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上节回顾
1. 经济利润类一般题型：找到题干中的等式关系，列方程
2. 阶梯定价问题：注意每一个阶段收费是多少
3. 分批销售：用收入列方程
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第八讲
经济利润之增长率、函数最值
✎增长率相关：
例题1（2023 北京）
某公司去年的营业额比前年高20%，今年的营业额比去年高360 万元，比前年高600 万元。这3 年的
营业额一共是多少万元？
A．4200
B．4440
C．4680
D．4920
【正确答案】B
【实战解析】
设前年营业额为X，则今年营业额为X+600，去年营业额为X+240.
已知去年营业额比前年高20%，即R=20%；去年营业额比前年多240，即增长量=240
代入资料分析中前期A 的公式：
A =
= 240
20% = 1200
则总和为：
3X + 840 = 3600 + 840 = 4440
例题2（2023 辽宁）
某高校今年共有231 名本科毕业生被录取为硕士研究生。其中推荐录取人数比上年度减少1/6，而考
试录取人数比上年度增加31/150，总体录取人数比上年度高10%，那么，这所高校今年推荐录取的研究生
人数为多少？
A．40 人
B．45 人
C．50 人
D．55 人
【正确答案】C
【实战解析】
录取方式
去年
今年
推荐
60
50
考试
150
181
总计
210
231
验证：整体R = 21
210 = 10%
根据不同的已知条件想到表达式，利用资料
分析里面的比值增长率、乘积增长率入手解题。
批注[哆哆1]:
600-360=240
批注[哆哆2]:
231-181=50
批注[哆哆3]:
去年考试录取人数一定是150 的倍数，但不
可能到300，故去年考试录取人数为150
批注[哆哆4]:
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例题3（2023 黑龙江）
某口罩生产车间一月份生产口罩100 万包，以后每个月都比前一个月按相同增长率增长，四月份生产
口罩133.1 万包，这个增长率是多少？
A．10%
B．8%
C．6%
D．5%
【正确答案】A
【实战解析】利用年均增长率。
末期
基期
= （1 + R）
3 = 133.1
100 = 1.331
选项代入：
1.12 = 1.21；1.21 × 1.1 = 1.331
例题4（2022 湖北选调）
去年某厂的电解镍出厂价格为15 万元/吨。今年年初镍矿价格暴涨，因此该厂将电解镍的产能扩大了
25%。假设今年和去年生产的产品都全部售出，利润率与出厂价格之比为常数，该厂为实现今年电解镍利
润同比翻一番，请问今年该厂电解镍出厂价格为多少万元/吨？
A．15 2
B．10 3
C．6 10
D．20
【正确答案】C
【实战解析】
已知：产量增长率为25%；总利增长率为100%
根据：
单利= 总利
产量
故代入公式：
R单利= 100% −25%
1 + 25%
= 75
125 = 60%
由利润率与出厂价格之比为常数，利润率=
每吨单利
每吨收入，设去年收入为X，则有：
去年单利
去年收入
去年收入
= 今年单利
今年收入
今年收入
代入公式，有：
1
152 = 1.6
2
解得：
出厂价格即收入
批注[哆哆5]:
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X =
0.16 × 152 × 10 = 0.4 × 15 10=6 10
例题5（2021 浙江）
由于采用了新的种植技术，某种农产品的产量和品质都得到了提升。在平均每亩增产25%的同时，每
千克售价也增加了20%。尽管每亩生产成本增加了35%，但每亩利润也增加了100%。问采用新种植技术后，
每亩利润占每亩销售收入的比例在以下哪个范围内？
A．不到25%
B．25%～35%
C．35%～45%
D．超过45%
【正确答案】B
【实战解析】已知：平均亩产量增加25%，单价增加20%，由公式：
产量× 单价= 总收入
代入乘积增长率公式，则有：
收入= 25% + 20% + 5% = 50%
列表如下：
收入
成本
利润
去年
X+Y
X
Y
今年
1.35X+2Y
1.35X
2Y
由，每亩的收入增长了50%，有：
1.5（X+Y）=1.35X+2Y
化简得：
3X=10Y
令，X=10；Y=3
则有：
每亩利润
每亩收入
=
2Y
1.35X + 2Y =
6
19.5 = 12
39 = 4
13 = 30%+
1.每亩的产量增加
批注[哆哆6]:
2.单价增加
批注[哆哆7]:
每亩的收入增长了50%
批注[哆哆8]:
收入=成本+利润
批注[哆哆9]:
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例题6（2022 国考）
为降低碳排放，企业对生产设备进行改造，改造后日产量下降了10%，但生产每件产品的能耗成本下
降了50%，其他成本和出厂价不变的情况下每天的利润提高了10%。已知单件利润＝出厂价－能耗成本－
其他成本，且改造前产品的出厂价是单件利润的3 倍，则改造前能耗成本为其他成本的？
A．不到
1
4
B．
1
4 −1
3之间
C．
1
3 −
1
2之间
D．超过
1
2
【正确答案】B
【实战解析】
已知，R产量=−10%，R总利= 10%；
由单利=
总利
产量，则：
R单利= 10% −（−10%）
1 + （−10%）
= 2
9
列表如下：
单利
出厂价
能耗成本
其他成本
去年
9
27
X
Y
今年
11
27
0.5X
Y
列方程如下：
9 = 27 − −
11 = 27 −0.5 −
解得：
= 4
= 14
故，改造前能耗成本为其他成本的：
=
4
14 ≈28%
由题干，出厂价是单件利润的3 倍
批注[哆哆10]:
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✎函数最值：
做法固定，列出
Y = （X + M）（N −X）
则X1=-M，X2=N
最值点为：
X=
− +
2
例题7（2018 联考）
某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以4 元出售，可卖出20 万株，若苗木单价每提高0.4 元，
就会少卖10000 株。问在最佳定价的情况下，该公司最大收入是多少万元？
A．60
B．80
C．90
D．100
【正确答案】C
【实战解析】
收入=单价*数量，设收入为y,单价提高了X 个0.4 元
y = (4 + 0.4X )(20 −X)
解得：
X1=-10；X2=20
则最值点为：
X=5
将X=5 代入，解得Y=90
例题8（2020 江苏）
某商品的进货单价为80 元，销售单价为100 元，每天可售出120 件。已知销售单价每降低1 元，每
天可多售出20 件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是多少？
A．5 元
B．6 元
C．7 元
D．8 元
【正确答案】C
【实战解析】
收入=单价*数量，设收入为y,单价降低了X 元
y = (20 −X )(120 + 20X)
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解得X1=20；X2=-6
则最值点为：
X=7
例题9（2022 安徽）
北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十分畅销。销售期间某商家发现，进价为每个40
元的“冰墩墩”，当售价定为44 元时，每天可售出300 个，售价每上涨1 元，每天销量减少10 个。现商
家决定提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为多少？
A．51 元
B．52 元
C．54 元
D．57 元
【正确答案】D
【实战解析】
列方程如下：
Y=(4+X)（300-10X）
解得：
X1=-4；X2=30；
最值点为：
X=13
最终售价为44+13=57
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例题10（2019 重庆公检法）
某网站销售10 个不同档次的衬衣，其中最高档的每年销售500 件，每件利润为300 元。往下每降低1
个档次，每年销量增加1000 件，每件利润降低30 元。问年总利润最高的3 个档次的衬衣，全年销量之和
为多少万件？
A．1.05
B．1.50
C．1.65
D．1.80
【正确答案】C
【实战解析】
列方程如下：
Y=（300-30x）（500+1000X）
解得：
X1=10；X2=-0.5
最值点为：
X=4.75
此时，离它最近的三个整数为4、5、6。
第10 档为500 件，则第五档为0.55 万件
四五六档总和为：
0.55*3=1.65
