文档文本内容
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新时代数学编写组 编著
上海科学技术出版社
主
编 吴之季 苏 淳
副主编 杜先能 徐子华
本册主编 徐子华
策划编辑 苏德敏
责任编辑 吴 敏
美术编辑 陈 蕾
义务教育教科书
数 学
九年级 下册
新时代数学编写组 编著
上海世纪出版（集团）有限公司
上海科学技术出版社
出版
（上海市闵行区号景路１５９弄Ａ座９Ｆ
１０Ｆ 邮政编码２０１１０１）
新华书店发行
安徽新华印刷股份有限公司印刷
开本７８７× １０９２ １／１６ 印张７．７５ 字数１２８０００
２０１４年１１月第１版 ２０２３年１月第１１次印刷
ＩＳＢＮ９７８
７
５４７８
２３８９
７／Ｇ·５５６
定价：８．０５元
如发现印装质量问题或对内容有意见建议，请与本社联系
电话：０２１
６４８４８０２５，邮箱：ｊｃ＠ｓｓｔｐ．ｃｎ
审批编号：皖费核（２０２３年春季）４号 举报电话：１２３１５
１
目 录
目 录
第
章 圆
１
……………………………
２４．１ 旋转
２
……………………………………………
阅读与欣赏 在平面直角坐标系中对图形
进行旋转变换
７
…………………
数学活动 设计图案（一）
８
…………………
２４．２ 圆的基本性质
１２
………………………………
２４．３ 圆周角
２７
………………………………………
２４．４ 直线与圆的位置关系
３３
………………………
２４．５ 三角形的内切圆
４２
……………………………
２４．６ 正多边形与圆
４７
………………………………
２４．７ 弧长与扇形面积
５３
……………………………
数学史话 圆周率π
５８
………………………
数学活动 设计图案（二）
５９
…………………
２４．８ 综合与实践 进球线路与最佳射门角
６２
……
小结·评价
６５
……………………………………………
复习题
６７
………………………………………
２
目 录
第
章 投影与视图
７２
…………………
２５．１ 投影
７３
…………………………………………
２５．２ 三视图
８０
………………………………………
小结·评价
８６
……………………………………………
复习题
８７
………………………………………
第
章 概率初步
９０
……………………
２６．１ 随机事件
９１
……………………………………
２６．２ 等可能情形下的概率计算
９５
…………………
２６．３ 用频率估计概率
１０４
……………………………
数学活动 投针实验
１０７
………………………
２６．４ 综合与实践 概率在遗传学中的应用
１１０
……
阅读与思考 几何概率
１１２
……………………
数学史话 概率论的产生与发展
１１４
…………
小结·评价
１１５
…………………………………………
复习题
１１６
………………………………………
附录
部分中英文词汇索引
１１８
………………………
后记
１１９
…………………………………………………
圆
２４．１ 旋转
２４．２ 圆的基本性质
２４．３ 圆周角
２４．４ 直线与圆的位置
关系
２４．５ 三角形的内切圆
２４．６ 正多边形与圆
２４．７ 弧长与扇形面积
２４．８ 综合与实践 进
球线路与最佳射
门角
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CD．
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56．
２
第２４章 圆
２４．１旋 转
生活中，旋转现象普遍存在，如各种车轮子的转动，风力
发电机风叶的转动等，如图２４
１．
图 ２４
１
在平面内，一个图形（如图２４
２中的
ＡＢＣ）绕着
一个定点（如点Ｏ），旋转一定的角度（如θ），得到另一
个图形（如
Ａ′Ｂ′Ｃ′）的变换，叫做旋转（ｒｏｔａｔｉｏｎ）．定点
Ｏ叫做旋转中心，θ 叫做旋转角．原图形上一点Ａ旋转
后成为点Ａ′，这样的两个点叫做对应点．
如图２４
２，ＡＢＣ绕着旋转中心Ｏ按逆时针
方向旋转θ后，得到
Ａ′Ｂ′Ｃ′．
（１）连接ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＯＡ′，ＯＢ′，ＯＣ′，那么ＯＡ
与ＯＡ′的长度有何关系？ＯＢ与ＯＢ′、ＯＣ与ＯＣ′也
有这样的关系吗？
（２）∠ＡＯＡ′、∠ＢＯＢ′、∠ＣＯＣ′的大小有何关系？
图 ２４
２
平面内的旋
转既可按逆时针
方向也可按顺时
针方向．
３
２４．１ 旋 转
在一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到
旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心的连线
所成的角相等，都等于旋转角；旋转中心是唯一不动的点．
在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度θ
（０° ＜θ ＜３６０°）后，能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转
对称图形，这个定点就是旋转中心．图２４
３中的图形绕旋
转中心旋转１８０°，与原图形重合；图２４
４中的图形绕旋转
中心旋转１２０°或２４０°，也与原图形重合．图２４
３和图２４
４
中的图形都是旋转对称图形．
图 ２４
３
图 ２４
４
（第１题）
（第２题）
１．找出下列旋转对称图形的旋转中心，并指出这个图形至少需旋转多大角度才能与原
图形重合．
２．在下列图形中：
４
第２４章 圆
（１）指出轴对称图形，并用虚线画出该图形的对称轴；
（２）指出旋转对称图形，用“”号标出该图形的旋转中心，并指出至少需旋转多大角
度才能与原图形重合．
在上述旋转变换中，当θ ＝１８０°时，是一个特殊的变换．
如图２４
５，将
ＡＢＣ绕定点Ｏ旋转１８０°，得到
Ａ′Ｂ′Ｃ′，这
时，图形
ＡＢＣ与图形
Ａ′Ｂ′Ｃ′关于点Ｏ的对称叫做中心对
称，点Ｏ就是对称中心．
图 ２４
５
观察图２４
５，两个图形成中心对称，除具有一般旋转
的性质外，还有什么特性呢？
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中
心，且被对称中心平分．
例 如图２４
６，已知四边形ＡＢＣＤ和点Ｏ，试画出四边
形ＡＢＣＤ关于点Ｏ成中心对称的图形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′．
图 ２４
６
分析：要画出四边形ＡＢＣＤ关于点Ｏ成中心对称的图
形，只要画出Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点关于点Ｏ的对应点，再顺次连
接各对应点即可．
作法
１．连接ＡＯ并延长到Ａ′，使ＯＡ′ ＝ＯＡ，得到点Ａ的对
５
２４．１ 旋 转
应点Ａ′．
２．同理，可作出点Ｂ，Ｃ，Ｄ的对应点Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′．
３．顺次连接点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′．
则四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′即为所作．
（第１题）
１．作图：
（１）求作已知点Ａ关于点Ｏ成中心对称的对应点；
（２）求作已知线段ＡＢ关于点Ｏ成中心对称的线段．
２．判断正误：
（１）平行四边形的对角顶点关于对角线交点对称．
（
）
（２）平行四边形的对边关于对角线交点对称．
（
）
把一个图形绕某一个定点旋转１８０°，如果旋转后的图形
能和原来图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个
定点就是对称中心．
例如，一条线段绕它中点旋转１８０°后，它的两个端点互
换了位置，旋转后的线段与原线段重合，因此，线段是中心对
称图形．又如ＡＢＣＤ（图２４
３），把它绕对角线交点Ｏ旋转
１８０°后，点Ａ与点Ｃ、点Ｂ与点Ｄ互换了位置，且由于ＯＡ＝
ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，所以旋转后的图形和原来图形重合，因此，
平行四边形是中心对称图形．
矩形、菱形、正方形都是中心对称图形，这些图形同时还
是轴对称图形，它们的对称轴交点就是对称中心，如图２４
７．
图 ２４
７
６
第２４章 圆
中心对称图形的形状匀称美观，因而常常被用在图案设
计和建筑装饰中，如中央电视台栏目“东方时空”的图标．此
外，具有中心对称的图形，能够在平面内绕对称中心平稳地
旋转，所以有许多旋转部分被设计成中心对称图形，如飞机
的螺旋桨、切削金属用的铣刀等（图２４
８）．
图 ２４
８
（第１题）
（第２题）
１．下列图形中，哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？画出它们的对称中心或所
有的对称轴．
２．画出下列各题中的图形关于点Ｏ成中心对称的图形．
７
２４．１ 旋 转
在平面直角坐标系中对图形进行旋转变换
如图２４
９，ＡＢＣ的顶点坐标分别是Ａ（２，１），Ｂ（０，０），
Ｃ（２，０）．
图 ２４
９
（１）分别画出
ＡＢＣ以点Ｏ（０，０）为旋转中心，在
图２４
９（１）中旋转９０°、在图２４
９（２）中旋转１８０°、在图
２４
９（３）中旋转２７０°、在图２４
９（４）中旋转３６０°而得到的
Ａ′Ｂ′Ｃ′；（按逆时针方向旋转）
（２）给出点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′的坐标（填在下表中）：
原图形上点的坐标
Ａ（２，１）
Ｂ（０，０）
Ｃ（２，０）
按逆时针
方向旋转
后对应点
坐标
以点Ｏ为旋转中心旋转９０°
Ａ′（
）
Ｂ′（
）
Ｃ′（
）
以点Ｏ为旋转中心旋转１８０°
Ａ′（
）
Ｂ′（
）
Ｃ′（
）
以点Ｏ为旋转中心旋转２７０°
Ａ′（
）
Ｂ′（
）
Ｃ′（
）
以点Ｏ为旋转中心旋转３６０°
Ａ′（
）
Ｂ′（
）
Ｃ′（
）
（３）分别比较点Ａ′与点Ａ、点Ｂ′与点Ｂ、点Ｃ′与点Ｃ的坐标，
能得到怎样的结论？
通过作图、分析能看到，把一个图形以点Ｏ为旋转中心作几
个特殊角度的旋转，可得如下结果：
原图形上任一点坐标
以点Ｏ为旋转中心按逆时针方向旋转后对应点坐标
旋转９０°
旋转１８０°
旋转２７０°
旋转３６０°
（ｘ，ｙ）
（－ｙ，ｘ）（－ｘ，－ｙ）（ｙ，－ｘ）
（ｘ，ｙ）
８
第２４章 圆
这里，把（ｘ，ｙ）变换成（ｘ，ｙ）的变换叫做恒等变换，即在平
面直角坐标系中，一个图形绕点Ｏ作３６０°旋转是一个恒等变换．
我们已学过平移、轴对称和旋转，利用这些图形变换中的一
种或几种的组合，可进行图案设计．例如，我们先设计好图案，用
厚纸板制成镂花模板（图２４
１０）．将这个镂花模板或作平移，或
作轴对称，或作旋转……然后重复，可以得到不同形式的镶边，如
图２４
１１．
图 ２４
１１
设计图案（一）
通过几何变换制作图案：
（１）先设计一个基本图形（或花纹），然后通过轴对
称、旋转、平移等变换，设计１～２个图案；
（２）请你为学校设计校徽、运动会的会徽或黑板报
的一组花边．
旋转任意角
度时，任一点的原
坐标与变换后新坐
标之间的关系，要
用到一般三角函
数，这里不作介绍．
图 ２４
１０
９
２４．１ 旋 转
１．连续两次作两条平行对称轴的轴对称变换
（１）在纸上先画出如图２４
１２中的图形Ｆ（小旗子）和对
称轴ｌ１，ｌ２，且ｌ１∥ｌ２；然后画出Ｆ关于ｌ１的对称图形Ｆ１，再画出
Ｆ１关于ｌ２的对称图形Ｆ２；
（２）比较原图形Ｆ与最后对称图形Ｆ２．当两条对称轴平
行时，什么样的一次变换可直接使Ｆ变成Ｆ２？
（３）如果ｌ１与ｌ２之间距离为８ｃｍ，图形Ｆ上一点Ａ距离ｌ１
为３ｃｍ，经上述两次作轴对称变换后，点Ａ被平移了多远？如
果图形Ｆ上一点Ｂ距离ｌ１为２ｃｍ，经上述两次作轴对称变换
后，点Ｂ又被平移了多远？
由此，你能得出什么结论？
２．连续两次作两条相交对称轴的轴对称变换
图 ２４
１３
（１）在纸上先画出如图２４
１３中的图形Ｆ（小旗子）和对
称轴ｌ１，ｌ２，且ｌ１与ｌ２相交；然后画出Ｆ关于ｌ１的对称图形Ｆ１，再
画出Ｆ１关于ｌ２的对称图形Ｆ２；
（２）比较原图形Ｆ与最后对称图形Ｆ２．当两条对称轴相
交时，什么样的一次变换可直接使Ｆ变成Ｆ２？
（３）如果ｌ１与ｌ２所夹的锐角为α，上述（２）中的这个变换结
果与α 有何关系？
由此，你能得出什么结论？
３．连续两次作两条重合对称轴的轴对称变换
如果一个图形关于两条重合的对称轴作两次轴对称变换，
那么结果与原图形有什么关系？
图 ２４
１２
１０
第２４章 圆
习题２４．１
１．给下列图形分类：
（１）只属轴对称；
（２）只属旋转对称；
（３）既属轴对称又属旋转对称；
（４）不属任何对称．
（第１题）
２．画出上题中轴对称图形的对称轴，用“”号标出上题中旋转对称图形的旋转
中心．
３．画出已知线段ＡＢ关于点Ｏ（不在ＡＢ上）成中心对称的线段Ａ′Ｂ′，再画出Ａ′Ｂ′关
于另一点Ｏ′（不与Ｏ重合，也不在Ａ′Ｂ′上）成中心对称的线段Ａ″Ｂ″，并且证明
Ａ″Ｂ″瓛ＡＢ．由此你能得出怎样的猜想？
４．在方格纸上，格点
ＡＢＣ的位置如图（１），请在图（２）～（５）中各画出一个与格点
ＡＢＣ全等但位置不同的格点三角形．
（第４题）
１１
２４．１ 旋 转
（第５题）
５．如图，在平面直角坐标系中有点Ａ（ａ，ｂ），作出点Ａ关于ｘ
轴对称的对应点Ａ１，点Ａ１关于ｙ轴对称的对应点Ａ２．连接
ＯＡ１和ＯＡ２，观察点Ａ１，Ａ２与点Ｏ有什么关系？
６．在平面直角坐标系中画出点Ａ（－１，２），Ｂ（－３，１），
Ｃ（－２，－１），并画出这三点关于原点成中心对称的对应
点，写出它们的坐标．然后画出点Ａ关于点Ｂ成中心对称
的对应点并写出其坐标．
７．如图，已知ＡＢＣＤ的中心在原点Ｏ，顶点Ａ（３，２），Ｄ（２，－２），求顶点Ｂ，Ｃ的
坐标．
（第７题）
（第８题）
８．如图，ＡＢＣ的顶点坐标分别为Ａ（１，３），Ｂ（５，０），Ｃ（５，３），将
ＡＢＣ绕原点Ｏ
按逆时针方向旋转９０°，得
Ａ１Ｂ１Ｃ１，求顶点Ａ１，Ｂ１，Ｃ１的坐标．
（第９题）
９．
ＡＢＣ在方格纸中的位置如图．
（１）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使得Ａ，Ｂ两点
的坐标分别为Ａ（２，－１），Ｂ（１，－４），并求出点Ｃ
的坐标；
（２）作出
ＡＢＣ关于ｘ轴对称的
Ａ１Ｂ１Ｃ１，再作出
ＡＢＣ以原点为旋转中心、按逆时针方向旋转１８０°
后得到的
Ａ２Ｂ２Ｃ２，并写出Ｃ１，Ｃ２两点的坐标；
（３）观察
Ａ１Ｂ１Ｃ１和
Ａ２Ｂ２Ｃ２，其中的一个三角形能否
由另一个三角形经过某种变换而得到？若能，请指出是什么变换？
１０．在平面直角坐标系中，将抛物线ｙ＝４ｘ２绕原点、按逆时针方向旋转１８０°，求这时
抛物线对应的函数表达式．
１２
第２４章 圆
２４．２圆的基本性质
如图２４
１４，在平面内，线段ＯＰ绕着它固定的一个端
点Ｏ旋转一周，则另一个端点Ｐ所形成的封闭曲线叫做圆
（ｃｉｒｃｌｅ）．固定的端点Ｏ叫做圆心（ｃｅｎｔｅｒｏｆａｃｉｒｃｌｅ），线段
ＯＰ的长为ｒ叫做半径（ｒａｄｉｕｓ）．以点Ｏ为圆心的圆，记作
“⊙Ｏ”，读作“圆Ｏ”．
从图２４
１４画图的过程中，你能说出圆上的点
有什么特性吗？
（１）圆上各点到定点（圆心Ｏ）的距离都等于定长（半
径ｒ）；
（２）平面内到定点（圆心Ｏ）的距离等于定长（半径ｒ）
的所有点都在同一个圆上．
因此，圆可以看成：平面内到定点（圆心Ｏ）的距离等于
定长（半径ｒ）的所有点组成的图形．
平面上有一个圆，这个平面上的点，除了在圆上外，
与圆还有几种位置关系，这些关系根据什么来确定？
图 ２４
１４
１３
２４．２ 圆的基本性质
平面上一点Ｐ与⊙Ｏ（半径为ｒ）的位置关系有以下三种
情况（图２４
１５）：
（１）点Ｐ在⊙Ｏ上
ＯＰ＝ｒ；
（２）点Ｐ在⊙Ｏ内
ＯＰ＜ｒ；
（３）点Ｐ在⊙Ｏ外
ＯＰ＞ｒ．
图 ２４
１５
圆上任意两点间的部分叫做圆弧（ａｒｃ），简称弧，用符号
“⌒”表示．如图２４
１６，以Ａ，Ｂ为端点的弧记作
)
ＡＢ，读作
“弧ＡＢ”．
连接圆上任意两点的线段（图２４
１６中的ＡＢ，ＣＤ）叫
做弦（ｃｈｏｒｄ），经过圆心的弦（图２４
１６中的ＣＤ）叫做直径
（ｄｉａｍｅｔｅｒ）．
同圆中所有的半径相等．
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧
都叫做半圆．大于半圆的弧（图２４
１６中的
)
ＡＣＢ，一般用三
个字母表示）叫做优弧；小于半圆的弧（图２４
１６中的
)
ＡＢ，
)
ＡＣ或
)
ＢＤ）叫做劣弧．
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形（图２４
１６中
弦ＡＢ分别与
)
ＡＢ及
)
ＡＣＢ组成两个不同的弓形）．
能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等．
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
例１ 已知：如图２４
１７，ＡＢ，ＣＤ为⊙Ｏ的直径．
求证：ＡＤ∥ＣＢ．
证明 连接ＡＣ，ＤＢ．
符号“ ”
读作“等价于”．
它表示从符号
的左边可以推
出右边；同时从
符号的右边也
可以推出左边．
图 ２４
１６
图 ２４
１７
１４
第２４章 圆
∵ ＡＢ，ＣＤ为⊙Ｏ的直径，
∴ ＯＡ＝ＯＢ，
ＯＣ＝ＯＤ．
∴ 四边形ＡＤＢＣ为平行四边形．
∴ ＡＤ∥ＣＢ．
１．举出一些圆形的物体实例．
２．以点Ｏ为圆心，分别以２ｃｍ，３ｃｍ为半径画两个圆（这两个圆叫做同心圆），说出满足
下列条件的点Ｐ的位置：
（１）ＯＰ＞３ｃｍ；
（２）ＯＰ≤２ｃｍ；
（３）２ｃｍ＜ＯＰ＜３ｃｍ；
（４）ＯＰ＝０ｃｍ．
３．矩形的四个顶点是否一定能在同一个圆上，为什么？
我们知道，等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形
等图形都具有对称性．那么，圆是否具有对称性呢？根据它
的对称性又能推出圆的哪些性质呢？
１．垂径分弦
１．在纸上任意画一个⊙Ｏ，以⊙Ｏ的一条直
径为折痕，把⊙Ｏ折叠，如图２４
１８，你发现了
什么？
圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意
一条过圆心的直线．
１５
２４．２ 圆的基本性质
图 ２４
１８
图 ２４
１９
２．在折叠⊙Ｏ后，用针在半圆上刺一个小孔，得
两个重合的点Ａ，Ｂ，如图２４
１８．把折叠的圆摊平，
那么折痕ＣＤ是直径，点Ａ，Ｂ是关于直线ＣＤ的一对
对应点．连接ＡＢ，得弦ＡＢ，如图２４
１９，这时直径ＣＤ
与弦ＡＢ有怎样的位置关系？
３．直径ＣＤ把劣弧
)
ＡＤＢ分成
)
ＡＤ与
)
ＤＢ两部分，把
优弧
)
ＡＣＢ分成
)
ＡＣ与
)
ＣＢ两部分，这时
)
ＡＤ与
)
ＤＢ、
)
ＡＣ与
)
ＣＢ各有怎样的关系？
由上面的探究，我们可以发现并证明如下定理：
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这
条弦所对的两条弧．
已知：如图２４
２０，在⊙Ｏ中，ＣＤ是直径，ＡＢ是弦，
并且ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｅ．
求证：ＡＥ＝ＥＢ，
)
)
ＡＤ＝ＤＢ（或
)
)
ＡＣ＝ＣＢ）．
证明 连接ＯＡ，ＯＢ，则ＯＡ＝ＯＢ，ＯＡＢ为等腰三角形，
所以底边ＡＢ上的高ＯＥ所在直线ＣＤ是ＡＢ的垂直平分线，
因此点Ａ与点Ｂ关于直线ＣＤ对称．同理，如果点Ｐ是⊙Ｏ上
任意一点，过点Ｐ作直线ＣＤ的垂线，与⊙Ｏ相交于点Ｑ，则点
Ｐ与点Ｑ关于直线ＣＤ也对称，所以⊙Ｏ关于直线ＣＤ对称．
当把圆沿着直径ＣＤ折叠时，ＣＤ两侧的两个半圆重合，ＡＥ与
ＢＥ重合，点Ａ与点Ｂ重合，
)
ＡＤ与
)
ＤＢ重合，
)
ＡＣ与
)
ＣＢ重合．
图 ２４
２０
１６
第２４章 圆
因此，ＡＥ＝ＥＢ，
)
)
ＡＤ＝ＤＢ，
)
)
ＡＣ＝ＣＢ．
同理，可以证明下面的定理：
定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的两条弧．
例２ 如图２４
２１，⊙Ｏ的半径为５ｃｍ，弦ＡＢ为６ｃｍ，
求圆心Ｏ到弦ＡＢ的距离．
解 连接ＯＡ，过圆心Ｏ作ＯＥ⊥ＡＢ，垂足为Ｅ，则
ＡＥ＝ＥＢ＝１
２ＡＢ＝１
２× ６＝３（ｃｍ）．
又 ∵ ＯＡ＝５ｃｍ，
∴ 在Ｒｔ
ＯＥＡ中，有
ＯＥ＝
ＯＡ２－ＡＥ
槡
２
＝
５２－３
槡
２＝４（ｃｍ）．
答：圆心Ｏ到弦ＡＢ的距离是４ｃｍ．
圆心到弦的距离叫做弦心距．
例３ 赵州桥（图２４
２２）建于１４００年前的隋朝，是我国
石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度（弧所
对的弦长）为３７．４ｍ，拱高（弧的中点到弦的距离）为７．２ｍ，
求赵州桥桥拱所在圆的半径．（精确到０．１ｍ）
图 ２４
２２
图 ２４
２１
１７
２４．２ 圆的基本性质
解 如图２４
２３，过桥拱所在圆的圆心Ｏ作ＡＢ的垂
线，交
)
ＡＢ于点Ｃ，交ＡＢ于点Ｄ，则ＣＤ＝７．２ｍ．
由垂径定理，得
ＡＤ＝１
２ＡＢ＝１
２× ３７．４＝１８．７（ｍ）．
设⊙Ｏ的半径为Ｒｍ，在Ｒｔ
ＡＯＤ中，ＡＯ
＝Ｒ，
ＯＤ＝Ｒ－７．２，ＡＤ＝１８．７．
由勾股定理，得
ＡＯ２＝ＯＤ２＋ＡＤ２．
∴ Ｒ２＝（Ｒ－７．２）２＋１８．７２．
解方程，得
Ｒ≈２７．９．
答：赵州桥桥拱所在圆的半径约为２７．９ｍ．
（第２题）
１．在半径为４ｃｍ的⊙Ｏ中，有长为４ｃｍ的弦ＡＢ．计算：
（１）点Ｏ与ＡＢ的距离；
（２）∠ＡＯＢ的度数．
２．已知：如图，在以Ｏ为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ＡＢ交小
圆于Ｃ，Ｄ两点．
求证：ＡＣ＝ＢＤ．
３．判断正误：
（１）垂直于弦的直径平分这条弦．
（
）
（２）平分弦的直径垂直于这条弦．
（
）
（３）弦的垂直平分线必过圆心．
（
）
（４）平分弦所对弧的直径垂直于这条弦．
（
）
图 ２４
２３
１８
第２４章 圆
２．圆心角、弧、弦、弦心距间关系
１．如图２４
２４，在两张透明纸上，分别作半径相
等的⊙Ｏ和⊙Ｏ′，把两张纸叠在一起，使⊙Ｏ与⊙Ｏ′
重合，用图钉钉住圆心．将上面一个圆旋转任意一个
角度，两个圆还能重合吗？
圆是旋转对称图形，旋转中心为圆心．
图 ２４
２４
图 ２４
２５
２．如图２４
２５，顶点在圆心的角（∠ＡＯＢ、
∠Ａ′ＯＢ′）叫做圆心角（ｃｅｎｔｒａｌａｎｇｌｅ）．当∠ＡＯＢ＝
∠Ａ′ＯＢ′时，根据上述圆的性质，你能猜测出，两个圆
心角所对的
)
ＡＢ与
)
Ａ′Ｂ′、弦ＡＢ与弦Ａ′Ｂ′、弦心距ＯＭ
与弦心距ＯＭ′之间有怎样的关系？
在图２４
２５中，根据圆的旋转对称性，把∠ＡＯＢ连同
)
ＡＢ绕圆心Ｏ旋转，使线段ＯＡ与ＯＡ′重合，设∠Ａ′ＯＡ＝α．
∵
∠ＡＯＢ＝∠Ａ′ＯＢ′，
∴
∠Ｂ′ＯＢ＝∠Ａ′ＯＢ′ ＋∠Ａ′ＯＢ
＝∠ＡＯＢ＋∠Ａ′ＯＢ＝α．
∴ 线段ＯＢ与线段ＯＢ′重合．
圆是中心对
称图形吗？
１９
２４．２ 圆的基本性质
又 ∵ ＯＡ＝ＯＡ′，ＯＢ＝ＯＢ′，
∴ 旋转后点Ａ与点Ａ′重合，点Ｂ与点Ｂ′重合．
这样，
)
ＡＢ与
)
Ａ′Ｂ′重合，弦ＡＢ与弦Ａ′Ｂ′重合，弦心距ＯＭ与
弦心距ＯＭ′也重合，即
)
)
ＡＢ＝Ａ′Ｂ′，ＡＢ＝Ａ′Ｂ′，ＯＭ＝ＯＭ′．
因此有：
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．
同理，可以证明以下推论：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的
弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余
各组量都分别相等．
这个推论可简记为：
在同圆或等圆中，圆心角相等
弧相等
弦相等
弦心距相等．
我们知道，把顶点在圆心的周角等分成３６０份，每一份的圆
心角是１°的角．因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整
个圆周也被等分成３６０份．我们把每一份这样的弧叫做１°的弧．
一般地，ｎ°的圆心角对着ｎ°的弧，ｎ°的弧对着ｎ°的圆心
角．也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
例４ 已知：如图２４
２６，等边三角形ＡＢＣ的三个顶点
都在⊙Ｏ上．
求证：∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＡ＝１２０°．
证明 连接ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ．
∵ ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ，
∴ ∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＡ
＝１
３× ３６０° ＝１２０°．
例５ 已知：如图２４
２７，点Ｏ是∠Ａ平分线上的一点，
图 ２４
２６
图 ２４
２７
２０
第２４章 圆
⊙Ｏ分别交∠Ａ两边于点Ｃ，Ｄ和点Ｅ，Ｆ．
求证：ＣＤ＝ＥＦ．
证明 过点Ｏ作ＯＫ⊥ＣＤ、ＯＫ′⊥ＥＦ，垂足分别为Ｋ，Ｋ′．
∵ ＯＫ＝ＯＫ′（角平分线性质），
∴ ＣＤ＝ＥＦ．
例６ 如图２４
２８，ＡＢ，ＣＤ为⊙Ｏ的两条直径，ＣＥ为
⊙Ｏ的弦，且ＣＥ∥ＡＢ，
)
ＣＥ为４０°，求∠ＢＯＤ的度数．
解 连接ＯＥ．
)
∵
ＣＥ为４０°，
∴
∠ＣＯＥ＝４０°．
∵
ＯＣ＝ＯＥ，
∴ ∠Ｃ＝１８０° －４０°
２
＝７０°．
∵
ＣＥ∥ＡＢ，
∴
∠ＡＯＤ＝∠Ｃ＝７０°．
∴
∠ＢＯＤ＝１８０° －７０° ＝１１０°．
（第１题）
（第２题）
１．如图，ＡＢ，ＣＤ是⊙Ｏ的两条弦，ＯＥ，ＯＦ分别为ＡＢ，ＣＤ的弦心距，
填空：
（１）如果ＡＢ＝ＣＤ，那么
，
，
；
（２）如果ＯＥ＝ＯＦ，那么 ，
，
；
（３）如果ＡＢ＝ＣＤ，那么
，
，
；
（４）如果∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ，那么
，
，
．
２．如图，在两个同心圆中，“∵
∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ，
)
)
∴
ＡＢ＝ＣＤ”，这
种说法对吗？请说明理由．
３．圆的一条弦把圆周分成度数比为１∶２的两条弧，如果该圆的半径为
５，求这条弦的弦长及劣弧所对的圆心角．
图 ２４
２８
２１
２４．２ 圆的基本性质
３．圆的确定
我们已经知道，经过一点可以作直线，且可作无数条直
线；而经过两点只可以作一条直线，即两点确定一条直线．那
么确定一个圆需要几个已知点呢？
１．经过一点Ａ作圆，如图２４
２９（１），能作多少
个圆？
２．经过两点Ａ，Ｂ作圆，如图２４
２９（２），能作多
少个圆？这些圆的圆心有什么特点？
图 ２４
２９
３．经过三点Ａ，Ｂ，Ｃ，能不能作圆？
当三个点不在同一条直线上时，如图２４
３０中的点
Ａ，Ｂ，Ｃ，要求作一个圆，使它经过Ａ，Ｂ，Ｃ三点，可能吗？如
何作？
分析：经过不在同一条直线上的三点Ａ，Ｂ，Ｃ能否作
圆，关键是看能否找到一点Ｏ，使ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ．由上述“思
图 ２４
３０
２２
第２４章 圆
考”内容可知，若圆过Ａ，Ｂ两点，圆心应在线段ＡＢ的垂直平
分线上；同理，若圆过Ｂ，Ｃ两点，圆心也应在线段ＢＣ的垂直
平分线上．所以ＡＢ，ＢＣ两条线段的垂直平分线的交点Ｏ就
是所找的点，就是经过Ａ，Ｂ，Ｃ三点的圆的圆心．
作法
１．连接ＡＢ，ＢＣ，如图２４
３０．
２．分别作线段ＡＢ，ＢＣ的垂直平分线，设它们交于
点Ｏ．
３．以点Ｏ为圆心、ＯＡ为半径作圆．
则⊙Ｏ即为所作．
由于经过不在同一条直线上的三点Ａ，Ｂ，Ｃ的圆，其圆
心只能是线段ＡＢ，ＢＣ的垂直平分线的交点Ｏ，所以经过不
在同一直线上的三点Ａ，Ｂ，Ｃ，只可以作一个圆．
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
在图２４
３０中，再连接ＣＡ，得
ＡＢＣ．经过三角形三个
顶点的圆叫做三角形的外接圆（ｃｉｒｃｕｍｃｉｒｃｌｅｏｆｔｒｉａｎｇｌｅ），外
接圆的圆心叫做三角形的外心（ｃｉｒｃｕｍｃｅｎｔｅｒｏｆｔｒｉａｎｇｌｅ）．这个
三角形叫做圆的内接三角形（ｉｎｓｃｒｉｂｅｄｔｒｉａｎｇｌｅｏｆｃｉｒｃｌｅ）．
三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．
当三个点在同一条直线ｌ上时，如图２４
３１中的点Ａ，
Ｂ，Ｃ，要求作一个圆，使它经过Ａ，Ｂ，Ｃ三点，可能吗？
与上面情况不同，经过同一条直线上的三点是不能作
圆的．
假设经过直线ｌ上的三点Ａ，Ｂ，Ｃ可以作圆，设这个圆
的圆心为Ｏ．由ＯＡ＝ＯＢ可知，点Ｏ在ＡＢ的垂直平分线ｌ１
上；由ＯＢ＝ＯＣ可知，点Ｏ也应在ＢＣ的垂直平分线ｌ２上．
因为ＡＢ，ＢＣ都在直线ｌ上，这样，经过点Ｏ便有两条直线
ｌ１，ｌ２都垂直于直线ｌ，这与“过一点有且只有一条直线与已
三角形三边的
垂直平分线交于一
点，这一点与三角
形的三个顶点的距
离相等．这个性质
你还记得吗？（参
见八年级上册１５．２
节“线段的垂直平
分线”的有关内容）
图 ２４
３１
２３
２４．２ 圆的基本性质
知直线垂直”相矛盾．
所以，经过同一条直线上的三点是不可以作圆的．
这里的证明不是直接从题设推出结论，而是先假设命题
结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论
一定成立，这样的证明方法叫做反证法．
用反证法证明命题一般有以下三个步骤：
（１）反设：假设命题的结论不成立；
（２）推理：从（１）中的“反设”出发，逐步推理直至出现
与已知条件、定义、基本事实、定理等中任一个相矛盾的
结果；
（３）结论：由矛盾的结果判定（１）中的“反设”不成立，
从而肯定命题的结论成立．
关于反证法，本套教科书在七年级下册６．２节“实数”
的“阅读与思考”中已作了介绍，这里，再用反证法证明前面
学过但未作证明的一个定理．
定理 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．
已知：如图２４
３２，直线ＡＢ∥直线ＣＤ，直线ＥＦ分别交
ＡＢ，ＣＤ于点Ｏ１，Ｏ２．
求证：∠ＥＯ１Ｂ＝∠ＥＯ２Ｄ．
证明 假设∠ＥＯ１Ｂ≠∠ＥＯ２Ｄ，过点Ｏ１作直线Ａ′Ｂ′，
使∠ＥＯ１Ｂ′ ＝∠ＥＯ２Ｄ．
根据“同位角相等，两直线平行”，得Ａ′Ｂ′∥ＣＤ．
这样，过点Ｏ１就有两条直线ＡＢ，Ａ′Ｂ′平行于直线ＣＤ，
这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相
矛盾，即∠ＥＯ１Ｂ≠∠ＥＯ２Ｄ的假设不成立，所以∠ＥＯ１Ｂ＝
∠ＥＯ２Ｄ．
在七年级
下册１０．３节“平
行线的性质”中
学过．
图 ２４
３２
２４
第２４章 圆
（第１题）
（第４题）
１．按图填空：
（１）
ＡＢＣ是⊙Ｏ的
三角形；
（２）⊙Ｏ是
ＡＢＣ的
圆；
（３）点Ｏ是
ＡＢＣ的 心；
（４）ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ三条线段的长度有关系：
．
２．经过４个点，是否能作一个圆，为什么？
３．分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并比较
它们的外心位置有怎样的特点？
４．完成下面的证明过程：
已知：如图，直线ｌ１，ｌ２，ｌ在同一平面内，且ｌ１⊥ｌ，ｌ２⊥ｌ．
求证：ｌ１∥ｌ２．
证明 假设 ，则ｌ１与ｌ２相交，设ｌ１与ｌ２交于点Ｐ．由已
知条件
，
得知，过点Ｐ有两条直线与直线ｌ垂
直，这与“
”相矛
盾．所以，“假设
”不成立，故
．
从下面两个故事中可以看出，在处理日常事务中，理性思
维也是很重要的．
１．王戎证明了道旁李苦
古时候，一个名叫王戎的孩子与伙伴们在大路上玩耍，他
们看到路旁树上结了许多李子，都蜂拥而上摘李子吃，唯有王
戎没去摘．王戎断定，李子是苦的，根本不能吃．伙伴们感到奇
怪，便问他：“你怎么知道李子是苦的？”王戎说：“假如李子是
甜的，能吃，那么早就被过路人摘完了，树上怎么还会有李
子呢？”
２５
２４．２ 圆的基本性质
２．伽利略证明了大小不同的两个铁球同时落地
古希腊哲学家亚里士多德曾经断言：质量分别为１０ｋｇ和
１ｋｇ的两个铁球，在同一高处同时落下，１０ｋｇ的铁球一定先着
地，速度是１ｋｇ铁球的１０倍．伽利略产生了疑问，他做了如下
推理：假如这句话正确，那么两个铁球拴在一起，落得慢的就会
拖住落得快的，落下的速度应当比１０ｋｇ的铁球慢．但是按亚里
士多德说法，拴在一起的１１ｋｇ的铁球落下的速度应该比１０ｋｇ
的铁球快．这不是出现了矛盾吗？可见亚里士多德说错了．
在上面两个故事中，推理论证的思想方法就是反证法．王
戎从假设“李子是甜的能吃”出发，推出“早就被过路人摘完了”
的结论，与“树上还有许多李子”的事实矛盾，从而证明“李子是
苦的”，得到“道旁李苦”的结论．伽利略从假设“按亚里士多德
的说法，质量大的铁球落得快”出发，推出“拴在一起１１ｋｇ铁球
反而比１０ｋｇ铁球落得慢”的结论，与假设矛盾，从而证明“两个
铁球应该同时落地”．
习题２４．２
１．在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３ｃｍ，ＢＣ＝３槡３ｃｍ，以点Ａ为圆心、ＡＢ为半径作圆，则Ｂ，Ｃ，
Ｄ三点分别与⊙Ａ有怎样的位置关系？ＡＣ的中点Ｍ与⊙Ａ又有怎样的位置关系？
２．证明：菱形四边的中点在同一个圆上．
３．已知：⊙Ｏ的半径为２ｃｍ，弦ＡＢ为２槡３ｃｍ．求弦ＡＢ中点到它所对劣弧中点的距离．
４．经过⊙Ｏ内已知点Ａ作弦，使所作的弦被点Ａ平分．
５．已知
)
ＡＢ，通过作图，求出
)
ＡＢ的中点．
６．已知：在半径为Ｒ的⊙Ｏ中，有三条弦ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ，它们所对的圆心角分别为
６０°、９０°、１２０°．
（１）比较弦ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ的长短；
（２）比较这三条弦的弦心距长短．
７．证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
２６
第２４章 圆
８．已知：⊙Ｏ的半径为５ｃｍ，弦ＡＢ∥弦ＣＤ，ＡＢ＝６ｃｍ，ＣＤ＝８ｃｍ，求ＡＢ与ＣＤ之间
的距离．
９．已知：ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＣ，ＡＤ是在ＡＢ两侧的两条弦，且ＡＣ＝ＡＤ．
求证：ＡＢ平分∠ＣＡＤ．
１０．已知：如图，ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ是⊙Ｏ的半径，
)
)
ＡＣ＝ＢＣ，点Ｍ，Ｎ分别是ＯＡ，ＯＢ的
中点．
求证：ＭＣ＝ＮＣ．
（第１０题）
（第１１题）
（第１２题）
１１．如图，⊙Ｏ１与⊙Ｏ２是等圆，Ｍ是Ｏ１Ｏ２的中点，过点Ｍ的直线交⊙Ｏ１于Ａ，Ｂ两
点，交⊙Ｏ２于Ｃ，Ｄ两点，则
)
ＡＢ与
)
ＣＤ有怎样的关系，为什么？
１２．如图，在
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝２５°，以点Ｃ为圆心、ＡＣ为半径的圆交ＡＢ于
点Ｄ，求
)
ＡＤ所对圆心角的度数．
１３．求证：直径是圆中最长的弦．
（第１５题）
１４．菱形ＡＢＣＤ的四个顶点能否在同一个圆上？如在同一圆
上，它应成为什么图形？
１５．一个破残的轮片如图，现要重新翻制一个圆轮，如何确定圆
心的位置和半径的大小？
１６．用反证法证明：
（１）
ＡＢＣ中至多只能有一个角是直角；
（２）在同一个圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距也不等．
１７．用反证法证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．
２７
２４．３ 圆周角
２４．３圆周角
一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有
着特殊的位置关系．如图２４
３３，ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，这时∠Ａ的
顶点在圆上，∠Ａ的两边ＡＢ，ＡＣ分别与圆还有另一个公共点．
像这样，顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共
点的角叫做圆周角（ａｎｇｌｅｉｎａｃｉｒｃｕｌａｒｓｅｇｍｅｎｔ）．
如图２４
３４，ＡＢＣ是等边三角形，⊙Ｏ是其外
接圆．由∠ＢＡＣ＝６０°，∠ＢＯＣ＝１２０°，得出∠ＢＡＣ＝１
２
∠ＢＯＣ（∠ＢＡＣ对着
)
ＢＣ，∠ＢＯＣ也对着
)
ＢＣ）．
观察这个特例，然后再任意画一个⊙Ｏ及其内
接
ＡＢＣ，用量角器量一量∠ＢＡＣ及∠ＢＯＣ之后，引
发你对圆周角性质有怎样的猜想？
一个圆周角的大小与它所对弧上的圆心角有
关；前者是后者的二分之一．
下面给出猜想的证明．
以⊙Ｏ上任一点Ａ为顶点的圆周角有无数多个，
按圆心与圆周角的位置关系，存在下面三种情况，如图
２４
３５（自己画图试试）．
首先，我们从特殊情况着手：在图２４
３５（１）中，
连接ＯＣ，则
ＡＯＣ是等腰三角形，∠Ａ＝∠ＯＣＡ．所以，
∠ＢＯＣ＝∠Ａ＋∠ＯＣＡ＝２∠Ａ，即∠Ａ＝１
２∠ＢＯＣ．
图 ２４
３３
图 ２４
３４
２８
第２４章 圆
图 ２４
３５
对于图２４
３５（２）（３）两种情况，你会解决吗？
在图２４
３５（２）（３）中，连接ＡＯ并延长，交⊙Ｏ
于点Ｄ，再连接ＯＢ，ＯＣ，则在图２４
３５（２）中，有
∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ＋∠ＤＡＢ
＝１
２∠ＤＯＣ＋１
２∠ＤＯＢ
＝１
２∠ＣＯＢ．
在图２４
３５（３）中，有
∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ－∠ＤＡＢ
＝１
２∠ＤＯＣ－１
２∠ＤＯＢ
＝１
２∠ＣＯＢ．
综合以上三种情况后可得：
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
由定理可得：
推论１ 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相
等，相等的圆周角所对的弧也相等（图２４
３６）．
推论２ 半圆或直径所对的圆周角是直角；９０°的圆周
角所对的弦是直径（图２４
３７）．
圆心与圆周角
的位置关系只有三
种情况，当对每种
情况都给出证明后
才完成了整个证明
过程．
２９
２４．３ 圆周角
图 ２４
３６
图 ２４
３７
例１ 如图２４
３８，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ交ＡＢ于
点Ｐ，∠ＡＣＤ＝６０°，∠ＡＤＣ＝７０°，求∠ＡＰＣ的度数．
分析：∠ＡＰＣ等于圆周角∠ＢＡＤ与∠ＡＤＣ之和．
解 连接ＢＣ，则∠ＡＣＢ＝９０°，
∠ＤＣＢ＝∠ＡＣＢ－∠ＡＣＤ＝９０° －６０° ＝３０°．
又
∵ ∠ＢＡＤ＝∠ＤＣＢ＝３０°，
∴ ∠ＡＰＣ＝∠ＢＡＤ＋∠ＡＤＣ＝３０° ＋７０°
＝１００°．
１．如图，四边形ＡＢＣＤ的四个顶点在⊙Ｏ上，找出图中分别与∠１、∠２、∠３、∠４相等
的角．
（第１题）
（第２题）
（第３题）
２．如图，在⊙Ｏ中，∠ＢＯＣ＝５０°，求∠Ａ的大小．
３．已知：如图，ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ都是⊙Ｏ的半径，∠ＡＯＢ＝２∠ＢＯＣ．
求证：∠ＡＣＢ＝２∠ＢＡＣ．
４．已知等腰直角三角形ＡＢＣ的一条直角边为槡２，求它的外接圆的半径．
５．证明：如果三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
图 ２４
３８
３０
第２４章 圆
一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫
做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．
如图２４
３９，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，这时，它的每一
个角都成为圆周角．利用圆周角定理，我们来研究圆内接四
边形的角之间的关系．
在图２４
３９中，由于
)
ＢＡＤ与
)
ＢＣＤ所对的圆心角之和是
周角为３６０°，则
∠Ａ＋∠ＢＣＤ＝１８０°．
同理，得
∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０°．
延长ＢＣ到点Ｅ，有
∠ＢＣＤ＋∠ＤＣＥ＝１８０°．
∴ ∠Ａ＝∠ＤＣＥ．
由于∠Ａ是∠ＤＣＥ的补角∠ＢＣＤ的对角（简称为
∠ＤＣＥ的内对角），于是我们得到圆内接四边形的性质：
定理 圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等
于它的内对角．
例２ 在圆内接四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的度数
之比是２∶３∶６，求这个四边形各角的度数．
解 设∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的度数分别等于２ｘ°、３ｘ°、６ｘ°．
∵ 四边形ＡＢＣＤ内接于圆，
∴
∠Ａ＋∠Ｃ＝∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０°．
∵
２ｘ＋６ｘ＝１８０，
∴
ｘ＝２２．５．
∴ ∠Ａ＝４５°，
∠Ｂ＝６７．５°，
∠Ｃ＝１３５°，
∠Ｄ＝１８０° －６７．５°
＝１１２．５°．
图 ２４
３９
３１
２４．３ 圆周角
（第１题）
１．如图，四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边形，∠ＢＯＤ＝１００°，求
∠ＢＡＤ与∠ＢＣＤ的度数．
２．已知：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，ＢＣ是⊙Ｏ的直径，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＣ
与ＢＤ相交于点Ｐ，∠ＡＰＢ＝２０°，求四边形ＡＢＣＤ各个角的度数．
３．证明：圆内接平行四边形是矩形．
习题２４．３
１．已知：三角形的三个顶点在圆上，且把圆周分成所对圆心角之比为１∶２∶３的三个
部分，求这个三角形的三个角的大小．
２．以半圆的直径为一边作一等边三角形，求该等边三角形将半圆截成的三条弧所
对的圆心角的度数．
３．在
ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝３ｃｍ，∠Ａ＝１２０°，求
ＡＢＣ的外接圆直径．
４．已知：如图，ＡＢ和ＣＤ交于⊙Ｏ内一点Ｐ．
求证：ＰＡ·ＰＢ＝ＰＣ·ＰＤ．
（第４题）
（第５题）
５．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，Ｐ是ＡＢ上一点，ＡＢ＝１０ｃｍ，ＰＡ＝４ｃｍ，ＯＰ＝５ｃｍ，求⊙Ｏ
的半径．
６．已知：在
ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ的平分线分别交边ＢＣ、ＡＢＣ的外接圆于点Ｄ，Ｅ．
求证：（１）
ＡＢＤ
ＡＥＣ；（２）ＡＢ·ＡＣ＝ＡＤ·ＡＥ＝ＡＤ２＋ＢＤ·ＤＣ．
３２
第２４章 圆
７．已知：半圆的直径ＡＢ＝１３ｃｍ，Ｃ为半圆上一点，ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｄ，且
ＣＤ＝６ｃｍ，求ＡＤ的长．
（第９题）
８．在圆内接四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ∶∠Ｄ只可能是下
列四个选项中的
．
①１∶２∶３∶４；②４∶３∶２∶１；③４∶１∶３∶２；④４∶３∶１∶２．
由此你发现，圆内接四边形的各角度数之比的规律是什么？
９．已知：如图，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，∠ＡＤＣ的平分线交
)
ＡＢ于点Ｐ，交ＣＢ延长线于点Ｅ．
求证：ＢＰ平分∠ＡＢＥ．
１０．已知：如图，⊙Ｏ１与⊙Ｏ２都经过Ａ，Ｂ两点，经过点Ａ的直
线ＣＤ与⊙Ｏ１交于点Ｃ、与⊙Ｏ２交于点Ｄ；经过点Ｂ的直
线ＥＦ与⊙Ｏ１交于点Ｅ、与⊙Ｏ２交于点Ｆ．
求证：ＣＥ∥ＤＦ．
（第１０题）
（第１１题）
１１．如图，点Ａ在⊙Ｏ内，点Ｂ在⊙Ｏ外，点Ｃ，Ｄ在⊙Ｏ上，试比较∠ＣＡＤ与∠ＣＢＤ
的大小．
３３
２４．４ 直线与圆的位置关系
２４．４直线与圆的位置关系
１．日出的一组照片反映了太阳与地平线的位
置变化，将照片中太阳与地平线（图２４
４０）分别看
作圆与直线，并按它们之间不同的位置关系表示成
如图２４
４１．
图 ２４
４０
２．在图２４
４１中，观察⊙Ｏ与直线ｌ的公共点
的个数，有几种情况？
图 ２４
４１
如果直线与圆有两个公共点，这时直线与圆的位置关系
叫做相交，如图２４
４１（１），这条直线叫做圆的割线（ｓｅｃａｎｔ
３４
第２４章 圆
ｌｉｎｅ）．
如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关
系叫做相切，如图２４
４１（２），这条直线叫做圆的切线（ｔａｎｇｅｎｔ
ｌｉｎｅ），这个公共点叫做切点（ｐｏｉｎｔｏｆｔａｎｇｅｎｃｙ）．
如果直线与圆没有公共点，这时直线与圆的位置关系叫
做相离，如图２４
４１（３）．
设⊙Ｏ的半径为ｒ，圆心Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ，由上述
直线与圆的位置关系可知：
（１）直线ｌ与⊙Ｏ相交
ｄ＜ｒ，如图２４
４２（１）；
（２）直线ｌ与⊙Ｏ相切
ｄ＝ｒ，如图２４
４２（２）；
（３）直线ｌ与⊙Ｏ相离
ｄ＞ｒ，如图２４
４２（３）．
图 ２４
４２
在图２４
４２（２）中，当直线ｌ与⊙Ｏ相切时，切点为Ａ，连
接ＯＡ．这时，如在直线ｌ上任取一个不同于点Ａ的点Ｐ，连接
ＯＰ，因为点Ｐ在⊙Ｏ外，所以ＯＰ＞ＯＡ．这就是说，ＯＡ是点Ｏ
到直线ｌ上任一点的连线中最短的，故ＯＡ⊥ｌ．
于是可得：
切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径．
例１ 如图２４
４３，Ｒｔ
ＡＢＣ的斜边ＡＢ＝１０ｃｍ，
∠Ａ＝３０°．
（１）以点Ｃ为圆心作圆，当半径为多少时，ＡＢ与⊙Ｃ
相切？
（２）以点Ｃ为圆心、半径ｒ分别为４ｃｍ和５ｃｍ作两个
３５
２４．４ 直线与圆的位置关系
圆，这两个圆与斜边ＡＢ分别有怎样的位置关系？
解 （１）过点Ｃ作边ＡＢ上的高ＣＤ．
∵ ∠Ａ＝３０°，ＡＢ＝１０ｃｍ，
∴ ＢＣ＝１
２ＡＢ＝１
２× １０＝５（ｃｍ）．
在Ｒｔ
ＢＣＤ中，有
ＣＤ＝ＢＣｓｉｎＢ＝５ｓｉｎ６０° ＝５
２槡３（ｃｍ）．
当半径为５
２槡３ｃｍ时，ＡＢ与⊙Ｃ相切．
（２）由（１）可知，圆心Ｃ到ＡＢ的距离ｄ＝５
２槡３ｃｍ．
当ｒ＝４ｃｍ时，ｄ＞ｒ，⊙Ｃ与ＡＢ相离；
当ｒ＝５ｃｍ时，ｄ＜ｒ，⊙Ｃ与ＡＢ相交．
１．如图２４
４４（１），经过圆上一点Ｐ，作直线与
已知圆相切，如何作？能够作几条？
２．如图２４
４４（２），经过圆外一点Ｐ，作直线与
已知圆相切，如何作？能够作几条？
图 ２４
４４
例２ 如图２４
４５，点Ｐ为⊙Ｏ上任一点，过点Ｐ作直
线ｌ与⊙Ｏ相切．
图 ２４
４３
图 ２４
４５
３６
第２４章 圆
作法
１．连接ＯＰ．
２．过点Ｐ作直线ｌ⊥ＯＰ．
则直线ｌ即为所作．
为什么直线ｌ即为所作呢？
由作图可知，直线ｌ与⊙Ｏ有一个公共点Ｐ，若取直线ｌ
上除点Ｐ之外任一点Ｑ，连接ＯＱ，则ＯＱ＞ＯＰ（斜线大于垂
线），所以点Ｑ在圆外．因此，直线ｌ与⊙Ｏ只有一个公共点，
故直线ｌ为⊙Ｏ的切线．
于是可得：
切线判定定理 经过半径外端点并且垂直于这条半径
的直线是圆的切线．
例３ 已知：如图２４
４６，∠ＡＢＣ＝４５°，ＡＢ是⊙Ｏ的直
径，ＡＢ＝ＡＣ．
求证：ＡＣ是⊙Ｏ的切线．
证明 ∵ ＡＢ＝ＡＣ，∠ＡＢＣ＝４５°，
∴ ∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝４５°．
∴ ∠ＢＡＣ＝１８０° －∠ＡＢＣ－∠ＡＣＢ＝９０°．
∵ ＡＢ是⊙Ｏ的直径，
∴ ＡＣ是⊙Ｏ的切线．
１．⊙Ｏ的圆心到直线ｌ的距离为５ｃｍ，直线ｌ与⊙Ｏ有唯一公共点，问⊙Ｏ的半径ｒ是
多少厘米？
２．在
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ａ＝３，ｂ＝４，以点Ｃ为圆心，下列ｒ为半径的圆与ＡＢ有怎样
的位置关系，为什么？
（１）ｒ＝２；
（２）ｒ＝２．４；
（３）ｒ＝２．８．
图 ２４
４６
３７
２４．４ 直线与圆的位置关系
３．如图，ＡＢ与⊙Ｏ相切于点Ｃ，ＯＡ＝ＯＢ，⊙Ｏ的直径为８ｃｍ，ＡＢ＝６ｃｍ，求ＯＡ的长．
（第３题）
（第４题）
４．已知：如图，点Ｐ在∠ＢＡＣ的平分线上，ＰＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｄ．
求证：以点Ｐ为圆心、ＰＤ为半径的圆与∠ＢＡＣ两边相切．
５．已知：如图，直线ＡＢ过⊙Ｏ上的点Ｃ，且ＯＡ＝ＯＢ，ＣＡ＝ＣＢ．
求证：直线ＡＢ是⊙Ｏ的切线．
（第５题）
（第６题）
６．已知：如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点Ｄ在ＡＢ的延长线上，ＢＤ＝ＯＢ，点Ｃ在圆上，
∠ＣＡＢ＝３０°．
求证：ＤＣ是⊙Ｏ的切线．
例４ 如图２４
４７，点Ｐ为⊙Ｏ外一点，过点Ｐ作直
线与⊙Ｏ相切．
作法
１．连接ＯＰ．
２．以ＯＰ为直径作圆，设此圆交⊙Ｏ于点Ａ，Ｂ．
３．连接ＰＡ，ＰＢ．
则直线ＰＡ，ＰＢ即为所作．
过圆外一点能够作圆的两条切线．
切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长．
图 ２４
４７
３８
第２４章 圆
１．在透明纸上画出图２４
４８（１），设ＰＡ，ＰＢ是
⊙Ｏ的两条切线，Ａ，Ｂ是切点．沿直线ＯＰ将图形折
叠，有什么发现？
图 ２４
４８
２．学生证明自己的发现．
如图２４
４８（２），连接ＯＡ，ＯＢ．下面如何证明？
∴
ＰＡ＝ＰＢ，∠ＡＰＯ＝∠ＢＰＯ．
切线长定理 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线
长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．
例５ 已知：如图２４
４９，四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ，ＢＣ，
ＣＤ，ＤＡ和⊙Ｏ分别相切于点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ．
求证：ＡＢ＋ＣＤ＝ＤＡ＋ＢＣ．
证明
∵
ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ都与⊙Ｏ相切，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ
是切点，
∴
ＡＥ＝ＡＨ，ＢＥ＝ＢＦ，ＣＧ＝ＣＦ，ＤＧ＝ＤＨ．
图 ２４
４９
３９
２４．４ 直线与圆的位置关系
∴
ＡＥ＋ＢＥ＋ＣＧ＋ＤＧ＝ＡＨ＋ＢＦ＋ＣＦ＋ＤＨ，
即
ＡＢ＋ＣＤ＝ＤＡ＋ＢＣ．
（第２题）
１．已知：⊙Ｏ的半径是３０ｃｍ，点Ｐ与圆心Ｏ的距离是６０ｃｍ，ＰＡ，ＰＢ是⊙Ｏ的两条切
线，Ａ，Ｂ是切点，求∠ＡＰＢ的大小与ＰＡ的长．
２．如图，ＰＡ，ＰＢ是⊙Ｏ的两条切线，Ａ，Ｂ是切点，直线ＯＰ
交⊙Ｏ于Ｑ，Ｄ两点，交ＡＢ于点Ｃ．
（１）写出图中所有的垂直关系；
（２）写出图中所有的全等三角形．
３．已知：ＰＡ，ＰＢ是⊙Ｏ的切线，Ａ，Ｂ是切点，∠ＡＰＢ＝６０°，
点Ｃ是⊙Ｏ上异于Ａ，Ｂ的任意一点，求∠ＡＣＢ的大小．
习题２４．４
１．以边长为３ｃｍ的等边三角形ＡＢＣ的顶点Ａ为圆心、ｒ为半径作圆．ｒ为何值时：
（１）⊙Ａ与ＢＣ相交？
（２）⊙Ａ与ＢＣ相切？
（３）⊙Ａ与ＢＣ相离？
２．试证：如果圆的两条切线互相平行，那么连接两个切点的线段是圆的直径．
３．如图，可以用游标卡尺测量圆形工件的直径．当两卡脚贴紧工件，从刻度尺上读出
两卡脚之间的距离ｄ的数值，即可测出直径的实际值．说明该测量的原理．
（第３题）
（第４题）
４０
第２４章 圆
４．已知：如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＣ是⊙Ｏ的切线，切点为Ｂ，ＯＣ平行于弦ＡＤ．
（第５题）
求证：ＣＤ是⊙Ｏ的切线．
５．已知：如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，⊙Ｏ过ＢＣ的中点Ｄ，
ＤＥ⊥ＡＣ于点Ｅ．
求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线．
６．已知：如图，在
ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，∠Ａ的平分线交ＢＣ
于点Ｄ，点Ｅ在ＡＢ上，ＤＥ＝ＤＣ，以点Ｄ为圆心、ＤＢ为半
径作⊙Ｄ．
求证：
（１）ＡＣ是⊙Ｄ的切线；
（２）ＡＢ＋ＥＢ＝ＡＣ．
（第６题）
（第７题）
７．已知：如图，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，ＡＣ是⊙Ｏ的切线，作ＯＫ⊥ＡＢ，垂足为Ｋ．
求证：∠ＢＡＣ＝∠ＡＯＫ．
８．已知：如图，ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，ＡＢ为非直径的弦，∠ＣＡＥ＝∠Ｂ．
求证：ＡＥ与⊙Ｏ相切于点Ａ．
（第８题）
（第９题）
９．如图，ＰＡ，ＰＢ是⊙Ｏ的切线，Ａ，Ｂ是切点，ＯＰ交ＡＢ于点Ｄ、交⊙Ｏ于点Ｃ，
ＡＤ＝槡
２３，ＤＣ＝２，求⊙Ｏ的半径及ＰＡ，ＰＣ的长．
４１
２４．４ 直线与圆的位置关系
１０．已知：如图，ＡＢ，ＣＤ是⊙Ｏ的两条平行切线，Ａ，Ｃ是切点，⊙Ｏ的另一条切线ＢＤ
与ＡＢ，ＣＤ分别相交于Ｂ，Ｄ两点．
求证：ＢＯ⊥ＯＤ．
（第１０题）
（第１１题）
１１．已知：如图，点Ｐ在⊙Ｏ外，ＰＡ，ＰＢ是⊙Ｏ的切线，Ａ，Ｂ为切点．ＢＣ是直径，连
接ＣＡ．
求证：ＣＡ∥ＯＰ．
４２
第２４章 圆
２４．５三角形的内切圆
有一块三角形材料，如何从中剪下一个面积最
大的圆？
（１）如果最大圆存在，它与三角形的各边应有
怎样的位置关系？
图 ２４
５０
如图２４
５０，⊙Ｏ按其位置与三角形的边是否相
切分四种情形：图２４
５０（１）的⊙Ｏ与三边都不相切，
图２４
５０（２）的⊙Ｏ只与一边相切，图２４
５０（３）的
⊙Ｏ与两边相切，图２４
５０（４）的⊙Ｏ与三边都相切．
图２４
５０（１）（２）（３）中的圆面积都不是最大的
（试一试，可作出一个面积更大的圆来），由此猜想：
要使剪下的圆面积最大，这个圆应与三角形的三边
都相切，如图２４
５０（４）．
（２）求作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切．
如图２４
５１，如果半径为ｒ的⊙Ｉ与
ＡＢＣ的
三边都相切，那么其圆心Ｉ应与
ＡＢＣ的三边距
离相等，都等于半径ｒ，所以圆心Ｉ应是三角形的
三条角平分线的交点．
三角形的三条
角平分线交于一
点，这一点与三角
形的三边距离相
等．这个性质你还
记得吗？（参见
八年级上册１５．４节
“角的平分线”的有
关内容）
４３
２４．５ 三角形的内切圆
图 ２４
５１
作法
１．如图２４
５２，作
ＡＢＣ的∠Ｂ、∠Ｃ平分线ＢＥ，ＣＦ，设
它们交于点Ｉ．
２．过点Ｉ作ＩＤ⊥ＢＣ于点Ｄ．
３．以点Ｉ为圆心、ＩＤ为半径作⊙Ｉ．
则⊙Ｉ即为所作．
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆
（ｉｎｓｃｒｉｂｅｄｃｉｒｃｌｅｏｆｔｒｉａｎｇｌｅ），内切圆的圆心叫做三角形的内
心（ｉｎｃｅｎｔｅｒｏｆｔｒｉａｎｇｌｅ），这个三角形叫做圆的外切三角形
（ｃｉｒｃｕｍｓｃｒｉｂｅｄｔｒｉａｎｇｌｅｏｆｃｉｒｃｌｅ）．
三角形的内心到三角形的三边距离相等．
例 如图２４
５３，在
ＡＢＣ中，∠Ｂ＝４３°，∠Ｃ＝６１°，点
Ｉ是
ＡＢＣ的内心，求∠ＢＩＣ的度数．
解 连接ＩＢ，ＩＣ．
因为点Ｉ是
ＡＢＣ的内心，所以ＩＢ，ＩＣ分别是∠Ｂ、∠Ｃ
的平分线．
在
ＩＢＣ中，有
∠ＢＩＣ＝１８０° －（∠ＩＢＣ＋∠ＩＣＢ）
＝１８０° －１
２（∠Ｂ＋∠Ｃ）
＝１８０° －１
２（４３° ＋６１°）
＝１２８°．
图 ２４
５２
图 ２４
５３
４４
第２４章 圆
１．在
ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝４ｃｍ，以点Ａ为圆心、２ｃｍ为半径的圆与ＢＣ相切，求∠ＢＡＣ
的度数．
２．在
ＡＢＣ中，∠Ａ＝８０°，点Ｉ是内心，求∠ＢＩＣ的度数．
３．在
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝３，ＡＣ＝４，求这个三角形的内切圆半径．
４．在一块周长为１２ｃｍ、面积为６ｃｍ２的三角形材料中作一个内切圆，问这个圆的半径是
多少厘米？
习题２４．５
１．证明：等边三角形的内心与外心重合，并且外接圆半径是内切圆半径的２倍．
２．已知：如图，在
ＡＢＣ中，内切圆Ｉ与边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ分别相切于点Ｄ，Ｅ，Ｆ．
求证：∠ＦＤＥ＝９０° －１
２∠Ａ．
（第２题）
（第３题）
３．如图，⊙Ｏ为
ＡＢＣ的内切圆，切点为Ｅ，Ｆ，Ｇ，∠Ｃ＝９０°，ＡＯ的延长线交ＢＣ于
点Ｄ，ＡＣ＝４，ＣＤ＝１，求⊙Ｏ的半径ｒ．
４．已知：在
ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，三边长为ａ，ｂ，ｃ，
ＡＢＣ的内切圆半径为ｒ．
求证：
（１）ｒ＝１
２（ａ＋ｂ－ｃ）；
（２）ｒ＝
ａｂ
ａ＋ｂ＋ｃ．
４５
２４．５ 三角形的内切圆
５．已知：如图，在
ＡＢＣ中，点Ｅ是内心，延长ＡＥ交三角形的外接圆于点Ｄ，连接
ＢＤ，ＤＣ．
求证：ＤＢ＝ＤＣ＝ＤＥ．
（第５题）
（第６题）
６．如图，三条直线ｌ１，ｌ２，ｌ３两两相交构成三角形．在这个图中能找出几个到三条直线
距离相等的点，为什么？
７．在
ＡＢＣ中，ＢＣ＝ａ＝１４ｃｍ，ＡＣ＝ｂ＝９ｃｍ，ＡＢ＝ｃ＝１３ｃｍ，它的内切圆
与ＢＣ，ＡＣ，ＡＢ分别相切于点Ｄ，Ｅ，Ｆ，求ＡＦ，ＢＤ，ＣＥ的长．
圆与圆的位置关系
如图２４
５４，选择两个大小不一样的圆，放在桌上做相对
运动，可以找出平面上两圆之间几种不同的位置关系？
图 ２４
５４
如图２４
５５，设⊙Ｏ１、⊙Ｏ２的半径分别为ｒ，Ｒ（Ｒ＞ｒ），两
圆圆心间的距离（简称圆心距）Ｏ１Ｏ２＝ｄ．
４６
第２４章 圆
图 ２４
５５
当两圆处在不同的位置关系时，ｄ与Ｒ，ｒ之间有如下的关系：
两圆位置
外离
外切
相交
内切
内含
半径与圆心距关系
ｄ＝Ｒ＋ｒ
ｄ＝Ｒ－ｒ
（１）填写上表的空白处；
（２）当圆心Ｏ１与圆心Ｏ２重合时，两圆是同心圆，此时有：
ｄ＝
；
（３）当两圆相交、外切或内切时，过点Ｏ１，Ｏ２的直线（连
心线）有怎样的性质？
４７
２４．６ 正多边形与圆
２４．６正多边形与圆
１．正多边形与圆
在七年级上册４．６节“用尺规作线段与角”的“数学活
动”中，曾介绍过画正五角星，你还记得是怎么画的吗？下面
就来研究这样画的道理．
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．
正多边形与圆有非常密切的关系，把一个圆分成ｎ条相
等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正ｎ边形．
如图２４
５６，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ在⊙Ｏ上，且有
)
)
)
)
)
ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝ＥＡ，ＴＰ，ＰＱ，ＱＲ，ＲＳ，ＳＴ分别是以点
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ为切点的⊙Ｏ的切线．于是有：
五边形ＡＢＣＤＥ是⊙Ｏ的内接正五边形，五边形ＰＱＲＳＴ
是⊙Ｏ的外切正五边形．
由
)
)
)
)
)
ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝ＥＡ，得
ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝ＥＡ．
)
∵
ＢＣＥ＝３
)
)
ＡＢ＝ＣＤＡ，
∴ ∠１＝∠２．
同理，得
∠２＝∠３＝∠４＝∠５．
∵ 顶点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ都在⊙Ｏ上，
∴ 五边形ＡＢＣＤＥ是⊙Ｏ的内接正五边形．
连接ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，则
∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ．
图 ２４
５６
４８
第２４章 圆
∵ ＴＰ，ＰＱ，ＱＲ分别是以点Ａ，Ｂ，Ｃ为切点的⊙Ｏ的
切线，
∴ ∠ＯＡＰ＝∠ＯＢＰ＝∠ＯＢＱ＝∠ＯＣＱ．
∴ ∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＡ＝∠ＱＢＣ＝∠ＱＣＢ．
又
)
)
∵
ＡＢ＝ＢＣ，
∴
ＡＢ＝ＢＣ．
∴
ＰＡＢ
ＱＢＣ．
∴
∠Ｐ＝∠Ｑ，ＰＱ＝２ＰＡ．
同理，得
∠Ｑ＝∠Ｒ＝∠Ｓ＝∠Ｔ，
ＱＲ＝ＲＳ＝ＳＴ＝ＴＰ＝２ＰＡ．
∵ 五边形ＰＱＲＳＴ的各边都与⊙Ｏ相切，
∴ 五边形ＰＱＲＳＴ是⊙Ｏ的外切正五边形．
由上可知，通过等分圆周的方法能作出正多边形．
（１）用量角器等分圆周
由在同圆中相等的弦所对的弧相等可知，在一个圆中，先
用量角器作一个等于３６０°
ｎ的圆心角，这个角所对的弧就是圆
周的１
ｎ，然后在圆周上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的ｎ
等分点，从而作出正ｎ边形（正五角星就是这样作出的）．
（２）用尺规等分圆周
对于一些特殊的正ｎ边形，还可以用直尺和圆规来等分
圆周．
①正四边形的作法
如图２４
５７（１），用直尺和圆规作⊙Ｏ的两条互相垂直的
直径，就可以把⊙Ｏ分成４等份，从而作出正四边形．
我们再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形
［图２４
５７（２）］、正十六边形等．
图 ２４
５７
４９
２４．６ 正多边形与圆
②正六边形的作法
如图２４
５８（１），设⊙Ｏ的半径为Ｒ，通常先作出⊙Ｏ的一
条直径ＡＢ，然后分别以点Ａ，Ｂ为圆心、Ｒ为半径作弧，与⊙Ｏ
交于点Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，从而得到⊙Ｏ的６等分点，作出正六边形．
如果再逐次等分各边所对的弧，就可作出正十二边形、正
二十四边形等．
我们可以连接６等分圆周的相间两个点，得到正三角
形，如图２４
５８（２）．
图 ２４
５８
１．求下列正多边形每个内角及其外角的度数：
（１）正五边形； （２）正八边形； （３）正十二边形．
２．在一个半径为２ｃｍ的圆中，作出它的内接正六边形及内接正三角形．
３．用量角器作出一个半径为２ｃｍ的圆的内接正五边形．
２．正多边形的性质
将一个圆ｎ等分，就可以作出这个圆的内接或外切正ｎ
边形．反过来，是不是每个正多边形都有一个外接圆和一个
内切圆呢？
我们仍然以正五边形为例来进行探究．
如图２４
５９，过正五边形ＡＢＣＤＥ的顶点Ａ，Ｂ，Ｃ作
⊙Ｏ，连接ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ，ＯＥ．
图 ２４
５９
５０
第２４章 圆
∵ ＯＢ＝ＯＣ，
∴ ∠１＝∠２．
又
∵ ∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ，
∴ ∠３＝∠４．
∵ ＡＢ＝ＤＣ，
∴
ＯＡＢ
ＯＤＣ．
∴ ＯＡ＝ＯＤ，
即点Ｄ在⊙Ｏ上．
同理，得点Ｅ也在⊙Ｏ上．
所以正五边形ＡＢＣＤＥ有一个以Ｏ为圆心的外接圆．
由于正五边形ＡＢＣＤＥ的各边是⊙Ｏ中相等的弦，等弦
的弦心距相等，所以以点Ｏ为圆心、弦心距ＯＨ为半径的圆
与正五边形的各边都相切．
所以正五边形ＡＢＣＤＥ还有一个以Ｏ为圆心的内切圆．
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两
个圆是同心圆．
我们把一个正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫
做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内
切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一条边所对
的圆心角，叫做正多边形的中心角，正ｎ边形的每个中心角
都等于３６０°
ｎ．
正多边形都是轴对称图形，一个正ｎ边形一共有ｎ条对
称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心，如图２４
６０．
图 ２４
６０
５１
２４．６ 正多边形与圆
如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图
形，它的中心就是对称中心．
例 求边长为ａ的正六边形的周长和面积．
解 如图２４
６１，过正六边形的中心Ｏ作ＯＧ⊥ＢＣ，垂
足是Ｇ，连接ＯＢ，ＯＣ，设该正六边形的周长和面积分别为Ｃ
和Ｓ．
∵ 多边形ＡＢＣＤＥＦ是正六边形，
∴
∠ＢＯＣ＝６０°，ＢＯＣ是等边三角形．
∴
Ｃ＝６ＢＣ＝６ａ．
在
ＢＯＣ中，有
ＯＧ＝槡３
２ＢＣ
＝槡３
２ａ．
∴ Ｓ＝６· １
２ＢＣ·ＯＧ
＝６· １
２ａ·槡３
２ａ
＝槡
３３
２ａ２．
１．一个不等边三角形是否一定有一个外接圆和内切圆？如果有，它们是不是同心圆？
２．有一正六边形ＡＢＣＤＥＦ的内切圆半径为Ｒ，求Ｒ与这个正六边形ＡＢＣＤＥＦ的外接圆
半径之比．
３．证明：在正ｎ边形中，中心角与正ｎ边形的每个外角相等．
图 ２４
６１
５２
第２４章 圆
习题２４．６
１．作已知⊙Ｏ的内接正八边形．
２．用等分圆周的方法画出下列图案．
（第２题）
３．已知：如图，ＡＢＣ是⊙Ｏ的内接等腰三角形，顶角∠Ａ＝３６°，弦ＢＤ，ＣＥ分别平分
∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ．
求证：五边形ＡＥＢＣＤ是正五边形．
（第３题）
（第４题）
４．如图，正六边形的螺帽边长ａ＝１２，这个扳手的开口ｂ应是多少？
５．要用圆形铁片截出边长为ａ的正方形铁片，问圆形铁片的直径最小要多长？
６．分别求出半径为Ｒ的圆内接正三角形、圆内接正方形的周长和面积．
７．设正三角形的外接圆半径与内切圆半径之差为２ｃｍ，求这个正三角形的面积．
（第８题）
８．已知：如图，正五边形的对角线ＡＣ和ＢＥ相交于点Ｐ．
求证：
（１）ＰＥ＝ＡＢ；
（２）ＰＥ２＝ＢＥ·ＢＰ．
５３
２４．７ 弧长与扇形面积
２４．７弧长与扇形面积
在小学时我们就已知道，圆的周长Ｃ、圆的面积Ｓ与圆
的半径Ｒ之间有下面的关系：
Ｃ＝２πＲ，
Ｓ＝πＲ２．
这里的π ＝３．１４１５９…，是个无理数，叫做圆周率．
但在许多情况下，我们还需要计算圆的一部分弧长和面
积，如图２４
６２中的
)
ＡＢ长度，以及半径ＯＡ，ＯＢ与
)
ＡＢ所围橘
红色部分的面积．我们把两条半径与所夹弧围成的图形叫做
扇形（图２４
６２中劣弧ＡＢ所围橘红色部分或优弧ＡＢ所围
白色部分）．
如何求一个扇形的弧长和面积？
在圆中，如果圆心角∠ＡＯＢ＝ｎ°，那么它是周角（３６０°）
的ｎ
３６０，因此，ｎ°的圆心角所对的弧长和以ｎ°为圆心角的扇形
面积分别是整个圆的周长和面积的ｎ
３６０．所以，在半径为Ｒ的
圆中，ｎ°的圆心角所对的弧长Ｃ１和以ｎ°为圆心角的扇形面
积Ｓ１的计算方法分别是
Ｃ１＝
ｎ
３６０·２πＲ＝ｎπＲ
１８０，
图 ２４
６２
５４
第２４章 圆
Ｓ１＝
ｎ
３６０·πＲ２＝１
２·ｎπＲ
１８０·Ｒ＝１
２Ｃ１Ｒ．
例１ 一滑轮装置如图２４
６３，滑轮的半径Ｒ＝１０ｃｍ，
当重物上升１５．７ｃｍ时，问滑轮的一条半径ＯＡ绕轴心Ｏ按
逆时针方向旋转的角度？（假设绳索与滑轮之间没有滑动，
π取３．１４）
图 ２４
６３
解 设半径ＯＡ绕轴心Ｏ按逆时针方向旋转ｎ°，则
ｎπＲ
１８０＝１５．７．
解方程，得
ｎ≈９０．
答：滑轮按逆时针方向旋转的角度约为９０°．
例２ 古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长
（或子午圈长）的简单方法．如图２４
６４，点Ｓ和点Ａ分别
表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，亚历山大在赛伊尼的
北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为５０００希腊
里（１希腊里≈１５８．５ｍ）．当太阳光线在赛伊尼直射时，同
一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的角为α，
实际测得α 是７．２°，由此估算出了地球的周长，你能进行
计算吗？
重物上升
的高度等于半
径ＯＡ绕轴心Ｏ
旋转时点Ａ所
画的弧长．
埃拉托塞尼
（Ｅｒａｔｏｓｔｈｅｎｅｓ，约公
元前２７６—前１９５）
是古希腊数学家、
地理学家，在数学
方面的主要贡献是
提出了寻找素数的
最简明有效的方
法，后称埃拉托塞尼
