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第九讲
和定最值与最不利极限题
✎和定最值：
和定：要分配的数量之和的确定的（说明最值、极限是在一定框架、范围内）
思路：a1+a2+a3+......+an=总和。
最值：问最少，其他要尽量大。
问最大，其他要尽量小。
例题1（2023 安徽）
某小区物业准备了230 盒口罩免费派发给10 栋楼，要求任意两栋楼派发的口罩数量都不相同，但最
多相差不超过1 倍。假设口罩不拆盒发放，那么派发口罩数量最少的那栋楼最少可派发多少口罩？
A．18 盒
B．15 盒
C．14 盒
D．12 盒
【参考答案】C
【实战解析】
设派发口罩数量最少的楼派发了x 盒口罩，想要x 取到最小值，则其余楼发放口罩数要尽量多。根据“任意两
栋楼派发的口罩数量最多相差不超过1 倍”，可知派发数第一多的楼最多能发2x 盒；根据“任意两栋楼派发的
口罩数量都不相同”，可按下表进行派发:
数量排名
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
派发盒数
2x
2x-1
2x-2
2x-3
2x-4
2x-5
2x-6
2x-7
2x-8
x
可列式9×（2x-4）+x=230，解得x=14 盒子。
问最少，其他要尽量大。
批注[ZY1]:
计算技巧：
数量排名1-9 是等差数列，则1-9 的和为：
中位数×项数，即9×（2x-4）
批注[ZY2]:
本题中求出结果正好为整数，可直接根据所求
结果锁定选项。
如果求出的结果为非整数，问最小则要向上取整，比如求
出结果为14.1，也要取15，因为最少达不到14.
问最大则要向下取整，比如求出结果为14.9，也要取14，
因为最大达不到15.
批注[ZY3]:
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例题2（2023 辽宁）
19 个不同的正整数从小到大排序，总和为191，则最大的数只能取多少？
A．18
B．19
C．20
D．21
【参考答案】C
【实战解析】
要让最大的数尽量大，则其余的数应该尽量小。都是正整数且各不相同，则前18 个数取1-18，和为
171
18
2
18
1
。所以最大的数为191-171=20。
例题3（2022 上海）
某单位进行了一次绩效考评打分，满分为100 分。有5 位员工的平均分为90 分，而且他们的分数各
不相同，其中分数最低的员工得分为77 分，那么排第二名的员工至少得多少分？（员工分数取整数）
A．90
B．92
C．94
D．96
【参考答案】B
【实战解析】
根据题意，可知5 位员工的总分为90×5=450 分，若想第二名员工得分尽量少，则其他人得分要尽量高，设第
二名员工最少得x 分，则所有人得分情况如下表：
排名
1
2
3
4
5
得分
100
x
x-1
x-2
77
可列式100+x+x-1+x-2+77=450,解得x=92 分，此时第4 名为92-2=90＞77，符合题意。
例题4（2021 年国考）
某地10 户贫困农户共申请扶贫小额信贷25 万元。已知每人申请金额都是1000 元的整数倍，申请金
额最高的农户申请金额不超过申请金额最低农户的2 倍，且任意2 户农户的申请金额都不相同。问申请金
额最低的农户最少可能申请多少万元信贷？
A．1.5
B．1.6
C．1.7
D．1.8
【参考答案】B
【实战解析】
设申请金额最低的农户申请了x 万元，要让申请金额最低的农户申请金额最少，则其余农户申请金额要尽
量多。根据题意，各农户申请金额如下表：
第一名最高只能是100 分。
批注[ZY4]:
第三名最高要靠近第二名的分数。
批注[ZY5]:
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排名
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
申请金
额
2x
2x-0.1
2x-0.2
2x-0.3
2x-0.4
2x-0.5
2x-0.6
2x-0.7
2x-0.8
x
则有
25
x
9
4.0
x
2
）
（
，解得
5.1
x
，故申请金额最低的农户最少可能申请1.6 万元。
✎最不利极限题：
构造最点儿背的情况。
例如：行测、申论、公安，只要有一科过60 就录取，问至少考多少分能保证一定能考上？
最点儿背情况为三科都考59，此时只要再多考1 分就能保证有一科过60，故至少考59×3+1=178
分能保证一定能考上。
例题5（2023 山东）
一个袋子里装了50 个苹果，5 个香蕉，30 个橘子和50 个梨，若每次从袋子里随机取出1 个水果，问
至少需要取多少次能肯定拿出10 个相同种类的水果？
A．10
B．35
C．33
D．32
【参考答案】C
【实战解析】
排名1-9 为等差数列，可利用等差数列求和公
式：
Sn＝n×中位数＝n×平均数；
批注[ZY6]:
如果求出的结果为非整数，问最小则要向上取
整。
批注[ZY7]:
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要求肯定拿出10 个相同种类水果，即n=10。苹果、橘子、梨数量均超过10 个，为正常抽屉；香蕉数量不
足10 个，为小抽屉。故最少需要取3×（10-1）+5+1=33 次，能肯定拿出10 个相同种类的水果。
例题6（2022 河北）
有200 人参加招聘会，其中法学70 人，经济学60 人，工业设计50 人，统计学20 人，至少有多少人
找到工作才能保证一定有50 人的专业相同？
A．167
B．168
C．170
D．175
【参考答案】B
【实战解析】
代入最不利问题公式，至少有49×3+20+1=168 人找到工作才能保证有50 人专业相同。
例题7（2023 浙江）
某部门举行年会抽奖活动。抽奖箱里有80 个抽奖券，共20 个不同的数字，每个数字均出现4 次，且
分别对应一份礼品，不同的数字对应的礼品不同。每人当天限抽1 次。那么最少多少人当天参加抽奖活动，
才能保证至少有3 人领取的礼品相同？
A．41
B．42
C．61
D．62
【参考答案】A
【实战解析】
根据题意可知，共有20 种不同的礼品，每种有4 件，要想保证至少有3 人领取的礼品相同，最不利
的情况为，每种礼品都首先被2 人领取，共需20×2=40 人，此时下一人无论抽到哪种礼品，都可以保证3
人领取的礼品相同，故最少要40+1=41 人参与。
例题8（2018 山东）
甲、乙、丙和丁四个依次相邻的农场分别饲养76 头、82 头、45 头和93 头牛，位置如下图所示（虚
线位置为栅栏）。现由于两处栅栏损坏，有3 个农场的牛混在一起。问最多需要分辨多少头牛，就一定能
将所有牛还回原本的农场？
甲
乙
丙
丁
A．219
B．220
最不利问题常用解题思路：
构造最不利的情形，即苹果、橘子、梨都只拿出9 个，香
蕉拿出5 个，此时若再拿出1 个水果，无论是哪种水果，
都可以保证拿出10 个相同种类的水果；
数量不少于10 个的水果称之为“正常抽屉”，不到10 个
的称之为“小抽屉”，则最不利问题可记公式：至少有[正常
抽屉数×(n-1)＋小抽屉数量＋1]人，才能保证有n 人满足要
求。
批注[ZY8]:
最不利问题常用解题思路：
构造最不利的情形，注意“小抽屉”和“不符合情况”；
最不利问题可记公式：至少有[正常抽屉数×(n-1)＋小抽
屉数量＋1]人，才能保证有n 人满足要求；
注：若有不符合的情况，应先去掉。
批注[ZY9]:
最不利问题公式：至少有[正常抽屉数×（n-1）
+小抽屉数量+1]人，才能保证有n 人满足。
批注[ZY10]:
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C．250
D．251
【参考答案】A
【实战解析】
由“两处栅栏损坏，有3 个农场的牛混在一起”可知，未损坏的栅栏可能是甲乙之间或
丙丁之间，又由于想求的是混在一起的牛最多，则未损坏的栅栏为甲乙之间；
乙丙丁一共混在一起82＋45＋93＝220 头牛，最后一头不需分辨，即最多有219 头牛需
分辨。
✎其他极限思维：
例题9（2023 湖北选调）
公司组织员工团建，有6 项趣味活动，每个人最多参加三项不同的活动。如果每项活动需12 个人参
加且至少有8 个人只参加本项活动，那么本次团建至少有多少人参加？
A．56
B．60
C．64
D．72
【参考答案】A
【实战解析】
至少有8 个人只参加本项活动，则直接每项趣味活动先各分8 人，此时还剩（12-8）×
6=24 项活动没人参加，问最少人数，则剩余每个人参加活动尽量多，故最少还需要24/3=8
人，故本次团建至少有6×8+8=56 人参加。
只有最后一头无需分辨，直接送到还缺少牛的
农场，其余的牛都需要分辨。
批注[ZY11]:
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例题10（2022 北京）
下方九宫格中为从1 到9 不重复的9 个整数，虚线上角的数字为虚线所
经过区域的数字之和，则灰色格子中的数字最大可能是多少？
A．7
B．6
C．5
D．4
【参考答案】D
【实战解析】
九宫格9 个数字相加为45，所以虚线外3 个格子相加为45-11-27=7。因为3 个数字为1-9 不相同的数字，只有
一种情况为1+2+4=7，所以最大为4。
例题11（2023 浙江）
将一叠文件分为若干组，每组正好有10 份文件。已知其中2 组文件中有18 份通知，其余每组文件中
最多有5 份通知，且所有文件中通知占比正好为60%。那么这叠文件最多可能有多少份？
A．50
B．60
C．70
D．80
【参考答案】A
【实战解析】
分析题意可知，通知文件占比固定，要想文件总数最多，则通知文件应尽可能多，故有2 组文件中有18
份通知，其余组文件中都应有5 份通知。继而可以将文件分为2 部分，第一部分为有18 份通知的2 组，其通知
占比为
%
90
20
18
；第二部分为每份有5 份通知的其余组，其通知占比为
%
50
10
5
，采用十字相乘法可得：
有18 份通知的2 组：
90%
60-50=10
1
60%
其余组：
50%
90-60=30
3
可求得有18 份通知的2 组文件数与其余组文件数之比为1：3,故共有2×10×（1+3）=80 份文件。
【考场秒杀】
题干问最多，则考虑优先代入D 选项，文件共有80 份，则有8 组，其中2 组有18 份，其余6 组每组有5
份，此时通知占比为（18+5×6）/80=60%，符合题意，锁定A 选项。
凡是能表示成A=B/C 形式的比例关系，均可
看成是类浓度问题，即A 为浓度，B 为溶质，C 为溶液，
推荐利用“十字相乘法”解题，将不同变量巧妙的转化为
溶液解题。
本题中通知占比=通知数/总文件数，故求出的比例为总文
件数比例，每组文件数相同，故总文件数比例也为组数的
比例。
批注[ZY12]:
