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关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等 第 1 页 第四讲 整除问题和合作完工问题 ✎利用倍数特性解决不定方程： 例题1（2024 联考） 大学生创业主要集中在高科技、智力服务、连锁加盟和自媒体运营四个领域。某学院今年选择创业的 大学毕业生不到50 人，其中选择智力服务领域、连锁加盟领域和自媒体运营领域的分别占 1 7， 1 2和 1 3。那么 该学院今年选择高科技领域创业的大学毕业生有多少人？ A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【解析】先求得7、2、3 的最小公倍数为42，又因为题干说总人数不到50 人，所以总人数只能是42 人， 则智力服务领域人数为42× 7 1 =6 人；连锁加盟领域人数为42× 2 1 =21 人；自媒体运营领域人数为42× 3 1 =14 人，故高科技领域人数为42-6-21-14=1 人，对应到A 选项。 例题2（2023 北京） 某单位3 个部门共有员工50 人，拥有中级工程师职称的人员比重为40%。其中甲、乙两个部门拥有中 级工程师职称的人员比重分别为45%和32%，则丙部门拥有中级工程师职称的人员比重为多少？ A．60% B．52% C．44% D．36% 【答案】A 【解析】甲部门中级工程师职称的人员比重为 20 9 100 45 = ；乙部门中级工程师职称的人员比重为 25 8 100 32 = ， 根据整除特性可知，甲部门员工总数为20 的倍数，乙部门员工总数为25 的倍数，又因为三个部门总人数 为50，故甲部门员工总数为20 人，乙部门为25 人，丙部门为5 人，且甲部门拥有中级工程师职称人数为 9 人，乙部门为8 人，又已知3 个部门共有中级工程师职称的人员为50×40%=20 人，故丙部门拥有中级 关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等 第 2 页 工程师职称人数为3 人，所占比重为 5 3 ，对应到A 选项。 例题3（2018 山东） 某企业有不到100 名员工，本月只有1/12 的员工未得到每人1000 元的全勤奖，只有13 名员工未得 到每人1000 元的绩效奖，两个奖都未得到的员工占员工总数的1/14。问企业本月共发放全勤奖和绩效奖 多少万元？ A．7.1 B．12.6 C．14.8 D．16.8 【答案】C 【解析】先求出12 与14 的最小公倍数84，又因为员工总数不到100 人，所以总人数为84 人。则可以求 出，未得到全勤奖的有7 人，得到全勤奖的有77 人，得到绩效奖的有84-13=71 人，企业本月共发放全勤 奖和绩效奖=（77+71）×1000=14.8 万，对应到C 选项。 例题4（2021 国考） 某地调派96 人分赴车站、机场、超市和学校四个人流密集的区域进行卫生安全检查，其中公共卫生 专业人员有62 人。已知派往机场的人员是四个区域中最多的，派往车站和超市的人员中，专业人员分别 占64%和65%，派往学校的人员中，非专业人员比专业人员少30%，问派往机场的人员中，专业人员的占比 在四个区域中排名 A．第一 B．第二 C．第三 D．第四 【答案】A 【解析】车站专业人员人数占比为 25 16 100 64 = ；超市专业人员人数占比为 20 13 100 65 = ；学校专业人员人数占 比为17 10 ，故去车站的总人数是25 的倍数，去超市的总人数为20 的倍数，去学校的总人数为17 的倍数， 又因为总人数为96 且派往机场的人员是四个区域中最多的，所以去车站的总人数是25 人，超市为20 人 学校为17 人，通过计算得出去机场的总人数为34 人，故去车站的专业人员为16 人，超市为13 人，学校 为10 人，机场为23 人，则占比为34 23 大于66.6%，占比最高，对应到A 选项。 例题5（2019 联考） 某农户饲养有肉兔和宠物兔两种不同用途的兔子共计2200 只，所有兔子的毛色分为黑、白两种。肉 批注 [毛豆十三1]: 与谁比谁是基期，假设专业人员是10 份，则非专业人员为7 份。 批注 [毛豆十三2]: 盐水思想： 3 2 3 2 3 2 4 30 3 20 34 23 ，故总体占比大于 ，右边大于 ，左边为 + + = 批注 [毛豆十三3]: % 60 17 10 不到 。 关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等 第 3 页 兔中有87.5%的毛色为黑色，宠物兔中有23%毛色为白。据此可知，毛色为白色的肉兔至少有多少只？ A．25 B．50 C．100 D．200 【答案】A 【解析】白兔在宠物兔中的占比为100 23 ，黑色肉兔在肉兔中的占比为8 7 ，故宠物兔总数为100 的倍数，肉 兔总数为8 的倍数，并且兔子总数为2200，是100 的倍数，所以肉兔也得是100 的倍数，又因为题干问白 色肉兔至少为多少，则要肉兔总数最少，只能是200，所以白色肉兔数量最少为200× 8 1 =25，对应到A 选 项。 ✎利用整除特性解决纯整除问题： 3 的倍数：各位数字之和是3 的倍数； 9 的倍数：各位数字之和是9 的倍数； 最后一位能被2 或5 整除，这个数能被2 或5 整除； 最后二位能被4 或25 整除，这个数能被4 或25 整除； 最后三位能被8 或125 整除，这个数能被8 或125 整除； 例题6（2021 上海） 公司购买某设备24 套，现要登记单价，但是数据上没有标注单价，且总价第一位和最后一位模糊不 清，只看到是☆579△元。则☆可能是几？ A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【解析】将24 因式分解为3×8，所以这个数即是3 也是8 的倍数，则后三位需要是8 的倍数，△只能是 2；所有数字之和需要是3 的倍数，则☆可以是1、4、7，观察选项，只能是C。 例题7（2015 黑龙江） 小李某月请了连续5 天的年假，这5 天的日期数字相乘为7893600，问他最后一天年假的日期是？ A．25 日 B．26 日 C．27 日 D．28 日 【答案】B 【解析】将所有各位数字相加等于33，可以确定此数是3 的倍数并且不是9 的倍数，则5 天的日期相乘只 能出现一个3 因子，观察选项，只有B 选项符合。 关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等 第 4 页 例题8（2022 深圳） 小王从图书馆借了一本书，书共204 页，阅读时，他发现书的前半部分有连续的4 个页码被墨水污染， 将其余200 个页码加总，其和刚好可以被85 整除，则被污染的4 个页码中最小的数是多少？ A．100 B．95 C．75 D．41 【答案】D 【解析】先计算204 页总数为 102 205 2 204 204 1 = + ） （ ，其中102 可以拆成6×17，205 一定是5 的倍 数，故205×102 是85 的倍数，又因为剩余200 个页码加总其和刚好可以被85 整除，所以被污染的4 个 页码总和也是85 的倍数，通过计算可知，D 选项当选。 例题9（2020 国考） 某种产品每箱48 个。小李制作这种产品，第1 天制作了1 个，以后每天都比前一天多制作1 个。X 天 后总共制作了整数箱产品。问X 的最小值在以下哪个范围内？ A．在41～60 之间 B．超过60 C．不到20 D．在20～40 之间 【答案】D 【解析】利用等差数列求和公式求得X 天后制作总量为 2 1 X X + ） （ =48N，（1+X）×X=96N，根据奇偶特 性，X 与（X+1）一奇一偶，则96N 也应拆分成一奇一偶相乘，等于32×3N，3N 一定为奇数，故N=11，X 为32，在D 选项范围内。 ✎合作完工问题的整体思想： 例题10（2018 浙江） 某蛋糕店接到300 个蛋糕的订单。已知老板一天能做30 个蛋糕，店员小红一天只能做10 个。蛋糕制 作过程中，老板有一个周末外出，小红请了8 天假，两人在外时间不重叠。问制作这批蛋糕一共花了多少 天？ 关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等 第 5 页 A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【解析】老板外出时，小红做了20 个蛋糕；小红请假时，老板做了240 个蛋糕，此时还剩40 个蛋糕没做， 正好是老板和小红一天的制作量，故总时间=2+8+1=11 天，对应到A 选项。 例题11（2017 年国考） 某商铺甲乙两组员工利用包装礼品的边角料制作一批花朵装饰门店。甲组单独制作需要10 小时，乙 组单独制作需要15 小时，现两组一起做，期间乙组休息了1 小时40 分，完成时甲组比乙组多做300 朵。 问这批花有多少朵？ A．600 B．900 C．1350 D．1500 【答案】B 【解析】已知时间，可设工作总量为30N，甲的效率为3N，乙的效率为2N，甲每小时比乙多做N 朵花； 乙休息时，甲完成了3N× 3 5 =5N，此时总量还剩25N，还需合作完工时间为 N N 5 25 =5 小时，则在剩下这5 小时内，甲还将比乙多做5N 朵花，故甲总计比乙多做10N 朵花，N=30，总量为30×30=900，对应到B 选项。 例题12（2022 江苏B） 甲、乙、丙三个物流公司合作完成两个仓库K 和L 的货物搬运任务。已知两个仓库的工作量相同，他 们先在K 工作2 小时，完成了K 工作量的75%；然后乙、丙先去L 工作，甲留在K 继续工作，并用3 小时 完成了K 的剩余工作量后再去L 工作，直至任务全部完成。甲在L 工作的总时间为多少？ A．20 分钟 B．30 分钟 C．40 分钟 D．50 分钟 【答案】A 【解析】设K、L 的总量都为4，根据题干列式：2（甲+乙+丙）=3，则甲+乙+丙一小时的工作效率为2 3 ， 由于三个工作组都没有休息，故他们完成所有的工作需要的时间为 3 16 2 3 8 = ，甲在L 工作的总时间=甲工作 的总时间-甲在K 工作的总时间= 3 1 5 3 16 = − 小时，对应到A 选项。 例题13（2022 四川） 工厂甲、乙、丙3 条生产线共同完成一项任务，甲、丙先合作两天，完成了全部任务的1/3，接着乙、 丙合作两天完成剩下任务的45%，最后甲、乙合作两天恰好完成剩余任务。问甲完成的部分占全部任务的 多少？ A．4/15 B．1/3 关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等 第 6 页 C．2/5 D．3/5 【答案】C 【解析】设总工作量为1，根据题干可知，甲、乙、丙都干了四天，可得4（甲+乙+丙）=1，2（乙+丙）= （1- 3 1 ）×100 45 = 10 3 ，则4（乙+丙）= 10 6 ，故4 甲=1- 5 3 = 5 2 ，对应到C 选项。
