义务教育教科书
数学
八年级 上册
上海科学技术出版社
致同学
亲爱的同学!
欢迎你步入初中学习的新阶段&&&八年级'
本册教科书是根据(义务教育数学课程标准"&%&& 年版# ) 编写的0教
科书从你熟悉的日常生活情境及社会和科技发展的实际入手% 为你提供生动有
趣的学习素材% 带你遨游奇妙的数学天地0内容包含*平面直角坐标系+ *函
数与一次函数+ *三角形中的边角关系, 命题与证明+ *全等三角形+ *轴对称
图形与等腰三角形+0
平面直角坐标系是数轴的拓展% 是沟通代数与几何的桥梁% 内容核心是平
面上的点与有序实数对一一对应0在*平面直角坐标系+ 中% 你将学习如何在
平面内确定一个物体的位置% 以及如何用坐标的变化来表示图形的平移0
函数是描述客观世界变化规律的数学模型0在*函数与一次函数+ 中% 你
将结合简单的实际问题了解函数的概念和表示方法% 研究一次函数的图象和性
质% 感悟数形结合思想% 学会用函数模型解决实际问题0
三角形在日常生活中随处可见0在*三角形中的边角关系! 命题与证明+
中% 你将学习三角形的分类, 三角形的边角关系% 学习命题与证明% 学习用演
绎推理的方法证明有关结论0
能够完全重合的两个图形叫作全等形0在*全等三角形+ 中% 你将学习全
等三角形的性质与判定% 进一步体会证明的严谨性% 会运用全等三角形的知识
解决简单的实际问题0
目录
第11 章 平面直角坐标系
1
..............
""-"! 平面内点的坐标
&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
数学拓展!确定台风中心位置
",
!!!!!!!!!!!
数学史话!笛卡儿
"+
!!!!!!!!!!!!!!!!
""-&! 图形在坐标系中的平移
"#
!!!!!!!!!!!!!!
小结·评价
"$
.......................
复习题
&%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第12 章 函数与一次函数
23
..............
"&!"! 函数
&+
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"&!&! 一次函数
,#
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"&!,! 一次函数与二元一次方程
+$
!!!!!!!!!!!!!
小结·评价
#*
.......................
复习题
#(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第13 章 三角形中的边角关系、命题与证明
63
....
",!"! 三角形中的边角关系
*+
!!!!!!!!!!!!!!!
",!&! 命题与证明
(,
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
数学拓展!梅森素数
'+
!!!!!!!!!!!!!!!
小结·评价
'#
.......................
复习题
'*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第14 章 全等三角形
90
................
"+!"! 全等三角形及其性质
$"
!!!!!!!!!!!!!!!
"+!&! 三角形全等的判定
$+
!!!!!!!!!!!!!!!!
信息技术应用!判定三角形全等时为什么没有"&&!#
""&
!!!!!!!!!!!!!!!!!
小结·评价
""+
......................
复习题
""#
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第15 章 轴对称图形与等腰三角形
119
........
"#!"! 轴对称图形
"&%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
数学活动!画图
"&$
!!!!!!!!!!!!!!!!!
信息技术应用!探究关于某条直线对称的两点坐标变
化的规律
",%
!!!!!!!!!!!!!
"#!&! 线段的垂直平分线
",&
!!!!!!!!!!!!!!!!
"#!,! 角的平分线
",(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"#!+! 等腰三角形
"++
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
数学活动!剪纸
"#+
!!!!!!!!!!!!!!!!!
小结·评价
"##
......................
复习题
"#*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
综合与实践 绘制校园平面地图
161
..........
综合与实践 天安门广场的升旗时刻
163
........
综合与实践 趋势统计图
165
..............
附录 部分中英文词汇对照表
168
...........
第11章
平面直角
坐标系
在现实生活中!常常需要确定位置. 例如!学生在
教室听课!观众在电影院看电影!台风中心某时刻所在
的地点等都有确定的位置. 我们如何确定这些位置呢"
电梯上上下下地移动!飞机在跑道上滑行!这些物
体的运动!都可以看成#抽象成$点在平面内的平移.
本章我们将学习如何刻画点在平面内的位置和点
在平面内的平移.
! !!
河南省郑州市荥阳市象棋公园
11.1
平面内点的坐标
!!我们知道!建立数轴后!数轴上的点与实数是一一对应的!数轴上每一个点
都对应一个实数!这个实数叫作这个点在数轴上的坐标!那么!怎样确定一个
点在平面内的位置呢"
!问题
!!图""
"是某教室学生座位的平面图!你能描述小明和小红同学座
位的位置吗"
图"" "
数学中!为了确定平面内一个点的位置!我们可以先在平面内画两条互相垂
直#通常一条水平!一条竖直$并且原点重合的数轴!如图""
#!水平的数轴叫
作! 轴或横轴!取向右为正方向%竖直的数轴叫作"轴或纵轴!取向上为正方
向%两轴交点"为原点!这样就建立了平面直角坐标系!记作平面直角坐标系
#"$!这个平面叫作坐标平面!
"! 第""章!平面直角坐标系
图"" #
!!有了平面直角坐标系!平面内的点就可以用一对有序实数来表示了!例如!
在图""
#中!由点%向#轴作垂线!垂足&在#轴上的坐标是$#%由点%向$
轴作垂线!垂足'在$轴上的坐标是% !于是!我们说点%的横坐标是$#!纵坐
标是%!把横坐标写在纵坐标的前面!记作#$#! %$!#$#! %$就叫作点%在平面
直角坐标系中的坐标!简称点%的坐标!表示为%#$#! %$!
操作
"!把图""
%中(! )! *! +各点对应的坐
标填入下表"
图"" %
点横坐标纵坐标
坐标
,
&
#
#&! #$
-
#
&
##! &$
(
)
*
+
""#"!平面内点的坐标!#
点,的坐标
是#&! #$!点-的
坐标是##! &$ !
可见! # &! #$ 与
##! &$表示的两
个点是不同的!
表示平面上
点的坐标是一个
有序实数对
!!!!!!
#!在平面直角坐标系中#图""
&$!描出下列各点",#%! &$!
-#%! $#$! (#$"! $&$! )#$#! #$! *##! '$! +#'! $#$!
图"" &
一般地!如果平面直角坐标系内点#的横坐标为!!纵坐标为"!我们就说有
序实数对"!! "#是点#在平面直角坐标系中的坐标!记作#"!! "# $
通过建立平面直角坐标系!我们把平面内的点与有序实数对一一对应起来!
即对于坐标平面内任意一点%!都有唯一的一个有序实数对##! $$和它对应!对
于任意一个有序实数对##! $$!在坐标平面内都有唯一的点%和它对应!
""
例1 !在平面直角坐标系中描出下列各组点!并将各组内的点用线段依
次连接起来得到一个封闭图形!说说你得到的是什么图形!并计算它们的面积!
#"$ ,#(! "$! -##! "$! (##! $%$%
##$ ,#$"! #$! -#$#! $"$! (##! $"$! )#%! #$!
解!#"$ 如图""
(#"$!得到的是一个直角三角形!
它的面积是"
# .% .& /)!
##$ 如图""
(##$!得到的是一个平行四边形!
它的面积是& .% /"#!
$! 第""章!平面直角坐标系
11
#"$
!!!!
##$
图"" (
思考
根据例"#"$中给出的三个点!你发现直线,-与#轴有何位置关系%
直线,-与$轴有何位置关系% 直线-(呢%
练习
!!已知,!#" '#" -!"" %#" (!$#" $##" )!"" $##!
!第"题#
!"# 请在平面直角坐标系!如图#中描出," -" (" )四个点$
""#"!平面内点的坐标!%
! !## 按次序,#-#(#)#,将所描出的点用线段连接起来"看看得到
的是什么图形$
!%# 计算!##中所得到的图形面积!
"!假如你想让你的同学在不看图的情况下"准确地画出如图所示的%小
船&图案"你会怎样描述它'
!第#题#
!!如图""
)!建立了平面直角坐标系以后!坐标平面就被两条坐标轴分成四
个部分!这四个部分分别叫作第一象限&第二象限&第三象限&第四象限!这四个
象限内的点的坐标符号分别为#*! *$& #$! *$& #$! $$& #*! $$!坐标轴上的点
#即#轴&$轴上的点$不属于任何一个象限!!!
图"" )
&! 第""章!平面直角坐标系
11
""
例2 !如图""
+!请建立合适的平面直角坐标系!使点(! )的坐标分别
为#%! #$! #'! &$!写出在此平面直角坐标系中其余各点的坐标!指出它们分别
在哪个象限或在哪条坐标轴上!
图"" +
!!
图"" ,
解!因为点(! )的坐标分别为#%! #$! #'! &$!所以可以选点,作为原
点"!!
如图""
,!画出平面直角坐标系!
则在此平面直角坐标系中!点,的坐标为#'! '$!既在#轴上又在$轴上%
点-的坐标为##! '$!在#轴上%
点*的坐标为#$#! %$!在第二象限%
点+的坐标为#$&! '$!在#轴上%
点0的坐标为#$%! $"$!在第三象限%
点1的坐标为#'! $%$!在$轴上%
点2的坐标为#%! $&$!在第四象限!
""
例3 !如图""
-!正方形,-()的边长为&!请建立一个平面直角坐标
系!并写出此时正方形的四个顶点,! -! (! )的坐标!
""#"!平面内点的坐标!'
图"" -
!!!
图"" "'
你能另建一个平
面直角坐标系!并写
出此时顶点,! -!
(! )的坐标吗%
解!如图""
"'!以顶点,为原点"! ,-所
在直线为#轴!,)所在直线为$轴!建立平面直角
坐标系!!
此时!正方形的四个顶点,! -! (! )的坐标
分别为' ,#'! '$! -#&! '$! (#&! &$! )#'! &$!
练习
!!在平面直角坐标系中"描出下列各点( ,!$(" $%#" -!&" $)#" (!'" $"#"
)!$(" %#" *!%.(" '#" +!$%.(" '#"并指出它们分别在哪个象限或哪
条坐标轴上!
"!已知王东从学校往东走"'' !"再往北走"(' !到家$赵西从学校往西走
#'' !"再往南走(' !到家!如图"把学校所在地取作原点"分别以正东
方向与正北方向为#轴)$轴的正方向"建立平面直角坐标系!每一个单
位长度代表(' !# !试在此坐标系中画出王东家)赵西家的位置"并用
坐标表示它们!
!第#题#
(! 第""章!平面直角坐标系
11
#!填空!用%*&%$&%'&填写#(
点的位置
横坐标的特点
纵坐标的特点
第一象限
*
*
第二象限
第三象限
第四象限
#轴上
正半轴
负半轴
$轴上
正半轴
负半轴
原!!点
图"" ""
如图""
""! ,处有一艘遇险船!距离遇险
船(' " !#$%的-处有一艘救生船!遇险船向海
事部门发出求救信号后!海事部门向救生船发出
救援指示' 南偏西)'&方向(' " !#$%处有遇险
船!请前往救援!
""#"!平面内点的坐标!)
!!南偏西)'&方向(' " !#$%是一种表示地理位置的方法!其中(南偏西)'&)表
示一个物体相对于另一个物体的方向的角!叫作方位角!((' " !#$%)表示两个物
体之间的距离!方位角一般是以观测者的位置为中心!将正北或正南方向线作
为起始方向旋转到目标的方向所成的角#一般指锐角$来描述!通常表达成北偏
东!!度&北偏西!!度&南偏东!!度&南偏西!!度!若所成角为&(&时!也
可以说成(东北方向)(西北方向)(东南方向)(西南方向)!
思考
".说说上面确定两物体之间相对位置的方法包含了哪些要素%
#.用上面的方法描述救生船相对于遇险船的位置!
图"" "#
""
例4 !图""
"#是小明家和学
校所在地的平面位置示意图!其中点"
表示小明家!点,! -! (! %分别表示
学校&商场&公园和停车场!已知",/
# '!! "-/%!( '!! "%/& '!!点(
为"%的中点!
回答下列问题'
#"$ 学校&商场&公园&停车场中哪些到小明家的距离相同"
##$ 由图可知!公园在小明家南偏东)'&方向# '!处!请描述学校&商场&
停车场相对于小明家的位置!
解!#"$ 因为点(为"%的中点!
所以"(/"
# "%/# '!!
所以",/"(!
又因为"-! ",! "%各不相等!
所以学校和公园到小明家的距离相同!
##$ 由图可知!学校在小明家东北方向# '!处!商场在小明家北偏西%'&方
向%!( '!处!停车场在小明家南偏东)'&方向& '!处!
!*! 第""章!平面直角坐标系
11
30&
ˌ
A
B
!第"题#
练习
!!如图"一艘船在,处遇险后"向相距%( " !#$%位
于-处的救生船求救"用方向和距离描述救生船
相对于遇险船的位置"可描述为
!!
"!若-地在,地的南偏东%'&方向"距离,地%' '!
处"则,地在-地的!!!!!!方向"距离-
地!!!!'!处!!
习题11.1
!第"题#
!!在如图所示的象棋棋盘上建立合适的平面直角坐标
系"若%将&位于点!"" $##"%炮&位于点!$#" "#"则
%象&可能位于点!!!# !
!(# !$"" "#!!!!!!!)# !$"" ##
!*# !%" $##!
!+# !$#" ##
"!如图"在平面直角坐标系中描出下列各点( ,! "" &#" -! %" $##"
(!$%" $##" )!$"" &#!描好后"再把各点用线段依次连接起来!最后一个
点与第一个点连接起来#"看看你得到了什么图形!
!第#题#
""#"!平面内点的坐标!!!
#!如图"先建立一个平面直角坐标系"再用坐标表示图中各点的位置!
!第%题#
$!若3 45 4'"判断点%!3 65" 65# 在第几象限!
%!已知点," -的坐标分别为,!$&" 3#" -!%" 3#"那么过点," -的直线与坐
标轴有怎样的位置关系' !
&!四边形的四个顶点," -" (" )的坐标分别为!'" '#" !%" )#" !"&" ,#" !")" '#!
!"# 在平面直角坐标系内画出四边形,-()$
!## 求四边形,-()的面积!
'!下面是对小东)小聪及小明三位同学家位置的描述!
小东家( 出校门向东走" ''' !"再向北走# ''' !$
小聪家( 出校门向西走# ('' !"再向北走% ''' !$
小明家( 出校门向南走# ('' !"再向东走" ('' !!
建立适当的平面直角坐标系!每一个单位长度代表('' !#"在坐标系中将学
校及三位同学家的位置标出来"并写出学校及三位同学家的坐标"指出它们
分别在哪个象限或哪条坐标轴上!
!第,题#
(!"" ," -" (" )五地的位置如图所示"已知(
地在"地的南偏西%'&方向& '!处" !"#+ /0"
!$#) /0" !%#) /0&
!"# 写出," -" )地相对于"地的位置$
!## 写出"地相对于," -" (" )地的位置$
!%# 写出,地相对于(地的位置!
!"! 第""章!平面直角坐标系
11
数学拓展
确定台风中心位置
#'#"年+月#)日中央气象台发布了一则台风消息!如图""
"%所示!
中国天气网讯)中央气象台'月"&日*&时继续发布台风橙色预警
今年第)号台风(烟花)的中心今天##)日$早晨(点钟位于浙江平湖与上海金山交界处东南方大
约#( '!的杭州湾水面上!就是北纬%'.(&&东经"#".&&!中心附近最大风力有"# 级#%% !,-$!中心最
低气压为-+( ./0!七级风圈半径为#''1%'' '!!十级风圈半径为('1,' '!!
预计(烟花)将以每小时(1"' '!的速度向西偏北方向移动!即将于今天上午在浙江平湖到上海金
山一带沿海再次登陆#强热带风暴级或台风级!"" 1"# 级!%' 1%% !,-$!之后强度逐渐减弱!#, 日将转
向东北方向移动!%'日移入黄海海面!!
图"" "%
根据上面的报道!解答下列问题"
#"$ +月#)日(1''!台风中心位置在哪里% 请在图""
"&中标示出来!你
是根据报道中哪条信息确定的%
图"" "&
##$ 确定平面内点的位置!除了利用平面直角坐标系外还有哪些方法%
""#"!平面内点的坐标!!#
数学史话
笛 卡 儿
笛卡儿#+%-2034%-! "(-)&")('$是法国著名的数学家'哲学家'物理学家!
他出生于法国一个小镇!从小体质虚弱!但他好奇心强!勤奋好学!自学了大量数
学和哲学方面的书!后进入普瓦捷大学学习法律!毕业两年后从军!
笛卡儿
他热爱数学!从军期间也没有中断对数学问题的思
考!他认为古人的几何学(所思考的只限于形象)!束缚
了人们的想象力!而近代的代数学则(太受法则和公式的
束缚)!因此!他主张(采用几何学与代数学中一切好的
东西!互相取长补短) !笛卡儿首先提出了坐标的思想!
将变量和运动引入数学!用代数的方法研究几何图形!建
立了解析几何#又叫坐标几何$!从而使数学的两大基本
要素(数)与(形)统一起来!
")%+年!笛卡儿出版了著名的哲学著作*方法论+!该书有三个附录" *几何
学+*折光+*气象学+!解析几何就安排在*几何学+中!解析几何的创立为几何
学提供了崭新的研究方法!是初等数学向高等数学发展的转折点!是数学史上最
重大的创造之一!他的这一成就为后来微积分理论的创立起到了基础性'关键
性的作用!有力地推动了数学的发展!
!$! 第""章!平面直角坐标系
11
11.2
图形在坐标系中的平移
现在我们研究在平面直角坐标系中图形的平移!
思考
如图""
"(!三角形,-(在坐标平面内向左平移(个单位长度后!得
到新的三角形,"-"(" !
图"" "(!
#"$ 写出三角形,-(与三角形,"-"(" 各顶点的坐标!比较对应点
的坐标!看有怎样的变化!
##$ 如果三角形,-(向下平移#个单位长度!得到三角形,#-#(# !
写出这时各顶点的坐标!比较对应点的坐标!看有怎样的变化!
#%$ 如果点%##! $$是坐标平面内的任意一点!那么向左平移(个单
位长度或向下平移#个单位长度!它的对应点%" 的坐标会是怎样的呢%
在平面直角坐标系中!描述平移的一个方法是用图形上任一点的坐标
""#$!图形在坐标系中的平移!!%
##! $$的变化来表示!例如!右移#个单位长度&上移%个单位长度的平移!记
作##! $$ # ##7#! $7%$ !
"
例!如图""
")!将三角形,-(先向右平移)个单位长度!再向下平移#
个单位长度!得到三角形,"-"(" !写出各顶点平移前后的坐标!
图"" ")!
解!由题意!得
,#6#! )$ # ,"#&! &$!
-#6&! &$ # -"##! #$!
(#"! "$ # ("#+! 6"$!
思考
把平面直角坐标系中的一个图形!按下面的要求平移!图形上任意一
个点的坐标##! $$是如何变化的%
#"$ 向左移动3 #3 8'$ 个单位长度,向右呢%
##$ 向上移动5 #5 8'$ 个单位长度,向下呢%
#%$ 先向左移动3 #3 8'$个单位长度!再向上移动5#5 8'$个单位
长度!!
!&! 第""章!平面直角坐标系
11
练习
!!下面各图中的图!是由图"平移得到的"描述各图形是如何平移的"并
写出各图中图")图!各顶点的坐标!
#"$
!!!!
##$
!第"题#
!第#题#
"!如图"在平面直角坐标系中"三角形
,-(的三个顶点," -" (的坐标分别
为!'" ##" !$"" '#" !%" $"# !经过
下列平移后"分别求此时三角形,-(
各顶点的坐标!
!"# 先向右平移# 个单位长度"再向
下平移"个单位长度$
!## 先向左平移% 个单位长度"再向
上平移&个单位长度!
#!分别写出点%!&" (#在经过如下平移后得到的点%" 的坐标"并说出由
点%到点%" 是怎样平移的!
!"# %!#" $# # %"!#" $7"#$!!
!## %!#" $# # %"!#6"" $#$
!%# %!#" $# # %"!#7"" $7##$
!&# %!#" $# # %"!#6%" $6"# !
""#$!图形在坐标系中的平移!!'
习题11.2
!!如图"在平面直角坐标系中"平行四边形,-()的四个顶点," -" (" )的坐
标分别为!$)" %#" !$%" $##" !"" $##" !$#" %#!把平行四边形,-()向
右平移(个单位长度"求平移后各顶点的坐标!
!第"题#
"!图"和图!是正方形在平面直角坐标系中平移前后的两个位置!请描述从
图"如何平移到图!!
!第#题#
!!!
!第&题#
#!已知点," -的坐标分别为!"" ##" !(" +#!将线段,-平移后"点,的坐标
变为!$)" $%#!求点-平移后的坐标!
$!如图"在平面直角坐标系中"有一个正方形,-()"其中点)与原点"重合!
!"# 写出," -" (" )四个点的坐标$
!## 将正方形,-()先向上平移#个单位长度"再向左平移%个单位长度"得
到正方形,"-"(")""写出点,"" -"" ("" )" 的坐标!
!(! 第""章!平面直角坐标系
11
小结·评价
!!一! 知识体系
Lڱ%+
ѹ4+-
L,> ᴳ2
ᒎ ᴳ
2͙
+/
!!二! 回顾与思考
"!类比%数轴上的点与实数是一一对应的&!请你说一说如何确定平
面内一个点的位置!
#!如何刻画两个点之间的相对位置"
%!如何用坐标的变化表示图形的平移"
&!除了本章学习的方法!你还有其他方法确定点在平面内的位置或刻
画点之间的相对位置吗"
!!三! 自评与互评
"!坐标可以用来定位!你能举出生活中用坐标来定位的例子吗" 你的
同学在一张格子纸上画出一个图形!你在不看图的情况下!能通过他的描
述在另一张相同的格子纸上画出一样的图形吗"
#!你知道中国象棋的棋谱是如何记录红黑双方棋子的移动过程的
吗" 你能用坐标的方式表示双方棋子的移动过程吗" 请和同学合作!先
将一盘棋的棋子移动过程用坐标记录下来!再根据记录的内容重新移动
棋子!!
小结!评价!!)
复习题
"组
!!如图"写出平面直角坐标系中各点的坐标"并分别指出它们到#轴和$轴的距离!
!第"题#
!!
!第#题#
"!如图"箭头图案是将坐标分别为!'" '#" !'" ##" !(" ##" !(" %#" !+" "#"
!(" $"#" !(" '#的点用线段依次连接而成的封闭图形!现把图中各点的坐标
分别作如下变化!
!"# 横坐标不变"纵坐标分别减%$
!## 纵坐标不变"横坐标分别加#!
以上变化所得的图案与原图案相比"分别有哪些变化'
!第%题#
#!如图"在行距)列距都是" 个单位长度的方格网中"三
角形,-(的顶点都是格点!
!"# 将三角形,-(向下平移#个单位长度"再向右平
移&个单位长度得到三角形,9-9(9"请画出三角
形,9-9(9$
!## 求三角形,9-9(9的面积!
$!填空(
!"# 若点%在第二象限"且到#轴的距离是#"到$轴的距离是%"则点%的坐
标为!!!!$
!## 在平面直角坐标系中"如果点%!#3 7)" 3 6%# 在第四象限"那么3的取
值范围是!!!!!!!!$
"*! 第""章!平面直角坐标系
11
!%# 若点%!3" 5#"且35 8'" 3 75 4'"则点%在第!!!!象限$
!&# 已知点,的坐标为!%" $##"将平面直角坐标系平移"使原点"移至点
,!这时在新坐标系中原来点"的坐标为!!!!!
复习题
#组
!!已知点%!# 63" %3 7)#"且点%到两坐标轴的距离相等"求点%的坐标!
"!在平面直角坐标系中"描出下列各点(
,!#" )#" -!)" (#" (!(" ##" )!%" %#" *!(" +#!
!"# 写出下列各个平移(
" ,# -$ ! -# ($ # (# )$ $ )# *$
!## 写出,# *的平移$
!%# 题!##中的平移与题!"#中的这些平移有什么关系'
#!如图"三角形,-(的三个顶点的坐标分别为,!$#" %#" -!$&" $"#" (!#" '#!
三角形,9-9(9是由三角形,-(平移后得到的"若三角形,-(内任意一点
%!#
'" $
'# 经过同样的平移后" 得到在三角形,9-9(9内的对应点
%9!#
' 7(" $
' 7%#!求点," -" (的对应点,9" -9" (9的坐标"并在图中描
出这三点"观察%%9与,,9" --9" ((9之间有怎样的关系!
!第%题#
小结!评价!"!
复习题
$组
!!在坐标平面内描出下列各点( !$(" '#" !#" )#" !$"" "#" !#" $"#"并用线
段依次连接各点"得到一个封闭图形!
!"# 求所得图形的面积$
!## 把所得图形先向上平移#个单位长度"再向右平移+个单位长度后"写出
各顶点的对应点的坐标!
"!在平面直角坐标系中"一蚂蚁从原点"出发"按向上)向右)向下)向右的方向
依次不断移动"每次移动"个单位长度"其行走路线如图所示!
!第#题#
!"# 填写下列各点的坐标( ,&!!!!!"!!!!#" ,,!!!!!"!!!!#"
,"#!!!!!"!!!!#$
!## 写出点,&: 的坐标!:是正整数#$
!%# 指出蚂蚁从点,# '#& 到点,# '#( 的移动方向!
""! 第""章!平面直角坐标系
11
中国国产大型客机*-"-
第12章
函数与
一次函数
我们生活在一个变化的世界中!通常会看到在同一
变化过程中!有两个相关的量!其中一个量往往随着另
一个量的变化而变化. 如热气球上升过程中所到达的
海拔高度随着上升时间的变化而变化!汽车行驶的路程
随时间的变化而变化''
如何刻画两个变量之间的关系呢"
本章我们将学习刻画变量之间关系的常用模
型——函数，并重点研究一次函数.
! !"#
12.1
函数
在现实生活中!常常需要研究两个变化的量之间的对应关系!
!问题%
!!用热气球探测高空气象!设热气球从海拔" ,'' !处的某地升
空#图"#
"$!在一段时间内!它匀速上升!它上升过程中到达的海拔高度; !
与上升时间<!#"的关系记录如下表'
%&+,-
'
"
#
%
&
(
)
+
*
'&+
" ,''
" ,%'
" ,)'
" ,-'
" -#'
" -('
" -,'
# '"'
*
图"# "
!!看表回答以下问题'
#"$ 这个问题中!涉及哪几个量"
##$ 热气球上升% !#"和) !#"时到达的海拔高度分别是多少米"
#%$ 热气球在升空的过程中平均每分钟上升多少米"
!问题&
!!汽车在行驶过程中!制动后由于惯性仍将滑行一段距离才能停
住!这段距离称为制动距离!某型号的汽车在路面上的制动距离=!与车速
>'!,.之间有经验公式' =/ >
#
#()!
"$! 第"$章!函数与一次函数
#"$ 这个公式中涉及哪几个量"
##$ 制动时!当车速是&' '!,.时!相应的制动距离是多少米" 若车速是
,' '!,.时呢"
#%$ 制动时!对于车速>的每一个值!相应的制动距离=的值都是唯一确定
的吗" !
!问题'
!!5市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线如图"#
#所示!
图"# #
看图回答以下问题'
67表示(吉
瓦)!是电功率的
单位! " 67 2
"'
- 7 !
#"$ 这个问题中!涉及哪几个量"
##$ 给出这天中的某一时刻!如&.(时!能找到这一
时刻的用电负荷是多少吗" 你是怎么找到的" 找到的值
是唯一确定的吗" #'时呢"
#%$ 在这天中!对于时间<的每一个值!相应的用电
负荷$的值都是唯一确定的吗"
#&$ 在这一天中!用电负荷最高和最低各是多少"
它们是在什么时刻达到的"
你能指出问题
#! %中的变量吗%
问题"中!热气球到达的海拔高度;是随时间<的
变化而变化的!;与<可以取不同的数值!是变量%平均
每分钟上升高度为%' !!这个量在运动过程中保持不
变!是常量!
"$#"!函数!"%
在上述三个问题中!每个变化过程都只涉及两个变量!两个变量之间有一种
对应关系!当其中某个变量取定一个值时!根据此对应关系就唯一确定了另一个
变量的值!
问题"中! </%时!; /" ,-'%</)时!; /" -,'!
问题#中!>/&'时!=/).#(% >/,'时!=/#(!
问题%中!</&.(时!$/"'%</#'时!$/")!
一般地!设在一个变化过程中有两个变量#! $!如果对于#在它允许取值范
围内的每一个值!$都有唯一确定的值与它对应!那么就说$是#的函数!其中#
是自变量!当#/3时!$/5!则5叫作当自变量#取3时的函数值!
可见!问题"中热气球到达的海拔高度; 是自变量时间<的函数%问题#
中制动距离=是自变量车速>的函数%问题% 中用电负荷$是自变量时间<的
函数!
练习
!!指出下列关系中的变量与常量!
!"# 球的表面积? 2!
# 与其半径@2!之间的关系为( ? /&%@
#$
!## 在一定温度范围内"某种金属丝的长度A2!与温度<8之间的关系
为( A/'.''#<7#''!
"!下列问题中"变量$是变量#的函数吗' 请说明理由!
!"# 在平静的湖面上"投入一粒石子"泛起的圆形波纹的半径为#!"周
长为$!$
!## 一个正数#的平方根是$!
#!购买单价是#元的圆珠笔"总金额$元是圆珠笔支数:的函数吗' 并指
出其中的常量与变量!
前面三个问题都反映了两个变量间的函数关系!可以看出!表示函数关系
主要有三种方法' 列表法&解析法&图象法!
"&! 第"$章!函数与一次函数
12
!$列表法
通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法!
问题"就是通过列表法给出了热气球到达的海拔高度;与上升时间<之间
的函数关系!
"$解析法
问题#中!制动距离=与车速>的函数关系是用等式=/ >
#
#()来表示的!像
这种用数学式子表示函数关系的方法叫作解析法!其中的数学式子叫作函数表
达式#或函数解析式$!
在用函数表达式表示函数时!自变量的取值必须使函数表达式有意义!
""
例1 !写出下列函数中自变量#的取值范围'
#"$ $/##7&%!!!!!!!! ##$ $/6##
#%
#%$ $/ "
#6#% !!!!
#&$ $/槡#!
解!#"$ #为全体实数!!!
##$ #为全体实数!
#%$ #$ #!!!
#&$ #% '!
注意!在确定函数中自变量的取值范围时!如果是实际问题!还必须使实际
问题有意义!如函数? /%@
#中自变量@可取全体实数!如果指明这个式子是表
示圆的面积?与其半径@的关系!那么自变量@的取值范围应是@8'!
""
例2 !当#/%时!求下列函数的函数值'
#"$ $/##7&% !!!!!!
##$ $/6##
#%
#%$ $/ "
#6#% !!
#&$ $/槡#!
解!#"$ 当#/%时!$/# .% 7& /"'!
##$ 当#/%时!$/6# .%
# /6",!
#%$ 当#/%时!$/ "
% 6# /"!
#&$ 当#/%时!$/槡% !
"$#"!函数!"'
""
例3 !一个游泳池内有水%'' !
%!现打开排水管以#( !
% ,.的速度排水!
设排水时间为<.!游泳池内剩余水量为B!
% !
#"$ 写出B与<之间的函数表达式%
##$ 写出自变量<的取值范围%
#%$ 开始排水( .后!游泳池中还有多少水"
#&$ 当游泳池中还剩"(' !
% 水时!已经排水多久"
解!#"$ 函数表达式为B/%'' 6#(<!即B/6#(<7%''!
##$ 游泳池中共有%'' !
% 水!排水速度为#( !
% ,.!全部排完只需%'' C#( /
"# #.$!故自变量<的取值范围是' & <& "#!
#%$ 将<2(代入函数表达式!得B/6#( .( 7%'' /"+(!
答'开始排水( .后!游泳池中还有水"+( !
%!
#&$ 当B2"('时!由"(' /6#(<7%''!得</)!
答'当游泳池中还剩水"(' !
% 时!已经排水) . !
练习
!!写出下列函数中自变量#的取值范围(
!"# $/#6%
#
$ !!!!!!!!! !## $/ %
& 6#$
!%# $/6槡#$!
!&# $/
"
##
# 7"!
"!当#/-和#/"'时"求下列函数的函数值(
!"# $/ %
& 6#$!!!!!!
!## $/6槡#!
#!一列动车以%'' '!,.的速度匀速行驶!设该动车的行驶时间为<."路
程为='!!
!"# 写出=与<之间的函数表达式$
!## 该动车行驶".( .后"行驶的路程为多少'
!%# 当该动车行驶"#' '!时"用时多少'
"(! 第"$章!函数与一次函数
12
!!#$图象法
问题%中5市某天用电负荷$与时间<的函数关系很难用式子表示!但是可
用平面直角坐标系中的图形#图"#
#中的一条曲线$来表示!
一般地!对于一个函数!如果把自变量#与函数$的每对对应值作为点的横
坐标与纵坐标!在坐标平面内描出相应的点!这些点所组成的图形!就是这个函
数的图象!用图象来表示两个变量间的函数关系的方法!叫作图象法!
对于能用表达式表示的函数关系!有时也会通过画图象来表示!这样使函数
关系更直观!!
如何作函数的图象呢" 下面以作函数$/##的图象为例来说明!
对于自变量#的每一个值!可得出对应函数$的唯一确定的值!列表如下'
!
*
$%
$#
$"
'
"
#
%
*
"
*
$)
$&
$#
'
#
&
)
*
图"# %
!!任意一个有序实数对##! $$与坐标平面内一
点&##! $$一一对应!因此!表中给出的有序实
数对可在平面直角坐标系中描出相应的点!
因为函数$/##中的自变量#可以取一切实
数!列表计算可以得到无数多个有序实数对!在
坐标平面内可描出无数多个点!这些点组成了坐
标系中的图形!如图"#
% !
由函数表达式画图象!一般按下列步骤进行!
"!列表' 列出自变量与函数的一些对应值!
#!描点' 以表中各组对应值为坐标!在坐标
平面内描出相应的点!
%!连线' 按照自变量的大小顺序!把所描各
点用平滑的曲线依次连接起来!
描出的点越多!所得的图象越准确!我们不能把所有点都描出!因此用平滑
曲线连接画出的点!从而得到表示这个函数关系的近似图象!
"$#"!函数!")
""
例4 !画出前面问题#中的函数=/ >
#
#()的图象!
图"# &
解!#"$ 列表' 因为>% '!分别取>/'! "'! #'!
%'! &'!求出它们对应的=值!列表如下'
(
'
"'
#'
%'
&'
*
)
'
#(
)&
#(
")
##(
)&
#(
&
*
!!##$ 描点' 如图"#
&!在坐标平面内描出#'! '$!
"'! #(
)&
(
) ! #'! #(
")
(
) ! %'! ##(
)&
(
) ! &'! #(
&
(
)等点!
#%$ 连线' 将以上各点按照自变量>由小到大的顺序用平滑的曲线连接!就
得到了=/ >
#
#()的图象!
练习
!!画出函数$/6##的图象!
"!!"# 画出函数$/6#的图象$
!## 判断点,6%
# " %
#
(
) " -!'" '#" ( %
# " 6%
#
(
) " )!#" %# 是否在函数
$/6#的图象上!
#!如图"下列各曲线中哪些能够表示$是#的函数' 请说明理由!
#"$
!
##$
!
#%$
!
#&$
!第%题#
#*! 第"$章!函数与一次函数
12
思考
函数关系用图象表示!容易从中了解函数的一些变化情况!
"!图"#
(是某人在一天#& .内的体温变化情况的大致图象!
图"# (
图"#
(
中纵轴上'1%(
一段省略了!
#"$ 图中有哪两个变量% 哪个变量是自变量%
##$ 这天中!此人的最高体温与最低体温各是多少% 分别是在什么
时刻达到的%
#%$ #"时此人的体温是多少%
#&$ 此人这天体温达到%).# 8时是在什么时刻%
#($ &时到+时!此人体温是如何变化的% ",时到#&时!此人体温又
是如何变化的%
#!一艘轮船在甲港与乙港之间往返运输!只行驶一个来回!途经丙
港!图"#
)是这艘轮船离开甲港的距离随时间的变化曲线!
"$#"!函数!#!
首艘国产大型邮轮
图"# )
观察曲线回答下列问题#以下括号中字母表示轮船所在位置对应曲
线上的点$"
#"$ 从甲港#"$出发到达丙港#,$!需多长时间%
##$ 由丙港#,$到达乙港#($!需多长时间%
#%$ 图中()段表示该轮船在乙港停留多长时间% 返回时!经多长时
间到达丙港#-$%
#&$ 从丙港#-$返回到出发点甲港#*$!需多长时间%
#($ 轮船从甲港前往乙港的平均速度快!还是轮船返回的平均速度快呢%
练习
!第"题#
!!海水受日)月引力影响而产生的
涨落现象叫作潮汐"发生在早晨
的叫潮"发生在黄昏的叫汐!某
海滨港口在某天的水位变化曲
线如图所示!
!"# 在这一问题中"有哪几个变
量' 其中自变量是什么'
!## 大约在什么时间水最深"深度约为多少'
!%# 大约在什么时间水最浅"深度约为多少'
!&# 从图中"你还能看出港口水位变化的其他情况吗'
#"! 第"$章!函数与一次函数
12
习题12.1
!!下列函数关系中"有哪些变量' 其中自变量是什么'
!"# 大米每千克,元"则销售金额$元与销售量#'9之间的关系满足表达式
'#,($
!## 向空水池中注水"若注水速度为'!# !
% ,!#""则注水量$!
% 与注水时间
<!#"之间的关系满足表达式$/'!#<$
!%# 水的密度是"3"'
% '9,!
%"则水的质量D'9与体积E!
% 之间的关系满足
表达式D2" '''E$
!&# 球的体积E与其半径F之间的关系满足表达式E/&
% %F
%!
"!写出下列函数中自变量#的取值范围(
!"# $/##6%$!!!!!!!!!! !## $/6##
# 7"$
!%# $/ %
" 6#$!!
!&# $/#
%!
#!当#/6#和#/"
# 时"分别求下列函数的函数值(
!"# $/6#
# 7#$
!## $/#7&
#6# !
$!画出下列函数的图象(
!"# $/&#$!!
!## $/6&#!
%!画出函数$/6#
# 的图象!先填下表"再描点"然后用平滑曲线顺次连接
各点# !!
!
*
$#
$".(
$"
$'.(
'
'.(
"
".(
#
*
"
*
*
&!某人骑车沿直线行进"先前进了3 '!"休息了一段时间"又原路返回5 '!
!5 43#"再前进G'!"则此人离起点的距离='!与时间<.的关系示意图可
能是!!!#!!
"$#"!函数!##
!!!(#!!
!!!)#!!
!!!*#!!
!!!+#
'!" 2!
% 水的质量D9随温度<8变化的图象如图所示(
!第+题#
!"# 在这一变化过程中"自变量是什么'
!## 这一变化过程中"温度在什么范围内"" 2!
% 水的质量随温度的升高而增
大' 温度在什么范围内"" 2!
% 水的质量随温度的升高而减小'
!%# 在什么温度下"" 2!
% 水的质量最大'
(!小聪对他家今年上半年每月所用天然气的量与应缴费用进行了统计"结果如下表(
项 目
月 份
!
"
#
$
%
&
上月抄表数H!
%
#''
#%'
#+'
%'(
%&'
%,'
本月抄表数H!
%
#%'
#+'
%'(
%&'
%,'
&"#
应缴费用H元
)%
,&
+%.(
+%.(
,&
)+.#
仔细观察表格"然后回答下列问题(
!"# 每立方米天然气的价格是多少'
!## 如果用$元表示每月应缴费用"#!
% 表示每月所用天然气的量"请写出$
与#之间的函数表达式$
!%# 如果小聪家+月份抄表数为&&% !
%"那么他家+月份天然气的应缴费用
是多少元'
#$! 第"$章!函数与一次函数
12
12.2 一次函数
!!有这样一些函数'
; /%'<7" ,''%!!!! ? /%''<%
$/##%!!!
$/6##%
$/##7&!
观察这些函数的表达式!它们有什么共同特点"
不难看出!这些函数的表达式都是关于自变量的一次式!可以写成$/ I#75
#I! 5为常数!且I$ '$ 的形式!
一般地!形如$/I#75 #I! 5为常数!且I$ '$ 的函数叫作一次函数!当
5 /'时!一次函数$/I#75就成为$/I##I为常数!且I$ '$!
如上面的$/##! ? /%''<!这些函数中两个变量间的关系是小学学过的正
比例关系!形如$/I##I为常数!且I$ '$ 的函数叫作正比例函数!
可见!正比例函数是一次函数的特殊情形!
下面!来研究一次函数的图象与性质!
前面已经作出了正比例函数$/##! $/6##! $/&#和$/6&#的图象!观
察这些图象!它们有什么共同的特点"
一般地!正比例函数$/I##I为常数!且I$ '$的图象是一条经过原点的直
线!通常我们把正比例函数$/I##I为常数!且I$ '$ 的图象叫作直线$/I#!
因为两点确定一条直线!所以画正比例函数的图象只要先描出两点!再过这
两点画直线即可!
""
例1 !在同一平面直角坐标系中!画下列函数的图象'
$/"
# #!!$/#!!$/%#!
"$#$!一次函数!#%
解!列表'
图"# +
!
*
'
"
*
".!
" !
*
'
"
#
*
".!
*
'
"
*
".#!
*
'
%
*
!!如图"#
+!过点#'! '$! "! "
#
(
)画直线!得$/"
# #的图象%
过点#'! '$! #"! "$ 画直线!得$/#的图象%
过点#'! '$! #"! %$ 画直线!得$/%#的图象!
操作
仿照例"!在同一平面直角坐标系中!画下列函数的图象"
$/6"
# #!!$/6#!!$/6%#!
思考
观察例"和-操作.栏目中函数的图象!
#"$ 请说出正比例函数$/%#和$/6%#的图象经过的象限,
##$ 当I8'时!正比例函数$/I##I为常数!且I$ '$ 的图象经过
哪几个象限% I4'呢%
#%$ 当I8'时!函数图象从左向右看!变化趋势是怎样的% 当自变
量#增大时!函数值$是怎样变化的% I4'呢%
#&$ JIJ的大小对正比例函数$/I##I为常数!且I$ '$的图象有什
么影响%
#&! 第"$章!函数与一次函数
12
!!一般地!正比例函数$/I##I为常数!且I$ '$ 有下列性质'
!!当* +* 时!"随! 的增大而增大"图象是自左向右上升的#$
当* ,* 时!"随! 的增大而减小"图象是自左向右下降的#$
/* /越大!"随! 的增大而增大"或减小#的速度越快$
练习
!!下列函数中"哪些是一次函数' 哪些是正比例函数'
" $/6,#$ ! $/,
#$ # $/,#
#$ $ $/,#6&!
"!填空(
!"# 写出一个图象经过第二)四象限的正比例函数的表达式(!!!!$
!## 已知正比例函数$/!I7%##!I为常数#"若$随#的增大而增大"
则I的取值范围是!!!!!!$
!%# 若%"!""" $
"#" %#!"#" $
##在正比例函数$/6"
& #的图象上"则
$
"!!!!$
#!填% 8&% 4& 或% /&#!
#!如图"三个正比例函数的图象分别对应的表达式是(
" $/3#$ ! $/5#$ # $/G#!
请用% 8& 表示3" 5" G的大小关系!!!!!!!!!
+ y =ax
, y =bx
y
x
O
- y =cx
!第%题#
"$#$!一次函数!#'
!!正比例函数$/I##I为常数!且I$ '$ 的图象是一条直线!对于一次函数
$/I#75 #I! 5为常数!且I$ '$!当5 $ '时!它的图象又是什么呢"
下面我们用具体的例子来说明!
""
例2 !在同一平面直角坐标系中!画一次函数$/##和$/##7%的图象!
并比较两个图象!
解!列表'
!
*
$#
$"
'
"
#
*
"."!
*
$&
$#
'
#
&
*
"-"! .#
*
$"
"
%
(
+
*
!!如图"#
,!描点!并画出图象!
"!在图"#
,中!把直线
$/##向下平移% 个单位长
度!这时直线应是什么函数的
图象%
#!能否通过左右平移直
线$/##得到直线$/##7%%
图"# ,
从表中可以看出!对于自变量#的同一个值!一次函数$/##7%的函数值
要比函数$/##的函数值大% !也就是说!对于相同的横坐标!一次函数
$/##7%的图象上点的纵坐标要比正比例函数$/##图象上点的纵坐标大%!
因此!把直线$/##向上平移%个单位长度!就得到一次函数$/##7%的图象!
#(! 第"$章!函数与一次函数
12
由此可见!一次函数$/##7%的图象是平行于直线$/##的一条直线!
一般地!一次函数$/I#75 #I! 5为常数!且I$ '$的图象与直线$/I#平
行或重合!因此!我们把一次函数$/I#75 #I! 5为常数!且I$'$的图象叫作直
线$/ I#75!直线$/I#75与$轴相交于点#'! 5$!5叫作直线$/I#75在$
轴上的截距!简称截距!
直线$/I#75可以看作是由直线$/I#平移J5 J个单位长度得到#当5 8
'时!向上平移%当5 4'时!向下平移$!
""
例3 !画出直线$/#
% #6#!并指出它的截距!
图"# -
解!列表'
!
*
'
%
*
"
*
$#
'
*
!!如图"#
-!过两点#'! $#$! #%! '$画直线!即得
直线$/#
% #6#!它的截距是$# !
练习
!!填空(
!"# 把直线$/#向上平移#个单位长度"所得直线是函数!!!!!
的图象$
!## 把函数$/6##7%的图象向!!!!平移%个单位长度"可以得到
函数$/6##的图象$
!%# 若一次函数$/I#7#!I为常数# 的图象与直线$/%#平行"则I/
!!!!!
"$#$!一次函数!#)
"!画出下列一次函数的图象(
!"# $/%#7"$
!## $/6%#6"$
!%# $/"
# #7&$
!&# $/6"
# #6&!
探究
"!已知一次函数$/%#7"! $/##6%! $/"
# #7&!
#"$ 列出#! $的对应值表!当自变量#的值增大时!函数值$是增大
还是减小%
##$ 画出图象!从图象上看!直线从左到右是上升还是下降%
#!用类似的方法!观察函数$/6%#6"! $/6##7%! $/6"
# #6&
图象的变化趋势!你有什么发现%
%!JIJ的大小对一次函数$/I#75#I! 5为常数!且I$ '$ 的图象有
什么影响%
一般地!一次函数$/I#75 #I! 5为常数!且I$ '$ 有下列性质'
!! 当* +* 时!"随! 的增大而增大"图象是自左向右上升的#$
!! 当* ,* 时!"随! 的增大而减小"图象是自左向右下降的#$
!! /* /越大!"随! 的增大而增大"或减小# 的速度越快$
思考
一次函数$/I#75#I! 5为常数!且I$ '$ 的图象与I! 5的取值有
什么关系%
$*! 第"$章!函数与一次函数
12
练习
!!填空!
"!# 对于函数"#"$$"随$的增大而####%
"$# 对于函数"#%$$&%$ "随$的增大而####!
"!已知一次函数"#"$'&!#$&&"'为常数#!若"随$的增大而增大$
求'的取值范围!
#!直线"#%$$&%经过点("$
!$ "
!# 和)"$
$$ "
$#$当$
! *$
$ 时$"
! 与"
$
哪个大& #
图!$ !'
!!
例4 #已知某一次函数!当自变量$#( 时!函
数值"#&"当自变量$#&时!函数值"#$!求出该函
数的表达式!并画出它的图象!
解#因为"是$的一次函数!
所以设其表达式为"#+$&,#+! , 为常数!且
+" '$!#
由题意!得
(+&, #&!
&+&, #$!
解方程组!得
+#%%!
, #!"!
所以该函数的表达式为"#%%$&!"!
其图象如图!$
!'所示!
这里!先设所求的一次函数表达式为"#+$&, #+! ,是待确定的系数$!再
根据已知条件列出关于+! ,的方程组!求得+! ,的值!这种确定表达式中系数
的方法!叫作待定系数法!
!"#"$一次函数$!"
练习
"第$题#
!!已知函数"#-$&,"-$ ,为常数#$当$#%$
时$"#$%当$#$时$"#)!求-和,的值!
"!已知一次函数的图象如图所示$根据图象求此
一次函数的表达式!
#!已知一次函数的图象经过点."*$$ %#$且与直
线"#%!
$ $平行!求这个函数的表达式!
!!
例5 #为节约用水!某城市对居民用水制定以下收费标准%一户的水费由
使用费和污水处理费组成!每月用水量不超过!) !
% 时!使用费为每立方米!+%
元"超过!) !
% 时!超过部分的使用费为每立方米$+'元"污水处理费为每立方米
!+$元!设一户每月用水量为$!
%!应缴水费为"元!
#!$ 求"与$之间的函数表达式"
#$$ 画出上述函数的图象"
#%$ 某两户某月用水量分别为!' !
% 和$' !
% 时!求这两户该月应缴的
水费"
#($ 某一户某月缴水费&,!$元!求该户这个月的用水量!
"与$的函数表达
式可表示为!
# "#
$!&$" ' # $# !)"
%!$$%!!!$" $*!)!
分析! 用水量以!) !
% 为界"分成两段"收费
标准不一样! 当' # $# !) 时"每立方米收费
#!+% &!+$$ 元%当$*!)时"超过部分每立方米
收费#$+' &!+$$ 元!
解##!$当' # $#!)时!"##!+% &!+$$$#
$+&$!
当$*!)时!"##!+% &!+$$ /!) &#$+' &!+$$#$%!)$
#%+$$%!!+$!
!#$ 第!"章$函数与一次函数
12
图!$ !!
###$$ 如图!$
!!!上述函数的图象是一条
折线!
#%$ 当$#!'时!"#$+& /!' #$&!
当$#$'时!"#%+$ /$' %!!+$ #&$+-!
答%这两户该月应缴的水费分别为$& 元&
&$+-元!#
#($ 因为&,+$ *$+& /!)!
所以该户这个月用水量超过!) !
%!
因此!%+$$%!!+$ #&,+$!
解得$#$$!
答%该户这个月的用水量为$$ !
% !
本例中自变量在不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式!
这样的函数称为分段函数!分段函数在生活中有很多应用!#
练习
!!由甲地寄往乙地的每件包裹按下面的计费标准收取快递费用! ! "# 及
以内!$元%!.$ "# !-元%$.% "# $(元''以此类推$包裹质量每增加
! "#"不足! "# 以! "# 计算#$快递费增加) 元!设某件包裹的质量为
$"#$所需快递费为"元!"与$之间的函数图象如下!
42
y/ѩ
36
30
24
18
12
6
1
2
3
4
5
6
x/kg
O
"第!题#
!"#"$一次函数$!$
# "!# 若要由甲地寄一件质量为!+- "#的包裹去乙地$快递费是多少元&
25
50
75
25
50
75
100
y/ѩ
x/kW·h
O
"第$题#
"$# 从甲地寄往乙地两件包裹"分开寄#$
若快递总费用为%'元$则这两件包裹
的质量分别在什么范围内&
"!某地实行阶梯电价$用户每月应缴电费"
元与用电量$"$(%的关系如图所示!求
出"与$之间的函数表达式!
前面!已经学过一元一次方程和一元一次不等式的解法!它们与一次函数之
间有什么联系呢'
!问题"
!##!$ 解方程% $$&) #'"
#$$ 已知一次函数"#$$&)! $取何值时!"#''
图!$ !$
关于问题!#!$!容易求出它的解为$#%%!
关于问题!#$$!令"#$$&)中"#'!则转化为
解方程$$&) #'!因此!#!$与#$$是同一问题的不
同表达!
我们再从函数图象上看!画出"#$$&)的图象
#图!$
!$$!从图中可以看出!一次函数"#$$&)
的图象与$轴交点的坐标为#%%! '$!这就是当"#'
时!$#%%!所以$#%%是方程$$&) #'的解!
任何一个一元一次方程都可转化为+$&, # '#+! ,为常数!且+" '$ 的
形式!因此解一元一次方程都可转化为求一次函数"# +$&,#+! ,为常数!且
+" '$中"#'时$的值!从图象上看!就是求直线"# +$&,与$轴交点的横
坐标!
!!$ 第!"章$函数与一次函数
12
!问题#
!#根据图!$
!$中一次函数"#$$&)的图象!你能分别说出一元
一次不等式$$&) *'和$$&) 0'的解集吗'
$$&) *'!就是函数"#$$&)中函数值"*'!观察图!$
!$!当图象在
$轴上方时!它上面的点的纵坐标"*'!同样地!图象在$轴下方时!它上面的点
的纵坐标"0'!
因为图象与$轴交于点#*%! '$!所以由图象可知!要使"*'!即$$&) *'!
应有$*%%"要使"0'!即$$&) 0'!应有$0%%!
任何一个一元一次不等式都可以转化为+$&, *'或+$&, 0'#+! ,为常
数!且+" '$ 的形式!因此解一元一次不等式+$&, *'或+$&, 0'#+! ,为
常数!且+" '$就是求使一次函数"#+$&,#+! ,为常数!且+" '$取正值或负
值时$的取值范围!##
!!
例6 #画出函数"#%%$&)的图象!并结合图象求%
#!$ 方程%%$&) #'的解"
图!$ !%
#$$ 不等式%%$&) *'和%%$&) 0'的解集!
解#如图!$
!%!画出函数"#%%$&)的图象!
#!$ 由图象可知!图象与$轴交点的坐标为#$! '$!
所以!方程%%$&) #'的解为$#$!
#$$ 由图象可知! "*' 时$的取值范围是$0$"
"0'时$的取值范围是$*$!
所以!不等式%%$&) *'的解集是$0$"不等式
%%$&) 0'的解集是$*$!
练习
!!画出一次函数"#%$$%)的图象$并结合图象填空!
"!# $####时$ "#'% ##
!"#"$一次函数$!%
# "$# $####时$ "*'%
"%# $####时$ "0'%
"(# $####时$ "*)!
"!画出函数"#%$%,的图象$并结合图象回答下列问题!
"!# 求方程%$%, #'的解%
"$# 求不等式%$%, # '的解集%
"%# 当"#%时$求$的值%
"(# 当"*%时$求$的取值范围!
习题12+2
"第!题#
!!探测船上的声呐发出的超声波以! (&' !&'的速度
射向海底$海底再将超声波反射回来$经1'后声呐
收到反射超声波!试求海底深度2 !与时间1'之
间的关系!
"!拖拉机的油箱中装有油)' ($耕地时以& (&% 的速
度耗油!写出开始耕地后$油箱中剩余油量3(与
耕地时间1%之间的函数表达式$并画出函数图象!
#!判断下列各点中哪些在直线"#%&$&!上!
("%%$ !)#$#)"$$ ,#$#4%%
& $ (
(
) $#5 !
% $ $
%
(
) !
$!在同一平面直角坐标系中$画出下列函数的图象!
"!# "#&$&%%########"$# "#%&$%%%
"%# "#&$%%%########"(# "#%&$&%!
%!填空!
"!# 当$/####时$函数"#%$&%的值为'%
"$# 函数"#%"$&!中$ "随$的增大而####%
!&$ 第!"章$函数与一次函数
12
"%# 函数"#'$%("'为常数# 的图象经过点"%$$ %-#$则'#####$
该图象与$轴交点的坐标是####$与"轴交点的坐标是####%
"(# 一次函数"#"+
$ &!#$"+为常数# 的图象经过第###象限!
&!已知一次函数"#+$%+"+为常数#$若"随$的增大而减小$那么$这个函数
图象经过哪几个象限&
'!某一次函数的图象不经过第二象限$请写出一个符合条件的函数表达式!
(!已知一次函数"#-$&,与"#-,$"-$ ,为常数$且-, " '#$在同一平面直
角坐标系中的图象可能是"###!
# #")##
#"*##
#"+##
#",#
)!直线"#%$$&%经过怎样的平移能得到直线"#%$$%%&
!*!小柔到一环湖公园晨跑锻炼$她沿环湖跑道"环形#运动$一圈跑道的总长
为!' "!$先以!' "!&%的速度匀速跑了) "!$接着开始放慢速度$匀速跑了
%' !-.后第一次回到起点处$然后她又以放慢后速度的一半步行了%' !-.
完成锻炼!
"!# 求小柔在锻炼期间所行的路程6"单位!"!#与时间1"单位!!-.#之间的
函数表达式%
"$# 画出上述函数的图象%
"%# 小柔在锻炼期间步行了多少千米&
!!!设"是$的一次函数$当$#!时$"#!%当$#$时$"#(!
"!# 写出"与$之间的函数表达式%
"$# 当$#'时$求"的值%
"%# 当"#!'时$求$的值!
!"#"$一次函数$!'
!"!"!# 已知一次函数"#+$&,"+$ ,为常数# 的图象与直线"#%$$平行$与
"轴交于点"'$ %%#!求+与,的值!
"$# 已知直线"#+$&,"+$ , 为常数# 经过点"*($ ,#$与$轴交于点
"&$ '#!求+与,的值$并画出这条直线!
!#!若"与$%!成正比例$且$#$时$"#%$求"与$之间的函数表达式!
!$!某一次函数的图象过点"*!$ $#$且函数"的值随$的增大而减小!请写出
一个符合上述条件的函数表达式!
!%!正比例函数"#$$与一次函数"#%%$&+"+为常数# 的图象交于点
."!$ '#!求!#
"!# +的值%
"$# 此正比例函数)一次函数的图象与$轴围成的三角形面积!
!&!填空!
"!# 一元一次不等式%$&$ 0'的解集$可看作一次函数"#%$&$当"
####时$$的取值范围%
"$# 如果一元一次方程$$&'#'的解是$#%!$那么一次函数"#$$&'
的图象与$轴交点的坐标为####!
!'!画出函数"#%$$&%的图象$并结合图象求!
"!# 方程%$$&% #'的解%
"$# 不等式%$$&% 0'的解集%
"%# 不等式组%% #%$$&% # "的解集!
!(!已知一次函数"#"%'%-#$&! %'"'为常数# 的图象与"轴的负半轴相
交$"随$的增大而减小$且'为整数!
"!# 求'的值%
"$# 当$在什么范围时$' 0"0(&
!($ 第!"章$函数与一次函数
12
12.3
一次函数与
二元一次方程
##我们研究了一次函数与一元一次方程&一元一次不等式的关系!虽然利用
函数图象来解方程或不等式未必简便!但是!这种数形结合的思想方法对学习数
学是极为重要的!
下面!我们来研究一次函数与二元一次方程的联系!
我们知道!二元一次方程%$&$"#) 可以转化成一次函数的形式% "#
%%
$ $&%!对于这个函数!任意给出自变量$的一些值!可以求得对应的"值!
列表如下%
!
(
*%
*$
*!
'
!
$
%
(
"#$ #
" ! %#
(
"+&
)
(+&
%
!+&
'
*!+&
(
图!$ !(
##表中每一对$! "的值代入方程%$&$"#)都成
立!所以每组有序数对都是方程%$&$"#)的解!
可见!二元一次方程%$&$"#)有无数多组解!解
的全体叫作该二元一次方程的解集!以这些有序数对
为坐标!在坐标平面内描点作图#图!$
!($!得到一条
直线!这条直线就是一次函数"#%%
$ $&%的图象!
一般地!一个二元一次方程可以转化成一次函数
"#+$&, #+! ,为常数!且+" '$ 的形式!所以每个
二元一次方程都对应一个一次函数!也对应一条直线!这条直线上每个点的坐
标#$! "$都是这个二元一次方程的解"同样地!以这个二元一次方程的解为坐标
的点也都在这条直线上!
!"#%$一次函数与二元一次方程$!)
练习
!!在平面直角坐标系中$画出下列二元一次方程所对应的直线!
"!# $%"#'%###### "$# $&"#'!
"!"!# 下面的有序数对中$哪些是二元一次方程%$&"#)的解&
("$$ '#$ )"%$ *%#$ 4"&$ *,#$ 5")$ *!'#$ 7"*$$ !'#$ 8"*%$ !&#!
"$# 写出二元一次方程%$&"#)任意五组整数解!
#!&角)!元的硬币各有若干个$从这些硬币中取出一些凑成(元!问有多
少种不同的取法&
前面我们学习了一次函数与二元一次方程间的对应关系!那么!我们是否可
以利用一次函数图象来解二元一次方程组呢'
!!
例1 ##!$ 在同一平面直角坐标系中!画出直线9
!% "#%!
$ $&!与直线
9
$% "#$$&)"
#$$ 如果直线9
! 与9
$ 交于点.!写出点.的坐标"
图!$ !&
#%$ 说明点.的坐标是否为下面方程组的解!
$&$"#$!
$$%"#%)!
解##!$ 图象如图!$
!&所示!
#$$ 由图!$
!& 可知!直线9
! 与9
$ 交于点.!
点.的坐标为#*$! $$!
#%$ 方程$&$"#$ 可以转化成一次函数
"#%!
$
$&!的形式!因此!直线9
!% "#%!
$
$&!上任
%*$ 第!"章$函数与一次函数
12
意一点的坐标都是方程$&$"#$的解!同理!得直线9
$上任意一点的坐标都是
方程$$%"#%)的解!所以直线9
!与9
$的交点.的坐标是方程$&$"#$与$$%
"#%)的公共解!也就是说!点.的坐标是二元一次方程组
$&$"#$!
$$%"#%)的解!
!!
例2 #利用函数图象解方程组%
&$%$"#(!
!'$%("#-!
!
"
解#对于方程!!有
图!$ !)
!
(
'
$
(
"
(
*$
%
(
##过点(#'! *$$和)#$! %$画出方程!所对应的
直线9% "#&
$
$%$!同样地!点(# '! *$$ 和
)#$! %$也在方程"所对应的直线上!所以方程
!和方程"所对应的直线都是经过(和)两点的直
线9!如图!$
!)!就是说!这两条直线重合!
显然!直线9上每一个点的坐标都是方程组的解!所以方程组有无穷多组解!
!!
例3 #利用函数图象解方程组%
图!$ !"
%$&$"#%$!
)$&("#(!
解#方程%$&$"#%$ 对应直线9
!% "#
%%
$ $%!!#
方程)$&("#(对应直线9
$% "#%%
$ $&!!
作出直线9
! 和直线9
$!如图!$
!"!两条直
线平行!故方程组无解!
!"#%$一次函数与二元一次方程$%"
思考
上述例题直观地说明二元一次方程组的解有三种情况!当把二元一
次方程组化为
-!$&,!"#:
!"
-$$&,$"#:
$
#其中-!" -$" ,!" ,$" :
!" :
$ 为常数$的形
式后"比较每个例题里两个方程中$的系数之比&"的系数之比以及常数
项之比"你发现了怎样的规律'
练习
!!既不解方程组也不画图$你能判断下列方程组的解的情况吗&
"!#
%$&&"#-$
$$%%"#"%
####### "$#
"#$$%%$
($%$"#)%
"%#
%$%("#&$
)$%-"#!$%
####
"(#
$$&%"#&$
"#$!
!!
例4 #某单位想在节假日期间组织职工到外地/处旅游!当地有甲&乙
两家旅行社!它们服务质量基本相同!到/地旅游的价格都是每人!''元!经联
系协商!甲旅行社表示可给予每位游客-折优惠"乙旅行社表示单位先交! '''
元后!给予每位游客)折优惠!该单位应选择哪家旅行社!使其支付的旅游总费
用较少'
分析! 假设该单位参加旅游人数为$"按甲旅行社的优惠条件"应付费用为
-'$元%按乙旅行社的优惠条件"应付费用为#)'$&! '''$ 元!问题变为比较
-'$与)'$&! '''的大小!
%#$ 第!"章$函数与一次函数
12
##解#设该单位参加旅游人数为$#其中$*'!且为正整数$!旅游总费用为
"元!那么选择甲旅行社!应付-'$元"选择乙旅行社!应付#)'$&! '''$ 元!
记"
! #-'$! "
$ #)'$&! '''!
方法一#在同一平面直角坐标系中!作出两个函数的图象#图!$
!-$!"
!
与"
$ 的图象交于点#&'! ( '''$!
图!$ !-
####
图!$ !,
观察图!$
!-!可得%
! 当人数为&'时!选择甲或乙旅行社费用一样"
" 当人数为!.(,时!选择甲旅行社费用较少"
# 当人数为&'以上时!选择乙旅行社费用较少!
方法二#设选择甲&乙旅行社所需费用之差为"元!
则"#"
! %"
$ #-'$%#)'$&! '''$ #$'$%! '''!
画一次函数"#$'$%! '''的图象!如图!$
!,!它与$轴的交点为#&'! '$!
由图!$
!,可知%
! 当$#&'时!"#'!即"
! #"
$!选择甲或乙旅行社费用一样"
" 当$*&'时!"*'!即"
! *"
$!选择乙旅行社费用较少"
# 当' 0$0&'时!"0'!即"
! 0"
$!选择甲旅行社费用较少!
!"#%$一次函数与二元一次方程$%$
练习
!!某厂月产手套的总成本"元与月产量$副之间的函数表达式为
"#&$&(' '''$而手套的出厂价格为每副!'元$该厂至少应月产手套
多少副才能不亏本&
"!某单位准备在甲)乙两个出租车公司中选择签订月租车合同!设汽车每
月行驶的里程为$"!$甲公司的月租费是"
! 元$乙公司的月租费是"
$ 元$
##
"第$题#
"
!$ "
$ 与$之间关系的图象如图所示$观察
图象回答!
"!# 每月行驶的里程在什么范围内时$租乙
公司的车合算&
"$# 每月行驶的里程等于多少时$租这两家
公司车的费用相同&
"%# 如果该单位预计每月行驶的里程为
$ %'' "!$那么这个单位租哪家的车合算&
习题12+3
!!画出二元一次方程$&("# !) 所对应的直线$并根据直线求方程的正整
数解!#
"!利用函数图象解下列二元一次方程组!
"!#
%$%"#"$
$&$"#'%
######## "$#
!
$ $%"#!$
$%$"#$%
"%#
($%"#$$
!
$ "#$$&!%
#
"(#
($%%"%, #'$
$%$"%! #'!
%!$ 第!"章$函数与一次函数
12
#!在同一平面直角坐标系中$画出直线"
! #%$&(和"
$ #$$%&!根据图象!
"!# 求两条直线交点的坐标%
"$# 确定$分别取什么值时$ "
! #"
$$ "
! *"
$$ "
! 0"
$&
$!利用函数图象$求不等式%$%! *$$&%的解集!
%!某气象台预报了当地某日'时至-时的气温"随时间$变化的情况$如图所
示$其中'时至&时$气温匀速下降%&时至-时$气温匀速上升!该地区该日
'时至-时期间$气温不超过' 0的时间有多长& 在什么时间气温是' 0&
1
2
3
4
1
1
2
2
3
3
4
5
5
6
7
8
9
O
y/℃
x/
"第&题#
&!声音在空气中传播的速度"称为声速#"!&'是气温$0的一次函数!下表列
出了不同气温时的声速!
! &+
'
&
!'
!&
$'
"&,·-
.!
%%!
%%(
%%"
%('
%(%
"!# 求"与$之间的函数表达式$并画出图象%
"$# 气温为$$ 0时$某人在看到烟花燃烧& '后才听到声响$那么此人与烟花
所在地相距多远&
!"#%$一次函数与二元一次方程$%%
小结·评价
##一! 知识体系̬
ܩ݃
="
A"
A ᕓB̺
/ȟ̹
0ᐻ+ڟ2
Ꮐ*
?"
ܩ
=."
##二! 回顾与思考
!!函数
!!" 在一个变化过程中有两个变量$# "#如果对于$在它允许取值范围
内的每一个值#"都有####的值与它对应#那么就说"是$的函数#其中
$是####!函数常用的表示方法有####$####$####%
!$" 给定函数表达式#画出该函数图象的一般步骤是什么&
$!一次函数
!!" 什么是正比例函数& 什么是一次函数& 它们之间有什么联系&
它们的图象是什么&
!$" 一次函数的函数值"以及图象随$的增大分别有什么变化规律&
!%" 确定一次函数的表达式需要几个条件& 你能分别从数和形的角
度解释其原因吗&
%!一次函数与方程$不等式之间的关系
!!" 解关于$的方程+$&, #'!+# , 为常数#且+" '" 可转化为求一
次函数"#+$&,!+# , 为常数#且+" '" 中取"#### 时$的值%
%&$ 第!"章$函数与一次函数
12
##!$" 解关于$的不等式+$&, *'!+# , 为常数#且+" '" 可转化为求
一次函数"#+$&,!+# , 为常数#且+" '" 中取"#### 时$的取值范
围!解关于$的不等式+$&, 0'!+# , 为常数#且+" '" 呢&
!%" 一般地#一个二元一次方程可以转化成"#+$&,!+# , 为常数#且
+" '" 的形式#所以每个二元一次方程都对应一个一次函数#也对应一条
####!你能利用一次函数的图象解二元一次方程组吗&
##三! 自评与互评
!!函数关系是两个变量之间的一种对应关系!你能举出几个构成函
数关系的例子吗&
$!请你与同学各自编制一道利用一次函数进行决策的实际应用题#并
相互解决这些应用题!
复习题
$组
!!求下列函数中自变量$的取值范围!
"!# "#! %$%########### "$# "#$"$%!#
$%
"%# "# !
$&!% ##
"(# "# $槡
$ !
"第$题#
"!小李某天上午,!''骑自行车离开家$!&!''
回到家!如图$图象描述了他离家的路程;
与时间1的变化关系!
"!# !'!''和!%!''时$他分别离家多远&
"$# 他何时开始到达离家最远的地方& 离
家多远&
"%# !!!''到!$!''他骑行了多少千米&
小结!评价$%'
"(# 他在哪些时段休息了&
"&# 他返程回到家的平均速度是多少&
#!已知一次函数"#"'%$#$&% %'"'为常数#!求'分别为何值时$下列各
结论成立!
"!# "随$的增大而减小%
"$# 函数的图象经过原点%
"%# 函数的图象不经过第三象限!
$!有一个一次函数的图象$甲)乙两位同学分别说出了它的一些特点!
甲! "随$的增大而减小%
乙! 当$0$时$"1' !
请你写出同时满足甲)乙两位同学要求的一个一次函数表达式!
%!*复兴号+动车是我国具有完全自主知识产权)达到世界先进水平的中国标准动
车组!假设某*复兴号+动车组列车从)站驶出& "!到达*处后$以%&' "!&%
的速度匀速前进!设该列车离开*处1%$其离)站的路程为;"!!
"!# 求;与1之间的函数表达式%
"$# 填写下列表格!
'&/
'
!
$
%
(&0,
! ('&
! "&&
$ !'&
"%# 画出;关于1的函数图象!
%($ 第!"章$函数与一次函数
12
*复兴号+动车组列车
&!为了保护学生的视力$课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的!研究
表明! 假设课桌的高度为"1!$椅子的高度"不含靠背#为$1!$则"是$的
一次函数!下表列出两套符合条件的课桌椅的高度!
第一套
第二套
$<1!
('+'
%"+'
"<1!
"&+'
"'+$
"!# 试确定"与$之间的函数表达式"不要求写出$的取值范围#%
"$# 现有一把高($+' 1!的椅子和一张高"-+$ 1!的课桌$它们是否配套&
请说明理由!
'!选择!
"!# 下列各点中$在直线"#$$%&上的点是"###!
")# "*$$ !#
"*# "$$ *!#
"+# "*!$ $#
",# "!$ $#
"$# 点("*&$ "
!#$ )"*$$ "
$#都在直线"#%!
$ $上$则"
! 与"
$ 之间的大小关
系是"###!
")# "
! #"
$
"*# "
! *"
$
"+# "
! 0"
$
",# 不能确定
"%# 函数"#%$与"#$$%!的图象的交点在"###!
")# 第一象限
"*# 第二象限
"+# 第三象限
",# 第四象限
(!已知函数"#%$$&%$结合图象!
"!# 求不等式%$$&% *'和不等式%$$&% #%$的解集%
"$# 当$$ !时$求"的取值范围!
)!填空!
"!# 直线"#%$$&)与$轴交点的横坐标是####$与"轴交点的纵坐
标是####%
"$# 函数"#$$&($如果%$ # "# $$那么$的取值范围是####%
"%# 已知直线"#-$&""-为常数# 与直线"#%$$&!交于$轴上一点$则
-/####!#
小结!评价$%)
!*!直线"
! #%$&!与直线"
$ #$$%$交于点.$它们与"轴分别交于点($)!
"!# 在同一平面直角坐标系中$画出这两条直线%
"$# $分别为何值时$ "
! *"
$$"
! #"
$$"
! 0"
$&
"%# 求三角形().的面积!
"第!!题#
!!!甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路
线由)地向*地行进$两地之间的
距离是)' "!$他们行驶的路程
""!与时间$%的函数关系如图所
示!请根据图象回答!
"!# 甲和乙的速度分别是多少&
"$# 两人相遇的时候$距*地还有
多远&
"%# 乙比甲晚多久出发$又早到多久&
复习题
%组
!!在同一平面直角坐标系中$画出直线%$%"%$ #'和直线$$%"&% #'!利
用图象求!
"!# 方程%$%$ #$$&%的解%
"$# 方程组
%$%"%$ #'$
$$%"&% #' 的解%
"%# 不等式%$%$ *$$&%的解集!
"!已知直线$%$"#%+&)和直线$&%"#(+&!$其中+为常数$如果两直线
的交点在第四象限内$求+的取值范围!
#!两个一次函数表达式写成如下形式$直线9
!! "#+
!$&,!$直线9
$! "#+
$$&
,$!问当+
!$ +
$$ ,!$ ,$ 分别有何关系时$直线9
! 与9
$ 相交)平行)重合&
&*$ 第!"章$函数与一次函数
12
$!在同一平面直角坐标系中$分别画出下列每小题中的两条直线$并指出它们
的位置有怎样的关系&
"!# "#$$ "#%$% #########"$# "#!
$ $$ "#%$$!
%!若某种产品在市场上的供给量=!"单位! 万件#与价格>"单位! 万元#之间的
关系为> %(=! %& #'$需求量=$"单位! 万件#与价格>"单位! 万元#之间的
关系为> &=$ %$& #'$试求达到市场的供需平衡点"即供给量和需求量相等
的点#时该产品的价格!
&!一个车间有$'名工人$每名工人每天可制造甲种零件)个或乙种零件&个$每
制造一个甲种零件可获利润!&'元$每制造一个乙种零件可获利润$)'元!在这
$'名工人中$车间每天安排$名工人制造甲种零件$其余人去制造乙种零件!
"!# 写出此车间每天所获利润"元与$名工人之间的函数表达式%
"$# 如果要车间每天所获利润不低于$( '''元$至少应安排多少工人去制造
乙种零件&
复习题
&组
!!潜水员在深海中潜水时所受的压强随着潜水深度的增加而增加!现经过&次
测量$得到测量值如下表!
水深) &,
'
!'
$&
('
&&
"&
压强* &12
'
!+!2!'
&
$+)2!'
&
(+$2!'
&
&+-2!'
&
"+,2!'
&
"!# 在平面直角坐标系内$描出各组有序数对"?$ >#所对应的点%
"$# 压强>"单位!23#与水深?"单位!!#间的关系$可用哪种函数关系去模拟&
"%# 如果一名潜水员所能承受的最大压强为,+(2!'
& 23$根据模拟的函数关
系$判断他能否在水下,' !处作业$并说明理由!
小结!评价$&"
"!某加工厂生产甲)乙两种产品$主要原料都是)和*$生产两种产品的原料用
量和所需时间如下表所示!
产品
原料3的用量405
原料6的用量405
所需时间&/
甲
%
$
%
乙
$
(
(
已知该厂加工产品每小时的费用为$' 元$产品成品质量为两种原料质量之
和!原料)$ *进价分别为!$ 元<"#$!) 元<"#$甲种产品售价为$元<"# !
"假设其他成本忽略不计$利润/销售收入*原料成本*加工产品的费用#
"!# 写出该厂!$ %生产甲种产品的利润"元与$元<"#的函数表达式%
"$# 若!"('$要使!$ %生产乙种产品获得的利润不少于!$ %生产甲种产品
获得的利润$则乙种产品的售价至少是多少&
#!已知部分鞋子的型号与鞋子长度之间存在一种换算关系$如下表!
型号&码
$'
%)
($
长度&7,
!&
$%
$)
"!# 通过画图)观察$猜想这种换算关系可用哪种函数关系去模拟%
"$# 设鞋子的型号为$码$长度为"1!$根据模拟的函数关系$写出"与$之
间的函数表达式%
"%# 小明的鞋子长度是$(+& 1!$根据模拟的函数关系$那么他的鞋多大码&
"第(题#
$!观察函数图象$根据你所获得的信息回答问题!
"!# 折线@()表示某个实际问题的函数图象$请你给
它配上一个合适的情境%
"$# 根据"!#中的情境$求出图象所表示的函数表达
式$分别指出$轴)"轴所表示的意义$并注明自变
量$的取值范围!
&#$ 第!"章$函数与一次函数
12
第13章
三角形中的
边角关系、
命题与证明
生活中处处都有三角形形状的建筑和机械结构#如
房屋的顶梁$桥梁的组件$自行车的支架等#这与三角形
的性质有关. 三角形是由线段围成的最简单的封闭图
形#是研究多边形的基础.
本章我们将进一步学习三角形中的边角关系，还
将结合三角形的相关知识，学习如何通过推理得到数
学结论.
$ $&$
##中国香港中银大厦
13.1
三角形中的边角关系
1. 三角形中边的关系
图!% !
像图!%
!那样!由不在同一条直线上的三条线
段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形!点
(! )! 4叫作这个三角形的顶点"线段()! )4! 4(
叫作这个三角形的边"%(! %)! %4叫作这个三角
形的内角!简称三角形的角!
我们把顶点为(! )! 4的三角形记作)!()4*!
读作)三角形()4*!
三角形的边有时用它所对角的相应小写字母表示!如% 边)4对着%(!则边
)4记作- !类似地!边4(记作,"边()记作:!
三角形中!三条边互不相等的三角形叫作不等边三角形!有两条边相等的三
角形叫作等腰三角形!三条边都相等的三角形叫作等边三角形!又叫作正三角
形!如图!%
$ !
图!% $
在等腰三角形中!相等的两边叫作腰!剩余的一边叫作底边!两腰的夹角叫
作顶角!腰与底边的夹角叫作底角!
等边三角形是特殊的等腰三角形!即底边和腰相等的等腰三角形!
&!$ 第!%章$三角形中的边角关系"命题与证明
三角形按边
长关系分类"也
可表示为!
三角形按边长关系!可分为%
三角形不等边三角形
等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
思考
在一个三角形中"任意两边之和与第三边的
大小关系如何' 你判断的根据是什么'
在!()4中!如果把它的任意两个顶点!例如!将)! 4看作定点!则由)两
点之间的所有连线中!线段最短*!可以得到()&(4 *)4!
同理!得(4&)4 *()! ()&)4 *(4!
一般地!三角形中任意两边的和大于第三边+
根据不等式性质!可以得到三角形中任意两边的差小于第三边+
!!
例1 #等腰三角形的周长为!- 1!!
#!$ 如果腰长是底边长的$倍!求各边长"
#$$ 如果一边长为( 1!!求另两边长!
解##!$ 设等腰三角形的底边长为$1!!则腰长为$$1!!
根据题意!得$&$$&$$#!-!
解方程!得$#%+)!
所以该三角形的三边长为%+) 1!! "+$ 1!! "+$ 1!!
#$$ ! 若等腰三角形的底边长为( 1!!设腰长为"1!!
根据题意!得$"&( #!-!
解方程!得"#"!
" 若等腰三角形的腰长为( 1!!设底边长为A1!!
!%#!$三角形中的边角关系$&%
根据题意!得$ /( &A#!-!
解方程!得A#!'!
由于( &( 0 !'! 可知以( 1!为腰长不能构成周长为!- 1!的等腰
三角形!
所以该三角形的另两边长都是" 1!!
"第!题#
练习
!!如图$5是!()4中)4边上一点$连接(5$图中
有##个三角形$它们分别是#### ####!
"!判断! 用下列长度的三条线段能否组成一个三
角形!#
"!# ( 1!$ " 1!$ $ 1!%##"$# % 1!$ $ 1!$ ! 1!%
"%# !' 1!$ ( 1!$ ) 1!%
"(# & 1!$ ) 1!$ !& 1!!
#!以长( 1!的线段为底边构造一个等腰三角形$这个三角形的腰长应满
足什么条件&
2. 三角形中角的关系
在一个三角形中!三个内角之间有什么关系'
在小学!我们曾用折叠#图!%
%$&剪拼#图!%
($或用量角器度量的方法
研究过这个问题!你还记得有什么结论吗'
图!% %
####
图!% (
&&$ 第!%章$三角形中的边角关系"命题与证明
13
本结论将在
!%+$ 节中给出严
格证明!
可得到结论%三角形的内角和等于!(*8+
三角形中!三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角
形!有一个角是直角的三角形叫作直角三角形!有一个角
是钝角的三角形叫作钝角三角形!如图!%
& !
图!% &
直角三角形中!夹直角的两边叫作直角边!直角所对的边叫作斜边!直角三
角形()4可以记作)45!()4*!
三角形按角的大小!可分为%
三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
图!% )
!!
例2 #如图!%
)!在!()4中! )5& (4!垂足为点
5!%()5#&(6! %5)4#!-6!求%(和%4的度数!
解#因为)5& (4!
所以%(5)#%45)#,'6!
在!()5中!%(&%()5&%(5)#!-'6!
#三角形的内角和等于!-'6$
又因为%()5#&(6! %(5)#,'6!
所以%(#!-'6%%()5%%(5)
#!-'6%&(6%,'6
#%)6!
同理!得%4#!-'6%%5)4%%45)
#!-'6%!-6%,'6#"$6!
!%#!$三角形中的边角关系$&'
练习
!!在!()4中$
"!# 若%(7%)7%4#% 7( 7&$则%4#####%
"$# 若%(#!'&6$ %)%%4#!&6$则%4#####!
"!如图$ %(4)#,'6$ 45& ()$垂足是点5!#
"!# 写出图中所有直角三角形$并指出它们的斜边%
"$# 写出图中所有相等的锐角!
"第$题#
#####
"第%题#
#!如图$在!()4中$ (5& )4$垂足是点5$ %)#"'6$ %)(4#()6!
求%4(5的度数!
$!三角形的三个内角中$最多只有一个直角或钝角$为什么&
3. 三角形中几条重要线段
三条边&三个角是三角形的基本元素!此外!三角形中还有如下一些重要
线段!#
从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线!
也叫作三角形的高!
三角形中!一个角的平分线与这个角对边相交!顶点与交点之间的线段叫作
三角形的角平分线!如图!%
"!在!()4中! %! #%$!线段(5就是!()4
的一条角平分线!
&($ 第!%章$三角形中的边角关系"命题与证明
13
图!% "
#####
图!% -
三角形中!连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线!如图
!%
-!在!()4中!点7是)4的中点!线段(7就是!()4的一条中线!
操作
!!如图!%
,"在几何绘图软件中任意画一个!()4"并画出其三
边上的高"三条高所在直线是否交于同一点'
图!% ,
!%#!$三角形中的边角关系$&)
$!如图!%
!'"分别画出锐角三角形&直角三角形和钝角三角形的
三条高"并观察三条高所在直线的交点位置有什么不同'
#!$ 锐角三角形
##
#$$ 直角三角形
##
#%$ 钝角三角形
图!% !'
%!任意画一个三角形"画出三角形的三条角平分线"它们是否交于
同一点'
(!任意画一个三角形"画出三边上的中线"它们是否交于同一点'
上面操作中!三角形三条中线交于一点!这个交点就是三角形的重心!
练习
!!填空!
"!# 如果(5是!()4的高$那么%)5(/####%
"$# 如果)7是!()4的角平分线$那么%()7/%###/!
$ %####%
"%# 如果4B是!()4的中线$那么!(4B的面积####!)4B的
面积"填*0+*1+或* /+#!
'*$ 第!%章$三角形中的边角关系"命题与证明
13
"第$题#
"!如图$在!()4中$ ()#(4$画出底边)4上的中线
(5)高(C和!()4的角平分线(B!那么(5$ (C$
(B有什么关系&
#!下列各图中$(5是不是!()4中边)4上的高& 如
果不是$请你画出!()4中边)4上的高!
#!$
# ##
#$$
# ##
#%$
"第%题#
习题13+1
!!填空!
"!# 等腰三角形的一条边长为% 1!$另一条边长为& 1!$则它的周长是
####1!%
"$# 等腰三角形的一条边长为$ 1!$另一条边长为& 1!$则它的周长是
####1!!
"!分别满足下列条件的!()4是锐角三角形)直角三角形还是钝角三角形&
"!# %(#%)#%4%
"$# %(&%)#%4%
"%# %(#%)#%'6%#
"(# %(#!
$ %)#!
% %4!
!%#!$三角形中的边角关系$'"
#!填空!
"!# 在!()4中$ %)&%4#$%($ %)7%(#& 7%$则%(####$
A
B
C
D
"第(题#
%4####%
"$# 在!()4中$ %)#%4#$%($则%4/###!
$!如图$)5是!()4的中线!()#& 1!$ )4#% 1!$
那么!()5与!4)5的周长的差是多少&
%!在!()4中$%(比%)大!'6$%4比%(大!'6!
求!()4中各角的度数!
&!在!()4中$%)(4的平分线交)4于点5$ %)#)&6$
%4#&'6!求%(5)的度数!
'!在!()4中$ ()# &$ )4# $- &!$ (4# !$$其中-为常数!求-的取值
范围!
'#$ 第!%章$三角形中的边角关系"命题与证明
13
#########重庆市璧山区文化馆
13.2 命题与证明
在研究数学问题时!首先需要明确界定数学研究对象!如)由不在同一条直
线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形*)三角形中!一个
角的平分线与这个角对边相交!顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分
线*!这些分别是三角形和三角形角平分线的定义!七年级时!我们还学过有理
数的定义!前两个定义揭示了对象的特征性质!有理数的定义明确了所指对象
的范围!像这样!能明确界定某个对象含义的语句叫作定义!
前面!已经学习了一些几何图形的性质!在认识这些性质时!使用了观察&
操作和实验等方法!并对它们进行说理&解释!
研究几何图形!如果仅限于观察&操作和实验等方法!难以使人确信结果的
正确性!比如上一节研究三角形性质时!通过折叠&剪拼或度量得到三角形三个
图!% !!
内角的和是!-'6#图!%
!!是剪拼$!
对于上面的结果!也许有同学提出疑问%
! 在剪拼时!发现三个内角难以拼成一个平角!
只是接近!-'6的某个值"
" 度量三个角!然后相加!有的接近!",6!有的
接近!-!6!不是都得!-'6!
显然!通过观察&操作和实验等方法得出的结果不一定完全正确!因此!学习
几何需要观察和实验!同时也需要学会推理!从这一节起!我们将系统学习用逻
辑推理的方法!对几何中的结论进行论证!
推理是一种思维活动!人们在思维活动中!常要对事物的情况作出种种判
断!例如%
#!$ 北京是中华人民共和国的首都"
#$$ 如果%!与%$是对顶角!那么%!/%$"
#%$ ! &! 0$"
!%#"$命题与证明$'$
###($ 如果一个整数的各个位上的数字之和是% 的倍数!那么这个数能被%
整除!
我们可以对上述语句作出判断!
像这样!可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题!上面命题#!$ #$$
#($经判断是正确的!这样的命题我们称之为真命题!命题#%$经判断是错误
的!这样的命题我们称之为假命题!
如果一个语句不能判断真假!那么它就不是命题!例如%
#!$ 你的作业做完了吗'
#$$ 欢迎前来参观+
#%$ 以点@为圆心&% 1!长为半径画弧!
命题通常由条件和结论两部分组成!常写成)如果((那么((*的
形式!#
以)如果((那么((*为关联词的命题的一般形式是)如果>!那么=*!或
者说成)若>!则=*!其中> 是这个命题的条件#或题设$!= 是这个命题的结论
#或题断$!有时为了叙述简便!也可以省略关联词)如果*和)那么* !如%命题
)如果两个角是对顶角!那么这两个角相等*可以写成)对顶角相等*!
将命题)如果>!那么=*中的条件与结论互换!便得到一个新命题)如果=!
那么>*!我们把这样的两个命题称为互逆命题!其中一个叫作原命题!另一个就
叫作原命题的逆命题!
图!% !$
当一个命题是真命题时!它的逆命题不一定是真命
题!例如!)如果%! 与%$ 是对顶角!那么%! /%$*是
真命题!但它的逆命题)如果%! /%$!那么%!与%$是
对顶角*却是假命题!怎样说明这个命题是假命题' 只
要举出一个例子即可!如图!%
!$!画出%(@)的角平
分线@4后!可得%! /%$!显然!这里%!与%$不是对
顶角!
像这种符合命题条件!但不满足命题结论的例子!我们称之为反例!要说明
一个命题是假命题!只要举出一个反例即可!
'!$ 第!%章$三角形中的边角关系"命题与证明
13
!!
例1 #指出下列命题的条件与结论%
#!$ 如果%(#%)!那么%(的补角与%)的补角相等"
#$$ 两条直线都平行于同一条直线!这两条直线平行!
解##!$ )%(/%)*是条件!)%(的补角与%)的补角相等*是结论!
#$$ )两条直线都平行于同一条直线*是条件!)这两条直线平行*是结论!
!!
例2 #写出下列命题的逆命题!并判断所得逆命题的真假!如果是假命
题!请举一个反例!
#!$ 内错角相等!两直线平行"
#$$ 如果- #'!那么-, #'!
解##!$ 逆命题是)两直线平行!内错角相等*!是真命题!
#$$ 逆命题是)如果-, #'!那么- #'*!是假命题!
反例% 当- #!! , #'时!-, #'!而- " '!
练习
!!列举$个本章学过的定义!
"!把下列命题改写成*如果>$那么=+的形式!
"!# 两条直线相交$只有一个交点%
"$# 直线()&直线45$交点为@$有%(@4#,'6%
"%# 两直线平行$同位角相等%
"(# 互为相反数的两个数和为' !
#!判断下列命题是真命题还是假命题$如果是假命题$请举一个反例!
"!# 若D- D#D, D$则- #,%
"$# 如果-, *'$那么-$ ,都是正数%
"%# 两直线平行$同旁内角互补%
"(# 两条直线与第三条直线相交$同位角相等!
!%#"$命题与证明$'%
$!写出下列命题的逆命题$并判断逆命题的真假!
"!# 如果- #,$那么-
$ #,
$%
"$# 同位角相等$两直线平行!
论证几何!源于希腊数学家欧几里得#891:-;!约前%%',前$"&$的-原本.!
这部著作确立了数学中公理化的演绎范式!这种范式要求学科中每个真命题必
须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论!而所有推理的原始共同出发点是
一些定义和基本事实!
有些命题!如%)对顶角相等*)同角的补角相等*等!是从基本事实或其他真
命题出发!用推理方法判断为正确的!并被选作判断命题真假的依据!这样的真
命题叫作定理!
从已知条件出发!依据定义&基本事实&定理!并按照逻辑规则!推导出结论!
这一方法称为演绎推理#或演绎法$!演绎推理的过程!就是演绎证明!
下面!通过几个例题来说明证明的具体步骤!
!!
例3 #已知% 如图!%
!%!直线:与直线-! ,相交!且%! #%$!
求证% - ' ,!
图!% !%
符号(3)读作(因
为)"符号(4)读作(所
以)!证明中括号里的
为推理依据!
证明#3#%! #%$!#已知$
又# 3#%! #%%!#对顶角相等$
4#%$ #%%!#等量代换$
4#- ' ,!#同位角相等!两直线平行$
'&$ 第!%章$三角形中的边角关系"命题与证明
13
"第!题#
练习
在下列各题的括号内$填上推理的依据!
!!已知! 如图$点)$ ($ 7在一条直线上$ %! #%)!
求证! %4#%$!
证明#3#%! #%)$"###########
4#(5' )4!"###########
4#%4#%$!"###########
"!已知! 如图$直线78与直线()$ 45相交$ %! #%$!
"第$题#
求证! ()' 45!
证明#3#%! #%$$"###########
又# 3#%$ #%%$"###########
4#%! #%%!"###########
4#()' 45!"###########
图!% !(
!!
例4 #已知% 如图!%
!(! %(@)&%)@4#
!-'6!@7平分%(@)! @8平分%)@4!
求证% @7& @8!
分析! 要证明@7& @8"只要计算出%! &%$ #,'6
即可!
证明#3#@7平分%(@)! @8平分%)@4!#已知$
4#%! #!
$ %(@)! %$ #!
$ %)@4!#角平分线的定义$
又# 3#%(@)&%)@4#!-'6!#已知$
4#%! &%$ #!
$ #%(@)&%)@4$ #,'6!#等式性质$
4#@7& @8!#垂直的定义$
!%#"$命题与证明$''
练习
A
B
C
D
"第!题#
!!在括号内填上推理的依据!
已知! 如图$ ()' 54$ (5' )4!
求证! %(#%4!
证明#3#()' 54$"#######
4#%(&%5#!-'6!"##########
3#(5' )4$"#######
4#%4&%5#!-'6!"##########
4#%(&%5#%4&%5!"#######
4#%(#%4!"#######
"!补充完成下列证明$并填上推理的依据!
"第$题#
已知! 如图$ 54' ()$ 58平分%45)$ )7
平分%()5!
求证! %! #%$!
证明#3# 54' ()$"#######
4# %()5#%45)!
"#############
又# 3# 58平分%45)$ )7平分%()5$"#######
4# %! #!
$ %###$ %$ #!
$ %###!"#######
4#%! #%$!"#######
##在证明命题时!要分清命题的条件和结论!如果问题与图形有关!首先!根
据条件画出图形"再结合图形!写出已知&求证"然后!分析题意!找出证明途径"
最后有条理地写出证明过程!
'($ 第!%章$三角形中的边角关系"命题与证明
13
下面!就来证明三角形内角和定理% 三角形的内角和等于!(*8+
已知! 如图!%
!&!!()4!
求证! %(&%)&%4#!-'6!
图!% !&
分析! 以前我们通过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角"这不是证
明"但它却给了我们启发!现在我们通过作图来实现这种转化"给出证明!
证明#如图!%
!&!延长)4到点5!以点4为顶点& 45为一边作
%$ #%)!则47' )(!#同位角相等!两直线平行$
4#%(#%!!#两直线平行!内错角相等$
3#点)! 4! 5在同一条直线上!#所作$
4#%! &%$ &%(4)#!-'6!#平角的定义$
4#%(&%)&%(4)#%! &%$ &%(4)#!-'6!#等量代换$
辅助线通常
画成虚线!
在上面的证明过程中!为了证明的需要!在原来图形
上添画的线#如45! 47$叫作辅助线!
如果三角形中一个角是,'6!根据三角形内角和定
理!可知另两个角的和应为,'6!于是得%
##推论1#直角三角形的两锐角互余.
像这样!由基本事实&定理直接得出的真命题叫作推论!
根据三角形内角和定理!还可以得到%
##推论2#有两个角互余的三角形是直角三角形.
!%#"$命题与证明$')
"第!题#
练习
!!补充完成下列证明$并填上推理的依据!
已知! 如图$!()4!
求证! %(&%)&%4#!-'6!
证明#过点(作57' )4$
则%5()#####$ %7(4#####!"##### ####
###3#%5()&%)(4&%7(4#####$
###4# %)&%)(4&%4##### &#### &####
#!-'6!"#######
"!补充完成下列证明!
已知! 如图$!()4!
求证! %(&%)&%4#!-'6!
证明#在)4边上取一点5$过点5作57' ()$ 58' (4$分别交(4$
()于点7$ 8!
"第$题#
3#57' ()$
#
#
#
#
图!% !)
在上面证明三角形内角和定理时!曾经如图
!%
!) 那样把!()4的一边)4延长至点5!得到
%(45!像这样!由三角形的一边与另一边的延长线
组成的角!叫作三角形的外角!
(*$ 第!%章$三角形中的边角关系"命题与证明
13
交流
在图!"
!#中!!!"#的外角!!#$与它的内角有怎样的关系"
$$推论3$三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
$$推论4$三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
""
例5 $已知! 如图!"
!%"!!" !&" !"是!!"#的三个外角%
求证! !! &!& &!" '"#'!%
图!" !%
证明$($!! '!!"#&!!#""
!& '!"!#&!!#""
!" '!"!#&!!"#"
#三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和$
)$!! &!& &!" '&#!!"#&!!#"&!"!#$%
$$#等式性质$
($!!"#&!!#"&!"!#'!*'!"
$$#三角形内角和定理$
)$!! &!& &!" '"#'!%
由此可得结论!三角形的外角和为!"#$%
!"#$%命题与证明%!"
练习
%%填空!
"!# 如图$!!"#的边"#在直线$(上$!!+#'!$!!#(+!!'!$则
!!"#+$$$$$ !!+$$$$%$
A
B
C
D
E
1
&第!"!#题'
"&# 在直角三角形中$与直角相邻的外角的度数是$$$$%
&%如图$)是!!"#内任一点$连接")并延长交!#于点$$连接#)$用
不等号(,)或(-)连接!!$ !!$ !&$并说明理由%
"第&题#
习题13.2
%%指出下列命题的条件与结论!
"!# 两条平行线被第三条直线所截$内错角相等%
"&# 直角三角形的两个锐角互余%
""# 两条直线都垂直于同一条直线$这两条直线平行%
!#% 第!"章%三角形中的边角关系!命题与证明
13
&%判断下列命题是真命题还是假命题%如果是假命题$请举出一个反例%
"!# 不等式的两边都乘以同一个数$不等号的方向不变%
"&# 互为补角的两个角的平分线互相垂直%
""# 平行于同一条直线的两条直线平行%
"/# 若* +,$则!
* - !
, %
!%写出下列命题的逆命题$并判断所得逆命题的真假%
"!# 如果两个数互为相反数$那么它们的和为零%
"&# 两个角的和等于平角时$这两个角互为补角%
'%已知! 如图$在四边形!"#$中$ !!&!"'!*'!%
求证! !#&!$'!*'!%
"第/题#
$$$$$$$
"第0题#
(%已知! 如图$在四边形!"#$中$ !"# $#$ !!'!#%$
求证! !$# "#%
"%已知! 如图$ !"# !.".$ "## ".#.$ "#交!.".于点$%
求证! !"'!".%
"第#题#
$$$$$$$$
"第%题#
)%已知! 如图$ !"# !.".$ "## ".#.$ ".#.交!"于点$%
求证! !"&!".'!*'!%
!"#$%命题与证明%!$
数学拓展
梅森素数
一个大于!的正整数!如果除了! 和它本身以外!不能被其他正整数整除!
叫作素数%如&! "! 0! %! !!! !"! !%! # %
!#//年!法国数学家梅森$"#$%#&&#! !0**%!#/*&提出一种快速验证大素
数的方法!这就是计算形如&
/ 0!的数!其中/是素数%他断言!当/ '&! "! 0!
%! !"! !%! !1! "!! #%! !&%! &0%时!这种形式的数都是素数%其中前%个数是他
整理前人的工作得到的!后/个数是他猜测的%后来!人们称这种形式的素数为
梅森素数!并且按照上述/ 的大小顺序依次称第! 个梅森素数'第& 个梅森素
数##$
!%%&年!欧拉$'()#$! !%'%%!%*"&验证了/ '"!的情况!梅森的猜想是正确
的!这是第*个梅森素数%但是!到了!1'"年!事情发生了变化!美国数学家柯尔
$*+)#! !*#!%!1&#&否定了/ '#%时梅森的猜测!他得到&
#% 0! '!1" %'% %&! 1
%#! *"* &0% &*%%
这也告诫人们!没有经过证明的猜想只能是猜想!包括著名的哥德巴赫猜
想!虽然至今为止计算机的计算结果均验证哥德巴赫猜想是正确的%
后来!人们用计算机寻找梅森素数!使超大素数的搜索成为可能%&'!* 年
!&月%日!美国人帕特里克(拉罗什$,-.$/01 2-$+03#&利用改进的互联网梅森素
数大搜索程序!找到了第0!个梅森素数!这个数字是&
*& 0*1 1""2!!是一个&/ *#& '/*
位数!也是到&'!*年为止人们知道的最大素数%有兴趣的同学可以进一步查阅
资料%
!%% 第!"章%三角形中的边角关系!命题与证明
13
小结·评价
$$一! 知识体系
ᠵDᄲ̵
>ᒎܲ
1̵
DJ+ڟ2
ᠵ>ᄲ̵
>ᒎܲ
1
Pȟ>ܲ
3ȟ͙
3
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D+ڟ2
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᱘η
)
ᣔ@
Mܲ
1
ڟ2̵
>ᒎ͙
+
D>ڟ2
, M
ճ M
M
ξE
E M
$$二! 回顾与思考
!.按边或角如何将三角形分类!
&%本章学习了三角形的哪些边"角关系!
"%什么是命题! 如何说明命题的真假!
/%什么叫互逆命题!
0%请写出三角形内角和定理及其四个推论%
#%从已知条件出发#依据$$$$"$$$$"$$$$#并按照
$$$$#推导出结论#这一方法称为演绎推理#是一种常用的证明方法%
对于几何问题的证明#常常需要在图形上添加$$$$%
小结"评价%!&
$$三! 自评与互评
!.数学中有许多定理起源于猜想#经过证明#猜想为真命题时#猜想才
能成为定理%有一些猜想通过找到反例被确定为假命题#也有一些猜想
$如%哥德巴赫猜想&经过数百年无法被证明#也没有找到反例#因而不能确
定其是否正确%有人说#在!!"#所在的平面内任取一点2#则!!"#$
!#"%$!%"!&"#'3# 你赞同吗! 请说出你的理由%请与同学各给出一
个命题#让对方判断命题的真假#并给出理由%
&.一个命题与它的逆命题之间的真假有关联吗! 请举例说明%
复习题
!组
%%判断下列命题是真命题还是假命题%
"!# 三角形三个内角中至少有两个是锐角%
"$$#
"&# 一个角的补角大于这个角本身%
"$$#
&%写出下列命题的逆命题$并判断原命题和它的逆命题是真命题还是假
命题%$
"!# 在平面直角坐标系中$3轴上的点的横坐标为'%
"&# 一个数能被/整除$这个数也能被&整除%
!%填空!
"!# 有/条线段的长度分别是" 04$ % 04$ 1 04和!! 04$选择其中三条线
段作三角形$共可作$$$$种不同的三角形%
"&# 已知等腰三角形的两边长为/ 04和* 04$这个三角形周长是
$$$$04%$
""# 如果!!"#的一个外角等于!/'!$且!"' !#$那么!!+$$$$%
!'% 第!"章%三角形中的边角关系!命题与证明
13
'%已知三角形两边长分别为/和0$第三边长为正整数%求第三边长%
(%在!!"#中$ !!'#/!%
"!# 如图$若!!"#的两个外角平分线")$ #)交于点)$求!)的度数%
"&# 如果")$ #)分别是!"$ !#两内角平分线$求!)的度数%
"第0题#
$$$
"第#题#
$$$
B
A
D
C
"第%题#
"%如图$在!!"#中$ !!"#'##!$ !!#"'0/!$ "($ #4分别是!!"#的边
!#$ !"上的高$它们交于点5%求!!"($ !!#4和!"5#的度数%
)%如图$ !!'""!$ !!"#'*"!$ !#'"'!%求!!$#的度数%
*%已知! 如图$!"与#$交于点2$!!+!#$ !&+!$%
求证! !## $"%
"第*题#
$$$
"第1题#
$$$
"第!'题#
+%如图$在!!"#中$!$平分!"!#交"#于点$$ !($"#$垂足为点(%若
!"+"*!$ !#+%'!%求!$!(的度数%
%#%如图$在!!"#中$若!!'0'!$ !#'#'!$ "$平分!!"#交!#于点$$
$(# "#交!"于点(%求!"$($ !"$#的度数%
小结"评价%!(
%%%已知! 如图$在!!"#中$ !!#"'1'!$ #$为边!"上的高$"(平分
!!"#$且分别交#$$ !#于点4$ (%
求证! !#4('!#(4%
"第!!题#
$$$$$$$$$
"第!&题#
%&%已知! 如图$在!!"#中$ !"'!#$ !$平分!!"#的外角!(!#%
求证! !$# "#%
复习题
"组
%%已知! 如图$直线*$ ,$ 6在同一平面内$ * # 6$ , # 6%
求证! * # ,%
"第!题#
$$$$$$
"第&题#
&%已知! 如图$直线*$ ,$ 6在同一平面内$ * $ 6$ , $ 6%
求证! * # ,%
!!% 第!"章%三角形中的边角关系!命题与证明
13
!%已知! !"# #$%
"!# 如图"!#$点(在!"与#$之间$!!$ !#与!(有什么关系*
"&# 如图"&#$点(在!"与#$之间$!!$ !#与!(有什么关系*
""# 如图""#$点(在!"与#$之外$!!$ !#与!(有什么关系*
#!$
$$$$$
#&$
$$$$$
#"$
"第"题#
复习题
#组
%%"!# 图"!#是五角星形%求!!&!"&!#&!$&!(的度数%
"&# 图"&#是七角星形%求!!&!"&!#&!$&!(&!4&!7的
度数%$
#!$
$$$$$$$$$
#&$
"第!题#
"第&题#
&%已知! 如图$$是!!"#内一点%求证!
"!# !"$# +!!%
"&# !"&!# +$"&$#%
小结"评价%!)
第14章
全等三角形
同一底版印制的两枚邮票#其中的图案能够完全重
合. 你还能找到哪些能完全重合的图案!
假设有一块较大的三角形玻璃摔成了两半#需要去
玻璃店重新配置#若只能选一块碎片带去#你会怎么选
择! 为什么!
+
,
+
,
通过学习本章全等形的概念、全等三角形性质和
判定等，你会获得更多解决问题的方法.
)*% %
浙江杭州钱塘江大桥
14.1 全等三角形及其性质
$$如图!/
!"按同一底版印制的两枚邮票"它们的形状%大小分别相同%你还
能举出一些类似的例子吗&
#!$
$$$$$$$
#&$
图!/ !
能够完全重合的两个图形叫作全等形%
操作
将两张纸重叠!可以剪出两个形状'大小相同的三角形!如图!/
&所示%
#!$
$$$$$$
#&$
图!/ &
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形"也称这两个三角形全等%
全等三角形中互相重合的顶点叫作对应顶点"如图!/
& 中"点!和点$"
点"和点("点#和点4%
记两个三角形全等时"通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上"如!!"#
和!$(4全等"记作!!"#"!$(4"读作'三角形!"#全等于三角形$(4(%
!&#!%全等三角形及其性质%)"
全等三角形中互相重合的边叫作对应边%显然"全等三角形的对应边相等"
即!"'$(" "#'(4" #!'4$#图!/
&$%
全等三角形中互相重合的角叫作对应角%显然"全等三角形的对应角相等!
即!!'!$" !"'!(" !#'!4#图!/
&$%
探究
在几何绘图软件中画出一个!!"#%
$!& 把!!"#沿某一方向平移!得到!$(4)$
$&& 把!!"#沿直线"#翻折!*'!!得到!7"#)$
$"& 把!!"#绕点!旋转!得到!!89%
上述平移'翻折'旋转前后的两个三角形全等吗"
练习
%%回答下列问题!
"!# 什么样的两个三角形叫作全等三角形*
"&# 全等三角形有哪些性质*
&%图中!!"#和!!#$全等$其中"和$是对应顶点$!"和#$是对应
边%请按对应顶点的对应顺序写出表示这两个三角形全等的式子$并写
出这两个全等三角形的对应边和对应角%
"第&题#
$$$$$
"第"题#
!%如图$
$!!"#" !#($$ !"与!$(#是对应角$"#与($是对应边%
说出另外两组对应角和对应边%
)#% 第!&章%全等三角形
14
习题14.1
%%如图$$!!"$" !!#($ !"'!#$ 指出其他的对应角与对应边%又知
!2"(
$ " !2#$$指出这一对全等三角形中所有的对应角与对应边%
"第!题#
"第&题#
"第"题#
&%如图$$!!"#" !"!$$ "# '!$$ 指出其他的对应边与对应角%又知
$!2!#" !2"$$指出这一对全等三角形中所有的对应边与对应角%
!%如图$$!!"#" !("$$ !"'("$若!"'&.% 04$ "$'!.1 04$ !!'"0!$
则"('$$$$04$ "#'$$$$04$ !('$$$$!%
'%如图$$!!(#" !!$"$点(和点$是对应顶点%
"!# 指出它们的对应边与对应角%
"&# 若!!'0'!$ !!"$'"1!$且!! '!&$求!!的度数%
"第/题#
$$
#!$
$$$
#&$
"第0题#
(%"!# 如图"!#$$!!"(" !!#4$ !"'!#'0$点($ 4分别在!#$ !"上%
!('&$求"4的长%
"&# 如图"&#$
$!!"2" !#$2$ !!' *0!$ !!2"' #'!$求!$的度数%
!&#!%全等三角形及其性质%)$
14.2 三角形全等的判定
$$三角形有六个基本元素#三条边和三个角$"只给定其中的一个元素或两个
元素"能够确定一个三角形吗&
操作
根据下面给出的条件分别画三角形!判断所能画出的三角形是否
是确定的%
!.只给定一个元素*
$!& 一条边长为/ 04)
$&& 一个角为/0!%
&.只给定两个元素*
$!& 两条边长分别为/ 04! 0 04)
$&& 一条边长为/ 04!一个角为/0!)
$"& 两个角分别为/0!! #'!%
通过上述操作"我们发现只给定三角形的一个元素或两个元素"不能确定一
个三角形"那么还需增加什么条件才行呢&
探究
图!/ "
$$!.如图!/
"!把圆规平放在桌面上!在圆规的
两脚上各取一点!! #!自由转动其一个脚!!!"#
的形状'大小随之改变%这说明了什么" 那么还需
增加什么条件才可以确定!!"#呢"
)%% 第!&章%全等三角形
图!/ /
&.如图!/
/!把两块三角板的一条直角
边放在同一条直线:上!其中!"! !#已知!
并记两块三角板斜边的交点为!%其中一个
三角板不动!另一个三角板沿着直线:分别向
左'向右移动!!!"#的大小随之改变!这又说
明了什么" 那么还需增加什么条件才可以确
定!!"#呢"
由上可知"确定一个三角形至少需要有三个元素%确定三角形的条件能否
作为判定三角形全等的条件呢&
下面"我们利用尺规作图作出三角形"来研究两个三角形全等的条件%
1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形
操作
已知* 如图!/
0$!&!!!"#%
求作* !!.".#.!使!.".'!"! !".'!"! ".#.'"#%$
#!$
$$$$$$
#&$
图!/ 0
作法*
$!& 如图!/
0$&&!作!8".9+!")
$&& 在".8上截取".!.+"!!在".9上截取".#.+"#)
$"& 连接!.#.%
!&#$%三角形全等的判定%)&
则!!.".#.就是所求作的三角形%
将所作的!!.".#.剪下来!放到!!"#上!看看它们能否完全重合%
由此你能得到什么结论"
由上可得如下的基本事实!
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等!简记为'边角边(或',-,(%
""
例1 $已知! 如图!/
#" !$# #"" !$'#"%
图!/ #
求证! !!$#" !#"!%
证明$ ($!$# #""#已知$
)$!$!#'!"#!%
$$#两直线平行"内错角相等$
在!!$#和!#"!中"
($
!$'#""#已知$
!$!#'!"#!"#已证$
!#'#!"#公共边$
)$!!$#" !#"!%#565$
""
例2 $如图!/
%"在池塘的岸边有!" "两点"难以直接量出!" "两点
间的距离%你能设计一种量出!" "两点之间距离的方案吗& 说明你这样设计
的理由%
图!/ %
)'% 第!&章%全等三角形
14
解$方案!在岸上取可以直接到达点!" "的一点#"连接!#并延长到点
!."使!.#'!#)连接"#并延长到点"."使".#'"#%连接!."."量出!.".的
长"就得到!" "两点之间的距离%
理由!
在!!"#和!!.".#中"
($
!#'!.#"#已知$
!!#"'!!.#"."#对顶角相等$
"#'".#"#已知$
)$!!"#"!!.".#%#565$
)$ !"'!.".%#全等三角形的对应边相等$
"第!题#
练习
%%已知! 如图$ !"'!#$点$$ (分别在!"$ !#上$
!$'!(%
求证! !!"(" !!#$%
&%已知! 如图$ !#和"$交于点2$ 2! '2#$
2"'2$%$
求证! $## !"%
"第&题#
$$$$$
A
B
C
D
E
1
2
"第"题#
!%已知! 如图$ !"'$"$ #"'("$ !! '!&%
求证! !!'!$%
!&#$%三角形全等的判定%)(
2.两角及其夹边分别相等的两个三角形
操作
已知* 如图!/
*$!&!!!"#%
求作* !!.".#.!使!".'!"! ".#.'"#! !#.'!#%$
#!$
$$$$$$$
#&$
图!/ *
作法*
$!& 如图!/
*$&&!作线段".#.+"#)
$&& 在".#.的同侧!分别以".! #.为顶点作!8".#.'!"!
!9#.".'!#! ".8与#.9交于点!.%
则!!.".#.就是所求作的三角形%
将所作的!!.".#.剪下来!放到!!"#上!看看它们能否完全重合%
由此你能得到什么结论"
由上可得如下的基本事实!
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等!简记为'角边角(或'-,-(%
""
例3 $已知!如图!/
1"点!" "" (在同一直线上"!! '!&" !" '!/%
求证! $"'#"%
证明$ ($ !!"$与!"互为邻补角"
)!% 第!&章%全等三角形
14
图!/ 1
!!"#与!/互为邻补角"#已知$
又$$ ($!" '!/"#已知$
)$!!"$'!!"#%#等角的补角相等$
在!!$"和!!#"中"
($
!! '!&"#已知$
!"'!""#公共边$
!!"$'!!"#"#已证$
)$!!$"" !!#"%#656$
)$$"'#"%#全等三角形的对应边相等$
图!/ !'
""
例4 $如图!/
!'"点!" "位于河岸两侧"且!"
垂直于河岸89%要测量!" "两点之间的距离"可以在
89上取两点#" $"使"#+#$"再过点$作89的垂线
$("使点!" #" (在同一直线上"这时测得($的长就可得
到!" "两点之间的距离"请说明这种测量方法的依据%
证明$($!"$ 89" ($$ 89"#已知$
)$!!"#'!($#'1'!%#垂直的定义$
在!!"#和!($#中"
$$
($
!!"#'!($#"#已证$
"#'$#"#已知$
!!#"'!(#$"#对顶角相等$
$$
)$!!"#" !($#%#656$
)$!"'($%#全等三角形的对应边相等$
"第!题#
练习
%%已知! 如图$ !!#"'!$"#$ !!"#'
!$#"%
求证! !!"#" !$#"%
!&#$%三角形全等的判定%))
"第&题#
&%已知! 如图$在!!"#中$ !$$ "#$ 点$为垂足$
!"!$'!#!$%
求证!$!!"$" !!#$%
!%两个直角三角形中$斜边和一个锐角分别对应相
等%求证这两个三角形全等%
3.三边分别相等的两个三角形
操作
已知* 如图!/
!!$!&!!!"#%
求作* !!.".#.!使!.".'!"! ".#.'"#! #.!.'#!%
#!$
$$$$$$
#&$
图!/ !!
作法*
$!& 如图!/
!!$&&!作线段".#.+"#)
!!"#与
!!.".#.全等吗"
$&& 分别以点".! #.为圆心!"!! #!的长
为半径画弧!两弧相交于点!.)
$"& 连接!.".! !.#.%
则!!.".#.就是所求作的三角形%
"**% 第!&章%全等三角形
14
$$由上可得如下的基本事实!
三边分别相等的两个三角形全等!简记为'边边边(或',,,(%
上面的结论说明"只要三角形三边的长度确定了"这个三角形的形状和大小
就完全确定"这个性质叫作三角形的稳定性%
日常生活中"常会看到应用三角形稳定性的例子"如斜拉桥上的三角形结
构%自行车的三角形车架)又如在预制的木门框#或木窗框$上加两根木条*图
!/
!&#!$+%晃动了的椅子腿与坐板间钉一根木条*图!/
!&#&$+构成三角
形"以防门框变形%椅子摇晃%$$
#!$
$$$$$$$
#&$
图!/ !&
图!/ !"
""
例5 $已知! 如图!/
!""点"" (" #" 4
在同一直线上" !"'$(" !#'$4" "('#4%
求证! !"# $(" !## $4%$
证明$($"('#4"#已知$
$$$)$"(&(#'#4&(#"#等式性质$ 即"#'(4%
在!!"#和!$(4中"
$$$ ($
!"'$("#已知$
!#'$4"#已知$
"#'(4"#已证$
)$!!"#" !$(4%#555$
)$!"'!$(4" !!#"'!4%#全等三角形的对应角相等$
)$!"# $(" !## $4%#同位角相等"两直线平行$
!&#$%三角形全等的判定%"*"
练习
%%在下列图中找出全等三角形%
#!$
$
#&$
$
#"$
$
#/$
$
#0$
##$
$
#%$
$
#*$
$
#1$
$
#!'$
"第!题#
&%已知! 如图$在!!"#中$ !"' !#%点$$ (在"#上$且!$' !($
"(' #$%
求证! !!"$" !!#(%
"第&题#
!%七年级时我们学习了如何用尺规作一个角等于已知角$请说出这种作法
的依据%
"*#% 第!&章%全等三角形
14
4. 其他判定两个三角形全等的条件
探究
我们知道!565! 656! 555都可以作为判定两个三角形全等的依据%
但是!在三角形的六个基本元素中选择三个元素对应相等!除了可以配成
565! 656! 555外!还可以配成666! 556! 665%$
想一想!满足下面三组条件中任一组的两个三角形!即
$!& 三个角分别相等)
$&& 两边和其中一边的对角分别相等)
$"& 两角和其中一角的对边分别相等%
能判定这两个三角形全等吗" 若不能判定!请举出反例)若能判定!
请说明理由%
上述'探究(中以#!$#&$作为条件不能判定两个三角形全等%这很容易举
出反例"如#!$的反例!边长不等的两个等边三角形三个角都是#'!"但这两个等
边三角形不全等%#&$的反例!图!/
!/中的!!"#与!!"$满足条件!"'
!"" !#'!$" !!"#'!!"$"但它们也不全等%
对于$&&!你还
能举出其他反例吗"
图!/ !/
对于#"$"由三角形内角和等于!*'!"可以推得这两个三角形的第三个角也
相等"这样665就可以转化成656"从而可以判定这样的两个三角形全等%
!&#$%三角形全等的判定%"*$
$$定理$两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
简记为"角角边#或"--,#.
由上可知"判定两个三角形全等的依据有565" 656" 555和665四种%
""
例6 $已知! 如图!/
!0"点"" 4" #" $在一条直线上" !"'($"
!"# ($" !## (4%
求证! !!"#" !($4%
图!/ !0
证明$($!"# ($" !## (4"#已知$
)$!"'!$" !!#"'!(4$%
#两直线平行"内错角相等$
在!!"#和!($4中"
$$$ ($
!"'!$"#已证$
!!#"'!(4$"#已证$
!"'($"#已知$
)$!!"#" !($4%#665$
练习
%%分别写出下列两题中符合已知条件的全等三角形$并说明全等的依据%
"!# 如图"!#$点#在"$上$ !"'!$'1'!$且!"'#$$ !! '!(%
"&# 如图"&#$ !"'$"$ !#'!($ !!"#'!$"(%
#!$
$$$$$$
#&$
"第!题#
"*%% 第!&章%全等三角形
14
&%在下列情况下$还要添加什么条件可以使!!"#和!$(4全等*
"!# !"'$($ !"'!(%
"&# !!'!$$ !#'!4%
5. 两个直角三角形全等的判定
判定两个直角三角形全等"除了前面已学习过的一般三角形的判定方法外"
有没有特定的方法&
操作
已知* 如图!/
!#$!&!7.!!"#!其中!#为直角%
求作* 7.!!.".#.!使!#.为直角! !.#.'!#! !.".'!"%
#!$
$$$$$$$
#&$
图!/ !#
作法*
$!& 如图!/
!#$&&!作!8#.9+!#+1'!)
$&& 在#.8上截取#.!.+#!)
$"& 以点!.为圆心'!"长为半径画弧!交#.9于点".)
$/& 连接!.".%
!&#$%三角形全等的判定%"*&
则7.!!.".#.就是所求作的直角三角形%
那么7.!!.".#.与7.!!"#能否完全重合" 由此你能得到什么
结论" $
本定理将在
!0./节中给出证明%
由上可得"判定两个直角三角形全等的另一种方法%
$$定理$斜边和一条直角边分别相等的两个直角
三角形全等. 简记为'斜边$直角边(或'./(%
图!/ !%
""
例7 $已知!如图!/
!%""$" #(分别是!!"#
的高"且"('#$%
求证! "$'#(%
证明$($"$" #(分别是!!"#的高"
)$!"(#'!#$"'1'!%
在7.!"(#和7.!#$"中"
($
"#'#""#公共边$
"('#$"#已知$
)$7.!"(#" 7.!#$"%#82$
)$"$'#(%
练习
A
B
C
D
O
"第!题#
%%已知! 如图$ !#$ "$于点2$且2!'2#$
!"'#$%
求证! !"# $#%
"*'% 第!&章%全等三角形
14
&%如图$)为!!2"内一点$ )$$ 2!$ )($ 2"$垂足分别为点$$ ($且
)$')(%猜想!!2)与!"2)有什么关系%试说明理由%
"第&题#
$ $$$$$$
"第"题#
!%如图$在!!"#中$高!$和高"(交于点5%添加一个条件$使得
!"$5
$ " !!$#$并加以证明%
""
例8 $已知! 如图!/
!*" !"'#$" "#'$!" (" 4是!#上的两点"且
!('#4%
求证! "4'$(%
图!/ !*
证明$在!!"#和!#$!中"
($
!"'#$"#已知$
"#'$!"#已知$
#!'!#"#公共边$
)$!!"#" !#$!%#555$
)$!! '!&%#全等三角形的对应角相等$
在!"#4和!$!(中"
($
"#'$!"#已知$
!! '!&"#已证$
#4'!("#已知$
)$!"#4" !$!(%#565$
)$"4'$(%#全等三角形的对应边相等$
!&#$%三角形全等的判定%"*(
$$""
例9 $求证! 全等三角形对应边上的高相等%
已知!如图!/
!1"
$!!"#" !!.".#.%!$" !.$.分别是!!"#和!!.".#.
对应边上的高%
求证!!$'!.$.%
$$$
图!/ !1
证明$($!!"#" !!.".#."#已知$
)$!"'!."." !"'!".%
$$#全等三角形的对应边相等%对应角相等$$
($!$" !.$.分别是!!"#" !!.".#.的高"#已知$
)$!!$"'!!.$.".'1'!%#垂直的定义$
在!!"$和!!.".$.中"
($
!"'!"."#已证$
!!$"'!!.$."."#已证$
!"'!."."#已证$
)$!!"$" !!.".$.%#665$
)$!$'!.$.%#全等三角形的对应边相等$
另证$($!!"#
$"!!.".#."#已知$
)$"#'".#." ;%!"# ';%!.".#.%
$$#全等三角形的对应边相等%面积相等$$
又
($;%!"# '!
& ,"#,!$" ;%!.".#.'!
& ,".#.,!.$."$
)$ !
& ,"#,!$'!
& ,".#.,!.$.%
)$!$'!.$.%#等式性质$
"*!% 第!&章%全等三角形
14
练习
%%已知! 如图$ !"# #$$ !"'#$$ !$与"#交于点2%(4过点2$分
别交!"$ #$于点($ 4%
求证! 2('24%
"第!题#
$$$$$$
"第&题#
&%已知! 如图$ !"'!$$ !#'!($ !"!('!$!#$ !#$ $(交于点9$
!($ "#交于点8%
"!# 求证! !!"#" !!$(%
"&# "8 '$9成立吗* 为什么*
!%求证! 全等三角形对应边上的中线相等%
习题14.2
"第!题#
%%已知! 如图$点#是!"的中点$ #$# "($且#$'"(%
求证! !!#$" !#"(%$
!&#$%三角形全等的判定%"*)
&%已知!如图$$是!!"#边!"上一点$(是!#的中点$点4在$(的延长线
上$且(4'$(%
求证! #4'!$$ #4# !$%
"第&题#
$$$$$$
"第"题#
!%已知! 如图$点($ !$ #在同一条直线上$!"# #$$ !"'#($ !#'#$%
求证! "#'($%
'%如图$假设有一块较大的三角形玻璃摔成了两半$需要去玻璃店重新配置$
不量尺寸$要将两块碎片都带去$还是只需带一块* 为什么*
"第/题#
"第0题#
(%已知!如图$点!$ #$ "$ $在同一条直线上$ "(#
$4$ !!'!4$ !"'4$%
求证! !('4#%
"%工人师傅常用角尺平分一个任意角$做法! 如图$
!!2"是一个任意角$在边2!$ 2"上分别取
28+29$移动角尺$使角尺两边相同的刻度分别与
点8$ 9重合$过角尺顶点)的射线2)便是
!!2"的平分线%试说明这种做法的理由%
""*% 第!&章%全等三角形
14
"第#题#
$$$$$$$
"第%题#
)%如图$!"$!+!#$!$还要添加什么条件$就能使!!$"与!!$#全等*
*%求证! 全等三角形对应角的平分线相等%
+%已知! 如图$ !"'#$$ $($ !#$ "4$ !#$ 点($ 4是垂足$$('"4%
求证! "!# !('#4%"&# !"# $#%
"第1题#
$$$$$$$$
"第!'题#
%#%已知! 如图$!#$ $"交于点2$ !"'$#$ !#'$"%
求证! 2!'2$%
"第!!题#
%%%已知! 如图$!"$ #$交于点2$ !## $"$ 2#'
2$$ ($ 4为!"上两点$且!('"4%
求证! #('$4%
!&#$%三角形全等的判定%"""
信息技术应用
判定三角形全等时为什么没有“SSA”
利用几何绘图软件的绘图功能可以画出三角形!并且能显示其边长和内角
的度数!这些可以帮助我们探究两个三角形全等的判定定理中为什么没有
+556,%
探究%%如果两个三角形满足+556,!能否判定这两个三角形全等"
如图!/
&'!在软件中作直线:!再任意作出!!"#$其中"#边在直线:
上&!在直线:上取一个动点)!连接!)%测量并显示线段!#和!)的长!移动
点)!观察线段!)长的变化情况%
图!/ &'
思考
$!& 如图!/
&'!当点)运动到点$时!!#+!$!观察!!"#与
!!"$有哪些边和角相等!此时这两个三角形是否全等"
$&& 利用软件寻找+556,的其他反例图形%
探究&%如果在+556,的基础上增加条件!能否判定两个三角形全等"
""#% 第!&章%全等三角形
14
$$试增加以下条件*
$!& 若两个三角形为直角三角形!显然可以转化成+565,或+82,来判定两
个三角形全等)
$&& 若两个三角形为钝角三角形)
如图!/
&!!类似图!/
&'的作法!作等腰三角形!#$!在#$所在的直线
<上任取一点"!连接!"%移动点!!使!"!$和!!#"同时为钝角!!!"#与
!!"$能否作为这一问题的反例图形" 如果不可以!请说明理由)如果可以!尝
试寻找其他反例图形%
图!/ &!
$"& 若两个三角形为锐角三角形)
$/& 若两个三角形均为等腰三角形)
##
你还有哪些新的发现与结论" 请进一步与同学交流%
!&#$%三角形全等的判定%""$
小结·评价
$$一! 知识体系
4"4
"4"
ᄥᏀ>,0
444
""4
)-U,>̵
>ᒎU
ڔ
0̵
>
ᒎ
ڔ
0
ᒎ
Ꮐ*
͵
ݐ
ᕓB
ᄥᏀD,0
$$二! 回顾与思考
!%请说出全等形的定义#并举出一些全等形的例子%
&%全等三角形的性质反映了全等三角形中哪些元素之间的关系!
"%确定一个三角形的形状与大小至少需要该三角形的$$$$个
基本元素#判定两个三角形全等的方法有$$ $ $ $"$ $ $ $ $"
$$$$$"$$$$$'特别地#判定两个直角三角形全等的方法还有
$$$$$$%
/%在本章的学习中#研究判定两个三角形全等的步骤是什么! 如何说
明所给的条件无法判定三角形全等!
0%三角形具有稳定性#请举出生活中利用三角形稳定性的实例#与同
学交流%
""%% 第!&章%全等三角形
14
$$三! 自评与互评
!.你能够运用边角边"角边角"边边边"角角边等条件作出一个确定三
角形吗!
&.试总结运用基本事实"定义"性质与定理证明结论的一般步骤%
(证明过程要言之有理#条理清晰)#请结合本章的例题谈谈你对这句话的
理解%
复习题
!组
%%判断正误!
"!# 两边分别相等且其中一组等边所对的角相等的两个三角形全等%"$$#
"&# 两边分别相等的两个直角三角形全等%
"$$#
""# 一个锐角和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等%
"$$#
&%已知!如图$在!!"#中$ !!"#'!!#"$ !!"#的两条角平分线"$和#(
交于点2%
求证! "$'#(%
"第&题#
$$$$$$$
"第"题#
!%已知! 如图$ !"'!#$ $"'$#$ 4是!$延长线上的一点%
求证! !"4!'!#4!%
小结"评价%""&
'%已知!如图$在7.%!"#中$ !!"#'1'!$点$在"#的延长线上$且"$'!"$
过点"作"($ !#$与"$的垂线$(交于点(%
求证! !!"#" !"$(%
"第/题#
$$$$$$
"第0题#
(%如图$在7.!!"#中$ !!#"'1'!$ "#'& 04$ #$$ !"于点$$在!#上取
一点($使(#'"#$过点(作(4$ !#$交#$的延长线于点4$若(4'0 04$
求!(的长%
"%已知! 如图$在!!"$和!#"(中$!$与"(交于点4$#(与"$交于点7$
!"'#"$!!4"'!#7"$ !!"('!#"$%
求证! !$'#(%
"第#题#
$$$
"第%题#
$$$
"第*题#
)%已知! 如图$ !"'!$$ #"'#$%求证! !"'!$%
*%已知! 如图$ !"'$#$ !$'"#%求证!
"!# !"# $#$ !$# "#%
"&# !!'!#$ !"'!$%
""'% 第!&章%全等三角形
14
+%如图$在雨伞的截面示意图中$伞骨!"'!#$支撑杆2('24$ !('!
" !"$
!4'!
" !#%当点2沿!$滑动时$雨伞开闭%雨伞开闭过程中$!"!$与
!#!$有什么关系* 说明理由%
"第1题#
$$$$$$$$
"第!'题#
%#%已知! 如图$!$为!!"#的中线$ "($ !$$垂足为点($ #4$ !$$垂足为
点4%
求证! "('#4%
%%%如图$ !"$ !#$且!"'!#$ !$'!($ "$'#(%!$与!(是否垂直* 若
是$请给出证明%若不是$试说出理由%
"第!!题#
$$$$
"第!&题#
%&%如图$在!!"#中$ !"!#'1'!$ !"'!#$直线89经过点!$且点"$ #在
89的同侧%"$$ 89$ #($ 89$垂足分别为点$$ (%试判断"$&#(与
$(的关系$并给出证明%
小结"评价%""(
%!%如图$ !"'!#$点($ $分别在!"$ !#上$!('!$$ "$与#(交于点2%
"!# 求证! 2$'2(%
"&# !2平分!"!#吗* 为什么*
"第!"题#
$$$$
"第!/题#
%'%已知!如图$在7.!!"#中$ !!'1'!%在"#上取一点$$使"$'!"$过点
$作$($ "#$交!#于点(%
求证! $('!(%
复习题
"组
%%如图$点!$ "$ #$ $在同一直线上$ !"'#$$!!'!$$要使!!(#"
!$4"$还需增加一个什么条件* 说出你增加的条件及理由%
"第!题#
&%已知! 在!!"#中$ #!'#"$ !#'1'!$ $为线段!"上任意一点$!($
#$$垂足为点($ "4$ #$$垂足为点4%
求证! (4'=!(0"4=%
""!% 第!&章%全等三角形
14
第15章
轴对称图形与
等腰三角形
现实生活中#许多物体具有对称性#如气势恢宏的
北京天坛祈年殿正面图#显示出和谐庄重的对称美. 请
你举出自然景观"艺术作品"建筑或交通标志中的对称
图形#感受它们的对称美.
本章我们将研究轴对称现象，学习轴对称图形及
其几何性质，以及几种特殊的轴对称图形.
% %"")
北京天坛祈年殿
15.1
轴对称图形
观察
人们很欣赏物体的对称美!设计师'艺术家常利用对称性使作品美观
大方$图!0
!&%
#!$北京天坛祈年殿正面图
$$ #&$铁路标志
$$#"$中国人民银行标志
图!0 !
在我们的周围!还存在许多具有对称性的平面图形$图!0
&&%
#!$蜻蜓
$$$
#&$雪花
$$$
#"$枫叶
图!0 &
上述这些平面图形的对称性有什么特点呢"
"#*% 第!'章%轴对称图形与等腰三角形
图!" #
$$以蜻蜓的图案为例!在它身体正中间画一条直线!
"图!"
##!以直线!为折痕!将图纸折叠!图中直线!一
侧的部分与另一侧的部分能够重合"
图!"
% 中的
蜻蜓!雪花!枫叶各
有几条对称轴"
如果一个平面图形沿着一条直线折叠!直线两旁
的部分能够完全重合!那么这个图形叫作轴对称图形!
这条直线叫作对称轴"
蜻蜓的图案是轴对称图形"图!"
% 中的雪花$
枫叶等也都是轴对称图形"
操作
图!"
&是制作一片枫叶平面图的过程图"按照图中的方法#自己
设计并制作一个轴对称图形"
"!#在一薄纸上画
出轴对称图形的一
半"包括对称轴#
"%#沿对称
轴对折
$
"##将纸翻转!
可见原来半个
图的轮廓
"&#沿着轮廓
线描出图形的
另一半
""#将纸展开!可
以看到一片具有
对称性的枫叶
图!" &
练习
!"指出下列图形各有几条对称轴!并画出每个图形的对称轴"
!"#!$轴对称图形$!"!
图形代号
!
"
#
$
%
&
'
对称轴条数
!
$
"
$
#
$
$
$
%
$
&
$
'
"第!题#
"第%题#
""右图是民间双喜图!它是轴对称图形吗$ 若
是!请你尝试画出它的对称轴"你能用纸剪一
个双喜图吗$ 试试看"
观察
图!"
"中有两对图形#其中的每一对图形#它们在一条直线$图中
画成虚线%的两旁#将图$!% $%%分别沿图中的直线!折叠#你会发现
什么"
"!#
$$$$$$$
"%#
图!" "
!""$ 第!"章$轴对称图形与等腰三角形
15
图!" '
像上述这样"图!"
"#!把一个图形沿着某一条直线折
叠!如果它能够与另一个图形重合!那么称这两个图形关于
这条直线!成轴"对称!这条直线就是对称轴"折叠后重合的
两点叫作对应点"也叫对称点#"
一个轴对称图形!如果把它沿对称轴分成两个图形!那
么这两个图形关于这条轴对称!如图!"
' "
思考
图!" (
$$如图!"
(#!#$%与!#&$&%&关于直线!
对称#点#&# $&# %&分别是点## $# %的对应
点"连接##&# $$&# %%&#分别与直线!交于点
'!# '%# '# "
$!% 直线!与线段##&有怎样的位置关
系" 直线!与线段$$&呢" 直线!与线段
%%&呢"
$%% '!#与'!#&的长有何关系" '%$与
'%$&呢" '#%与'#%&呢"
如图!"
(!由于!#$%与!#&$&%&关于直线!对称!将!#$%沿直线!折叠
后!它与!#&$&%&重合!所以有'!#('!#&! !'%'!#(!'%'!#&()*!"对于其
他的对应点!如点$与$&!点%与%&也有同样结论!即对称轴经过连接对应点的
线段的中点!并且垂直于这条线段"
经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线
""#$"#%&'()*+$,'-#(./$#!又叫作线段的中垂线"
一般地!如果两个图形关于某直线成轴对称#那么对称轴是任何一对对应点
所连线段的垂直平分线$成轴对称的两个图形中#对应点的连线被对称轴垂直
平分!#
!"#!$轴对称图形$!"#
"第%题#
练习
!"将一张纸片对折!在折痕上选两点#! $!从点#开始!到点$结束!剪去
纸片的一部分!打开时!你能看到什么样的图案$ 请
试试看"
""如图!枫叶平面图是轴对称图形!叶尖#! #&与对称
轴!的位置有什么关系$ 叶尖$! $&与对称轴!的位
置存在同样的关系吗$
$"如图!已知直线!和!#$%!画!#&$&%&!使得它与
!#$%关于直线!对称"
"!#
$$$$$$
"%#
$$$$$$
"##
"第#题#
%"画出下列以直线!为对称轴的轴对称图形"
"!#
$$$$$$$$$$$
"%#
"第&题#
!"$$ 第!"章$轴对称图形与等腰三角形
15
思考
在平面直角坐标系中#如何作出已知图形关于某直线对称的图形呢"
下面只介绍以特殊直线$坐标轴%为对称轴的情形"
如图!"
+#在平面直角坐标系中#正方形#$%)四个顶点的坐标分
别为#$!# !%# $$## !%# %$## #%# )$!# #%"
图!" +
$!% 分别作出点## $# %# )关于*轴对称的对应点#!# $!# %!#
)!&分别作出点## $# %# )关于+轴对称的对应点#%# $%# %%# )%&
$%% 填写下表'
点的坐标
#"!! !#
$"#! !#
%"#! ##
)"!! ##
关于" 轴对称的点的坐标
#!"$! $#
$!"$! $#
%!"$! $#
)!"$! $#
关于#轴对称的点的坐标
#%"$! $#
$%"$! $#
%%"$! $#
)%"$! $#
$$观察上表#指出已知点与它关于*轴对称的点的坐标有什么关系"
已知点与它关于+轴对称的点的坐标又有什么关系呢"
一般地!已知点,的坐标为," *! +#!则它关于*轴对称的点的坐标为
,!"$$! $$#!它关于+轴对称的点的坐标为,%"$$! $$# "
!"#!$轴对称图形$!"%
练习
!"分别写出下列各点关于*轴%+轴对称的点的坐标&
#",%! *#! $"%! ,##! %",&! ,%#! )",#! %#! -"*! ,!#! ."%! ##"
""分别作出图中多边形#$%)关于*轴%+轴对称的图形"
"第%题#
习题15-1
!"下列图形中!哪些是轴对称图形$ 请你画出它的所有对称轴"
"!#
$$$$
"%#
$$$$
"##
$$$$
"&#
"第!题#
!"&$ 第!"章$轴对称图形与等腰三角形
15
""下列各组中的两个图形是否关于给定的直线!对称$ 为什么$
"!#
$$$$
"%#
$$$$
"##
"第%题#
$"在下列各图中的适当位置添加小方格!使得到的图形是以虚线为对称轴的轴
对称图形"
"!#
$$$
"%#
$$$
"##
$$$
"&#
"第#题#
%"如图!已知四边形#$%)四个顶点的坐标分别为#" ,%! &#! $" ,#! ##!
%",&! !#! )",!! %#"
"第&题#
"!# 作出四边形#$%)关于+轴对称的四边形#!$!%!)!'
"%# 写出点#!! $!! %!! )! 的坐标"
!"#!$轴对称图形$!"'
&"已知长方形#$%)的顶点坐标为#"%! &#! $"'! &#! %"'! %#! )"%! %#"
"!# 在图"!#中作出长方形#$%)向下平移' 个单位长度得到的长方形
#!$!%!)!!并写出点#!! $!! %!! )! 的坐标'
"%# 在图"%#中作出长方形#$%)关于*轴对称的长方形#%$%%%)%!并写出
点#%! $%! %%! )% 的坐标"
"!#
$$$
"%#
"第"题#
'"
$!#$%在平面直角坐标系中的位置如图所示"
"!# 作出!#$%关于+轴对称的!#!$!%!! 并写出!#!$!%! 各顶点的坐标'
"%# 将!#$%向右平移' 个单位长度!作出平移后的!#%$%%%!并写出
!#%$%%% 各顶点的坐标'
"## 观察!#!$!%! 和!#%$%%%!它们是否关于某直线对称$ 若是!请在图上
画出这条对称轴"
"第'题#
("如果!#$%是轴对称图形!那么!#$%是等腰三角形吗$ 请说明理由"
!"($ 第!"章$轴对称图形与等腰三角形
15
数学活动
画 图
!-用透明纸放在图!"
) 上#照样子描出来#再按直线!$虚线%折过去#合
在一起看#它们是什么动物的图形"
"!#
$$$$$$$$$$$$
"%#
图!" )
%-京剧的脸谱多数是轴对称图形#请每位同学设计一个只有半边脸谱的面
具#与同桌同学互相交换#完成另一半#然后在班上评选出制作优秀的脸谱供大
家欣赏"
!"#!$轴对称图形$!")
信息技术应用
探究关于某条直线对称的两点坐标变化的规律
在几何绘图软件中#可以作出某个已知点关于定直线的对称点#并能显示各
点的坐标"利用软件我们可以探究关于某条直线对称的两点坐标变化的规律"
活动!% 如图!"
!*#在坐标系中任取一点##分别作出其关于*轴! +轴的
对称点#!# #%#并显示出它们的坐标"
图!" !*
观察
$!% 点#与#!#点#与#% 坐标之间的关系是否和本节第二个(思考)
栏目中得出的结论相同" 任意改变点#的位置#结论还成立吗"
$%% 连接##!# ##%#它们中点的坐标和*轴!+轴有什么关系"
!#*$ 第!"章$轴对称图形与等腰三角形
15
$$活动"% 如图!"
!!#在坐标系中作直线!' +(/*01"当/(!# 1 (*时#
直线!所对应的函数表达式为+(*#在直线!外任取一点%#作点%关于直线!的
对称点%&#并显示出它们的坐标"
图!" !!
探究
$!% 移动点%#依次取不同的四点%!# %%# %## %&#并记录它们的坐
标和其关于直线!的对称点%&
!# %&
%# %&
## %&
&的坐标&
已知点的坐标
%!"$$!$$#
%%"$$!$$#
%#"$$!$$#
%&"$$!$$#
关于直线$：
#%" 的对称点
坐标
%&
!"$$!$$#
%&
%"$$!$$#
%&
#"$$!$$#
%&
&"$$!$$#
$$$%%连接%!%&
!# %%%&
%# %#%&
## %&%&
&#显示四条直线所对应的函数表达
式+(/
!*01!# +(/
%*01%# +(/
#*01## +(/
&*01&#那么直线!中的/
与/
!# /
%# /
## /
& 有什么关系" /
!# /
%# /
## /
& 与所在直线上的两点坐标有
什么关系"
$#% 根据轴对称的性质#易知%!%&
!# %%%&
%# %#%&
## %&%&
&的中点都在直
线!上"任意取一点%$$$$#$$$%#求点%关于直线!' $$$$$对
称的点的坐标为$$$$$#并通过软件操作验证你的结论"
!"#!$轴对称图形$!#!
15.2 线段的垂直平分线
$$通过上一节的学习我们知道!如果两个点所连线段被某条直线垂直平分!那
么这两个点关于这条直线成轴对称"这说明线段是轴对称图形!这条线段的垂
直平分线是它的对称轴"
思考
图!" !%
$$如图!"
!%#点'是线段#$的中点#直线23经
过点'#且23" #$#那么直线23是线段#$的垂直
平分线"
由于直线23上的点'是线段#$的中点#因此
'#('$"在直线23上任取两点,# 4$在线段#$的
两侧各取一点%#分别连接,## ,$# 4## 4$",## ,$
的长有什么关系" 4#与4$呢"
试证明你的猜想"
已知%如图!"
!%!直线23经过线段#$的中点'!且23" #$"点,是
23上任意一点"
求证% ,#(,$"
如果点,
与点'重合#
那么直接可得
!"#!$%
证明$.$23" #$!"已知#
/$!#',(!$',()*!""垂直的定义#
在!#',和!$',中!
.$
#'($'!"已知#
!#',(!$',!"已证#
,'(,'!"公共边#
!#"$ 第!"章$轴对称图形与等腰三角形
/$!#'," !$',""010#
/$,#(,$""全等三角形的对应边相等#
由上面证明!我们得到线段垂直平分线的如下性质%
$$定理$线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
思考
你能写出上面定理的逆命题吗" 它是真命题吗" 如果是真命题#请
给出证明"
$$定理$到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
练习
!"如图!在!#$%中!$%的垂直平分线分别交#%! $%于点)! -"若
!#$%的周长为#*! $-("!则!#$)的周长为$$$$"
A
D
C
E
B
"第!题#
$$$$$
A
B
P
l
"第#题#
""已知& %! )是线段#$外的两点!且%#(%$! )#()$"
求证& 直线%)垂直平分线段#$"
$"如图!直线!是线段#$的垂直平分线!点,! $在直线!的同侧!求证&
,#5,$"
!"#%$线段的垂直平分线$!##
!问题
!$怎样得到线段的垂直平分线&
方法一$用刻度尺量出线段的长!找出线段的中点!再过中点用三角板画线
段的垂线即可得到线段的垂直平分线"
方法二$通过折纸也可以得到线段的垂直平分线"如图!"
!#!在半透明
纸上画一条线段##&!折叠使点#与#&重合!得到的折痕!所在的直线就是线段
##&的垂直平分线"
图!" !#
方法三$用尺规作图!作出线段#$的垂直平分线"
作法%
!-如图!"
!&!分别以点#! $为圆心!大于!
% #$长为半径"为什么&#画
弧!交于点-! ."
直线-.为什
么是线段#$的垂
直平分线"
图!" !&
%-过点-! .作直线"
则直线-.就是线段#$的垂直平分线"
!#$$ 第!"章$轴对称图形与等腰三角形
15
图!" !"
#
例$已知% 如图!"
!"!!#$%的边#$! #%的
垂直平分线相交于点,"
求证% 点,在$%的垂直平分线上"
证明$连接,#! ,$! ,%"
.$点,在#$! #%的垂直平分线上!"已知#
/$ ,#(,$! ,#(,%"
$$"线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等#
/$,$(,%""等量代换#
/$点,在$%的垂直平分线上"
$$"到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上#
由此可看出!三角形三边的垂直平分线相交于一点!这点到三角形三个顶点
的距离相等"
练习
!"如图!将!#$%放在每个小正方形边长均为!的网格中!点#! $! %均
落在格点上"
"!# 用尺规作出#%边上的中线$)'"保留作图痕迹!不要求写作法#
"%# 建立平面直角坐标系!若点$的坐标为"#! ,!#!点%的坐标为
"%! %#!点#的坐标为" ,!! ,!#!则到!#$%三个顶点距离相等
的点的坐标为$$$$"
A
B
C
"第!题#
$$$
"第%题#
""#! $两村在公路!同侧!计划共同出资在公路边修建一个停靠站%!使
停靠站到#! $两村距离相等"请你确定停靠站%的位置"
!"#%$线段的垂直平分线$!#%
习题15-2
!"如图!点$! %在*轴上!+轴垂直平分线段$%"
"!# 若点%的坐标为"#! *#!则点$的坐标是什么$
"%# 若点$的坐标为"6! *#!则点%的坐标是什么$
"第!题#
$$$$
"第%题#
""如图!)-是!#$%的边#$的垂直平分线!点)为垂足!)-交#%于点-!且
#%(+! $%("!则!$-%的周长等于多少$
$"如图!点#! $在直线!的同侧!在直线!上作出一点%!使得#%0$%的和最
小!并说明理由"
"第#题#
$$$$$$$
"第&题#
%"已知& 如图! #$(%)!线段#%的垂直平分线与线段$)的垂直平分线相交
于点-"
求证& !#$-(!%)-"
!#&$ 第!"章$轴对称图形与等腰三角形
15
15.3 角的平分线
角是轴对称图形!角平分线所在的直线是它的对称轴"
!问题
!$怎样得到一个角的平分线&
方法一$用量角器量角的度数可以找出一个角的平分线"
方法二$通过折纸可以得到一个角的角平分线"如图!"
!'!在半透明纸上
任画!#'$!折叠使射线'#! '$重合!得到的射线',就是!#'$的平分线"
"!#
$
$
"%#
$
$
"##
图!" !'
方法三$用尺规作图!作出!#'$的平分线"
作法%
!-如图!"
!("!#!以点'为圆心!任意长为半径作弧!分别交'#! '$于
点2! 3"
"!#
$$$$
"%#
$$$$
"##
图!" !(
%-如图!"
!("%#!分别以点2! 3为圆心!以大于!
% 23长为半径"为什
!"#&$角的平分线$!#'
么&#在角的内部作弧!两弧交于点,"
#-如图!"
!("##!作射线',!则',为所求作的!#'$的平分线"
思考
!-根据图!"
!(中的作图#你能证明所作射线',就是!#'$的平
分线吗"
%-当!#'$的两边成一直线时$即!#'$0!+*!%#你会作这个角的
平分线吗" 这时的角平分线与直线#$是什么关系"
$$我们用尺规可以完成'经过一点作已知直线的垂线( "这一点可能在直线
上!也可能在直线外!因此这个作图要分两种情况"
"!#
"%#
图!" !+
!-经过已知直线上的一点作这条直线的垂线"
已知% 如图!"
!+"!#!直线#$和#$上一点%"
求作% #$的垂线!使它经过点%"
作法%
如图!"
!+"!#!作平角#%$的平分线%."
则直线%.就是所求作的垂线"
%-经过已知直线外一点作这条直线的垂线"
已知% 如图!"
!+"%#!直线#$和#$外一点%"
求作% #$的垂线!使它经过点%"
作法%
"!# 如图!"
!+"%#!任意取一点7!使点7和点%
在#$的两旁)
"%# 以点%为圆心!%7长为半径作弧!交#$于点)! -)
为什么这样作出的直
线%.就是所求作的垂线"
你能说说道理吗"
"## 分别以点)! -为圆心!大于!
% )-长
为半径作弧!两弧交于点.)
"&# 作直线%."
则直线%.就是所求作的垂线"
!#($ 第!"章$轴对称图形与等腰三角形
15
练习
!"用尺规作图!保留作图痕迹!不要求写作法"
"!# 如图"!#!作一条直线使两已知点#! $关于该直线对称'
"%# 如图"%#!已知一边8作正方形'
"## 如图"##!已知底边1及底边上的高9作等腰三角形"
A
B
"!#
$$$
a
"%#
$$$
b
h
"##
"第!题#
思考
图!" !)
$$如图!"
!)#'-是!#'$的平分线#,是'-
上的任一点#过点,分别作,%" '## ,)" '$#
点%# )是垂足"
,%# ,)的长有什么关系吗" 证明你的猜想"
已知%如图!"
!)!'-平分!#'$! ,是'-上的任一点! !&" '"于点&!
!(" '$于点(%
求证% !&#!(%
证明$ .$',平分!#'$!"已知#
/$!#',(!$',""角平分线的定义#
又$
.$ ,%" '#! ,)" '$!"已知#
/$!,%'(!,)'()*!""垂直的定义#
!"#&$角的平分线$!#)
在!,%'和!,)'中!
.$
!#',(!$',! "已证#
!,%'(!,)'!"已证#
',(',! "公共边#
/$!,%'" !,)'""110#
/$,%(,)"
由上面证明!我们得到角平分线的如下性质%
$$定理$角平分线上的点到角两边的距离相等.
思考
写出上面角平分线性质定理的逆命题"
这个逆命题是真命题吗" 如果是真命题#请写出已知!求证#并给出
证明"
$$定理$角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
练习
!"如图!在!#$%中! #$(#%! #)平分!$#%交$%于点)!)-" #$!
)." #%!垂足分别为点-! ."判断下列结论是否正确"
"第!题#
!$*$ 第!"章$轴对称图形与等腰三角形
15
$ "!# )-()."
"$$#
"%# $-(%."
"$$#
"## #)上任一点到#$! #%的距离相等"
"$$#
"&# #)上任一点到点$! %的距离相等"
"$$#
A
B
C
D
M
"第%题#
""已知&如图!在四边形#$%)中! $%" #$!
$%" %)! 2 是$%的中点!#2 平分
!)#$"
求证&)2平分!#)%"
#
例$已知% 如图!"
%*!在!#$%中!!#$%的平分线$-与!#%$的平
分线%.相交于点,"
求证% #,平分!$#%"
A
B
C
P
E
F
Q
N
M
图!" %*
证明$过点,分别作,2"$%! ,3"#%! ,4"#$!垂足分别为点2! 3! 4"
.$ $-是!#$%的平分线!点,在$-上!"已知#
/$,4(,2""角平分线上的点到角两边的距离相等#
同理% ,3(,2"
/$,3(,4""等量代换#
/$#,平分!$#%"
$$"角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上#
由此可看出!三角形三条内角平分线相交于一点!这点到三角形三边的距离相等"
!"#&$角的平分线$!$!
练习
!"如图!一所学校在公路的南侧%河的西岸!学校到公路边与到河边的距离相
等!且与点#的距离为%** 2"请在图上标出学校的位置!并说明理由"
"第!题#
$$$$
"第%题#
""如图!在!#$%中!#)平分!$#%交$%于点)! )-" #$于点-!
)." #%于点.! $)(%)"求证& !$(!%"
习题15-3
!"如图!已知!#$%!作出下列图形""要求用尺规作图!不写作法!但保留作图
痕迹#
"!# 作!#$%的平分线$,'
"%# 在射线$,上任意取一点)!过点)分别作$%和$,的垂线"
"第!题#
!$"$ 第!"章$轴对称图形与等腰三角形
15
""如图!已知线段8和1!分别以8! 1为一直角边和斜边作直角三角形""要求
用尺规作图!不写作法!但保留作图痕迹#
"第%题#
$$
"第#题#
$$
"第&题#
$"已知& 如图!点%! )在!#'$的平分线上! %-" '#!垂足为点-! %."
'$!垂足为点."
求证& !%)-(!%)."
%"已知& 如图!$)平分!#$%! #$(%$!点,在$)上!,2" #)! ,3" %)!
点2! 3为垂足"
求证& ,2 (,3"
"第"题#
&"已知& 如图!!#$%的外角!-$%!!$%.的平分线交于
点)"
求证& #)平分!$#%"
'"到三角形三边所在直线距离相等的点有几个$ 作出这
些点"$
!"#&$角的平分线$!$#
昆明市长水国际机场航站楼顶
15.4 等腰三角形
等腰三角形是一类特殊的三角形"等腰三角形除具有一般三角形的性质
外!还具有什么样的特殊性质呢&
操作
画一个等腰三角形#$%#如图!"
%!$!% "把边#$叠合到边#%
上#这时点$与%重合#并出现折痕#)#如图!"
%!$%%"
"!#
$$$$$$$$$
"%#
图!" %!
!#)$与!#)%有什么关系" 图!"
%!$!%中#哪些线段或角相
等" #)与$%垂直吗" 为什么"
等腰三角形是轴对称图形!底边上的中线所在的直线是它的对称轴"
由上面的操作!我们可以得到等腰三角形的如下性质%
$$定理1$等腰三角形的两底角相等. 简称&等边对等角'.
下面我们来证明定理! "
!$$$ 第!"章$轴对称图形与等腰三角形
已知% 如图!"
%!"!#!在!#$%中! #$(#%"
求证% !$(!%"
证明$取$%的中点)!连接#)"
在!#$)和
$!#%)中!
$$$.$
#$(#%!"已知#
#)(#)!"公共边#
$)(%)!"已作#
/$!#$)" !#%)""000#
/$!$(!%""全等三角形的对应角相等#
交流
在等边三角形中#三个内角之间的数量关系如何" 它们的度数确
定吗"
$$推论$等边三角形三个内角相等!每一个内角都等于60!.
##
例1 $已知% 如图!"
%%!在!#$%中! #$(#%! !$#%(!%*!!点)! -
是底边上两点!且$)(#)! %-(#-"求!)#-的度数"
图!" %%
解$.$#$(#%! !$#%(!%*!!"已知#
/$!$(!%(!
% "!+*!:!$#%#
(!
% ;"!+*!:!%*!#
(#*!""等边对等角#
若去掉#$0
#%这个条件#能否
求得!)#-的度
数" $
又$ .$$)(#)!"已知#
/$!$#)(!$(#*!""等边对等角#
同理%$!%#-(!%(#*!"
/$!)#-(!$#%:!$#):!%#-
!"#'$等腰三角形$!$%
(!%*!:#*!:#*!
('*!"
练习
!"填空&
"!# 等腰直角三角形的每一个锐角的度数是$$$$'
"%# 如果等腰三角形的底角等于&*!!那么它的顶角的度数是$$$$'
"## 如果等腰三角形有一个内角等于+*!!那么这个三角形另两个内角
的度数分别为$$$$$$"
""如图!在!#$%中! #$(#%!点)在#%上!且$)($%(#)!求!#和
!%的度数"
"第%题#
$$$$$
"第#题#
$"如图!%是等边三角形#$)的边$)延长线上的一点!且)%($)"求
!)#%的度数"
$$由前面定理!的证明还可得% !#)$(!#)%()*!! !$#)(!%#)"因
此!有'等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角("
思考
如图!"
%!$!%#在!#$%中##$0#%"
!-如果作$%边上的高线#)#那么#)平分$%吗" #)平分!$#%吗"
%-如果作!#$%的顶角平分线#)#那么#)垂直平分$%吗"
!$&$ 第!"章$轴对称图形与等腰三角形
15
$$定理2$等腰三角形的顶角平分线(底边上的中线和底边上的高重合!
简称&三线合一'!
##
例2 $已知%如图!"
%#!在!#$%中! #$(#%! #)是$%边上的中线!
点-是#)上一点"
图!" %#
求证% $-(%-"
证明$ .$#$(#%!#)是边$%上的中线!"已知#
/$#)是$%边上的高""三线合一#
/$#)垂直平分线段$%"
"线段垂直平分线的定义#
.$点-是#)上一点!"已知#
/$ $-(%-""线段垂直平分线的性质#
##
例3 $求证% 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等"
本例是!&-%
节中已经学过的
判定两个直角三
角形全等的定理
*34+的证明"
已知%如图!"
%&"!#!在5.!#$%和5.!#&$&%&
中! !%(!%&()*!! #$(#&$&! #%(#&%&"
求证%5.!#$%" 5.!#&$&%&"
"!#
$$$$$
"%#
图!" %&
证明$如图!"
%&"%#!在平面内移动5.!#$%和5.!#&$&%&!使点#和
#&$点%和%&重合!点$和$&在#%的两侧"
$$$.$!$%$&()*!0)*!(!+*!!"等式性质#
/$$! %! $&三点在同一直线上""平角的定义#
!"#'$等腰三角形$!$'
.$#$(#$&!"已知#
/$!$(!$&""等边对等角#
在5.!#$%和5.!#&$&%&中!
.$
!#%$(!#&%&$&!"已知#
!$(!$&!"已证#
#$(#&$&!"已知#
/$5.!#$%" 5.!#&$&%&""110#
练习
!"填空&
如图!在!#$%中! #$(#%"
"!# .$#)"$%! /$!$$$$0!$$$$! $$$$0$$$$'
"等腰三角形底边上的高与$$$$%$$$$重合#
"%# .$#)是!#$%的中线!/$$$$"$$$! !$$$0!$$$'
"等腰三角形底边上的中线与$$$$%$$$$重合#
"## .$#)是!#$%的角平分线!/$$$$"$$$! $$$0$$$"
"等腰三角形顶角平分线与$$$$%$$$$重合#
"第!题#
$$$$
"第%题#
""已知& 如图!点)! -在!#$%的边$%上! #$(#%! #)(#-"
求证& $)(%-"
!$($ 第!"章$轴对称图形与等腰三角形
15
"第#题#
$"如图!用一把等腰三角板!在底边中点处做一
个记号)!再从顶点悬下铅锤!把这把等腰三
角板的底边放在屋梁上!看铅垂线是不是通过
记号)!就能检查屋梁是不是水平"这是为
什么$
思考
*等腰三角形的两底角相等+的逆命题是真命题吗" 请与你的同学讨
论后作出判断"
$$定理$有两个角相等的三角形是等腰三角形. 简称&等角对等边'"
已知%如图!"
%"!在!#$%中! !$(!%"
图!" %"
求证%#$(#%"
证明$过点#作#)" $%!点)为垂足"
/$!#)$(!#)%()*!""垂直的定义#
在!#)$和!#)%中!
.$
!$(!%!"已知#
!#)$(!#)%!"已证#
#)(#)!"公共边#
$$$ /$!#)$" !#)%""110#
/$#$(#%""全等三角形的对应边相等#
这个定理叫作等腰三角形的判定定理!它是判断一个三角形是否为等腰三
!"#'$等腰三角形$!$)
角形的重要依据"
由上述定理可以直接得到%
$$推论1$三个角都相等的三角形是等边三角形.
$$推论2$有一个角是60!的等腰三角形是等边三角形.
图!" %'
如图!"
%'!在!#$%中! !#%$()*!! !$#%(
#*!!延长$%到点)!使%)($%"连接#)!易得!#%)"
!#%$"
/$#)(#$! !$#%(!)#%(#*!! !$#)('*!"
由推论%!得!#$)是等边三角形"
/$$)(#$"
/$$%(!
% $)(!
% #$"
于是得%
$$定理$在直角三角形中!如果一个锐角等于30!!那么它所对的直角边等
于斜边的一半.
##
例4 $一艘船上午+%**从#处出发!以!* % 2'*#67的速度向正北航行!
从#处测得一礁石%在北偏西#*!方向上"这艘船上午!*%**到达$处!并测
得礁石%在北偏西'*!方向上"$
ˌ
ˌ
A
B
F
C
60&
30&
D
E
图!" %(
"!# 画出礁石%的位置)
"%# 求从$处到礁石%的距离)
"## 这艘船继续向正北方向航行多少海里与
礁石%的距离最小&
解$"!# 如图!"
%(!以#为顶点!向北偏西
#*!作射线#)!在点#的正北方向上取一点$!以
$为顶点!向北偏西'*!作射线$-!#)与$-交于
点%!则点%为礁石所在地"
!%*$ 第!"章$轴对称图形与等腰三角形
15
"%# 如图!"
%(!由题意得!#%$('*!:#*!(#*!"
.$!$#%(#*!!
/$!$%#(!$#%"
/$$%($#"
.$$#(!* ;"!* :+# (%* "% 2'*##!
/$$%(%* "% 2'*## "
答%从$处到礁石%的距离是%* % 2'*#"
"## 如图!"
%(!过点%作%." #$!垂足为点."
.$ !%$.('*!! !%.$()*!!
/$ !$%.(#*!"
/$ $.(!
% $%(!*"% 2'*##"
答%这艘船继续向正北方向航行!* % 2'*#与礁石%的距离最小"
练习
!"已知& 如图!#$与%)交于点,! %,(,)! !#(&%!! !%,$(!#+!!
!$(')!"
求证& #%(,$"
"第!题#
$$$$$$
"第#题#
""在!#$%中! #$(#%! #)平分!$#%交$%于点)!若!$(&"!! $%(
!* (2"求#)的长"
$"已知&如图!在!#$%中!!#%$( )*!! %)是斜边#$上的高!!#( #*!"
求证& $)(!
& #$"
!"#'$等腰三角形$!%!
习题15-4
!"如图!,! 4是!#$%的边$%上两点!并且$,(,4(4%(#,(#4"
求!$#%的度数"
"第!题#
$$$$
"第%题#
""已知& 如图!!#$%为等边三角形!点)! -! .分别在边$%! %#! #$上!且
#.($)(%-"
求证& !)-.是等边三角形"
$"求证& 等腰三角形两个底角平分线的交点到底边两端点的距离相等"
%"已知& 如图!在四边形#$%)中!#%与)$交于点'! #%()$! !! (!%"
求证& "!# #$()%' "%# '#(')"
"第&题#
$$
A
B
C
D
E
"第"题#
$$
"第'题#
&"已知& 如图!在!#$%中!%)平分!#%$交#$于点)! #-$ )%!交$%的延
长线于点-"
求证& !#%-是等腰三角形"
'"如图!在!#$%中! #$(#%!点)!-分别在边$%!#%上!#) (#-!若
!$#)(#*!"求!-)%的度数"
!%"$ 第!"章$轴对称图形与等腰三角形
15
("已知& 如图!#)是!#$%的中线! !! (%!%"%-" #)! $." #)!点-!
.为垂足"
求证& -.($)"
"第(题#
$$$$$
"第)题#
)"一个等腰三角形的底角等于!"!!腰长为%8 "求该等腰三角形腰上的高"
"用含8的代数式表示#
*"如图!点-! .分别在等边三角形#$%的边$%! %#上! $-(%.! #-与$.
交于点<"求!#<.的度数"$$$$
!+"本节的例&中!若这艘船到达$处后继续以原来的速度向正北方向航行!中
午某时到达$! 处!从$! 处测得礁石%在南偏西'*!方向上"
"!# 画出此时船的位置'
"%# 求从$! 处到礁石%的距离"
!!"已知& 如图! #$(#-! !$(!-! $%(-)! .是%)的中点"
求证& #." %)"
"第!!题#
$$$$$$$
"第!%题#
!""已知& 如图!点%为线段#$上一点!!#%2和!%$3是等边三角形!#3交
%2于点-! $2交%3于点."
求证& "!# %-(%.'"%# -.$ #$"
!"#'$等腰三角形$!%#
数学活动
剪 纸
剪纸是中国民间艺术的瑰宝之一"节日的窗花!婚嫁彩车上的双*喜+可以
通过剪纸得到"剪纸是轴对称在实际生活中的运用"
!-收集!1%个具有轴对称性质的剪纸图案#并尝试将这些图案剪出来"
%-取一张宽" (2!长%& (2的白纸片#把它对折$折痕与白纸片的长边垂
直%#对折#次后#在折叠好的纸片上画出图!"
%+中的某一图案"再用剪刀剪
出所画图案#最后将所叠纸片展开就得到一段花边"
$"!#
$$$$$$$$$"%#$$$$$$$
$"##
图!" %+
我们通过折叠剪纸得到的花边图案#也可以看作是基本图案连续向左$或向
右%平移得到的"
思考
$!% 把花边铺平在另一张较大的白纸上#花边中相邻的图案有什么
关系"
$%% 仿照上述剪纸操作过程#自己设计一个图案#并制作出相应的剪
纸#同学之间相互交流和欣赏对方的作品"
!%$$ 第!"章$轴对称图形与等腰三角形
15
小结·评价
$$一! 知识体系
3
>
3 + ,ܲ
3
>+ܲ
3
06̵
>ᒎ
ᕓ
B
ݐ
D
ᄥ
/
ᒎ
ᄥ
/
ᕓ
$$二! 回顾与思考
!-如果一个平面图形沿着一条直线折叠!直线两旁的部分能够完全重
合!那么这个图形叫作$$$$$$$"两个图形成轴对称是指$$$$
$$$$$$$$$$$"
%-轴对称和轴对称图形中!对应点的连线被对称轴$$$$"
#-线段垂直平分线上的点$$$$$$的距离相等"到$$$$$$
距离相等的点在线段的垂直平分线上"
&-角平分线上的点到$$$$$$的距离相等"角的内部到$$$$
距离相等的点在角的平分线上"
"-等腰三角形的两底角相等!简称$$$$$$"等腰三角形的顶角
平分线#底边上的中线和底边上的高$$$$!简称$$$$$$"
'"在平面直角坐标系中!若点,$*! +%关于*轴#+轴的对称点为,!!
,%!那么点,!! ,% 的坐标是什么&
(-等边三角形与等腰三角形有什么区别与联系& 试举出一些判定等
边三角形的方法"
+-在直角三角形中!如果一个锐角等于#*!!那么它所对的直角边长
与斜边长有什么关系& 证明这个关系时!你用了哪些方法&
小结!评价$!%%
$$三! 自评与互评
!-运用轴对称设计图案!并向同学阐述你的设计理念"
%-和同学共同整理线段#角#等腰三角形这些基本轴对称图形的性质!
并对其中某个性质进行证明!然后和同学交流"
复习题
"组
!"已知点#"8! 1#与点$"=! >#"
"!# 如果点#! $关于+轴对称!那么8! 1! =! >应满足什么条件$
"%# 如果点#! $关于*轴对称!那么8! 1! =! >应满足什么条件$
""直线!与直线+(%*关于+轴对称!写出直线!所对应的函数表达式"
$"如图!在!#$%中! !$#%()*!! #%(%#$!点)是#%的中点"!-#)为
等腰直角三角形!!#-)()*!"试猜想线段$-和-%的关系!并证明你的
猜想"
"第#题#
$$$$$
"第&题#
%"已知& 如图!在!#$%中!#)平分!$#%交$%于点)! )-" #$! )."
#%!点-! .为垂足"
求证& #)垂直平分-."
"第"题#
&"已知& 如图!!#$%是等边三角形!$)是!#$%
的中线"点-在$%的延长线上! %-(%)"
求证& )$()-"
!%&$ 第!"章$轴对称图形与等腰三角形
15
'"求证& 有两条高相等的三角形是等腰三角形"
("已知& 在!#$%中! #$(#%! #)是$%边上的中线!#$的垂直平分线交
#)于点'! !#$%的平分线交#)于点?"
求证& "!# '#('$('%' "%# 点?到$%! %#! #$的距离相等"
)"已知& 如图!在!#$%中! #$(#%! )是$%边上任意一点!!$#%(!%*!!
)-" #$! )." #%!垂足分别是点-! ."
求证& )-0).(!
% $%"
"第+题#
$$$$$$$$$
"第)题#
*"已知& 如图!在!#$%中! !#()*!! #$(#%!点)在$%上!$)(#$!作
)-" $%!点-在边#%上"
求证& "!# $-平分!#$%' "%# #-(-)()%"
!+"已知& 如图!在!#$%中!以它的边#$! #%为边!分别在!#$%外作等边三
角形#$)和等边三角形#%-!连接$-! )%"
求证& $-()%"
"第!*题#
$$$$$
"第!!题#
!!"已知& 如图!在!#$%中! #$(#%! !#(!%*!! #%的垂直平分线-.交#%
于点-%交$%于点."
求证& $.(%%."
小结!评价$!%'
!""已知& 如图! #)" )-! $-" )-! #%! $%分别平分!)#$! !#$-!点%
在线段)-上"
求证& #$(#)0$-"
"第!%题#
"第!#题#
"第!&题#
!$"已知&如图!线段%)与!#'$"
求作&点,!使,%(,)!且点,到!#'$两边的距离相等"
!%"如图!在5.!#$%中! !%()*!!沿过点$的直线$-折叠!#$%!此时点%
与边#$上的点)重合"要使)恰好为#$的中点!还需添加一个什么条
件$ 并说明你的理由"
复习题
#组
!"观察下列点的坐标的变化!说明它们进行了怎样的变换!请说出两种不同的
变换方法"
"!# ",#! ,!#%"#! ,!#'$$$$$
"%# ","! '#%","! !#'
"## "&! ##%"&! ,##"
""$)是!#$%的角平分线!$)的垂直平分线交%#所在直线于点-"求证&
!-#$(!-$%"
$"'是线段#$的中点!直线23经过点'!点%! )在直线23上! !#%3(
!3)$(&"!"
!%($ 第!"章$轴对称图形与等腰三角形
15
"!# 如图"!#!点%与点'重合!直接写出#%与$)的数量和位置关系'
"%# 如图"%#!点%! )不与点'重合!求证& #%0$)! #%"$)"
"!#$$$$$$$$$$$$$$$$"%#
"第#题#
%"已知& 如图!在!#$%中!! #%$()*!! )! -是边#$上的两点!且#)(
#%! $-($%"
求证& !)%-(&"!"
"第&题#
$$$$$$$$
"第"题#
&"已知& 如图!点)在等边三角形#$%的边#%上!点-在边#$的延长线上!
$-(%)! )-交$%于点,"
求证& ,)(,-"
'""!# 已知& 如图"!#!在!#$%中!!#$%! !#%$的平分线交于点'!过点
'的直线)-$ $%! )-分别与#$! #%交于点)! -"
求证& $)0%-()-"
"%# 将题"!#条件(!#%$的平分线)改为(!#%$的外角!#%.的平分
线)!如图"%#所示"原来的关系式$)0%-()-还成立吗$ 如果不成
立!你能找出$)! %-! )-的数量关系式吗$ 请说明理由"
小结!评价$!%)
"!#
$$
"%#
"第'题#
$$$$
"第(题#
("如图!在!#$%中! !#(%!$! %)平分!#%$交#$于点)! #%(!'!
#)(+"求$%的长"
复习题
$组
!"在!#$%中! #$(#%!且腰上的高为9"
"!# ,为底边$%上任一点!自点,向两腰所在直线作垂线,-! ,.!点-! .
为垂足!求证& ,-0,.(9'
"%# 证得题"!#中结论后!请你对本章1组复习题第+题的条件和你原来的
证明方法进行反思'
"## 若点,在底边$%的延长线上时!情况如何$
""已知等边三角形#$%的边长为8!高为9 "
"!# ,为!#$%内任一点!自点,向三边所在直线作垂线,)! ,-! ,.!点
)! -! .为垂足!求证& ,)0,-0,.(9'
"%# 若点,在!#$%外时!情况如何$
!&*$ 第!"章$轴对称图形与等腰三角形
15
综合与实践
绘制校园平面地图
学校是育人的摇篮!是少年学习$生活$成长的地方"在教室$实验室或图书
馆!我们在探求学问)在运动场或球馆!我们在增强体魄)在池塘边或林荫下!我
们在交流思想"校园里还有哪些功能区& 如何向别人介绍自己的校园呢& 绘制
校园平面地图"图!#就是很好的办法"
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图!
研究任务
!-调查学校各功能区及位置!写出调查报告并画出草图"
综合与实践$绘制校园平面地图$!&!
%-学习绘制校园平面地图的基本原理!掌握其绘制方法"
#-分小组制订'绘制校园平面地图(的方案"包括活动任务$分工$所需工
具$绘制步骤等#"
实施要求
!-实地测量%根据组内分工!进行校园实地测量!并记录数据""在测量过
程中注意减小测量误差#
%-数据处理%整理数据!确定比例尺!根据确定的比例尺处理数据"
#-图形绘制%按照制订的方案及计算出的图上距离和方位角等数据!绘制
校园平面地图"
&-地图标识%根据实际物体色彩!对所绘制的地图进行标识"
成果展示
!-分小组汇报绘制校园平面地图的过程!交流遇到的困难与解决方法!展
示绘制的校园平面地图"
%-选择某些场景!如教学楼$体育馆$校史陈列馆等!结合校园平面地图介
绍你的校园"
交流评价
!-研究过程中!及时开展形式多样的交流与评价活动"
%-研究结束后!对研究方法$研究成果$团队表现进行评价"根据交流与
评价情况!修改$完善成果"
拓展活动
谈谈你在绘制校园平面地图中用到哪些数学知识和方法& 畅想一下你的理
想校园是怎样的& 请对校园建筑设计提出你的建议"
!&"$ 综合与实践$绘制校园平面地图
综合与实践
天安门广场的升旗时刻
%*!)年!*月!日!中华人民共和国(*周年华诞!气势磅礴的大阅兵在天安
门广场举行"阅兵的第一个仪式是***升国旗"当鲜艳的五星红旗迎风飘扬的
时候!我们的自豪感油然而生"每年都有数以万计的旅客从五湖四海来到首都
北京!观看庄严的升旗仪式"
研究问题
!-你知道天安门广场每天的升旗时刻吗& 这个时刻有什么规律吗&
%-你能根据得出的规律计算天安门广场某一天的具体升旗时间吗&
综合与实践$天安门广场的升旗时刻$!&#
活动实施
活动!
查阅资料!填写今年+月!日至+月!&日的升旗时刻表"
日期
+月!日
+月%日
+月#日
+月&日
+月"日
+月'日
+月(日
升旗时刻
日期
+月+日
+月)日
+月!*日+月!!日+月!%日+月!#日+月!&日
升旗时刻
活动%
请你根据上面的数据估计今年+月%+日和+月#!日的升旗时刻"你估计
的升旗时刻与实际升旗时刻是否一致& 并分析"
活动#
分小组收集并汇总今年全年天安门广场的升旗时刻!利用信息技术分析升
旗时刻的变化规律"
成果展示
!-和同学们交流活动体会"
%-天安门广场的升旗时间是根据北京日出的时刻而变化的!寓意伟大的祖
国与日同辉$繁荣昌盛"请以'五星红旗升起的时刻(为题!开展班级主题演讲等
活动"
!&$$ 综合与实践$天安门广场的升旗时刻
综合与实践
趋势统计图
国内生产总值"8$/--9/2#-.'(:$/&)(.!简称89:#是指一个国家和地区所
有常住单位在一定时期内生产活动的全部最终成果!是国际上通行的用于衡量
一个国家"或地区#经济运行规模的宏观经济指标!其在政治$经济$外交$研究等
领域具有广泛应用"
研究任务
!-了解89:的相关知识及其重要作用"
%-收集相关数据!建立一个反映我国自%*!%年以来每年89:变化的数学
模型"
#-利用你建立的模型!结合我国经济发展的现状!预测我国未来的经济发
展趋势!并对今后经济政策的制定提出自己的想法"
实施要求
!-独立思考!利用多种渠道收集所需信息!确保数据真实可靠"
%-与同学合作交流!选择合适的形式表达数据!并能阐释其中的道理"
综合与实践$趋势统计图$!&%
成果展示
!-完成下面研究报告"
研究报告
项目名称
研究目标
小组成员
完成日期
研究计划
研究过程
阶段
时间
成果
反思
收集数据
"获得的数据!数据的来源等#
整理$
分析数据
"数据整理和分析的方法!采用这
些方法的原因等#
构建模型
"构建模型的过程和结论等#
获得结论
$
收获反思
"研究过程中的收获!需要注意与改进的地方等#
!&&$ 综合与实践$趋势统计图
$$%-结合你的研究与分析!撰写一篇数学小论文!并向同学介绍你的研究
成果"$
交流评价
!-研究过程中!及时开展形式多样的交流与评价活动"
%-研究结束后!对研究方法$研究成果$团队表现进行评价"根据交流与评
价情况!修改$完善成果"
综合与实践$趋势统计图$!&'
附录 部分中英文词汇对照表
中 文
英 文
*轴"横轴#
*;+<'-
+轴"纵轴#
+;+<'-
平面直角坐标系
$#(.+%=)*+$(//$&'%+.#->-.#2
自变量
'%&#"#%&#%.?+$'+,*#
函数
@)%(.'/%
不等边三角形
-(+*#%#.$'+%=*#
等腰三角形
'-/-(#*#-.$'+%=*#
等边三角形"正三角形#
#A)'*+.#$+*.$'+%=*#
锐角三角形
+().#.$'+%=*#
直角三角形
$'=7..$'+%=*#
钝角三角形
/,.)-#.$'+%=*#
高线
+*.'.)&#
角平分线
+%=)*+$,'-#(./$
中线
2#&'+%
命题
"$/"/-'.'/%
真命题
.$)#"$/"/-'.'/%
假命题
@+*-#"$/"/-'.'/%
反例
(/)%.#$#<+2"*#
定理
.7#/$#2
推论
(/$/**+$>
外角
#<.#$'/$+%=*#
全等形
(/%=$)#%.@'=)$#-
!&($ 附录$部分中英文词汇对照表
!续表"
中 文
英 文
全等三角形
(/%=$)#%..$'+%=*#-
轴对称图形
->22#.$'(@'=)$#
对称轴
+<'-/@->22#.$>
垂直平分线
"#$"#%&'()*+$,'-#(./$
附录$部分中英文词汇对照表$!&)
后$$记
本套数学教科书在原+义务教育教科书$数学"七年级上册至九年
级下册#,的基础上!依据教育部颁布的+义务教育数学课程标准"%*%%
年版#,进行了全面修订"
为了做好本次的修订工作!我们调整$加强了编写队伍"本套教科
书编写组由苏淳$吴之季担任主编!叶向东院士担任顾问"
本册编写修订工作主要由万家练$张颖$郑玉兵$蒋宝童$冯玲$王圣
完成"
此外!在本册修订过程中!葛家荣参与了第!! 章的修改!储成俊参
与了第!%章的修改!苏里阳参与了第!&章和第!"章的修改!崔伟参与
了第!&章的修改!程大庆参与了第!"章的修改"
在编写本套教科书的过程中!我们得到许多专家$学者以及广大数
学教育工作者的大力支持和热情帮助!部分省市的一线教师参与了教科
书的试教试用!提出了宝贵的意见和建议"在此!我们表示衷心的感谢-
教材建设是一项长期任务!需要不断探索$实践$完善"我们恳请广
大师生持续关注和支持本套教科书!在使用过程中提出宝贵的意见和
建议"$
联系电话% *%!
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电子邮箱% B(2--."-(% "
编者
本书图片提供信息!
本书中的部分图片由视觉中国" !"#$%&%" 上海飞果信息技术"上海外高桥
造船有限公司等提供!
声明!按照#中华人民共和国著作权法$第二十五条有关规定%我们已尽量
寻找著作权人支付报酬!著作权人如有关于支付报酬事宜可及时与出版社
联系!!
