文档文本内容
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新时代数学编写组 编著
上海科学技术出版社
主
编 吴之季 苏 淳
副主编 杜先能 徐子华
本册主编 徐子华
策划编辑 苏德敏
责任编辑 吴 敏
美术编辑 陈 蕾
义务教育教科书
数 学
九年级 上册
新时代数学编写组 编著
上海世纪出版（集团）有限公司
上海科学技术出版社
出版
（上海市闵行区号景路１５９弄Ａ座９Ｆ
１０Ｆ 邮政编码２０１１０１）
新华书店发行
安徽新华印刷股份有限公司印刷
开本７８７× １０９２ １／１６ 印张９．２５ 字数１５１０００
２０１４年６月第１版 ２０２２年６月第１２次印刷
ＩＳＢＮ９７８
７
５４７８
２１７０
１／Ｇ·５０４
定价：９．４７元
如发现印装质量问题或对内容有意见建议，请与本社联系
电话：０２１
６４８４８０２５，邮箱：ｊｃ＠ｓｓｔｐ．ｃｎ
审批编号：皖费核（２０２２年秋季）第００２６号 举报电话：１２３１５
１
目 录
目 录
第
章 二次函数与反比例函数
１
……
２１１ 二次函数
２
………………………………………
２１２ 二次函数的图象和性质
５
………………………
信息技术应用 用《几何画板》研究
二次函数的图象
２４
…………
２１３ 二次函数与一元二次方程
３０
…………………
阅读与思考 由二次函数的图象认识一元
二次不等式的解集
３３
…………
２１４ 二次函数的应用
３６
……………………………
２１５ 反比例函数
４３
…………………………………
阅读与思考 商品市场的均衡问题
５０
………
２１６ 综合与实践 获取最大利润
５２
………………
小结·评价
５４
……………………………………………
复习题
５６
………………………………………
第
章 相似形
６２
………………………
２２１ 比例线段
６３
……………………………………
阅读与欣赏 奇妙的黄金数
７３
………………
２２２ 相似三角形的判定
７６
…………………………
２２３ 相似三角形的性质
８７
…………………………
２
目 录
数学活动 矩形对角线穿过的小正方
形数
９２
……………………………
２２４ 图形的位似变换
９５
……………………………
阅读与思考 平面直角坐标系中图形的
位似变换
９７
……………………
数学史话 出入相补原理
１００
…………………
２２５ 综合与实践 测量与误差
１０２
…………………
小结·评价
１０４
…………………………………………
复习题
１０５
………………………………………
第
章 解直角三角形
１１１
……………
２３１ 锐角的三角函数
１１２
……………………………
２３２ 解直角三角形及其应用
１２４
……………………
数学活动 问题出在哪里
１３３
…………………
小结·评价
１３４
…………………………………………
复习题
１３５
………………………………………
附录
部分中英文词汇索引
１４０
………………………
后记
１４１
…………………………………………………
二次函数与反比例函数
２１．１ 二次函数
２１．２ 二次函数的图象
和性质
２１．３ 二次函数与一元
二次方程
２１．４ 二次函数的应用
２１．５ 反比例函数
２１．６ 综合与实践 获
取最大利润
!"#$%&'( ４０ｍ)*+，,"-.*/01
2)"3，4567．8*9)12"3)/:(; ｘｍ，
3<; Ｓｍ２，=>，Ｓ? ｘ@ABCD)EFGH？IJ*
9)"33<KL，MN)/:(OPQRS？
Ｓ＝ｘ（２０－ｘ）．
!TUVW ２４８ｋｍ，XYZ[\]^_)`A ｔｈ?
abcd ｖｋｍ／ｈ@ABCD)EFGH？
ｔ＝２４８
ｖ
．
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+，2345$6789:;<=>?@．
２
第２１章 二次函数与反比例函数
２１．１二次函数
问题? 某水产养殖户用长４０ｍ的围网，在水库中围
一块矩形的水面，投放鱼苗（图２１
１）．要使围成的水面面
积最大，则它的边长应是多少米？
这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之
间的关系．
设围成的矩形水面的一边长为ｘｍ，那么，矩形水面的
另一边长应为（２０－ｘ）ｍ．若它的面积是Ｓｍ２，则有
Ｓ＝ｘ（２０－ｘ）．
问题? 有一玩具厂，如果安排装配工１５人，那么每人
每天可装配玩具１９０个；如果增加人数，那么每增加１人，可
使每人每天少装配玩具１０个．问增加多少人才能使每天装
配玩具总数最多？玩具总数最多是多少？
设增加ｘ人，这时，则共有（１５＋ｘ）个装配工，每人每天
可少装配１０ｘ个玩具，因此，每人每天只装配（１９０－１０ｘ）个
玩具．所以，增加人数后，每天装配玩具总数ｙ可表示为
ｙ＝（１９０－１０ｘ）（１５＋ｘ）．
在问题?中，函数的表达式为
Ｓ＝ｘ（２０－ｘ）
＝－ｘ２＋２０ｘ．
在问题?中，函数的表达式为
ｙ＝（１９０－１０ｘ）（１５＋ｘ）
＝－１０ｘ２＋４０ｘ＋２８５０．
图 ２１
１
这里ｘ的取
值有什么限制？
３
２１．１ 二次函数
这两个问题中，函数的表达式是自变量的二次式．
一般地，表达式形如ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，
且ａ≠０）的函数叫做ｘ的二次函数（ｑｕａｄｒａｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ），其
中ｘ是自变量．
二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数，但是在
实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义．如问题
?中，０＜ｘ＜２０，因为矩形的两边之和是２０ｍ．
１设圆的半径为ｒ，请填空：
（１）这个圆的周长Ｃ＝
，它是ｒ的
函数；
（２）这个圆的面积Ｓ＝
，它是ｒ的
函数．
２在下列表达式中，哪些是二次函数？
（１）正常情况下，一个人在运动时每分所能承受的最高心跳次数ｂ与这个人的年龄ａ
之间的关系可表示为
ｂ＝０８（２２０－ａ）；
（２）圆锥的高为ｈ，它的体积Ｖ与底面半径ｒ之间的关系可表示为
Ｖ＝１
３πｒ２ｈ （ｈ为定值）；
（３）物体自由下落时，下落高度ｈ与下落时间ｔ之间的关系可表示为
ｈ＝１
２ｇｔ２ （ｇ为定值）；
（４）导线的电阻为Ｒ，当导线中有电流通过时，电功率Ｐ与电流Ｉ之间的关系可表
示为
Ｐ＝ＲＩ２ （Ｒ为定值）．
４
第２１章 二次函数与反比例函数
习题２１．１
１在下列表达式中，ｘ为自变量，问哪些是二次函数？
ｙ＝３ｘ２－１，
ｙ＝５ｘ２－２ｘ，
ｙ＝－２ｘ２＋ｘ－１，
ｙ＝４－ｘ３， ｙ＝１
ｘ２， ｙ＝２ｘ２＋１
ｘ， ｙ＝（ｘ－２）（２ｘ＋１）．
２正方形的边长为５，如果边长增加ｘ，那么面积增加ｙ，求ｙ与ｘ之间的函数表
达式．
３长方体的长与宽均为ｘ，高为８，求长方体表面积Ｓ与ｘ之间的函数表达式．
４从已知半径为Ｒ的圆板上挖掉一个半径为ｒ（ｒ＜Ｒ）的同心圆板，求所剩圆环面
积Ｓ与ｒ之间的函数表达式．
５在一块一边长为３５ｍ、另一边长为２０ｍ的矩形空地上修建花坛，如果在四周留出
宽度为ｘｍ的小路，中间花坛面积为ｙｍ２，求ｙ与ｘ之间的函数表达式．
６某商场今年一月份销售额为５０万元，二、三月份平均每月销售增长率为ｘ，求三月
份销售额ｙ与ｘ之间的函数表达式．
５
２１．２ 二次函数的图象和性质
２１．２二次函数的图象和性质
１．二次函数ｙ＝ａｘ２的图象和性质
一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形
状呢？它又有什么性质？
下面我们先来研究最简单的二次函数ｙ＝ｘ２．
例１ 画出二次函数ｙ＝ｘ２的图象．
解 列表：由于自变量ｘ可以取任意实数，因此以０为
中心选ｘ的一些值列表．
ｘ
…
－３
－２
－１
０
１
２
３
…
ｙ＝ｘ２
…
９
４
１
０
１
４
９
…
描点：根据上表中各列ｘ，ｙ的数值在平面直角坐标系
中描点（ｘ，ｙ）．
连线：用平滑曲线顺次连接各点，得二次函数ｙ＝ｘ２的
图 ２１
２
描点后，相
邻两点间能用
线段连接吗？
６
第２１章 二次函数与反比例函数
图象，如图２１
２．
观察二次函数ｙ＝ｘ２的图象（图２１２），回答下
列问题．
（１）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴
是什么？
（２）图象有最低点吗？如果有，最低点的坐标是
什么？
（３）当ｘ＜０时，随着ｘ的增大，函数ｙ如何变
化？当ｘ＞０时呢？
从上述观察中，我们可以看到，函数ｙ＝ｘ２的图象是一
条关于ｙ轴对称的曲线，我们把这条曲线叫做抛物线
（ｐａｒａｂｏｌａ）．函数ｙ＝ｘ２的图象可以简称为抛物线ｙ＝ｘ２．
由图２１
２可知：抛物线ｙ＝ｘ２的开口向上；ｙ轴（直
线ｘ＝０）是它的对称轴；对称轴与抛物线的交点是抛物线
的顶点，顶点的坐标为（０，０）．
从图上看，抛物线ｙ＝ｘ２的顶点也是图象的最低点，也
就是说，当ｘ≠０时，对应的ｙ均大于０；当ｘ＝０时，对应的
ｙ＝０是该函数的最小函数值（这时可记作ｙ最小值＝０）．
还可以看到，在ｙ轴左侧，抛物线是下降的，即当ｘ＜０
时，随着ｘ的增大，函数ｙ减小；在ｙ轴右侧，抛物线是上升
的，即当ｘ＞０时，随着ｘ的增大，函数ｙ也增大．
例２ 在同一平面直角坐标系中，画出函数ｙ＝１
２ｘ２、
ｙ＝２ｘ２的图象．
解 列表：
７
２１．２ 二次函数的图象和性质
ｘ
…
－４
－３
－２
－１
０
１
２
３
４
…
ｙ＝１
２ｘ２
…
８
４５
２
０５
０
０５
２
４５
８
…
ｘ
…
－２
－１５
－１
－０５
０
０５
１
１５
２
…
ｙ＝２ｘ２
…
８
４５
２
０５
０
０５
２
４５
８
…
描点、连线，即得这两个函数的图象，如图２１
３．
图 ２１
３
１．观察二次函数ｙ＝１
２ｘ２和ｙ＝２ｘ２的图象，分
别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出
图象有最高点还是有最低点？图象何时上升、下降？
２．你能根据函数ｙ＝ｘ２、ｙ＝１
２ｘ２和ｙ＝２ｘ２的
图象的共同特点，总结出二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）的
性质吗？
８
第２１章 二次函数与反比例函数
二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）
图象的形状
ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）
图象的特点
函数的性质
１
向ｘ轴左右方向无限
延伸
自变量ｘ的取值范围是全
体实数
２
是轴对称图形，对称轴
是ｙ轴
对于ｘ和－ｘ可得到相同
的函数ｙ
３
在ｙ轴左侧是下降的，
在ｙ轴右侧是上升的
当ｘ＜０时，函数ｙ随ｘ的
增大而减小；
当ｘ＞０时，函数ｙ随ｘ的
增大而增大
４
顶点就是原点（０，０），
顶点是图象的最低点．开
口向上，图象向上无限
延伸
当ｘ＝０时，函数取得最小
值，ｙ最小值＝０，且ｙ没有最大
值，即ｙ≥０
３仿例１、例２在同一平面直角坐标系中，画出函
数ｙ＝－ｘ２、ｙ＝－１
２ｘ２和ｙ＝－２ｘ２的图象，分别指出
它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象有最
高点还是最低点？图象何时上升、下降？
列表：
ｘ
…
－３
－２
－１
０
１
２
３
…
ｙ＝－ｘ２
…
－９
－４
－１
０
－１
－４
－９
…
ｘ
…
－４
－３
－２
－１
０
１
２
３
４
…
ｙ＝－１
２
ｘ２
…
…
ｘ
…
－２
－１．５
－１
－０．５
０
０．５
１
１．５
２
…
ｙ＝－２ｘ２
…
…
描点、连线，得这三个函数的图象（图２１
４）．
９
２１．２ 二次函数的图象和性质
图 ２１
４
４根据函数ｙ＝－ｘ２、ｙ＝－１
２ｘ２和ｙ＝－２ｘ２的图象
特点，仿照上面的表格，总结出二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ＜０）
的性质．
二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ＜０）
图象的形状
ｙ＝ａｘ２（ａ＜０）
图象的特点
函数的性质
１
２
３
４
５分别比较函数ｙ＝ｘ２与ｙ＝－ｘ２、ｙ＝１
２ｘ２与ｙ＝
－１
２ｘ２、ｙ＝２ｘ２与ｙ＝－２ｘ２的图象，指出它们之间相同与
不同之处．
１０
第２１章 二次函数与反比例函数
１．当ａ＞０时，函数ｙ＝ａｘ２的图象与ａ＜０时
有什么不同？
２．｜ａ｜的大小对函数ｙ＝ａｘ２的图象的开口大
小有什么影响？
一般地，二次函数ｙ＝ａｘ２的图象都是抛物线，因此，二
次函数ｙ＝ａｘ２的图象可以简称为抛物线ｙ＝ａｘ２．
１．（１）在同一平面直角坐标系中，画出函数ｙ＝１
３
ｘ２、ｙ＝－１
３ｘ２、ｙ＝３ｘ２、ｙ＝－３ｘ２
的图象；
（２）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴；
（３）说出各图象中的最高点或最低点的坐标；
（４）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数ｙ随ｘ增大而变化的情况．
２．在下列抛物线中，开口最大、最小的各是哪一个？
ｙ＝－１
３
ｘ２、ｙ＝－１
２
ｘ２、ｙ＝５
３
ｘ２、ｙ＝（２＋槡２）ｘ２．
３．在同一平面直角坐标系中，下列各组中两个函数的图象有怎样的位置关系？
（１）ｙ＝－２ｘ２与ｙ＝２ｘ２；
（２）ｙ＝３ｘ２与ｙ＝－３ｘ２；
（３）ｙ＝ａｘ２与ｙ＝－ａｘ２．
４画出函数ｙ＝ｘ２的图象，并根据图象求：
（１）当ｘ＝２，－１７时的ｙ值（精确到０．１）；
（２）当ｙ＝２，５８时的ｘ值（精确到０．１）；
（３）图象上最低点的坐标．
１１
２１．２ 二次函数的图象和性质
５．二次函数ｙ＝ａｘ２的图象经过点（２，－２）．
（１）求这个函数的表达式；
（２）当ｘ为何值时，函数ｙ随ｘ的增大而增大？
２．二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象和性质
问题? 在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数
ｙ＝２ｘ２、ｙ＝２ｘ２＋１和ｙ＝２ｘ２－１的图象？
列表：
ｘ
…
－２
－３
２
－１
－１
２
０
１
２
１
３
２
２
…
ｙ＝２ｘ２
…
…
ｙ＝２ｘ２＋１
…
…
ｙ＝２ｘ２－１
…
…
描点、连线，即得各函数的图象（请补全上述表格和图
２１
５）．
图 ２１
５
１２
第２１章 二次函数与反比例函数
观察ｙ＝２ｘ２、ｙ＝２ｘ２＋１和ｙ＝２ｘ２－１三个
函数的图象（图２１
５），回答下列问题．
（１）这三个函数图象的开口方向如何？顶点坐
标、对称轴分别是什么？
（２）对于同一个ｘ，这三个函数对应的ｙ之间
有什么关系？这三个函数的图象在位置上有什么
关系？
（３）当ｘ分别取何值时，这三个函数取得最小
值？最小值分别是多少？
由图象可知，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｋ与ｙ＝ａｘ２的形状、开口
大小和开口方向相同，只是位置不同．抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｋ可
由抛物线ｙ＝ａｘ２沿ｙ轴方向平移｜ｋ｜个单位得到，当ｋ＞０
时，向上平移；当ｋ＜０时，向下平移．
１在同一平面直角坐标系中，画出函数ｙ＝－１
２ｘ２、ｙ＝－１
２ｘ２－１和ｙ＝－１
２ｘ２＋１的
图象．
（１）填表：
ｘ
…
…
ｙ＝－１
２ｘ２
…
…
ｙ＝－１
２ｘ２－１
…
…
ｙ＝－１
２ｘ２＋１
…
…
１３
２１．２ 二次函数的图象和性质
（第１题）
（２）描点、连线：
２观察第１题所画的图象，并填空：
（１）抛物线ｙ＝－１
２ｘ２－１的开口方向是
，顶点坐标是（ ， ），对称轴
是 ，抛物线ｙ＝－１
２ｘ２－１可由抛物线ｙ＝－１
２ｘ２向
平移
个单位得到；
（２）对于函数ｙ＝－１
２ｘ２＋１，当ｘ＞０时，函数ｙ随ｘ的增大而 ；当ｘ＜０时，函
数ｙ随ｘ的增大而
；
（３）对于函数ｙ＝－１
２ｘ２，当ｘ＝
时，函数取得最
值，ｙ最
＝
；
对于函数ｙ＝－１
２ｘ２－１，当ｘ＝
时，函数取得最
值，ｙ最
＝
；
对于函数ｙ＝－１
２ｘ２＋１，当ｘ＝
时，函数取得最
值，ｙ最
＝
．
３．将抛物线ｙ＝３ｘ２向上平移２个单位后得到新抛物线，其对应的函数表达式是什么？
１４
第２１章 二次函数与反比例函数
问题? 在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数
ｙ＝ｘ２、ｙ＝（ｘ－１）２和ｙ＝（ｘ＋１）２的图象？
填表：
ｘ
…
－３
－２
－１
０
１
２
３
…
ｙ＝ｘ２
…
…
ｙ＝（ｘ－１）２
…
…
ｙ＝（ｘ＋１）２
…
…
描点、连线，即得各函数的图象（请补全上述表格和图
２１
６）．
图 ２１
６
观察ｙ＝ｘ２、ｙ＝（ｘ－１）２和ｙ＝（ｘ＋１）２三
个函数的图象（图２１
６），回答下列问题．
（１）这三个函数图象的开口方向如何？顶点坐
标、对称轴分别是什么？
（２）对于同一个ｙ值，这三个函数对应的ｘ值
之间有什么关系？这三个函数的图象在位置上有什
么关系？
１５
２１．２ 二次函数的图象和性质
（３）当ｘ分别取何值时，这三个函数取得最小
值？最小值分别是多少？
由图象可知，抛物线ｙ＝ａ（ｘ＋ｈ）２与ｙ＝ａｘ２的形状、
开口大小和开口方向相同，只是位置不同．抛物线
ｙ＝ａ（ｘ＋ｈ）２可由抛物线ｙ＝ａｘ２沿ｘ轴方向平移｜ｈ｜个单
位得到，当ｈ＞０时，向左平移；当ｈ＜０时，向右平移．
１在同一平面直角坐标系中，画出函数ｙ＝－１
３ｘ２、ｙ＝－１
３（ｘ＋２）２和ｙ＝－１
３（ｘ－２）２
的图象．
（１）填表：
ｘ
…
…
ｙ＝－１
３ｘ２
…
…
ｙ＝－１
３（ｘ＋２）２
…
…
ｙ＝－１
３（ｘ－２）２
…
…
（２）描点、连线：
（第１题）
１６
第２１章 二次函数与反比例函数
２观察第１题所画的图象，并填空：
抛物线ｙ＝－１
３（ｘ＋２）２的开口方向是
，顶点坐标是（
，
），对称轴是
．当ｘ
时，函数ｙ随ｘ的增大而增大；当ｘ
时，函数ｙ随ｘ的
增大而减小．抛物线ｙ＝－１
３（ｘ＋２）２可由抛物线ｙ＝－１
３ｘ２向
平移
个单位得到．
３当ａ＞０时，抛物线ｙ＝ａ（ｘ＋ｈ）２的开口方向是
，顶点坐标是（
，
），
对称轴是 ．当ｘ＝ 时，函数ｙ＝ａ（ｘ＋ｈ）２取得最 值，ｙ最
＝
．
当ａ＜０时，抛物线ｙ＝ａ（ｘ＋ｈ）２的开口方向是
，顶点坐标是（
，
），
对称轴是
．当ｘ＝
时，函数ｙ＝ａ（ｘ＋ｈ）２取得最 值，ｙ最
＝
．
４．抛物线ｙ＝４（ｘ－１）２可由抛物线ｙ＝４ｘ２怎样平移后得到？
５．抛物线ｙ＝ａ（ｘ＋ｂ）２的顶点为（－２，０），形状与抛物线ｙ＝５ｘ２相同，但开口方向
相反．
（１）求抛物线对应的函数表达式；
（２）求抛物线与ｙ轴交点坐标．
问题? 怎样画出函数ｙ＝１
２（ｘ－２）２＋１的图象？
我们已经知道二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｋ、ｙ＝ａ（ｘ＋ｈ）２的图
象与ｙ＝ａｘ２的图象之间的关系，因此本题在描点画图前，不
妨先将函数ｙ＝１
２（ｘ－２）２＋１与ｙ＝１
２（ｘ－２）２作一比较．
对于每一个给定的ｘ值，函数ｙ＝１
２（ｘ－２）２＋１的值都
要比函数ｙ＝１
２（ｘ－２）２的值大１．由此可见，函数
ｙ＝１
２（ｘ－２）２＋１的图象可由抛物线ｙ＝１
２（ｘ－２）２向上
１７
２１．２ 二次函数的图象和性质
平移１个单位得到．
再由前面的研究可知，抛物线ｙ＝１
２（ｘ－２）２可由抛物
线ｙ＝１
２ｘ２向右平移２个单位得到．
因此，函数ｙ＝１
２（ｘ－２）２＋１的图象可由抛物线
ｙ＝１
２ｘ２向右平移２个单位，再向上平移１个单位得到，如图
２１
７．
图 ２１
７
１抛物线ｙ＝１
２（ｘ－１）２－１的开口方向是
，顶点坐标是（
， ），对称轴
是 ．当ｘ 时，函数ｙ随ｘ的增大而增大；当ｘ
时，函数
ｙ随ｘ的增大而减小；当ｘ＝ 时，函数取得最
值，ｙ最
＝
．
２仿照上题内容，讨论二次函数ｙ＝ａ（ｘ＋ｈ）２＋ｋ的图象特点．
１８
第２１章 二次函数与反比例函数
通过前面几个问题的探究，我们已经熟悉了二
次函数ｙ＝ａ（ｘ＋ｈ）２＋ｋ的图象特点，你认为怎样画
函数ｙ＝－２ｘ２－８ｘ－７的图象较简便？
我们可以先将这个函数的表达式配方，得
ｙ＝－２ｘ２－８ｘ－７
＝－２（ｘ２＋４ｘ）－７
＝－２（ｘ２＋４ｘ＋４）－７＋８
＝－２（ｘ＋２）２＋１．
可见，函数ｙ＝－２ｘ２－８ｘ－７的图象是一条开口向下的
抛物线，顶点坐标是（－２，１），对称轴是直线ｘ＝－２．
根据图象的对称性列表：
ｘ
…
－２
－３
２
－１
－１
２
０
…
ｙ＝－２（ｘ＋２）２＋１
…
１
１
２
－１
－７
２
－７
…
描点、连线：根据上表描点，并由函数图象的对称性画出
它们关于直线ｘ＝－２的对称点，用平滑曲线顺次连接各点，即
得函数ｙ＝－２ｘ２－８ｘ－７的图象，如图２１
８．
列表时，自
变量ｘ为什么只
取大于或等于
－２的值？
１９
２１．２ 二次函数的图象和性质
图 ２１
８
一般的二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象特点是
怎样的？从中可看出函数有哪些性质？
如果将这个函数的表达式配方，则有
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ
＝ａ（ ）＋
＝ａ（ ）２＋ ．
因而，可得二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象和性质如下：
函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ
ａ＞０
ａ＜０
函数图象
２０
第２１章 二次函数与反比例函数
（续表）
函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ
ａ＞０
ａ＜０
抛物线开口方向
抛物线的开口向
抛物线的开口向
抛物线顶点坐标
顶点坐标是（
，
）
顶点坐标是（
，
）
抛物线对称轴
对称轴是直线ｘ＝
对称轴是直线ｘ＝
函数增减情况
当ｘ＞－ｂ
２ａ时，函数ｙ随ｘ的
增大而
；
当ｘ＜－ｂ
２ａ时，函数ｙ随ｘ的
增大而
当ｘ＞－ｂ
２ａ时，函数ｙ随ｘ的
增大而
；
当ｘ＜－ｂ
２ａ时，函数ｙ随ｘ的
增大而
函数最大值或最小值
当ｘ＝－ｂ
２ａ时，函数取得最小
值，ｙ最小值＝
当ｘ＝－ｂ
２ａ时，函数取得最大
值，ｙ最大值＝
１用配方法把下列函数的表达式化成ｙ＝ａ（ｘ＋ｈ）２＋ｋ的形式，并指出抛物线的开口方
向、顶点坐标和对称轴，然后再用描点法画出函数图象．
（１）ｙ＝２ｘ２＋８ｘ＋５； （２）ｙ＝－３ｘ２＋６ｘ；
（３）ｙ＝１
３ｘ２＋２ｘ－１；
（４）ｙ＝（２－ｘ）（２ｘ＋１）．
２将函数ｙ＝－１
２ｘ２＋３ｘ－５
２化成ｙ＝ａ（ｘ＋ｈ）２＋ｋ的形式是
，
其对应的抛物线的开口方向是
，顶点坐标是（
， ），对称轴是
．当ｘ
＝ 时，函数取得最
值，ｙ最
＝
．
抛物线ｙ＝－１
２ｘ２＋３ｘ－５
２可由抛物线ｙ＝－１
２ｘ２向 平移 个单位，再向
平移 个单位得到．
２１
２１．２ 二次函数的图象和性质
３．抛物线ｙ＝３ｘ２－５ｘ的最低点坐标是（
，
），可由抛物线ｙ＝３ｘ２向 平移
个单位，再向
平移 个单位得到．当ｘ
时，函数ｙ随ｘ的增大而
减小；当ｘ
时，函数ｙ随ｘ的增大而增大；当ｘ＝
时，函数取得
最 值，ｙ最
＝
．
４．函数ｙ＝ｘ２－１的图象可由下列哪个函数的图象向右平移１个单位，向下平移２个单
位得到（ ）．
（Ａ）ｙ＝（ｘ－１）２＋１ （Ｂ）ｙ＝（ｘ＋１）２＋１
（Ｃ）ｙ＝（ｘ－１）２－３
（Ｄ）ｙ＝（ｘ＋１）２＋３
５．已知抛物线ｙ＝ｘ２－４ｘ＋ａ的顶点在直线ｙ＝－４ｘ－１上，求抛物线的顶点坐标．
３．二次函数表达式的确定
我们知道，当给出一次函数图象上两点的坐标时，就可
以求出这个一次函数的表达式．那么，对于二次函数，需要什
么条件，才可以求出它的表达式呢？
例３ 已知一个二次函数的图象经过（－１，１０），
（１，４），（２，７）三点，求这个二次函数的表达式．
解 设所求二次函数的表达式为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，由已
知函数图象经过（－１，１０），（１，４），（２，７）三点，得
ａ－ｂ＋ｃ＝１０，
ａ＋ｂ＋ｃ＝４，
４ａ＋２ｂ＋ｃ＝７．
解方程组，得
ａ＝２，
ｂ＝－３，
ｃ＝５．
答：所求二次函数的表达式为ｙ＝２ｘ２－３ｘ＋５．
２２
第２１章 二次函数与反比例函数
例４ 有一个二次函数，当ｘ＝０时，ｙ＝－１；当
ｘ＝－２时，ｙ＝０；当ｘ＝１
２时，ｙ＝０，求这个二次函数的表
达式．解 设所求二次函数的表达式为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，根据
题意，得
ｃ＝－１，
４ａ－２ｂ＋ｃ＝０，
１
４ａ＋１
２ｂ＋ｃ＝０
．
解方程组，得
ａ＝１，
ｂ＝３
２，
ｃ＝－１
．
答：所求二次函数的表达式为ｙ＝ｘ２＋３
２ｘ－１．
例５ 抛物线ｙ＝１
２ｘ２－４ｘ＋８与直线ｙ＝１
２ｘ＋１交于
Ｂ，Ｃ两点．
（１）在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线；
（２）记抛物线的顶点为Ａ，求
ＡＢＣ的面积．
解 （１）如图２１
９，画出直线ｙ＝１
２ｘ＋１与抛物线
ｙ＝１
２ｘ２－４ｘ＋８．
图 ２１
９
２３
２１．２ 二次函数的图象和性质
（２）由ｙ＝１
２ｘ２－４ｘ＋８＝１
２（ｘ－４）２，得点Ａ的坐标
为（４，０）．
解方程组
ｙ＝１
２ｘ＋１，
ｙ＝１
２ｘ２－４ｘ＋８，
得Ｂ，Ｃ两点的坐标为
Ｂ（２，２），Ｃ（７，４．５）．
过Ｂ，Ｃ两点分别作ｘ轴垂线，垂足为Ｂ１，Ｃ１，则
Ｓ
ＡＢＣ＝Ｓ梯形ＢＢ１Ｃ１Ｃ－Ｓ
ＡＢＢ１－Ｓ
ＡＣＣ１
＝１
２（ＢＢ１＋ＣＣ１）Ｂ１Ｃ１－１
２ＡＢ１·ＢＢ１
－１
２ＡＣ１·ＣＣ１
＝１
２（２＋４．５）× ５－１
２× ２× ２－１
２× ３× ４．５
＝７．５．
１已知一个二次函数的图象经过（０，０），（－１，－１１），（１，９）三点，求这个二次函数的表
达式．
２．函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ与ｙ＝ａｘ＋ｂ在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）．
３．直线ｙ＝２ｘ＋３与抛物线ｙ＝ｘ２的交点为Ａ，Ｂ两点，求
ＯＡＢ的面积．
２４
第２１章 二次函数与反比例函数
用《几何画板》研究二次函数的图象
《几何画板》可以方便地作出二次函数的图象，下面，我们
就用它来研究二次函数的图象变化．
作函数ｙ＝ａ（ｘ＋ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）的图象，研究ａ，ｈ，ｋ的
变化对函数图象的影响．操作步骤如下：
（１）打开《几何画板》，选择“数据”菜单中的“新建参数”命
令（图２１
１０），在弹出的“新建参数”对话框中，将“名称”框改
为“ａ”（图２１
１１），点击“确定”按钮，得到参数ａ．同理，可得参
数ｈ，ｋ．
图 ２１
１０
图 ２１
１１
图 ２１
１２
图 ２１
１３
２５
２１．２ 二次函数的图象和性质
（２）同时选中参数ａ，ｈ，ｋ，选择“绘图”菜单中的“绘制新函数”
命令（图２１
１２），在弹出的“新建函数”对话框中，根据说明新建表
达式“ａ（ｘ＋ｈ）∧２＋ｋ”（图２１
１３），点击“确定”按钮，就可以
得到二次函数ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ＋ｈ）２＋ｋ及其图象（图２１
１４）．
图 ２１
１４
（３）选中参数ａ，选择“编辑”菜单的“操作类按钮”子菜单
中的“动画”命令（图２１
１５），在弹出的“操作类按钮动画参
数”对话框中，选择“动画”选项卡，将“范围”框改为“－３到３”
（图２１
１６），选择“标签”选项卡，将“标签”框改为“参数ａ变
化”（图２１
１７），点击“确定”按钮，得到参数ａ从－３到３变化
的动画按钮．同理，可得参数ｈ和ｋ分别从－３到３变化的动画
按钮（图２１
１８）．
图 ２１
１５
图 ２１
１６
２６
第２１章 二次函数与反比例函数
图 ２１
１７
图 ２１
１８
分别点击“参数ａ变化”“参数ｈ变化”和“参数ｋ变化”，观
察随着ａ，ｈ，ｋ的变化，图象分别怎样变化？你能得到什么结论？
习题２１．２
［第１（２）题］
１选择：
（１）如果直线ｙ＝ａｘ＋３经过第一、二、三象限，那么
抛物线ｙ＝ａｘ２的开口方向是（
）；
（Ａ）向上
（Ｂ）向左
（Ｃ）向下
（Ｄ）向右
（２）如图，根据图象提供的信息，下列结论正确的
是（
）；
（Ａ）ａ１＞ａ２＞ａ３＞ａ４
（Ｂ）ａ１＜ａ２＜ａ３＜ａ４
（Ｃ）ａ４＞ａ１＞ａ２＞ａ３
（Ｄ）ａ２＞ａ３＞ａ１＞ａ４
（３）如果点（ａ，ｂ）在抛物线ｙ＝－ｘ２上，那么下列各
点中一定在该抛物线上的是（
）．
（Ａ）（－ａ，－ｂ）
（Ｂ）（－ａ，ｂ）
（Ｃ）（ａ，－ｂ）
（Ｄ）（ｂ，ａ）
２７
２１．２ 二次函数的图象和性质
２已知：ｙ１＝３
２ｘ２
１，ｙ２＝５
２ｘ２
２．
（１）当ｘ１＝ｘ２＝２时，ｙ１比ｙ２大（或小）多少？
（２）当ｙ１＝ｙ２＝２时，｜ｘ１｜比｜ｘ２｜大（或小）多少？
（第３题）
３．如图，一边长为２的正三角形ＡＢＯ的三个顶点均在一
抛物线上，Ｏ为坐标原点，求此抛物线对应的函数表
达式．
４在同一平面直角坐标系中，分别画出下列各组二次函数的
图象，并写出它们的对称轴和顶点坐标：
（１）ｙ＝１
２ｘ２＋３与ｙ＝１
２ｘ２－３；
（２）ｙ＝－１
３（ｘ＋２）２与ｙ＝－１
３（ｘ－２）２；
（３）ｙ＝１
３（ｘ＋２）２－３与ｙ＝１
３（ｘ－２）２＋３．
５通过配方，写出下列抛物线的对称轴和顶点坐标：
（１）ｙ＝ｘ２＋３ｘ－２；
（２）ｙ＝１－６ｘ－ｘ２；
（３）ｙ＝３ｘ２－２ｘ＋４；
（４）ｙ＝－１
２
ｘ２－２ｘ＋７．
６先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画图，并指出当ｘ为何值
时，二次函数取得最大值或最小值，最大值或最小值分别是多少？
（１）ｙ＝２ｘ２－３ｘ＋１；
（２）ｙ＝－２ｘ２－８ｘ＋３．
７填空：
（１）函数ｙ＝（２ｘ＋１）２＋１，当ｘ＞
时，函数ｙ随ｘ的增大而增大；
（２）函数ｙ＝－２ｘ２＋ｘ－４，当ｘ＞
时，函数ｙ随ｘ的增大而减小．
８已知点Ａ（－４，ｙ１），Ｂ（－３，ｙ２），Ｃ（２，ｙ３）在抛物线ｙ＝－ｘ２－４ｘ＋５上，试比较
ｙ１，ｙ２，ｙ３的大小．
９有一个二次函数，当ｘ＝－１时，函数的最小值为－３，它的图象经过点（１，５），求
这个二次函数的表达式．
２８
第２１章 二次函数与反比例函数
１０平移二次函数ｙ＝ａｘ２的图象，使它满足下列条件，并分别求对应的函数表
达式：
（１）顶点为Ａ（－１，－２），且经过点Ｂ（１，１０）；
（２）对称轴为直线ｘ＝３，最大值为－１，且经过点Ｃ（４，－３）．
（第１１题）
１１如图，二次函数ｙ＝ａｘ２－４ｘ＋ｃ的图象经过坐标原点
Ｏ，并与ｘ轴交于点Ａ（－４，０）．
（１）求此二次函数的表达式；
（２）已知在抛物线上存在点Ｐ，且Ｓ
ＡＯＰ＝８，请直接
写出点Ｐ的坐标．
１２．将抛物线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ先向上平移２个单位，再向
左平移４个单位，得到抛物线ｙ＝ｘ２，求ｂ，ｃ的值．
１３．已知抛物线ｙ＝－ｘ２－４ｘ＋５．
（１）求与已知抛物线关于ｘ轴对称的图象所对应的函数表达式；
（２）求与已知抛物线关于ｙ轴对称的图象所对应的函数表达式．
１４抛物线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ－ｃ经过点Ａ（３，０），Ｂ（０，－３）．
（１）求这个抛物线对应的函数表达式；
（２）记抛物线的顶点为Ｄ，抛物线与ｘ轴的另一个交点为Ｃ，设Ｐ为抛物线上一
动点，求使Ｓ
ＰＡＣ＝３Ｓ
ＤＡＣ时点Ｐ的坐标．
１５如图，在平面直角坐标系中，Ｏ是坐标原点，点Ａ的坐标是（－２，４），过点Ａ作ＡＢ
垂直于ｙ轴，垂足为Ｂ，连接ＯＡ．若抛物线ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋ｃ经过点Ａ，则完成下
列要求：
（１）求ｃ的值；
（２）将抛物线向下平移ｍ个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在
ＯＡＢ的
内部（不包括
ＡＯＢ的边界），求ｍ的取值范围（可直接写出答案）．
（第１５题）
（第１６题）
２９
２１．２ 二次函数的图象和性质
１６已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－３（ａ≠０）的对称轴为直线ｘ＝１，且抛物线经过点
Ａ（－１，０），它与ｘ轴的另一交点为Ｂ，与ｙ轴的交点为Ｃ．
（１）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（２）在直线ｘ＝１上求点Ｍ，使
ＡＭＣ的周长最小，并求出
ＡＭＣ的周长．
３０
第２１章 二次函数与反比例函数
２１．３二次函数与一元二次方程
在第１２章中，我们通过观察一次函数的图象，研究了一
次函数与一次方程、一次不等式之间的关系．例如，对于图
２１
１９中的一次函数ｙ＝２ｘ－３的图象，它与ｘ轴的交点坐
标是３
２，
(
)
０，即当ｘ＝３
２时，ｙ＝０，也就是交点的横坐标
ｘ＝３
２为一元一次方程２ｘ－３＝０的根；当ｘ＞３
２时，图象
在ｘ轴上方，即ｙ＞０，所以ｘ＞３
２为一元一次不等式２ｘ－
３＞０的解集；当ｘ＜３
２时，图象在ｘ轴下方，即ｙ＜０，所以
ｘ＜３
２为一元一次不等式２ｘ－３＜０的解集．
图 ２１
１９
图 ２１
２０
类似地，通过观察二次函数的图象，也可以帮助我们认
识二次函数与一元二次方程之间的关系．
３１
２１．３ 二次函数与一元二次方程
观察图２１
２０，说一说二次函数ｙ＝ｘ２＋３ｘ＋２
的图象与ｘ轴有几个交点？交点的横坐标与一元二
次方程ｘ２＋３ｘ＋２＝０的根有什么关系？
通过上面的观察可以看出，对于一元二次方程
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０，当Δ ＝ｂ２－４ａｃ≥０时有实数根，这个实
数根就是对应二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的值等于０时自变
量ｘ的一个值，即二次函数的图象与ｘ轴一个交点的横坐标．
由此可知，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方
程的根．由于作图或观察有误差，由图象求得的根一般是近
似解．
例 用图象法求一元二次方程ｘ２＋２ｘ－１＝０的近似解
（精确到０１）．
解 画出函数ｙ＝ｘ２＋２ｘ－１的图象，如图２１
２１．
图 ２１
２１
由图象可知，方程有两个实数根，一个在－３和－２之
间，另一个在０和１之间．
３２
第２１章 二次函数与反比例函数
先求位于－３和－２之间的根．由图象可估计这个根是
－２５或－２４，利用计算器进行探索，见下表：
ｘ
…
－２５
－２４
…
ｙ
…
０２５
－００４
…
观察上表可以发现，当ｘ分别取－２５和－２４时，对应
的ｙ由正变负，可见在－２５与－２４之间肯定有一个ｘ使
ｙ＝０，即有方程ｘ２＋２ｘ－１＝０的一个根．题目只要求精确
到０１，这时取ｘ＝－２５或ｘ＝－２４作为根都符合要求．但
当ｘ＝－２４时，ｙ＝－００４比ｙ＝０２５（ｘ＝－２５）更接近０，
故选ｘ＝－２４．
因而，方程ｘ２＋２ｘ－１＝０在－３和－２之间精确到０１
的根为ｘ＝－２４．
请同学们仿照上面的方法，求出上述方程精确到０１的
另一个根．
方程ｘ２＋２ｘ－１＝０的近似解还可以这样求：分别画出
函数ｙ＝ｘ２和ｙ＝－２ｘ＋１的图象，如图２１
２２，它们交点Ａ，
Ｂ的横坐标就是方程ｘ２＋２ｘ－１＝０的根．
图 ２１
２２
如有条件，还可以在计算机上用《几何画板》处理．
观察ｘ取何
值时，ｙ值最接
近０？
用一元二次
方程的求根公式
验证一下．
３３
２１．３ 二次函数与一元二次方程
１对于抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，当ｂ２－４ａｃ＞０时，相应的方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的实
数根个数的情况是
，抛物线与ｘ轴的交点个数的情况是
；当
ｂ２－４ａｃ＝０时，方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的实数根个数的情况是
，抛物线与ｘ
轴的交点个数的情况是 ；当ｂ２－４ａｃ＜０时，方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的实数根
个数的情况是 ，抛物线与ｘ轴的交点个数的情况是
；若顶点在ｘ轴
上，则满足条件 ，若顶点在ｙ轴上，则满足条件
．
２画出下列函数的图象，并求当ｘ为何值时，ｙ＝０．
（１）ｙ＝４ｘ２＋４ｘ＋１；
（２）ｙ＝ｘ２－４ｘ＋５．
３证明：抛物线ｙ＝ｘ２－（２ｐ－１）ｘ＋ｐ２－ｐ与ｘ轴必有两个不同的交点．
４用图象法求方程ｘ２－４ｘ＋１＝０的近似解（精确到０１）．
由二次函数的图象认识一元二次不等式的解集
观察图２１
２０，可以清楚看到二次函数ｙ＝ｘ２＋３ｘ＋２的图
象被ｘ轴分成三部分：一部分与ｘ轴相交，一部分在ｘ轴上方，一
部分在ｘ轴下方．
图象与ｘ轴相交部分，即ｙ＝０，也就是ｘ２＋３ｘ＋２＝０．这时，
由图象得，自变量ｘ的值是－２和－１．
所以ｘ＝－２，ｘ＝－１是一元二次方程ｘ２＋３ｘ＋２＝０的解．
图象在ｘ轴上方部分，即ｙ＞０，也就是ｘ２＋３ｘ＋２＞０．这时，
由图象得，自变量ｘ取值范围是ｘ＜－２或ｘ＞－１．
所以ｘ＜－２或ｘ＞－１是一元二次不等式ｘ２＋３ｘ＋２＞０的解集．
图象在ｘ轴下方部分，即ｙ＜０，也就是ｘ２＋３ｘ＋２＜０．这时，
由图象得，自变量ｘ取值范围是－２＜ｘ＜－１．
所以－２＜ｘ＜－１是一元二次不等式ｘ２＋３ｘ＋２＜０的解集．
３４
第２１章 二次函数与反比例函数
１先求出一元二次方程ｘ２＋２ｘ－１＝０的根，再结合二次函数ｙ＝ｘ２＋２ｘ－１的图
象（图２１
２１），求出当ｙ＝ｘ２＋２ｘ－１＞０和ｙ＝ｘ２＋２ｘ－１＜０时，ｘ的取值
范围．
２结合函数ｙ＝－２ｘ２＋３ｘ－５的图象，求：
（１）－２ｘ２＋３ｘ－５＞０的解集；
（２）－２ｘ２＋３ｘ－５＜０的解集．
习题２１．３
１当ｘ为何值时，函数ｙ＝ｘ２－４ｘ＋３的值等于０？
２判断下列二次函数的图象与ｘ轴有无交点，如有，求出交点的坐标；如没有，请说
明理由．
（１）ｙ＝ｘ２－２ｘ－３；
（２）ｙ＝ｘ２＋ｘ＋１；
（３）ｙ＝４ｘ２－４ｘ＋１；
（４）ｙ＝－１
２ｘ２＋ｘ－４．
３求抛物线ｙ＝－６ｘ２－ｘ＋２与ｘ轴和ｙ轴的交点坐标．
４用图象法求下列方程的近似解：（精确到０１）
（１）ｘ２－ｘ－１＝０；
（２）ｘ２＝３ｘ－１．
５已知二次函数ｙ＝（ｋ－８）ｘ２－６ｘ＋ｋ的图象与ｘ轴只有一个交点，求该交点的
坐标．
６设有函数ｙ＝ｘ２＋ｐｘ＋ｑ，根据下列条件分别确定ｐ，ｑ的值．
（１）当ｘ＝５时，函数有最小值为－２；
（２）函数图象与ｘ轴的交点坐标是（－４，０）和（－１，０）．
３５
２１．３ 二次函数与一元二次方程
（第７题）
７如图，给出了二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象，对于这
个函数有下列五个结论：
①ｂ２－４ａｃ＜０；②ａｂ＞０；③ａ－ｂ＋ｃ＝０；
④４ａ＋ｂ＝０；
⑤当ｙ＝２时，ｘ只能等于０．
其中结论正确的是（
）．
（Ａ）①④
（Ｂ）③④
（Ｃ）②⑤
（Ｄ）③⑤
８结合函数ｙ＝（ｘ－２）２－１的图象，确定当ｘ取何值时，有
（１）ｙ＝０？
（２）ｙ＞０？
（３）ｙ＜０？
９画出函数ｙ＝ｘ２－２ｘ－３的图象，并根据图象回答：
（１）当ｘ取何值时，ｘ２－２ｘ－３＝０？
（２）当ｘ取何值时，ｘ２－２ｘ－３＞０？
（３）当ｘ取何值时，ｘ２－２ｘ－３＜０？
３６
第２１章 二次函数与反比例函数
２１．４二次函数的应用
函数的最大值或最小值是二次函数的一个重要性质．现
在，我们就来利用这个性质解决实际问题．
例１ 在第２１．１节的问题?中，要使围成的水面面积最
大，则它的边长应是多少米？它的最大面积是多少平方米？
解 在第２１．１节中，得
Ｓ＝ｘ（２０－ｘ）．
将这个函数的表达式配方，得
Ｓ＝－（ｘ－１０）２＋１００ （０＜ｘ＜２０）．
这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段，如图
２１
２３，它的顶点坐标是（１０，１００）．所以，当ｘ＝１０时，函数
取得最大值，即
Ｓ最大值＝１００（ｍ２）．
此时，另一边长＝２０－１０＝１０（ｍ）．
答：当围成的矩形水面边长都为１０ｍ时，它的面积最
大为１００ｍ２．
１．解答第２１１节的问题?．
２．在直角三角形中，两直角边之和为１０．问当两直角边的边长各是多少时，这个三角形
的面积最大？最大面积是多少？
图 ２１
２３
图２１
２３
中为何有两个空
心点？
３７
２１．４ 二次函数的应用
例２ 如图２１
２４（１），悬索桥两端主塔塔顶之间的主
悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索
之间用垂直钢索连接．已知两端主塔之间水平距离为９００ｍ，
两主塔塔顶距桥面的高度为８１５ｍ，主悬钢索最低点离桥
面的高度为０５ｍ．
（１）若以桥面所在直线为ｘ轴，抛物线的对称轴为ｙ
轴，建立平面直角坐标系，如图２１
２４（２），求这条抛物线对
应的函数表达式；
（２）计算距离桥两端主塔分别为１００ｍ，５０ｍ处垂直钢
索的长．
（１）
（２）
图 ２１
２４
解 （１）根据题意，得抛物线的顶点坐标为（０，０５），
对称轴为ｙ轴，设抛物线对应的函数表达式为
ｙ＝ａｘ２＋０５．
抛物线经过点（４５０，８１５），代入上式，得
８１５＝ａ·４５０２＋０５．
解方程，得
ａ＝８１
４５０２＝
１
２５００．
答：所求抛物线对应的函数表达式为
ｙ＝
１
２５００ｘ２＋０５ （－４５０≤ｘ≤４５０）．
（２）当ｘ＝４５０－１００＝３５０（ｍ）时，得
ｙ＝
１
２５００× ３５０２＋０５＝４９５（ｍ）．
当ｘ＝４５０－５０＝４００（ｍ）时，得
３８
第２１章 二次函数与反比例函数
ｙ＝
１
２５００× ４００２＋０５＝６４５（ｍ）．
答：距离桥两端主塔分别为１００ｍ，５０ｍ处垂直钢索的
长分别为４９５ｍ，６４５ｍ．
１如图，隧道的截面由抛物线ＡＥＤ和矩形ＡＢＣＤ构成，矩形的一边ＢＣ为８ｍ，另一边
ＡＢ为２ｍ，以ＢＣ所在的直线为ｘ轴，线段ＢＣ的垂直平分线为ｙ轴，建立平面直角坐
标系，ｙ轴是抛物线的对称轴，顶点Ｅ到坐标原点Ｏ的距离为６ｍ．
（１）求此抛物线对应的函数表达式；
（２）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运车的高为４３ｍ，宽为２４ｍ，问这辆货运
