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第二讲
和差倍比与方程法
✎方程法：
用方程法时机：题里能找到等式关系。
尽可能的问什么设什么。
例题1（2023 北京）
某单位有甲、乙两个处室，甲处室有职工14 名，如从乙处室调动25%的职工到甲处室，再从甲处室调
动2 名职工到乙处室后，两个处室人数相同。则乙处室原来有多少名职工？
A．12
B．16
C．20
D．24
【答案】C
【解析】根据题意可列式：14+
乙
4
1
-2=
乙
4
3
+2。解得乙=20。乙处室原来有20 名职工。
例题2（2021 国考）
社区工作人员小张连续4 天为独居老人采买生活必需品，已知前三天共采买65 次，其中第二天采买
次数比第一天多50%，第三天采买次数比前两天采买次数的和少15 次，第四天采买次数比第一天的2 倍少
5 次。问这4 天中，小张为独居老人采买次数最多和最少的日子，单日采买次数相差多少次？
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A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【解析】设第一天采买次数为2x，则第三天采买的次数为3x。根据题意可列式：2x+3x+5x-15=65。
解得x=8。所以第一天采买16 次，第二天采买24 次，第三天采买25 次，第四天采买27 次。所以单日采
买次数最多的最少的日子相差11 次。
例题3（2021 安徽）
小明去某楼盘售楼部咨询售房情况。置业顾问告诉他，如果再卖出50 套，则已卖出的数量与未卖出
的数量相等；如果再卖出150 套，则已卖出的数量比未卖出的数量多一半，问该楼盘目前还剩下多少套房
子未卖出？
A．350 套
B．450 套
C．550 套
D．650 套
【答案】C
【解析】设未卖出x 套，卖出y 套。则可列式：x-50=y+50①；1.5（x-150）=y+150②。②-①可得
0.5x-175=100。解得x= 550。所以还剩下550 套未卖出。
例题4（2022 国考）
张和李2 名社区工作者上门统计某小区内住户的新冠疫苗接种情况，两人各负责1 栋住宅楼，每访问
1 户居民均需要5 分钟。李因处理公文比张晚出发一段时间。已知14:00 时两人共访问63 户，15:00 时张
访问的户数是李的2 倍。问李访问完50 户居民是在什么时候？
A．16:30
B．16:45
C．17:00
D．17:15
【答案】B
【解析】解法一：14 点时：李+张=63①；张+12=2 李+24②。①-②可得3 李=51，解得李=17。下午
2 点访问了17 户，3 点访问了29 户，还需要访问21 户，每户需要5 分钟，还需要105 分钟，则访问完50
户居民是在4：45。
解法二：15 点时：李+张=87①；张=2 李②。3 李=87，解得李=29。还剩下21 户，同上。
例题5（2023 国考副省级）
甲、乙、丙三家科技企业2021 年的收入之和比2020 年提升了20%。其中甲企业的收入上升了400 万
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元，乙企业的收入下降了100 万元且是甲企业收入的一半，丙企业的收入上升了30%且其2020 年的收入与
甲、乙两企业同年收入之和相同。问2020 年甲企业的收入比乙企业高多少万元？
A．900
B．1100
C．400
D．600
【答案】D
【解析】
解法一：
甲
乙
丙
2020
2x-400
x+100
3x-300
2021
2x
x
3.9x-390
可列式：6.9x-390=1.2（6x-600），解得x=1100。所以2020 年甲收入比乙高2×1100-400-1100-100=600
万元。
解法二：甲乙丙=甲乙+丙。“丙企业的收入上升了30%且其2020 年的收入与甲、乙两企业同年收入之和相
同”说明基期量相等，R=
X
A，基期量相等，说明量正好一样，整体提升了20%，丙提升了30%，甲乙较20
年提升了10%。所以1.1（2x-400+x+100）=2x+x。解得x=1100。同上。
✎不定方程：
方法：整除、倍数、奇偶、尾数法等。
例题6（2020 下半年四川）
某人花400 元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个品种的樱桃单价分别为28 元/盒、32 元/盒和
33 元/盒，问他最多购买了多少盒丙品种的樱桃？
A．3
B．4
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C．5
D．6
【答案】B
【解析】
28 甲+32 乙+33 丙=400。利用整除性质，28 甲、32 乙、400 都是4 的倍数，所以丙一定是4 的倍数。
33 不能提供4 的因子，所以一定是丙提供，选B。
例题7（2022 江苏）
某企业年终评选了30 名优秀员工，分三个等级，分别按每人10 万元、5 万元、1 万元给与奖励。若
共发放奖金89 万元，则获得1 万元奖金的员工有多少？
A．14 人
B．19 人
C．20 人
D．21 人
【答案】B
【解析】
设获得10 万元，5 万元，1 万元的员工人数分别为x、y、z。可列式x+y+z=30①；10x+5y+z=89②。
5①-②可得4z=5x+61。5x 的尾数要么是0 要么是5，加上61 之后的尾数要么是1 要么是6。A 选项
4×14=56 尾数符合条件，但是此时x 为负数，排除A。B 选项4×19=76 尾数符合条件。C 选项4×20=80
位数不符合条件。D 选项4×21=84 尾数不符合条件。选择B。
例题8（2023 上海）
足球比赛在每个半场结束时都有一段时间的伤停补时，这是由当值主裁判决定的。某场比赛的主裁判
确定伤停补时的规则为：每次处理受伤增加30 秒，每次换人增加20 秒，其他情况每次增加10 秒。在下
半场即将结束时，主裁判确定伤停补时的时长为4 分30 秒。若已知下半场比赛时间内，处理受伤、换人
和其他情况都存在且共计有10 次，那么下半场两队总共换了多少人？
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】
设下半场比赛时间内，处理受伤、换人和其他情况分别为x、y、z。30x+20y+10z=270。化简得
3x+2y+z=27①；x+y+z=10②。①②联立可得2x+y=17，因为选项中y 很小，所以令x 尽可能大，最大为x=8，
则y=1，z=1。满足条件。X=7 时，y=3，此时z=0 不满足题意。排除。所以选择A。
1.
