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关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等 第 1 页 第九讲 和定最值与最不利极限题 ✎和定最值： 问谁就把谁设成x 其他人用x+1、x-1…来表示 问最多 其他人应尽量少 问最少 其他人应尽量多 例题1（2023 安徽） 某小区物业准备了230 盒口罩免费派发给10 栋楼，要求任意两栋楼派发的口罩数量都不相同，但最 多相差不超过1 倍。假设口罩不拆盒发放，那么派发口罩数量最少的那栋楼最少可派发多少口罩？ A．18 盒 B．15 盒 C．14 盒 D．12 盒 【参考答案】C 【实战解析】问最少，其他楼栋应该尽量多。设派发口罩数量最少的那栋楼派发了x 盒，则派发口罩 数量最多的那栋楼至多派发了2x 盒，“第二多、第三多…”可依次表示为“2x-1、2x-2…2x-8”。 可列等式为：2x+2x-1+2x-2+…+2x-8+x=230，求得x=14，C 选项当选。 例题2（2021 广东县级） 某街道服务中心的80 名职工通过相互投票选出6 名年度优秀职工，每人都只投一票，最终A、B、C、 D、E、F 这6 人当选。已知A 票数最多，共获得20 张选票；B、C 两人的票数相同，并列第2；D、E 两人 票数也相同，并列第3；F 获得10 张选票，排在第4。那么B、C 获得的选票最多为多少张？ A．11 B．12 C．13 D．14 【参考答案】D 【实战解析】B、C 需要尽量多，那么其他人就需要尽量少。设第二名为X，其他人要尽量少，那么设 第三名为11。 批注 [1]: 注：若求得x 不为整数，如x=14.5，则应选择B 选项（设的是最少的数值，故应该向上取整）。 关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等 第 2 页 1 2 2 3 3 4 20 X X 11 11 10 可列等式为：20+X+X+11+11+10=80，求得x=14，D 选项当选。 例题3（2022 上海） 某单位进行了一次绩效考评打分，满分为100 分。有5 位员工的平均分为90 分，而且他们的分数各 不相同，其中分数最低的员工得分为77 分，那么排第二名的员工至少得多少分？（员工分数取整数） A．90 B．92 C．94 D．96 【参考答案】B 【实战解析】设排第二名的员工至少得x 分，第二名得分尽量少，那么其他人得分应该尽量多。则第 一名得分可为满分100，第三名得分设为x-1，第四名得分应为x-2。 可列等式为：100+x+x-1+x-2+77=450，求得x=92，B 选项当选。 例题4（2021 上海） 有一座13.2 万人口的城市，需要划分为11 个投票区，任何一个区的人口不得超过其他区人口的10%， 那么人口最少的地区可能有多少人？ A．9800 B．10500 C．10700 D．11000 【参考答案】D 【实战解析】设人口最少的地区有x 人，x 尽量少，其他地区应尽量多，则设其他地区均有x＋0.1x 人。 可列等式为：10*1.1x+x=13.2，求得 x=1.1，人口最少时该地区人数为 1.1 万，故 ABC 一定不成立， D 选项当选。 例题5（2019 江西法检） 某高校计划招聘81 名博士,拟分配到13 个不同的院系,假定院系A 分得的博士人数比其他院系都多, 那么院系A 分得的博士人数至少有多少名？ A．6 B．7 C．8 D．9 【参考答案】C 批注 [2]: 题目没表明各不相同，其他地区可并列最大。 关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等 第 3 页 【实战解析】设院系A（第一名）分得的博士人数至少有 x 名，第一名尽量少，其他院系应该尽量 大，则设其他院系分得的博士人数为 x-1，列等式为：x+12（x-1）=81，求得 x=7+，向上取整取 8，C 选项当选。 例题6（2023 浙江事业单位） 总公司选派110 多名员工到5 家分公司进行基层锻炼，每个分公司分到的人数均不同。已知选派人数 第二多的分公司人数比第四多的多10 人，选派人数最多的分公司的人数占总选派人数的 1 3，但未超过最少 人数的3 倍。那么选派人数最少的分公司的选派人数至多可能是多少人？ A．13 B．14 C．15 D．16 【参考答案】D 【实战解析】设最后一名最多能是 x 人，问最后一名最多能是多少，所以其他应该尽量小！因为问 “最后一名最多能是多少”，所以总人数也应该尽量多，总人数应为 117，第一名为 117÷3=39，可以设 第四名为 x+1 人、第三名为 x+2 人、第二名为 x+11 人。 1 2 3 4 5 39 X+11 X+2 X+1 X 可列等式为：39+x+11+x+2+x+1+x=117，求得 x=16，D 选项当选。 ✎最不利极限题： 常见问法：至少……才能保证…… 解题思路：找到最不利（最点背）情况＋1 例题7（2023 山东） 批注 [3]: 题干没表明各不相同，则其他院系可以并列最小 批注 [4]: 最少分得7 点几个人，向上取整。 批注 [5]: 总人数应该是3 的倍数，可能为111、114、117. 批注 [6]: 第二比第四多10 人。 关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等 第 4 页 一个袋子里装了50 个苹果，5 个香蕉，30 个橘子和50 个梨，若每次从袋子里随机取出1 个水果，问 至少需要取多少次能肯定拿出10 个相同种类的水果？ A．10 B．35 C．33 D．32 【参考答案】C 【实战解析】最不利情况：前32 次拿出9 个苹果、5 个香蕉、9 个橘子、9 个梨，则只需要再任意拿 出来一个即可满足10 个相同水果，即最不利情况+1=33，C 选项当选。 例题8（2022 河北） 有200 人参加招聘会，其中法学70 人，经济学60 人，工业设计50 人，统计学20 人，至少有多少人 找到工作才能保证一定有50 人的专业相同？ A．167 B．168 C．170 D．175 【参考答案】B 【实战解析】最不利情况：招了167 个人分别是49 个法学、49 个经济学、49 个工业设计、20 个统 计学，则再招一个任意专业的即可满足50 个同专业，即最不利情况+1=168，B 选项当选。 例题9（2021 河北） 某草莓经销商有201 箱的草莓要分配给若干个水果店，要求无论选用怎样的分配方式，都要有水果店 至少分到8 箱，则水果店至多有多少个？ A．20 个 B．21 个 C．28 个 D．29 个 【参考答案】C 【实战解析】最不利情况：所有水果店都分到7 箱，用201÷7=28 余5，这5 箱任意分都满足有水果 店分到8 箱，则28 个水果店时就满足，也是至多的情况，C 选项当选。 例题10（2018 浙江事业单位） 某放映行有80 名观众观看电影，已知有5 名未成年人，观众年龄最大的69 岁，问至少有多少名观众 有同龄人？ A．23 B．24 批注 [7]: 29 个水果店时，其中28 家分7 箱，另外一家分 5 箱，不满足不管如何分都能有水果店分到8 箱。 关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等 第 5 页 C．25 D．26 【参考答案】B 【实战解析】已知：不到 18 岁的有 5 个人，观众年龄最大的 69 岁，那么18 岁到69 岁中共有 69-18+1=52 种年龄，要让同龄人的人数尽量少，那么应该让大家年龄都不同，让每个年龄都有一个人时 共有 52+5=57 人，余下人数为 80-57=23 人，这 23 人会跟之前成年人中某一个人的年龄相同，故同龄 人有23+1=24 人，B 选项当选。 例题11（2023 浙江） 某部门举行年会抽奖活动。抽奖箱里有80 个抽奖券，共20 个不同的数字，每个数字均出现4 次，且 分别对应一份礼品，不同的数字对应的礼品不同。每人当天限抽1 次。那么最少多少人当天参加抽奖活动， 才能保证至少有3 人领取的礼品相同？ A．41 B．42 C．61 D．62 【参考答案】A 【实战解析】2*20（20 个不同的数字均有 2 人抽到）+1=41，A 选项当选。 ✎反向构造： 容斥里的最值问题 反着去想 例题12（2022 江苏） 某机构对全运会收视情况进行调查，在1000 名受访者中，观看过乒乓球比赛的占87%，观看过跳水比 赛的占75%，观看过田径比赛的占69%。这1000 名受访者中，乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有： A．310 人 B．440 人 C．620 人 D．690 人 【参考答案】A 【实战解析】都看过的尽量少，即没看过的尽量多。没看过乒乓球、跳水和田径比赛的人数最多依次 批注 [8]: 当这23 人都和18 到69 中间任意一个年龄相同 时，同龄人数最少 关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等 第 6 页 为 130、250、310,三项均看过的人数至少为 1000-（130+230+310）=310，A 选项当选。 例题13（2021 广东） 某单位在网上办公系统传阅了15 份文件，甲阅读了9 份，乙阅读了12 份，丙阅读了10 份，则 甲、乙、丙三人共同阅读过的文件至少有多少份？ A．0 B．1 C．2 D．3 【参考答案】B 【实战解析】三人共同阅读过的文件尽量少，即没共同阅读过的尽量多。甲、乙、丙三人没阅读过的 文件最多依次为6、3、5，那么三人共同阅读过的文件至少为15-（6+3+5）=1，B 选项当选。
