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第四讲
容斥问题
✎代入公式：
总人数-圈外=圈内总人数=总人次-重复部分
保证每个人都被数一次，多的减掉少的加上
总人数-圈外=甲+乙+丙-2 绿-1 红
总人数-圈外=甲+乙+丙-1 蓝-1 黄
例题1（2022 广东）
某单位计划从全部80 名员工中挑选专项工作组成员，要求该组成员须同时有基层经历和计算机等级
证书。已知，单位内有40 人有基层经历，有46 人有计算机等级证书，既没有基层经历又未获得计算机等
级证书的有10 人。那么能够进入工作组的员工有多少人？
A．16
B．40
C．46
D．54
代入公式：总人数-圈外=圈内总人数=总人次-重复部分，80-10=70=40+46-X，解的X=16，对应到A
选项
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例题2（2022 天津）
某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人数占全班的14%，物理及格的人数比化学及格的
人数多10 人，且化学及格的人数占全班人数的60%。已知全班人数不超过70 人，问物理及格的人中化学
也及格的有多少人？
A．25
B．26
C．27
D．28
14%=7/50，即全班人数为50 的倍数，且不超过70 人，故全班总人数为50 人，都不及格的7 人，化
学及格30 人，物理40 人
代入公式：总人数-圈外=圈内总人数=总人次-重复部分，50-7=30+40-X，解得X=27，对应到C 选项
例题3（2023 浙江）
某班级对70 多名学生进行数学和英语科目摸底测验，有12%的学生两个科目均不及格。已知有2/3 的
学生英语及格，数学及格的学生比英语多10 人，那两科均及格的学生有多少人？
A．31
B．37
C．41
D．44
12%=3/25，即全班人数为25 的倍数，且是70 多人，故全班有75 人。根据题干可知都不及格有9 人，
英语及格50 人，数学及格60 人
代入公式：总人数-圈外=圈内总人数=总人次-重复部分，75-9=50+60-X，解得X=44，对应到D 选项
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例题4（2020 新疆）
某单位共有240 名员工，其中订阅A 期刊的有125 人，订阅B 期刊的有126 人，订阅C 期刊的有135
人，订阅A、B 期刊的有57 人，订阅A、C 期刊的有73 人，订阅3 种期刊的有31 人，此外，还有17 人没
有订阅这三种期刊中的任何一种。问订阅B、C 期刊的有多少人？
A．57
B．64
C．69
D．78
代入公式：总人数-圈外=圈内总人数=总人次-重复部分，240-17=125+126+135-57-73-X+31（中间的
部分减了3 次，所以需要再加一次），解得X=，64，对应到B 选项
例题5（2018 黑龙江）
联欢会上，有24 人吃冰激凌、30 人吃蛋糕、38 人吃水果，其中既吃冰激凌又吃蛋糕的有12 人，既
吃冰激凌又吃水果的有16 人，既吃蛋糕又吃水果的有18 人，三样都吃的则有6 人。假设所有人都吃了东
西，那么只吃一样东西的人数是多少？
A．12
B．18
C．24
D．32
只吃冰激凌和蛋糕的=12-6=6
只吃冰激凌和水果的=16-6=10
只吃蛋糕和水果的=18-6=12
批注[dundun1]:
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解法一：
只吃冰激凌的=24-6-6-10=2
只吃蛋糕的=30-12-6-6=6
只吃水果的=38-12-6-10=10
故只吃一种的有2+6+10=18 人，对应到B 选项
方法二：
代入公式：总人数-圈外=圈内总人数=总人次-重复部分
总人数X=92-46+6=52，故总人数52 人，利用隐藏公式总人数=吃一样的+吃两样的+吃三样=52，故只吃一
样的=52-6-（46-18）=18 人
补充：没有五项同时报的
代入公式：总人数-圈外=圈内总人数=总人次-重复部分，
100=200-3X-2X-40
带入隐藏公式：100=y-40+x+x
要减去重复数的人数，46-18（吃三样的被
加了三遍）=28