x
b
a
y
，x 是b 的倍数，y 是a 的倍
数！如果题目中有68%、71%、43%这种，里面有很大的质数，
难以除尽，可以用这条。例如：如果我们班男同学有68%，
即男同学=100
68
总人数，约分后男同学= 25
17
总人数，所以
我们班总人数是25 的倍数，男同学是17 的倍数。
2.a、b 是x 的倍数，那么a+b、a－b 也是x 的倍数。
3.纯整除问题，（即题目中有“整除”或“乘积”的明确
字样），3、9 的整除性质为最常见考察方式，是思考的首
选方向。
若一个数能被3、9 整除，则该数的各位数字和也能被3、
9 整除。
若一个数能被2 或5、4 或25、8 或125 整除，则该数
的末位、末二位、末三位也能被2 或5、4 或25、8 或125
整除。
批注[Akizuki1]:
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例题9（2022 湖北选调）
小贝计划到银行兑换面值5 元、10 元、20 元人民币若干。已知小贝恰好用5 张面值100 元人民币兑
换上述面值人民币45 张，那么请问有多少种兑换方法？
A．14
B．15
C．16
D．18
【答案】A
【解析】
设5 元、10 元、20 元人民币分别为x、y、z。x+y+z=45①；5x+10y+20z=500②；x+2y+4z=100③；③-①
可得y+3z=55④。求出最大z 和最小z。3z 要小于55，所以z 最大为18，此时y=1，x=26，符合条件。y
最大如果为43，此时z=4，x=-2，不符合条件。y 最大可以为40，此时z=5，x=0。z 最小为5。z 的范围
为5-18，中间有14 个数。所以选A。14 种方法。
✎和差倍比：
例题10（2022 深圳）
某学校有三队冬奥会志愿者，每队30 人，已知第一队的男生数和第二队的女生数相同，第三队的男
生数占全部男生数的2/5，则女生共有多少名？
A．30
B．40
C．45
D．50
【答案】B
y 为45 和44 时x 或z 为非整数解，排除。
41，42 同理。
批注[Akizuki2]:
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【解析】
一队
二队
三队
男
x
30-x
20
女
30-x
x
10
第三队的男生数占全部男生数的2/5，全部是5 份，3 队占2 份，12 队就占3 份。3 份对应30 人，1
份就是10 人，所以第三队的男生数2 份是20 人。女生共有40 人。
例题11（2022 天津）
一个袋子里红球、白球、蓝球的数量比例为3∶8∶4，再向袋子中放入14 个红球和若干个蓝球后，红
球、白球、蓝球的数量比例变为5∶4∶3。如果此时从袋子里取出10 个红球、6 个白球和2 个蓝球后，袋
子里剩余红球、白球、蓝球的数量比例为多少？
A．1∶2∶1
B．2∶3∶1
C．1∶1∶2
D．1∶1∶1
【答案】D
【解析】
原来：红：白：蓝=3：8：4。现在：红：白：蓝=10：8：6。白球数量是没变的，红球多7 份，多了
14 个，所以1 份就是2 个。现在有20 红球16 白球12 蓝球。取出10 红球、6 白球和2 蓝球后，还剩下10
红球10 白球10 蓝球。比例为1：1：1。
例题12（2020 江苏）
台风过后，某单位发起救灾捐款活动，甲、乙两部门的员工人数之比是4∶3，捐款总额之比是5∶4。
若甲部门的人均捐款是300 元，则乙部门的人均捐款是多少？
A．270 元
B．290 元
C．320 元
D．350 元
【答案】C
【解析】
人均捐款=总额/人数。所以甲人均：乙人均=
5
4：
4
3=15：16=300：乙人均。一份为20，所以乙人均有16
份为320 元。
