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已知条件
方法
给时间
假设最小公倍数为工作总量求效率
给效率比
直接当效率用
给不同完工情况
根据工作总量相等列方程
第二讲 工程问题
✎已知条件为工作时间：
假设最小公倍数为工作总量求效率比
例题1（2021 广东）
为支持“一带一路”建设，某公司派出甲、乙两队工程人员出国参与一个高铁建设项目。如果由甲队
单独施工，200 天可完成该项目；如果由乙队单独施工，则需要300 天。甲、乙两队共同施工60 天后，甲
队被临时调离，由乙队单独完成剩余任务，则完成该项目共需多少天？
A．120
B．150
C．180
D．210
【参考答案】D
【实战解析】已知条件给时间，根据最小公倍数赋值工作总量。设工作总量600，则甲效率为3，乙效率
为2。60 天完成的工作量为60×5=300，乙单独干需要的天数为
天
150
2
300 =
，共需要150+60=210 天。
例题2（2024 联考）
有一批零件，如果甲车间单独完成需要50 小时，乙车间单独完成需要30 小时，在甲车间单独完成若
干小时后，由于要承担其他紧急任务，剩余的任务由乙车间继续完成，这样一共用了42 小时。问乙车间
完成的零件量占这批零件总量的？
A．
3
4
B．
3
5
C．
2
5
D．
1
3
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【参考答案】C
【实战解析】工作总量设为150，则甲的效率是3，乙的效率是5；
方法一：
设乙干了T 小时，根据总工作量=甲完成工作量+乙完成的工作量，可列方程为3（42-T）+5T=150；
解得T=12，乙干12 小时工作量为12×5=60，故占比为
𝟔𝟎
𝟏𝟓𝟎=
𝟐
𝟓
方法二：
若甲做42 小时，则甲一共能完成3×42=126，但是实际的工作量是150 份，一共多干了24 份的
工作量；
每小时乙比甲多干2，则24 份工作量乙需要
𝟐𝟒
𝟐=12 小时，那么乙就干了12×5=60 份的工作量，
占比为
𝟔𝟎
𝟏𝟓𝟎=
𝟐
𝟓。
例题3（2023 国考副省）
一项工作甲独立完成需要3 小时，乙独立完成的用时比其与甲合作完成多4 小时，且乙和丙合作完成
需要4 小时。问丙独立完成需要多少小时？
A．10
B．12
C．6
D．8
【参考答案】B
【实战解析】设工作总量为12，则甲的效率为4，乙+丙的效率为3；
根据已知条件列方程:
4
4
12
12
=
−乙＋
乙
，解得乙的工作效率是2，则丙的效率是1，因此丙独立完
成需要12 小时。
例题4（2020 山东）
甲、乙两个工程队共同完成某项工程需要12 天，其中甲单独完成需要20 天。现8 月15 日开始施工，
由甲工程队先单独做5 天，然后甲、乙两个工程队合作3 天，剩下的由乙工程队单独完成，问工程完成的
日期是哪天？
A．9 月5 日
B．9 月6 日
C．9 月7 日
D．9 月8 日
【参考答案】B
批注 [1]: 设时间的最小公倍数为工作总量
批注 [2]: 方程难解，使用代入法，将乙代入1 或者2。
注：如果遇到代入乙比较麻烦的情况，则可以根据选项算
出丙，反推乙的效率。
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【实战解析】已知条件给的时间，设工作总量为60；甲的工作效率为3，甲与乙效率和为5，则乙的
效率为2。已经干的工作量为5 甲+3（甲+乙）=15+15=30，则剩余工作量乙单独干需要
天。
15
2
30 =
总耗时
为8+15=23 天，由天数计算法可得完工日期为9 月6 日。
✎已知条件为效率比例：
直接当效率用
例题5（2024 事业单位联考）
甲、乙施工队共同修一条全长20 千米的路，合作施工25 天后乙队被调走，剩下部分甲队又用了25
天正好完成。已知乙队的效率是甲队的2 倍，问甲乙两队合作每天可以修多少米路？
A．400
B．600
C．800
D．1200
【参考答案】B
【实战解析】设甲的效率为1，乙的效率为2。
根据已知条件有：25（甲+乙）+25 甲=75+25=100 份=20km，则一份是0.2km，
3 份是0.6km，即600m
例题6（2021 北京）
农场使用甲、乙两款收割机各1 台收割一片麦田。已知甲的效率比乙高25%，如安排甲先工作3 小时
后乙加入，则再工作18 小时就可以完成收割任务。问如果增加1 台效率比甲高40%的丙，3 台收割机同时
开始工作，完成收割任务的用时在以下哪个范围内？
A．8 小时以内
B．8～10 小时之间
C．10～12 小时之间
D．12 小时以上
【参考答案】C
批注 [3]: 8 月一共31 天，15 日开始施工，则之前14 天没
有工作，那么8 月一共干了17 天。
完工需要23 天，8 月干了17 天，故9 月需要再干23-17=6
天。
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【实战解析】甲比乙高4
1
，则设甲的工作效率为5，乙的工作效率为4；
根据题意，工作总量为3×5+18×（5+4）=15+162=177
丙的效率比为甲高40%，则丙工作效率为5×（1+40%）=7；
则用时为
小时。
11
16
177
7
5
4
177
=
+
+
例题7（2022 天津）
甲、乙二人合作计划30 天完成一项工程，甲的工作效率是乙的2 倍。两人合作10 天后，甲的效率提
升25%，乙的效率提升50%。又合作10 天后，乙因其他任务撤出，甲单独完成剩余任务。问最终工作比预
计时间？
A．早2 天
B．晚2 天
C．早4 天
D．晚4 天
【参考答案】A
【实战解析】设甲的效率为4，乙的效率为2；则工作总量为30×6=180；
甲工作效率提升25%，则提升后效率为5；乙工作效率提升50%，则提升后效率为3；
根据题意，已完成工作量为10×（4+2）+10×（5+3）=60+80=140，剩余工作量为180-140=40；
甲还需工作
天
8
5
40 =
，此时一共工作了10+10+8=28 天，故比原来早两天完成。
✎已知条件为不同完工情况：
利用工作量相同，列方程
例题8（2024 联考）
甲、乙两工厂共同完成某个生产订单需要12 天。现两工厂共同生产8 天后，再由乙单独生产7 天，
一共完成了订单总量的90%。若整个订单由乙单独生产，那么需要多少天完成？
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A．20
B．23
C．26
D．30
【参考答案】D
【实战解析】根据题干已知条件列方程：
0.9（12 甲+12 乙）=8 甲+8 乙+7 乙
10.8 甲+10.8 乙=8 甲+15 乙
解得2 甲=3 乙；可以设乙的效率为2，甲的效率为3；
工作总量为12×5=60，乙的效率为2，则乙单独生产需要60÷2=30 天。
例题9（2024 联考）
某餐饮店接到一份粽子订单，张师傅与李师傅同时工作8 小时可完成。现张师傅先独自包粽子3 小时，
李师傅接着独自包了1 小时，还剩订单总数的
11
16没完成。已知张师傅每小时比李师傅多包14 个粽子。问
这份订单粽子的总数是多少个？
A．224
B．296
C．320
D．416
【参考答案】A
【实战解析】假设张师傅效率为X，李师傅效率为Y，根据题意可列方程：
Y
X
3
Y
8
X
8
16
5
+
=
+
）
（
，解得0.5X=1.5Y，即X=3Y；将Y 赋值为1，X 赋值为3；
那么工作总量就是8×4=32 份；多2 份=14，则1 份=7 个；总数为32×7=224 个。
例题10（2024 江苏）
甲乙丙三人合作完成一项任务。乙先做9 天，再和甲合作6 天，完成了任务的60%，剩下的40%任务
若由乙单独做需要15 天，由丙单独做则需要10 天完成，甲乙丙三人的工作效率之比是？
A．5∶4∶6
B．6∶4∶5
C．10∶15∶12
D．12∶15∶10
【参考答案】A
【实战解析】相当于工作总量一定，根据时间的最小公倍数设剩下40%的工作总量为30，则乙的工作
效率为2，丙的工作效率为3，乙∶丙=2：3。根据题意可列方程为
乙）
（甲
乙
+
+
=
6
9
6.0
4.0
30
，代入乙
批注 [4]: 相当于完成了工作总量的5/16
批注 [5]: 相当于工作总量一定，根据时间设工作总量为30，
则乙的工作效率为2，丙的工作效率为3，乙∶丙=2：3。
观察选项只有A 选项乙和丙的效率比为2:3，当选。
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=2，解得甲=2.5；甲2.5，乙2，丙3；则甲：乙：丙=5：4:6。
例题11（2024 国考）
某工程队接到一项任务，甲、乙合作6 天后完成总任务量的25%，乙、丙合作15 天后又完成剩余任务
量的
2
3，剩下全部任务由乙单独工作11 天完成。已知乙与他人合作时效率比其单独工作时高10%，问甲、
乙、丙合作完成这项任务需要多少天？
A．16
B．20
C．24
D．28
【参考答案】B
【实战解析】根据题意，甲乙合作完成任务需要24 天，乙丙合作30 天能干完，乙自己干40 天能干
完，最小公倍数是120，则乙提升后效率为3，甲效率为2，丙效率为1，天数为
天
20
6
120 =
。
例题12（2023 国考）
甲和乙两个工程队共同承担某项工程的施工任务。两队合作时各自的效率均比单独施工时高20%。已
知两队合作施工需要25 天完工；如甲先施工15 天后乙加入，两队合作15 天后剩余工作乙单独施工还需
要10 天完成。问甲队的效率是乙队的多少倍？
A．
3
2
B．
4
3
C．
1
2
D．
2
3
【参考答案】D
【实战解析】工作总量一定，两队合作25 天能够完成，合作15 天+甲15 天+乙10 天也能完成；
那么10（甲+乙）×1.2=15 甲+10 乙，解得3 甲=2 乙，则甲=3，乙=2，甲的效率是乙的
倍
3
2
。
批注 [6]: 先完成25%，剩75%；
乙丙合作完成剩余的2/3，则乙丙完成了75%×（2/3）=50%
即剩余的25%,乙自己干需要11 天。
批注 [7]: 甲、乙合作6 天后完成总任务量的25%，6 天完
成1/4，则甲乙合作24 天完成任务。
批注 [8]: 最开始甲乙合作，之后乙丙合作，最后乙单独干，
题干问的是甲乙丙合作。
那么此时可以把乙也视为提升10%之后，乙不提升完成任
务需要44 天，提升10%之后需要44/（1.1）=40 天。
批注 [9]: 注意，这里非常容易错；
可以将乙视作1，3 甲=2，则甲=2/3，直接选D。
只要是求a/b 的倍数关系，就把b 视为1，最后求出来a
是多少，则倍数就是多少。
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第三讲的提示：
①在不定方程
X
b
a
y =
中，X 是b 的倍数，y 是a 的倍数；
②整除特性：
3：各位数字之和是3 的倍数；
9：各位数字之和是9 的倍数；
5：尾数0 或5；
2 和5：一个数能被2 和5 整除，则它的最后一位能被2 或5 整除；
4 和25：看最后两位能被4 或25 整除；
8 和125：看最后三位能被8 或125 整除。