筛法；在地理学方
面，他最著名的成就
是测地球的周长．
５５
２４．７ 弧长与扇形面积
解 因为太阳光线可看作平行的，所以圆心角
∠ＡＯＳ＝α ＝７．２°．
设地球的周长（即⊙Ｏ的周长）为Ｃ，则
Ｃ
)
ＡＳ
＝３６０°
７．２° ＝５０，
∴
Ｃ＝５０
)
ＡＳ＝５０× ５０００
＝２５００００（希腊里）
≈３９６２５（ｋｍ）．
答：地球的周长约为３９６２５ｋｍ．
我们知道，地球周长约为４００００ｋｍ．可见，２０００多年
前，埃拉托塞尼的估算结果已经相当精确了．
１．如图２４
６５（１），底面半径为ｒ、母线（上下底面
圆周上对应两点的连线）为ｌ的圆柱，它的侧面展开图
是什么？这个侧面展开图的面积计算公式是什么？
２．如图２４
６５（２），底面半径为ｒ、母线（顶点与底
面圆周上一点的连线）为ｌ的圆锥，它的侧面展开图又
是什么？这个侧面展开图的面积计算公式是什么？
例３ 如图２４
６６，圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为
８０ｃｍ，母线为５０ｃｍ．在一块大铁皮上剪裁时，如何画出这个
烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的面积．
解 烟囱帽的侧面展开图是扇形，如图２４
６７，设该扇
形的面积为Ｓ．
图 ２４
６４
图 ２４
６５
５６
第２４章 圆
在铁皮上画一个扇形，除需知道扇形半径ｌ外，还需知
道扇形圆心角α．由刚学过的弧长计算方法，可得
２πｒ＝
α
３６０°·２πｌ．
图 ２４
６６
图 ２４
６７
∴
α ＝３６０° × ｒ
ｌ
＝３６０° × ４０
５０＝２８８°．
Ｓ＝
α
３６０°·πｌ２＝２８８°
３６０° × ５０２π ＝２０００π（ｃｍ２）．
１．已知：扇形ＡＯＢ的半径为１２ｃｍ，∠ＡＯＢ＝１２０°，求
)
ＡＢ的长度和扇形ＡＯＢ的面积．
２．已知：扇形的圆心角为１５０°，弧长为２０π，求扇形面积．
３．如图，圆柱形排水管的截面半径ＯＣ＝０．６ｍ，水面高ＤＣ＝０．３ｍ，求截面中有水部分
的面积．
（第３题）
（第４题）
４．如图，把圆锥的侧面展开得到扇形，其半径ＯＡ＝３，圆心角∠ＡＯＢ＝１２０°，求
)
ＡＢ
的长．
５７
２４．７ 弧长与扇形面积
习题２４．７
（第２题）
１．火车上主动轮直径为１．２ｍ，主动轮的转速为４００圈／ｍｉｎ，问
火车的前进速度是多少？
２．如图，⊙Ｏ的半径ＯＡ是⊙Ｏ１的直径，⊙Ｏ的半径ＯＣ交
⊙Ｏ１于点Ｂ，问
)
ＡＢ与
)
ＡＣ的长度之间有什么关系？
３．如图，在Ｒｔ
ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝１，将
Ｒｔ
ＡＢＣ绕点Ａ按逆时针方向旋转３０°后得到Ｒｔ
ＡＤＥ，点
Ｂ经过的路径为
)
ＢＤ，求橘红色部分的面积．
（第３题）
（第４题）
４．已知：如图，以Ｒｔ
ＡＢＣ各边为直径的三个半圆．
求证：所围成的橘红色部分面积等于Ｒｔ
ＡＢＣ的面积．
５．如图，三角形和四边形的边长都大于２．现在以它们的顶点为圆心、１为半径画弧
与两邻边相交，在三角形内有三段弧，在四边形内有四段弧，求每个图形中各段弧
长之和．如在ｎ边形内也像上面一样做，这时ｎ边形的各段弧长之和为多少？
（第５题）
（第６题）
６．如图，一折扇完全打开后，若外侧两竹片ＡＢ，ＡＣ的夹角为１２０°，ＡＢ长为２５ｃｍ，
贴纸部分ＢＤ长为１４ｃｍ，则贴纸部分的面积（双面）为多少？
５８
第２４章 圆
（第７题）
７．如图，为测量某个圆形人工湖的半径，在湖边Ａ，Ｂ，Ｃ三点竖立
标杆，并测量出∠ＣＡＢ＝７．５°，
)
ＢＣ＝３９２．５ｍ，试求该圆形人工
湖的半径．
圆周率π
圆的周长和直径的比值———圆周率，是一个无限不循环小
数，即无理数．不断地用有理数来逼近它，以求得更精确的圆周率
成为古代数学的一个热门课题．
我国古代有“径一周三”的说法，实际上，３∶１仅是圆内接正
六边形的周长与圆的直径之比，而非圆的周长与直径之比，因此
以３为圆周率的误差很大．
我国魏晋时代的数学家刘徽用割圆术作为计算圆周率的
基础，他从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐
次得到的正多边形的周长和面积，由此来计算圆周率的近似
值．刘徽发现在圆内接正多边形边数加倍的过程中，“割之弥
细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无
所失矣”．也就是说，当边数成倍增加地进行分割时，被分割的
圆弧和所对应的正多边形的边就越来越短（这就是“割之弥
细”），于是圆内接正多边形的面积与圆面积之差也就越来越
小（这就是“所失弥少”）．按照这种方法，如果分割次数无限增
加时，则正多边形趋于与圆重合，“而无所失矣”，相应地所算
出的圆周率的近似值也越来越接近于π 的精确值．刘徽取半
径为１尺（１尺＝０．３
·
ｍ），从圆内接正六边形出发，一直计算
到圆内接正１９２边形，得出了圆周率精确到小数点后两位的近
似值π ＝１５７
５０＝３．１４，并指出这是一个不足近似值，后人通常称
５９
２４．７ 弧长与扇形面积
之为“徽率”．
在刘徽之后２００年，即南北朝时期，伟大的数学家、天文学家
祖冲之（４２９—５００），也致力于圆周率的研究，获得两项成果：
（１）圆周率的小数近似值
３．１４１５９２６＜π ＜３．１４１５９２７；
（２）圆周率的近似分数
密率π ＝３５５
１１３，约率π ＝２２
７．
上述（１）中的π 具有８位准确数字，并由不足与过剩两方面
作了逼近．这项成果直到１４２７年才被阿拉伯学者卡西（ａｌＫａｓｈｉ）
超过．
密率是π 的一个具有特殊性质的近似分数，这一分数在西方
是由德国人奥托（Ｖ．Ｏｔｔｏ）于１５７３年得出的．可见，祖冲之的这
两大成果在世界上均保持领先地位１０００年，为了纪念他，现在把
３５５
１１３称为“祖率”．
计算机问世后，圆周率的计算有了重大进展．２００２年底，日本
东京大学宣布，他们应用超级计算机计算的π 已精确到了小数点
后１２４１１亿位．
计算π 数值的计算机竞赛可以看成人类探索π 奥秘的一种
智力竞争，它的计算过程本身也成了检验计算机运算性能（包括
计算方法）的一种标准．
设计图案（二）
前面，我们学习了利用几何变换来设计几何图
案．现在再学习通过等分圆周的办法来设计几何
图案．
（１）以正多边形为基础的图案例子．
①如图２４
６９．
祖冲之
图 ２４
６８
６０
第２４章 圆
图 ２４
６９
②如图２４
７０，在将圆６等分的基础上，作出
)
ＰＲ的
中点Ｑ，再用圆规从点Ｑ开始作出圆的６个等分点，将
圆１２等分．然后每隔４点连线得正三角形，这样可作出
许多正三角形，即得到一种图案．
图 ２４
７０
（２）观察图２４
７１中的图案，并仿制其中一个．
图 ２４
７１
（３）自己设计并绘制出一个与正多边形有关的图案．
６１
２４．７ 弧长与扇形面积
某学习小组在探索“各角相等的圆内接多边形一定是正多
边形”这个命题是否成立时，进行了一些讨论．甲同学举出了圆
内接矩形；乙同学举出了如图２４
７２（１）中的六边形，因为
ＡＢＣ是正三角形，
)
)
)
ＡＤ＝ＢＥ＝ＣＦ，这样得到的六边形ＡＤＢＥＣＦ
的各内角相等．
甲、乙两同学通过反例，说明了当边数是４，６时，这个命题
不成立，那么对于哪些边数这个命题成立呢？丙同学由边数是
３时，这个命题成立，进而猜想：当边数是５时，这个命题仍
成立．
（１）你认为丙同学猜想的命题成立吗？
（２）证明：各角相等的圆内接五边形一定是正五边形，如
图２４
７２（２）；
（３）根据以上探索过程，提出你的进一步猜想．
图 ２４
７２
６２
第２４章 圆
２４．８综合与实践
进球线路与最佳射门角
足球运动员在球场上，常需带球跑动到一定位置后，再
进行射门，这个位置为射门点，射门点与球门边框两端点的
夹角就是射门角．如图２４
７３，如果点Ａ，Ｂ表示球门边框
（不考虑球门的高度）的两端点，点Ｃ表示射门点，连接ＡＣ，
ＢＣ，则∠ＡＣＢ就是射门角．在不考虑其他因素的情况下，一
般地，射门角越大，射门进球的可能性就越大．
图２４
７４是运动员带球跑动的三种常见线路（用直线ｌ
表示），了解跑动线路中射门角的变化，把握最佳射门点，无
疑是有助于提高运动员进球成功率的．
图 ２４
７４
下面对运动员横向跑动时的情况进行研究．
如图２４
７５，直线ｌ与球门ＡＢ平行，点Ｃ表示运动员
的位置，当点Ｃ在直线ｌ上由左边（或右边）逐渐向球门的中
心靠近时，∠ＡＣＢ逐渐增大．
根据对称性可知，当点Ｃ在直线ｌ上移动到离球门中心
最近的位置，即线段ＡＢ的垂直平分线与直线ｌ的交点Ｃ０
时，∠ＡＣ０Ｂ最大．
图 ２４
７３
６３
２４．８ 综合与实践 进球线路与最佳射门角
图 ２４
７５
图 ２４
７６
现在，我们来证明点Ｃ在直线ｌ上移动时，∠ＡＣＢ的最
大值为∠ＡＣ０Ｂ．
如图２４
７６，过Ａ，Ｂ，Ｃ０三点作⊙Ｏ，由于ＡＢ∥ｌ，
ＡＣ０＝ＢＣ０，易知⊙Ｏ与直线ｌ相切于点Ｃ０，在直线ｌ上另
取点Ｃ１（不同于点Ｃ０），连接ＡＣ１和ＢＣ１，ＢＣ１与⊙Ｏ交于
点Ｄ．则
∠ＡＤＢ＝∠ＡＣ０Ｂ．
∵
∠ＡＤＢ＞∠ＡＣ１Ｂ，
∴
∠ＡＣ０Ｂ＞∠ＡＣ１Ｂ．
即点Ｃ在直线ｌ上移动时，∠ＡＣＢ的最大值为∠ＡＣ０Ｂ．
在图２４
７６中，当直线ｌ向上平移到直线ｌ′时，Ｃ０→
Ｃ２，∠ＡＣ０Ｂ→∠ＡＣ２Ｂ，且有∠ＡＣ２Ｂ＞∠ＡＣ０Ｂ．
由此可知，当运动员沿直线ｌ横向跑动时，他的位置离
球门的中心越近，射门角越大，离球门的中心最近（点Ｃ０）
时，射门角最大，我们把点Ｃ０称为直线ｌ上的最佳射门点，
∠ＡＣ０Ｂ称为直线ｌ上的最佳射门角．
最佳射门角的大小与直线ｌ到ＡＢ的距离有关，由图
２４
７６知，当直线ｌ与ＡＢ的距离越近，最佳射门角就越
大，射门进球的可能性也就越大，这与我们踢足球的经验
相吻合．
事实上，在上面的证明过程中，我们还可得到如下的
结论：
如果⊙Ｏ过点Ａ，Ｂ，而直线ＡＢ同侧的三点Ｃ１，Ｃ０，Ｃ２
分别在⊙Ｏ外，⊙Ｏ上和⊙Ｏ内，则有
６４
第２４章 圆
∠ＡＣ１Ｂ＜∠ＡＣ０Ｂ＜∠ＡＣ２Ｂ．
简单地说，在弦的同侧，同弦所对的圆外角α、圆周角β
和圆内角θ的大小关系为
α ＜β ＜θ．
问题? 如图２４
７７，当运动员直向跑动时，球门ＡＢ
与直线ｌ垂直，点Ｃ是运动员的位置．
（１）作出过Ａ，Ｂ，Ｃ三点的圆，猜想当点Ｃ在直线ｌ上
移动时，直线ｌ与该圆的位置关系；
（２）当直线ｌ与该圆有怎样的位置关系时，∠ＡＣＢ是直
线ｌ上的最佳射门角；
（３）已知ＡＢ＝ｍ，ＢＤ＝ｎ，当点Ｃ是直线ｌ上的最佳
射门点时，求ＣＤ的长；
（４）向左平移直线ｌ到直线ｌ′，观察直线ｌ上的最佳射
门角与直线ｌ′上的最佳射门角之间的大小关系，写出你的
结论．
问题? 如图２４
７８，当运动员直向跑动时，直线ｌ垂
直穿过球门ＡＢ，点Ｃ是运动员的位置．
（１）∠ＡＣＢ的大小是怎样变化的？
（２）直线ｌ上还有没有最佳射门点？说明你的理由．
问题? 对运动员斜向跑动时进行相关探究，或自选一
个问题进行探究．
问题? 与同学合作，将探究的结果写成小论文，并检
验你得到的结论是否与足球运动的实际相符合．
图 ２４
７７
有条件的同
学可用《几何画
板》进行探究．
图 ２４
７８
６５
小结·评价
一、内容整理
二、主要知识回顾
１．在平面内，一个图形
叫做旋转．旋转是由
，
和 所确定．
２．圆是轴对称图形，如何根据它得到垂径定理？
３．旋转对称图形具有怎样的特点，举几个实例．
４．圆是旋转对称图形，如何根据它得到弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系？
５．根据什么条件可以确定圆？
６．与圆有关的角
（１）顶点在 的角叫做圆心角．
６６
第２４章 圆
（２）顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做 ，
它的度数等于同弧上圆心角的 ．
７．点与圆、直线与圆位置关系
（１）点Ｐ与半径为ｒ的⊙Ｏ，设ＯＰ＝ｄ．
点Ｐ在⊙Ｏ外
ｄ＞ｒ；
点Ｐ在⊙Ｏ上
；
点Ｐ在⊙Ｏ内
．
（２）直线ｌ与半径为ｒ的⊙Ｏ，设点Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ．
直线ｌ与⊙Ｏ相离
；
直线ｌ与⊙Ｏ相切
；
ｄ＜ｒ．
切线性质 圆的切线 经过切点的半径．
切线判定定理 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线长定理 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这
一点的连线平分两条切线的夹角．
８．三角形与圆的关系
三角形有且仅有一个外接圆和 ，它们的圆心分别叫做三角形的
和内心．
９．正多边形与圆
圆的内接或外切正多边形．
正多边形的计算．
１０．弧长与扇形面积的计算．
三、自评与互评
１．你学过哪些几何变换？请总结一下它们各自的性质．
２．平移、旋转、轴对称这三种变换与相似变换有什么不同的地方？
３．圆的本质特征是什么？
４．圆既是轴对称图形又是旋转对称图形，并且有无数条对称轴，旋转角
可为任一个角度，它的许多性质都可以由它的对称性推出．在学习和理解
“圆”这一章内容时，一定要注意圆的对称性．
５．从本章用反证法证明的例、习题中，你能体会反证法的意义吗？请举
出日常生活中用反证法说理的例子．
６７
小结·评价
１．仔细观察下列镶边图案：
（１）每幅镶边图案具有什么特征？
（２）说出每幅镶边图案的变换名称并加以解释．
（第１题）
２．已知：⊙Ｏ的半径为２，点Ｐ在⊙Ｏ上，该平面上另有一点Ｑ，ＰＱ为２．画出图形，标
注点Ｑ可能的位置．
３．如图，把Ｒｔ
ＡＢＣ的斜边ＡＢ放在直线ｌ上，按顺时针方向在ｌ上转动两次，使它
转到
Ａ″Ｂ″Ｃ″的位置．若ＢＣ＝１，ＡＣ＝槡３，则当点Ａ转动到点Ａ″的位置时，求点Ａ
两次转动所经过的路程．
（第３题）
（第４题）
（第５题）
４．如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ所对劣弧为圆的１
３，圆半径为２ｃｍ，求
ＡＢ的长及∠ＡＯＢ的大小．
５．如图，在⊙Ｏ中，如果
)
)
ＡＢ＝ＢＣ，ＯＤ，ＯＥ是弦心距，且ＯＤ＝ＯＥ，
那么
ＡＢＣ是什么三角形，为什么？
６８
第２４章 圆
６．已知：⊙Ｏ的半径为５，点Ａ到圆心Ｏ的距离ＯＡ为３，求过点Ａ最短的弦长．
７．已知：两弦ＡＢ和ＣＤ相交于圆内的一点Ｐ，并且两弦夹角被经过点Ｐ的直径平分．
求证：ＡＢ＝ＣＤ．
８．已知：在⊙Ｏ中，弦ＡＢ的长是半径ＯＡ的槡３倍，点Ｃ是
)
ＡＢ的中点，问四边形ＯＡＣＢ
是什么图形，为什么？
９．如图，ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ是⊙Ｏ的三条弦，ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，问
ＡＣＥ与
ＢＤＦ有什么关
系，为什么？
（第９题）
（第１０题）
１０．如图，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，Ｃ，Ｄ是半圆上两点，且ＡＣ＝ＣＤ＝ＤＢ，ＡＢ＝１０ｃｍ．
（１）求ＡＣ的长度；
（２）证明ＣＤ∥ＡＢ．
１１．已知：如图，ＡＤ是
ＡＢＣ的高，ＡＥ是
ＡＢＣ的外接圆直径．
求证：ＡＢ·ＡＣ＝ＡＥ·ＡＤ．
（第１１题）
（第１２题）
（第１３题）
１２．如图，花园围墙上有一宽为１ｍ的矩形门ＡＢＣＤ，量得门框对角线ＡＣ的长为
２ｍ．现准备打掉部分墙体，使其变为以ＡＣ为直径的圆弧形门，问要打掉墙体的
面积是多少？（π≈３．１４，槡３≈１．７３）
１３．已知：如图，ＡＤ是∠ＥＡＣ的平分线，ＡＤ与
ＡＢＣ的外接圆交于点Ｄ．
求证：ＤＢ＝ＤＣ．
６９
小结·评价
１４．已知：如图，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，点Ｃ在⊙Ｏ上，ＡＤ与过点Ｃ的切线垂直，垂足
为Ｄ．
求证：ＡＣ平分∠ＤＡＢ．
（第１４题）
（第１５题）
１５．如图，在
ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，Ｏ是ＢＣ边上的一点，以点Ｏ为圆心的半圆分别与
边ＡＢ，ＡＣ相切于点Ｄ，Ｅ，连接ＯＤ．已知ＢＤ＝２，ＡＤ＝３，求橘红色部分的面积．
１６．已知：过⊙Ｏ外的定点Ｐ作⊙Ｏ的两条切线，分别切⊙Ｏ于点Ａ，Ｂ．在劣弧
)
ＡＢ上
任取一点Ｃ，经过点Ｃ作⊙Ｏ的切线，分别交ＰＡ，ＰＢ于点Ｄ，Ｅ．
求证：
（１）
ＰＤＥ的周长是定值（ＰＡ＋ＰＢ）；
（２）∠ＤＯＥ的大小是定值
１
２∠
(
)
ＡＯＢ．
１７．如图是正四边形、正五边形、正六边形，试分别计算其相邻两条对角线的夹角α４、
α５、α６，并探究正ｎ边形相邻两条对角线的夹角存在什么规律．
（第１７题）
１．如图是４个全等的图形．
７０
第２４章 圆
（第１题）
（１）将Ｓ变换为Ｓ２、将Ｓ变换为Ｓ３分别是什么变换？
如果是旋转，找出旋转中心，并量一下旋转角的
度数；
（２）Ｓ到Ｓ１、Ｓ２到Ｓ３各是什么变换？如果是旋转，找
出旋转中心；如果是轴对称，找出对称轴；如果是
平移，求平移方向及距离．
２．在平面直角坐标系中，有两个正方形ＡＢＣＤ和ＰＱＲＳ，顶点分别为Ａ（－３，１），
Ｂ（１，１），Ｃ（１，－３），Ｄ（－３，－３）与Ｐ（－１，３），Ｑ（３，３），Ｒ（３，－１），
Ｓ（－１，－１），试在方格纸上画出它们，并完成下列要求：
（１）找出旋转中心和旋转角度，使正方形ＡＢＣＤ变换成正方形ＱＲＳＰ；正方形
ＡＢＣＤ变换成正方形ＳＰＱＲ；正方形ＡＢＣＤ变换成正方形ＲＳＰＱ；
（２）在（１）中，两个正方形是否成轴对称？如是，找出其对称轴；
（３）什么变换可以使正方形ＡＢＣＤ变换成正方形ＰＱＲＳ？
３．已知：在两个同心圆中，大圆的弦ＡＢ，ＡＣ分别与小圆相切于点Ｄ，Ｅ．
求证：ＤＥ∥ＢＣ，且ＤＥ＝１
２ＢＣ．
（第４题）
４．已知：如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＣＤ是弦，ＡＥ，ＢＦ垂直于ＤＣ
的延长线，垂足分别为Ｅ，Ｆ．
求证：ＥＣ＝ＤＦ．
５．证明：以等腰三角形的一腰为直径的圆平分底边．
６．如图，Ｐ，Ｃ是以ＡＢ为直径的半圆上的两点，
)
ＰＣ所对的圆心角为９０°．连接ＰＢ，ＡＣ
交于点Ｍ，试分别比较ＭＣ与ＢＣ、ＭＰ与ＡＰ的大小，问∠ＢＭＣ为多大？
（第６题）
（第７题）
７．如图，在
ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，点Ｏ在ＡＢ上，以点Ｏ为圆心、ＯＢ为半径的圆与
ＡＢ交于点Ｅ，与ＡＣ相切于点Ｄ，ＡＤ＝２，ＡＥ＝１，求ＣＤ的长．
７１
小结·评价
８．如图，四边形ＡＢＣＤ是边长为ａ的正方形，分别以点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ为圆心、ａ为半径
作弧，相互交于点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，求橘红色部分的周长．
（第８题）
（第９题）
（第１０题）
９．如图，一个边长为４的大正方形被分成４个全等的小正方形，橘红色部分由３段
圆弧围成，大圆弧半径是４，两个小圆弧半径是２，求橘红色部分的面积．
１０．如图，圆半径为Ｒ，分别以圆上３等分点为圆心、Ｒ为半径在圆内作弧，求橘红色
部分的面积．
（第１题）
１．已知：在如图的⊙Ｏ中，弦ＡＢ是圆内接正六边形的一边，弦ＡＣ
是圆内接正十边形的一边．
求证：ＢＣ是圆内接正十五边形的一边．
２．求边长为ａ的正五边形对角线的长．
３．已知：正十边形外接圆的半径为Ｒ．
求证：正十边形的边长ａ１０＝１
２（槡５－１）Ｒ．
４．已知：过点Ｐ作一直线与半径为Ｒ的⊙Ｏ相交于Ａ，Ｂ两点．
求证：ＰＡ·ＰＢ＝｜Ｒ２－ＯＰ２｜．
５．三人各带一根长１００ｍ的绳子在荒滩上围地开垦，甲围成正三角形，乙围成正方
形，丙围成圆，问三人中谁围的地面积最大？
７２
第２５章 投影与视图
投影与视图
２５．１ 投影
２５．２ 三视图
EFGHI4*J3>KLMNO，PQGHI4*
RS2T-UVWXYZ[N2\]^_`*a？
!"#$%&'78)9:，;<=78>?@:A
BC．
７３
２５．１ 投 影
２５．１投 影
在七年级上册４．１节“几何图形”中，我们已知道几何图
形分平面图形与立体图形，初中几何的重点是学习平面图
形．本章我们将学习如何根据投影原理来认识平面图形与立
体图形的关系．
１．平行投影与中心投影
一个物体放在阳光下或者灯光前，就会在地面上或者墙
面上留下它的影子，这个影子称为物体的投影．投影从某个
侧面反映出这个物体的形状．
图 ２５
１
如图２５
１（１），在阳光下，房屋的影子是房屋在地面上
的投影，地面是投影面，光线是投射线．由于太阳的光线可看
作是平行的，我们称这种由平行的光线所形成的投影为平行
投影（ｐａｒａｌｌｅｌｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ）．
如图２５
１（２），在灯光前，将两手交叉握紧，墙面上就
会出现影子，它是手的造型在墙面上的投影，墙面是投影面，
光线是投射线．由于灯光的光线可看作是从一点发出的，我
７４
第２５章 投影与视图
们称这种由一点（点光源）发出的光线所形成的投影为中心
投影（ｃｅｎｔｅｒｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ）．
１．如图２５
２（１），直线ｌ１上的三点Ａ，Ｂ，Ｃ被平
行投影到直线ｌ２上，对应的点为Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，问对应点
的连线之间有怎样的位置关系？
２．如图２５
２（２），直线ｌ１上的三点Ａ，Ｂ，Ｃ被中
心投影到直线ｌ２上，对应的点为Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，问对应点
的连线之间又有怎样的位置关系？
图 ２５
２
１．下列两幅图中的投影是平行投影还是中心投影，为什么？
（第１题）
你还见过哪
些平行投影和中
心投影的现象
呢？
７５
２５．１ 投 影
（第２题）
２．如图是在同一时刻的阳光照射下，操场边一棵树ＡＣ
和旁边一根竹竿Ａ１Ｃ１以及它们的影子ＣＢ，Ｃ１Ｂ１的示
意图．问
ＡＢＣ与
Ａ１Ｂ１Ｃ１有什么关系，为什么？
３．如图，树Ａ，Ｂ与一盏路灯位于同一条直线上，并分别
在该路灯两旁．图中只画出了树Ａ，Ｂ在路灯照射下
的影子，但没有画出路灯．
（１）你能画出路灯吗？
（２）两棵树分别与各自影子构成的两个直角三角形
相似吗？
（第３题）
４．举出一些生活中平行投影与中心投影的例子．
２．正投影
在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投
影称为正投影．
在正投影下，图形的投影有什么规律呢？
（１）线段的正投影
如图２５
３，用一束平行光线垂直于水平桌面，
照射一支铅笔（看作线段ＡＢ），改变铅笔的位置，观
察它在桌面（看作投影面Ｈ）上投影的形状与大小，
７６
第２５章 投影与视图
你能发现线段正投影的规律吗？
图 ２５
３
设线段ＡＢ的端点Ａ，Ｂ在投影面Ｈ上的投影为点
Ａ′，Ｂ′，线段Ａ′Ｂ′就是线段ＡＢ在投影面Ｈ上的投影．
当线段ＡＢ平行于投影面Ｈ时，Ａ′Ｂ′ ＝ＡＢ；
当线段ＡＢ倾斜于投影面Ｈ时，Ａ′Ｂ′ ＜ＡＢ；
当线段ＡＢ垂直于投影面Ｈ时，Ａ′Ｂ′ ＝０（此时点Ａ′与
点Ｂ′重合，点Ａ′或点Ｂ′就是ＡＢ在投影面Ｈ上的投影）．
一般地，线段正投影有如下的规律：
平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点．
（２）平面图形的正投影
如图２５
４，把一块矩形纸板（矩形ＡＢＣＤ）
放在正午的阳光下，变换纸板的位置，观察它在
水平地面（看作投影面Ｈ）上投影的形状与大
小．你能根据线段正投影的规律，发现矩形
ＡＢＣＤ正投影的规律吗？
７７
２５．１ 投 影
图 ２５
４
设矩形ＡＢＣＤ的顶点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在投影面Ｈ上的投影
为点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′，四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′就是矩形ＡＢＣＤ在投影
面Ｈ上的投影．
当矩形ＡＢＣＤ平行于投影面Ｈ时，四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′ 矩
形ＡＢＣＤ；
当矩形ＡＢＣＤ倾斜于投影面Ｈ时，四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的大
小、形状相对于矩形ＡＢＣＤ已有改变；
当矩形ＡＢＣＤ垂直于投影面Ｈ时，四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′变为
线段Ｄ′Ｃ′（或Ａ′Ｂ′）．
一般地，平面图形正投影有如下的规律：
平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段．
（３）几何体的正投影
如图２５
５，你能根据平面图形正投影的规律，
说出长方体ＡＢＣＤ
Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１在投影面Ｈ上的正
投影是什么图形吗？
矩形ＡＢＣＤ
的位置变化时，
它的各边在投
影面Ｈ上的投
影会是什么
图形？
７８
第２５章 投影与视图
图 ２５
５
由于长方体的两个底面都平行于投影面Ｈ，因而它们在
投影面Ｈ上的正投影都是矩形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′．
由于长方体的四个侧面都垂直于投影面Ｈ，因而它
们在投影面Ｈ上的正投影分别是线段Ａ′ Ｂ′，Ｂ′ Ｃ′，
Ｃ′Ｄ′，Ｄ′Ａ′．
由此可知，长方体在投影面Ｈ上的正投影就是矩形
Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′．
一般地，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面
图形．
一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的
视图（ｖｉｅｗ）．
１．把两支铅笔捆在一起成交叉状，再拿一块矩形纸板，在正午的阳光下，查看它们在地
面上投影的各种可能情况（分别改变交叉铅笔、矩形纸板与地面的不同倾斜程度）．
２．如果圆柱、圆锥的底面与投影面平行，那么它们的正投影分别是什么图形？球的正投
影呢？
７９
２５．１ 投 影
习题２５．１
１．一块圆形铁片，它的正投影一定是圆吗？什么时候一定是圆？
２．如果一个几何体在一个投影面上的正投影是矩形，那么这个几何体一定是长方体
吗？举例说明．
８０
第２５章 投影与视图
２５．２三视图
只看到几何体的一个视图，就能够准确地刻画
这个几何体的形状与大小吗？如果已知一个几何体
在水平面上的视图是圆，你能断定这个几何体是球
吗？为什么？
要想清楚地刻画一个几何体的形状与大小，通常需要画
出它在三个互相垂直的投影面（例如墙角的三个面）上的正
投影（视图）．如图２５
６（１），其中正对着我们的面叫做正
面，下方的面叫做水平面，右边的面叫做侧面．
图 ２５
６
自几何体的前方向后投射，在正面投影面Ｖ上得到的
８１
２５．２ 三视图
视图称为主视图；自几何体的上方向下投射，在水平投影面
Ｈ上得到的视图称为俯视图；自几何体的左侧向右投射，在
侧面投影面Ｗ上得到的视图称为左视图．主视图、俯视图和
左视图就组成了三视图．
如图２５
６（２），三视图可画在同一个平面上，其位置以
主视图为基准，俯视图画在主视图的正下方，左视图画在主
视图的正右方．
一个几何体的三个视图分别从不同方向反映了一个几
何体的形状与大小，主视图反映几何体的长与高，俯视图反
映几何体的长与宽，左视图反映几何体的高与宽．因此，三视
图能较全面地反映几何体的形状与大小．
三视图的画法必须符合以下规律：
（１）主视图的长与俯视图的长对正；
（２）主视图的高与左视图的高平齐；
（３）俯视图的宽与左视图的宽相等．
可简述为：长对正，高平齐，宽相等．
例１ 画出图２５
７（１）中几何体的三视图：
图 ２５
７
作法
１．在图２５
７（２）中，先画互相垂直的辅助线ＸＹ′，ＺＹ
（用铅笔画，图画好后可擦去）．
８２
第２５章 投影与视图
２．确定主视图的位置，画出主视图．
３．根据“长对正”与几何体宽度画出俯视图．
４．根据“高平齐”与“宽相等”画出左视图（宽相等，可
通过点Ｏ为中心旋转画出）．
５．擦去辅助线．
要注意看不见的轮廓线应画成虚线．
图２５
８（１）是与图２５
８（２）中几何体对应的三视
图，根据这个三视图，你能说说这种几何体的特点吗？
图 ２５
８
如图２５
８（２）这样的几何体叫做棱柱，它的上、下两个
面叫做底面（ＡＢＣ、Ａ１Ｂ１Ｃ１互相平行且是全等的三角
形），其余各面叫做侧面，相邻侧面的交线叫做侧棱（各侧棱
ＡＡ１，ＢＢ１，ＣＣ１平行且相等）．
根据棱柱底面多边形的边数，我们依次称棱柱为三棱
柱、四棱柱、五棱柱……当侧棱垂直于底面时，棱柱称为直
棱柱，直棱柱的各个侧面都是矩形．
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，图２５
８（２）中
几何体叫做正三棱柱．
８３
２５．２ 三视图
图 ２５
９
例２ 某工厂要加工一批正六棱柱形状的
食品盒，其三视图如图２５
９（单位：ｃｍ）．问制
作这样一个食品盒所需要硬纸板的面积至少为
多少？（精确到１ｃｍ２）
解 这个正六棱柱形状的食品盒有六个侧
面（都是矩形）和两个底面（都是正六边形），因
此制作这样一个食品盒所需要硬纸板的面积至
少为
Ｓ＝６× １０× ３６＋２× ６×槡３
４× １０２
＝２１６０＋
槡
３００３
≈２６８０（ｃｍ２）．
答：制作这样一个食品盒所需要硬纸板的面积至少为
２６８０ｃｍ２．
（第１题）
１．如图是一些几何体的展开图，请在展开图的下方写出几何体的名称：
２．找出与下列几何体对应的三视图，在三视图的下方填上对应的几何体序号．
８４
第２５章 投影与视图
（第２题）
（第３题）
（第４题）
３．添线补全下列三视图．
４．画出下列几何体的三视图（单位：ｍｍ）．
８５
２５．２ 三视图
图２５
１０是两套不同户型的房屋平面图，从中你能得到哪些信息？请列出２～３
个数据，并说明你是如何得出数据的．
图 ２５
１０
习题２５．２
１．画出下列几何体在箭头指定方向上的视图（单位：ｍｍ）．
（第１题）
８６
第２５章 投影与视图
２．下面是空心圆柱的主视图与俯视图，其中正确的是（
）．
（第２题）
（第３题）
３．如图是由７个完全一样的小正方体搭成的几何体的俯视图，其
中小正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数．请你画
出该几何体的主视图、左视图．
一、内容整理
二、主要知识回顾
１．什么是平行投影，什么是中心投影？
８７
小结·评价
２．投射线垂直于投影面的平行投影叫做 投影．一个几何体在一
个平面上的 投影叫做这个几何体的视图．
３．在画一个几何体的三视图时应该遵循的投影规律是 ，
， ．
４．直棱柱的两个底面 ，各个侧面都是 ，各侧
棱 ，底面是 的直棱柱叫做正棱柱．
三、自评与互评
１．举例说明生活中有哪些投影是平行投影，有哪些投影是中心投影？
２．为什么三视图能够刻画一个几何体的形状与大小？与同学交流你的
看法．
３．三视图被广泛应用于加工业、建筑业等图纸设计上，你是否见到过
有关的图纸？请到工厂或建筑单位去看一看零件图纸或建筑图纸，以增
加实际知识．
１．找出与下列几何体对应的三视图，在三视图的下方填上对应的几何体序号．
８８
第２５章 投影与视图
（第１题）
２．添线补全下列三视图．
（第２题）
３．下列视图有没有错误，请改正．
（第３题）
４．根据所给的主视图和俯视图，画出对应的左视图．
（第４题）
８９
小结·评价
１．如图，实线部分是从正方体中切割出来的几何体，画出它的三视图（单位：ｍｍ）．
（第１题）
（第２题）
２．画出图中物体的三视图（单位：ｍｍ）．
（第１题）
１．如图是一个长方体ＡＢＣＤ
Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，它的长、宽、
高分别为ａ，ｂ，ｃ，且ａ＞ｂ＞ｃ．现有一只蜘蛛，在长方
体的表面上从点Ａ爬到点Ｃ１．问蜘蛛应选择怎样的
路径可使爬过的路程最短，最短路程是多少？
２．有Ａ，Ｂ，Ｃ三个水池，它们各有一个出水口分别是圆
形（直径为ａ）、正方形（边长为ａ）、等腰三角形（底边
与底边上的高均为ａ）．你能不能只做一个塞子，可塞住上述三个水池中的任一
个出水口．请用萝卜（或红薯、黄泥）做出模型，并画出它的视图．
９０
第２６章 概率初步
概率初步
２６．１ 随机事件
２６．２ 等可能情形下的
概率计算
２６．３ 用频率估计概率
２６．４ 综合与实践 概率
在遗传学中的应用
b%cdefghi，jfgLhi；k%lmn，f
gopq[，jfgopr[．s6^*tGu4vwL
x，yz67u4{|*fg}u~L#$，\Çü{
|*fg}\éA%$*âäa？
!"#$%&'DEFG)HI，JKLMNOPQ
DEFGRS)HT./HT)UJV56．
９１
２６．１ 随机事件
２６．１随机事件
如图２６
１，重复抛掷一枚各面上点数分别是
１，２，３，４，５，６的均匀骰子，记录每次抛掷后骰子
向上一面的点数，回答以下问题：
（１）可能出现哪些点数？
（２）出现的点数小于７吗？
（３）出现的点数会是８吗？
（４）抛掷一次，出现的点数会是６吗？
从抛掷结果可以发现：
（１）每次抛掷的结果不一定相同，可能出现的点数共有
６种，分别是１，２，３，４，５，６；
（２）出现的点数一定小于７；
（３）出现的点数一定不是８；
（４）抛掷一次，出现的点数可能是６，也可能不是６，无
法预先确定．
在上面的问题中，把抛掷骰子一次看作是一次试验．在
每次试验中，可以事先知道其一定会发生的事件叫做必然事
件（ｃｅｒｔａｉｎｅｖｅｎｔ），一定不会发生的事件叫做不可能事件
（ｉｍｐｏｓｓｉｂｌｅｅｖｅｎｔ）．根据骰子的构造，在试验前，我们就可以
知道“点数小于７”，且“点数一定不是８”．因此，点数小于７
的事件是必然事件，点数是８的事件是不可能事件．必然事
图 ２６
１
９２
第２６章 概率初步
件和不可能事件统称为确定性事件．
抛掷骰子一次，点数是６可能发生也可能不发生，不能
事先确定，像这样无法事先确定在一次试验中会不会发生的
事件叫做随机事件（ｒａｎｄｏｍｅｖｅｎｔ）．买一注彩票中大奖、掷
一枚均匀硬币时正面向上等都是随机事件．
确定性事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母
Ａ，Ｂ，Ｃ，…表示．
例 判断下列事件是必然事件、不可能事件还是随机
事件：
（１）乘公交车到十字路口，遇到红灯；
（２）把铁块扔到水中，铁块浮起；
（３）任选１３个人，至少有两人的出生月份相同；
（４）明天从上海到北京的首班复兴号动车组列车正
点到达北京．
解 （３）是必然事件；（２）是不可能事件；（１）（４）是随
机事件．
请你举出一些必然事件、不可能事件和随机事
件的实例．
对于随机事件，虽然它们发生的可能性（即机会）事先
不确定，但是它们发生的可能性是否有一定的规律呢？对
此人们十分关注．如在抛硬币的试验中，正面向上和反面
向上的机会一样吗？在掷骰子的试验中，点数是偶数的可
能性比点数是１的可能性大吗？
抛掷一枚均匀的硬币一次，落地时这枚硬币朝向的结果
有两种可能：正面向上或反面向上．由于硬币是均匀的，出
现正面向上或反面向上的可能性是完全相等的（各占一
９３
２６．１ 随机事件
半），所以，我们用１
２（或０．５）来表示出现正面向上或反面向
上的可能性的大小．
一般地，表示一个随机事件Ａ发生的可能性大小的数，
叫做这个事件发生的概率（ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ），记作Ｐ（Ａ）．如抛掷
一枚均匀的硬币一次，出现正面向上的概率是１
２，用符号表
示就是Ｐ（正面）＝１
２．
［第２（３）题］
１．在下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（１）打开电视，正在播放天气预报；
（２）同时抛掷１０枚均匀的硬币，落地时正面都向上；
（３）水在１个标准大气压下、温度为－１℃时结冰；
（４）在全是白球的袋中任意摸出１个球，结果是黑球．
２．比较下列随机事件发生的可能性的大小：
（１）抛掷一枚各面上点数分别是１，２，…，６的均匀骰子一次，向
上一面的点数是奇数或是偶数；
（２）从你班上任选１名学生，选出的是男生或是女生；
（３）如图，转动转盘，指针落在蓝色区域内或指针落在白色区
域内；
（４）从一副扑克牌中任意抽取１张，抽到红桃或抽到方块．
习题２６．１
１．在下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（１）明天是晴天；
（２）射击一次，子弹中靶；
９４
第２６章 概率初步
（３）在面值为１元、２元、５元的三张人民币中任取两张，面值之和小于８元；
（４）买一注彩票末位数字是８．
２．１３张扑克牌中有４张红桃、７张黑桃和２张方块，从中任意抽取１张，抽到哪种花
色牌的可能性最大，哪种花色牌的可能性最小？
３．某社区拟分别以“教育强国、科技强国、人才强国、文化强国、体育强国、健康中国”
六个主题进行板报设计大赛．规定：以家庭为单位参赛，其中“教育强国、科技强
国、人才强国”为科教类，“文化强国、体育强国”为文体类．明明家决定从这六个
主题中抽签确定参赛主题．
（１）抽中“健康中国”的可能性是多少？
（２）抽中科教类、文体类的可能性一样吗？
９５
２６．２ 等可能情形下的概率计算
２６．２等可能情形下的概率计算
抛掷一枚均匀的硬币一次，向上一面只有正面或反面两
种不同的可能结果，而且两种结果出现的可能性相等．
抛掷一枚均匀的骰子一次，向上一面只有１，２，…，６点６
种不同的可能结果，而且６种结果出现的可能性相等．
在上述抛掷硬币、抛掷骰子的试验中，有如下两个共同
的特点：
（１）所有可能出现的不同结果是有限个；
（２）各种不同结果出现的可能性相等．
对于具有上述特点的试验，我们可以通过列举所有可能
的结果，具体分析后得出随机事件的概率．
下面来看例子．
例１ 袋中有３个球，２红１白，除颜色外，其余如材料、
大小、质量等完全相同，随意从中抽出１个球，抽到红球的概
率是多少？
解 袋中有３个球，随意从中抽出１个球，虽然红色、白
色球的个数不等，但每个球被选中的可能性相等．抽出的球
共有３种结果：红（１）、红（２）、白，这３个结果的发生是“等
可能”的．３个结果中有２个结果使事件Ａ（抽得红球）发生，
故抽得红球这个事件的概率为２
３，即
Ｐ（Ａ）＝２
３．
一般地，如果在一次试验中，有ｎ种可能的结果，并且这
些结果发生的可能性相等，其中使事件Ａ发生的结果有ｍ
（ｍ≤ｎ）种，那么事件Ａ发生的概率为
Ｐ（Ａ）＝ｍ
ｎ．
９６
第２６章 概率初步
在上式中，当Ａ是必然事件时，ｍ＝ｎ，Ｐ（Ａ）＝１；当Ａ
是不可能事件时，ｍ＝０，Ｐ（Ａ）＝０．所以有
０≤Ｐ（Ａ）≤１．
一般地，对任何随机事件Ａ，它的概率Ｐ（Ａ）满足０＜
Ｐ（Ａ）＜１．必然事件的概率为１，不可能事件的概率为０．
１．在不透明的袋子里装有５个形状与大小完全一样的球，其中３个红球，２个白球，现从
中任取１个球．
（１）摸到红球的概率大还是摸到白球的概率大？
（２）若记摸到红球为事件Ａ，摸到白球为事件Ｂ，则Ｐ（Ａ）与Ｐ（Ｂ）的值分别是多少，
Ｐ（Ａ）与Ｐ（Ｂ）有什么大小关系？
２．从一副没有大小王的扑克牌（共５２张）中随机地抽１张，问：
（１）抽到黑桃Ｋ的概率；
（２）抽到红桃的概率；
（３）抽到Ｑ的概率．
例２ 同时抛掷２枚均匀的硬币一次，求２枚硬币都是
正面向上的概率．
解 同时抛掷２枚硬币一次，可能出现如下４种不同的
结果：
（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）．
我们可以用“树状图”来表示上述所有可能出现的结果．
１枚出现正
面、１枚出现反面
的概率是多少？
９７
２６．２ 等可能情形下的概率计算
由于每种结果出现的可能性相等，其中２枚硬币都是正
面向上的结果只有（正，正）这１种，设２枚硬币都是正面向
上的事件为Ａ，则事件Ａ的概率为
Ｐ（Ａ）＝１
４．
上面的解题过程中，我们用“树状图”列出所有可能出
现的结果．图中从左到右每条路径表示一个结果，每个结果
发生的可能性相等．
例３ 某班有１名男生、２名女生在校文艺演出中获演
唱奖，另有２名男生、２名女生获演奏奖．从获演唱奖和演奏
奖的学生中各选１名去领奖，求２名领奖学生都是女生的
概率．
解 设２名领奖学生都是女生的事件为Ａ，两种奖项各
选１名学生的结果用“树状图”来表示．
由于共有１２种结果，且每种结果出现的可能性相等，
其中２名领奖学生都是女生的结果有４种，所以事件Ａ发
生的概率为
Ｐ（Ａ）＝４
１２＝１
３．
例４ 同时抛掷２枚均匀的骰子一次，骰子各面上的
点数分别是１，２，…，６．试分别计算如下各随机事件的概率：
（１）抛出的点数之和等于８；
（２）抛出的点数之和等于１２．
计算等可能
情形下概率的关
键是确定所有可
能性相等的结果
总数ｎ和求出其
中使事件Ａ发生
的结果总数ｍ．
“树状图”能帮助
我们有序地思考，
不重复、不遗漏地
得出ｎ和ｍ．
９８
第２６章 概率初步
分析：为了解决这个问题，我们首先要弄清楚一共有
多少个可能结果．虽然同时抛掷２枚均匀的骰子一次，点数
之和可能为２，３，…，１２中的任何一种，但是它们并不是发
生的所有可能结果．所有可能结果有哪些呢？我们知道：
第１枚骰子可能掷出１，２，…，６中的每一种情况，第２枚骰
子也可能掷出１，２，…，６中的每一种情况，而且无论第１枚
骰子掷出１，２，…，６中的哪一种情况，第２枚骰子都可能掷
出１，２，…，６中的任一种情况．所以我们用“列表法”列出所
有的可能结果如下：
第２枚骰子
结果
第１枚骰子
１
２
３
４
５
６
１
（１，１）
（１，２）
（１，３）
（１，４）
（１，５）
（１，６）
２
（２，１）
（２，２）
（２，３）
（２，４）
（２，５）
（２，６）
３
（３，１）
（３，２）
（３，３）
（３，４）
（３，５）
（３，６）
４
（４，１）
（４，２）
（４，３）
（４，４）
（４，５）
（４，６）
５
（５，１）
（５，２）
（５，３）
（５，４）
（５，５）
（５，６）
６
（６，１）
（６，２）
（６，３）
（６，４）
（６，５）
（６，６）
解 从上面表格中可以看出，同时抛掷２枚骰子一次，
所有可能出现的结果有３６种．由于骰子是均匀的，所以每个
结果出现的可能性相等．
（１）抛出的点数之和等于８的结果有（２，６），（３，５），
（４，４），（５，３）和（６，２）这５种，所以抛出的点数之和等于８
这个事件发生的概率为５
３６．
（２）抛出的点数之和等于１２的结果仅有（６，６）这１
种，所以抛出的点数之和等于１２这个事件发生的概率
为１
３６．
从这个例子
中再次体会弄清
楚所有可能结果
的重要性．
如同“树状
图”一样，“列表
法”也能帮助我
们有序地思考．
９９
２６．２ 等可能情形下的概率计算
１．口袋中有３个红球和１１个黄球，这两种球除颜色外没有任何区别．随机从口袋中取
１个球，取到红球或黄球的概率分别是多少？
２．一间宿舍有４张分上下铺的单人床，可安排８名同学住宿．小明和小兵住同一间宿舍，
因为小兵最小，大家一致同意他睡下铺，其余同学通过抽签决定自己的床位，那么小
明抽到睡上铺的概率是多少？
３．将分别标有数字１，２，３的三张卡片混匀后，背面朝上放在桌面上，随机地抽一张
作为十位上的数字（不放回），再随机地抽一张作为个位上的数字，能组成哪些两
位数？这两位数恰好是“３２”的概率是多少？数字之和等于５的概率是多少？
４．如图，两个圆盘的指针落在每一个数代表的扇形上的可能性相等，求两个圆盘的指针
同时落在偶数代表的扇形上的概率．
（第４题）
下面，再来看几个概率应用方面的例子．
例５ “石头、剪刀、布”是民间广为流传的一种游戏，游
戏的两人每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，并
约定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同
种手势不分胜负须继续比赛．现有甲、乙两人做这种游戏．
（１）一次游戏中甲获胜、乙获胜的概率各是多少？
（２）这种游戏对于两个人来说公平吗？
解 若分别用Ａ，Ｂ表示甲、乙两人，用１，２，３表示石头、
剪刀、布，则Ａ１表示甲出石头、Ｂ２表示乙出剪刀，依次类推．
于是，游戏的所有结果用“树状图”来表示：
１００
第２６章 概率初步
所有结果是９种，且出现的可能性相等．因此，一次游
戏时：
（１）甲获胜的结果有（Ａ１，Ｂ２），（Ａ２，Ｂ３），（Ａ３，Ｂ１）这３
种，故甲获胜的概率是３
９＝１
３．同理，乙获胜的概率也是１
３．
（２）由（１）可知，这种游戏中，两人获胜的概率都是１
３，
机会均等，故游戏对于两人来说是公平的．
例６ 某人的密码箱密码由三个数字组成，每个数字都
是从０～９中任选的．如果他忘记了自己设定的密码，求在一
次随机试验中他能打开箱子的概率．
解 设在一次随机试验中他能打开箱子的事件为Ａ．
根据题意，在一次随机试验中选择的号码应是０００～９９９
中的任意一个３位数，所有可能出现的结果共有１０００种，
且出现每一种结果的可能性相等．要能打开箱子，即选择的
号码与密码相同的结果只有１种，所以
Ｐ（Ａ）＝
１
１０００．
答：在一次随机试验中他能打开箱子的概率为
１
１０００．
例７ 甲、乙两人要去风景区游玩，仅知道每天开往风
你会用“列
表法”对游戏的
所有结果进行分
析吗？
１０１
２６．２ 等可能情形下的概率计算
景区有３辆汽车，并且舒适程度分别为上等、中等、下等３
种，但不知道怎样区分这些车，也不知道它们会以怎样的顺
序开来．于是他们分别采用了不同的乘车办法：甲乘第１辆
开来的车．乙不乘第１辆车，并且仔细观察第２辆车的情况，
如比第１辆车好，就乘第２辆车；如不比第１辆车好，就乘第
３辆车．试问甲、乙两人的乘车办法，哪一种更有利于乘上舒
适度较好的车？
解 容易知道３辆汽车开来的先后顺序有如下６种可
能情况：
（上中下），（上下中），（中上下），
（中下上），（下上中），（下中上）．
假定６种顺序出现的可能性相等，我们来看一看在各种
可能的顺序之下，甲、乙两人分别会乘到哪一辆汽车：
顺 序
甲
乙
（上中下）
上
下
（上下中）
上
中
（中上下）
中
上
（中下上）
中
上
（下上中）
下
上
（下中上）
下
中
于是不难看出：
甲乘到上等、中等、下等３种汽车的概率都是
２
６
＝１
３．
而乙乘到上等汽车的概率是３
６＝１
２，乘到中等汽车的概
率是２
６＝１
３，乘到下等汽车的概率却只有１
６．
答：乙的乘车办法更有利于乘上舒适度较好的车．
１０２
第２６章 概率初步
（第３题）
１．举例说明概率在生活中的应用．
２．密码锁的密码有五位，每位上的数字是０到９中的任一个．在开锁时，某人忘了密码的
最后两个数字，他随意拨动最后两位号码，问恰好打开锁的概率是多少？
３．元旦联欢会上，小明设计了一种翻牌游戏：先在９张大小相同的正
方形纸牌上分别写上数字１，２，３，…，９；再在另一面写上奖品的
名称，其中４张写的是“铅笔”，３张写的是“贺年卡”，２张写的是
“笔记本”．如图，将９张纸牌贴在黑板上．
（１）小丽第一个翻牌，请问她获得奖品“笔记本”的概率是多少？
（２）若小丽翻到的是“贺年卡”，则第二个翻牌人小勇翻到“铅笔”
的概率是多少？
习题２６．２
１．假设你们学校有２５００名学生，其中１３２７名是女生．校报记者随机选１名同学进
行采访．选中女生的概率是不是大一些，为什么？选中男生的概率是多少？
２．１０月份家电商场售出的电视机中，国外品牌与国内品牌的比例是５∶１１，预计１１月
份将售出２００台电视机．假设顾客选择品牌是随机的，估计有多少台是国内品牌？
如果有一位顾客来购买电视机，你认为他购买国外品牌的概率是多少？
３．如图，有两个可以自由转动的均匀转盘Ａ，Ｂ．转盘Ａ被３等分，分别标上１，２，３三
个数字；转盘Ｂ被４等分，分别标上４，５，６，７四个数字．有人为甲、乙两人设计了
一种游戏，其规则如下：
（第３题）
１０３
２６．２ 等可能情形下的概率计算
同时自由转动转盘Ａ，Ｂ，转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针
恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指
的两个扇形中的数相乘，如果得到的积是偶数，那么甲胜；如果得到的积是奇数，
那么乙胜．
你认为这样的规则是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规
则，并说明理由．
１０４
第２６章 概率初步
２６．３用频率估计概率
在试验中，当所有可能出现的不同结果不是有限个，或各种
不同结果出现的可能性不相等时，我们就要通过大量重复的试
验去探究不同结果出现可能性的大小，并用随机事件发生的频
率去估计它的概率．
下面先观察一个例子．
一位同学在做“抛硬币”的试验中，将获得的数
据绘制成下表及折线统计图（图２６
２），其中：
出现正面的频率＝出现正面次数
抛掷次数
．
抛掷次数
５０
１００
２００
３００
４００
５００
６００
７００
８００
出现正面次数
２５
５２
９５
１４５
１９５
２４３
２９５
３４５
３９６
出现正面的频率
０．５００
０．５２０
０．４７５
０．４８３
０．４８８
０．４８６
０．４９２
０．４９３
０．４９５
图 ２６
２
１０５
２６．３ 用频率估计概率
观察图２６
２，当抛掷次数很多以后，出现正面
的频率是否比较稳定？
对于上面这样的抛硬币试验，历史上许多数学
家都曾做过，结果如下表：
试 验 者
抛掷
次数
出现正
面次数
出现正面
的频率
Ｂｕｆｆｏｎ（布丰）
４０４０
２０４８
０．５０６９
Ｄｅ．Ｍｏｒｇａｎ（德·摩根）
４０９２
２０４８
０．５００５
Ｆｅｌｌｅｒ（费勒）
１００００
４９７９
０．４９７９
Ｐｅａｒｓｏｎ（皮尔逊）
１２０００
６０１９
０．５０１６
Ｐｅａｒｓｏｎ（皮尔逊）
２４０００
１２０１２
０．５００５
从上面试验中我们可以发现，在重复抛掷一枚硬币
时，“出现正面”和“出现反面”的频率都在０．５附近波动．
随着抛掷次数的增加，频率在０．５附近波动的幅度会越来
越小，呈现出一定的稳定性，“出现正面”和“出现反面”的频
率都逐渐稳定到常数０．５．
这样，我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数来
刻画它发生可能性的大小，０．５就作为多次抛掷硬币后出现
正面（或反面）这个随机事件发生的概率．
下面再看两个例子．
１．某农科所通过抽样试验来估计一大批种子
（总体）的发芽率，为此，从中抽取１０批，分别做发
芽试验．记录下每批发芽粒数，并算出发芽的频率
（发芽粒数与每批试验粒数之比），结果如下表：
１０６
第２６章 概率初步
每批试验粒数ｎ
２
５
１０
７０
１３０
３１０
７００
１５００
２０００
３０００
发芽粒数ｍ
２
４
９
６０
１１６
２８２
６３９
１３３９
１８０６
２７１５
发芽的频率ｍ
ｎ
１
０．８００
０．９００
０．８５７
０．８９２
０．９１０
０．９１３
０．８９３
０．９０３
０．９０５
从上表中你能发现什么？
由上面试验所得数据可以看出：当发芽试验样
本容量增大时，发芽的频率逐渐稳定到常数０．９．
２．某乒乓球生产厂，从最近生产的一大批乒乓
球中，抽取６批进行质量检测，结果如下表：
每批抽取球数ｎ
５０
１００
２００
５００
１０００
２０００
优等品数ｍ
４５
９２
１９４
４７０
９５４
１９０２
优等品的频率ｍ
ｎ
０．９００
０．９２０
０．９７０
０．９４０
０．９５４
０．９５１
从上表中你能发现什么？
由上面检测所得数据可以看出：当质量检测样
本容量增大时，优等品的频率逐渐稳定到常数０．９５．
上面两个例子说明，一般随机事件具有一个极为重要
的特性———频率的稳定性，即在大次数重复试验中，随机
事件发生的频率总是稳定到一个常数．我们就用频率所稳
定到的这个常数来衡量该随机事件发生可能性的大小．于
是，就认为第１个例子中种子发芽的概率为０．９，第２个例
子中乒乓球优等品的概率为０．９５．
一般地，在大量重复试验下，随机事件Ａ发生的频率ｍ
ｎ
（这里ｎ是总试验次数，它必须相当大，ｍ是在ｎ次试验中
随机事件Ａ发生的次数）会稳定到某个常数ｐ．于是，我们用
ｐ这个常数表示随机事件Ａ发生的概率，即
种子不发芽
的概率是多少？
乒乓球非优
等品的概率是
多少？
１０７
２６．３ 用频率估计概率
Ｐ（Ａ）＝ｐ．
这样，求一个随机事件概率的基本方法可以是：通过大
量的重复试验，用这个随机事件发生的频率作为它的概率的
估计值．
投针实验
１８世纪，法国博物学家布丰（Ｂｕｆｆｏｎ），在研究随机事件规律时，设计了一个
投针实验：“在平面上画一组间距为ｈ的平行线，将一根长度为ａ（ａ＜ｈ）的针任
意地投掷在这个平面上，求这根针与平行线中任一条相交的概率”．
布丰证明了这个概率为
Ｐ＝２ａ
πｈ．
这个结果写进了他的著作《或然性的算术试验》中．
其后，不少学者都先后做过布丰的投针实验，并得出π 的一些估计值．下表
记录了他们的实验结果（把平行线间距ｈ折算为１）．
实 验 者
年份
投掷次数
相交次数
π 的估计值
针长ａ
Ｗｏｌｆ（沃尔夫）
１８５０
５０００
２５３２
３．１５９６
０．８
Ｓｍｉｔｈ（史密斯）
１８５５
３２０４
１２１８．５
３．１５５４
０．６
Ｄｅ．Ｍｏｒｇａｎ（德·摩根）
１８６０
６００
３８２．５
３．１３７
１．０
Ｆｏｘ（福克斯）
１８８４
１０３０
４８９
３．１５９５
０．７５
Ｒｅｉｎａ（赖纳）
１９２５
２５２０
８５９
３．１７９５
０．５４１９
全班同学可根据同一规格（在纸上绘制同一间距的平行线组、一把等长的
针）分组进行布丰的投针实验，汇总各组数据，求出相应的π 值．
１０８
第２６章 概率初步
１．判断下列说法是否正确，并说明理由．
（１）在ｎ次随机试验中，事件Ａ出现ｍ次，则事件Ａ发生的频率ｍ
ｎ就是事件Ａ的
概率；
（２）设一大批灯泡的次品率为０．０１，那么从中随机抽取１０００只灯泡，一定有１０只次品．
２．多次投掷一枚均匀的骰子，出现向上一面为５点的概率是１
６．小军说，这表示当投掷的
次数足够多时，出现５点的次数就很接近投掷总数的１
６．他的说法正确吗，为什么？
３．某射手在同一条件下进行多次射击，结果如下表：
射击次数ｎ
１０
２０
５０
１００
２００
５００
击中靶心次数ｍ
８
１９
４４
９２
１７８
４５５
击中靶心的频率ｍ
ｎ
（１）计算表中“击中靶心的频率”；
（２）这个射手射击１次，击中靶心的概率约是多少？
４．一家商店对进店顾客进行为期一周的调查登记，得到结果如下表：
性 别
购 买
不 购 买
男 性
５０
１５０
女 性
６０
１８０
根据这个结果求：
（１）１名顾客进入该店后购买东西的概率是多少；
（２）哪一种性别的顾客在该店买东西的可能性较大．
５．用实验的方法估计投掷一枚均匀的骰子２次，２次都出现点数６的概率．
１０９
２６．３ 用频率估计概率
习题２６．３
１．有人说“买彩票中奖的可能性是２‰，买１０００注彩票最多只能有２注中奖”，这种
说法对吗，为什么？
２．“若一个事件可能发生的结果共有ｎ种，则每一种结果发生的可能性是１
ｎ．”这样
说对吗？试举一例说明．
３．在水产养殖场进行一种鱼的人工孵化，１００００个鱼卵能孵化出８５００尾鱼苗，求下
列各题：
（１）这种鱼卵孵化的概率（孵化率）；
（２）３００００个鱼卵大概能孵化出多少尾鱼苗；
（３）要孵化出５０００尾鱼苗，大概要准备多少个鱼卵？
４．如图，用实验的方法估计抛掷一枚瓶盖１次，盖面朝上的概率．
（第４题）
做“石头、剪子、布”的游戏．
（１）在１次游戏中，出现平局的概率是多少？
（２）和同学合作做这个游戏１０次，记录游戏次数与平局
的次数；
（３）统计１０组同学的游戏数据，看看平均多少次游戏会
出现１次平局；
（４）有同学说：“如果出现平局的概率是１
３，那么每３次游
戏中就有１次是平局．”你认为对吗？说说你的理由．
１１０
第２６章 概率初步
２６．４综合与实践
概率在遗传学中的应用
对遗传现象人们早就认识到了，那么遗传又是遵循怎样
的规律呢？奥地利人孟德尔（Ｇ．Ｊ．Ｍｅｎｄｅｌ，１８２２—１８８４）通
过认真观察遗传现象、设计实验、收集数据、科学分析，成为
第一个总结出遗传规律的遗传学家．他选择豌豆作杂交试
验，并注意到不同品种的豌豆具有区别明显的性状（豌豆的
花色、种子的形状等都是性状）．
如图２６
３，孟德尔用纯种黄色子叶豌豆与纯种绿色子
叶豌豆进行杂交，产生的子一代子叶全部是黄色的，没有绿
色的．他将子一代表现出来的性状称为显性性状，没有表现
出来的性状称为隐性性状，即子叶黄色为显性性状，子叶绿
色为隐性性状，黄色显性性状掩盖了绿色隐性性状．
孟德尔又让子一代进行自交，结果在子二代中除了有黄
色子叶，还有绿色子叶，两者数量上的比例接近３∶１．
图 ２６
３
为什么在子二代中隐性性状又出现了呢？孟德尔认为，
生物的遗传性状是由成对基因（遗传因子）决定的，其中控
所谓性状是
指生物的形态、
结构和生理等
特征．
１１１
２６．４ 综合与实践 概率在遗传学中的应用
制显性性状（黄色子叶）的为显性基因（用Ａ表示）；控制隐
性性状（绿色子叶）的为隐性基因（用ａ表示）．
纯种黄色子叶豌豆和纯种绿色子叶豌豆分别含有成对
基因ＡＡ和ａａ，它们杂交产生的子一代的成对基因分别来自
父本和母本的各一个基因，因而只能是Ａａ，表现为全是黄色
子叶．
当子一代自交产生子二代时，来自父本和母本的各一个
基因有ＡＡ，Ａａ，ａＡ，ａａ四种组合．由于ＡＡ，Ａａ，ａＡ均表现为
黄色，而ａａ表现为绿色，所以黄色与绿色的数量比例接近
３∶１，也就是说，子二代中子叶为黄色和子叶为绿色的概率分
别是３
４和１
４，图２６
４显示了这一过程．
图 ２６
４
人类的遗传病是从上一代（父母）传递给下一代（孩子）
而发生的疾病，例如白化病、红绿色盲和高度近视等．了解遗
传病的传代规律及出现概率，防止遗传病患儿的出生，是全
社会都需要共同关注的问题．下面用孟德尔发现的遗传规律
１１２
第２６章 概率初步
来探讨白化病的遗传情况．
问题 白化病是一种隐性性状，如果Ａ是正常基因、ａ
是白化病基因，那么携带成对基因Ａａ的个体的皮肤、头发和
眼球的颜色是正常的，而携带成对基因ａａ的个体将患有白
化病．
（１）设母亲和父亲都携带成对基因Ａａ，求他们有正常
孩子的概率；
（２）设母亲和父亲分别携带成对基因ＡＡ和Ａａ，求他们
有正常孩子的概率和孩子患有白化病的概率；
（３）设母亲和父亲分别携带成对基因ａａ和Ａａ，求他们
有正常孩子的概率和孩子患有白化病的概率．
几何概率
这里介绍另外一种基于等可能假设的概率模型，这种概率模
型的基本原理是：设想每个结果是一个点，所有结果的点组成一
个区域Ｇ，而组成事件Ａ的结果是Ｇ中的部分区域ｇ，Ｇ，ｇ可以是
直线上的线段，也可以是平面或空间的区域．因此，这种概率可以
表示为两个线段的长度之比，或两个平面区域的面积之比，或两
个空间区域的体积之比．
例１ 某商厦开展“幸运一刻钟”有奖促销活动，办法如下：
在营业时间９：００～２１：００内随机产生一个１５ｍｉｎ的时段（如
１０：３６～１０：５１），该时段内在该商厦购物的顾客可得到与购物款等
额的奖券．小明妈妈在商厦购买了一双价格为８０元的运动鞋，那
么她中奖的概率是多少呢？
商厦一天的营业时间是１２ｈ，计７２０ｍｉｎ，那么它的时间长度
为７２０ｍｉｎ，可用一条线段ＡＢ表示，如图２６
５．
１１３
２６．４ 综合与实践 概率在遗传学中的应用
图 ２６
５
设“幸运一刻钟”的起始时刻为点Ｃ，终止时刻为点Ｄ，则线
段ＣＤ的时间长度为１５ｍｉｎ．因此，小明妈妈中奖的概率应为
ＣＤ的长
ＡＢ的长＝１５
７２０＝１
４８．
例２ 在图２６
６的正方形中有一内切圆，随机撒一把芝麻，
假设每一粒芝麻落在正方形内的每一个点的可能性都是相等的，
计算落在圆中的芝麻数与落在正方形中的芝麻数之比，并以此估
计圆周率的值．
解 随机撒一把芝麻，每粒芝麻落在正方形内任何一点是等
可能的，落在每个区域的芝麻数与这个区域的面积近似成正比，
假设正方形的边长为２ａ，则
落在圆中的芝麻数
落在正方形中的芝麻数≈圆的面积
正方形的面积
＝
πａ２
２ａ× ２ａ
＝π
４．
如果数出落在每个区域的芝麻数，由上式就能得到π 的近似
值．比如，向图２６
６的正方形中随机撒４００粒芝麻，如果落在圆
中的芝麻数是３１４，那么
π ≈落在圆中的芝麻数
落在正方形中的芝麻数× ４
＝３１４
４００× ４＝３．１４．
通过多次试验可以看出，随着每次试验所撒的芝麻数的增
加，圆周率π 的近似值精度就越高．
我们也可以用计算机来模拟上述过程，计算π 的近似值．
利用几何概率，并通过计算机模拟方法，还可以计算某些不
规则图形（图２６
７中区域Ａ）的近似面积：
图 ２６
６
图 ２６
７
１１４
第２６章 概率初步
区域Ａ的面积≈落在区域Ａ中的芝麻数
落在正方形中的芝麻数× 正方形的面积．
概率论的产生与发展
概率论作为一门学科产生的原因虽然是多方面的，但主要是
由于当时保险行业的产生与发展以及赌博的盛行．
赌博的盛行，为研究概率问题提供了一个很好的模型（如掷
骰子的等可能性较为明显，又可做重复试验）．１６世纪前后，相当
多的数学家对赌博中的数学问题有着浓厚的兴趣．
帕斯卡是法国著名数学家，帕斯卡的朋友梅累曾向帕斯卡提
出这样一个问题：甲、乙两人相约赌若干局，谁先赢ｓ局谁就是胜
者，就可得全部赌金．现在甲赢ａ（ａ＜ｓ）局，乙赢ｂ（ｂ＜ｓ）局，赌博
中断，问两人应按怎样的比例分配赌金？帕斯卡接到这个问题
后，转告了著名数学家费马，此后，他们两人就这个问题开始了频
繁的通信研究，在他们的来往信件中，有关于这个问题的不同解
法，被认为是概率论最早的几篇论文．１６５５年，荷兰数学家惠更斯
来到巴黎，也潜心研究了这个问题，并于１６５７年出版了《论赌博
中的计算》一书，这本书的出版是概率论产生的标志之一．
１８世纪，有更多的数学家投身概率论的研究．到了１９世纪，
概率论朝着完整的理论体系和更广泛的应用方向发展．在诸多
数学家研究的基础上，１９３３年苏联数学家柯尔莫哥洛夫，给出
了概率论的公理体系，从此概率论成为一完整、严谨的数学
分支．
概率论传入我国是在１８９６年，在英国传教士傅兰雅的协助
下，晚清数学家华蘅芳（１８３３—１９０２）译出了名为《决疑数学》一
书．后来，“ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ”又被译为“或然率”“可能率”“机率”等．
１９３５年，《数学词典》定名为“几率”或“概率”．１９６４年，《数学名词
补编》开始确定用“概率”．
我国对概率论的研究是从２０世纪初开始的．目前，在概率论
研究方面，我国的学者也取得了一系列成果．
１１５
小结·评价
一、内容整理
二、主要知识回顾
１．随机事件、不可能事件和必然事件．
２．表示一个随机事件Ａ发生的可能性大小的数，叫做这个事件发生的概
率，记作Ｐ（Ａ）．必然事件的概率为１，不可能事件的概率为０．
３．在等可能情形下求随机事件Ａ发生的概率时，通常利用“树状图”或
“列表法”列出所有可能性相等的结果以及使事件Ａ发生的结果，这是解决问
题的关键．
４．一般在大量重复试验中，用随机事件发生的频率作为该随机事件概率
的估计值．
三、自评与互评
１．你能举出生活中的随机事件、必然事件和不可能事件吗？
２．你和同学进行乒乓球比赛时，采用什么方法决定谁先发球呢？这个方
法对双方公平吗？
３．编一个等可能情形下求概率的问题．
４．举出一个日常生活中的例子：在大量重复试验后用随机事件发生的频
率来估计概率．
１１６
第２６章 概率初步
１．一个口袋中有６个完全一样的球，球上分别标有１，２，３，４，５，６．小明从口袋中摸出
１个球，求：
（１）摸到球的号码是奇数的概率；
（２）摸到球的号码大于３的概率；
（３）摸到球的号码不大于６的概率．
２．２０２２年，我国合肥、济宁、梁平、南昌、盘锦、武汉、盐城入选第二批“国际湿地城
市”，至此我国成为“国际湿地城市”最多的国家．明明家准备从中选一个去旅游，
在网上随机查看这些地方的风光介绍，求第一个查看的是省会城市的概率．
３．同时抛掷２枚均匀的骰子一次（骰子各面上的点数分别是１，２，…，６），所得点数
之和有多少种可能？概率最大的点数之和为多少？
４．某商场举行有奖销售，发行奖券５万张，其中设一等奖２个、二等奖８个、三等奖４０
个、四等奖２００个、五等奖１０００个．有一位顾客购物后得到一张奖券，问这位顾客：
（１）获得一等奖的概率是多少？
（２）获奖的概率是多少？
５．从ＨＡＰＰＹ这个单词中任选一个字母，求选到字母Ｐ的概率．
６．在第１，３，５，６路汽车都要停靠的一个站上，一位乘客等候１路或３路汽车．假定各
路汽车首先到站的可能性相等，求首先到站的正好是该乘客要乘的汽车的概率．
７．同时抛掷３枚均匀的硬币一次，求：
（１）出现３个正面的概率；
（２）出现２个正面、１个反面的概率．
８．把１，４，３三个数字随机排成一个３位数，求排出的数是偶数的概率．
１．某种彩票的号码是０００００００～９９９９９９９中的任意一个７位数，摇奖得出一个７位
数为中奖号．若一注彩票上的７位数号码与其完全相同且排列一致，即中特等奖；
１１７
小结·评价
若一注彩票上仅有连续６位数号码与中奖号对应位置的连续６位数号码相同（如
中奖号为４３６４１６６，彩票上的号码为４３６４１６Ｘ或Ｘ３６４１６６），即中一等奖．问：
（１）买１注彩票中特等奖的概率是多少？
（２）买１注彩票中一等奖的概率是多少？
２．（１）连续抛掷一枚均匀的骰子３次，将掷得的点数依次作为百位、十位和个位上
的数字组成一个３位数，求得到个位上数字为５的３位数的概率．
（２）如果将抛掷骰子换成摸球，即在不透明的袋中放入标有数字１，２，３，４，５，６的
６个形状与大小完全相同的小球，依次从袋中摸出３个球（每次摸出１个球，
且摸出的球不再放回袋中），将球上所标的数字分别作为百位、十位和个位上
的数字组成一个３位数，那么得到个位上数字为５的３位数的概率与（１）的
结果相同吗？
３．从长为２ｃｍ，３ｃｍ，４ｃｍ，５ｃｍ的４条线段中随机取出３条线段，问随机取出的３
条线段能围成一个三角形的概率是多少？能围成直角三角形的概率又是多少？
在对病毒流行规律的研究中，人们需要建立数学模型．如某个群体中一共有４个
人先后感染了病毒，其中只有１个人去过疫区，从而认定他是这个群体的感染源头，
第２个发病的人一定是被他传染的；由于不清楚传染机制，于是假定第３个发病的人
“等可能”地被第１或第２个发病人所传染；同样，第４个发病人“等可能”地被前３个
发病人中任一个所传染．问这４人中有哪些可能的传染途径？其中依次（即①—
②—③—④）传染的概率有多大？
１１８
附录 部分中英文词汇索引
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旋转
ｒｏｔａｔｉｏｎ
２
圆
ｃｉｒｃｌｅ
１２
圆心
ｃｅｎｔｅｒｏｆａｃｉｒｃｌｅ
１２
半径
ｒａｄｉｕｓ
１２
圆弧
ａｒｃ
１３
弦
ｃｈｏｒｄ
１３
直径
ｄｉａｍｅｔｅｒ
１３
圆心角
ｃｅｎｔｒａｌａｎｇｌｅ
１８
三角形的外接圆
ｃｉｒｃｕｍｃｉｒｃｌｅｏｆｔｒｉａｎｇｌｅ
２２
三角形的外心
ｃｉｒｃｕｍｃｅｎｔｅｒｏｆｔｒｉａｎｇｌｅ
２２
圆的内接三角形
ｉｎｓｃｒｉｂｅｄｔｒｉａｎｇｌｅｏｆｃｉｒｃｌｅ
２２
圆周角
ａｎｇｌｅｉｎａｃｉｒｃｕｌａｒｓｅｇｍｅｎｔ
２７
割线
ｓｅｃａｎｔｌｉｎｅ
３３
切线
ｔａｎｇｅｎｔｌｉｎｅ
３４
切点
ｐｏｉｎｔｏｆｔａｎｇｅｎｃｙ
３４
三角形的内切圆
ｉｎｓｃｒｉｂｅｄｃｉｒｃｌｅｏｆｔｒｉａｎｇｌｅ
４３
三角形的内心
ｉｎｃｅｎｔｅｒｏｆｔｒｉａｎｇｌｅ
４３
圆的外切三角形
ｃｉｒｃｕｍｓｃｒｉｂｅｄｔｒｉａｎｇｌｅｏｆｃｉｒｃｌｅ
４３
平行投影
ｐａｒａｌｌｅｌｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ
７３
中心投影
ｃｅｎｔｅｒｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ
７４
视图
ｖｉｅｗ
７８
必然事件
ｃｅｒｔａｉｎｅｖｅｎｔ
９１
不可能事件
ｉｍｐｏｓｓｉｂｌｅｅｖｅｎｔ
９１
随机事件
ｒａｎｄｏｍｅｖｅｎｔ
９２
概率
ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ
９３
１１９
附录 部分中英文词汇索引
１９９９年，我们根据《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修
订版）》，编写了一套华东版初中数学教材，经三年实验后，于２００２年报教育部
经全国中小学教材审定委员会审查通过．
２００１年，国家颁布了《基础教育课程改革纲要（试行）》及《全日制义务教
育数学课程标准（实验稿）》，正式启动了新一轮中小学课程、教材改革．本套
教科书就是根据课程标准，在吸取了华东版教材实验过程中的经验后重新编
写的，并于２００４年经全国中小学教材审定委员会初审通过．现教育部决定全
面启动义务教育课程标准实验教材的修订工作，我们将切实把《义务教育数学
课程标准（２０１１年版）》的要求落实到新修订的教材中，使教材的质量进一步
得到提升，特色更加鲜明．
本套教材在送审和实验过程中，得到了许多专家、学者、教研人员与广大
师生的关爱，特别是人民教育出版社的张孝达先生与陈宏伯先生直接参与教
材的整体设计和章节审稿，他们以实际行动给予我们很大的支持与鼓舞，我们
衷心地感谢他们．
为了做好这次的修订工作，我们调整并充实了编写队伍，本套教科书编写
组主要人员有：
吴之季 苏 淳 杜先能 徐子华 郭要红 胡 涛 陈先荣 王南林
胡茂侠 邱广东
本册主要编写人员：
洪新华 刘义杰 金 超 王 峰 贾 斌 程立虎 任大益 李启梅
苗兴敏 薛 凌 韦鹏飞
此外，参与本册修改工作的还有：
刘正会 徐宁宁 朱传良 查 刚 司武侠 周 米 张满亮 高正才
陈刘送 高成林 李兆坤
教材建设是一项长期任务，需要通过实验、修改，反复锤炼．这不仅需要
全体编写人员的努力，还要有广大师生的积极支持与参与，恳请使用本套教材
的师生批评指正．
新时代数学编写组
２０１４年１０月
审批编号：皖费核（2023 年春季）4 号
举报电话：12315
定价：8.05 元
