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第五讲
溶液问题与十字交叉法
✎溶液问题：
溶质=浓度×溶液
例题1（2022 江苏C）
某种杀虫剂每桶5 公斤，浓度为40%，使用时需将浓度稀释到5%，每亩地喷洒60 公斤。
若某农户家中有4 亩地，则至少需要该杀虫剂多少桶？
A．3 桶
B．4 桶
C．5 桶
D．6 桶
【正确答案】D
【参考解析】
共需要多少公斤的溶质：4×60×5%=12 公斤
这种杀虫剂每桶有多少公斤溶质：5×40%=2 公斤
因此，共需要12÷2=6 桶，对应D 选项。
例题2（2022 深圳）
实验室有甲、乙、丙3 瓶盐酸溶液，浓度分别为10%、40%、60%，实验员将3 瓶溶液全
部倒入一瓶中，得到浓度为52%的盐酸溶液。已知乙溶液重量为甲溶液的1.5 倍，则丙溶液
重量为甲溶液的多少倍？
A．4.5
B．5.5
C．6.5
D．7.5
从杀虫剂的溶质入手。
批注[西西1]:
【正确答案】D
【参考解析】
已知乙溶液重量为甲溶液的1.5 倍，设甲溶液10 份，乙溶液15 份，丙溶液x 份。
开始的溶质有：①10×10%+15×40%+x×60%
混合后的溶质有：②52%×（25+x）
前后溶质不变，则有①=②，解出x=75。
则丙溶液重量为甲溶液的75÷10=7.5 倍，对应D 选项。
例题3（2022 湖北选调）
将一满容器浓度为24%的溶液放置太阳下暴晒一段时间，经过一段时间蒸发水分后溶液
浓度变为36%且无沉淀。然后再用浓度为12%的溶液将容器加满。请问容器内溶液浓度变为
多少？
A．24%
B．28%
C．30%
D．32%
【正确答案】B
【参考解析】
暴晒过程中溶液减少、溶质不变，用24 和36 的最小公倍数72 来对溶质进行赋值。
凑出题干溶液浓度：
72
=24%，求出x=300，
72
=36%，求出y=200。
因此，溶液由
72
300暴晒变成
72
200，水分蒸发了100，则需要再加入100 浓度为12%的溶液。
用浓度为12%的溶液将容器加满后，容器内溶液的浓度为
72+12
200+100=
84
300=28%，对应B 选项。
✎十字交叉法：
浓度=
溶质
溶液，平均分=
总分
人数，增长率R=
增长量
基期，合格率=
合格产品
总产品
上述公式均为A=
型，可以使用相同思路和方法解题。
本题为纯浓度问题，用溶质不变来进行解题，
不用十字交叉。本题可以用盐水计算，需要使用两次十字
交叉，比较麻烦。
批注[西西2]:
母题，需要记住。
批注[西西3]:
十字交叉方法的实质与方程思想相同，只是跳过了列方程的步骤，直接解方程。
十字交叉方法求出来的比例为分母之比，即A=
的C 之比。
例题4（2022 下四川）
某年级有甲、乙、丙三个班级，三个班级的期末考试平均成绩分别为70 分、88 分和74
分。若甲班和乙班的平均成绩为78 分，乙班和丙班的平均成绩为82 分。问该年级的期末考
试平均成绩为多少分？
A．75
B．77
C．79
D．81
【正确答案】B
【参考解析】
甲70
78
10
8 =
5
4（甲乙两个班级的人数之比）
乙88
乙88
82
8
6=
4
3（乙丙两个班级的人数之比）
丙74
综上，甲：乙：丙=5：4：3，则三个班级的平均分为
5×70+4×88+3×74
12
=77，对应B 选项。
（也可以通过列方程进行解题：70×甲+88×乙=78×（甲+乙），解出甲和乙两个班级的
人数之比，同理再解出乙和丙两个班级的人数之比。）
例题5（2023 上海）
某公司生产A．B 两种产品，其中B 是A 的升级产品。经过调研，预判2022 年市场对A
产品的需求比2021 年下降30%（A 产品的价格不变）。因此公司决定增加对B 产品营销，使
B 产品在2022 年的销售收入比2021 年增长70%，这样恰好使公司2022 年的总销售收入比
2021 年增长10%。则2021 年B 产品的销售额占总销售额的比例是多少？
A．40%
B．50%
C．60%
D．70%
【正确答案】A
【参考解析】
根据销售收入=销售量×单价，进行十字交叉：
A -30%
10%
60
40=
3
2（2021 年销售额之比）
B
70%
则2021 年B 产品的销售额占总销售额的比例为
2
5=40%，对应A 选项。
（列方程思路：21A×（-30%）+21B×70%=（21A+21B）×10%，整理得：
21A
21B=
70%−10%
10%−（−30%）=
3
2，
此结果与上述十字交叉结果相同。）
例题6（2022 甘肃）
某工厂要做如图①所示的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，需从仓库领取如图②中的
长方形和正方形纸板作侧面和底面，每次领取的纸板必须用完。工作人员领取记录如下表，
仓库管理员在核查工作人员四次领取纸板数的记录时发现有一次记录有误。问第几次记录有
误？
对应资料分析的盐水问题，求的是基期量。
批注[西西4]:
次数
正方形纸板（张）
长方形纸板（张）
第一次
562
933
第二次
420
860
第三次
502
1000
第四次
980
1015
A．一
B．二
C．三
D．四
【正确答案】D
【参考解析】
竖式纸盒：
长方形纸板
正方形纸板=
4
1，横式纸盒：
长方形纸板
正方形纸板=
3
2，故长方形纸板：正方形纸板的比值在[1.5,
4]区间内，由于第四次记录比值不在上述区间内，因此选项D 当选。
例题7（2022 北京）
甲、乙两条生产线每小时分别可以生产15000 件和9000 件某种零件，产品合格率分别
为99%和99.8%。现接到36 万件这种零件的生产任务，要求合格率不得低于99.5%，则两条
生产线合作，至少需要多少小时完成?
A．15
B．18
C．24
D．25
【正确答案】D
【参考解析】
甲99%
本题为类盐水问题，相当于一个浓度为150%
的溶液，和另一个浓度为400%的溶液混合在一起。混合溶
液的浓度一定在150%到400%中间。
批注[西西5]:
本题选项C 不严谨。根据比例，长方形纸盒
和正方形纸盒的和应该为5 的倍数。鉴于本题考察盐水知
识点，依然选择D 选项。
批注[西西6]:
直接用99.5%来计算临界值，不要用最值思
想，节省解题时间。
批注[西西7]:
99.5%
0.3
0.5=
3
5（甲乙生产的零件数量之比）
乙99.8%
每份零件数量为：36÷（3+5）=4.5 万件，甲的生产时间为3×4.5÷1.5=9 小时，乙的
生产时间为5×4.5÷0.9=25 小时，因此至少需要25 小时，对应D 选项。
例题8（2016 联考）
某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占总人数的30%，且音
乐系男女生人数之比为1∶3，美术系男女生人数之比为2∶3，问音乐系和美术系的总人数
之比为多少？
A．5∶2
B．5∶1
C．3∶1
D．2∶1
【正确答案】D
【参考解析】
男占比=男生/总人数
女占比=女生/总人数
音乐系
1
4
音乐系
3
4
3
10=
2
1
7
10=
2
1
美术系
2
5
美术系
3
5
根据十字交叉结果为2：1，对应D 选项。
改题1：求音乐系和美术系的女生人数之比？
求什么把什么放在分母上。
音乐系
1
3
3
7=
5
2
美术系
2
3
甲每小时可以生产15000 件零件。
批注[西西8]:
乙每小时可以生产9000 件零件。
批注[西西9]:
十字交叉求出来的比值为分母之比，因此只
要确保分母是音乐系总人数和美术系总人数之比，无论用
男生还是用女生都可以计算出正确选项。
批注[西西10]:
改题2：求音乐系和美术系的男生人数之比？
音乐系
3
1
7
3=
5
4
美术系
3
2
例题9（2020 山东）
由于改良了种植技术，农场2017 年种植的A 和B 两种作物，产量分别增加了10%和25%。
已知2017 年两种作物总产量增加了18%，问2017 年A 和B 两种作物的产量比为多少？
A．7∶8
B．8∶7
C．176∶175
D．77∶100
【正确答案】D
【参考解析】
A 10%
18%
7
8（2016 年的产量之比）
B 25%
则2017 年的产量之比为
7.7
10=
77
100，对应D 选项。
例题10（2023 深圳）
有甲、乙两种咖啡豆，按照质量比a：b 相混合制成一种拼配豆，已知甲咖啡豆每公斤
60 元，乙咖啡豆每公斤80 元，现因产量变化，甲咖啡豆单价上涨15%，乙咖啡豆单价下降
15%，以致该拼配咖啡豆的成本上调了5%，则a∶b 为多少？
A．1∶1
B．5∶3
C．8∶3
D．2∶1
【正确答案】C
十字交叉求出来的是基期之比。
批注[西西11]:
【参考解析】
总成本=质量×单价，质量不变的情况下，总成本的变化与单价的变化相同，因此甲乙
总成本分别上涨15%和下降15%。
甲
15%
5%
2
1（去年甲乙的成本之比）
乙-15%
甲的质量为
2
60，乙的质量为
1
80，比值为8：3，对应C 选项。
总结：
