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第六讲
余数、平方数与等差数列
✎等差数列：
例题1（2022 青海）
某市对下辖9 个文艺表演团体去年新创节目的数量进行统计分析，发现9 个团体新创节
目的数量恰好成等差数列，其中前5 个团体的新创节目总数是60，前7 个团体的新创节目
总数是70。那么这9 个文艺表演团体去年新创节目的总数是多少？
A．72
B．76
C．78
D．80
【正确答案】A
【参考解析】
a3=60/5=12，a4=70/7=10，d=-2,9 个团体中间相是a5=8,一共9 项，所以答案=8*9=72，
选A；
秒杀技巧：已知是9 个项数的和，就是9 倍的a5，所以答案一定是9 的倍数，只有A 是9 的倍数，
只能选A.
例题2（2022 江苏B）
某金融机构向9 家“专精特新”企业共发放了4500 万元贷款，若这9 家企业获得的贷
款额从少到多排列，恰好为一个等差数列，且排第3 的企业获得420 万元贷款，排第8 的企
业获得的贷款额为多少？
A．620 万元
B．660 万元
C．720 万元
D．760 万元
【正确答案】A
【参考解析】
a3=420，a5=500，d=(500-420)/2=40,a8=500+40*3=620,所以答案为A
例题3（2022 安徽）
某市举行庆典活动，将依次升空105 架无人机，升空方式如下：每架无人机间距均相等，
第一次升空n 架，第二次升空n－1 架，以此类推，最终在夜空中组成一个近似等边三角形
背景的灯光秀，那么第10 次升空的无人机数量是多少？
A．3 架
B．5 架
C．8 架
D．10 架
【正确答案】B
【参考解析】
题干是等差数列，设最后一项为a1=1，n 项为an=n，根据等差数列求和公式可得：
1+
2
×n=105，化简得：（1+n）n=210=14*15，所以n=14,又因为每次都少一个，所以第10 次升
空的=14-9=5
例题4（2021 安徽）
送奶工人给11 楼住户送牛奶，由于小区停电导致电梯无法使用。如果他走楼梯从第1
层到第2 层需要5 秒，以后每多走一层需多花2 秒，其中走到5 层以后每多走一层需多休息
5 秒，那么他走到11 层需要多少秒？
A．210
B．215
C．220
D．235
【正确答案】B
分布一定是这样的才会是等边三角形
批注[想过MJC1]:
将210 化成两个近似数相乘的样子，210
的约数只有2、3、5、7，所以210=14*15
批注[想过MJC2]:
走到11 层也就是走了10 层
批注[想过MJC3]:
【参考解析】
从1 层-2 层：5 秒，2-3:7 秒，3-4:9 秒，4-5:11 秒，5-6:13 秒，6-7:15 秒，10 个数
的等差中项为（a5+a6）÷2=（13+15）÷2=14，所以s10=14*10=140 秒，从第6 层开始需
要多休息5 秒，5-10 层需要休息的时间为：5、10、15、20、25，所以休息也是等差数列，
之和为15*5=75，所以一共需要的时间是140+75=215，所以选B
例题5（2022 下四川）
商场6 月6 日开始销售某种电器，从6 月7 日起，每天这种电器的销量都比前一天多1
台。已知6 月16 日卖了22 台这种电器，问其6 月共卖了多少台这种电器？
A．555
B．600
C．645
D．690
【正确答案】B
【参考解析】
30-5=25，25 天的中间项是第13 天，5+13=18，所以6 月18 日就是中间项，6 月16 是
22 台，6 月18 日就是22+2=24，一共是25 天，24*25=600，所以答案是B。
秒杀：一共25 天，总数应该是25 的中间项×25，所以答案一定是25 的倍数，只能选
B（同第一题）
例题6（2020 国考）
某种产品每箱48 个。小李制作这种产品，第1 天制作了1 个，以后每天都比前一天多
制作1 个。X 天后总共制作了整数箱产品。问X 的最小值在以下哪个范围内？
A．在41～60 之间
B．超过60
C．不到20
D．在20～40 之间
【正确答案】D
【参考解析】
数列和=
1+
2 ×x=48n，等差数列的x(1+x)都是相邻数，所以x(1+x)=96n=32×3n，两个挨着的
数肯定是一奇数一个偶数，32 的左右奇数是31 或者33，n 又必须是整数，所以n 只能是
11，所以x 最小只能是32，选D
第十一层到了，不用休息了，如果第5
层也休息了，那最后求和等于245，没答案，所以第5 层
没休息
批注[想过MJC4]:
从6 月6 日到6.30 日一共卖了几天，一
共30 天，前5 天不卖，所以是25 天
批注[想过MJC5]:
1、2、3、4......x
批注[想过MJC6]:
✎平方数问题：
11²=121
17²=289
40²=1600
12²=144
18²=324
45²=2025
13²=169
19²=361
14²=196
20²=400
50²=2500
15²=225
25²=625
16²=256
30²=900
例题7（2022 天津）
有一个20 世纪八九十年代出生的人，在21 世纪，恰好有一年，他年龄的平方数等于那
一年的年份。这个人是哪年出生的？
A．1995
B．1990
C．1985
D．1980
【正确答案】D
【参考解析】
40²=1600，50²=2500，正好45²=2025，是在21 世纪内的，所以正好在2025 年45 岁，所以
2025-45=1980，选D
例题8（2017 吉林）
已知张先生的童年占去了他年龄的1/14，再过了1/7 他进入成年，又过了1/6 他结婚
了，婚后3 年他的儿子出生了，儿子7 岁时，他们的年龄和为某个素数的平方，则张先生结
婚时的年龄是？
A．38 岁
B．32 岁
C．28 岁
D．42 岁
【正确答案】B
【参考解析】
儿子+张先生=某个质数的平方，11²=121.121-7=114 岁生的儿子，所以不可能是11，如
果是5²=25，25-7=18 岁生孩子也有点早，排除5，所以只有7 了，7²=49,49-7=42，42-10=32，
选B
例题9（2022 甘肃）
甲、乙两家大型医疗公司的负责人各带一名助手参加展会订购医疗器械。最终订单显示：
每人各自订购了不同种类医疗器械，且其订购的每种医疗器械台数恰巧等于他所订医疗器械
的种类数。每人订购的医疗器械种类数都未超过15 类，并且两位负责人所订购的医疗器械
台数不同，但都比自己的助手多购45 台。问甲、乙两公司一共订购了多少台医疗器械？
A．150
B．170
C．210
D．240
【正确答案】B
【参考解析】
医疗器械=每种台数*种类数=平方数=1².......15²，如果是1,1²=1,1+45=46，不是平方数
不行；如果是2²=4,4+45=49=7²，可以，以此类推6²+45=81=9²，可以；所以4+49+36+81=170，
选B
✎余数问题：
差同减差
余同加余和同加同
例题10（2023 广东县级）
某社区计划组建多支社工团队，为此招幕了一批社工。如果每支团队由3 名社工组成，
质数有2、3、5、7、11、
批注[想过MJC7]:
从小数往上加就行了
批注[想过MJC8]:
则剩余2 名社工；如果每支团队由4 名社工组成，同样剩余2 名社工，则该社区可能招募了
多少名社工？
A．32
B．34
C．36
D．38
【正确答案】D
【参考解析】
符合余数相同，随意可以表示成12n+2,因为都是30 多，所以n 取3，所以12n+2=38，
答案D
例题11（2019 江苏事业编）
N 为自然数，被9 除余数是8，被7 除余数是6，被5 除余数是4。已知100＜N＜1000，
则这样的数有多少个？
A．1
B．2
C．3
D．4
【正确答案】C
【参考解析】
35 与9 的最小公倍数=315,100＜N=315n-1＜1000，所以n 可以取1、2、3，选C
例题12（2018 山东）
某市场调查公司3 个调查组共40 余人，每组都有10 余人且人数各不相同。2017 年重
新调整分组时发现，若想分为4 个人数相同的小组，至少需要新招1 人；若想分为5 个人数
相同的小组，至少还需要新招2 人。问原来3 个组中人数最多的组比人数最少的组至少多几
人？
A．2
B．3
C．4
D．5
【正确答案】C
【参考解析】
20n+3=43，所以3 个数是13、14、16，选B
说明这个数÷3 余2
批注[想过MJC9]:
说明这个数÷4 余2
批注[想过MJC10]:
差同
批注[想过MJC11]:
÷4 余3，÷5 余3
批注[想过MJC12]:
