#!%& "(!) "#$
#' "#$
(
$'
解决这个问题需要研究同底数幂的乘法!
思考
%
&! %
' 是两个同底数的幂!简称"同底数幂#!怎样计算%
&$%
'%
先填写下列表格&
算 式
运算过程
结 果
%
% "%
(
%% "%& "%% "% "%&
%
&
#$
( "#$
*
%
%"%
(
%
*"%
&
""观察上表!同底数幂相乘有什么规律%
!"#$幂的运算$!"
""一般地$如果&$ '都是正整数$那么
%
&"%
' $% %"%"("%
&个
&"% %"%"("%
'个
&
$ %"%"("%
%&('&个
$%
&('!
由此得幂的运算性质#)
""
!
"!!
# $!
"%#%"$ #都是正整数&&
同底数幂相乘$底数不变$指数相加&
!!
例1 "计算)
%#&
#
%( )
&
" #
%( )
+
* """"""%%& %)%&
% "%)%&
'*
%(& %
%"%
("%
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%*& % )*&
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#
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%%& %)%&
% "%)%&
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, $)%
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%((() $%
##!
%*& % )*&
("*
* $% )*
(&"*
* $)%*
("*
*& $)*
((* $)*
'!
练习
!!下面的计算是否正确! 为什么!
"## +
( (+
( $+
)!" """"""""""# """"""""""
"%# +
($+
( $%+
(!"""""""""""#
"(# ,$,
( $,
(!"
""""""""""#
"*# ,(,
( $,
*!" """"""""""#
8
!#$ 第!章$整式乘法与因式分解
"!计算%
"## #$
& "#$
(& """""""""""%# )%
%$%
&&
"(# )+
($+
&&
"*# *
+$")*#&
"&# ")+#
%$+
($")+#
(&
")# ")*#
%$")*#
($")*#!
#!光的速度约为( "#$
& #$%!'太阳光照射到地球上大约需要& "#$
% !'地
球距离太阳大约有多远!
2!幂的乘方与积的乘方
思考
怎样计算'%
&(
'%
先完成下表&
算 式
运算过程
结 果
%&
%&
(
&
% "&
% "&
%
&
)
%%
(&
%
%%
%&
(
%%
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*
""观察上表!幂的乘方有什么规律%
一般地$如果&$ '都是正整数$那么
%%
&&
' $""""""""
$""""""""
$""""""""!
!"#$幂的运算$!$
""由此得幂的运算性质%)
"!
"#
# $!
"#%"$ #都是正整数&&
幂的乘方$底数不变$指数相乘&
!!
例2 "计算)
%#& %#$
&&
(*"""""""""%%& %+
*&
% !
解"%#& %#$
&&
( $#$
&"( $#$
#&!
%%& %+
*&
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*"% $+
+!
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例3 "计算)
%#& %+
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%%& %+
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解"%#& %+
(&
% (+
%"+
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) (+
) $%+
)!
%%& %+
%&
("%+
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( $+
)"+
#% $+
#+!
练习
!!计算%
"## "#$
)#
(& """""""""""%# "%
(#
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(#
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"*# "%
(#
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*#
(!
"!下面的计算是否正确! 为什么!
"## "+
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"%# +
($+
% $+
)!"
"""""""""""""#
"(# +
%$+
%$+
% $+
((%!"
"""""""""""""#
#!一个正方体的棱长为#$
( $$'它的体积是多少!
8
!%$ 第!章$整式乘法与因式分解
思考
怎样计算'%-(
%!'%-(
(!'%-(
*%
'%-(
% $'%-($'%-( $'%%($'--( $%
%-
%)
'%-(
( $"""""" $"""""" $"""""")
'%-(
* $"""""" $"""""" $""""""!
我们知道两
个整数相乘时!
它们都是积的因
数!类似地!% 和
-相乘时! % 和-
叫作积%-的因
式!
一般地$如果'是正整数$那么
%%-&
' $""""""""
$""""""""
$""""""""!
由此得幂的运算性质()
""
"!'#
# $!
#'
#%#是正整数&&
积的乘方等于各因式乘方的积&
!!
例4 "计算)
%#& %%+&
**""""%%& %)(%-
%,
(&
%!
解"%#& %%+&
* $%
*"+
* $#)+
*!
%%& %)(%-
%,
(&
% $%)(&
%"%
%"%-
%&
%"%,
(&
% $,%
%-
*,
)!
!!
例5 "球的体积公式是.$*
( !/
(%/为球的半
径&!已知地球半径约为)!* "#$
( #$$求地球的体积!
%!取(!#*&
解" .$*
( !/
(
" *
( "(!#* "%)!* "#$
(&
(
!"#$幂的运算$!!
$*
( "(!#* ")!*
( "#$
,
" #!# "#$
#%%#$
(&!
因而$地球的体积约为#!# "#$
#% #$
(!
练习
!!下面的计算是否正确! 为什么!
"## "%
(-#
( $%
)-
(!""" """""""""""""#
"%# ")+*#
% $#%+
%*
%!"
"""""""""""""#
"(# )"(+
(#
% $,+
)!"
"""""""""""""#
"*# ")%%+
%#
% $)*%
%+
*!""""""""""""""#
"!计算%
"## "% "#$
(#
(& """"""""%# ")( "#$
*#
%&
"(# "(&'
%#
(& "
"*# ")%%
(-
%,#
%!
#!球的表面积公式为0 $*!/
%"/为球的半径# !已知地球半径约为)!* "
#$
( #$'求地球的表面积!"!取(!#*#
3!同底数幂的除法
思考
怎样计算%
& 1%
'%
先完成下表&
8
!&$ 第!章$整式乘法与因式分解
算 式
运算过程
结 果
(
& 1(
%
( "( "( "( "(
( "(
(
(
*
) 1*
(
%
* 1%
%
%
& 1%
(
""观察上表!同底数幂相除有什么规律%
一般地$如果&$ '都是正整数%& 2'&$那么
%
& 1%
' $""""""""
$""""""""!
由此得幂的运算性质*)
""
!
" (!
# $!
")#"! # $$ "$ #都是正整数$且" *##&
同底数幂相除$底数不变$指数相减&
!!
例6 "计算)
%#& %
& 1%* """"""""%%& % )+&
& 1% )+&
%*
%(& %%-&
( 1%-*
%*& %+)*&
, 1%*)+&
)!
解"%#& %
& 1% $%
&)# $%
*!
%%& % )+&
& 1% )+&
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( 1%- $%%-&
()# $%%-&
% $%
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%!
%*& %+)*&
, 1%*)+&
) $%+)*&
, 1%+)*&
) $%+)*&
,)) $%+)*&
(!
!"#$幂的运算$!'
练习
!!下面的计算是否正确! 为什么!
"## %
#$ 1%
% $%
&!"""""" """""""""""""#
"%# +
& 1+
* $+!"
"""""""""""""#
"(# %
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"*# ")-#
* 1")-#
% $)-
%!"
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) 1")+# $+
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")# ")*#
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% $*!"
"""""""""""""#
"!计算%
"## %
#$ 1%
&& """"""""""""%# ")+*#
( 1")+*#&
"(# "% )-#
& 1"- )%#
*&
"*# "*
&#
% 1*
&!
#!我国的水资源总量居世界前列'但人均水资源量仅为世界平均水平的四
分之一'是全球人均水资源最贫乏的国家之一!%$%#年度(中国水资源
公报)显示'%$%#年我国水资源总量为%!,)( +% "#$
#% $
(!按全国#!* "
#$
, 人计算'我国人均水资源量为多少! "结果精确到# $
(#
探究
我们已经得到了当&! '都是正整数且&2'时!%
& 1%
''% # $(的运
算性质!那么当&$ '时! %
& 1%
''% # $( 又如何计算呢%
%#& 当被除式的指数等于除式的指数%即&$' &时$例如$
(
( 1(
($ #$
+ 1#$
+$ %
' 1%
'!
8
!($ 第!章$整式乘法与因式分解
容易看出所得的商都是# !另一方面$仿照同底数幂的除法性质进行计
算$得
比较两种算法!你
有什么发现%
(
( 1(
( $(
()( $(
$$
#$
+ 1#$
+ $#$
+)+ $#$
$$
%
' 1%
' $%
')' $%
$!
这样就出现了零次幂!我们约定)
!
$ $!%% # $&!
任何一个不等于零的数的零次幂都等于! &
%%& 当被除式的指数小于除式的指数%即& 3' &时$例如$
(
% 1(
&$ #$
* 1#$
+$ %
& 1%
'!
那么可以通过约分$得
(
% 1(
& $(
%
(
& $
(
%
(
% "(
( $ #
(
( $
#$
* 1#$
+ $#$
*
#$
+ $
#$
*
#$
* "#$
* $ #
#$
* $
%
& 1%
' $%
&
%
' $
%
&
%
&"%
% $ #
%
% !
另一方面$仿照同底数幂的除法性质进行运算$得
(
% 1(
& $(
%)& $(
)($
#$
* 1#$
+ $#$
*)+ $#$
)*$
%
& 1%
' $%
&)' $%
)%!
这样就出现了负整数次幂!一般地$我们约定)
!
)+ $ !
!
+ %% # $$ 4是正整数&!
!"#$幂的运算$!)
正整数次幂
的运算性质同样
适合于零次幂和
负整数次幂!
""任何一个不等于零的数的%+!+ 是正整数"次幂#等
于这个数的+ 次幂的倒数&
有了上述约定$我们再遇到计算%
& 1%
'时$就不必限
制& 2'了!这样$幂指数的范围就从全体正整数扩充
到全体整数!
!!
例7 "计算)
%#& #$
) 1#$
)* """""%%&
#
'( )
$
1 #
'( )
)%
*
%(& %)%&
( 1%)%&
&!
解"%#& #$
) 1#$
) $#$
))) $#$
$ $#!
%%&
#
'( )
$
1 #
'( )
)%
$ #
'( )
$)%)%&
$ #
'( )
%
$#
*,!
%(& %)%&
( 1%)%&
& $%)%&
()& $%)%&
)% $
#
%)%&
% $#
* !
练习
!!计算%
"##
(
+( )
(
1 (
+( )
(
& ""
"%# (
' 1(
,&
"(#
)%
&
(
)
&
1 )%
&
(
)
)
&
"*# ")&#
& 1")&#
,&
"&# ")%+*#
& 1")%+*#
&& "
")# "+*#
& 1")+*#
%!
"!用分数或小数表示下列各数%
"## &
-(&" ""%# %!# "#$
)*& " ""(#
)%
(
(
)
)%
& " ""*# "-*#
-( !
#!把下列各数写成负整数指数幂的形式%
"## $!$$#&"""""%# #
+#&"""""(# -#
(%!
8
&*$ 第!章$整式乘法与因式分解
""前面我们学过用科学记数法来表示一些绝对值大于#$ 的数$例如$
% %+$ $$$可记作%!%+ "#$
)!那么$绝对值小于#的数如何表示呢' 不难得出
$!$$$ $$# $
#
# $$$ $$$ $ #
#$
) $#$
))$
)$!$$$ *( $)*!(
#$ $$$ $)*!(
#$
*
$)*!( "#$
)*!
可见$绝对值小于#的数可记成5% "#$
)'的形式$其中# $ % 3#$$ '是正
整数$'等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数%包括小数点前面的
一个零&$这种记数方法也是科学记数法!
!!
例8 "用科学记数法表示下列各数$并在计算器上把它们表示出来)
%#& $!$$$ ')*"""""""%%& -$!$$$ $$# &, !
解"%#& $!$$$ ') $'!) "$!$$$ # $'!) "#$
)*!
在计算器上输入$!$$$ ')$最后按! .#键$屏幕显示如图+
#%#&所示!
%#&
"
%%&
图+ #
%%& )$!$$$ $$# &, $)#!&, "$!$$$ $$# $)#!&, "#$
))!
在计算器上输入-$!$$$ $$# &,$最后按! .#键$屏幕显示如图+
#%%&所示!
用科学记数法表示绝对值较大或较小的数$有利于按幂的运算性质简化
计算!"
!"#$幂的运算$&"
练习
!!用科学记数法表示下列各数%
$!$)$ %' -$!$$) $%' $!$$$ $)$ %' #&(!+' -(* $$$!
"!水是由氢*氧两种元素组成的'#个氢原子的质量约为#!)'* "#$
)%' #&'
""
"第(题#
#个氧原子的质量约为%!)&' "#$
)%) #&!
#个氢原子与#个氧原子的质量哪个大!
#!雷达发出的微波以(/#$
& #$%!的速度射向
飞机'飞机再将微波反射回来'经#%!) "!后
雷达站收到反射微波'飞机与雷达站的距离
是多少千米! " # "!$#$
)) !#
习题8!1
!!计算%
"## %
($%& """"""""""""""%# )-$")-#
%&
"(#
#
%( )
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%( )
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" )#
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(
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"!计算%
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"%# )"%
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")# "+
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"(# ")%+
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"*# ")(+
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8
&#$ 第!章$整式乘法与因式分解
&!填空%
"## ")%
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( 1")%
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"%# "%-#
& 1"%-#
( $""""&
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"'# 互为相反数"""
"(# 互为倒数
")# 平方相等"""""
"*# 绝对值相等
"%# 下列运算正确的是"""#!
"'# %
& 1%
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(
"(# %$%
( $%
(
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( $%
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(!计算%
"## $!%
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""#!&#
#$ "" )##
#%!
)!若% $ ) (
*
(
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)%
' - $ )!
%
(
)
$
' ,$$!'&
)#'判断%' -' ,三个数的大小!
*!计算%
"## "%
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*$%& "
"%# +
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* 1+
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"(# %%
( (%
) 1")%#
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##!
!"#$幂的运算$&$
!$!据(新时代的中国北斗)白皮书介绍'北斗卫星导航系统服务性能优异'免费
向全球用户提供定位导航授时服务'授时精度优于%$ +!!%$ +!合多少秒!
"+!是时间单位'读作纳秒' # +!$#$
), !#
!!!某种花粉颗粒的直径为($ "$'多少颗这样的花粉颗粒紧密排成一列的长度
为$!( $! ""$是长度单位'读作微米' # "$$#$
)) $#
!"!解决+!#节中第&#页的问题!
!#!已知%'
( ",
* $(
+'求+的值!
8
&%$ 第!章$整式乘法与因式分解
北斗卫星导航系统
8.2
整式乘法
1!单项式与单项式相乘
!问题"
!"光的速度大约是( "#$
& #$%!$从太阳系以外距离地球最近的一
颗恒星%比邻星&发出的光$需要约*年才能到达地球$如果#年以(!#& "#$
' !计
算$地球与这颗恒星的距离约为多少千米'
地球与比邻星的距离应是%( "#$
&& "%* "(!#& "#$
'&#$!这个式子应如
何计算呢'
"%( "#$
&& "%* "(!#& "#$
'&
$* "( "(!#& "#$
& "#$
'
$#% "(!#& "#$
#%
$(!'+ "#$
#(%#$&!
因而$地球与这颗恒星的距离约为(!'+ "#$
#( #$!
交流
#!上面的运算用了哪些性质%
%!如果把上面算式中的数字换成字母!例如-,
&$%-,
'!该如何计
算呢% "
(!完成下面计算&
*+
%*$(+*
% $'* "(($'+
%$""($'*$""($"""")
&%-,$')(%-( $*& "')((+$'%$ "($'-$ "($,$""""!
从以上的计算过程中!你能归纳出单项式乘法法则吗%
!"%$整式乘法$&!
""单项式乘法法则)
""单项式相乘$把系数%同底数幂分别相乘$作为积的因式&对于只在一个
单项式里含有的字母$则连同它的指数作为积的一个因式&
!!
例1 "计算) %#& %)*%-,& #
% %-
(
) * "%%& %(%&
("% )&%-
%&!
解"%#& %)*%-,& #
% %-
(
) $ )* "#
%
(
)"%
%-
%,$)%%
%-
%,!
%%& %(%&
("% )&%-
%& $%'%
("% )&%-
%& $)#(&%
*-
%!
!!
例2 "%$%#年&月#&日'时#+分$天问一号探测器着陆火星$迈出了我
国星际探测征程的重要一步$也使我国成为第二个成功登陆火星的国家!天问一
号从地球飞行进入环火轨道的里程相当于绕地球赤道#!#+ "#$
* 圈$它的这一飞
行里程约为多少千米' %地球半径/约)!* "#$
( #$$ !取(!#*&
解" #!#+ "#$
* "%!/
" #!#+ "#$
* "% "(!#* ")!* "#$
(
" *!'* "#$
+%#$&!
答)它的这一飞行里程约为*!'* "#$
+ #$!
8
&&$ 第!章$整式乘法与因式分解
天问一号探测器
练习
!!计算%
"## %+
%$(+
(& """""""""""%# %
& %
%-
($ &
) %-,&
"(# ")%!&+
%#$")*+#
%&
"*# ")*+
%*#")+*#
% )#
% *
(
(
) !
"!计算%
"## "* "#$
&# ""& "#$
)# ""( "#$
*#&
"%# %%
%$")%%#
% ("%%
(#$&%!
中国空间站在轨运行效果图
#!中国空间站天和核心舱于%$%# 年* 月
%,日由长征五号(遥二运载火箭在海
南文昌发射升空!其轨道飞行速度约
'!)+ #$%!'那么它连续,$ 天大约飞行
了多少千米!
2!单项式与多项式相乘
!问题#
!"一个施工队修筑一条路面宽为' $的公路$第一天修筑% $长$
第二天修筑- $长$第三天修筑,$长$(天共修筑路面的面积是多少'
先按题意画图+
%$结合图形考虑有几种计算方法!
图+ %
!"%$整式乘法$&'
方法一"(天共修筑路面的总长为%% (- (,&$$因为路面的宽为' $$所
以(天共修筑路面"""""""$
% !
方法二"先分别计算每天修筑路面的面积$然后相加$则( 天共修筑路面
"""""""$
% !
运用分配律!
把单项式与多项
式的相乘转化为
单项式与单项式
的相乘!
因此$有
"""""""".""""""""!
事实上$因为代数式中的字母都表示数$因此$根据
分配律$可得到
'%% (- (,& $'% ('- (',!
单项式与多项式的乘法法则)
""单项式与多项式相乘$用单项式和多项式的每一项分别相乘$再把所得
的积相加&
!!
例3 "计算)
%#& %)%+&%+
% )+(#&*
%%& %%%
% (%& )%
%%% )%&!
解"%#& %)%+&%+
% )+(#&
$%)%+&"+
% (%)%+&"%)+& (%)%+&"#
$)%+
( (%+
% )%+!
%%& %%%
% (%& )%
%%% )%&
$%"%
% (%"% )%
%"% (%%
%
$%
( (%
% )%
( (%%
%
$(%
%!
8
&($ 第!章$整式乘法与因式分解
练习
!!计算%
"## &+$"(+(*#&
"%# &%
% )*
( % (#
(
) ")(%#&
"(# +"+
% ((# (+
%"+)(# )(+"+
% )+)##&
"*# ")%#$")%%-# ((%$ %- )#
( - )#
(
) !
"第%题#
"!如图'某长方体的长为% (#'宽为%'高为('问
这个长方体的体积是多少!
#!在+",(6# $+,(+6中'如果将+换为"% (-#'
如何计算"% (-#",(6#! 写出你的思考过程!
3!多项式与多项式相乘
!问题$
!"一块长方形的菜地$长为%$宽为&!现将它的长增加-$宽增加
'$求扩大后的菜地面积!
先按题意画图+
($结合图形考虑有几种计算方法!
图+ (
方法一"扩大后菜地的长是% (-$宽是&('$所以它的面积是"""""
"""""!
!"%$整式乘法$&)
方法二"先算* 块小长方形的面积$再求总面积!扩大后菜地的面积是
""""""""""!"
因此$有
%% (-&%&('& $%&(-&(%' (-'!
上面的运算还可以把%% (-&看作一个整体运用分配律$再根据单项式与多
项式的乘法法则$得
这两个多项
式叫作所得积的
因式!
多项式与多项式的乘法法则)
""多项式与多项式相乘$先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一
项相乘$再把所得的积相加&
!!
例4 "计算)
%#& %)%+)#&%(+)%&* "
%%& %+(%&%+(-&!
解"%#& %)%+)#&%(+)%&
$%)%+&"(+(%)%+&"%)%& (%)#&"(+(%)#& "%)%&
$))+
% (*+)(+(%
$))+
% (+(%!
%%& %+(%&%+(-&
$+
% (-+(%+(%-
$+
% (%% (-&+(%-!
8
'*$ 第!章$整式乘法与因式分解
""!!
例5 "计算)
%#& %% (-&%%
% )%- (-
%&* "
%%& %*
% (*(#&%*(%&!
解"%#& %% (-&%%
% )%- (-
%&
$%"%
% )%"%- (%"-
% (-"%
% )-"%- (-"-
%
$%
( (-
(!
%%& %*
% (*(#&%*(%&
$*
( (%*
% (*
% (%*(*(%
$*
( ((*
% ((*(%!
练习
!!计算%
"## "%' ()#"' )(#& """""%# " )(+)##" )+
% (##!
"!计算%
"## "(+)*#"(+(*#&
"%# "(% (%#"(% )%# ),%"% )##&
"(# "+)*#"+
% (+*(*
%#& "
"*# "+(##"+
% )%+((#!
#!先化简'再求值% "+)*#"+)%# )"+)##"+((#'其中+$)%!
习题8!2
!!计算%
"## ")&%
%-#"%%-
%,#& """""%# )(
* %+
(
) )%
( -+
(
(
) &
"(# "% "#$
*#") "#$
&#&
"*#
#
% +
(
)$%+
($")(+
%#!
"!计算%
"## "&'#
%")&
%'#& "" "
"%# "%&#
( )#
* &
(
)
%
&
!"%$整式乘法$'"
"(# +
%*
( )%+"*+*
(#& "
"*# "(&
%'#$ %
( &
%'
%
(
) )")#$&#$&
('
(!
#!据统计'%$%%年全球能源相关的碳排放量约(!)+ "#$
)万吨'则全球+$亿人
%$%%年每人平均碳排放量约为多少吨!
&!计算%
"## "(*))#")*#& ""
"%# ")(+# *+
% )*
( +(#
(
) &
"(# ")+*#"%+)&*)##& "
"*# "**)##"*)&#&
"&# "%+((#"*+(##&
")#
(
* +(#
(
)
%
( +)(
(
) !
'!化简%
"## &+"%+(*# (+"+)##&
"%# %%"%
% ((% )%# )%"%
( (%%
% )% (##!
(!先化简'再求值%
"## %"- ),# )-",)%# (,"% )-#'其中% $#
% ' - $)#' ,$)%&
"%# "+)*#"+)%*# )"(+)%*#"+)(*#'其中+$*' *$)#!
)!解方程%
"## "+)(#"+)%# (#+ $"+(,#"+(##&
"%# "+))#"+
% (+(## )+"+(##"+)## $+"% )&+#!
*!在一个边长为%的正方形地块上'辟出一部分作为花坛'下面给出几种设计
方案'请你分别写出花坛"图中绿色部分#面积0的表达式'并计算当% $#$
时面积0的值!
%#&
%%&
%(&
%*&
"第+题#
8
'#$ 第!章$整式乘法与因式分解
数学活动
求最大乘积
"%将数字"" #" $" )" % 组成一个三位数和一个两位数"每个数字仅用一
次%怎样分这%个数字"使组成的两个数的乘积最大#
#%请你任选%个不同的数字"按第"题的要求"组成一个三位数和一个两位
数"使这两个数的乘积最大$试验时可借助计算器%%
$%根据上述问题"猜想合乎要求的三位数和两位数的特点&若这%个数字分
别为(" )" *" +" ,"且有( -) -*-+ -,$," '%"根据你的猜想写出这两
个数%!
)%将第"题和第#题中的要求改为使乘积最小"求所组成的两个数%
#$%!整式乘法!#$
8.3
完全平方公式与
平方差公式
在进行多项式与多项式相乘时$往往会遇到一些特殊形式的多项式相乘$其
结果较为简洁!
将公式#中
的-用--代替就
得出公式$!
由多项式乘法可得
!! %'"
" $!
" %"!' %'
"&
#
!! )'"
" $!
" )"!' %'
"&
$
上面两个等式称为完全平方公式!
完全平方公式用语言叙述是)
两个数的和!或差"的平方#等于这两个数的平方和加!或减"这两个数乘积
的" 倍&
观察
完全平方公式!除了直接由多项式的乘法得到!还可以通过图形面积
割补的方法得到!观察下面的两幅图!写出所蕴含的等式!
%% (-&
% $%
% (%%- (%""&
%#&
'%$ 第!章$整式乘法与因式分解
%% )-&
% $%
% )%""& (-
%
%%&
图+ *
!!
例1 "利用乘法公式计算)
%#& %%+(*&
%* """""%%& %(% )%-&
%!
运用公式计
算!要先识别公
式中%! -在具体
式子中分别表示
什么!"
解"%#&
%%&
!!
例2 "利用乘法公式计算) % )&)%'&
%!
还有其他计算
方法吗%
解""% )&)%'&
%
$+ )%&(%'&,
%
$%&(%'&
%
$&
% (*&' (*'
%!
!"&$完全平方公式与平方差公式$'!
"第%题#
练习
!!利用乘法公式计算%
"## "(+(##
%&"""" "%# "% )(-#
%&
"(#
%+(*
%
(
)
%
&
"*# " )%+((*#
%!
"!如图'一张正方形的纸片'如果把它沿着各边都
剪去( ,$宽的一条'那么所得小正方形的面积
比原正方形的面积减少+* ,$
%'求原正方形的
边长!
思考
#!由多项式乘法计算&
'#( '(&(#('(&)#() """" '%( '+(%*('+)%*(!
%!请你根据上面多项式乘法的规律概括出'% (-('% )-( 的计算
公式!"
这个公式称为平方差公式!用语言如何表述%
(!你能设计一个图形来说明上面公式吗%
!!
例3 "利用乘法公式计算)
%#& % )+((&% )+)(&* """"
%%& # ,,, "% $$#!
解"%#& % )+((&% )+)(&
$% )+&
% )(
%
$+
% ),!
8
'&$ 第!章$整式乘法与因式分解
%%& # ,,, "% $$#
$%% $$$ )#& "%% $$$ (#&
$% $$$
% )#
%
$( ,,, ,,,!
练习
!!利用乘法公式计算%
"## "%% (&-#"%% )&-#& """""""%#
#
% +)(
(
)
#
% +((
(
) &
"(# "*)%+#")%+)*#&
"*# "+*(##"+*)##!
"!利用乘法公式计算%
"## &,+ ")$%&
"%# ,,,
%!
!!
例4 "计算)
%#& %% (- (,&
%* """""%%& %% )-&
(!
解"%#& %% (- (,&
%
$+%% (-& (,,
%
$%% (-&
% (%%% (-&,(,
%
$%
% (%%- (-
% (%%,(%-,(,
%
$%
% (-
% (,
% (%%- (%%,(%-,!
%%& %% )-&
(
$%% )-&%% )-&
%
$%% )-&%%
% )%%- (-
%&
$%
( )%%
%- (%-
% )%
%- (%%-
% )-
(
$%
( )(%
%- ((%-
% )-
(!
!"&$完全平方公式与平方差公式$''
!!
例5 "利用乘法公式计算) %+(*(8&%+)*(8& !
解" %+(*(8&%+)*(8&
$+%+(8& (*,+%+(8& )*,
$%+(8&
% )*
%
$+
% (%+8(8
% )*
%!
练习
!!计算%
"## "% (-#
(& """"""""""%# "+)##
(& """
"(# "% )- ),#
%!
"!计算%
"## "%% (- (##"%% (- )##& ""
"%# "(+(*(8#"(+)*)8#!
习题8!3
!!计算%
"## *+(#
%
(
)
%
& """"""""""%#
#
* &)%'
(
)
%
!
"!计算%
"## "%&(('#"%&)('#&
"%# )(% )#
% -
(
) )(% (#
% -
(
) &
"(# ")*+(*#"*(*+#&
"*# "+(*#"+)*# ("*)8#"*(8# )"+(8#"+)8# !
8
'($ 第!章$整式乘法与因式分解
#!计算%
"% )%- )(#"% (%- ((#!
&!先化简'再求值%
"&*(##"&*)## )"&*(%&*
%#'其中*$%
& !
'!解方程%
"## +(#
*
(
)
%
) +)#
*
(
) +(#
*
(
) $#
* &
"%# "+(##"+)## )"+(%#
% $'!
(!解不等式%
%"+(*#"+)*# 3"+)%#"%+(&#!
)!填空%
"## +"""# ("""#,
% $*+
% ("""# (,*
%&
"%# ++("""#,++("""#, $+
% ("""# ()&
"(# +
% ((+("""# $"+(""#
%!
*!如果多项式*+
% (#加上一个单项式后能成为一个多项式的完全平方'那么
这个单项式是什么!
+!一个圆的半径为/,$'若半径减少% ,$'那么这个圆的面积减少多少!
!"&$完全平方公式与平方差公式$')
8.4
因式分解
在小学$我们学过整数的素因数分解$例如$
) $% "($ ($ $% "( "&!
类似地$在整式中$也可以把一个多项式化成几个因式乘积的形式$例如$
%
% (%%- (-
% $%% (-&
%$
%
% )%%- (-
% $%% )-&
%$
%
% )-
% $%% (-&%% )-&$
'% ('- (',$'%% (- (,&!
像这样$把一个多项式化为几个整式的积的形式$叫作因式分解$也叫作把
这个多项式分解因式!
观察
下列整式乘法与因式分解之间有什么关系%
'#( &'% (- (,( $&% (&- (&,!
&% (&- (&,$&'% (- (,()
'%( '% )'(
% $%
% )#*% (*,!
%
% )#*% (*, $'% )'(
%)
'(( '+((('+)(( $+
% ),!
+
% ), $'+((('+)((!
下面介绍因式分解的两种基本方法!
(*$ 第!章$整式乘法与因式分解
1!提公因式法
由&%% (- (,& $&% (&- (&,$可得
&% (&- (&,$&%% (- (,&!
我们来分析一下&% (&- (&,的特点)它的每一项都含有一个相同因式&$
&叫作各项的公因式!如果把这个公因式提到括号外面$这样&% (&- (&,就
分解成两个因式的积&%% (- (,&$即
&% (&- (&,$&%% (- (,&!
这种因式分解的方法叫作提公因式法!
!!
例1 "把下列各式分解因式)
最后一项(%
提取后还有因
数# !"
%#& *&
% )+&'* """%%& (%+
% ))%+*((%!
解"%#&"*&
% )+&'
$*&"&)*&"%'
$*&%&)%'&!
%%&"(%+
% ))%+*((%
$(%"+
% )(%"%+*((%"#
$(%%+
% )%+*(#&!
思考
运用提公因式法时!如何确定各项的公因式%
!!
例2 "把下列各式分解因式)
%#& %+%- (,& )(*%- (,&*
%%& ('%+)%& (%% )+&!
解"%#&"%+%- (,& )(*%- (,&
$%- (,&%%+)(*&!
!"'$因式分解$("
% )+与+)%
有什么关系%
""%%&"('%+)%& (%% )+&
$('%+)%& )%+)%&
$%+)%&%(' )#&!
练习
!!填空%
"## )+
( )#++
% $"""+)(#& ""%# )'%
% (%#% $)'%"""""#!
"!把下列各式分解因式%
"## '4 )'9& """""""""""""
"%# )+
(*)+
%*
% (+*!
#!把下列各式分解因式%
"## ("% (-#
% ()"% (-#&
"%# &"% )-# )'"% )-#&
"(# )"+)*#
( )(*"*)+#
%&
"*# &'"&)'# )&"' )&#
%!
2!公式法
思考
如何对+
% )%+(#进行因式分解%
如果把整式乘法中的完全平方公式和平方差公式逆向使用$那么就可以将
某些多项式分解因式!
%
% 5%%- (-
% $%% 5-&
%!
%
% )-
% $%% (-&%% )-&!
运用公式%完全平方公式和平方差公式&进行因式分解的方法叫作公式法!
8
(#$ 第!章$整式乘法与因式分解
!!
例3 "把下列各式分解因式)
%#& +
% (#*+(*,* """""""%%& ,%
% )($%- (%&-
%*
%(& +
% )+#*
%*& ()%
% )%&-
%!
解"%#&"+
% (#*+(*,
$+
% (%"+"' ('
%
$%+('&
%!
%%&",%
% )($%- (%&-
%
$%(%&
% )% "(% "&- (%&-&
%
$%(% )&-&
%!
%(&"+
% )+#
$+
% ),
%
$%+(,&%+),&!
%*&"()%
% )%&-
%
$%)%&
% )%&-&
%
$%)% (&-&%)% )&-&!
练习
!!把下列各式写成完全平方的形式%
"## $!+#+
% $"""""#
%& """""%# #)
%&&
%'
* $"""""#
%&
"(# *
% )+*(#) $"""""#
%&
"*# +
% (+(#
* $"""""#
%!
"!把下列各式分解因式%
"## +
% (%+(#& "
"%# *
% )*&
"(# # ))*(,*
%&
"*# # )()'
%& "
"&# ,'
% ()*&
% )*+&'&
")# )#) (%
%-
%!
!"'$因式分解$($
在因式分解的过程中$有时提取公因式与利用公式两种方法都要使用!
!!
例4 "把下列多项式分解因式)
%#& %-
% )%,
%*
%%& (%+
% (%*%+*(*+%*
%!
解"%#&"%-
% )%,
%
$%%-
% ),
%&"%提取公因式&
$%%- (,&%- ),&!"%用平方差公式&
%%&"(%+
% (%*%+*(*+%*
%
$(%%+
% (++*(#)*
%&"%提取公因式&
$(%%+(**&
%!"%用完全平方公式&
!!
例5 "把下列多项式分解因式)
%#& #)+
* )+#* """"
%%& +
* )%+
% (#!
解"%#&"#)+
* )+#
$%*+
% (,&%*+
% ),&"%用平方差公式&
$%*+
% (,&%%+((&%%+)(&!"%用平方差公式&
%%&"+
* )%+
% (#
$%+
% )#&
%"%用完全平方公式&
$+%+(#&%+)#&,
%"%用平方差公式&
$%+(#&
%%+)#&
%!
练习
!!把下列多项式分解因式%
"## %+
( )(%+& """""""""""%# ,%
(-
( )%-&
"(# &+
% )+&+(#)&&
"*# )+
* (%&)& "
"&# )% (%%
% )%
(&
")# +#%
* )'%%
%-
% (#)-
*!
8
(%$ 第!章$整式乘法与因式分解
""!!
例6 "把下列各式分解因式)
%#& +
% )*
% (%+(%**
%%& %
% (%%- (-
% ),
%!
解"%#&"+
% )*
% (%+(%*
$%+
% )*
%& (%%+(%*&
$%+(*&%+)*& (%%+(*&
$%+(*&%+)*(%& !
%%&"%
% (%%- (-
% ),
%
$%%
% (%%- (-
%& ),
%
$%% (-&
% ),
%
$%% (- (,&%% (- ),&!
从本例可以看出$因式分解有时需先分组$再利用提公因式法或公式法进行
分解!
探究
你会把+
% (*+((分解因式吗%
这个二次三项式可以变形为+
% (*+(* )#$再利用公式或者将*+拆分成
(+(+$再提取公因式!
还有其他方
法吗% "
方法一""+
% (*+((
$%+
% (*+(*& )#
$%+(%&
% )#
$%+(% (#&%+(% )#&
$%+((&%+(#&!
方法二""+
% (*+((
$+
% ((+(+((
$+%+((& (%+((&
$%+((&%+(#& !
!"'$因式分解$(!
在第'$页的例* 中$我们根据多项式的乘法法则得到%+(%&%+(-& $
+
% (%% (-&+(%-!由等式性质可得+
% (%% (-&+(%- $%+(%&%+(-&!运
用这个规律可尝试将上述多项式分解因式!这里一次项系数* $# (($常数项
( $# "(!可得)
方法三""+
% (*+((
$+
% (%# ((&+(# "(
$%+(#&%+((&!
练习
!!把下列各式分解因式%
"## *%
% )-
% (*% )%-& """"""
"%# +
% )%+*(*
% )#&
"(# ,+
% ()+(%*)*
%!
"!把下列各式分解因式%
"## +
% ))+(+& """"""
"%# +
% ((+)#$!
习题8!4
!!把下列各式分解因式%
"## %+)%*(%8&
"%# )%
%- )#&%-
% (($%
%-
%&
"(# #$%"+)*#
% )&-"*)+#&
"*# +"% )+#"% )*# )*"+)%#"*)%#!
"!简便运算%
"## (!#* "'!& ((!#* "%!&& """%# *!%,+ "(!%&) )(!%&) "(!%,+&
"(# # $$*
% ),,)
%&
"*# )&
% (% "(& ")& ((&
%!
8
(&$ 第!章$整式乘法与因式分解
#!把下列各式分解因式%
"## +
% ))%+(,%
%& """""" "%# *+
% )#$$&
"(# %&&
% )+$&()*&
"*# $!*,+
% )#***
%!
&!把下列各式分解因式%
"## *
* )*
%&
"%# (%+
% )(%*
%&
"(# *+
( )++
% (*+&
"*# %
% )%%"- (,# ("- (,#
%!
"第&题#
'!如图'某串联电路中电流:"单位%'#*电阻;#' ;%'
;("单位%%#与电压<"单位%-#有下列关系% <$
:;# (:;% (:;(!当;# $%#!( %' ;% $*%!& %' ;( $
#)!% %' :$#!%& '时'求< !
(!若'为整数'那么'
% )'一定是偶数!为什么!
数学拓展
巧用因式分解
欧拉
#'%,年#%月#日!%%岁的数学家欧拉'./012! #'$',
#'+((收到另一位数学家哥德巴赫' 340567,"! #),$,
#')*(寄来的一封信!信中有这么一段话&
"你知道费马'812$79! #)$#,#))&(在一本书注中提
出的一个素数表达式吗% 这就是-一切形如%
%')# (#'' 是
正整数(的数都是素数. !据我所知!他过世已半个世纪
了!迄今还没有人能证明它!你是否相信这个结论%#
原来!费马在作出上述结论前!曾作过如下验算&
!"'$因式分解$('
当' $#时!
"""%
%')# (# $%
%$ (# $% (# $()
当' $%时!
"""%
%')# (# $%
% (# $&)
当' $(时!
""""
%
%')# (# $%
%% (# $%
* (# $#')
当' $*时!
"""%
%')# (# $%
%( (# $%
+ (# $%&')
当' $&时!
%
%')# (# $%
%* (# $%
#) (# $)& &('!
其结果都是素数!但是'取任何正整数时情况又会怎样呢% 费马猜想!可能
也是素数!
欧拉收到哥德巴赫的来信后!进行了认真思考!由于当时没有计算机!大
于&的任一自然数代入验算都是很繁琐的!欧拉对' $ ) 时的计算可谓"巧夺
天工#!请看&
当' $)时!
"%
%')# (#
$%
%& (#
$%
(% (#
$'% "%
'(
* (#
$%
* "#%+
* (#
$'# (#&( "#%+
* (#
$*# (& "'#%+ )#%&(+ "#%+
* (#
$'# (& "#%+( "#%+
* (# )&
* "#%+
*
$'# (& "#%+( "#%+
* ('# (&
% "#%+
%('# (& "#%+('# )& "#%+(
8
(($ 第!章$整式乘法与因式分解
$'# (& "#%+(*#%+
* ('# (&
% "#%+
%('# )& "#%+(+
$)*# ") '$$ *#'!
这里!欧拉用因式分解解决了一个历史悬案,,,形如%
%')# (#'' 为正整
数(的数不一定是素数!从而推翻了费马的猜想!此后!人们把一切形如%
%')# (#
''为正整数(的数称为"费马数# !除了费马算出的前&个之外!目前还没有一
个费马数被证明是素数!这些费马数的因子分解是当今数论的热门研究问题!
在保密通信中有应用!但这种形式的费马数中究竟有几个素数/几个合数!至今
仍是一个谜!
费马猜想是根据几个特殊值计算归纳得出的!这种不完全归纳推理方法是
科学研究中常用的思想方法!这个方法对于发现规律/猜想未知十分重要!但是
由它得到的结论不一定正确!还须进一步得到证明!
数学史话
杨辉三角
(永乐大典)书影
#%)#年!我国宋代数学家杨辉'#(世纪(写了
一本书,,,0详解九章算法1!书中记载了一个用
数字排成的三角形!这个三角形数阵图是北宋贾
宪'约##世纪上半叶(首创的"开方作法本源图#!
后人称之为贾宪三角或杨辉三角!
杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数
表!如图+
& !
观察图+
& 右侧的系数表!你发现了什么规
律% 你能写出'% (-(
'!'% (-(
+展开式的各项系
数吗%
在世界各地!继贾宪之后有不少人都发现了
这个三角表!法国数学家帕斯卡':7!,70! #)%(,
#))%(发现这个表后!把它应用于数学的许多方
!"'$因式分解$()
面!并取得了成果!国外把这个三角表叫作帕斯卡三角!但它比贾宪的发现晚了
近)$$年!
图+ &
8
)*$ 第!章$整式乘法与因式分解
小结·评价
""一! 知识体系
፮
+
D
0
᪠
ᐻ
΄
"
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Mᐻ̺
ๆMᐻ,΄
ๆMᐻ̺
ๆMᐻ,΄
΄"ژᐻ
ᐻܲ
?
'
""二! 回顾与思考
#!幂的运算性质!
"## %
&$%
' $"""" "&% ' 都是正整数#&
"%# "%
&#
' $"""" "&% ' 都是正整数#&
"(# "%-#
' $"""" "' 是正整数#&
"*# %
& 1%
' $"""" " % # $% &% ' 都是正整数#!
%!学习整式的乘法%首先研究了幂的运算%接着逐步研究单项式乘以
单项式'""""""和""""""%由特殊到一般%由简到繁%逐步深
入!换而言之%多项式"单项式#乘以多项式%可化归为单项式与单项式相
乘%而单项式乘法是以""""为依据的!
(!乘法公式!
"## "% 5-#
% $""""""""&
"%# "% (-#"% )-# $""""!
*!在%
& 1%
' $%
&)' " % # $% &% ' 都是正整数#中%当&$' 时%约定
%
$ $""""&当& 3' 时% 如& )' $)4 "4 是正整数#%则约定%
)4 $
""""!"
&!因式分解最基本方法是""
""和""
""!
小结!评价$)"
""三! 自评与互评
#!整式乘法与因式分解是既有联系又有区别的两种变形%运用这两种
变形的关系%可以由整式乘法的法则或公式得到因式分解的一些方法%并
能检验因式分解的结果是否正确%试举例说明!
%!总结一下因式分解的方法与步骤%并与同学交流!
(!科学记数法%分别在七年级上册(有理数)一章和本章学习%为什么
分这两次学习*
*!两个正数相乘%常可看作某种图形的面积%结合本章学习举出一些
用图形表示某些等式的例子!
复习题
%组
!!填空%
"## ")(%-,#")+%-6# $""""&
"%# ")%&
%'
(#
( $""""&
"(# )#
& %-
(
) ")#$% (&-# $"""""""&
"*# %++
% )#
% +(*
(
) $""""""""&
"&# "+(##"+((# $""""""""!
"!计算%
"## "%% )##"% )*# )"% ((#"% )##&
"%# =
% )"=(##"=)&#&
"(# "+(##"+
% (+(##&
"*# "%+((#"+
% )+(##!
8
)#$ 第!章$整式乘法与因式分解
#!计算%
"##
#
( +)*
(
)
%
( #
( +(*
(
)
%
&
"%# +(%*)#
%
(
) +)%*(#
%
(
) !
&!先化简'再求值%
"## %+"+
% )+(## )+"%+
% (%+)(#'其中+$)#
% &
"%#
%+)#
% *
(
) %+(#
% *
(
) ) %+)#
% *
(
)
%
'其中+$#
* ' *$)#!
'!解方程"组#%
"## (+"+(%# ("+(##"+)## $*"+
% (+#&
"%#
+"*)&# )*"+)%# $#%'
%+")*)## (**"% )%+# $*"+*((#!
(!求不等式"(+(*#"(+)*# 2,"+)%#"+((# 的正整数解!
)!下图是一个机器零件的截面'写出它的面积表达式'并计算当% $#$ ,$时的
面积!
"第'题#
"""""
"第+题#
*!如图'有一长方形空地'其长为%'宽为-'现要在该空地种植两条防风带"图
中蓝色部分#'其中斜向防风带为平行四边形'横向防风带为长方形'用代数
式表示剩余空地的面积!
小结!评价$)$
+!填空%
"## ,%
*-
% )"""" $"(%
%- (&,#"(%
%- )""""#&
"%# #
* &
% (#
( &' ("""" $ #
% &(""""
(
)
%
!
!$!把下列各式分解因式%
"## +
% ()%+(,%
%& """""
"%# "+)%%#
% )%"%% )+#!
!!!如果二次三项式*+
% (&+(()是一个完全平方式'求&的值!
复习题
&组
!!填空%
"## 已知"%+)%#
% $- (*+
% )#%+'则% $""""' - $""""&
"%# 如果+
% (%+))可分解为"+(-#"+(%#'则% $""""' - $""""&
"(# 如果+
% )%+(#&在整数范围内可分解因式'则整数% $""""&
"*# 如果%
& $)' %
' $('那么%
&(' $""""""' %
&)' $""""&
"&# 已知"+(*#
% $''"+)*#
% $&'则+
% (*
% $""""' +*$""""&
")# % $%*
% )% $%( "% $%& $""""!
"!为参加-爱我校园.摄影比赛'小明同学将参与植树活动的照片放大为长
% ,$*宽
(
*
% ,$的长方形'又在四周加上宽为% ,$的相框!请用代数式表示
这幅摄影作品"带相框#的面积!
#!比较%
#$$ 与(
'& 的大小!
&!已知+(*$(' +*$#'求+
% (*
% 的值!
'!观察下列关于自然数的等式%
(
% )* "#
% $&'
#
8
)%$ 第!章$整式乘法与因式分解
&
% )* "%
% $,'
$
'
% )* "(
% $#('
&
//
根据上述规律解决下列问题%
"## 完成第*个等式% ,
% )* """""
% $""""&
"%# 写出你猜想的第'个等式"用含'的式子表示#'并说明其正确性!
复习题
'组
!!分解因式%
"## #
% +
* )+& """"""""""""%# +
* ('+
% )+!
"!分解因式%
"## %
* )%
( (%
% )%&""""""""
"%# *%
% ),-
% (,
% )*%,&
"(# "%+(-*#
% ("-+)%*#
%!
#!试说明"' ('#
% )"' )&#
%"'是整数#能被%*整除!
&!"## 计算%
"% )##"% (## $""""&
"% )##"%
% (% (## $""""&
"% )##"%
( (%
% (% (## $""""&
"%# 由此'猜想% "% )##"%
,, (%
,+ (%
,' (/ (%
% (% (## $""""&
"(# 请你利用上式的结论'求%
#,, (%
#,+ (/ (%
% (% (#的值!
'!已知% >$,+' )&* (%# "#%( *&) '+,' ?$,+' )&* (%% "#%( *&) '++'试比较>
与?的大小!
小结!评价$)!
第9 章
分式
为了满足经济高速发展的需要%我国铁路部门
不断进行技术革新%提高列车运行速度!
兰"甘肃兰州# 新"新疆乌鲁木齐# 高铁里程全
长约# '') #$!若某直快列车改为高铁列车后%速
度提高*+!%运行时间缩短约) "%求直快列车的
速度!"
若设直快列车的速度为+#$%"%则直快列车运行
时间为# '')
+
"%高铁列车运行时间为
# '')
"#0*+!#+"%
可以得到方程""""""!
像# '')
+ %
# '')
"#0*+!#+这样的式子和我们以前
学过的整式有什么不同* 得到的方程如何解答*
本章我们将学习分式的性质与运算、分式方程
以及如何运用它们解决一些实际问题.
)&$ $
9.1
分式及其基本性质
!问题"
!"一个长方形的面积为%$ $
%$如果它的长为% $$那么它的宽为
""""$!"
!问题#
!"某超级杂交稻育种基地有两块稻田$第一块稻田&"$
%$每公顷
产超级杂交稻% #&*第二块稻田' "$
%$每公顷产超级杂交稻- #&$则这两块稻田
平均每公顷产超级杂交稻""""#& !
上面问题中$列出的代数式分别为%$
! 和
%&(-'
&(' !这些代数式有什么共同
的特征' 与整式有什么不同' 你还能列出几个这样的式子吗'
正如分数可
看成两个整数相
除的商一样!分
式是两个整式相
除的商!
一般地$如果>$ ?表示两个整式$并且?中含有字
母$那么式子
>
?叫作分式!其中>叫作分式的分子$?叫
作分式的分母!
因为?是分母$所以?所含字母的取值不能使?$ $!
整式和分式统称为有理式$即
有理式整式
分式
!!
例1 "%#& 当+取何值时$分式
*
+)% 有意义'
%%& 当+是什么数时$分式
+(*
%+)( 的值为零'
解"%#& 当分母的值等于零时$分式没有意义$除此以外$分式都有意义!
由+)% $$$
("#$分式及其基本性质$)'
如无特别说
明!本章出现的
分式都有意义!
即其分母都不等
于零!"
解得
+$%!
因而$当+# %时$分式
*
+)%有意义!
%%& 由+(* $$$
解得
+$)*!
当+$)*时$%+)( $)+ )( $)## # $!
因而$当+$)*时$分式
+(*
%+)(的值为零!
练习
!!下列代数式中'哪些是分式! 哪些是整式!
#
%
'
%
(
'
#
+(*
' )%
+
'
% (-
%-
'
+(%
+)%
'
(
!!
"!当+为何值时'分式
+(%
+)(有意义!
#!解下列问题%
"## 一箱苹果售价%元'箱子与苹果总质量为&#&'箱子质量为' #& !
每千克苹果的售价为多少元!
"%# 已知轮船在静水中的速度为% #$%"'水流速度为- #$%" "% 2-#'
甲*乙两地的航程为@#$'船从甲地顺江而下到乙地需要多少时
间! 从乙地返回甲地需要多少时间!
9
)($ 第(章$分式
思考
完成下面等式的填空!并说出从左到右变化的依据&
'#( #
(
$
%
'""(
$'""(
#%
!
'""""""""(
'%( )
#+
$
(
'""(
$'""(
(
!
'""""""""(
与分数类似$分式有如下的基本性质)
""分式的分子与分母都乘以"或除以#同一个不等于零的整式$分式的值不
变$即
,
-
$,$.
-$.
$,1.
-1.
",$ -$ . 都是整式$且. # $#!
!!
例2 "根据分式的基本性质填空)
%#& +
%
%+*
$%""&
%*
* """"""""%%&
)%
)&-
$
%
%""&
*
%(&
% (-
%
%- (%-
% $
#
%"""&
*
%*&
%
% (-
$
%%
%"""& !
解"%#& +
%
%+*
$+
%*!
%%&
)%
)&-
$%
&-!
%(&
% (-
%
%- (%-
% $#
%-!
%*&
%
% (-
$
%%
%% (%-!
("#$分式及其基本性质$))
练习
!!填空%
"## % )-
%-
$"""#
%
%-
& """ """"%# "% )##"% (%#
"% ((#"# )%#
$) % (%
"""#
&
"(#
&&
%'
%
&
%' ('
%&
$"""#
&('
&
"*#
+)#
+
% )%+(#
$
#
"""# !
"!下列等式从左边到右边是怎样得到的!
"## %
(-
$%,
(-,
",# $#&
"%# +"+)*#
+
% )*
%
$ +
+(*
&
"(# +(%
+)% $+
% (*+(*
+
% )*
"+#)%#&
"*# % )-
% (- $ %
% )-
%
"% (-#
%!
分式的基本性质是分式化简和运算的依据!
根据分式的基本性质$把一个分式的分子和分母的公因式约去叫作分式的
约分!
当分式的分
子和分母是多项
式时!可先分解
因式找出公因
式!再约分!
!!
例3 "约分)
%#& ++*
%
#%+
%*
* """"""%%& %
% )-
%
% (-
*
%(& %
% )%%
* )%
% * "
%*&
+
% )#
+
% )%+(#!
9
"**$ 第(章$分式
解!!"" #!"
$
"$!
$"
#%!"#$"
%!"#&!
#$"
&!$
!$" %
$ &'
$
% ('
#!% ('"!% &'"
% ('
#% &'$
!&"
%
$ &$%
% &%
$ #
%!% &$"
&!% ($"!% &$"
#
%
&!% ($"
#& %
% ($$
!%"
!
$ &"
!
$ &$!("
#!!(""!!&""
!!&""
$
#!("
!&"$
像
$"
&!
$ &
%
% ($
$
!("
!&" 这样$分子与分母没有公因式的分式叫作最简分
式$分式的约分是把分式化成最简分式或整式$
练习
!$约分!
""# '!"
$(!
$$ !!!!!!!!!!!!"$#
&&)*
))*
$ $
"&# "% &'#
$
"' &%#
&$ !!
"%# )%"' &"#
#%+"" &'# $
"$约分!
""#
!
$ &*
"!&&#
$$
"$# !
$"(!"
$
!
$ &"
$ $
#$下面的约分对不对% 如果不对&应怎样改正%
""#
&% ('
% &'
#"$ !!
"$# "% &'#
$
' &%
#' &%$
"&# )
$ &*
$
)&*
#)&*$
!"#$分式及其基本性质$!"!
习题9+1
!$解下列问题!
""# 已知三角形的面积为, !
$&它的一边长为% !&那么该边上的高为多
少米%
"$# 若将一棱长为% !的正方体钢坯锻造成底面半径为-!的圆柱&则这个
圆柱的高为多少米%
"&# 一台插秧机的插秧速度相当于%个熟练农民的插秧速度&若一个熟练农
民每小时能插)"!
$&则一台插秧机插完* "!
$ 的水稻需要多少时间%
"$当!取什么值时&下列分式有意义%
""#
!
$!&&
$ !!!!!!"$#
!&"
'!("($
#$填空!
""# "
!
#"!!#
!"
""! (#$ !!!!!"$# !&$
!
$ &%
#
"
"!!#
$
"&# "
&
%%!
# %"
&
"!!#
$!!!!!!!! "%#
% &'
'
#%
$ &'
$
"!!#
"% !&'#$
$$不改变分式的值&将下列分式的分子与分母中各项的系数都化为整数!
""# (+"!&(+$"
(+'!((+&"
$
"$#
"
$
% &"
&
"
%
' ("
&
$
%$不改变分式的值&将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数&并
将分子与分母按降幂排列!
""# &%
$ &"
" &%
$
"$# !&!
$
" ($!
$$
"&#
&" ($!&!
$
&$!("
$ !!!!!
"%#
&%
$ (% &"
" &% &%
$ $
9
!"#$ 第!章$分式
&$约分!
""#
&"'!
$(!
$ $ !!!!!!!!!!!!"$#
&$%+
$
&"%%
$'+
$
"&#
!&"
""&!#
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"%# !
$ &*
) &$!
$
"'# %
$ ($%' ('
$
%
$ &'
$
$ !
")# !
$ &"
!&!
$ $
'$先化简&再求值!
""#
!
$ &'!
!
$ &"(!($'
&其中!#$+'$
"$# %
$ &*'
$
%' (&'
$&其中% #&%& ' #$$
数学拓展
类比推理
我们学习一元一次不等式的解法!是类比解一元一次方程进行的$由于两
者标准形式类似!解的依据也是类似的基本性质$因此!在学过一元一次方程解
法后!很容易通过类比去研究一元一次不等式的解法$
分式与分数分别是整式与整式"整数与整数相除的表述形式!当分式中分子
与分母以数值代替字母时!它就是分数$这样可以通过与分数类比!来学习分式
的性质与运算$
由两个对象的某些相同或相似的性质!推断它们在其他性质上也有可能相
同或相似的一种推理形式!称作类比$
!"#$分式及其基本性质$!"$
类比和归纳一样!也是科学研究中常用的方法$比如!在人类对太空的探索
中!发射探测器登陆火星!任务之一是了解火星上是否曾经有水的存在$因为火
星与地球同是太阳系中行星!地球上有生物!火星上是否也有呢# 从地球上知
道!水是生命之源!如果火星上有过水!推测它可能存在过生物$
类比可以启发我们去猜想"去思考!因此!我们要学会用类比的思想方法去
发现新问题"探求新规律$
思考!!整数与整式有类似的属性$请你根据整数中公因数和最大公因数
的概念!类比推理出整式中公因式和最大公因式的概念$
思考"!类比求两个整数的最大公因数的方法!求下列各组整式的最大公
因式$
%"& !
&"! !
$"
$'
%$& %!&"&
$%!&&&! %!&"&%!&$&%!&&&
$$
思考#!像&
% ! '
) ! ,#
*这样的分子和分母没有公因数的分数叫作最简分
数$求最简分数时!只要约去分子和分母的最大公因数$类似地!把分式
&%!&"&%!($&%!&'&
%!&"&%!&&&%!&'& 化成最简分式时!你要约去的是什么公因式#
9
!"%$ 第!章$分式
9.2
分式的运算
1. 分式的乘除
思考
"$你还记得分数的乘除运算吗#
%"& $
&
.)
'
#!!!!' !!!!%$& &'
-
(
) . &$
'
(
) #!!!!'
%&& &
)
/ &&
%
(
) #!!!!'
%%& &%
$"
(
) /$
-
#!!!!$
$$任给%! '! +! 0一组使分式有意义的数值!如% #$! ' #&! +#&$!
0 #&&!求下面两个式子的值!再任选一组%! '! +! 0的值进行计算$从中
你能得出什么结论#
%"& %
'
(
+
0
#!!!
%+
'0
#
'
%$& %
'
/+
0
#!!!
%0
'+
#
$
与分数乘除类似$分式乘除的法则为%
!!两个分式相乘!用分子的积作为积的分子!用分母的积作为积的分母!
两个分式相除!将除式的分子"分母颠倒位置后!与被除式相乘!
分式运算的
结果要化为最简
分式或整式$
""
例1 !计算%
!"" )!
'"
#
&"("
$
&!
&
& !!!!!!$" *%
$'
$
$+
/&%'
&
#+
$ $
!"%$分式的运算$!"&
解!!"" )!
'"
#
&"("
$
&!
&
#)!#!&"("
$"
'"#&!
&
#&%"
!
$ $
!$" *%
$'
$
$+
/&%'
&
#+
$ #*%
$'
$
$+
#
#+
$
&%'
& #"$%+
' $
先约分后相
乘!可使运算简
便$
""
例2 !计算%
!&"
!
$ &%!(%
/!
$ &"
!
$ &%$
解!!
!&"
!
$ &%!(%
/!
$ &"
!
$ &%
#
!&"
!
$ &%!(%
#
!
$ &%
!
$ &"
#
!!&""!!
$ &%"
!!
$ &%!(%"!!
$ &""
#!!&""!!&$"!!($"
!!&$"
$!!&""!!(""
#
!($
!!&$"!!("" $
思考
怎样计算
1
2
( )
$
!
1
2
( )
&
!
1
2
( )
%
#
1
2
( )
$
#1
2
(
1
2
#1
$
2
$'
1
2
( )
&
#!!!!!!!! #!!!!'
1
2
( )
%
#!!!!!!!! #!!!!$
9
!"'$ 第!章$分式
一般地$
1
2
( )
*
#!!!!!!!! #!!!! !*是正整数"$
即
"
#
( )
$
#!!!!!!$
分式乘方的法则为%
!!分式乘方等于把分子"分母分别乘方!
根据负整数次幂的意义$可知%
1
2
( )
*
#!12
&""
*$
这就是说$分式的乘方
1
2
( )
* 可以转化为积的乘方!12
&""
*$
练习
!$计算!
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''
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%$
#$体育课上&李明和王亮进行单人定位投篮练习$李明投% 次中' 次&王
亮投)次中*次&问李明投篮的命中率是王亮的几倍%
!"%$分式的运算$!"(
2. 分式的加减
思考
"$复习分数的加减运算!填空$
%"& &
$
("
$
#!!!' !!!!!%$& &&
%
(
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%
#!!!'
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'
(
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%%& &"
$
(
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&
(
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$$类比分数的加减运算!下面分式的加减运算如何进行#
%"& '
%
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%
' !!!!!
%$& '
%
&+
%
'
%&& '
&%
(%
$'
'
%%& '
&%
&%
$'$
与分数类似$在计算异分母分式的加减时$要利用分式的基本性质$先把分
母不相同的分式化成分母相同的分式$再进行加减$化异分母分式为同分母分
式的过程$叫作分式的通分$
异分母分式通分时$关键是确定公分母$通常取各分母所有因式的最高次
幂的积作为公分母$这样的公分母叫作最简公分母$
""
例3 !通分%
!""
"
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$ (!"$
解!!"" &%
$'$ %%'
$$ "$%'中系数的最小公倍数为"$$字母%的最高次幂为
%
$$字母'的最高次幂为'
$$故最简公分母为"$%
$'
$ $
9
!")$ 第!章$分式
这三个分式通分后分别为%
"
&%
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$ ($!"("
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$ (!"#!!!(""$
所以这三个分式的公分母为!!!(""
$!!&""$
这三个分式通分后分别为%
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$ (!"
# !!&""!!(""
!!!&""!!(""
$$
在求最简公分母时应注意%
!"" 如果各分母的系数都是整数时$通常取它们系数的最小公倍数作为最
简公分母的系数&
!$" 当分母是多项式时$一般应先分解因式$
练习
!$通分!
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"
!
$ (!$
!"%$分式的运算$!"*
与分数加减类似$分式加减的法则为%
!!同分母的分式相加减!分母不变!分子相加减!
异分母的分式相加减!先通分!变为同分母的分式后再加减!
""
例4 !计算%
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9
!!"$ 第!章$分式
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练习
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#$学校有一块面积为)的操场&七"$#班的%位同学承担了清除操场杂草
的任务$若平均每位同学每小时能清除面积为*的杂草&则全班清除全
部杂草需要多少时间% 七""#班有'位同学&若平均每位同学每小时能
清除面积为3的杂草&则两班合作要比七"$#班单独完成提前多少时间%
!"%$分式的运算$!!!
分式的加'减'乘'除'乘方混合运算是先乘方$再乘除$后加减$如果有括号$
先进行括号里的运算$
""
例6 !计算%
!&"
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9
!!#$ 第!章$分式
习题9+2
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&
"
% &$
(
) /% ("
% ($的值$
"$# 若!#"((& "#**&求!&"( %!"
!&"
(
) !("& %!"
!("
(
) 的值$
!"%$分式的运算$!!$
($两地之间的空中航线全程4#!&飞行时间需用% "&两地之间的铁路线全程是
空中航线全程的)倍&火车运行的时间为' "&求飞机速度是火车速度的多
少倍$
)$如图&(丰收"号)小麦试验田是边长为% !"% 5' 5(#的正方形去掉一个边
长为' !的正方形蓄水池后余下的部分&(丰收$ 号) 小麦试验田是边长为
"% &'# !的正方形&两块试验田的小麦都收获了'(( #$$求(丰收"号)的单
位面积产量是(丰收$号) 的单位面积产量的多少倍$
"第*题#
9
!!%$ 第!章$分式
南繁生物育种专区
9.3
分式方程
在本章引言问题中$我们得到了下列方程%
" --)
! &
" --)
!" (%#!"!#)$
即
" --)
! &" --)
"+%#!#)$
像这样$分母中含有未知数的方程叫作分式方程$
思考
如何解分式方程
" --)
!
& " --)
"+%#!
#)#
方程两边同乘以"+%#!$得
"+%# ." --) &" --) ##+##!$
解这个整式方程$得
!#*)$
把!#*)代入上述分式方程检验%
左边#" --)
*)
&
" --)
"+%# .*)
#) #右边$
所以!#*)是该分式方程的根$
因而$直快列车的速度为*) #!%" $
!"&$分式方程$!!&
探究
解方程
$ &!
!&&
#
"
& &!
&$!把解得的根代入原方程中检验!你发现了
什么#
去分母后!
分式方程转化为
整式方程!未知
数的取值范围扩
大了$
去括号'去分母$得
$ &!#&" &$!!&&"$
移项$得
$!&!#&" &$ ()$
解得
!#&$
把!#&代入原方程检验时$原方程中分式的分母为零$分式没有意义$所以
!#&不是原方程的根$原方程无解$!
想一想为什么
会产生增根#
!#&是原方程两边同乘以最简公分母变形后$得
到的整式方程的根$但不是原分式方程的根$像!#&
这样的根$称为原方程的增根$解分式方程时$去分母
可能会产生增根$所以解分式方程必须验根$
""
例1 !解方程% !&"
!(&
&$ # !
& &!$
解!方程两边同乘以最简公分母!!(&"!!&&"$得
!!&""!!&&" &$!!(&"!!&&" #&!!!(&" $
9
!!'$ 第!章$分式
!!展开$得
!
$ &%!(& &$!
$ ("# #&!
$ &&!$
解方程$得
!#$"$
检验% 当!#$"时$!!(&"!!&&" ! ($
所以$原方程的根是!#$"$
解分式方程时$通常在方程两边同乘以最简公分母$验根时$只要把求得的
根代入最简公分母$看它的值是否为零$使它不为零的根才是原方程的根$使它
为零的根即为增根$应舍去$
交流
由以上解方程的过程!你能总结出解分式方程的步骤吗# 把你的结
论与同学交流$
练习
!$解方程!
""# '
!
# &
!&$
$ !
"$# " & "
!&%
#!&&
% &!$
"$防汛期间&县指挥部组织人力到&( #!远的堤上抢修堤坝&$ 人骑摩托
车先走&"' !&'后&大部队乘汽车装载着所需材料出发&结果他们同时到
达$已知汽车速度是摩托车速度的"+'倍&求这两种车的速度$
!"&$分式方程$!!(
图* "
!!""
例2 !有一并联电路$如图*
"$两电阻阻值分别
为6"$ 6$$总电阻阻值为6$三者关系为%
"
6
#"
6"
("
6$
$
若已知6"$ 6$$求6$
解!方程两边同乘以66"6$$得
6"6$ #66$ (66"$
即
6"6$ #6!6" (6$"$
因为6"$ 6$ 都是正数$所以6" (6$ ! ($
所以两边同除以!6" (6$"$得
6#
6"6$
6" (6$
$
""
例3 !七!""'七!$"两班师生前往郊区参加义务植树活动$已知七!""班
每天比七!$"班多种"(棵树$如果分配给七!""'七!$"两班的植树任务分别是
"'(棵和"$(棵$问两个班每天各植树多少棵$才能同时完成任务(
解!设七!$"班每天植树!棵$那么七!""班每天植树!!("("棵$七!""班
完成任务需
"'(
!("(天$七!$" 班完成任务需
"$(
!天$
要求同时完成任务$即!应满足下列等式%
"'(
!("(
#"$(
!$
解方程$得
!#%($
经检验$ !#%(是原方程的根$
此时!("( #'($
因而$当七!$"班每天植树%(棵$七!""班每天植树'(棵时$两个班能同时
完成任务$
9
!!)$ 第!章$分式
练习
!$在公式
7"
8$
#
7$
8" 中& 7$ ! (&用7"& 7$& 8" 表示出8$$
"$小华和姐姐都用计算机输入" '(( 个汉字&姐姐的输入速度是小华的&
倍&结果姐姐比小华少用$( !&'完成&求他们各自打字的速度$
#$甲*乙两名工人生产同一种零件&甲每小时比乙多生产#个&甲生产")#
个零件与乙生产"%%个零件所用的时间相同&问甲*乙两人每小时各生
产多少个零件%
习题9+3
!$某地修建一条轻轨铁路&要使工程提前&个月完成&需将原定的工作效率提高
"$!$如果设原计划完成这项工程用!个月&那么!应满足怎样的方程%
"$已知水流的速度是& #!%"&轮船顺流航行)) #!与逆流航行%# #!所需时间
相等&设轮船在静水中的速度为!#!%"&试列出关于!的方程$
#$解下列方程!
""#
)
!(%
& &
!&"
#($ !!!!!!!"$#
!
$!&'
&
'
' &$!
#"$
"&# !("
!&$
#!&&
!&%
$
"%#
$
!("
( &
!&"
#
)
!
$ &"$
$$""# 已知6(-
*
#4"4! 6#&求*$
"$# 已知9#)&%
)(%
"9!&"#&求% $
!"&$分式方程$!!*
%$车间加工" $((个零件后&采用了新工艺&工效是原来的"+'倍&这样&加工同
样个数的零件就少用了"( "&问采用新工艺前后每小时各加工多少个零件%
&$在争创全国卫生城市的活动中&某市(青年突击队)决定义务清除重达"(( (
的垃圾$开工后&附近居民主动参加到义务劳动中&使清除垃圾的速度比原
计划提高了"倍&提前' "完成了任务&该(青年突击队)原计划每小时清除多
少吨垃圾%
数学拓展
两个等式的研究
前面我们学过很多等式!例如完全平方公式和平方差公式!通过观察我们会
发现很多等式具有非常有趣的规律$下面给出两个例子!请你通过观察!总结规
律并解答问题$
"+我们知道! %3("&
$ #3
$ ($3("!改变公式写法!得
%3("&
$ &3
$ #$3("$
对上面的等式!依次令3#"! $! &! )! *!得
$
$ &"
$ #& #$ ." ("!
&
$ &$
$ #' #$ .$ ("!
%
$ &&
$ #- #$ .& ("!
'
$ &%
$ #* #$ .% ("!
))
%* ("&
$ &*
$ #$* ("$
%"& 把这*个式子左右两边分别相加!能得到怎样的结果#
9
!#"$ 第!章$分式
%$& 记," #" ($ (& () (*$根据上述结果!你能求出," 的公式吗#
%&& 上面我们从公式%3("&
$ #3
$ ($3("入手!从一般到具体!根据*的
不同取值!得到一系列等式!从而求出,"%前*个正整数的和& 的公式$仿上!记
,$ #"
$ ($
$ (&
$ () (*
$!请构建一个等式!然后利用它求出,$$
$+上题是利用一系列等式相加消项求和!这种方法不仅限于整数求和!还
有其他应用$如
"
" .$ #" & "
$ !
!
"
$ .& #"
$ & "
& !
"
"
& .% #"
& & "
% !
#
"
% .' #"
% & "
' !
$
!!!!!!!!!!! !!))
%"& 继续写出上述第* 个算式!并把这些算式两边分别相加!会得到什么
结果#
%$& 你能写出下面的求和公式吗#
"
" .$ (
"
$ .& (
"
& .% () (
"
*%* ("& '
%&& 根据上面的算式!在小于"((的正整数中!找出"(个数!使得它们的倒
数和等于" $
!"&$分式方程$!#!
小结·评价
!!一! 知识体系ܲ
ᐻ
Ꮐ*
Eܲܲ
ᐻ΄Kܲ
ᐻߌۻܲ
ᐻẮᔡ
᱘ᕓBܲ
ᐻD0ܲ
ᐻ/
3ܲᰬ
0ܲ
ᐻ
!!二! 回顾与思考
"$形如
1
2
!1" 2为整式"且2中含有字母#的式子叫作分式$!!!!
和!!!!统称为有理式$
$$分式的基本性质$
1%:
2%:
#!!!!"
1/:
2/:
#!!!! !1" 2" :是整式"且:! (#$
&$分式的运算法则$
!"# 分式的乘除$ 1
2
%
;
<
#!!!"
1
2
/;
<
#!!!&
!$# 分式的加减$ 1
2
=
;
2
#!!!"
2
1
=
<
;
#!!!$
%$解分式方程的基本思想是把它转化为!!!!方程"在分式方程求
解过程中有可能产生!!!!"所以解分式方程必须!!!!$
9
!##$ 第!章$分式
!!三! 自评与互评
"$本章从分式的概念'性质到运算法则"都是通过和分数的有关知识
类比得到的$类比是一种重要的数学思想方法"请你举例说明前面哪些知
识的学习运用了这种思想方法$与同学进行交流$
$$解分式方程是通过去分母"化归为整式方程求解$化归同样是一种
重要的数学思想方法$在前面知识的学习中"哪些应用了这种思想方法(
试举例说明"与同学进行交流$
&$解分式方程与解一元一次方程有什么联系和区别(
%$联系实际生活"提出一个可以通过列分式方程解决的问题"与你的
同学共同解决"并对解答给出评价$
复习题
!组
!$填空!
""# 某家庭每天需用大米)#$&家中存有!天的用米量&如果每天少用* #$
的大米&那么存有的大米能用!!!!天$
"$# 当!!!!!时&分式
%!
!("有意义$
"&# 当!!!!!时&分式
$!
$ &!的值为零$
"%# 当!!!!!时&分式
"
& (!的值为负$
"$计算!
""#
%
$' (%'
$
%
$ &$%' ('
$'
% &'
%' ('
$$ !!!!!"$#
"
!&$
/
%
% &!
$$
小结!评价$!#$
"&# " & "
" &!
(
)
"
!
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(
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#$计算!
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"$# % &'
%'
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+%
$
"&#
$!
!(&
&!("$ !
"%#
"
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)
!
$ &*
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) ($!$
$$先化简&再求值!
$!()
!
$ &%!(%
/"!(&#'
!&$
!(&
&其中!#&$
%$解方程!
""# &!&"
!($
#$
&
$ !
"$# !&)
!&&
(!&%
!&'
#$$
&$""# 已知
%
!
('
"
#" "' ! "#&求!$
"$# 已知3#"&*
!&)
"3! (#&求!$
'$甲*乙两人同时在计算机上输入一份书稿&% "后&甲因另有任务&由乙又单独
输入' "完成$已知甲输入' "的稿件&乙需要输入-+' " $问甲*乙单独输入
完成这份书稿各需要多长时间%
($五一期间&班主任王老师带领全班同学去距离学校$' #!的科技馆研学&一部
分同学在班长的带领下骑自行车提前#( !&'出发&另一部分同学在王老师的
带领下乘客车前往&结果两队同时到达$若客车速度是自行车速度的&倍&求
各队的速度$
)$某村准备发展#( "!
$ 大棚蔬菜&负责承建大棚的工程队为了不耽误农时&工
作效率比原计划提高了"+'倍&结果提前$(天完工$求工程队原计划每天建
多少公顷大棚$
9
!#%$ 第!章$分式
复习题
"组
!$填空!
""# 如果!
$ &%!"(%"
$ #(&那么
!&"
!("
#!!!!$
"$# 如果
!
$
#"
&
&那么
-!
$ &"
$
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$ &$!"(&"
$ #!!!!$
"$计算!
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$"%'
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&$$ !!!!!!"$# !
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$ &>
$ ($!"
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$ (>
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#$计算!
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(
"
"!($#"!(&#
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%
"% &'#"% &+#
(
'
"' &+#"' &%#
(
+
"+&%#"+&'# $
$$某单位将沿街的店面房出租&第一年租给一家公司获租金)万元&第二年租给
一些个体经营户获租金-+$万元$已知第一年每间店面房的租金比第二年少
" (((元&问这两年每间店面房的租金各是多少元%
%$某市自来水公司实行阶梯式收费&收费标准如下表所示!
月用水量% &*
#
% # $(
$( ?% # &(
% 5&(
收费标准&元·*
+#
$+%*
&+(-
(
*月份小华家缴纳水费#-+# 元&小莉家缴纳水费"($+% 元&并且小华家的用
水量恰好是小莉家的#
* $求月用水量大于&( !
& 时的收费标准$
小结!评价$!#&
&$某建工集团下有甲*乙两个工程队&现中标承建一段公路$若让两队合做&$%
天可以完工&需要费用"$( 万元$若让两队合做$( 天后&剩下的工程由乙队
做&还需$(天才能完成&这样只需要费用""(万元$问!
""# 甲*乙两队单独完成此项工程各需要多少天%
"$# 甲*乙两队单独完成此项工程各需要费用多少万元%
复习题
#组
!$解下列方程组!
""#
%
!
(&
"
#"(&
*
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"
#&'$
!!!!!!!!"$#
%
!("
( )
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#&&
*
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& "
!("
#"$
9
!#'$ 第!章$分式
第10章
相交线、
平行线与平移
我们身边存在着许多相交线'平行线与平移的
实例"如教室里黑板面相邻的两条边与相对的两条
边'操场上的双杠'棋盘中的横线与竖线'纵横交错
的道路等$你能在下面图片中找到相交线'平行线
与平移的形象吗(
本章我们将研究平面内不重合的两条直线的位
置关系——相交和平行；学习研究几何图形性质的
基本方法——通过简单说理得出数学结论，养成言
之有据的思维习惯；学习平面图形的一种变化——
平移，解决一些简单的实际问题.
$ $!#(
港珠澳大桥
10.1
相交线
观察
!""
!!!!
!$"
图"( "
观察剪刀剪东西的过程!可以将剪刀的两片刀刃边沿看作是两条相
交直线!如图"(
"%"&中虚线所示$把这两条相交直线用图"(
"%$&表
示!在剪东西的过程中!$1@;与$2@<这两个角有怎样的位置关系#
在图"(
"%$&
中!还有其他角能
构成对顶角吗#
在图"(
"!$"中$直线12与;<相交于点@$
$" 和$& 有公共顶点@$并且它们的两边分别互为
反向延长线$称这样的两个角互为对顶角$
探究
在图"(
"%$&中!$"! $$! $&! $%是直线12与;<相交形成的
%个角$很明显!这% 个角的和为&)()$$" 与$$ 的大小有什么关系#
$"与$&呢# 你能说明具有这种关系的道理吗#
!#)$ 第#'章$相交线"平行线与平移
由平角的定义可知$" ($$ #"#()$$& ($$ #"#()$因此$" #$&$!为什么( "
由此可得% 对顶角相等$
练习
!$判断下列各图中$"与$$是否为对顶角&并说明理由$
!""
!
!$"
!
!&"
!%"
!
!'"
!
!)"
"第"题#
"第$题#
"$如图&两条直线相交& $" #&')&求$$和$&的度数$
思考
将十字路口的两条道路看作两条直线!如图"(
$%$&中的12和
;<!它们相交于点@!形成%个角$如果$1@;#*()!那么其他&个角
的度数各是多少# 为什么#
!""
!!
!$"
图"( $
#'"#$相交线$!#*
反过来!如果
12 % ;<! 那么
$1@;是多少度#
!!在两条直线12和;<相交所成的% 个角中$如
果有一个角是直角$就说这两条直线互相垂直$记
作) 12% ;<* $读作) 12垂直于;<* $其中一条直
线叫作另一条直线的垂线$它们的交点@叫作
垂足$!
日常生活中两条直线垂直的例子很多$如图"(
&
所示的地砖间的缝隙线$围棋盘上的方格线等$
图"( &
你能再举出生活中一些两条直线互相垂直的例子吗(
操作
"$用折纸方法画垂线$
仿照图"(
%所示的方法!折出经过点A与直线B垂直的折痕!用
直尺沿折痕画出直线$
!""
!$"
!&"
图"( %
10
!$"$ 第#'章$相交线"平行线与平移
!!用三角板画垂线!
仿照图"#
$ 的画图办法!过已知直线"上"或外#的一点#画直
线!使它与直线"垂直!
能用量角器画
垂线吗$
!""
%%
!!"
图"# $%%%%%%%%%%
通过上面的操作#你知道过一点画已知直线的垂线#能画几条吗$
关于直线的垂线#有如下基本事实%
同一平面内!过一点有且只有一条直线与已知直线垂直!
有时#我们说线段&射线与某一条直线互相垂直#是指线段所在直线&射线所
在直线与该直线互相垂直!
画一条线段或射线的垂线#就是画它们所在直线的垂线!
A
B
C
D
O
!第"题"
练习
!!如图#直线$%与&'相交于点(#且!$(&)
!%(&!那么直线$%与&'有什么位置关系$
为什么$
!"#!$相交线$!"!
A
B
C
D
!第!题"
"!如图#在三角形$%&中#'是%&中点#连接
$'#请分别画出自点%# &向$'所作的垂线
!垂足为点*# +" !
观察
图"# &
"!如图"#
&!点#在直线"外! #(" "!垂
足为点(!在直线"上任意取一些点$! %! &!把
这些点分别与点#连接!得到线段#$! #%! #&!
观察这些线段!比较它们的长短!其中哪一
条线段最短$
从直线"外一点#向直线"作垂线!垂足记为点(!则线段(#叫作点
#到直线"的垂线段!
!!点#在直线"外!把一根细绳的一端用图钉固定在点#处!拉紧细
绳!按图"#
'所示步骤进行操作!
观察细绳上的标记点("垂直拉紧时的垂足#位置的变化!你有什么
发现$
步骤"%垂直拉紧%%%%%步骤!%绕点#转动
图"# '
连接直线外一点与直线上各点的线段中!垂线段最短!
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离!
10
!"#$ 第!"章$相交线!平行线与平移
交流
如图"#
(!沙坑中留下一位同学跳远的足印!如何测量这位同学的
跳远成绩$ 为什么这样量$
图"# (
!第"题"
练习
!!如图#已知三角形$%&#用三角板按要求
画图!
!"" 画出点$到直线%&的垂线段%
!!" 画出点%到直线$&的垂线段!
"!如图#直线"表示一条公路#点#是一所学校所在的位置#要修一条从学
校到公路的道路#如何修才能使道路最短$ 画出所修道路的示意图#并
说明理由!
!""
%%%%%%%%
!!"
!第!题"
!"#!$相交线$!""
习题10)1
!!如图#直线"
"# "
!# "
* 相交于点(# !" )+#!# !! )$#!#求!*的度数!
!第"题"
"!如图#请过点#画线段$%或射线$%的垂线!
%%%!""%%
%%!!"%%%
%%!*"
!第!题"
#!如图#直线$%# &'相交于点(# !$(&)*$!# *(" &'#垂足为点(#求
!'(%# !%(*的度数!
!第*题"
%%%%%%
!第+题"
$!两个完全一样的三角板如图所示放置#其中!$(%)&#!# !&(%)*#!#在边
(&所在直线上任取一点,#分别测量点,到边($# (%所在直线的距离#你
能得到什么结论$
10
!"$$ 第!"章$相交线!平行线与平移
数学活动
怎样铺设节省材料
图"# ,
如图"#
,! $%是一条灌溉渠!要铺设管道将渠
水引到&! '两个用水点!
现有两种方法%
""# 分别从点&! '向$%作垂线!点*! +分别为
垂足!沿*&! +'铺设管道!
"!# 连接&'交$%于点#!沿#&! #'铺设
管道!%
问这两种铺设管道的方法!哪一种节省材料!为什么$
!"#!$相交线$!"%
10.2 平行线的判定
如图"#
"##双杠上的两条木杠#黑板的上下两边#把它们看作直线时#都给
我们平行直线的形象!
在同一平面
内!两条直线有哪
几种位置关系$
!""
%
!!"
图"# "#
图"# ""
在同一平面内#不相交的两条直线叫作平行线!如图
"#
""#两条直线$%和&'平行#记作'$%# &'(#读作
'$%平行于&'(!
操作
如图"#
"!!点#在直线"外!按照图示的方法过点#画直线"的
平行线!你能画几条$
图"# "!
!"&$ 第!"章$相交线!平行线与平移
%%关于平行线#有如下的基本事实%
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行!
观察
图"# "*
如图"#
"*!如果直线- # .! / # .!想一想直线-
与/有怎样的位置关系$
通过上面观察有%
如果两条直线和第三条直线平行!那么这两条直线平行!即
如果直线- # .# / # .#那么直线- # /!
练习
!第"题"
!!如图#用直尺和三角板过点&画&*# $%交$'
的延长线于点*!
"!在直线-的同侧有## 0# 1三点#如果#0# -#
01# -#那么## 0# 1三点%%%%!填&在'或
&不在'"同一条直线上#理由是%%%%%%%%%%%%%%%%!
#!四条直线-# /# .# 2#如果- # /# / # .# .# 2#那么直线-# 2的位置关
系为%%%%!
画平行线时#在三角板移动的过程中!图"#
"!"#直尺边$%起着'基准线(
的作用#它将保持直线"与直尺边$%的夹角!" 和直线"3与直尺边$%的夹角
!!相等#使得所画直线"3与直线"平行!
现在要研究在同一平面内的两条直线-和/是否平行#同样也需要一条'基
准线(#通过它与直线-和/的夹角来进行讨论!
!"#%$平行线的判定$!"'
图"# "+
如图"#
"+#两条直线-和/被第三条直线.!相当于
'基准线("所截#其中!"和!$#分别在直线-和/相同的
一侧#并且位于直线.的同旁#具有这样位置关系的一对角
叫作同位角!
同样#!*与!$都在直线- 和/ 之间#并且位于直线
.的两旁#具有这样位置关系的一对角叫作内错角)!+与
!$都在直线-和/之间#并且位于直线.的同旁#具有这
样位置关系的一对角叫作同旁内角!
图"# "$
$$
例1 %根据图"#
"$填空%
!"" 若直线*'# %+被直线$%所截#则!" 和
%%%%是同位角)
!!" 若直线*'# %+被直线$+所截#则!* 和
%%%%是内错角)
!*" !"和!*是直线$%# $+被直线%%%%所截
构成的内错角)
!+" !!和!$是直线$%#%%%%被直线%+所截
构成的%%%%角!
解%!"" !! !%!!" !+ !%!*" *'!%!+" $+#同旁内!
!第!题"
练习
!!在图"#
"+中还有哪几对同位角(内错角(同旁内角$
"!如图#直线$%# &'被直线&*所截#与!" 成内错
角的是%%%%#与!"成同旁内角的是%%%%%
直线$%# &'被直线'*所截#与!!成内错角的是
%%%%#与!!成同旁内角的是%%%%!
10
!"($ 第!"章$相交线!平行线与平移
!第*题"
#!如图#!" 与!'#!" 与!%#!* 与!+#!%与
!%&'#!!与!+分别是哪两条直线被哪一条直
线所截得到的$ 它们中的每一对角分别叫作什
么角$ %
观察
如图"#
"!!在用三角板和直尺画平行线时!三角板紧靠着直尺移
动!这时!"与!!相等!所画直线"3与"平行!
如图"#
"&""#!在画平行线时!如三角板移动过程中没紧靠直尺"这
时!! -!"#!所画直线"3与"平行吗$
如图"#
"&"!#!如果!! 4!"所画直线"5与"平行吗$
!""
%%%%
!!"
图"# "&
可以看出#同位角!"和!!是否相等#决定了直线"与"3是否平行!由此我
们得到如下基本事实%
!"#%$平行线的判定$!")
%%两条直线被第三条直线所截!如果同位角相等!那么这两条直线平行!
简单地说#同位角相等!两直线平行!
还有其他作
法吗$ %
这是判定两条直线平行的第"种方法!
$$
例2 %已知%直线$%和点&#点&在直线$%外!
求作%直线&'#使直线&'# $%!
分析%根据&同位角相等!两直线平行'!可将作平行线的问题转化为作角相
等的问题!因此!过点&作一条直线与$%相交"作截线#!然后作一对同位角相
等即可!
图"# "'
作法%")如图"#
"'#过点&作直线*+交$%
于点+!
!)以点&为顶点# &*为边#在*+的右侧作
!*&')!*+%!
*)作直线&'!
直线&'就是所求作的直线!
练习
!!木工师傅在画线时#用一种叫作角尺的工具画榫!!"#"眼线!如图#把
角尺的一边紧靠木料的边$%#滑动角尺画出的两条直线&'和*+就是
平行线!你能说出这样做的依据吗$
!第"题"
10
!$*$ 第!"章$相交线!平行线与平移
!第!题"
"!如图#如果油轮$和油轮%继续沿着这
两条航线航行#它们会有相撞的危险吗$
为什么$
#!读语句#画图形)
!"" 点$# &在直线"外#过点$作直线"
的垂线#垂足为点%#过点&作直线
"的平行线&'#交直线$%于点'%
!!" 直线$%# &'相交于点(#点#是直线$%# &'外一点#直线*+经
过点##且与直线$%平行#交直线&'于点*!
思考
图"# "(
%%如图"#
"(!直线-! /被直线.所截!如
果内错角!! 和!+ 相等!你能根据上面的基
本事实!说明直线- # /吗$
由于!! )!+#又!! )!"!为什么$ "#故!" )!+#即同位角相等#根据
上面的基本事实#得直线- # /!这样#我们可以得到判定两条直线平行的第!种
方法%
%%两条直线被第三条直线所截!如果内错角相等!那么这两条直线平行!
简单地说#内错角相等!两直线平行!
!"#%$平行线的判定$!$!
%%类似地#利用同旁内角!!*与!+"之间的关系#根据上面的基本事实#我们
可以得到判定两条直线平行的第*种方法%
你能说明道理
吗$ 与同伴交流
一下!%
%%两条直线被第三条直线所截!如果同旁内角互
补!那么这两条直线平行!简单地说#同旁内角互
补!两直线平行!
练习
!!如图#如果!" )+'!# !! )+'!# !* )+'!#可以判定哪些直线平行$ 判
定的依据分别是什么$
"!如图#若!$)&!!# !%)""(!#可以判定哪两条直线平行$ 判定的依据
是什么$ %%%%
!第"题"
%%%%
!第!题"
#!如图#已知$&平分!'$%# !" )!! !由$&平分!'$%#得!" .
%%%%#又因为!" )!!# 所以!! .%%%% !所以$%#
%%%%!%
!第*题"
10
!$#$ 第!"章$相交线!平行线与平移
习题10)2
!!读语句#画图形)
!"" 在图!""中#画'*# %&交$&于点*#画'+# $&交%&于点+%
!!" 在图!!"中#画$*# '&交%&于点*!
!""
%%
!!"
!第"题"
%%%%
!第!题"
"!看图填空)
!"" 由!" )!!#可以得到%%%%#%%%%#依据是
%%
% !!" 由!* )!+#可以得到%%%%#%%%%#依据是
%%
!*" 由!$ ) !'$%#可以得到%%%%#%%%%#依据是
%%
!+" 要得到$'# %&#需!'$%/%%%%."(#!#依据是
%%
!$" 要得到$%# '&#需%%%%/%%%%."(#!#依据是
%!
#!如图#如果直线$%" *+# &'" *+#点%# '分别为垂足#那么直线$%和
&'平行吗$ 为什么$ 由此你能得到什么结论$
A
B
D
F
E
C
!第*题"
%%%%%%%%
!第+题"
$!如图#已知!"与!*互补# !" )!%#试指出图中哪几组直线互相平行#并
说明理由!
!"#%$平行线的判定$!$"
10.3 平行线的性质
观察
图"# ",
%%如图"#
",!练习本上的横线都是相互平
行的!从中任选两条分别记为$%! &'(画一条
直线*+分别与$%! &'相交得(个角!
""# 任选一对同位角"如!" 与!$#!量一
量它们的度数!它们的大小有什么关系$
"!# 再任选一对同位角"如!! 与!&#!量
一量它们的度数!它们的大小有什么关系$
由此你能得到什么结论$
本性质在后
面学习时将给出
证明!
平行线有如下性质%
%%性质1%两条平行直线被第三条直线所截!同位
角相等!简单地说#两直线平行!同位角相等!
探究
在图"#
",中!当$%# &'时!内错角!* 与!$ 的大小有什么关
系$ 同旁内角!+与!$之间又有什么关系$ 请说明理由!
!$$$ 第!"章$相交线!平行线与平移
%%由平行线的性质"#可以推得平行线的另外两个性质%
%%性质2%两条平行直线被第三条直线所截!内错角相等!简单地说#两直
线平行!内错角相等!
%%性质3%两条平行直线被第三条直线所截!同旁内角互补!简单地说#两
直线平行!同旁内角互补!
图"# !#
$
例%如图"#
!##已知点'# *# +分别在三角形
$%&的边$%# $&# %&上#且'*# %&#!%)+(!!
!"" 求!$'*的度数)
!!" 若+'是!%+*的平分线#且*+# $%!求
!*'+的度数!
解%!"" 因为'*# %&#所以!$'*)!%)+(!!
!!" 因为+'平分!%+*#所以!%+')!*+')"
! !%+*!由*+# $%#
得!%6!%+*)"(#!#且!%+')"
! !%+*#即!%6!!%+')"(#!!因为
!%)+(!#所以!%+')&&!!因为'*# %&#所以!*'+)!%+')&&!!
!第"题"
练习
!!看图填空)
!"" 由'*# %&#可以得到!$'*.%%%%#
依据是%%%%%%%%%%%
!!" 由'*# %&#可以得到!'+%.%%%%#
依据是%%%%%%%%%%%
!*" 由'*# %&#可以得到!&/%%%%."(#!#
依据是%%%%%%%%%%%
!"#&$平行线的性质$!$%
% !+" 由'+# $&#可以得到!$*'.%%%%#依据是
%%
!$" 由'+# $&#可以得到!&.%%%%#依据是
%!
"!如图# 直线$%# &'#直线*+分别交$%于点*(交&'于点+#且
!$*+),#!#求!'+*的度数!由此你能得到直线*+与直线&'有
怎样的位置关系$
!第!题"
%%%%%
!第*题"
#!如图#在四边形$%&'中# $'# %&# !&)'"!#试求!'的度数!
习题10)3
!第"题"
!!如图#!$(%内有一点#)
!"" 过点#画直线#&# (%交($于点&%
!!" 过点#画直线#'# ($交(%于点'%
!*" 写出图中与!(相等的角%
!+" 写出图中与!(互补的角!
!第!题"
"!看图填空)
!"" 由!$)!&#可以得到%%%%#%%%%#依据
是%%%%%%%#再由%%%% # %%%%#可
以得到!%)!'#依据是%%%%%%%%%
!!" 由*+# %(#可以得到!*+()%%%%#依据是
%%%%%%%%!
10
!$&$ 第!"章$相交线!平行线与平移
#!如图#已知&'是!$&%的平分线#'*# %&# !%)'#!# !$&%)$#!#求
!*'&与!%'&的度数!
!第*题"
%%%%%%%%
!第+题"
$!如图# $'# %&# $%# *&#点&# '# *在同一直线上#!%)&#!#求!$'*的
度数!%%%
%!潜望镜是潜水艇中用来从水下观察水面上事物的一种仪器#它通过两个平行
的平面镜反射来实现观察!如图# $%# &'#根据光的反射原理#可以得到
!" )!!# !* )!+!假如某人在观察时#!+ )+$!#试求!"的度数!
!""
%%%
!!"
!第$题"
!"#&$平行线的性质$!$'
10.4 平移
如图"#
!"#传送带上的货物#随着传送带的运动#从一处被移动到另一处)
吊车上的物体#随着吊车的运动被上下!或左右"移动#这些都反映了日常生活
中#物体沿着某一方向平行移动的现象!
!""
%
!!"
图"# !"
%%
图"# !!
在用直尺和三角板画平行线时!图"#
!!"#三角板的位置变化#反映了在
平面内一个图形!三角形"沿着一条直线平行移动的情况!
操作
"!如图"#
!*""#!在一张硬纸上剪下一个四边形!
!!如图"#
!*"!#!用剪得的四边形纸片!先在纸上画出四边形
$%&'!再把直尺靠紧边'&!将四边形纸片沿着直尺移动到另一位置!
画出纸片移动后的四边形$3%3&3'3!
!""
%%
!!"
%%
!*"
图"# !*
!$($ 第!"章$相交线!平行线与平移
思考
如图"#
!*"*#!连接$$3! %%3! &&3! ''3!这些线段的位置)大小分
别有怎样的关系$
在平面内#一个图形沿某个方向移动一定的距离#这种图形的变化叫作平移!
平移时#原图形上的所有点都沿同一个方向移动相同的距离!原图形上一点$
平移后成为点$3#这样的两点叫作对应点!
一个图形和它经过平移后所得的图形中!连接各组对应点的线段互相平行
"或在同一条直线上#且相等!
平移只改变图形的位置!不改变图形的形状和大小!
平移在建筑&印染&雕刻等领域有着广泛的应用!图"#
!+ 中的图案都可
以看作是由一个基本图形经过平移得到的!
!"" 传统花纹图案
%%%
!!" 蓝印花布图案
图"# !+
练习
!!如图#由图形#经过平移得到的图形是!%%"!
!第"题"
!"" %%%
!#"
%%%
!$"
%%%
!%"
!"#'$平移$!$)
!第!题"
"!如图#某公园内一块长方形草地上原有一条" &宽的笔直小路#现要将
这条小路改造成弯曲小路#
已知改造后小路的上边线
可由它的下边线向上平移
" &得到#那么改造后小路
的面积!%%" !
!"" 变大了%%%!#" 变小了%%%!$" 没变%%%!%" 无法确定
习题10)4
!!如图#将图形$%&'平移至新位置#得到图形$3%3&3'3#请用量角器和直尺测
量移动方向与水平方向所成的角度以及平移距离!
!第"题"
A
B
C
D
E
F
!第!题"
"!如图#三角形$%&中# $%)! '&# $&)
* '&# %&)*)$ '&#将三角形$%&沿射线
%&方向平移! '&得到三角形'*+#连接
$'#求四边形$&+'的周长!%
#!尝试自己应用平移设计制作图案#和同学进行交流!
10
!%*$ 第!"章$相交线!平行线与平移
信息技术应用
探究平移的基本性质
利用几何绘图软件!我们可以直观)方便地探究平移的基本性质!
")探究连接各组对应点的线段的长短关系!
画五边形$%&'*!使用&平移'工具!得到平移后的五边形$3%3&3'3*3!连
接$$3和%%3!度量线段$$3和%%3的长度"图"#
!$#!它们的大小有什么关系$
拖动五边形$3%3&3'3*3!任意改变它的位置!这个关系发生变化吗$ 请你尝试画
任意多边形!并探究连接各组对应点的线段的长短关系!
图"# !$
!)探究连接各组对应点的线段所在直线的位置关系!
画五边形$%&'*!使用&平移'工具!得到平移后的五边形$3%3&3'3*3"图
"#
!&#!画直线$$3和%%3!在直线%%3上任取一点,!过点,作直线$$3的垂
线!垂足为点,3!度量!%,,3的大小!它与!,,3$有怎样的关系$ 任意改变
五边形$3%3&3'3*3的位置!这个关系发生变化吗$ 你能判断直线$$3和%%3的位
置关系吗$
图"# !&
你还能通过什么方法来探究直线$$3和%%3的位置关系$
!"#'$平移$!%!
数学活动
钥匙复制原理
"!观察钥匙复制机"图"#
!'#复制钥匙的过程!你能说出复制的原理吗$
图"# !'
!)根据你所发现的复制钥匙的原理!在图"#
!(的左边画出与右边钥匙的
形状和大小相同的图形!
图"# !(
在工厂里!靠模车床加工特殊形状的工件时!也是根据上述原理来完成的!
10
!%#$ 第!"章$相交线!平行线与平移
小结·评价
%%一! 知识体系͐
,3+
ѹ4ڟ2
,ϐ
ᄥM>
,
'ҷ
%ݜ,3+C.
=
/
=3+ᕓB
=3+ݐ
%%二! 回顾与思考
"!什么是对顶角! 对顶角有什么性质!
!!垂线的相关基本事实和性质"
#"$ 同一平面内%过一点有且只有%%%%条直线与已知直线垂直&
#!$ 在连接直线外一点与直线上各点的线段中%%%%%最短!
*!什么是点到直线的距离!
+!平行线的判定方法"
#"$ 两条直线被第三条直线所截%如果%%%%%那么这两条直线平
行!简单地说%%%%%%%%%%%%%&
#!$ 两条直线被第三条直线所截%如果%%%%%那么这两条直线平
行!简单地说%%%%%%%%%%%%%&
#*$ 两条直线被第三条直线所截%如果%%%%%那么这两条直线平
行!简单地说%%%%%%%%%%%%%!
$!平行线的相关基本事实和性质"
#"$ 经过直线外一点%有且只有%%%%条直线与这条直线平行&
#!$ 如果两直线平行%那么同位角%%%%%内错角%%%%%同旁
内角%%%%&
#*$ 如果两条直线和第三条直线平行%那么这两条直线%%%%!
小结"评价$!%"
%%&!平移的概念和性质"
#"$ 什么叫作平移! 确定平移的要素是什么!
#!$ 一个图形和它经过平移后所得的图形%连接各组对应点的线段
%%%% %%%&平移只改变图形的位置%不改变图形的%%%%%%!
%%三! 自评与互评
"!寻找日常生活中的相交线'平行线的例子或图片%并与同学进行交流!
!!比较本章内容与小学已学过的内容%你有哪些新的认识! 与同
学交流!
*)通过相交线'平行线的学习%你能体会几何图形研究的一般思路和
方法吗!
复习题
!组
!!如图#直线$%# &'# *+相交于点()
!"" 写出!*('# !*(&的对顶角%
!!" 如果!$(*)*#!# !%(')&#!#求!&(+和!&(%的度数!
!第"题"
%%%%%%
!第!题"
10
!%$$ 第!"章$相交线!平行线与平移
"!观察图形#回答下列问题)
!"" !"的同位角是哪些角$
% !!" !!的内错角是哪些角$
!*" !*的同旁内角是哪些角$
#!如图)
!"" 已知'*# %+#写出图中相等的角与互补的角%
!!" 写出使'*# %+成立的条件#你能写出多少个$
!第*题"
$!如图#!" )"*$!# !! )&#!#直线-与/平行吗$ 为什么$
%!如图#直线$%# &'与直线*+相交于点## 0# !$#*)!&0*# !$#0)
!!&0*#求!$#0# !&0*# !%#+的度数!
!第+题"
%%%%%%%
!第$题"
&!下列判断两条直线垂直的方法是否正确$
!"" 若两条直线相交所成的+个角相等#则这两条直线互相垂直!
!%%"
!!" 两条直线相交#若有一组对顶角互补#则这两条直线互相垂直! !%%"
!*" 若一条直线垂直于两条平行直线中的一条#则该直线也垂直于平行直线
中的另一条!
!%%"
小结"评价$!%%
'!如图# $%" %&# &'" %&#且!" )!!#指出图中的平行线#并给出判定的
依据!%
!第'题"
%%%%%%
A
B
C
D
E
F
1
2
3
!第(题"
(!如图#已知!" (!! (!* )! (* (+# !$+*)&#!# !%'*)"!#!#试写出图中
互相平行的直线#并给出判定的依据!
复习题
"组
!!如图#点&在点%的北偏西&#!的方向上#点&在点$的北偏西*#!的方
向上!%
!"" 试求!&的度数%
!!" 若$%" %&#则点$在点%的什么方向上$
A
B
C
ˌ
ˌ
30&
60&
!第"题"
%%%%%%
!第!题"
"!如图#$*平分!&$%#&*平分!$&'#且!" 6!! ),#!#请说明$%与&'
的位置关系!
10
!%&$ 第!"章$相交线!平行线与平移
#!如图#点%在$&上#点*在&+上# %'" %*#!*%&6!&),#!#那么&+与
%'平行吗$ 请说明理由!
$!如图#直线$%# &'#直线*+分别交$%# &'于点*# +# *7平分!%*+#交
&'于点7#已知!*+7)'!!#求!*7+的度数!
!第*题"
%%%%%%
!第+题"
复习题
#组
!!如图#已知$'"%&# *7"%&#点'# 7分别是垂足#点*在&$的延长线上#
!7*&)!*#那么$'平分!%$&吗$ 为什么$
!第"题"
%%%%%%%
!第!题"
"!如图#已知%'" $&# *+" $&#垂足分别为点'# +#且!" )!!# 那么
!$'7与!&相等吗$ 请说明理由!
小结"评价$!%'
综合与实践
简单的排队问题
在日常生活和生产实践中经常发生排队等待的现象#例如#医院门诊挂号&
银行办理业务等!除了上述有形的排队#还有大量'无形(的排队现象#例如#生
产线上的原料等待加工#因故障停止运转的机器等待工人维修等!服务机构一
般是按照'先到达先服务(的原则提供服务!如果我们到达时#服务机构的窗口
正在工作#我们就需要等待!等候的队伍有时需要一段时间才会消失#有时不仅
不会消失而且会越来越长!
研究任务
知道排队问题中涉及的量#探究排队现象发生的原因并提出解决方案!
研究过程
问题"
某服务机构开设了一个窗口办理业务#该窗口每! &)*服务一位顾客!已知
窗口开始工作前#没有顾客在排队等候!如果开始办理业务后每+ &)* 有一位
'新顾客(到达#排队现象会不会发生$ 请说明理由!
!%($ 综合与实践$简单的排队问题
问题!
在问题"的情境下#如果当窗口开始工作时#已经有&位顾客在等待#那么
第几位'新顾客(是第一个到达服务机构而不需要排队的顾客$
分析%窗口开始工作前已有&位顾客8
"! 8
!! 8
*! 8
+! 8
$! 8
& 在排队等候!若
把顾客8
"! 8
!! 8
*! 8
+! 8
$! 8
& 到达的时间看作# &)*! .
"! .
!! .
*! *表示窗口开
始工作后到达的&新顾客'!
!"" 完成下表%
顾客
8
"
8
!
8
*
8
+
8
$
8
&
.
"
.
!
.
*
.
+
.
$
.
&
*
到达时间")*+
#
#
#
#
#
#
+
%
%
%
%
*
服务开始时间")*+
#
!
+
%
%
%
%
%
%
%
%
*
服务结束时间")*+
!
+
&
%
%
%
%
%
%
%
%
*
%%!!" 设'新顾客(.
9 到达的时间是:
"#'新顾客( !
"#"服务结束的时间是:
!#当
'新顾客(.
9 到达时排队现象消失#:
"# :
! 满足什么关系$ 求9的值!
!*" 如果.
9 是第一个不需要排队的'新顾客(#那么在他后面到达的'新顾
客(都不需要排队办理业务#也就是说从.
9 开始排队现象消失了#你能说明原
因吗$
问题*
在问题"的情境下#如果当窗口开始工作时#已经有""位顾客在等待#那么
第几位'新顾客(是第一个到达服务机构而不需要排队的顾客$
问题+
在问题!的情境下#若窗口每- &)*服务一个顾客#当$ % +时#窗口的排队
现象会不会消失$ 请说明理由!服务机构要想使窗口在开始办理业务后的一段
时间内#就能使顾客不用排队#可以通过什么方法来实现$
综合与实践$简单的排队问题$!%)
%%研究结论%依据以上分析#如果服务窗口办理业务的速度为每- &)*服务一
位顾客#'新顾客(增加的速度为每/ &)*到达一位#服务窗口开始服务前已经有
;位顾客在等待#从第9位'新顾客(开始不需要排队#当%%%%%%%%%时#
排队现象消失!
成果展示
请实地调查身边的银行等服务机构#了解顾客对排队时间的接受程度#并根
据调研情况#给出合理的优化方案#完成调查报告并与同学们交流!
!&*$ 综合与实践$简单的排队问题
综合与实践
“数”说纳米材料
你听说过纳米材料吗$纳米是长度单位#符号为*&# " *&)"#
<, &!纳米材
料一般是指在三维空间内至少有一维处于纳米尺度范围!" ="## *&" 并具有
某些新特性的材料!
图"%银白色的银块
%%%%%
图!%灰黑的纳米级超细银粉
图"和图!分别是普通银块和纳米级超细银粉!普通银块呈现银白色#纳
米级超细银粉却是灰黑色#除了颜色与银块不同外#纳米级超细银粉还在其他很
多方面展现出独特的性质!纳米级超细银粉是由纳米级银颗粒组成的!相同质
量下#材料中银颗粒的总表面积越大#使得位于颗粒表面活性很强的原子数占总
原子数的比例越高#因此纳米级银粉有了很多奇异特性!
研究问题
假设纳米银颗粒为正方体#探究一定质量的纳米银材料#其颗粒尺寸与总表
面积有怎样的关系$
综合与实践$#数$说纳米材料$!&!
活动实施
活动"
探究对一定质量的正方体银块进行9 >9 >9细分后#所得的小正方体银块
的总表面积是多少!
"!如果这个正方体银块的质量为"#!+, +#那么它的棱长是多少$ 表面积是
多少$ !质量.体积0密度#银的密度为"#!+, +,'&
*"
!!如果将这个正方体银块#切成! >! >!个相同的小正方体银块#那么它们
的总表面积是多少$ 切成$ >$ >$个相同的小正方体银块呢$ 在图*中分别画
出切割线!对这两种切割#分别求出各小正方体银块总表面积与原正方体表面
积之比!
!""%%%%%%%%%%!!"
图*
*!如果切成9 >9 >9个相同的小正方体#记它们的总表面积为?#试用9表
示? !这时#各小正方体银块的总表面积与原正方体银块表面积之比是多少$
活动!
当9足够大时#小正方体银块就变成细小的银颗粒!感受银颗粒尺寸!小正
方体的棱长"的变化引起的材料中银颗粒总表面积的变化情况!
"!当银颗粒棱长分别为" &&# " !&和" *&时#材料中银颗粒的总表面积
?各是多少$ 你能得出什么结论$
!!当银颗粒尺寸进入纳米材料范围时#估计材料中银颗粒的总表面积?在
什么范围!
!&#$ 综合与实践$#数$说纳米材料
成果展示
结合上述活动#查阅相关资料#进一步交流纳米材料的奇异特性!
综合与实践$#数$说纳米材料$!&"
综合与实践
探秘天文景象——火星冲日
火星冲日是指火星&地球和太阳几乎排成
一线#地球位于火星和太阳之间的天象!届时#
太阳刚一落山#火星就从东方升起#等到太阳从
东方升起时#火星才在西方落下#因此我们整夜
都可以看见火星!一般来说#冲日时#火星离地
球最近#它的亮度也是一年中最亮的!
研究问题
你知道火星冲日景象发生的规律吗$ 你能预测下一次火星冲日的时间吗$
你还了解哪些特殊的天文景象$
活动实施
活动"
")查阅资料#了解火星&地球公转的有关知识#如轨道形状&公转周期等#知
道最近几次火星冲日的时间#知道火星冲日的周期!
!&$$ 综合与实践$探秘天文景象%%%火星冲日
%%!)思考火星&地球和太阳排成一直线时#它们之间的位置情形有哪几种$
哪种位置时火星与地球距离较远$
活动!
")我们把火星&地球的轨道看作是圆#请你运用所学的数学知识预测下一
次火星冲日的时间!预测如果存在误差#请分析误差产生的原因!
!)设火星的公转周期为@#地球的公转周期为*#火星冲日的周期为? !推出
?的计算公式!
活动*
")了解金星凌日景象#说说它与火星冲日景象的异同点!
!)了解太阳系八大行星中的冲日景象#思考冲日景象会在地球和什么样的
行星间发生$
成果展示
结合上述活动#撰写一篇小论文#向同学们介绍有趣的天文景象!
综合与实践$探秘天文景象%%%火星冲日$!&%
附录 部分中英文词汇对照表
中 文
英 文
平方根
-./0121334
被开方数
105)'0*5
算术平方根
01)46&24)'-./0121334
开平方
27410'4)3* 38-./0121334
立方根
'/921334
根指数
105)'0:27;3*2*4
开立方
27410'4)3* 38'/9)'1334
无理数
)1104)3*0:*/&921
实数
120:*/&921
不等式
)*2./0:)4<
不等式的解集
-3:/4)3* -2438)*2./0:)4<
一元一次不等式
:)*201)*2./0:)4< =)46 3*2/*>*3=*
一元一次不等式组
-<-42&38:)*201)*2./0:)4)2-=)46 3*2/*>*3=*
完全平方公式
831&/:0831462-./01238462-/&
平方差公式
831&/:08314625)88212*'238-./012-
因式分解
80'431)?04)3*
公因式
'3&&3* 80'431
分式
810'4)3*
分子
*/&210431
分母
52*3&)*0431
有理式
104)3*0:27;12--)3*
约分
125/'4)3* 380810'4)3*
!&&$ 附录$部分中英文词汇对照表
"续表#
中 文
英 文
最简分式
810'4)3* )* :3=2-4421&-
通分
125/'4)3* 38810'4)3*-43 0'3&&3* 52*3&)*0431
分式方程
810'4)3*0:2./04)3*
对顶角
3;;3-)420*+:2-
垂线
;21;2*5)'/:01:)*2
垂足
8334380;21;2*5)'/:01
平行线
;010::2::)*2-
同位角
'3112-;3*5)*+ 0*+:2-
内错角
0:421*042)*421)310*+:2-
同旁内角
)*421)310*+:2-3* 462-0&2-)52
平移
410*-:04)3*
附录$部分中英文词汇对照表$!&'
后%%记
本套数学教科书在原+义务教育教科书%数学!七年级上册至九年
级下册",的基础上#依据教育部颁布的+义务教育数学课程标准!!#!!
年版",进行了全面修订!
为了做好本次的修订工作#我们调整&加强了编写队伍!本套教科
书编写组由苏淳&吴之季担任主编#叶向东院士担任顾问!
本册编写修订工作主要由郭要红&王志刚&李丽娜&陈方勇&周向荣&
冯祖军完成!
此外#在本册修订过程中#薛凌参与了审读和修订研讨#孙晓莉参与
了第"#章的修改#丁振云&汪佃才参与了第(章的修改#郝亚杰参与了第
,章的修改#李院德参与了小结与评价的设计与修改!
在编写本套教科书的过程中#我们得到许多专家&学者以及广大数
学教育工作者的大力支持和热情帮助#部分省市的一线教师参与了教科
书的试教试用#提出了宝贵的意见和建议!在此#我们表示衷心的感谢-
教材建设是一项长期任务#需要不断探索&实践&完善!我们恳请广
大师生持续关注和支持本套教科书#在使用过程中提出宝贵的意见和
建议!%
联系电话% #!"
&+(+(#!$!
电子邮箱% @'1--4;)'* !
编者
本书图片提供信息%
本书中的部分图片由视觉中国) A$;6343) 上海飞果信息技术等提供!
声明%按照+中华人民共和国著作权法,第二十五条有关规定!我们已尽量
寻找著作权人支付报酬!著作权人如有关于支付报酬事宜可及时与出版社
联系!%
