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第一讲 和差倍比与方程法
✎方程法：
找到题干的等式关系！
例题1（2021 国考）
社区工作人员小张连续4 天为独居老人采买生活必需品，已知前三天共采买65 次，其
中第二天采买次数比第一天多50%，第三天采买次数比前两天采买次数的和少15 次，第四
天采买次数比第一天的2 倍少5 次。问这4 天中，小张为独居老人采买次数最多和最少的日
子，单日采买次数相差多少次？
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【解析】第一天出现的频率比较高，可以从第一天开始设未知数，设第一天x，则第二
天1.5x，第三天2.5x-15，第四天2x-5.前三天加在一起：5x-15=65，解得x=16。
依次代入，第一天16，第二天24，第三天25，第四天27，题目所求为27-16=11。
例题2（2024 深圳）
老刘家有100 亩草场，平均每亩草场年产草料4 吨。草场上饲养了羊、驴、牛共252
头，每头羊年均需草料1 吨，每头驴年均需草料2 吨，每头牛年均需草料5 吨。去年老刘家
草场恰好能满足草料需求，今年老刘没有饲养羊，但驴和牛的数量都翻了一倍，草场仍恰好
满足草料需求，则老刘家去年饲养了多少头牛？
A．32
B．33
C．34
D．35
【答案】A
【解析】
批注 [1]: 等式关系：把前3 天表示出来，加和等于65
方法一：依次设养了羊、驴、牛x、y、z 头，可列方程：
(
)
=
+
=
+
+
=
+
+
400
5
2
2
400
5
2
252
z
y
z
y
x
z
y
x
今年情况：
吃的草料：
头数：
解得x=200，y=20，z=32
方法二：分析题干，去年驴和牛共吃200 吨草料，羊吃了200 吨，所以有200 只羊。
设驴和牛各x、y 头：
=
+
=
+
200
5
2
52
y
x
y
x
解得x=200，y=20，z=32
例题3（2024 国考副省）
甲、乙、丙和丁四个汽车租赁公司可用汽车数量比为5:4:3:2，现甲公司调度4 辆汽车
到丙公司，丁公司调度1 辆汽车到乙公司后，丁公司可用汽车数量正好是丙公司的60%。问
此时甲公司的可用汽车数量比乙公司？
A．少12 辆
B．少22 辆
C．多12 辆
D．多22 辆
【答案】C
【解析】设未知数
汽车租赁公司
甲
乙
丙
丁
调度前
5x
4x
3x
2x
调度后
5x-4
4x+1
3x+4
2x-1
根据等式关系列方程：0.6（3x+4）=2x-1，解得x=17
所求甲-乙=5x-4-（4x+1）=x-5=12 量。
例题4（2024 国考地市）
某县开展冬日暖心活动，向困难户发放慰问大礼包，各镇根据实际情况安排物资发放。
乙镇平均每个困难户发放的大米比丙镇多1 袋，比甲镇少1 袋，且各镇发放的大米总量相同。
若甲镇的困难户比乙镇少60 户，比丙镇少150 户，则这三个镇发放的大米共有多少袋？
A．1800
B．3600
C．5400
D．7200
批注 [2]: 本题等式关系
批注 [3]: 用一个未知数能表示出三个镇发放的大米袋数
批注 [4]: 再用一个未知数能表示出这三个镇的户数
批注 [5]: 各镇发放的大米总量相同，所以3 个镇总量=3×
各镇总量，这里存在一个3 倍关系，选项通常会设置一个
干扰项，C 选项是A 选项的3 倍，A 是干扰项，如果考试
时间不够可以直接蒙C。
有时间还是别蒙。
【答案】C
【解析】设大米袋数，再设困难户数量
甲
乙
丙
大米袋数
X+2
X+1
x
困难户数量
y
Y+60
Y+150
列方程：(x+2)y=(x+1)(y+60)，整理得y-60x=60
（x+2）y=x（y+150）,整理得y=25x，联立这两个方程，解得x=4，代回去，所求为5400.
例题5（2022 国考）
张和李2 名社区工作者上门统计某小区内住户的新冠疫苗接种情况，两人各负责1 栋住
宅楼，每访问1 户居民均需要5 分钟。李因处理公文比张晚出发一段时间。已知14:00 时两
人共访问63 户，15:00 时张访问的户数是李的2 倍。问李访问完50 户居民是在什么时候？
A．16:30
B．16:45
C．17:00
D．17:15
【答案】B
【解析】方法1：两个方程两个未知数，可自行解方程：
14 点时候，张+李=63；
15 点时候，过了一小时，张+12=2（李+12）。
方法2：直接看15 点，如果有多个未知数，可以看其中两个能不能构成一个整体。
把张李看作一个整体，14 点时，张李=63；15 点，张李=87，87 可以分为3 份，张58，
李29。李在3 点访问了29 户，距离50 还有21 户，每5 分钟访问一户，21×5=105 分钟，
从3 点开始105 分钟之后，对应16:45.
例题6（2023 国考副省级）
甲、乙、丙三家科技企业2021 年的收入之和比2020 年提升了20%。其中甲企业的收入
上升了400 万元，乙企业的收入下降了100 万元且是甲企业收入的一半，丙企业的收入上升
了30%且其2020 年的收入与甲、乙两企业同年收入之和相同。问2020 年甲企业的收入比乙
企业高多少万元？
A．900
B．1100
C．400
D．600
【答案】D
【解析】
科技企业
甲
乙
丙
2020
2x-400
X+100
3x-300
批注 [6]: 大米袋数×困难户数量为各镇发放的大米总量，
各镇发放的大米总量相同。
批注 [7]: 等式关系
2021
2x
x
3.9x-390
根据题意，可列：
1.2（2x-400+X+100+3x-300）=2x+x+3.9x-390，整理得0.3x=330，x=1100
求：甲-乙=x-500=600
✎不定方程：
未知数多于方程数量！！！
常见解法：倍数特性、尾数法、奇偶法
例题7（2020 下半年四川）
某人花400 元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个品种的樱桃单价分别为28 元/
盒、32 元/盒和33 元/盒，问他最多购买了多少盒丙品种的樱桃？
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】设甲、乙、丙分别为x、y、z 盒。
根据题意列方程：28x+32y+33z=400，其中28x、32y、400 分别为4 的倍数，则33z 也
是4 的倍数，33 不是4 的倍数，那么z 是4 的倍数，求z，选项里只有B 是4 的倍数，选B。
例题8（2018 江苏）
小李为办公室购买了红、黄、蓝三种颜色的笔若干支，共花费40.6 元。已知红色笔单
价为1.7 元、黄色笔为3 元、蓝色笔为4 元，则小李买的笔总数最多是多少支？
A．19 支
B．20 支
C．21 支
D．22 支
【答案】C
【解析】给了单价和总价，可以根据总价列方程。
设红、黄、蓝分别x、y、z 支，均为整数支，可列方程：1.7x+3y+4z=40.6，
因为笔是整数支，所以3y 和4z 都是整数，最后总花费有小数点，小数点来自1.7x，
小数点后尾数是0.6，x 可以是8、18、28……想买的笔总数尽量多，那需要多买便宜的，
因此要x 尽量大，选项最大到22，x≤22，x 最大取到18。1.7x=1.7×18=30.6，代入方程
3y+4z=10，4z 和10 都是2 的倍数，因此3y 也是2 的倍数，3 不是2 的倍数，所以y 是2
的倍数。y=2 时，z=1，总数为18+2+1=21.
例题9（2020 浙江）
某会务组租了20 多辆车将2220 名参会者从酒店接到活动现场。大车每次能送50 人，
小车每次能送36 人，所有车辆送2 趟，且所有车辆均满员，正好送完，则大车比小车？
A．多5 辆
B．多2 辆
C．少2 辆
D．少5 辆
【答案】A
【解析】设大车x 辆，小车y 辆。
所有车辆送2 趟，则送1 趟是：50x+36y=1110，整理得：25x+18y=555.
25x 和555 是5 的倍数，18y 也得是5 的倍数，18 不是5 的倍数，y 是5 的倍数。
当y=5，不符合；
当y=10，x=15，符合题目要求。
例题10（2022 江苏）
某企业年终评选了30 名优秀员工，分三个等级，分别按每人10 万元、5 万元、1 万元
给与奖励。若共发放奖金89 万元，则获得1 万元奖金的员工有多少？
A．14 人
B．19 人
C．20 人
D．21 人
【答案】B
【解析】设获得3 个奖项的优秀员工分别有x、y、z 人，根据题意，可列方程：
=
+
+
=
+
+
30
89
5
10
z
y
x
z
y
x
联立，整理可得：4z=61+5x，61 是奇数，4z 是偶数，奇数+奇数=偶数，所以5x 也是奇数，
x=1、3、5……分别试解，当x=3 时，z=19，y=8，符合题意，选B。
例题11（2024 联考）
商店销售甲、乙、丙、丁四种商品，每件分别盈利15 元、9 元、4 元和1 元。某日销售
这四种商品共40 件，共盈利201 元。四种商品每种至少销售1 件，且甲、丁商品销量相同。
问当天丙商品的销量为多少件？
A．21
B．27
C．29
D．31
【答案】D
【解析】分别设甲、乙、丙、丁四种商品销量为x、y、z、x 件。
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
+
+
+
201
4
9
16
4
9
15
40
2
z
y
x
x
z
y
x
z
y
x
x
z
y
x
联立整理得：4z-y=119,4z=119+y。因为y≥1,4z≥120，z 最小为30，只有D 选项符合
条件。
例题12（2023 上海）
足球比赛在每个半场结束时都有一段时间的伤停补时，这是由当值主裁判决定的。某场
比赛的主裁判确定伤停补时的规则为：每次处理受伤增加30 秒，每次换人增加20 秒，其他
情况每次增加10 秒。在下半场即将结束时，主裁判确定伤停补时的时长为4 分30 秒。若已
知下半场比赛时间内，处理受伤、换人和其他情况都存在且共计有10 次，那么下半场两队
总共换了多少人？
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】设处理受伤x 次、换人y 次、其他情况z 次。
=
+
+
=
+
+
10
270
10
20
30
z
y
x
z
y
x
，整理得2x+y=17。Y=1 时，x=8，z=1，符合条件。Y=2、3 时
都不符合题目要求，因此选A。
✎倍比问题：
例题13（2022 天津）
一个袋子里红球、白球、蓝球的数量比例为3∶8∶4，再向袋子中放入14 个红球和若
干个蓝球后，红球、白球、蓝球的数量比例变为5∶4∶3。如果此时从袋子里取出10 个红
球、6 个白球和2 个蓝球后，袋子里剩余红球、白球、蓝球的数量比例为多少？
A．1∶2∶1
B．2∶3∶1
C．1∶1∶2
D．1∶1∶1
【答案】D
【解析】没放白球，白球没变。
比例从8 变成4，是约分了。
把比例还原回去。原来3∶8∶4，现在5∶4∶3，即10∶8∶6。
红球加了7 份，7 份=14，即一份为2 个。数量分别为20 个、16 个、12 个，取出后，
剩10 个，10 个，10 个，比例为1:1:1.
例题14（2024 国考副省）
市政部门采购了一批灯带用于美化夜景，有30 灯珠/条的M 型和60 灯珠/条的N 型两种
规格，单价分别是20 元/条和30 元/条。已知所采购M 型灯带的总灯珠数量是N 型的2 倍，
M 型灯带的总价比N 型多3 万元，问共采购灯带多少条？
A．2400
B．2700
C．3000
D．3300
【答案】C
【解析】总灯珠=单条灯珠数×数量
M
N
总灯珠（份数）
2
1
单条灯珠数（份数）
0.5
1
数量（份数）
4
1
4
60
30
1
2
=
=
= 每条灯珠数
灯珠总数量
灯珠条数
，M 型买4 份，N 型买1 份，一共买的是5 的倍数，C
选项5×600，C 是正确答案概率高。
设买N 灯带x 条，4x×20-30x=30000，解得x=600.
批注 [8]: 没放白球，白球没变。