车能否在一侧行道内通过该隧道？
（第１题）
（第２题）
２如图，某校的围墙上部由一段段相同的拱形栅栏连接而成，其中一段拱形栅栏（图中
ＡＯＢ）为抛物线的一部分，拱形栅栏的跨径ＡＢ之间按相同的间距（０２ｍ）用５根立柱
加固，拱高ＯＣ为０６ｍ．
（１）以Ｏ为原点，ＯＣ所在直线为ｙ轴，建立平面直角坐标系，根据以上数据，求出抛
物线ｙ＝ａｘ２对应的函数表达式；
（２）计算一段拱形栅栏所需５根立柱的总长度．
例３ 上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下的表
达式
ｈ＝ｖ０ｔ－１
２ｇｔ２，
３９
２１．４ 二次函数的应用
其中ｈ是物体上升的高度，ｖ０是物体被上抛时竖直向上的初
始速度，ｇ是重力加速度（取ｇ＝１０ｍ／ｓ２），ｔ是物体抛出后经
过的时间．
在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起时竖直向
上的初始速度为１０ｍ／ｓ．
（１）问排球上升的最大高度是多少？
（２）已知某运动员在２５ｍ高度时扣球效果最佳，如果
她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最
佳？（精确到０１ｓ）
解 （１）根据题意，得
ｈ＝１０ｔ－１
２× １０ｔ２
＝－５（ｔ－１）２＋５ （ｔ≥０）．
因为抛物线开口向下，顶点坐标为（１，５）．
答：排球上升的最大高度是５ｍ．
（２）当ｈ＝２５ｍ时，得
１０ｔ－５ｔ２＝２５．
解方程，得
ｔ１≈０３（ｓ），ｔ２≈１７（ｓ）．
排球在上升和下落中，各有一次经过２５ｍ高度，但第
一次经过时离排球被垫起仅有０３ｓ，要打快攻，选择此时扣
球，可令对方措手不及，易获成功．
答：该运动员应在排球被垫起后０３ｓ时扣球最佳．
例４ 行驶中的汽车，在制动后由于惯性，还要继续向
前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”．为了
了解某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如
下表：
制动时车速／ｋｍ·ｈ－１
０
１０
２０
３０
４０
５０
制动距离／ｍ
０
０３
１０
２１
３６
５５
有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制
图 ２１
２５
如果这位
运动员来不及
在０．３ｓ时扣球，
她还可在何时
扣球？
４０
第２１章 二次函数与反比例函数
动距离为４６５ｍ，试问交通事故发生时车速是多少？是否因超
速（该段公路限速为１１０ｋｍ／ｈ）行驶导致了交通事故？
分析：要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离
时，如何求得相应的制动时车速．题中给出了几组制动距离
与制动时车速之间的关联数据，为此，求出制动距离与制动
时车速的函数表达式是解答本题的关键．
解 以制动时车速的数据为横坐标（ｘ值）、制动距离的
数据为纵坐标（ｙ值），在平面直角坐标系中，描出各组数据
对应的点，如图２１
２６．
图 ２１
２６
观察图中描出的这些点的整体分布，它们基本上是在
一条抛物线附近，因此，ｙ（制动距离）与ｘ（制动时车速）之
间的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ．
在已知数据中任选三组，如取（０，０），（１０，０３），
（２０，１０），分别代入所设函数的表达式，得
ｃ＝０，
１００ａ＋１０ｂ＋ｃ＝０．３，
４００ａ＋２０ｂ＋ｃ＝１．０
{
．
解方程组，得
ａ＝０００２，
ｂ＝００１，
ｃ＝０
{
．
４１
２１．４ 二次函数的应用
即所求函数的表达式为ｙ＝０００２ｘ２＋００１ｘ （ｘ≥０）．
把ｙ＝４６５ｍ代入上式，得
４６５＝０００２ｘ２＋００１ｘ．
解方程，得
ｘ１＝１５０（ｋｍ／ｈ），ｘ２＝－１５５（ｋｍ／ｈ）（舍去）．
答：制动时车速为１５０ｋｍ／ｈ（＞１１０ｋｍ／ｈ），即在事故发
生时，该汽车属超速行驶．
（第３题）
１炮弹以一定的初速度和发射角射出后，上升的高度ｙｍ与对应的水平距离ｘｍ之间
的函数关系可表示为
ｙ＝－
１
５４０００ｘ２＋１槡３
ｘ．
试求：
（１）炮弹能达到的最大高度；
（２）炮弹最远射程．
２心理学家研究发现，通常情况下，学生对知识的接受能力ｙ与学习知识所用的连续时
间ｘ（单位：ｍｉｎ）之间满足下列经验关系式
ｙ＝－０１ｘ２＋２６ｘ＋４３ （０≤ｘ≤３０），
ｙ的值越大，表示接受能力越强．
（１）当ｘ在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当ｘ又在什么范围内，学生的接
受能力逐步降低？
（２）在第１０ｍｉｎ时，学生的接受能力是多少？
（３）在第几分时，学生的接受能力最强？
３某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，西红柿的
种植成本Ｑ元／ｋｇ与上市时间ｔ天的关系用如图的抛物
线表示．
（１）写出图中表示的种植成本Ｑ元／ｋｇ与时间ｔ天之间
的函数表达式；
（２）西红柿上市多少天其种植成本最低？最低成本是多少？
４２
第２１章 二次函数与反比例函数
习题２１．４
１求下列各函数的最大值或最小值，并求出相应的ｘ值．
（１）ｙ＝槡３ｘ２－槡３ｘ＋２；
（２）ｙ＝（ｘ＋１）（２－ｘ）．
２某商场今年一月份营业额为６０万元，二月份营业额下降１０％，后加强经营管理，
月营业额大幅回升．设四月份营业额为ｙ，三、四月份平均月增长率都是ｘ．
（１）写出ｙ与ｘ之间的函数表达式；
（２）如果ｙ＝８１万元，那么三、四月份平均月增长率应是多少？（精确到０．１％）
３．一种商品售价为每件１０元，一周可卖出５０件．市场调查表明：这种商品如果每件
涨价１元，每周要少卖５件；每件降价１元，每周可多卖５件．已知该商品进价每件
为８元，问每件商品涨价多少，才能使每周得到的利润最多？
４如图，某学生推铅球，铅球出手（点Ａ处）的高度是５
３ｍ，出手后的铅球沿一段抛
物线运行，当运行到最高点时，运行高度ｙ＝３ｍ，水平距离ｘ＝４ｍ．
（１）试求铅球运行高度ｙ与水平距离ｘ之间的函数表达式；
（２）设铅球落地点为Ｃ，求铅球被推出的距离ＯＣ．
（第４题）
（第５题）
５如图，在平面直角坐标系中画出一抛物线形的公路桥拱示意图，它的跨度为４０ｍ，
最大高度为１６ｍ．如果在距离跨度中心点Ｍ的５ｍ处竖立铁柱支撑拱顶，那么该
铁柱的长度应是多少？
４３
２１．５ 反比例函数
２１．５反比例函数
问题? 某村有耕地２００ｈｍ２，人口数量ｘ逐年发生变
化，该村人均耕地面积ｙｈｍ２与人口数量ｘ之间有怎样的函
数关系？
全村耕地面积应是人均耕地面积与人口数量的乘积，即
ｙｘ＝２００，所以变量ｙｈｍ２与ｘ之间的函数关系可以表示为
ｙ＝２００
ｘ．
问题? 某市距省城２４８ｋｍ，汽车行驶全程所需的时
间ｔｈ与平均速度ｖｋｍ／ｈ之间有怎样的函数关系？
由路程ｓ＝ｖｔ，变量ｔｈ与ｖｋｍ／ｈ之间的函数关系可以
表示为
ｔ＝２４８
ｖ．
问题? 在一个电路中，当电压Ｕ一定时，通过电路的
电流Ｉ的大小与该电路的电阻Ｒ的大小之间有怎样的函数
关系？
由电学可知，变量Ｉ与Ｒ之间的函数关系可以表示为
Ｉ＝Ｕ
Ｒ．
上面的函数表达式都具有ｙ＝ｋ
ｘ的形式，两个变量之间
４４
第２１章 二次函数与反比例函数
的关系，就是小学学过的反比例关系．一般地，表达式形如
ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ为常数，且ｋ≠０）的函数叫做反比例（ｉｎｖｅｒｓｅ
ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎ）函数．
例１ 在压力不变的情况下，某物体承受的压强
ｐＰａ是它的受力面积Ｓｍ２的反比例函数，如图２１
２７．
（１）求ｐ与Ｓ之间的函数表达式；
（２）当Ｓ＝０５时，求物体承受的压强ｐ的值．
解 （１）根据题意，设
ｐ＝ｋ
Ｓ．
函数图象经过点（０１，１０００），代入上式，得
１０００＝
ｋ
０１．
解方程，得
ｋ＝１００．
答：ｐ与Ｓ之间的函数表达式为
ｐ＝１００
Ｓ （ｐ＞０，Ｓ＞０）．
（２）当Ｓ＝０５时，ｐ＝１００
０５＝２００．
答：当Ｓ＝０５时，物体承受的压强ｐ的值为２００．
１判断下列各题中的两个变量是否成反比例关系，如果是，请写出这个函数的表达式．
（１）正三角形的面积Ｓ与边长ａ；
（２）当圆锥的体积是５０时，它的高ｈ与底面积Ｓ；
（３）当矩形的面积为９０时，它的一边ｙ与另一边ｘ．
２一定质量的氧气，它的密度ρ 与它的体积Ｖ成反比例关系．当Ｖ＝１０ｍ３时，ρ ＝
１４３ｋｇ／ｍ３．
（１）求ρ 与Ｖ之间的函数表达式；
（２）当Ｖ＝２ｍ３时，求氧气的密度ρ 的值．
图 ２１
２７
４５
２１．５ 反比例函数
下面来研究反比例函数的图象．
例２ 画出函数ｙ＝６
ｘ的图象．
解 函数ｙ＝６
ｘ的自变量ｘ取值范围为ｘ≠０．
列表：
ｘ
…
－６
－５
－４
－３
－２
－１
１
２
３
４
５
６
…
ｙ＝６
ｘ
…
－１
－６
５
－３
２
－２
－３
－６
６
３
２
３
２
６
５
１
…
描点，并用平滑曲线分别顺次连接第一、三象限内的各
个点，即得反比例函数ｙ＝６
ｘ的图象，如图２１
２８．
图 ２１
２８
观察图２１
２８可知：
（１）因为自变量ｘ≠０，所以ｙ轴把函数ｙ＝６
ｘ的图象分
隔成两个分支，它们分别在第一和第三象限内；
（２）在每个象限内，图象自左向右下降，函数ｙ随ｘ的增
大而减小，图象的两个分支都可以无限延伸，并无限接近ｘ轴
和ｙ轴，但永远不与它们相交；
（３）如果点Ｐ（ｘ０，ｙ０）在函数ｙ＝６
ｘ的图象上，那么点
４６
第２１章 二次函数与反比例函数
Ｐ′（－ｘ０，－ｙ０）也应在它的图象上．
在图２１
２９中，画出函数ｙ＝－６
ｘ的图象．
图 ２１
２９
观察并比较函数ｙ＝６
ｘ与ｙ＝－６
ｘ的图象，你能
就ｋ＞０和ｋ＜０两种情况，分别总结反比例函数ｙ＝
ｋ
ｘ（ｋ为常数，且ｋ≠０）的性质吗？
反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ为常数，且ｋ≠０）的图象叫做双
曲线（ｈｙｐｅｒｂｏｌａ）．
因为ｙ０
＝
６
ｘ０，所以－ｙ０＝
６
－ｘ０，即可知点
Ｐ′（－ｘ０，－ｙ０）
也在它的图象上．
４７
２１．５ 反比例函数
（１）当ｋ＞０时，图象的两个分支分别位于第一、三象
限，在每个象限内，图象自左向右下降，函数ｙ随ｘ的增大而
减小；
（２）当ｋ＜０时，图象的两个分支分别位于第二、四象
限，在每个象限内，图象自左向右上升，函数ｙ随ｘ的增大而
增大．
例３ 已知反比例函数ｙ＝２ｋ－１
ｘ
．
（１）如果这个函数图象经过点（－３，５），求ｋ的值；
（２）如果这个函数图象在它所处的象限内，函数ｙ随ｘ
的增大而减小，求ｋ的范围．
解 （１）因为函数图象经过点（－３，５），代入函数的表
达式，得
５＝２ｋ－１
－３．
解方程，得
ｋ＝－７．
（２）根据题意，有
２ｋ－１＞０．
解不等式，得
ｋ＞１
２
．
１填空：
（１）对于函数ｙ＝－５
２ｘ，自变量ｘ的取值范围是
，当ｘ＞０时，ｙ
０；
当ｘ＜０时，ｙ ０；
（２）对于函数ｙ＝－１
ｘ，当ｘ＞０时，函数ｙ随ｘ的增大而
；当ｘ＜０时，函数
ｙ随ｘ的增大而
；
４８
第２１章 二次函数与反比例函数
（第３题）
（３）反比例函数ｙ＝２
ｘ的图象与直线ｙ＝２ｘ交于两点，这两点的坐标分别是
（ ，
）和（
，
）．
２Ｐ为反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ图象上的一个点，作ＰＱ垂直于ｘ轴，垂足为Ｑ．问
ＯＰＱ的
面积是否会因点Ｐ位置的变化而变化，为什么？
３如图，Ａ是反比例函数ｙ＝２
ｘ（ｘ＞０）图象上的任意一
点，ＡＢ平行于ｘ轴交反比例函数ｙ＝－３
ｘ（ｘ＜０）的图
象于点Ｂ，作以ＡＢ为边的平行四边形ＡＢＣＤ，其顶点Ｃ，
Ｄ在ｘ轴上，则ＳＡＢＣＤ为多少？
习题２１．５
１．某水池的容量一定，当注入水的流量Ｑ＝１５ｍ３／ｍｉｎ时，注满全池需时ｔ＝２０ｍｉｎ．
（１）求Ｑ与ｔ之间的函数表达式；
（２）当ｔ＝２５ｍｉｎ时，求水流量Ｑ的值．
２已知：平行四边形的面积是２４ｃｍ２，它的一边长是ｘｃｍ．求这边上的高ｙ与边长ｘ
之间的函数表达式．
３某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通
过测算，开关的年产量ｙ万只与投入改造经费ｘ万元之间满足：（３－ｙ）与（ｘ＋１）
（第４题）
成反比例，且当投入改造经费１万元时，年产量是
２万只．求年产量ｙ与投入改造经费ｘ之间的函数表
达式．
４如图，直线ｘ＝ｔ与反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ，ｙ＝－３ｋ
ｘ的图
象交于点Ａ，Ｂ，直线ｙ＝２ｔ与反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ，
ｙ＝－３ｋ
ｘ的图象交于点Ｃ，Ｄ，其中常数ｔ，ｋ均大于０．
点Ｐ，Ｑ分别是ｘ轴、ｙ轴上任意点，设
ＰＣＤ和
ＱＡＢ
４９
２１．５ 反比例函数
的面积分别为Ｓ１和Ｓ２，则下列结论正确的有
．
①Ｓ１＝２ｔ；
②Ｓ２＝２ｋ；
③Ｓ１＝２Ｓ２；
④Ｓ１＝Ｓ２；
⑤Ｓ２＝２Ｓ１；
⑥Ｓ１，Ｓ２均为定值．
５如图，Ａ，Ｂ是反比例函数ｙ＝９
ｘ图象上的两点，分别过点Ａ，Ｂ作ｘ轴、ｙ轴
的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３．已知Ｓ２＝３，求
Ｓ１＋Ｓ３的值．
（第５题）
（第６题）
６如图，一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ的图象与反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ的图象交于Ｍ，Ｎ两点．
（１）求这两个函数的表达式；
（２）根据图象，写出使反比例函数值大于一次函数值时ｘ的取值范围；
（３）求
ＯＭＮ的面积．
７已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点Ｐ（－３，４），求这两个函数
的表达式．
８如图，函数ｙ＝ａｘ２－ａ与ｙ＝ａ
ｘ（ａ≠０）在同一平面直角坐标系中的图象可能是
（
）．
（第８题）
５０
第２１章 二次函数与反比例函数
（第９题）
９．如图，已知反比例函数ｙ＝
ｋ１
ｘ的图象与一次函数ｙ＝
ｋ２ｘ的图象．
（１）当ｋ１，ｋ２有何关系时，直线与双曲线有两个
交点？
（２）如果直线与双曲线交于Ａ，Ｂ两点，且当点Ａ坐
标为（１，２）时，求点Ｂ的坐标；
（３）双曲线的两分支是否成轴对称？如果是，给出
对称轴的函数表达式．
商品市场的均衡问题
根据市场调查，某种商品的市场需求量（即消费者的需求
量）Ｑｄ件与单价Ｐ百元之间的关系可看作是一次函数
Ｑｄ＝－２Ｐ＋２４，
①
该商品的市场供给量（即生产者的供给量）Ｑｓ件与单价Ｐ百元之
间的关系也可看作是一次函数
Ｑｓ＝７Ｐ－３，
②
如图２１
３０．
由图２１
３０可以看出，当商品价格Ｐ上涨时，需求量Ｑｄ会随
之减少，而供给量Ｑｓ却随之增加．现在的问题是，当商品价格Ｐ取
什么值时，商品的需求量Ｑｄ能与供给量Ｑｓ相等，即
Ｑｄ＝Ｑｓ．
③
当需求等于供给（Ｑｄ＝Ｑｓ）时，市场上既不会有商品剩余，
也不会有商品短缺，市场达到均衡．我们把此时的价格称为均衡
价格，记作Ｐ，并把价格为Ｐ时的需求量或供给量称为均衡数量，记
作Ｑ．当商品供不应求时，价格就将上涨，当商品供过于求时，价格
就将下降．
你能否求出上述问题中的均衡价格Ｐ和均衡数量Ｑ呢？
图 ２１
３０
５１
２１．５ 反比例函数
在上述由①②③构成的市场均衡模型中，有时需求函数不是
一次函数而是二次函数
Ｑｄ＝４－Ｐ２，
而供给函数仍为一次函数，但变为
Ｑｓ＝４Ｐ－１．
如图２１
３１，则有下面的市场均衡模型
Ｑｄ＝Ｑｓ，
Ｑｄ＝４－Ｐ２，
Ｑｓ＝４Ｐ－１
．
④
图 ２１
３１
试求出上述市场均衡模型④中的均衡价格Ｐ和均衡数量
Ｑ，并利用图２１
３１给出几何解释．
上述模型是极为简单的，但是许多更为复杂的市场均衡
模型也可以用上述模型的原理加以建立和分析．一般经济均
衡理论是１９世纪７０年代由法国经济学家瓦尔拉斯（Ｗａｌｒａｓ）
首先提出的，他研究了供给与需求如何通过价格相互作用，使
市场达到均衡，从而为他的一般经济均衡体系建立了数学模
型，他是对数理经济学影响最大的创始人之一．
５２
第２１章 二次函数与反比例函数
２１．６综合与实践
获取最大利润
一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本
和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、建造厂
房、购置设备、培训工人等费用，如果没有更换产品，我们将
它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产
品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用．例如，生产某
种收音机的成本（单位：元）可以近似地表示为
Ｃ＝１２０ｔ＋１０００，
①
其中Ｃ表示生产ｔ台收音机的总成本，当ｔ＝０时，
Ｃ＝１２０× ０＋１０００＝１０００，
１０００元是固定成本，由此可知①式中１２０ｔ表示可变成本．
制造商出售产品得到的年总收入等于出售产品的年销
售量ｔ和产品的销售单价ｘ的乘积，设Ｒ表示年总收入，则
Ｒ＝ｔｘ．
制造商的年利润是出售产品得到的年总收入和生产这
些产品的总成本之间的差额，设Ｐ表示年利润，则
Ｐ＝Ｒ－Ｃ＝ｔｘ－Ｃ．
问题? 当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往
往向市场分析专家咨询该产品的销路．一种产品的销售量通
常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降．假设某市
场分析专家提供了下列数据：
销售单价ｘ／元
５０
１００
１５０
３００
年销售量ｔ／件
５０００
４０００
３０００
０
５３
２１．６ 综合与实践 获取最大利润
设生产ｔ件该产品的成本为
Ｃ＝５０ｔ＋１０００．
完成下列要求：
（１）在图２１
３２中，描出上述表格中各组数据对应
的点；
图 ２１
３２
（２）描出的这些点在一直线上吗？求ｔ和ｘ之间的函
数表达式；
（３）问当销售单价ｘ和年销售量ｔ各为多少时，年利润
Ｐ最大？
问题? 设生产ｔ件某种电子产品的成本（单位：元）
可以近似地表示为
Ｃ＝１０００ｔ＋２００００００．
制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取得了该
种电子产品销售单价ｘ和年销售量ｔ之间的一组数据：
年销售量ｔ／件
７５０
３０００
５０９６
８５００
９４１７
销售单价ｘ／元
３８５０
３４００
３０００
２３００
２１００
（１）在图２１
３３中，描出上述表格中各组数据对应
的点；
５４
第２１章 二次函数与反比例函数
图 ２１
３３
（２）请你帮助制造商分析，当年销售量ｔ和销售单价ｘ
分别是多少时，年利润Ｐ最大？并说说你有几种求解方法？
与同学进行交流．
一、内容整理
５５
小结·评价
二、主要知识回顾
１二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０）的图象和性质．
抛物线
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０）
开口方向：向上；对称轴：ｘ＝－ｂ
２ａ；
顶点坐标：－ｂ
２ａ，４ａｃ－ｂ２
４
(
)
ａ
函数
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０）
的增减情况
当ｘ＜－ｂ
２ａ时，函数ｙ随ｘ的增大而减小；
当ｘ＞－ｂ
２ａ时，函数ｙ随ｘ的增大而增大
函数
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０）
的最大值或最小值
当ｘ＝－ｂ
２ａ时，ｙ最小值＝４ａｃ－ｂ２
４ａ
２反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ≠０）的图象和性质．
函数
ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ≠０）
的图象
函数
ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ≠０）
的增减情况
在ｘ＞０或ｘ＜０的范围内，
函数ｙ随ｘ的增大而减小
在ｘ＞０或ｘ＜０的范围内，函
数ｙ随ｘ的增大而增大
５６
第２１章 二次函数与反比例函数
三、自评与互评
１二次函数的图象有哪些特点？这些特点反映出二次函数具有哪些性
质？请你通过具体的例子加以说明，并总结出二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＜
０）的图象和性质，与同伴进行交流．类似地，回答关于反比例函数的问题．
２用自己的语言描述二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象与方程
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的根之间的关系．
３函数自变量的取值范围，一方面取决于函数表达式本身的限制，另一
方面要考虑实际问题的具体要求，请你举例加以说明．
４“数形结合”是研究数学的一种重要思想方法，在本章的学习中多次用
到这种思想方法，你能举例说明吗？
５举例说明二次函数与反比例函数在生活中的应用，并与同伴交流．
１设圆柱的高ｈ是常量，写出圆柱的体积Ｖ与底面周长Ｃ之间的函数表达式．
２求下列函数中自变量ｘ的取值范围：
（１）ｙ＝（１－ｘ）（１－２ｘ）；
（２）ｙ＝
ｘ２
４ｘ２－４ｘ＋２；
（３）ｙ＝
ｘ－
槡
３＋
５槡－ｘ．
３填表：
抛 物 线
开口方向
对称轴
顶点坐标
使得函数ｙ随ｘ的
增大而减小的ｘ的范围
ｙ＝１
２ｘ２
ｙ＝１
２（ｘ－１）２
ｙ＝１
２ｘ２－２
５７
小结·评价
（续 表）
抛 物 线
开口方向
对称轴
顶点坐标
使得函数ｙ随ｘ的
增大而减小的ｘ的范围
ｙ＝１
２ｘ２＋２ｘ＋３
ｙ＝－１
２ｘ２＋３ｘ－１３
２
４已知函数ｙ＝１
２（ｘ－３）２－１，求：
（１）抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（２）当ｘ取何值时，函数取得最大值或最小值？求出这个值；
（３）ｘ分别在什么范围内，函数ｙ随ｘ的增大而减小或函数ｙ随ｘ的增大而
增大；
（４）当ｘ取何值时，函数ｙ等于０？
５在同一平面直角坐标系中，以抛物线ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）的形状和位置为标准，分别
与抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｋ、ｙ＝ａ（ｘ＋ｈ）２和ｙ＝ａ（ｘ＋ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）作比较，它
们的形状和位置各有什么关系？
６填空：
（１）已知抛物线ｙ＝３ｘ２－ｂｘ＋４的顶点在ｘ轴上，那么ｂ＝
；
（２）已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，如果抛物线过原点，那么ｃ＝ ；如果抛物线关
于ｙ轴对称，那么ｂ＝ ；如果抛物线与ｘ轴只有一个交点，那么Δ ＝ ；
（３）已知函数ｙ＝ｋｘ２＋ｘ＋１的图象与ｘ轴只有一个交点，则交点坐标为 ．
７用图象法求下列方程的近似解：（精确到０１）
（１）ｘ２－３ｘ＋２＝０；
（２）２ｘ２－３ｘ＋１＝０．
８如图是窗子的形状，它是由上下连成一体的两个矩形构成．已知窗框的用料是
６ｍ，要使窗子能透过最多的光线，问窗子的边长各是多少？
（第８题）
（第９题）
５８
第２１章 二次函数与反比例函数
９如图，已知一个正方形ＡＢＣＤ的边长为ａ，分别在边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上截取相等
的线段ＡＰ，ＢＱ，ＣＲ，ＤＳ，连接ＰＱ，ＱＲ，ＲＳ，ＳＰ，则得到正方形ＰＱＲＳ．问要使正方
形ＰＱＲＳ的面积最小，所截取的四条线段每条应该多长？
１０某旅行社组团旅游，如果一次预定人数为３０人，那么每人收费５０００元．若要增
加人数，则每增１人，可使每人少收１００元．问增加多少人可使该旅行社一次收
入最多，最多是多少元？
１１某蔬菜市场为指导某种蔬菜的生产和销售，对往年的市场行情和生产情况进
行了调查，提供的信息如图．
（１）在３月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？（收益＝售价－成本）
（２）哪个月出售这种蔬菜的收益最大？为什么？
（第１１题）
１２如图，二次函数ｙ＝－ｘ２＋（ｋ－１）ｘ＋４的图象与ｙ轴交于点Ａ，与ｘ轴的负半轴
交于点Ｂ，且
ＡＯＢ的面积为６．
（１）求Ａ，Ｂ两点的坐标；
（２）求该二次函数的表达式；
（３）如果点Ｐ在坐标轴上，且
ＡＢＰ是等腰三角形，求点Ｐ的坐标．
（第１２题）
（第１３题）
５９
小结·评价
１３如图，正比例函数ｙ＝ｘ与反比例函数ｙ＝１
ｘ的图象交于Ａ，Ｃ两点，分别从点Ａ，
Ｃ作ｘ轴的垂线，垂足为Ｂ，Ｄ，求四边形ＡＢＣＤ的面积．
（第１题）
１选择：
（１）如图，已知函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象，则下列判断
正确的是（
）．
（Ａ）ａ＜０，ｂ＞０，ｃ＞０
（Ｂ）ａ＜０，ｂ＞０，ｃ＜０
（Ｃ）ａ＜０，ｂ＜０，ｃ＞０
（Ｄ）ａ＜０，ｂ＜０，ｃ＜０
（２）对于二次函数ｙ＝ａ（ｘ＋ｋ）２＋ｋ（ｋ≠０），当ｋ取不
同实数时，函数图象的顶点在（
）．
（Ａ）直线ｙ＝ｘ上
（Ｂ）直线ｙ＝－ｘ上
（Ｃ）ｘ轴上
（Ｄ）ｙ轴上
（３）在函数①ｙ＝４ｘ２，②ｙ＝２
３
ｘ２，③ｙ＝－４
３
ｘ２中，图象开口大小顺序用序号
表示应为（
）．
（Ａ）①＞②＞③
（Ｂ）①＞③＞②
（Ｃ）②＞③＞①
（Ｄ）②＞①＞③
（４）如果将抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ向右平移２个单位，再向上平移３个单位，得
到新的抛物线ｙ＝ｘ２－２ｘ＋１，那么（
）．
（Ａ）ｂ＝６，ｃ＝１２
（Ｂ）ｂ＝－６，ｃ＝６
（Ｃ）ｂ＝２，ｃ＝－２
（Ｄ）ｂ＝２，ｃ＝４
２平移抛物线ｙ＝１
２ｘ２，使顶点坐标为（ｔ，ｔ２），并且经过点（２，４），求平移后抛物线
对应的函数表达式．
６０
第２１章 二次函数与反比例函数
３如图，公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子
ＯＡ，Ｏ恰在水面中心，ＯＡ为１２５ｍ，安置在柱子顶端Ａ处的喷头向外喷水，水流
在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．为使水流形状美观，设计成水流
距ＯＡ水平距离为１ｍ处达到最大高度２２５ｍ．如果不计其他因素，那么水池的
半径至少要多少米，才能使水不落到池外？
（第３题）
（第４题）
４．如图，Ａ，Ｂ是反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ＞０）图象上的两点，Ａ，Ｂ两点的横坐标分别为
１，２，线段ＡＢ的延长线交ｘ轴于点Ｃ．若
ＡＯＣ的面积为６，求ｋ的值．
５（１）在函数ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ＞０）的图象上有点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｃ（ｘ３，ｙ３），且
ｘ１＜ｘ２＜０＜ｘ３，试比较ｙ１，ｙ２，ｙ３的大小；
（２）对于函数ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ＜０），当ｘ１＜ｘ２时，比较ｙ１与ｙ２的大小．
６．当ｘ＝２时，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ取得最小值为－３，且抛物线与ｙ轴交于点Ｃ（０，１）．
（１）求该抛物线对应的函数表达式；
（２）若点Ｍ（ｍ，ｙ１），Ｎ（ｍ＋２，ｙ２）都在抛物线上，试比较ｙ１与ｙ２的大小．
（第７题）
７．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ＡＢＣＤ为菱形，
且Ａ（０，３），Ｂ（－４，０）．
（１）求过点Ｃ的反比例函数表达式；
（２）设Ｐ是（１）中所求函数图象上的一点，以Ｐ，Ｏ，Ａ
为顶点的三角形面积与
ＣＯＤ的面积相等，求点Ｐ
的坐标．
６１
小结·评价
（第８题）
８．如图，已知反比例函数ｙ１＝１
ｘ，ｙ２＝３
ｘ在第一象限的图
象，过ｙ２上任意一点Ａ，作ｘ轴的平行线交ｙ１于点Ｂ，交ｙ
轴于点Ｃ，过点Ａ作ｘ轴的垂线交ｙ１于点Ｄ，交ｘ轴于点
Ｅ，连接ＢＤ，ＣＥ，则ＢＤ
ＣＥ＝
．
１结合函数ｙ＝－２ｘ２＋３ｘ＋５的图象，确定当ｘ取何值时，有
（１）ｙ＝０？
（２）ｙ＞０？
（３）ｙ＜０？
２下列函数在给定范围内是否能取得最大值或最小值，这个值是多少？
（１）ｙ＝ｘ２－４ｘ＋５ （０≤ｘ≤３）；
（２）ｙ＝－１
２ｘ２＋４ｘ－４ （１≤ｘ≤５）；
（３）ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋２ （２＜ｘ≤４）．
３．甲、乙两船航行于海上，甲船在乙船正北方向１２５ｎｍｉｌｅ处，以１５ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度
向东行驶，乙船以２０ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度向北行驶．问多少时间后两船靠得最近？
４（１）当ｂ分别为何值时，一次函数ｙ＝２ｘ＋ｂ的图象与二次函数ｙ＝ｘ２－２ｘ＋３
的图象有一个公共点、两个公共点？
（２）当ｂ分别为何值时，一次函数ｙ＝２ｘ＋ｂ的图象与反比例函数ｙ＝－２
ｘ的图
象有一个公共点、两个公共点？
５．在下列函数中，当ｘ为何值时，ｙ取得最小值？
（１）ｙ＝（ｘ－ａ１）２＋（ｘ－ａ２）２；
（２）ｙ＝（ｘ－ａ１）２＋（ｘ－ａ２）２＋（ｘ－ａ３）２；
（３）ｙ＝（ｘ－ａ１）２＋（ｘ－ａ２）２＋… ＋（ｘ－ａｎ）２．
６．求在直线ｘ＋ｙ＝２上与原点距离最近的点的坐标．
６２
第２２章 相似形
相似形
２２．１ 比例线段
２２．２ 相似三角形的判定
２２．３ 相似三角形的性质
２２．４ 图形的位似变换
２２．５ 综合与实践 测量
与误差
,efghij)kl`，lm)nop2qPrh
)，sLtg/D．,uvwx.，vv_IyzD{/|
}2~/)Çü5Léât，sgäàå2q．zç2
qrh)}2Bê>ëèï？
! " % & ' A B C < D E F G，2 4 5 6 7 8 9
?@．
６３
２２．１ 比例线段
２２．１比例线段
如图２２
１，由同一底片直接印出来的照片与扩印出来
的照片，它们的形状是相同的．
图 ２２
１
如图２２
２，在制作大小尺寸不同的国旗时，所画的两
个五角星图形，它们的形状也是相同的．
图 ２２
２
我们把这种形状相同的两个图形说成是相似的图形．
在图２２
３（１）中，正方形ＡＢＣＤ和正方形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的
形状是相同的，即是相似的图形；在图２２
３（２）中，等边三
角形ＡＢＣ和等边三角形Ａ１Ｂ１Ｃ１也是相似的图形．正方形、
等边三角形都是多边形，两个相似的多边形有什么特征呢？
６４
第２２章 相似形
如图２２
３（１）的两个正方形，应有
∠Ａ＝∠Ａ１，∠Ｂ＝∠Ｂ１，∠Ｃ＝∠Ｃ１，∠Ｄ＝∠Ｄ１；
ＡＢ
Ａ１Ｂ１
＝
ＢＣ
Ｂ１Ｃ１
＝
ＣＤ
Ｃ１Ｄ１
＝
ＤＡ
Ｄ１Ａ１
＝１６
３２＝１
２．
如图２２
３（２）的两个等边三角形，应有
∠Ａ＝∠Ａ１，∠Ｂ＝∠Ｂ１，∠Ｃ＝∠Ｃ１；
ＡＢ
Ａ１Ｂ１
＝
ＢＣ
Ｂ１Ｃ１
＝
ＣＡ
Ｃ１Ａ１
＝２
４
＝１
２．
图 ２２
３
一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相
等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边
形（ｓｉｍｉｌａｒｐｏｌｙｇｏｎｓ）．相似多边形对应边长度的比叫做相似
比（ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙｒａｔｉｏ）或相似系数．
（第１题）
１如图，矩形ＡＢＣＤ与矩形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１相似吗？为什么？
６５
２２．１ 比例线段
（第２题）
２如图，菱形ＡＢＣＤ与菱形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１相似吗？为什么？
３在图形（Ａ）～（Ｆ）中，哪些是由图形（１）或（２）放大或缩小得到的？
（第３题）
由于多边形的边是线段，所以在研究图形相似之前，先
要学习成比例线段的有关知识．
用同一个长度单位去度量两条线段ａ，ｂ，得到它们的长
度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比，记作
ａ
ｂ或ａ∶ｂ．例如ａ＝２０ｃｍ，ｂ＝１５ｃｍ，那么
ａ
ｂ＝２０
１５＝４
３．
在四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ中，如果其中两条线段ａ，ｂ的比，等于
另外两条线段ｃ，ｄ的比，即ａ
ｂ＝ｃ
ｄ（或ａ∶ｂ＝ｃ∶ｄ），那么这四
６６
第２２章 相似形
条线段叫做成比例线段（ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｓｅｇｍｅｎｔｓ），简称比例
线段．这时，线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ叫做组成比例的项，线段ａ，ｄ叫做
比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项．
如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段ａ，ｂ，ｃ
之间有ａ∶ｂ＝ｂ∶ｃ，那么线段ｂ叫做线段ａ，ｃ的比例中项．
１选择：
（１）如果线段ａ＝２ｃｍ，ｂ＝１０ｍｍ，那么ａ
ｂ的值为（
）．
（Ａ）１
５０ （Ｂ）１
５
（Ｃ）５
２
（Ｄ）２
（２）如果ａ＝１０ｃｍ，ｂ＝０２ｍ，ｃ＝３０ｍｍ，ｄ＝６ｃｍ，那么下列比例式子成立的是
（ ）．
（Ａ）ａ
ｄ
＝ｂ
ｃ （Ｂ）ｂ
ｄ
＝ｃ
ａ
（Ｃ）ａ
ｂ
＝ｃ
ｄ （Ｄ）ｄ
ｃ
＝ａ
ｂ
（３）如果线段ａ＝３２ｃｍ，ｂ＝８ｃｍ，那么ａ和ｂ的比例中项是（
）．
（Ａ）２０ｃｍ
（Ｂ）１８ｃｍ
（Ｃ）１６ｃｍ
（Ｄ）１４ｃｍ
２延长线段ＡＢ到点Ｃ，使ＢＣ＝ＡＢ．求：
（１）ＡＣ∶ＡＢ； （２）ＡＢ∶ＢＣ；
（３）ＢＣ∶ＡＣ．
两条线段的比是它们长度的比，也就是两个数的比，因
此也应具有关于两个数成比例的性质．
（１）基本性质
如果ａ
ｂ＝ｃ
ｄ，那么ａｄ＝ｂｃ （ｂ，ｄ≠０）．
反之也成立，即
如果ａｄ＝ｂｃ，那么ａ
ｂ＝ｃ
ｄ （ｂ，ｄ≠０）．
（２）合比性质
如果ａ
ｂ＝ｃ
ｄ，等式两边同时加上１，得
６７
２２．１ 比例线段
ａ＋ｂ
ｂ
＝ｃ＋ｄ
ｄ
．即
如果ａ
ｂ＝ｃ
ｄ，那么ａ＋ｂ
ｂ
＝ｃ＋ｄ
ｄ
（ｂ，ｄ≠０）．
（３）等比性质
如果
ａ１
ｂ１
＝ａ２
ｂ２
＝… ＝ａｎ
ｂｎ，且ｂ１＋ｂ２＋… ＋ｂｎ≠０，那么
ａ１＋ａ２＋… ＋ａｎ
ｂ１＋ｂ２＋… ＋ｂｎ
＝
ａ１
ｂ１
．
设
ａ１
ｂ１
＝
ａ２
ｂ２
＝… ＝
ａｎ
ｂｎ
＝ｋ，得
ａ１＝ｂ１ｋ，ａ２＝ｂ２ｋ，…，ａｎ＝ｂｎｋ，代入待证明的等式左
边，提取公因式并约分即得等比性质．
例１ 已知：如图２２
４，在
ＡＢＣ中，ＡＤ
ＤＢ＝ＡＥ
ＥＣ．
求证：（１）ＡＢ
ＤＢ＝ＡＣ
ＥＣ； （２）ＡＤ
ＡＢ＝ＡＥ
ＡＣ．
证明 （１）∵
ＡＤ
ＤＢ＝ＡＥ
ＥＣ，
∴
ＡＤ＋ＤＢ
ＤＢ
＝ＡＥ＋ＥＣ
ＥＣ
．
∴
ＡＢ
ＤＢ＝ＡＣ
ＥＣ．
（２）∵
ＡＤ
ＤＢ＝ＡＥ
ＥＣ，
∴
ＤＢ
ＡＤ＝ＥＣ
ＡＥ．
∴
ＡＤ＋ＤＢ
ＡＤ
＝ＡＥ＋ＥＣ
ＡＥ
．
∴
ＡＢ
ＡＤ＝ＡＣ
ＡＥ．
∴
ＡＤ
ＡＢ＝ＡＥ
ＡＣ．
例２ 在地图或工程图纸上，都标有比例尺，比例尺就
图 ２２
４
６８
第２２章 相似形
是图上长度与实际长度的比．现在一张比例尺为１∶５０００的
图纸上，量得一个
ＡＢＣ的三边：ＡＣ＝３ｃｍ，ＢＣ＝４ｃｍ，
ＡＢ＝５ｃｍ．问这个图纸所反映的实际
Ａ′Ｂ′Ｃ′的周长是多少？
解 根据题意，得
ＡＢ
Ａ′Ｂ′ ＝ＢＣ
Ｂ′Ｃ′ ＝ＡＣ
Ａ′Ｃ′ ＝
１
５０００，
即
ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ
Ａ′Ｂ′ ＋Ｂ′Ｃ′ ＋Ａ′Ｃ′ ＝
１
５０００．
又 ∵ ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ＝５＋４＋３＝１２（ｃｍ），
∴
Ａ′Ｂ′ ＋Ｂ′Ｃ′ ＋Ａ′Ｃ′
＝１２× ５０００＝６００００（ｃｍ）＝６００（ｍ）．
答：实际
Ａ′Ｂ′Ｃ′的周长是６００ｍ．
例３ 如图２２
５，已知线段ＡＢ长度为ａ，点Ｐ是ＡＢ上
一点，且使ＡＢ∶ＡＰ＝ＡＰ∶ＰＢ．求线段ＡＰ的长和ＡＰ
ＡＢ的值．
图 ２２
５
解 设ＡＰ＝ｘ，那么ＰＢ＝ａ－ｘ．根据题意，得
ａ∶ｘ＝ｘ∶（ａ－ｘ），
即
ｘ２＋ａｘ－ａ２＝０．
解方程，得
ｘ＝－１±槡５
２
ａ．
因为线段长度不能是负值，所以取ｘ＝－１＋槡５
２
ａ，
即
ＡＰ＝－１＋槡５
２
ａ．
于是
ＡＰ
ＡＢ＝－１＋槡５
２
＝槡５－１
２
≈０６１８．
把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较
短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割（ｇｏｌｄｅｎ
这个问题
实际上就是古
希腊数学家、天
文学家欧多克
斯（Ｅｕｄｏｘｕｓ，前
４０８—前３５５）提
出的问题：能否
将一条线段ＡＢ
分成不相等的
两部分ＡＰ和
ＰＢ（ＡＰ＞ＰＢ），
使ＡＢ∶ＡＰ
＝
ＡＰ∶ＰＢ？
６９
２２．１ 比例线段
ｓｅｃｔｉｏｎ），分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值槡５－１
２叫
做黄金数．
１在比例尺是１∶５０的图纸上，量得一个零件的长是３２ｃｍ，求这个零件的实际长．
２已知：ａ∶ｂ＝ｃ∶ｄ，且ａ＝２４ｃｍ，ｂ＝３．６ｃｍ，ｃ＝５４ｃｍ，求ｄ的值．
３已知５ｘ－４ｙ＝０，求ｘ
ｙ和ｘ＋ｙ
ｙ的值．
４已知ａ－ｂ
ｂ
＝２
３，求ａ∶ｂ的值．
５已知ａｄ＝ｂｃ，如何能得到ｄ∶ｂ＝ｃ∶ａ？还能得到哪些比例式子？
６已知ａ
ｂ
＝ｃ
ｄ
＝ｅ
ｆ
＝３
５，且ｂ＋ｄ＋ｆ≠０，求ａ＋ｃ＋ｅ
ｂ＋ｄ＋ｆ的值．
７已知点Ｃ是线段ＡＢ的黄金分割点，ＢＣ＝ＡＣ＋２，求线段ＡＣ的长．
在八年级下册第１９章中，我们学习了平行线等分线段
的定理，现在，我们来研究一组平行线截线的一般情形．
图 ２２
６
如图２２
６，有一组平行
直线：ｌ１∥ｌ２∥ｌ３… ｌｋ∥…∥
ｌｎ－１∥ｌｎ，另外，直线Ａ１Ａｎ与
直线Ｂ１Ｂｎ被这一组平行直
线分别截于点Ａ１，Ａ２，
Ａ３，…，Ａｋ，…，Ａｎ－１，Ａｎ和
点Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３，…，Ｂｋ，…，
Ｂｎ－１，Ｂｎ．根据已学定理，
可以得到：如果Ａ１Ａ２
＝
７０
第２２章 相似形
Ａ２Ａ３＝… ＝Ａｎ－１Ａｎ，那么Ｂ１Ｂ２
＝Ｂ２Ｂ３
＝… ＝
Ｂｎ－１Ｂｎ．
这时，如设Ａ１Ａ２＝Ａ２Ａ３＝… ＝Ａｎ－１Ａｎ＝ａ，
Ｂ１Ｂ２＝Ｂ２Ｂ３＝… ＝Ｂｎ－１Ｂｎ＝ｂ，容易推得：
Ａ１Ａｋ
ＡｋＡｎ
＝（ｋ－１）ａ
（ｎ－ｋ）ａ＝ｋ－１
ｎ－ｋ，
Ｂ１Ｂｋ
ＢｋＢｎ
＝（ｋ－１）ｂ
（ｎ－ｋ）ｂ＝ｋ－１
ｎ－ｋ，
所以有
Ａ１Ａｋ
ＡｋＡｎ
＝Ｂ１Ｂｋ
ＢｋＢｎ
．
上述结论可概括为如下基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
下面看一个特例，如图２２
７，直线ＤＥ平行于
ＡＢＣ的
一边ＢＣ，并分别交另两边ＡＢ，ＡＣ（或它们延长线）于点Ｄ，
Ｅ．根据上面基本事实，得ＡＤ
ＤＢ＝ＡＥ
ＥＣ．
图 ２２
７
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边
延长线），所得的对应线段成比例．
７１
２２．１ 比例线段
１如图，点Ｂ，Ｄ在∠Ａ的一条边上，点Ｃ，Ｅ在∠Ａ的另一条边上，且ＤＥ∥ＢＣ．若ＡＢ＝
１４，ＡＣ＝１８，ＡＥ＝１１，求ＡＤ的长．
（第１题）
（第２题）
２如图，点Ｂ，Ｃ在∠ＢＡＣ的两边上，点Ｄ，Ｅ在∠ＢＡＣ两边的反向延长线上，且ＥＤ∥
ＢＣ．若ＡＢ＝５，ＡＣ＝６，ＡＤ＝２，求ＡＥ的长．
３如图，ｌ１∥ｌ２∥ｌ３，ＡＢ
ＢＣ＝３
２，ＤＥ＝６，求ＤＦ的长．
（第３题）
（第４题）
４如图，ｌ１∥ｌ２∥ｌ３，ＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，ＥＦ＝ｃ，求ＤＥ的长．
５．如图，在
ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＢＣ，ＡＤ＝２，ＢＤ＝６，ＡＥ＝１．５，求ＥＣ的长．
（第５题）
（第６题）
６．如图，ＡＤ是
ＡＢＣ的中线，ＡＥ＝ＥＦ＝ＦＣ，ＢＥ交ＡＤ于点Ｇ，求ＡＧ
ＡＤ的值．
７２
第２２章 相似形
习题２２．１
１（１）已知ａ
ｂ
＝ｃ
ｄ
＝ｅ
ｆ
＝５
７，且２ｂ－ｄ＋７ｆ≠０，求２ａ－ｃ＋７ｅ
２ｂ－ｄ＋７ｆ的值；
（２）已知ｘ＋ｙ
ｚ
＝ｘ＋ｚ
ｙ
＝ｙ＋ｚ
ｘ
＝ｋ，且ｘ＋ｙ＋ｚ≠０，求ｋ的值．
２已知：在四边形ＡＢＣＤ和四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′中，ＡＢ
Ａ′Ｂ′ ＝ＢＣ
Ｂ′Ｃ′ ＝ＣＤ
Ｃ′Ｄ′ ＝ＤＡ
Ｄ′Ａ′ ＝８
５，
且四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的周长为８０ｃｍ，求四边形ＡＢＣＤ的周长．
３已知：点Ｐ在线段ＡＢ上，且ＡＰ∶ＰＢ＝２∶５，求ＡＢ∶ＰＢ和ＡＰ∶ＡＢ的值．
４已知：如图，点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别在
ＡＢＣ的边ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ上，且ＤＥ∥ＢＣ，ＥＦ∥ＡＢ．
求证：ＡＤ
ＡＢ
＝ＡＥ
ＡＣ
＝ＢＦ
ＢＣ
＝ＤＥ
ＢＣ
．
（第４题）
（第５题）
５如图，ｌ１∥ｌ２∥ｌ３，ＡＭ＝３，ＭＢ＝５，ＣＭ＝４．５，ＥＦ＝１６，求ＤＭ，ＥＫ，ＫＦ
的值．
６已知：在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，点Ｅ是边ＡＢ上的一点，在边ＣＤ上找一点Ｆ，
使ＡＥ∶ＥＢ＝ＤＦ∶ＦＣ．
７点Ｐ是∠ＡＯＢ内一点，过点Ｐ作一直线与∠ＡＯＢ的两边ＯＡ，ＯＢ分别交于点Ｅ，
（第９题）
Ｆ，使ＰＥ∶ＰＦ＝２∶１．
８已知：在
ＡＢＣ中，作直线ＤＮ平行于ＢＣ上的中线ＡＭ，设直
线ＤＮ交ＡＢ于点Ｄ、交ＣＡ的延长线于点Ｅ、交ＢＣ于点Ｎ．
求证：ＡＤ∶ＡＢ＝ＡＥ∶ＡＣ．
９．如图，ＡＧ∶ＧＤ＝４∶１，ＢＤ∶ＤＣ＝２∶３，求ＡＥ∶ＥＣ的值．
１０已知：在
ＡＢＣ中，ＡＤ为∠Ａ平分线．
求证：ＡＢ
ＡＣ
＝ＢＤ
ＤＣ
．
７３
２２．１ 比例线段
奇妙的黄金数
１．黄金数与黄金分割
我们已经知道槡５－１
２叫做黄金数，其近似值为０６１８，它可通
过解方程ｘ２＋ｘ－１＝０得到．
如图２２
８，给定一条线段ＡＢ，如何找出它的黄金分割
点呢？
我们通过如下作图来达到要求：
（１）过点Ｂ作ＡＢ的垂线，并在垂线上取ＢＣ＝１
２ＡＢ；
（２）连接ＡＣ，以点Ｃ为圆心、ＣＢ为半径画弧，交ＡＣ于点Ｅ；
（３）以点Ａ为圆心、ＡＥ为半径画弧，交ＡＢ于点Ｐ．
则点Ｐ即为所求．
你能说明这样作图的道理吗？
２．黄金数与图形
一般民居的窗户大多采用矩形（图２２
９）．建筑学家研究过，
一个矩形如果切掉一个正方形后，剩下的小矩形与原来的矩形相
似，这时看起来较美观．
如图２２
１０，四边形ＡＢＣＤ为矩形，设ＡＤ为ｘ，ＣＤ为ｙ，其
中四边形ＢＣＦＥ为正方形，且矩形ＡＢＣＤ相似于矩形ＡＤＦＥ．这
时便有
ｘ
ｙ
＝ｙ－ｘ
ｘ，
即
ｘ
ｙ
＝ｙ
ｘ－１．
等式两边同乘ｘ
ｙ，得
(
)
ｘ
ｙ
２
＋(
)
ｘ
ｙ
－１＝０．
因为ｘ
ｙ为正，解方程，得
图 ２２
８
图 ２２
９
图 ２２
１０
７４
第２２章 相似形
ｘ
ｙ
＝槡５－１
２
．
这样的矩形，叫做黄金矩形，其两边长的比值就是黄金数．
不仅最好看的窗户是黄金矩形，有些旗帜的形状也是黄金
矩形．
在三角形中，顶角为３６°的等腰三角形叫做黄金三角形，为什
么呢？
如图２２
１１，在
ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝３６°，作∠Ｂ的平
分线ＢＤ，那么可以证明：点Ｄ是ＡＣ的黄金分割点．
３．黄金分割与奇妙现象
伟大的物理学家和天文学家开普勒（Ｊ．Ｋｅｐｌｅｒ，１５７１—１６３０）
曾经说过：“几何学里有两个宝库：一个是毕达哥拉斯定理（即勾
股定理），另一个就是黄金分割．前者可以比作金矿，而后者却可
以比作珍贵的钻石矿．”
公元前５世纪的古希腊建筑师已发现，黄金分割会使建筑物
增添美感，如当时建筑的巴特农神殿（图２２
１２），它的正面尺寸
图 ２２
１２
与黄金矩形吻合．古希腊人还认为一个人有完美的（理想的）体
形，是因为身体的很多部位都符合黄金分割的缘故．达·芬奇就
曾广泛研究了人体的各种比例，并且还画出图，标明了其中很多
有关黄金分割的实例．一些艺术家在画人像或雕塑人体时，基本
上就是按黄金分割做的．
黄金分割不仅为人类所了解和利用，而且它还支配着自然
界．人们发现有些植物叶子的分布规律和黄金数有关．在图
图 ２２
１１
７５
２２．１ 比例线段
２２
１３中，当从茎的顶端向茎的根部看去时，得到各层叶子重叠
的平面图，图中每层叶子只画一个作代表．第一层叶子和第二层
之间，方向的角度差大致是１３７５°，以后第二与第三、第三与第
四、第四与第五、第五与第六，每相邻两层叶子方向的角度差都
是这个度数，这样可以比较均匀地把多层叶子铺展开来．
１３７５°这个数究竟有什么特点呢？因为一周是３６０°，
３６０° －１３７５° ＝２２２５°，而１３７５∶２２２５≈０６１８．这里，又发现
了一个黄金数，这种奇妙现象真叫人惊奇！
图 ２２
１３
７６
第２２章 相似形
２２．２相似三角形的判定
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
如图２２
１４，ＡＢＣ与
Ａ′Ｂ′Ｃ′相似，记作“ ＡＢＣ
Ａ′Ｂ′Ｃ′”，读作“ ＡＢＣ相似于
Ａ′Ｂ′Ｃ′”．
图 ２２
１４
对于
ＡＢＣ
Ａ′Ｂ′Ｃ′，根据相似形的定义，应有
∠Ａ＝∠Ａ′，∠Ｂ＝∠Ｂ′，∠Ｃ＝∠Ｃ′，
ＡＢ
Ａ′Ｂ′ ＝ＢＣ
Ｂ′Ｃ′ ＝ＣＡ
Ｃ′Ａ′．
将
ＡＢＣ与
Ａ′Ｂ′Ｃ′的相似比记为ｋ１，Ａ′Ｂ′Ｃ′与
ＡＢＣ
的相似比记为ｋ２，可得ｋ１＝１
ｋ２
．当且仅当这两个三角形全等
时，才有ｋ１＝ｋ２＝１．因此，三角形全等是三角形相似的特例．
这里的结论，对于任意两个相似多边形都成立．
怎样判定两个三角形相似呢？我们先来研究如下的一
个问题．
如图２２
１５，在
ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上任意一点，
两个三角形
相似，用字母表示
时，与全等一样，
通常把表示对应
顶点的字母写在
对应位置上，这样
便于找出相似三
角形的对应角与
对应边．
７７
２２．２ 相似三角形的判定
过点Ｄ作ＢＣ的平行线交ＡＣ于点Ｅ，那么
ＡＤＥ与
ＡＢＣ相似吗？
要证
ＡＤＥ与
ＡＢＣ相似，关键是要证明它们
的对应边长度的比相等，因为它们的对应角是分别
相等的（为什么？）．
过点Ｄ作ＡＣ的平行线交ＢＣ于点Ｆ．
∵ ＤＥ∥ＢＣ，ＤＦ∥ＡＣ，
∴
ＡＤ
ＡＢ＝ＡＥ
ＡＣ，ＦＣ
ＢＣ＝ＡＤ
ＡＢ．
∵ 四边形ＤＦＣＥ是平行四边形，
∴
ＤＥ＝ＦＣ，即
ＤＥ
ＢＣ＝ＡＤ
ＡＢ．
∵
ＡＤ
ＡＢ＝ＡＥ
ＡＣ＝ＤＥ
ＢＣ，
又 ∵ ∠Ａ＝∠Ａ，∠Ｂ＝∠ＡＤＥ，∠Ｃ＝∠ＡＥＤ，
∴
ＡＤＥ
ＡＢＣ．
于是得到如下有用结论：
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长
线）相交，截得的三角形与原三角形相似（图２２
１６）．
图 ２２
１６
图 ２２
１５
７８
第２２章 相似形
如图，点Ｄ在
ＡＢＣ的边ＡＢ上，ＤＥ∥ＢＣ，ＤＥ交ＡＣ于点
Ｅ，ＤＦ∥ＡＣ，ＤＦ交ＢＣ于点Ｆ，判断下列比例式子是否成立．
（１）ＡＤ
ＤＢ＝ＡＥ
ＥＣ；
（２）ＡＤ
ＤＢ＝ＤＥ
ＢＦ；
（３）ＡＥ
ＥＣ＝ＤＥ
ＢＣ；
（４）ＤＦ
ＡＣ＝ＢＦ
ＢＣ．
根据定义，要判定两个三角形相似，必须证明对应角相
等，对应边成比例（对应边长度的比相等）．那么能不能像判
定三角形全等一样，用较少的条件就能判定三角形相似呢？
有了上面的结论，我们来研究：怎样的条件可以判定两
个三角形相似．
已知：如图２２
１７，在
ＡＢＣ和
Ａ′ Ｂ′ Ｃ′ 中，∠Ａ＝
∠Ａ′，∠Ｂ＝∠Ｂ′．
求证：ＡＢＣ
Ａ′Ｂ′Ｃ′．
证明 在
ＡＢＣ的边ＡＢ（或延长线）上，截取ＡＤ＝
Ａ′ Ｂ′，过点Ｄ作ＢＣ的平行线ＤＥ交ＡＣ于点Ｅ，则
ＡＤＥ
ＡＢＣ．
∵ ∠ＡＤＥ＝∠Ｂ，∠Ｂ＝∠Ｂ′，
∴ ∠ＡＤＥ＝∠Ｂ′．
∵ ∠Ａ＝∠Ａ′，ＡＤ＝Ａ′ Ｂ′，
∴
ＡＤＥ
Ａ′Ｂ′Ｃ′（ＡＳＡ）．
∴
ＡＢＣ
Ａ′Ｂ′Ｃ′．
于是得到判定三角形相似的以下定理．
定理１ 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角
形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（可简单说成：
两角分别相等的两个三角形相似）．
图 ２２
１７
７９
２２．２ 相似三角形的判定
１已知：在
ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ；在
Ａ′ Ｂ′ Ｃ′中，Ａ′ Ｂ′ ＝Ａ′Ｃ′．
（１）如果∠Ａ＝∠Ａ′，求证：
ＡＢＣ
Ａ′ Ｂ′ Ｃ′；
（第３题）
（２）如果∠Ｂ＝∠Ｂ′，求证：
ＡＢＣ
Ａ′ Ｂ′ Ｃ′．
２如果
ＡＢＣ
Ａ１Ｂ１Ｃ１，Ａ１Ｂ１Ｃ１
Ａ２Ｂ２Ｃ２，那
么
ＡＢＣ与
Ａ２Ｂ２Ｃ２有什么关系，为什么？
３如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＤＣ∥ＡＢ，对角线ＡＣ交
ＢＤ于点Ｏ．找出图中相似三角形，并写出它们对应
边成比例的式子．
判定三角形相似，还有下面的定理．
定理２ 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两
条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（可
简单说成：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
已知：如图２２
１８，在
ＡＢＣ和
Ａ′Ｂ′Ｃ′中，ＡＢ
Ａ′Ｂ′ ＝
ＡＣ
Ａ′Ｃ′，∠Ａ＝∠Ａ′．
求证：ＡＢＣ
Ａ′Ｂ′Ｃ′．
证明 在
ＡＢＣ的边ＡＢ（或延长线）上，截取ＡＤ＝Ａ′Ｂ′，
过点Ｄ作ＢＣ的平行线ＤＥ交ＡＣ于点Ｅ，则
ＡＤＥ
ＡＢＣ．
∵
ＡＢ
ＡＤ＝ＡＣ
ＡＥ，ＡＤ＝Ａ′Ｂ′，
∴
ＡＢ
Ａ′Ｂ′ ＝ＡＣ
ＡＥ．
∵
ＡＢ
Ａ′Ｂ′ ＝ＡＣ
Ａ′Ｃ′，
∴
ＡＣ
Ａ′Ｃ′ ＝ＡＣ
ＡＥ，
Ａ′Ｃ′ ＝ＡＥ．
图 ２２
１８
８０
第２２章 相似形
∵ ∠Ａ＝∠Ａ′，
∴
ＡＤＥ
Ａ′Ｂ′Ｃ′（ＳＡＳ）．
∴
ＡＢＣ
Ａ′Ｂ′Ｃ′．
１（１）在
ＡＢＣ中，∠Ａ＝４８°，ＡＢ＝１５ｃｍ，ＡＣ＝２ｃｍ；在
ＤＥＦ中，∠Ｅ＝４８°，
ＤＥ＝２８ｃｍ，ＥＦ＝２１ｃｍ．问这两个三角形相似吗？为什么？
（２）在
ＡＢＣ中，∠Ａ＝１２０°，ＡＢ＝７ｃｍ，ＡＣ＝１４ｃｍ；在
ＤＥＦ中，∠Ｄ＝１２０°，
ＤＥ＝３ｃｍ，ＤＦ＝６ｃｍ．问这两个三角形相似吗？为什么？
２在Ｒｔ
ＡＢＣ中，两直角边分别为３ｃｍ，４ｃｍ；在Ｒｔ
Ａ′Ｂ′Ｃ′中，斜边为２５ｃｍ，一条直
角边为１５ｃｍ．问这两个直角三角形相似吗？为什么？
定理３ 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的
三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（可简单说成：
三边成比例的两个三角形相似）．
仿照定理１和定理２的证明可证明定理３（ＳＳＳ）．
例１ 在
ＡＢＣ和
Ａ′Ｂ′Ｃ′中，已知下列条件成立，判断
这两个三角形是否相似，并说明理由．
（１）ＡＢ
＝５，ＡＣ
＝３，∠Ａ
＝４５°，Ａ′Ｂ′
＝１０，
Ａ′Ｃ′ ＝６，∠Ａ′ ＝４５°；
（２）∠Ａ＝３８°，∠Ｃ＝９７°，∠Ａ′ ＝３８°，∠Ｂ′ ＝４５°；
（３）ＡＢ
＝２，ＢＣ
＝槡２，ＡＣ
＝槡１０，Ａ′Ｂ′ ＝槡２，
Ｂ′Ｃ′ ＝１，Ａ′Ｃ′ ＝槡５．
解 （１）∵
ＡＢ
Ａ′Ｂ′ ＝５
１０＝１
２，
ＡＣ
Ａ′Ｃ′ ＝３
６
＝１
２，
∴
ＡＢ
Ａ′Ｂ′ ＝ＡＣ
Ａ′Ｃ′．
８１
２２．２ 相似三角形的判定
∵ ∠Ａ＝∠Ａ′ ＝４５°，
∴
ＡＢＣ
Ａ′Ｂ′Ｃ′．
（２）∵ ∠Ｂ＝１８０° －（∠Ａ＋∠Ｃ）
＝１８０° －（３８° ＋９７°）
＝４５°，
∴ ∠Ｂ＝∠Ｂ′ ＝４５°．
∵ ∠Ａ＝∠Ａ′ ＝３８°，
∴
ＡＢＣ
Ａ′Ｂ′Ｃ′．
（３）∵
ＡＢ
Ａ′Ｂ′ ＝２
槡２
＝槡２，ＡＣ
Ａ′Ｃ′ ＝槡１０
槡５
＝槡２，
ＢＣ
Ｂ′Ｃ′ ＝槡２
１
＝槡２，
∴
ＡＢ
Ａ′Ｂ′ ＝ＡＣ
Ａ′Ｃ′ ＝ＢＣ
Ｂ′Ｃ′．
∴
ＡＢＣ
Ａ′Ｂ′Ｃ′．
例２ 如图２２
１９，ＢＣ与ＤＥ相交于点Ｏ．问：
（１）当∠Ｂ满足什么条件时，ＡＢＣ
ＡＤＥ？
（２）当ＡＣ∶ＡＥ满足什么条件时，ＡＢＣ
ＡＤＥ？
分析：从图２２
１９中可以看出，在
ＡＢＣ与
ＡＤＥ中，∠Ａ＝∠Ａ，根据三角形相似的判定定理，只要
∠Ｂ＝∠Ｄ或ＡＣ∶ＡＥ＝ＡＢ∶ＡＤ，都有
ＡＢＣ
ＡＤＥ．
解 （１）∵ ∠Ａ＝∠Ａ，
∴ 当∠Ｂ＝∠Ｄ时，
ＡＢＣ
ＡＤＥ．
（２）∵ ∠Ａ＝∠Ａ，
∴ 当ＡＣ∶ＡＥ＝ＡＢ∶ＡＤ时，
ＡＢＣ
ＡＤＥ．
例３ 如图２２
２０，方格网的小方格是边长为１
的正方形，ＡＢＣ与
Ａ′Ｂ′Ｃ′的顶点都在格点上，判断
ＡＢＣ与
Ａ′Ｂ′Ｃ′是否相似，为什么？
解 由于
ＡＢＣ与
Ａ′Ｂ′Ｃ′的顶点均在格点上，
图 ２２
１９
图 ２２
２０
８２
第２２章 相似形
根据勾股定理，得
ＡＢ＝
１２＋１
槡
２＝槡２，ＡＣ＝２，ＢＣ＝
１２＋３
槡
２＝槡１０；
Ａ′Ｂ′ ＝
１２＋２
槡
２
＝槡５，Ａ′Ｃ′
＝
１２＋３
槡
２
＝槡１０，
Ｂ′Ｃ′ ＝５．
∵
ＡＢ
Ａ′Ｂ′ ＝槡槡
２
５
＝槡１０
５，ＡＣ
Ａ′Ｃ′ ＝
２
槡１０
＝槡１０
５，
ＢＣ
Ｂ′Ｃ′ ＝槡１０
５，
∴
ＡＢ
Ａ′Ｂ′ ＝ＡＣ
Ａ′Ｃ′ ＝ＢＣ
Ｂ′Ｃ′．
∴
ＡＢＣ
Ａ′Ｂ′Ｃ′．
１在
ＡＢＣ中，∠Ｃ＞∠Ｂ，Ｐ是边ＡＢ上的一点，连接ＣＰ．
（１）当∠ＡＣＰ满足什么条件时，ＡＣＰ
ＡＢＣ？
（２）当ＡＰ∶ＡＣ满足什么条件时，ＡＣＰ
ＡＢＣ？
（第２题）
２如图，ＡＥ＝４ｃｍ，ＡＤ＝３ｃｍ，ＤＥ＝２４ｃｍ，ＢＤ＝２ｃｍ，
ＣＥ＝８
３ｃｍ，求ＢＣ的长．
３要画两个相似三角形，其中一个三角形的三边长分别为８，
１０，１２，另一个三角形的一边长是４，求另一个三角形的其余
两边长．你画的三角形唯一吗？
４顺次连接三角形三边中点所得的小三角形与原三角形相似
吗？为什么？
两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角
形、两个直角三角形呢？
８３
２２．２ 相似三角形的判定
在判定两个直角三角形全等时，除根据一般三角形全等
判定定理外，还有“ＨＬ”方法．类似地，要判定两个直角三角
形相似，除了上面一般三角形相似的三个判定定理外，是否
也有特殊方法呢？
已知：如图２２
２１，在Ｒｔ
ＡＢＣ和Ｒｔ
Ａ′Ｂ′Ｃ′
中，∠Ｃ＝∠Ｃ′ ＝９０°，ＡＢ
Ａ′Ｂ′ ＝ＡＣ
Ａ′Ｃ′．
求证：Ｒｔ
ＡＢＣ
Ｒｔ
Ａ′Ｂ′Ｃ′．
证明 设ＡＢ
Ａ′Ｂ′ ＝ＡＣ
Ａ′Ｃ′ ＝ｋ，则
ＡＢ＝ｋＡ′Ｂ′，ＡＣ＝ｋＡ′Ｃ′．
∵ ＢＣ＝
ＡＢ２－ＡＣ
槡
２＝
ｋ２Ａ′Ｂ′２－ｋ２Ａ′Ｃ′
槡
２
＝ｋ
Ａ′Ｂ′２－Ａ′Ｃ′
槡
２＝ｋＢ′Ｃ′，
∴
ＡＢ
Ａ′Ｂ′ ＝ＡＣ
Ａ′Ｃ′ ＝ＢＣ
Ｂ′Ｃ′ ＝ｋ．
∴
ＡＢＣ
Ａ′Ｂ′Ｃ′．
此例可作为判定两个直角三角形相似的依据．
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直
角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角
三角形相似．
例４ 如图２２
２２，∠ＡＢＣ＝∠ＣＤＢ＝９０°，ＣＢ＝ａ，
ＡＣ＝ｂ．问当ＢＤ与ａ，ｂ之间满足怎样的函数表达式时，以点
Ａ，Ｂ，Ｃ为顶点的三角形与以点Ｃ，Ｄ，Ｂ为顶点的三角形
相似？
解 ∵ ∠ＡＢＣ＝∠ＣＤＢ＝９０°，
当ＡＣ
ＣＢ＝ＣＢ
ＢＤ时，ＡＢＣ
ＣＤＢ．
即
ｂ
ａ＝
ａ
ＢＤ，ＢＤ＝ａ２
ｂ．
图 ２２
２１
图 ２２
２２
８４
第２２章 相似形
又 当ＡＣ
ＣＢ＝ＣＢ
ＣＤ时，ＡＢＣ
ＢＤＣ．
即
ｂ
ａ＝ａ
ＣＤ，ＣＤ＝ａ２
ｂ．
ＢＤ２＝ａ２－ａ２
(
)
ｂ
２，ＢＤ＝ａ
ｂ
ｂ２－ａ
槡
２．
答：当ＢＤ＝ａ２
ｂ或ＢＤ＝ａ
ｂ
ｂ２－ａ
槡
２时，以点Ａ，Ｂ，Ｃ
为顶点的三角形与以点Ｃ，Ｄ，Ｂ为顶点的三角形相似．
１如图，锐角三角形ＡＢＣ的边ＡＢ，ＡＣ上的高ＣＥ，ＢＦ相交于点Ｄ，请写出图中的两对相
似三角形．
（第１题）
（第２题）
２如图，在Ｒｔ
ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ是边ＡＢ上的高．求证：
（１）ＣＤ２＝ＡＤ·ＢＤ；
（２）ＢＣ２＝ＡＢ·ＢＤ，ＡＣ２＝ＡＢ·ＡＤ．
３在Ｒｔ
ＡＢＣ与Ｒｔ
Ａ′Ｂ′Ｃ′中，∠Ｃ＝∠Ｃ′ ＝９０°，当具有下列条件时，这两个直角三
角形是否相似，为什么？
（１）ＡＢ＝１０ｃｍ，ＡＣ＝８ｃｍ，Ａ′Ｂ′ ＝１５ｃｍ，Ｂ′Ｃ′ ＝９ｃｍ；
（２）ＡＢ＝５ｃｍ，ＡＣ＝４ｃｍ，Ａ′Ｃ′ ＝１２ｃｍ，Ｂ′Ｃ′ ＝９ｃｍ．
４你能根据相似形知识证明勾股定理吗？
８５
２２．２ 相似三角形的判定
习题２２．２
（第２题）
１判断正误：
（１）两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似．
（
）
（２）在
ＡＢＣ和
Ａ′Ｂ′Ｃ′中，如果∠Ａ＝８０°，∠Ｂ＝４０°，
∠Ａ′ ＝８０°，∠Ｃ′ ＝６０°，那么这两个三角形相似．（
）
２如图，在
ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝３６°，ＢＤ，ＣＥ分别是
∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的平分线，且相交于点Ｏ．写出与
ＡＢＣ相似
的三角形．
３依据下列各题的条件，判断
ＡＢＣ与
Ａ′Ｂ′Ｃ′是否相似，并
说明理由．
（１）∠Ｃ＝∠Ｃ′ ＝９０°，∠Ａ＝２５°，∠Ｂ′ ＝６５°；
（２）∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝６ｃｍ，ＢＣ＝４ｃｍ，∠Ｃ′ ＝９０°，Ａ′Ｃ′ ＝９ｃｍ，Ｂ′Ｃ′ ＝６ｃｍ；
（３）ＡＢ＝１０ｃｍ，ＢＣ＝１２ｃｍ，ＡＣ＝１５ｃｍ，Ａ′Ｂ′ ＝１５ｍ，Ｂ′Ｃ′ ＝１８ｍ，
Ａ′Ｃ′ ＝２２５ｍ．
４用枪射击瞄准时，要求标尺缺口的上沿中央Ａ、准星尖Ｂ和瞄准点Ｃ在同一条直
线上［图（１）］．已知某种冲锋枪的基线ＡＢ＝３８５ｃｍ［图（２）］，如果射击距离
ＡＣ＝１００ｍ，当准星尖在缺口内偏差ＢＢ′ ＝１ｍｍ时，求弹着点偏差ＣＣ′
（ＣＣ′ ∥ＢＢ′）的长．
（第４题）
（第５题）
５已知：如图，Ｄ是
ＡＢＣ的边ＡＢ上一点，且ＡＣ２
＝
ＡＤ·ＡＢ．
求证：∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＢ．
８６
第２２章 相似形
（第６题）
６已知：如图，ＡＤ是直角三角形ＡＢＣ斜边上的中线，
ＡＥ⊥ＡＤ，ＡＥ交ＣＢ的延长线于点Ｅ．
求证：
ＢＡＥ
ＡＣＥ．
７
ＡＢＣ的三边长分别为槡２，槡１０，２，Ａ′Ｂ′Ｃ′的两
边长分别为１，槡５．如果
ＡＢＣ
Ａ′Ｂ′Ｃ′，那么
Ａ′Ｂ′Ｃ′的第三边长应是多少？
８在方格纸中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．请在如图的方格纸（８× ８）
中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（所画格点三角形应是钝
角三角形，并标明相应字母）．
（第８题）
（第９题）
９如图，在
ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ分别是边ＡＢ，ＡＣ上的点，且ＡＥ＝６，ＥＣ＝１．５，ＤＢ＝
４，ＡＢ＝９，求ＤＥ
ＢＣ的值．
１０．已知：如图，Ｅ是矩形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，ＢＦ⊥ＡＥ于点Ｆ．
求证：ＡＢ
ＡＦ＝ＡＥ
ＤＥ．
（第１０题）
（第１１题）
１１．已知：如图，在矩形ＡＢＣＤ中，直线ＭＮ是对角线ＡＣ的垂直平分线．
求证：ＯＭＣ
ＤＣＡ．
８７
２２．３ 相似三角形的性质
２２．３相似三角形的性质
我们知道，两个三角形相似，它们的对应角相等，对应边
成比例，除此之外，两个相似三角形还有哪些性质呢？
定理１ 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应
角平分线的比都等于相似比．
下面，我们以对应高的比为例，证明如下．
已知：如图２２
２３，ＡＢＣ
Ａ′Ｂ′Ｃ′，它们的相似比
为ｋ，ＡＤ，Ａ′Ｄ′是对应高．
求证：ＡＤ
Ａ′Ｄ′ ＝ＡＢ
Ａ′Ｂ′ ＝ｋ．
图 ２２
２３
证明
∵
ＡＢＣ
Ａ′Ｂ′Ｃ′，
∴ ∠Ｂ＝∠Ｂ′．
∵ ∠ＢＤＡ＝∠Ｂ′Ｄ′Ａ′ ＝９０°，
∴ Ｒｔ
ＡＢＤ
Ｒｔ
Ａ′Ｂ′Ｄ′．
∴
ＡＤ
Ａ′Ｄ′ ＝ＡＢ
Ａ′Ｂ′ ＝ｋ．
你能否证明：
相似三角形对
应中线的比等
于相似比；相似
三角形对应角
平分线的比等
于相似比．
８８
第２２章 相似形
相似三角形周长的比和面积的比分别与相似比
有什么关系？
我们知道，如果
ＡＢＣ
Ａ′Ｂ′Ｃ′，且它们的相似比为
ｋ，那么
ＡＢ
Ａ′Ｂ′ ＝ＢＣ
Ｂ′Ｃ′ ＝ＣＡ
Ｃ′Ａ′ ＝ｋ．
由等比性质，得
ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ
Ａ′Ｂ′ ＋Ｂ′Ｃ′ ＋Ｃ′Ａ′ ＝ｋ．
于是得到如下定理．
定理２ 相似三角形周长的比等于相似比．
如果
ＡＢＣ
Ａ′Ｂ′Ｃ′，它们的相似比为ｋ，ＡＤ，Ａ′Ｄ′
是对应高（图２２
２３），根据三角形面积计算公式及定
理１，得
Ｓ
ＡＢＣ
Ｓ
Ａ′Ｂ′Ｃ′
＝
１
２ＢＣ·ＡＤ
１
２Ｂ′Ｃ′·Ａ′Ｄ′
＝ＢＣ
Ｂ′Ｃ′· ＡＤ
Ａ′Ｄ′ ＝ｋ２．
于是得到如下定理．
定理３ 相似三角形面积的比等于相似比的平方．
例１ 如图２２
２４，一块铁皮呈锐角三角形，它的边
ＢＣ＝８０ｃｍ，高ＡＤ＝６０ｃｍ．要把该铁皮加工成矩形零件，
使矩形的两边之比为２∶１，且矩形长的一边位于边ＢＣ上，另
两个顶点分别在边ＡＢ，ＡＣ上．求这个矩形零件的边长．
如果矩形短
的一边位于边
ＢＣ上，这个矩形
零件的边长又各
是多少？
８９
２２．３ 相似三角形的性质
图 ２２
２４
解 如图２２
２４，矩形ＰＱＲＳ为加工后的矩形零件，边
ＳＲ在边ＢＣ上，顶点Ｐ，Ｑ分别在边ＡＢ，ＡＣ上，ＡＢＣ的高
ＡＤ交ＰＱ于点Ｅ．设ＰＳ为ｘｃｍ，则ＰＱ为２ｘｃｍ．
∵
ＰＱ∥ＢＣ，
∴
ＡＰＱ
ＡＢＣ．
∴
ＰＱ
ＢＣ＝ＡＥ
ＡＤ．
即
２ｘ
８０＝６０－ｘ
６０
．
解方程，得
ｘ＝２４，２ｘ＝４８．
答：这个矩形零件的边长分别是４８ｃｍ和２４ｃｍ．
例２ 如图２２
２５，ＡＢＣ的面积为２５，直线ＤＥ平
行于ＢＣ分别交ＡＢ，ＡＣ于点Ｄ，Ｅ．如果
ＡＤＥ的面积
为９，求ＡＤ
ＤＢ的值．
解
∵ ＤＥ∥ＢＣ，
∴
ＡＤＥ
ＡＢＣ．
∴
ＡＤ２
ＡＢ２＝Ｓ
ＡＤＥ
Ｓ
ＡＢＣ
＝９
２５．
图 ２２
２５
９０
第２２章 相似形
解方程，得
ＡＤ
ＡＢ＝３
５．
∴
ＡＤ
ＤＢ＝３
２．
１已知：ＡＢＣ
Ａ′Ｂ′Ｃ′，ＢＣ＝３６ｃｍ，Ｂ′Ｃ′ ＝６ｃｍ，ＡＥ是
ＡＢＣ的一条中线，ＡＥ＝
２４ｃｍ，求
Ａ′Ｂ′Ｃ′中对应中线Ａ′Ｅ′的长．
２已知：在
ＡＢＣ中，ＢＣ＝１２０ｍｍ，边ＢＣ上的高为８０ｍｍ．在这个三角形内有一个内
接矩形，矩形的一边在ＢＣ上，另两个顶点分别在边ＡＢ，ＡＣ上．问当这个矩形面积最
大时，它的边长各是多少？
３已知：在
ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＢＣ，ＤＥ交ＡＢ，ＡＣ于点Ｄ，Ｅ，ＤＥ＝２，ＢＣ＝５，ＡＢＣ的
面积等于２０，求
ＡＤＥ的面积．
４若两个相似三角形的面积比是３∶４，则它们的周长比是多少？
习题２２．３
１有一三角形三边之比为２∶５∶４，如果另一个与它相似的三角形的周长等于５５ｃｍ，
那么另一个三角形的三边长分别是多少？
２在
ＡＢＣ和
Ａ′Ｂ′Ｃ′ 中，∠Ａ＝∠Ａ′，ＡＢ∶Ａ′Ｂ′ ＝ＡＣ∶Ａ′Ｃ′ ＝４∶５，ＢＣ＋
Ｂ′Ｃ′ ＝４５，求Ｂ′Ｃ′的长．
３在
ＡＢＣ和
Ａ′Ｂ′Ｃ′ 中，∠Ａ＝∠Ａ′，∠Ｂ＝∠Ｂ′，ＡＢ＝５ｃｍ，ＢＣ＝７ｃｍ，
Ａ′Ｂ′ ＝１０ｃｍ，Ａ′Ｃ′ ＝８ｃｍ，求这两个三角形其他各边的长．
４两个相似三角形的一对对应边分别为３２ｃｍ和１２ｃｍ．
（１）已知它们的周长相差４５ｃｍ，求这两个三角形的周长；
（２）已知它们的面积相差５５０ｃｍ２，求这两个三角形的面积．
５已知：在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＤＣ，ＡＣ交ＢＤ于点Ｏ，Ｓ
ＡＢＯ＝５ｃｍ２，Ｓ
ＣＤＯ＝
２０ｃｍ２，求ＡＯ
ＣＯ和Ｓ
ＡＣＤ的值．
９１
２２．３ 相似三角形的性质
６如图，ＤＥ∥ＢＣ，且ＡＤ
ＢＤ＝２，求
ＡＤＥ与
ＡＢＣ的周长比．
（第６题）
（第７题）
７．如图，过
ＡＢＣ内的点Ｐ分别作三边的平行线，形成三个小三角形①②③，如果
这三个小三角形的面积分别为４，９，１６，求
ＡＢＣ的面积．
８如图，在ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＡＢ上一点，ＡＥ∶ＥＢ＝１∶２，ＤＥ与ＡＣ相交于点Ｆ．
（第８题）
（１）求
ＡＥＦ与
ＣＤＦ的周长比；
（２）如果Ｓ
ＡＥＦ＝６，求Ｓ
ＣＤＦ的值．
９已知：在
ＡＢＣ中，∠Ｂ＝２∠Ｃ，∠Ｂ的平分线为
ＢＤ，且ＢＤ
ＢＣ＝４
７．
（１）求证：
ＡＢＤ
ＡＣＢ；
（２）求
ＡＢＤ与
ＡＣＢ的周长比和面积比．
１０如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆３０ｍ的地方，手臂向
前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上１２ｃｍ的长度恰好遮住电线杆．已知臂长
为６０ｃｍ，求电线杆的高．
（第１０题）
（第１１题）
１１李勇想利用树影来测量树高．他在某一时刻先测得
长为１ｍ的竹竿影长０９ｍ，然后再测量树影，因树
靠近一幢建筑物，影子有一部分在墙上（如图），测
得留在墙上的影高１２ｍ，地面部分的影长２７ｍ．
问这棵树的高度是多少？
９２
第２２章 相似形
１２已知：在
ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，∠Ｃ＝９０°，点Ｐ在三角形内，且∠ＰＡＢ＝
∠ＰＢＣ＝∠ＰＣＡ．
求证：Ｓ
ＰＡＢ＝２Ｓ
ＰＣＡ．
１３如图，四边形ＡＢＣＤ和四边形ＡＣＥＤ都是平行四边形，点Ｒ是ＤＥ的中点，连接
ＢＲ，分别交ＡＣ，ＣＤ于点Ｐ，Ｑ．
（１）请写出图中各对相似三角形（不包括相似比为１的三角形）；
（２）求ＢＰ∶ＰＱ∶ＱＲ的值．
（第１３题）
（第１４题）
（第１５题）
１４．如图，一张矩形纸ＡＢＣＤ，沿较长对边的中点Ｅ，Ｆ的连线
对折，得两个小矩形ＡＥＦＤ和ＢＥＦＣ．如果要保证这两个小
矩形都与原矩形相似，那么原矩形ＡＢＣＤ的边长应满足怎
样的要求？
１５．如图，在
ＡＢＣ中，∠Ｂ的平分线为ＢＤ，ＤＥ∥ＡＢ交ＢＣ于
点Ｅ，若ＡＢ＝９，ＢＣ＝６，求
Ｓ
ＤＣＥ
Ｓ四边形ＡＢＥＤ的值．
矩形对角线穿过的小正方形数
在由ｍ×ｎ个小正方形组成的矩形网格中，研究它
的一条对角线所穿过（至少要经过小正方形内部的一个
点）的小正方形个数ｆ．
９３
２２．３ 相似三角形的性质
（１）当ｍ，ｎ互质（ｍ，ｎ除１外无其他公因子）时，
观察图２２
２６并完成下表：
图 ２２
２６
ｍ
ｎ
ｍ＋ｎ
ｆ
１
２
３
２
１
３
４
３
２
３
５
４
２
５
７
３
４
７
（２）猜想：当ｍ，ｎ互质时，在ｍ×ｎ的矩形网格中，
一条对角线所穿过的小正方形的个数ｆ与ｍ，ｎ之间的
关系式是
（不需证明）．请再画几个与上
面不同的图形，验证你猜想的关系式是否成立．
（３）如果你猜想的关系式对一般情况都是适合的，
请证明它的正确性；如果你能找到反例说明你猜想的关
系式不成立，请修改你的猜想，再进行证明（如果你在证
明时有困难，可先观察一条对角线所穿过的小正方形个
数ｆ与该对角线被纵、横网格线分成的段数之间的对应
关系）．
９４
第２２章 相似形
（４）当ｍ，ｎ不互质时，请画图验证你猜想的关系
式是否依然成立．
（５）画出２× ４和３× ６的矩形网格，分别观察它们
的一条对角线所穿过的小正方形个数，并与１× ２的矩
形网格中它的一条对角线所穿过的小正方形个数进行
比较，将２× ４和３× ６的情况转化为１× ２的情况，求出ｆ
的值．
（６）当ｍ，ｎ不互质时，说说此时你求ｆ值的方法．
９５
２２．４ 图形的位似变换
２２．４图形的位似变换
在日常生活中，有时需要把一个图形放大或缩小．
例１ 把四边形ＡＢＣＤ放大为原来的２倍（即新图与原
图的相似比为２）．
解 如图２２
２７．
（１）在四边形ＡＢＣＤ所在平面内任取一点Ｏ；
（２）以点Ｏ为端点作射线ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ；
（３）分别在射线ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ上取点Ａ′，Ｂ′，
Ｃ′，Ｄ′，使ＯＡ′
ＯＡ＝ＯＢ′
ＯＢ＝ＯＣ′
ＯＣ＝ＯＤ′
ＯＤ＝２；
（４）连接Ａ′Ｂ′，Ｂ′Ｃ′，Ｃ′Ｄ′，Ｄ′Ａ′．
所得四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′即为所求．
本题还可按如图２２
２８的方法作图．
图 ２２
２８
（１）在四边形ＡＢＣＤ所在平面内任取一点Ｏ；
（２）分别以点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ为端点作射线ＡＯ，
ＢＯ，ＣＯ，ＤＯ；
（３）分别在射线ＡＯ，ＢＯ，ＣＯ，ＤＯ上取点Ａ′，Ｂ′，
Ｃ′，Ｄ′，使ＯＡ′
ＯＡ＝ＯＢ′
ＯＢ＝ＯＣ′
ＯＣ＝ＯＤ′
ＯＤ＝２；
图 ２２
２７
９６
第２２章 相似形
（４）连接Ａ′Ｂ′，Ｂ′Ｃ′，Ｃ′Ｄ′，Ｄ′Ａ′．
所得四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′即为所求．
在图２２
２７和图２２
２８中，所得四边形
Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′ 四边形ＡＢＣＤ，你能说明道理吗？
一般地，如果一个图形上的点Ａ１，Ｂ１，…，Ｐ１和另一个
图形上的点Ａ，Ｂ，…，Ｐ分别对应，并且满足下面两点：
（１）直线ＡＡ１，ＢＢ１，…，ＰＰ１都经过同一点Ｏ；
（２）
ＯＡ１
ＯＡ＝
ＯＢ１
ＯＢ＝… ＝
ＯＰ１
ＯＰ＝ｋ．
那么，这两个图形叫做位似图形，点Ｏ叫做位似
中心．
图形的位似，也可用于把图形缩小，如用小平板仪测绘
小范围区域图时，就是这样做的．
例２ 如图２２
２９，四边形ＡＢＣＤ是一个待
测绘的小区．在区内选一个测绘点Ｏ（图中已被
图板遮住），将图板上测绘图纸的点Ｏ１对准测
绘点Ｏ，再由点Ｏ１对准点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在纸上作射
线Ｏ１Ａ，Ｏ１Ｂ，Ｏ１Ｃ，Ｏ１Ｄ，分别测得点Ｏ到点
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的距离，并按同一比例缩小，在图纸
的对应射线上定出点Ａ１，Ｂ１，Ｃ１，Ｄ１，依次连接
Ａ１Ｂ１，Ｂ１Ｃ１，Ｃ１Ｄ１，Ｄ１Ａ１，即得该小区缩小的平
面图．
图 ２２
２９
９７
２２．４ 图形的位似变换
作一个五边形和已知五边形位似，要求：
（１）位似中心取在已知五边形的一个顶点处，相似比为１
２；
（２）位似中心取在已知五边形一边上，相似比为３．
平面直角坐标系中图形的位似变换
如图２２
３０，在平面直角坐标系中，
ＡＢＣ的顶点坐标分别
为Ａ（１，１），Ｂ（３，２），Ｃ（４，１）．以原点Ｏ为位似中心，相似比为
３，作
ＡＢＣ的位似图形．观察对应顶点坐标的变化，你有什么
发现？
图 ２２
３０
连接ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，分别延长ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ至点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，使
ＯＡ′
ＯＡ＝ＯＢ′
ＯＢ＝ＯＣ′
ＯＣ＝３．连接Ａ′Ｂ′，Ｂ′Ｃ′，Ｃ′Ａ′，那么
Ａ′Ｂ′Ｃ′就是所
求的
ＡＢＣ的位似图形．
可以看到，位似变换后点Ａ，Ｂ，Ｃ的对应点分别为点
Ａ′（３，３），Ｂ′（９，６），Ｃ′（１２，３）．
比较图２２
３０中变换前后各对应点的坐标，我们可以发现如
下性质：
９８
第２２章 相似形
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点Ｏ为位似中
心，相似比为ｋ（ｋ＞０），原图形上点的坐标为（ｘ，ｙ），那么同向位
似图形对应点的坐标为（ｋｘ，ｋｙ）（ｋ＞０）．
利用这个性质作同向位似图形就相当简单，只要把图形上各
点的坐标都乘以一个固定的数ｋ（ｋ＞０），就可以得到相似比为ｋ
（ｋ＞０）的同向位似图形．
取ｋ＝－３，对图２２
３０中的
ＡＢＣ进行变换，看看结果如
何？这样得到的图形叫做反向位似图形，它与ｋ＝３时的变换结果
有什么不同？
思考１ 将图２２
３０中的
ＡＢＣ，按（ｘ，ｙ）→
１
２ｘ，１
２
(
)
ｙ的
方式变换，求变换后所得图形中对应点的坐标．画出变换后图形，
它与原图形有何关系？
思考２ 将图２２
３０中的
ＡＢＣ，按（ｘ，ｙ）→（３ｘ，ｙ）或
（ｘ，ｙ）→（２ｘ，３ｙ）的方式变换，画出变换后图形，它们与原图形
相似吗？
在平面直角坐标系中，在作（ｘ，ｙ）→（ａｘ，ｂｙ）变换时，当
ａ＝ｂ≠０时为相似变换．
１
ＡＢＣ的顶点坐标为Ａ（０，２），Ｂ（－３，５），Ｃ（－６，３）．按如下方式对
ＡＢＣ进行变换：
（１）（ｘ，ｙ）→（２ｘ，２ｙ）；
（２）（ｘ，ｙ）→（－２ｘ，－２ｙ）．
画出变换后的图形，它与原图形相似吗？为什么？
２在平面直角坐标系里有四个点：Ａ（０，１），Ｂ（４，１），Ｃ（５，４），Ｄ（１，４）．
（１）顺次连接点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，得到一个怎样的四边形？
（２）将各点的横、纵坐标都乘以２，得到点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′，那么四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′是什么图
形，它与四边形ＡＢＣＤ有何关系？
９９
２２．４ 图形的位似变换
习题２２．４
１作一个四边形与已知四边形位似，位似中心取在已知四边形内，相似比ｋ＝２．
（第２题）
２如图，Ｂ，Ｃ两点间因有障碍不能直接测量．现测得
ＡＢ＝５２ｍ，ＡＣ＝４４ｍ，∠ＢＡＣ＝４２°．按１∶１０００
的比例尺画出
ＡＢＣ，量出ＢＣ的长，求出Ｂ，Ｃ两点
间的实际距离．（精确到１ｍ）
３如图，在
ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是三边ＢＣ，ＣＡ，
ＡＢ的中点，问
ＤＥＦ与
ＡＢＣ是否位似？如是位
似，找出位似中心．
（第３题）
（第４题）
４．如图，已知
ＡＢＣ与
Ａ１Ｂ１Ｃ１是位似图形，找出位似中心．
三角形ＡＢＣ的顶点坐标为Ａ（０，２），Ｂ（－３，５），
Ｃ（－６，３）；四边形ＡＢＣＤ的顶点坐标为Ａ（０，１），Ｂ（４，１），
Ｃ（５，４），Ｄ（１，４）．按如下方式分别对三角形ＡＢＣ、四边形
ＡＢＣＤ进行变换：
（ｘ，ｙ）→（ｋｘ，ｋｙ），且ｋ＝－１．
（１）请画出变换前后的各个图形；
（２）问变换前后的各个图形有怎样的位置关系？
１００
第２２章 相似形
出入相补原理
我国古代几何学有着悠久的历史和丰富的内容，不同于西方
的欧几里得体系，它具有自己独特的风格．
田亩丈量和天文观测是我国古代几何学的主要起源，两者引
出了面积问题和勾股测量问题，依据这些方面的经验成果，总结
提升为一个简单明白的基本原理———出入相补原理，并将其应用
于形形色色的实际问题中，这成为我国古代几何学的特色之一．
所谓出入相补原理，就是指：“一个平面图形从一处移至他
处，面积不变．又如果把图形分割成若干块，那么各部分面积的和
等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积之间的和、差有
简单的相等关系．立体的情形也是这样．”
我国当代数学大师吴文俊教授曾写文章，不仅对我国古算作
出了上述评说，还根据“出入相补原理”补写出了早已遗失了的古
算书中一些命题的推理过程．
１勾股定理
如图２２
３１，ＡＢＣ是直角三角形，矩形ＢＣＥＤ是勾方，矩形
ＥＦＧＨ是股方，将两矩形组成的六边形ＤＢＣＦＧＨ中的
ＢＤＩ移到
ＡＢＣ，将
ＧＨＩ移到
ＡＦＧ，得到的矩形ＡＢＩＧ就是弦方．
２望海岛（见本章Ｂ组复习题第５题）
我国古算书《海岛算经》中有题：今有望海岛（ＡＢ），立两表
（竿子ＣＤ，ＥＦ）齐高三丈，前后相去（ＤＦ）千步，令后表与前表
参相直．从前表（ＣＤ）却行（ＤＧ）一百二十三步，人目着地（Ｇ）取
望岛峰（Ａ），与表末（Ｃ）参合．从后表（ＥＦ）却行（ＦＨ）一百二十
七步，人目着地（Ｈ）取望岛峰（Ａ），亦与表末（Ｅ）参合．问岛高
（ＡＢ）及前表去岛（ＢＤ）各几何？
古算书上给出的计算公式是
岛高＝表间×表高
相多
＋表高，
相多等于两个表的却行相减．
图 ２２
３１
１０１
２２．４ 图形的位似变换
前表去岛＝表间×前表却行
相多
．
根据古算书得图２２
３２．
在矩形ＡＢＨＩ中，点Ｅ在对角线ＡＨ上，故有
ＳＥＩ＝ＳＥＢ．
①
在矩形ＡＢＧＪ中，点Ｃ在对角线ＡＧ上，故有
ＳＣＪ＝ＳＣＢ．
②
由①－②，得
ＳＥＩ－ＳＣＪ＝ＳＥＢ－ＳＣＢ＝ＳＥＤ，
即 （ＡＢ－ＫＢ）·ＦＨ－（ＡＢ－ＫＢ）·ＤＧ＝ＣＤ·ＤＦ．
解方程，得
ＡＢ＝ＤＦ·ＣＤ
ＦＨ－ＤＧ
＋ＫＢ，
即
岛高＝表间× 表高
相多
＋表高．
又由②，得
ＤＧ·（ＡＢ－ＫＢ）＝ＫＢ·ＢＤ．
将ＡＢ的值代入，得
ＢＤ＝ＤＦ·ＤＧ
ＦＨ－ＤＧ，
即
前表去岛＝表间×前表却行
相多
．
图 ２２
３２
１０２
第２２章 相似形
２２．５综合与实践
测量与误差
在学校的操场上，有一根不锈钢旗杆，在既不攀爬到旗
杆顶上，又不破坏旗杆的情况下，要求测量出旗杆的高度．
下面有四种测量方法，测量中可使用的工具有：皮尺、
测角器、１米竿（长度为１ｍ的竹竿）、镜子、长竿（长度大于
人身高的竹竿）．
方法一 如图２２
３３，使用工具有：皮尺、１米竿．
分别测出同一时刻旗杆ＡＢ与１米竿ＣＤ的影长ＢＭ与
ＤＮ，利用
ＡＢＭ
ＣＤＮ，可求得旗杆的高度．
图 ２２
３３
图 ２２
３４
方法二 如图２２
３４，使用工具有：皮尺、长竿．
将长竿立于旗杆与人之间，观察长竿和旗杆顶端，使人
的眼睛Ｅ与Ａ，Ｃ在同一直线上，利用
ＡＮＥ
ＣＭＥ，可求
得旗杆的高度．
方法三 如图２２
３５，使用工具有：皮尺、镜子．
将镜面朝上置于地面Ｃ处，观察镜子中旗杆顶端Ａ′，使
人的眼睛Ｅ与Ｃ，Ａ′在同一直线上，利用
ＡＢＣ
Ａ′ＢＣ，
Ａ′ＢＣ
ＥＦＣ，可求得旗杆的高度．
方法四 如图２２
３６，使用工具有：皮尺、测角器．
通过测角器观察旗杆顶端Ａ，使测角器的示数为６０°（条
１０３
２２．５ 综合与实践 测量与误差
图 ２２
３５
图 ２２
３６
件允许可以是４５°、３０°），利用ＡＢ＝ＡＭ＋ＢＭ＝槡３ＭＥ＋
ＥＦ，可求得旗杆的高度．
问题? 请你用这四种方法进行旗杆测量，并将测量数
据记录于下列表格中．
测量旗杆的高度
测量次序
方法一
方法二
方法三
方法四
ＢＭ
ＤＮ
ＮＭ
ＭＥ
ＥＦ
ＢＣ
ＣＦ
ＥＦ
ＭＥ
ＥＦ
１
２
３
平均值
计算结果
问题? 你觉得何种方法操作简便，又是何种方法测得
的数据更准确？你还有其他的测量方法吗？
问题? 在测量中，每次的测量数据都有差异，你是如
何处理的，你测量了几次？
１０４
第２２章 相似形
问题? 几种测量方法为何有误差，如何改进？请对测
量误差进行思考，查找误差原因．
一、内容整理
二、主要知识回顾
１两条线段的比
去度量两条线段ａ，ｂ，得到的
叫做这两条线段的比．
２成比例线段
在四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ中，如果其中两条线段ａ，ｂ的比，等于另外两条线段
ｃ，ｄ的比，即 ，那么这四条线段叫做成比例线段．
３比例的性质
（１）基本性质：如果ａ
ｂ＝ｃ
ｄ，那么
．
（２）合比性质：如果ａ
ｂ＝ｃ
ｄ，那么
．
（３）等比性质：如果
ａ１
ｂ１
＝
ａ２
ｂ２
＝… ＝
ａｎ
ｂｎ，且ｂ１＋ｂ２＋… ＋ｂｎ≠０，那么
．
４相似三角形
（１）定义：
．
１０５
小结·评价
（２）判定：
定理１：
．
定理２：
．
定理３：
．
对于两个直角三角形，除上述判定定理外，还有：
．
（３）性质：
①对应角 ，对应边 ；
②对应
、对应
、对应
和周长比都
等于相似比；
③面积比等于 ．
５位似变换
（１）位似图形．
（２）图形在平面直角坐标系中的位似变换．
三、自评与互评
１图形的全等和相似有何区别与联系？
２怎样利用相似三角形的知识来测量建筑物、旗杆、大树等物体的
高度？
１填空：
（１）已知４ｘ－３ｙ＝０，ｘ≠０，则ｙ
ｘ
＝
；
（２）已知ａ
ｂ
＝ｃ
ｄ
＝３，则ａ＋ｂ
ｂ
＝
，ｃ＋ｄ
ｃ
＝
．
２如图，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＯ＝４，ＢＣ＝９，ＯＣ＝６，求ＯＤ的长．
１０６
第２２章 相似形
（第２题）
（第３题）
３如图，在Ｒｔ
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＭＮ⊥ＡＢ于点Ｍ，ＡＭ＝８ｃｍ，ＡＣ＝４
５ＡＢ，求
ＡＮ的长．
４ＣＤ是Ｒｔ
ＡＢＣ斜边上的高．
（１）已知ＡＤ＝９ｃｍ，ＣＤ＝６ｃｍ，求ＢＤ的长；
（２）已知ＡＢ＝２５ｃｍ，ＢＣ＝１５ｃｍ，求ＢＤ的长．
５已知：如图，在
ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ的中点，Ｅ为ＡＣ上的一点，ＤＥ延长线交ＢＣ延
长线于点Ｆ．
求证：ＢＦ
ＣＦ
＝ＡＥ
ＥＣ
．
（第５题）
（第６题）
６如图，Ａ′Ｂ′ ∥ＡＢ，Ｂ′Ｃ′ ∥ＢＣ，判断
Ａ′Ｂ′Ｃ′与
ＡＢＣ是否相似．
７已知：如图，点Ｄ在
ＡＢＣ的ＡＢ上，ＤＥ∥ＢＣ，ＤＥ交ＡＣ于点Ｅ，点Ｆ在ＡＤ上，且
ＡＤ２＝ＡＦ·ＡＢ．
求证：
ＡＥＦ
ＡＣＤ．
（第７题）
（第８题）
１０７
小结·评价
８已知：如图，ＢＥ，ＣＦ是
ＡＢＣ的两条高．
求证：
ＡＥＦ
ＡＢＣ．
９如图，点Ｅ在正方形ＡＢＣＤ的ＣＤ上，ＣＥ＝１
４ＣＤ，点Ｐ在ＢＣ上．试给出当
ＡＢＰ
与
ＰＣＥ相似时，点Ｐ应满足的条件．
（第９题）
（第１０题）
１０如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ．问Ｓ
ＡＢＤ∶Ｓ
ＣＢＤ与ＡＯ∶ＯＣ有
何关系？
１１如图，一油桶高ＡＥ为１ｍ，桶内有油，一根木棒ＡＢ为１２ｍ，从桶盖的小口（Ａ）处
斜插入桶内，一端插到桶底，另一端与小口（Ａ）齐平，抽出木棒，量得棒上未浸油
部分ＡＣ为０４８ｍ，求桶内油面高度ＤＥ的值．
（第１１题）
（第１２题）
１２如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下２７ｍ宽的亮区．已知亮区一边
到窗下墙脚距离ＣＥ为８７ｍ，窗口高ＡＢ为１８ｍ，求窗口底边离地面的高度
ＢＣ的值．
１３已知：ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ是
ＡＢＣ的中线，且交于点Ｇ．
求证：ＡＧ∶ＧＤ＝ＢＧ∶ＧＥ＝ＣＧ∶ＧＦ＝２．
（这道题目是根据相似形的知识证明三角形重心的性质）
１０８
第２２章 相似形
１有一块两直角边分别为６ｄｍ，８ｄｍ的直角三角形铁皮．现要从中剪出一个尽可能
大的正方形，给出它的裁剪方法．
（第２题）
２如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＤＣ∥ＡＢ，ＡＣ与ＢＤ相交于
点Ｏ，且ＡＯ∶ＣＯ＝３∶２，求四个小三角形的面积比
Ｓ
ＡＯＤ∶Ｓ
ＡＯＢ∶Ｓ
ＢＯＣ∶Ｓ
ＣＯＤ的值．
３如图，ＡＢＣ是等边三角形，点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别在边ＡＢ，
ＢＣ，ＣＡ上，且ＤＥ⊥ＢＣ，ＥＦ⊥ＡＣ，ＦＤ⊥ＡＢ．若
ＡＢＣ的面积为７２ｃｍ２，求
ＤＥＦ的面积．
（第３题）
（第４题）
４如图，点Ｐ在
ＡＢＣ的边ＡＣ上．
（１）过点Ｐ画直线ＰＥ交
ＡＢＣ的另一边于点Ｅ，使截得的三角形与
ＡＢＣ相似，
这样的三角形能画几个？
（２）若∠Ｂ＝９０°，按（１）的方法截得的三角形个数与（１）的结果相同吗？
（第５题）
５如图，为了求出山峰高度ＡＢ，在点Ｄ和点Ｆ处竖立标
杆ＣＤ和ＥＦ，标杆的高都是３丈（１丈＝１０尺），相
隔１０００步（１步＝５尺），并且ＡＢ，ＣＤ和ＥＦ在同一
平面内．从标杆ＣＤ退后１２３步到点Ｇ处，可看到山峰
Ａ和标杆顶端Ｃ在一直线上；从标杆ＥＦ退后１２７步到
点Ｈ处，可看到山峰Ａ和标杆顶端Ｅ在一直线上．问
山峰高度ＡＢ及山峰与标杆ＣＤ的水平距离ＢＤ各是
多少？
丈、尺均为非法定计量单位，１丈＝３．３·
ｍ，１尺＝０．３３·
ｍ．
１０９
小结·评价
６在平面直角坐标系中有一五边形ＡＢＣＤＥ，各顶点坐标分别为：Ａ（６，２），
Ｂ（４，４），Ｃ（２，４），Ｄ（０，２），Ｅ（４，０）．
（１）将各顶点的横、纵坐标都除以２，得到五个新的点，顺次连接五个新点，得到
的新五边形与原五边形ＡＢＣＤＥ有什么关系？
（２）将各顶点的横、纵坐标都乘以２，得到五个新的点，顺次连接五个新点，得到
的新五边形与原五边形ＡＢＣＤＥ有什么关系？
７已知：在Ｒｔ
ＡＢＣ与Ｒｔ
Ａ′Ｂ′Ｃ′中，∠Ｃ＝∠Ｃ′ ＝９０°，ＣＤ，Ｃ′Ｄ′分别是两个
三角形斜边上的高，且ＣＤ
Ｃ′Ｄ′
＝ＡＣ
Ａ′Ｃ′
．
求证：
ＡＢＣ
Ａ′Ｂ′Ｃ′．
（第８题）
８已知：如图，ＡＢ∥ＣＤ，依次连接ＣＡ，ＣＢ，ＤＡ，ＤＢ，
任作一条直线ｌ，使ｌ∥ＡＢ，设ｌ分别交ＣＡ，ＣＢ，ＤＡ，
ＤＢ于点Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ．
求证：ＰＱ＝ＲＳ．
９已知：在ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＡＤ延长线上的一点，
ＤＥ＝ｎＡＤ，ＥＢ和ＤＣ相交于点Ｆ，求ＤＦ∶ＤＣ和
ＦＣ∶ＤＣ的值．
１０已知：如图，将三个全等的正方形拼成一个矩形ＡＢＧＨ．
求证：∠１＋∠２＝４５°．
（第１０题）
（第１１题）
１１已知：如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＣ，ＢＤ交于点Ｅ．
（１）作ＥＦ垂直ＢＣ于点Ｆ，求证：点Ｆ是线段ＢＣ的２等分点；
（２）连接ＤＦ交ＡＣ于点Ｇ，作ＧＨ垂直ＢＣ于点Ｈ，求证：点Ｈ是线段ＢＣ的３
等分点；
（３）你能在图中作出线段ＢＣ的一个４等分点吗？
１１０
第２２章 相似形
１．如图，在平面直角坐标系中，对正方形ＯＡＢＣ依次进行了几个变换，得到正方形
Ｏ１Ａ１Ｂ１Ｃ１．
（１）说出依次进行了哪几个变换？
（２）在每个变换中，点坐标是如何变化的？
（第１题）
２．在
ＡＢＣ内作一个正方形，使正方形的两个顶点在边ＢＣ上，另两个顶点分别在
边ＡＢ，ＡＣ上．
１１１
小结·评价
解直角三角形
２３．１ 锐角的三角函数
２３．２ 解直角三角形及其
应用
,îìÄÅgÉæÆôö)òûù)ÿd ＡＢ`，Ö
?ùÄ9/Üæ¢)£3m Ｄ，Ｃ¥₧，îƒòûùá)í
oóú; ３０ñÑ ４５ñ，¥|ªîº@A)"aU¿ ＤＣ;
５０ｍ（îo⌐ÿ; １ｍ）．¬½zçF½，ɼƒòûù)
ÿd¡«
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Q9EO67RSTUV<89?@．
１１２
第２３章 解直角三角形
２３．１锐角的三角函数
１．锐角的三角函数
汽车免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽车性
能的重要指标之一．汽车的爬坡能力是指汽
车在满载时所能爬越的最大坡度．怎样描述
坡面的坡度（倾斜程度）呢？（图２３
１）
在图２３
２中，有两个直角三角形，直角边ＡＣ与Ａ１Ｃ１表示水平面，斜
边ＡＢ与Ａ１Ｂ１分别表示两个不同的坡面，坡面ＡＢ和Ａ１Ｂ１哪个更陡？你是怎
样判断的？
图 ２３
２
类似地，在图２３
３中，坡面ＡＢ和Ａ１Ｂ１哪个更陡？你又是怎样判
断的？
图 ２３
３
图 ２３
１
１１３
２３．１ 锐角的三角函数
图 ２３
４
如图２３
４，在锐角Ａ的一边任取
一点Ｂ，过点Ｂ作另一边的垂线ＢＣ，垂
足为Ｃ，得到Ｒｔ
ＡＢＣ；再任取一点
Ｂ１，过点Ｂ１作另一边的垂线Ｂ１Ｃ１，垂
足为Ｃ１，得到另一个Ｒｔ
ＡＢ１Ｃ１……这
样，我们可以得到无数个直角三角形，这些直角三角形都相似．在这些
直角三角形中，锐角Ａ的对边与邻边之比ＢＣ
ＡＣ，
Ｂ１Ｃ１
ＡＣ１，
Ｂ２Ｃ２
ＡＣ２……究竟有怎
样的关系？
在图２３
４的这些直角三角形中，当锐角Ａ的大小确定
后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠Ａ的对边与邻边的
比值总是一个固定值．
如图２３
５，在Ｒｔ
ＡＢＣ中，我们把锐角Ａ的对边与邻
边的比叫做∠Ａ的正切（ｔａｎｇｅｎｔ），记作ｔａｎＡ，即
ｔａｎＡ＝∠Ａ的对边
∠Ａ的邻边＝ＢＣ
ＡＣ＝ａ
ｂ．
图 ２３
５
图 ２３
６
如图２３
６，正切经常用来描述坡面的坡度．坡面的铅
直高度ｈ和水平长度ｌ的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作
ｉ，即
ｉ＝ｈ
ｌ （坡度通常写成ｈ∶ｌ的形式）．
１１４
第２３章 解直角三角形
坡面与水平面的夹角叫做坡角（或称倾斜角），记作α，
于是有
ｉ＝ｈ
ｌ
＝ｔａｎα．
显然，坡度（ｉ＝ｔａｎα）越大，坡角α越大，坡面就越陡．
例１ 如图２３
７，在Ｒｔ
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝４，
图 ２３
７
ＢＣ＝３，求ｔａｎＡ和ｔａｎＢ．
解 ｔａｎＡ＝ＢＣ
ＡＣ＝３
４，
ｔａｎＢ＝ＡＣ
ＢＣ＝４
３．
（第３题）
１．计算图２３
２、图２３
３中坡面ＡＢ和Ａ１Ｂ１的坡度．
２在Ｒｔ
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝１２，ｔａｎＡ＝３
４，求ＢＣ的长．
３如图，汽车从引桥下的端点Ａ行驶２００ｍ后到达高架桥的点Ｂ，已知高架桥的铅直高
度ＢＣ为１２ｍ，求引桥的坡度（精确到００１）．
在检测汽车
爬坡能力等实际
问题中，坡角不易
直接测量，可以用
坡道的铅直高度
与坡道水平长度
的比来刻画坡道
的倾斜程度．
１１５
２３．１ 锐角的三角函数
在图２３
４中，这些直角三角形都是相似的，当锐角Ａ
的大小确定后，不仅∠Ａ的对边与邻边的比随之确定，而且
∠Ａ的对边与斜边的比、邻边与斜边的比分别也是确定的．
如图２３
５，在Ｒｔ
ＡＢＣ中，我们把锐角Ａ的对边与斜
边的比叫做∠Ａ的正弦（ｓｉｎｅ），记作ｓｉｎＡ，即
ｓｉｎＡ＝∠Ａ的对边
斜边
＝ＢＣ
ＡＢ＝ａ
ｃ．
同理，我们把锐角Ａ的邻边与斜边的比叫做∠Ａ的余弦
（ｃｏｓｉｎｅ），记作ｃｏｓＡ，即
ｃｏｓＡ＝∠Ａ的邻边
斜边
＝ＡＣ
ＡＢ＝ｂ
ｃ．
锐角Ａ的正弦、余弦、正切都叫做锐角Ａ的三角函数
（ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ）．
例２ 如图２３
８，在Ｒｔ
ＡＢＣ中，两直角边ＡＣ＝１２，
ＢＣ＝５，求∠Ａ的各个三角函数．
解 在Ｒｔ
ＡＢＣ中，ＡＣ＝１２，ＢＣ＝５，∠Ｃ＝９０°，得
ＡＢ＝
１２２＋５
槡
２＝１３．
∴
ｓｉｎＡ＝ＢＣ
ＡＢ＝５
１３，
ｃｏｓＡ＝ＡＣ
ＡＢ＝１２
１３，
ｔａｎＡ＝ＢＣ
ＡＣ＝５
１２．
例３ 如图２３
９，在平面直角坐标系内有一点
Ｐ（３，４），连接ＯＰ，求ＯＰ与ｘ轴正方向所夹锐角α 的
各个三角函数．
解 过点Ｐ作ｘ轴的垂线，垂足为Ｑ．
在Ｒｔ
ＰＱＯ中，ＯＱ＝３，ＱＰ＝４，得
ＯＰ＝
３２＋４
槡
２＝５．
对于锐角Ａ
的每个确定的
值，ｓｉｎＡ有唯一
确定的值与它
对应，所以ｓｉｎＡ
是锐角Ａ的函
数．同理，ｃｏｓＡ、
ｔａｎＡ也是锐角
Ａ的函数．
图 ２３
８
图 ２３
９
１１６
第２３章 解直角三角形
∴
ｓｉｎα ＝ＱＰ
ＯＰ＝４
５，
ｃｏｓα ＝ＯＱ
ＯＰ＝３
５，
ｔａｎα ＝ＱＰ
ＯＱ＝４
３．
１如图，
ＡＢＣ是直角三角形，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝１０，ＡＣ＝６，求ｓｉｎＡ、ｃｏｓＡ、ｔａｎＡ、
ｓｉｎＢ、ｃｏｓＢ、ｔａｎＢ．
（第１题）
（第２题）
２如图，在
ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝４，ＡＣ＝８，ＣＤ⊥ＡＢ，求ｓｉｎ∠ＡＣＤ、ｃｏｓ∠ＢＣＤ．
３如图，分别写出两个直角三角形中∠Ａ和∠Ｂ的各个三角函数．
（第３题）
４在平面直角坐标系内有一点Ｐ（２，５），连接ＯＰ，求ＯＰ与ｘ轴正方向所夹锐角α 的各个三
角函数．
５菱形ＡＢＣＤ的两条对角线分别为ＡＣ＝８ｃｍ，ＢＤ＝６ｃｍ，求ｔａｎ∠ＢＡＣ．
６在
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｓｉｎＡ＝３
５，求ｃｏｓＡ．
１１７
２３．１ 锐角的三角函数
２３０°，４５°，６０°角的三角函数值
根据锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质，很
容易得到３０°，４５°，６０°角的三角函数值．
如图２３
１０（１），在Ｒｔ
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，
∠Ａ＝３０°，∠Ｂ＝６０°．设ＢＣ＝１，则ＡＢ＝２，ＡＣ＝
槡３（为什么？）．
于是有
ｓｉｎ３０° ＝ ，ｃｏｓ３０° ＝ ，ｔａｎ３０° ＝ ；
ｓｉｎ６０° ＝ ，ｃｏｓ６０° ＝ ，ｔａｎ６０° ＝ ．
如图２３
１０（２），在Ｒｔ
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，
∠Ａ＝∠Ｂ＝４５°．设ＢＣ＝１，则ＡＣ＝１，ＡＢ＝槡２（为
什么？）．
于是有
ｓｉｎ４５° ＝ ，ｃｏｓ４５° ＝ ，ｔａｎ４５° ＝ ．
例４ 求下列各式的值：
（１）２ｓｉｎ６０° ＋３ｔａｎ３０° ＋ｔａｎ４５°；
（２）ｃｏｓ２４５° ＋ｔａｎ６０°ｃｏｓ３０°．
解 （１）２ｓｉｎ６０° ＋３ｔａｎ３０° ＋ｔａｎ４５°
＝２×槡３
２＋３×槡３
３＋１
＝槡
２３＋１．
（２）ｃｏｓ２４５° ＋ｔａｎ６０°ｃｏｓ３０°
＝槡２
(
)
２
２
＋槡３×槡３
２
图 ２３
１０
ｃｏｓ２４５° 表
示（ｃｏｓ４５°）２．类
似地，ｓｉｎ２Ａ表示
（ｓｉｎＡ）２，ｔａｎ２Ａ
表示（ｔａｎＡ）２．
１１８
第２３章 解直角三角形
＝１
２＋３
２
＝２．
１填空：
三角函数值
α
三角函数
３０°
４５°
６０°
ｓｉｎα
ｃｏｓα
ｔａｎα
２求下列各式的值：
（１）ｓｉｎ２４５° ＋ｃｏｓ２４５°；
（２）２ｓｉｎ３０° ＋２ｃｏｓ６０° ＋４ｔａｎ４５°；
（３）ｃｏｓ２３０° ＋ｓｉｎ２４５° －ｔａｎ６０°·ｔａｎ３０°；
（４）
２ｓｉｎ３０°
２ｃｏｓ３０° －１；
（５）ｓｉｎ６０° －ｔａｎ４５°
ｔａｎ６０° －２ｔａｎ４５°．
从上面练习第１题的计算中，不难发现：
ｓｉｎ３０° ＝ｃｏｓ６０°，ｓｉｎ６０° ＝ｃｏｓ３０°，ｓｉｎ４５° ＝ｃｏｓ４５°．
这就是说，３０°，４５°，６０°这三个角的正（余）弦的
值，分别等于它们余角的余（正）弦的值．这个规律，
是否适合任意一个锐角呢？
１１９
２３．１ 锐角的三角函数
如图２３
１１，在Ｒｔ
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°．
∵
ｓｉｎＡ＝ａ
ｃ，ｃｏｓＡ＝ｂ
ｃ，
ｓｉｎＢ＝ｂ
ｃ，ｃｏｓＢ＝ａ
ｃ，
∴ ｓｉｎＡ＝ｃｏｓＢ，ｃｏｓＡ＝ｓｉｎＢ．
∵ ∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°，
∴ ∠Ｂ＝９０° －∠Ａ．
即 ｓｉｎＡ＝ｃｏｓＢ
＝ｃｏｓ（９０° －∠Ａ），
ｃｏｓＡ＝ｓｉｎＢ
＝ｓｉｎ（９０° －∠Ａ）．
任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）
弦值．
例５ 在Ｒｔ
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，且ｓｉｎＡ＝１
３，求
ｃｏｓＢ的值．
解
∵ ∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°，
∴ ｃｏｓＢ＝ｃｏｓ（９０° －∠Ａ）
＝ｓｉｎＡ
＝１
３．
１已知∠Ａ与∠Ｂ都是锐角．
（１）把ｃｏｓ（９０° －∠Ａ）写成∠Ａ的正弦；
（２）把ｓｉｎ（９０° －∠Ｂ）写成∠Ｂ的余弦．
２（１）已知：ｃｏｓＡ＝１
３，且∠Ｂ＝９０° －∠Ａ，求ｓｉｎＢ的值；
（２）已知：ｓｉｎ２２° ＝０３７４６，ｃｏｓ２２° ＝０９２７２，求６８° 的正弦、余弦的值．
图 ２３
１１
１２０
第２３章 解直角三角形
３一般锐角的三角函数值
任意一个锐角，如何求它的三角函数值呢？比如求
ｓｉｎ３６°的值．
步骤１：如图２３
１２，用刻度尺和量角器，作出
Ｒｔ
ＡＢＣ，使∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝３６°．
步骤２：用刻度尺量得∠Ａ的对边ＢＣ＝
ｍｍ，斜边ＡＢ＝
ｍｍ．
步骤３：算出比值ＢＣ
ＡＢ＝ ，即ｓｉｎ３６° ＝ ．
用这个方法，确实可以求出任意一个锐角三角函数的近
似值，古代的数学家、天文学家也采用过这样的办法，只是误
差较大．经过许多数学家不断地改进，不同角的三角函数值
被制成了常用表，三角函数表大大改进了三角函数值的应
用．今天，三角函数表又被带有ｓｉｎ、ｃｏｓ和ｔａｎ功能键的
计算器所取代．
计算器上只要有ｓｉｎ、ｃｏｓ、ｔａｎ键，就可以用来求锐角
的三角函数值．计算器显示的是三角函数值的近似值，不同计
算器给出近似值的数字个数也不同，有１０个、有８个．
不同计算器的按键方法各有不同，本教材介绍一种计算
器，如图２３
１３，先按ＯＮ／Ｃ键，再按ＭＯＤＥ键，使显示器
屏幕出现“ＤＥＧ”，然后再按有关三角函数的键．
例６ 求ｓｉｎ４０°的值（精确到００００１）．
图 ２３
１２
图 ２３
１３
１２１
２３．１ 锐角的三角函数
解
按 键 顺 序
显 示
ｓｉｎ
４
０
＝
０．６４２７８７６０９
∴ ｓｉｎ４０° ＝０６４２８．
例７ 求值：（精确到００００１）
（１）ｃｏｓ３４°３５′； （２）ｔａｎ６６°１５′１７″．
解 （１）
按
键
顺
序
显示
１．
ｃｏｓ
３
４
Ｄ·Ｍ′Ｓ
３
５
Ｄ·Ｍ′Ｓ
＝
０．８２３３０１５１２
２．
ｃｏｓ（３
４
＋
３
５
÷
６
０）＝
０．８２３３０１５１２
∴ ｃｏｓ３４°３５′ ＝０８２３３．
（２）
按
键
顺
序
显示
１．
ｔａｎ
６
６
Ｄ·Ｍ′Ｓ
１
５
Ｄ·Ｍ′Ｓ
１
７
Ｄ·Ｍ′Ｓ
＝
２．２７３１８１０８７
２．
ｔａｎ（
６
６
＋
１
５
÷
６
０
＋
１
７
÷
３
６
０
０）＝
２．２７３１８１０８７
∴ ｔａｎ６６°１５′１７″ ＝２２７３２．
已知一个角的三角函数值，求这个锐角，也可用计算器
来解决．
例８ 已知ｓｉｎＡ＝０５０８６，求锐角Ａ．
解
按
键
顺
序
显示
２ｎｄＦ
ｓｉｎ－１
０
·
５
０
８
６
＝
３０．５７０６２１３６
２ｎｄＦ
Ｄ·Ｍ′Ｓ
３０°３４′１４．２４″
∴ ∠Ａ＝３０５７０６° ＝３０°３４′１４″．
第２种解法
中“１５÷ ６０，１７÷
３６００”是分别把
“分”“秒”化
成“度”．
１２２
第２３章 解直角三角形
１用计算器计算，并填写下表中的各个三角函数值：
α
ｓｉｎα
ｃｏｓα
ｔａｎα
０°
９０°
２用计算器求三角函数值：（精确到００００１）
（１）ｓｉｎ１０°；
（２）ｃｏｓ５０°１８′；
（３）ｔａｎ１３°１２′；
（４）ｓｉｎ１４°３６′．
３已知三角函数值，用计算器求锐角Ａ和Ｂ：（精确到１′）
（１）ｓｉｎＡ＝０７０８３，ｓｉｎＢ＝０５６８８；
（２）ｃｏｓＡ＝０８２９０，ｃｏｓＢ＝０９９３１；
（３）ｔａｎＡ＝０９１３１，ｔａｎＢ＝３１８０．
４比较下列各题中两个值的大小：
（１）ｓｉｎ４６°，ｓｉｎ４４°；
（２）ｃｏｓ２０°，ｃｏｓ５０°；
（３）ｔａｎ３３°１５′，ｔａｎ３３°１４′．
５．设０° ＜∠Ａ＜∠Ｂ＜９０°，比较下列各组两个值的大小（选填“＞”“＜”或“＝”）：
（１）ｓｉｎＡ
ｓｉｎＢ；
（２）ｃｏｓＡ
ｃｏｓＢ；
（３）ｔａｎＡ
ｔａｎＢ．
习题２３．１
１求下列各式的值：
（１）ｓｉｎ２４５° ＋ｔａｎ６０° ＋ｃｏｓ３０°；
（２）２ｓｉｎ６０° ＋
１
２ｔａｎ４５° ＋ｔａｎ６０°；
（３）槡３
２ｃｏｓ２３０° ＋槡２
２ｃｏｓ２４５° －ｔａｎ４５°·ｔａｎ３０°；
１２３
２３．１ 锐角的三角函数
（４）ｔａｎ２３０° －２ｔａｎ３０° ＋
槡
１＋｜ｃｏｓ３０° －１｜．
２用计算器求三角函数值：（精确到００００１）
（１）ｓｉｎ２５°，ｓｉｎ１８°２４′；
（２）ｃｏｓ３３°１９′，ｃｏｓ５３°２９′；
（３）ｔａｎ３８°２４′，ｔａｎ４２°２１′．
３已知三角函数值，用计算器求锐角Ａ：（精确到１′）
（１）ｓｉｎＡ＝０３３３８；
（２）ｃｏｓＡ＝０７０２２；
（３）ｔａｎＡ＝０７８９８．
４回答下列问题：
（１）ｓｉｎ３０° ＋ｓｉｎ４５° 是否等于ｓｉｎ７５°？为什么？
（２）ｃｏｓ４５° －ｃｏｓ１５° 是否等于ｃｏｓ３０°？为什么？
（３）ｓｉｎ６０° 是否等于２ｓｉｎ３０°？为什么？
５根据下列条件求锐角α：
（１）ｓｉｎα ＝ｃｏｓ３５°；
（２）ｃｏｓα ＝ｓｉｎ４０°．
６如图，在Ｒｔ
ＢＣＤ中，∠ＢＤＣ＝３０°，延长ＣＤ到点Ａ，使ＡＤ＝ＤＢ，连接ＡＢ，
∠Ａ＝１５°，求ｔａｎ１５°、ｓｉｎ１５°、ｃｏｓ１５° 的值（结果保留根号）．
（第６题）
１２４
第２３章 解直角三角形
２３．２解直角三角形及其应用
如图２３
１４，Ｒｔ
ＡＢＣ共有六个元素（三条边，
三个角），其中∠Ｃ＝９０°，那么其余五个元素（三边
ａ，ｂ，ｃ，两锐角Ａ，Ｂ）之间有怎样的关系呢？
（１）三边之间的关系
ａ２＋ｂ２＝ ；
（２）锐角之间的关系
∠Ａ＋∠Ｂ＝ ；
（３）边角之间的关系
ｓｉｎＡ＝ ，ｃｏｓＡ＝ ，ｔａｎＡ＝ ．
（对于锐角Ｂ，也有类似的边角关系吗？）
有了以上关系，如果知道了五个元素中的两个元素（至
少有一个元素是边），就可以求出其余的三个元素．
在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素
的过程，叫做解直角三角形．
例１ 在Ｒｔ
ＡＢＣ中，∠Ｃ
＝９０°，∠Ｂ
＝４２°６′，
ｃ＝２８７４，解这个直角三角形（精确到０．１）．
解 由
ｃｏｓＢ＝ａ
ｃ，得
ａ＝ｃｃｏｓＢ
＝２８７４× ０７４２０≈２１３３．
图 ２３
１４
１２５
２３．２ 解直角三角形及其应用
由
ｓｉｎＢ＝ｂ
ｃ，得
ｂ＝ｃｓｉｎＢ
＝２８７４× ０６７０４≈１９２７．
∠Ａ＝９０° －４２°６′ ＝４７°５４′．
例２ 在
ＡＢＣ中，∠Ａ＝５５°，ｂ＝２０ｃｍ，ｃ＝３０ｃｍ，
求三角形的面积Ｓ
ＡＢＣ（精确到０．１ｃｍ２）．
解 如图２３
１５，作ＡＢ上的高ＣＤ．在Ｒｔ
ＡＣＤ中，
∵
ＣＤ＝ＡＣ·ｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＡ，
∴ Ｓ
ＡＢＣ＝１
２ＡＢ·ＣＤ
＝１
２ｂｃｓｉｎＡ．
当∠Ａ＝５５°，ｂ＝２０ｃｍ，ｃ＝３０ｃｍ时，有
Ｓ
ＡＢＣ＝１
２ｂｃｓｉｎＡ
＝１
２× ２０× ３０ｓｉｎ５５°
＝１
２× ２０× ３０× ０８１９２
≈２４５８（ｃｍ２）．
１根据下列条件，解直角三角形：
（１）在Ｒｔ
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ａ＝３０，∠Ｂ＝８０°；
（２）在Ｒｔ
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｃ＝８，ｂ＝３；
（３）在Ｒｔ
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｃ＝１０，∠Ａ＝４０°．
２在Ｒｔ
ＡＢＣ中，根据下列条件，解直角三角形（∠Ｃ＝９０°）：
（１）∠Ａ＝３０°，ｃ＝８；
（２）ａ＝３５，ｃ＝槡
３５２；
（３）ａ＝１４，∠Ａ＝３６°；
（４）ａ＝３０，ｂ＝１５．
３在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝４，ＣＤ＝８，ＡＤ＝６，∠Ｄ＝４３°，求四边形的
面积（精确到０．０１）．
图 ２３
１５
１２６
第２３章 解直角三角形
解直角三角形在实际问题中有着广泛的应用．
例３ 如图２３
１６，一学生要测量校园内一棵水杉树的
高度．他站在距离水杉树８ｍ的Ｅ处，测得树顶的仰角
∠ＡＣＤ＝５２°，已知测角器的架高ＣＥ＝１６ｍ，问树高ＡＢ为
多少米？（精确到０１ｍ）
解 在Ｒｔ
ＡＣＤ中，∠ＡＣＤ＝５２°，ＣＤ＝ＥＢ＝８ｍ．
图 ２３
１６
由
ｔａｎ∠ＡＣＤ＝ＡＤ
ＣＤ，得
ＡＤ＝ＣＤ·ｔａｎ∠ＡＣＤ
＝８× ｔａｎ５２°
＝８× １２７９９
≈１０２（ｍ）．
由 ＤＢ＝ＣＥ＝１６ｍ，得
ＡＢ＝ＡＤ＋ＤＢ
＝１０２＋１６
＝１１８（ｍ）．
答：树高ＡＢ为１１８ｍ．
１如图，飞机的飞行高度ＡＢ＝１０００ｍ，从飞机上测得到地面着陆点Ｃ的俯角为１８°，求
飞机到着陆点的距离ＡＣ的值（精确到１ｍ）．
（第１题）
（第２题）
２如图，沿ＡＣ方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山另一侧的Ｅ处同时施工．如
果从ＡＣ上取一点Ｂ，使∠ＡＢＤ＝１４０°，ＢＤ＝５２０ｍ，∠Ｄ＝５０°，那么开挖点Ｅ离点
Ｄ多远，才能使点Ａ，Ｃ，Ｅ正好在一条直线上？（精确到１ｍ）
在进行高度测
量时，由视线与水平
线所夹的角中，当视
线在水平线上方时
叫做仰角（ａｎｇｌｅｏｆ
ｅｌｅｖａｔｉｏｎ）；当视线
在水平线下方时叫
做俯角（ａｎｇｌｅｏｆ
ｄｅｐｒｅｓｓｉｏｎ）．
１２７
２３．２ 解直角三角形及其应用
例４ 解决本章引言所提问题．如图
２３
１７，某校九年级学生要测量当地电视塔的
高度ＡＢ，因为不能直接到达塔底Ｂ处，他们
采用在发射台院外与电视塔底Ｂ成一直线的
Ｃ，Ｄ两处地面上，用测角器测得电视塔顶部
Ａ的仰角分别为４５° 和３０°，同时量得
ＣＤ为５０ｍ．已知测角器高为１ｍ，问电视塔
的高度为多少米？（精确到１ｍ）
解 设ＡＢ１＝ｘｍ．
在Ｒｔ
ＡＣ１Ｂ１中，由 ∠ＡＣ１Ｂ１＝４５°，得
Ｃ１Ｂ１＝ＡＢ１．
在Ｒｔ
ＡＤ１Ｂ１中，由 ∠ＡＤ１Ｂ１＝３０°，得
ｔａｎ∠ＡＤ１Ｂ１＝ＡＢ１
Ｄ１Ｂ１
＝
ＡＢ１
Ｄ１Ｃ１＋Ｃ１Ｂ１，
即
槡３
３
＝
ｘ
５０＋ｘ．
解方程，得
ｘ＝２５（槡３＋１）．
检验：ｘ＝２５（槡３＋１）是原方程的根．
∴ ＡＢ＝ＡＢ１＋Ｂ１Ｂ
＝２５（槡３＋１）＋１
≈６９（ｍ）．
答：电视塔的高度为６９ｍ．
例５ 如图２３
１８，一船以２０ｎｍｉｌｅ／ｈ的速
度向东航行，在Ａ处测得灯塔Ｃ在北偏东６０°的方
向上，继续航行１ｈ到达Ｂ处，再测得灯塔Ｃ在北
偏东３０°的方向上．已知灯塔Ｃ四周１０ｎｍｉｌｅ内有
暗礁，问这船继续向东航行是否安全？
分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯
塔Ｃ到ＡＢ航线的距离是否大于１０ｎｍｉｌｅ．
图 ２３
１７
图 ２３
１８
１２８
第２３章 解直角三角形
解 过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，设ＣＤ＝ｘｎｍｉｌｅ．
在Ｒｔ
ＡＣＤ中，ＡＤ＝
ＣＤ
ｔａｎ∠ＣＡＤ＝
ｘ
ｔａｎ３０°．
在Ｒｔ
ＢＣＤ中，ＢＤ＝
ＣＤ
ｔａｎ∠ＣＢＤ＝
ｘ
ｔａｎ６０°．
由
ＡＢ＝ＡＤ－ＢＤ，得
ＡＢ＝
ｘ
ｔａｎ３０° －
ｘ
ｔａｎ６０° ＝２０，
即
ｘ
槡３
３
－ｘ
槡３
＝２０．
解方程，得
ｘ＝槡
１０３＞１０．
答：这船继续向东航行是安全的．
（第１题）
１如图，某直升机于空中Ａ处测得正前方地面控制点
Ｃ的俯角为３０°；若航向不变，直升机继续向前飞行
１０００ｍ至Ｂ处，测得地面控制点Ｃ的俯角为４５°．
求直升机再向前飞行多远，与地面控制点Ｃ的距
离最近（结果保留根号）．
２一船向东航行，上午９：００到达灯塔Ｃ的西南
６０ｎｍｉｌｅ的Ａ处，上午１０：００到达灯塔Ｃ的正南的
Ｂ处．
（１）画出示意图；
（２）求这船的航行速度（结果保留根号）．
例６ 如图２３
１９，铁路路基的横断面是四边形ＡＢＣＤ，
ＡＤ∥ＢＣ，路基顶宽ＢＣ＝９８ｍ，路基高ＢＥ＝５８ｍ，斜坡ＡＢ
的坡度ｉ＝１∶１６，斜坡ＣＤ的坡度ｉ′ ＝１∶２．５，求铁路路基下底
宽ＡＤ的值（精确到０１ｍ）与斜坡的坡角α和β（精确到１°）的值．
１２９
２３．２ 解直角三角形及其应用
图 ２３
１９
解 过点Ｃ作ＣＦ⊥ＡＤ于点Ｆ，得
ＣＦ＝ＢＥ，ＥＦ＝ＢＣ，∠Ａ＝α，∠Ｄ＝β．
∵
ＢＥ＝５８ｍ，ＢＥ
ＡＥ＝
１
１６，ＣＦ
ＤＦ＝
１
２．５，
∴
ＡＥ＝１６× ５８＝９２８（ｍ），ＤＦ＝２．５× ５．８＝１４．５（ｍ）．
∴ ＡＤ＝ＡＥ＋ＥＦ＋ＤＦ＝９２８＋９８＋１４．５≈３３６（ｍ）．
由
ｔａｎα ＝ｉ＝
１
１６，ｔａｎβ ＝ｉ′ ＝
１
２．５，得
α ≈３２°，β ≈２２°．
答：铁路路基下底宽为３３６ｍ，斜坡的坡角分别为３２°和２２°．
１如图，水库大坝的横断面是四边形ＡＢＣＤ，ＢＣ∥ＡＤ，坝顶宽为６ｍ，坝高为２３ｍ，斜
坡ＡＢ的坡度ｉ＝１∶３，斜坡ＣＤ的坡度ｉ′ ＝１∶２５，求：
（１）斜坡ＡＢ的坡角α 的值（精确到１°）；
（２）坝底宽ＡＤ和斜坡ＡＢ的值（精确到０１ｍ）．
（第１题）
（第２题）
２如图，燕尾槽的横断面是四边形ＡＢＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，其中∠Ｂ＝∠Ｃ＝５５°，外口宽
ＡＤ＝１８０ｍｍ，燕尾槽的深度ＡＥ＝７０ｍｍ，求它的里口宽ＢＣ的值（精确到１ｍｍ）．
１３０
第２３章 解直角三角形
例７ 已知：在直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ上有任意两点
Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２），这条直线向上方向与ｘ轴正方
向所夹的锐角为α．
求证：ｔａｎα ＝ｙ２－ｙ１
ｘ２－ｘ１
＝ｋ．
证明 由α是锐角，可知直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ是上升的，
即函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的值随ｘ值的增大而增大．
如图２３
２０，设ｘ１＜ｘ２，则ｙ１＜ｙ２．过点Ｐ１，Ｐ２作ｘ
轴的垂线，垂足分别为Ｑ１，Ｑ２，再过点Ｐ１作ｘ轴的平行
线Ｐ１Ｒ交Ｐ２Ｑ２于点Ｒ，得
∠Ｐ２Ｐ１Ｒ＝α．
在Ｒｔ
Ｐ２Ｐ１Ｒ中，
ｔａｎα ＝
ＲＰ２
ＲＰ１
＝
｜ｙ２－ｙ１｜
｜ｘ２－ｘ１｜＝
ｙ２－ｙ１
ｘ２－ｘ１
．
∵ Ｐ１，Ｐ２都在直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ上，
∴ ｙ１＝ｋｘ１＋ｂ，
①
ｙ２＝ｋｘ２＋ｂ．
②
由②－①，得
ｙ２－ｙ１＝ｋ（ｘ２－ｘ１），
∴
ｋ＝ｙ２－ｙ１
ｘ２－ｘ１
．
即
ｔａｎα ＝
ｙ２－ｙ１
ｘ２－ｘ１
＝ｋ．
求直线ｙ＝槡３ｘ－５的向上方向与ｘ轴正方向所夹的锐角．
图 ２３
２０
１３１
２３．２ 解直角三角形及其应用
习题２３．２
１小明利用假期上黄山旅游，他站在险峻的天都峰顶，望着前方的黄山最高峰———
莲花峰，想知道两峰之间的水平距离．查看了导游图，小明知道天都峰海拔
１８１０ｍ，莲花峰海拔１８６４ｍ，他又用测角器测得莲花峰顶的仰角为１°２９′，请你帮
助小明算出两峰间的水平距离（精确到１ｍ）．
２如图，在某海岛上的观察所Ａ发现海上一船只Ｂ，并测得其俯角α为８°１４′．已知观
察所的标高（当水位为０ｍ时的高度）为４３７４ｍ，当时水位为２６３ｍ，求观察所Ａ
到船只Ｂ的水平距离（精确到１ｍ）．
（第２题）
３如图，在山顶上有一座电视塔，为了测量山高，在地面上引一条基线ＥＤＣ，测得
∠Ｃ＝４５°，ＣＤ＝５０ｍ，∠ＢＤＥ＝３０°．已知电视塔高ＡＢ＝２５０ｍ，求山高ＢＥ的
值（精确到１ｍ）．
（第３题）
（第４题）
４如图，某住宅小区有甲、乙两楼，它们的高ＡＢ＝ＣＤ＝３０ｍ，两楼间的距离ＡＣ＝
２４ｍ．为了了解甲楼对乙楼的采光影响情况，当太阳光与水平面夹角为３０° 时，
求甲楼的影子在乙楼上有多高？（精确到０１ｍ）
５如图，某小型水库拦水坝的横断面是四边形ＡＢＣＤ，ＤＣ∥ＡＢ，测得迎水坡的坡角
为３０°．已知背水坡的坡度为１．２∶１，坝顶宽为２．５ｍ，坝高为４．５ｍ，求它的坝底
宽ＡＢ和迎水坡ＢＣ的值（精确到１ｍ）．
１３２
第２３章 解直角三角形
（第５题）
（第６题）
６如图，两条宽度均为１ｄｍ的矩形长纸条，相交成角α，求重叠（蓝色）部分的
面积．
７如图，一船沿北偏东５０°的方向离开Ａ港直线航行，航行５０ｎｍｉｌｅ后到达Ｃ处，改
变方向向东航行，又走了４０ｎｍｉｌｅ到达Ｂ处，求：
（１）α的值（精确到１°）；
（２）ＡＢ的值（精确到１ｎｍｉｌｅ）．
（第７题）
（第８题）
８．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学
的知识检测车速．如图，有条东西向的公路，观测点设在到该公路的距离为１００ｍ
的Ｐ处．一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从Ａ处行驶到Ｂ处所用的时间
为４ｓ，且∠ＡＰＯ＝６０°，∠ＢＰＯ＝４５°．求ＡＢ的值并判断此车是否超过了该公路
７０ｋｍ／ｈ的限速？（参考数据：槡２≈１．４１，槡３≈１．７３）
１３３
２３．２ 解直角三角形及其应用
问题出在哪里
如图２３
２１（１），一张含８× ８个小方格的正方形纸
片，可以被剪成四部分，用这四部分好像可以拼成一个
１３× ５的矩形，如图２３
２１（２）．
图 ２３
２１
看图形，凭直觉好像有
６４＝８× ８＝１３× ５＝６５．
（１）你发现问题出在哪里？
（２）怎样说清问题出在该处的原因？
（３）注意到６５－６４＝１，如何在图２３
２１（２）中算
得多出来的面积正好是１？
（４）观察正方形中两个三角形和两个四边形的直
角边长，以及所拼成的“矩形”的边长，它们分别为：３，
５，８，１３，这个数列你认识吗？查查资料，这个数列有什
么性质？这个性质与上面问题有什么关系？
１３４
第２３章 解直角三角形
一、内容整理
二、主要知识回顾
１在
ＡＢＣ中，∠Ｃ为直角，我们把锐角Ａ的对边与斜边的比叫做∠Ａ的
，记作 ；锐角Ａ的邻边与斜边的比叫做∠Ａ的 ，记
作 ；锐角Ａ的对边与邻边的比叫做∠Ａ的 ，记作 ．
２锐角Ａ的正弦、余弦、正切都叫做锐角Ａ的 ．
３几个特殊角的三角函数值：
三角函数值
α
三角函数
３０°
４５°
６０°
ｓｉｎα
ｃｏｓα
ｔａｎα
４在Ｒｔ
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ所对的边分别是ａ，ｂ，ｃ，那么
除直角外，其他五个元素有以下关系：
（１）三边关系： ．
（２）锐角关系： ．
（３）边角关系：ｓｉｎＡ＝ ；ｃｏｓＡ＝ ；ｔａｎＡ＝ ．
５三角形的面积可以用三角形的两边及其夹角的正弦来求，即Ｓ
ＡＢＣ＝
．
６在解决实际问题时，常用到以下一些概念：
（１）在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平线
上方时叫做 ；当视线在水平线下方时叫做 ．
（２）在进行水平测量时，常以正北或正南方向与观测目标的视线方向所
１３５
小结·评价
夹的角进行计算．如图２３
２２，∠ＡＯＢ＝４０°，可以说成北偏 ．
图 ２３
２２
图 ２３
２３
（３）在筑坝、开渠、修路时，设计图纸上常要注明斜坡的倾斜程度，如图
２３
２３，通常把坡面的铅直高度ｈ和水平长度ｌ的比叫做坡度或坡比，用字
母ｉ表示，即ｉ＝ｈ
ｌ．
如果坡面与水平面的夹角α叫做坡角，那么
ｉ＝ｈ
ｌ
＝ ．
三、自评与互评
１用计算器探索：随着锐角的增大（或减小），其正弦、余弦、正切的数值变化
规律．与同伴交流一下，你们的发现是否一致．
２如何测量底部不能直接到达的物体的高度？
１在Ｒｔ
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ａ＝５，ｂ＝槡７，求∠Ａ的各个三角函数．
２等腰三角形ＡＢＣ的腰ＡＢ＝ＡＣ＝８，底边ＢＣ＝６，求∠Ｂ的各个三角函数．
１３６
第２３章 解直角三角形
３求下列各式的值：
（１）ｔａｎ２３０° ＋２ｓｉｎ６０° ＋ｔａｎ４５°·ｓｉｎ３０° －ｔａｎ６０° ＋ｃｏｓ２３０°；
（２）
ｃｏｓ６０°
ｔａｎ４５° －ｓｉｎ４５°；
（３）ｃｏｓ２４５° －２ｃｏｓ４５° ＋
槡
１．
４用计算器求下列锐角的三角函数值：（精确到００００１）
ｓｉｎ２７°４９′，ｃｏｓ２１°２３′，ｔａｎ８６°７′．
５选择：
（１）在Ｒｔ
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，下列关系中一定正确的是（
）．
（Ａ）ｓｉｎＡ＋ｃｏｓＢ＝０
（Ｂ）ｓｉｎＡ－ｃｏｓＢ＝０
（Ｃ）ｓｉｎＡ＞１
（Ｄ）ｓｉｎＡ＝０
（２）在Ｒｔ
ＡＢＣ中，如果各边的长度都扩大到原来的２倍，那么锐角Ａ的各个三
角函数值（
）．
（Ａ）也都扩大到原来的２倍
（Ｂ）都缩小到原来的一半
（Ｃ）没有变化
（Ｄ）不能确定
６填空：
（１）北偏东４０°，也就是东偏北
；
（２）若从点Ａ看点Ｂ的俯角为３５°１０′，则从点Ｂ看点Ａ的仰角应为
；
（３）在
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，如果已知ｃ、∠Ｂ，那么ａ＝ ，ｂ＝ ；
（４）在
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｔａｎＡ＝１
３，ＡＣ＝６，则ＢＣ＝
，ＡＢ＝
．
７填空：
（１）已知２ｓｉｎＡ－１＝０，则锐角Ａ＝
；
（２）已知槡３－３ｔａｎＡ＝０，则锐角Ａ＝
．
（第９题）
８在Ｒｔ
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝１２，ｃｏｓＡ＝１２
１３，
求ｔａｎＡ和ＢＣ的值．
９如图，在
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，斜边上的高ＣＤ＝槡３，
ＢＤ＝１，解此直角三角形．
１０已知：矩形的对角线长为１０ｃｍ，对角线与一边的夹角为４０°，求矩形面积（精确
到１ｃｍ２）．
１３７
小结·评价
１１设在ＡＢＣＤ中，∠Ａ是锐角．证明：ＳＡＢＣＤ＝ＡＢ·ＡＤｓｉｎＡ．
１２已知，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＤＣ，∠Ａ＝∠Ｂ＝６０°，ＤＣ＝２，ＡＢ＝６，求四
边形ＡＢＣＤ的面积（结果保留根号）．
１３一船向东航行，上午９：００到达一座灯塔Ｐ的西南６８ｎｍｉｌｅ的Ｍ处，上午１１：００到
达这座灯塔的正南的Ｎ处，求这船的航行速度（结果保留根号）．
１４如图，两个建筑物ＡＢ，ＣＤ，已知它们之间的距离是２４ｍ．假如你身边只有一架测
角器（可测俯角、仰角），你将如何测量出这两个建筑物的高？
（第１４题）
（第１５题）
１５如图为建造楼梯的设计图，虚线ＡＣ为楼梯的倾斜线，倾斜线与地板的夹角θ１为
倾斜角，一般情况下，倾斜角越小，上楼梯越省力．现把楼梯的倾斜角由θ１减至
θ２，这样楼梯占用地板的长度将由ｄ１增加到ｄ２．已知：ｄ１＝４ｍ，θ１＝４０°，
θ２＝３６°，求楼梯占用地板的长度增加了多少米．（精确到００１ｍ）
１在平面直角坐标系的第一象限中，有一点Ｐ（ｘ，ｙ），记ｒ＝｜ＯＰ｜＝
ｘ２＋ｙ
槡
２．若
ＯＰ与ｘ轴正方向所夹的锐角为α，则ｓｉｎα ＝
，ｃｏｓα ＝
，ｔａｎα ＝
．
２填空：
（１）若０° ＜α ＜４５°，且ｓｉｎ２α ＝槡３
２，则α ＝
；
１３８
第２３章 解直角三角形
（２）已知：ｓｉｎα ＝槡３
２，且α 为某等腰三角形的一个底角，那么这个等腰三角形的
各角大小分别为
．
３已知：Ａ为任意锐角，求证：
（１）ｓｉｎ２Ａ＋ｃｏｓ２Ａ＝１；
（２）ｔａｎＡ＝ｓｉｎＡ
ｃｏｓＡ．
（第５题）
４．在
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｓｉｎＡ＝３
５，求ｃｏｓＡ和ｔａｎＡ
的值．
５如图，一航船在Ａ处测到北偏东４５° 的方向上有一灯塔
Ｂ，航船向东以２０ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度航行１５ｈ到达Ｃ处，
又测到灯塔Ｂ在北偏东１５° 的方向上，求此时航船与灯
塔相距多少海里（结果保留根号）．
６如图，某人在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为４５°，他从Ａ
处沿着坡度ｉ＝１∶槡３的斜坡前进１０００ｍ到达Ｄ处，这
时测得山顶Ｂ的仰角为６０°，求山高ＢＣ的值（结果保留根号）．
（第６题）
（第７题）
７如图，在兴修引水渠时，水渠的横断面一般设计成四边形ＡＢＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，且
∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ＝１２０°，记ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＝ｌ，在ｌ一定的情况下，问如何确定
ＡＢ，ＣＤ的值，使水渠的流量最大？（在水流速度一定的情况下，流量与横断面面积
（第９题）
成正比）
８在
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，两直角边分别为ａ，ｂ，且
ａ，ｂ满足方程ａ２－３ａｂ＋２ｂ２＝０，求ｓｉｎＡ的值．
９根据百慕大三角（图中
ＡＢＣ）的位置及相关
数据求百慕大三角的面积（参考数据：
ｓｉｎ６４° ≈０．９０，ｃｏｓ６４° ≈０．４４，ｔａｎ６４° ≈
２．０５）．
１３９
小结·评价
１在锐角三角形ＡＢＣ中，已知ＡＢ＝８，ＡＣ＝１０，Ｓ
ＡＢＣ＝槡
２０３，求∠Ａ的各个三角
函数．
２已知：凸四边形的两条对角线分别为ｌ１，ｌ２，且所夹锐角为α．
求证：四边形的面积Ｓ为１
２ｌ１ｌ２ｓｉｎα．
３在
ＡＢＣ中，有
ａ
ｓｉｎＡ＝
ｂ
ｓｉｎＢ＝
ｃ
ｓｉｎＣ，请画一个锐角三角形并给出证明．
４在
ＡＢＣ中，ＡＢ＝４，ＡＣ＝２，∠Ａ＝１２０°，求ｔａｎＢ的值．
５在学习一次函数时，通过描点画图，直观地得出正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ＞０）的图象
是一条直线．现在，你能对这个结论给出证明吗？
６如图，Ａ′Ｂ′Ｃ′是由
ＡＢＣ平移后得到的，ＡＢＣ中任一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）经平移后得
Ａ′Ｂ′Ｃ′中对应点Ｐ′（ｘ０＋５，ｙ０＋５），给出这个平移的方向和距离．
（第６题）
１４０
附录 部分中英文词汇索引
附录 部分中英文词汇索引
中 文
英 文
页 码
二次函数
ｑｕａｄｒａｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ
３
抛物线
ｐａｒａｂｏｌａ
６
反比例
ｉｎｖｅｒｓｅｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎ
４４
双曲线
ｈｙｐｅｒｂｏｌａ
４６
相似多边形
ｓｉｍｉｌａｒｐｏｌｙｇｏｎｓ
６４
相似比
ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙｒａｔｉｏ
６４
成比例线段
ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｓｅｇｍｅｎｔｓ
６６
黄金分割
ｇｏｌｄｅｎｓｅｃｔｉｏｎ
６８
正切
ｔａｎｇｅｎｔ
１１３
正弦
ｓｉｎｅ
１１５
余弦
ｃｏｓｉｎｅ
１１５
三角函数
ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ
１１５
仰角
ａｎｇｌｅｏｆｅｌｅｖａｔｉｏｎ
１２６
俯角
ａｎｇｌｅｏｆｄｅｐｒｅｓｓｉｏｎ
１２６
１４１
附录 部分中英文词汇索引
１９９９年，我们根据《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修
订版）》，编写了一套华东版初中数学教材，经三年实验后，于２００２年报教育部
经全国中小学教材审定委员会审查通过．
２００１年，国家颁布了《基础教育课程改革纲要（试行）》及《全日制义务教
育数学课程标准（实验稿）》，正式启动了新一轮中小学课程、教材改革．本套
教科书就是根据课程标准，在吸取了华东版教材实验过程中的经验后重新编
写的，并于２００４年经全国中小学教材审定委员会初审通过．现教育部决定全
面启动义务教育课程标准实验教材的修订工作，我们已切实把《义务教育数学
课程标准（２０１１年版）》的要求落实到新修订的教材中，使教材的质量进一步
得到提升，特色更加鲜明．
本套教材在送审和实验过程中，得到了许多专家、学者、教研人员与广大
师生的关爱，特别是人民教育出版社的张孝达先生与陈宏伯先生直接参与教
材的整体设计和章节审稿，他们以实际行动给予我们很大的支持与鼓舞，我们
衷心地感谢他们．
为了做好这次的修订工作，我们调整并充实了编写队伍，本套教科书编写
组主要人员有：
吴之季 苏 淳 杜先能 徐子华 郭要红 胡 涛 陈先荣 王南林
胡茂侠 邱广东
本册主要编写人员有：
李 群 丁 虎 陈耀忠 张永超 洪顺刚 孙克刚 李毅然 刘 铁
吴中纵
此外，参与本册修改工作的还有：
梁 镇 胡思文 郑仁玉 许从永 杨家生 张贵宏 李鹏凌 徐维武
余后山 干兆宏
教材建设是一项长期任务，需要通过实验、修改，反复锤炼．这不仅需要
全体编写人员的努力，还要有广大师生的积极支持与参与，恳请使用本套教材
的师生批评指正．
新时代数学编写组
２０１４年４月
说 明
本书下列图片由东方ＩＣ提供：图２１
２５李岩宏、
图２２
９ｒｅｄｃｏｖｅｒ．
审批编号：皖费核（2022 年秋季）第0026 号
举报电话：12315
定价：9.47 元