批注[dundun2]:
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例题6（2022 北京）
单位组织职工前往甲、乙、丙三个爱国主义教育基地学习，要求每名职工至少去1 个基地。已知有48
人去了甲基地，有42 人未去乙基地，去丙基地的人中，去1 个、2 个、3 个基地的人数比为3∶2∶1。如
仅去2 个基地和去3 个基地的职工分别有x 人和y 人，则x 和y 的关系为？
A．x＝4y＋6
B．x＝4y－6
C．x＝3y＋6
D．x＝3y－6
根据“丙基地的人中，去1 个、2 个、3 个基地的人数比为3∶2∶1”可画出，且可求出绿线部分为2Y
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根据去2 个基地和去3 个基地的职工分别有x 人和y 人，另一个绿圈内的数量伪x-y
故可求出去甲且未去乙的人数：48-（x-2y）-y
再根据有42 人未去乙基地可去除红裙部分=48-（x-2y）-y+3y=42，故化简可得x＝4y＋6,对应到A 选项。
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✎画图解决：
例题7（2023 广东县级）
某单位共有员工200 人，其中订阅杂志的人数比只订阅报纸的人数多88%。则报纸和杂志均未订阅的
员工有多少人？
A．36
B．56
C．76
D．96
根据订阅杂志的人数比只订阅报纸的人数（蓝圈）多88%，即其比例为188/100=47/25，即只订阅报纸的
人是25 的倍数，若为100 人则不符合题干要求，故只能是50 人，故订阅杂志的人数为94，代入公式可
得200=x+144 解的x=56，对应到B 选项。
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例题8（2023 深圳）
小明对甲、乙、丙三种手机软件的安装情况进行街头调查。随机选取的一批调查对象中，手机安装了
甲、乙、丙三种软件的人数分别是40，36，35，只安装了其中一种软件的人数分别占其中的25%、25%、
20%，同时安装了甲、乙两种软件而未安装丙软件的有4 人，同时安装了甲、丙两种软件而未安装乙软件
的人数比同时安装乙、丙两种软件而未安装甲软件的人数多3 人，有多少人同时安装了甲、乙、丙三种软
件？
A．15
B．21
C．27
D．33
根据题干可画出图
根据图可列出方程
14+x+y+3=26
Y+2x+3=28
解得x=2，y=21，故对应到B 选项
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例题9（2023 国考副省级）
农科院在某村287 名淡水鱼养殖人员中开展防病培训和育种培训。已知参加防病培训的养殖人员中，
参加育种培训的人数比未参加的多21%；参加育种培训的养殖人员中，参加防病培训的人数比未参加的多
76 人。问共有多少人未参加任何一项培训？
A．21
B．23
C．25
D．27
根据题意可得，因为参加防病培训的养殖人员中，参加育种培训的人数比未参加的多21%，故只参加防病
的一定是100 的倍数，且只能是100 才符合题干数据，故都参加的有121 人，则只参加育种的有45 人
代入公式：287=x+100+121+45，解的x=21，对应到A 选项
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例题10（2023 北京）
某公司有80 人报名参加会计、法律和技术三项培训中的一项或多项，三项培训的报名人数比为6∶5∶4。
已知同时参加会计和法律培训的人数，和同时参加法律和技术培训的人数，分别是同时参加会计和技术培
训的人数的70%和80%，且无人同时参加3 项培训，则只参加技术培训的有多少人？
A．4
B．6
C．8
D．10
根据题意画图
根据“已知同时参加会计和法律培训的人数，和同时参加法律和技术培训的人数，分别是同时参加会计和
技术培训的人数的70%和80%”设同时参加会计和技术培训的人数为10x 可得
代入公式：80=15y-25x→3y-5x=16，令x=1，则y=7
故只参加技术培训的：4y-18x=10，对应到D 选项
根据题意15y 需大于80 人，故该数据符合
题干要求
批注[dundun3]:
