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第十一讲 平面几何问题
几何问题常见公式
1、平面图形
平面图形
图示
周长
面积
正方形
4𝑎
S正方形= 𝑎2
长方形
2(𝑎+ 𝑏)
S长方形= ab
三角形
𝑎+ 𝑏+ 𝑐
S三角形= 1
2 𝑎× ℎ
正三角形
3𝑎
S正三角形= √3
4 边长× 边长
圆形
2πr
S圆形= π r2
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扇形
弧长=
n
360o × 圆周长=
nπr
180o
n 为圆心角
S扇形=
n
360o × 圆面积= nπ r2
360o = lr
2
l 为弧长
梯形
𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑑
S梯形= （上底+ 下底）× 高
2
平行四边形
2𝑎+ 2𝑏
S平行四边形= 𝑎ℎ
菱形
4𝑎
S菱形= 对角线× 对角线
2
2、立体图形
立体图形
图示
表面积
体积
正方体
6𝑎2
𝑎3
长方体
2(𝑎𝑏+ 𝑎𝑐+ 𝑏𝑐)
𝑎𝑏𝑐
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球体
4𝜋 r2 = 𝜋 D2
（D 是直径）
4
3 πr3
圆柱体
2𝜋 r2 + 2𝜋rh
πr2h
圆台
π r2 + π R2 + πrl + πRl =
π(r2 + R2 + rl + Rl)
l 为母线
l = √（R −r）
2 + h2
h 为圆台高
1
3 πh(r2 + Rr + R2)
r 是小圆半径，R 是大圆半径
圆锥
πr2 + πrl
1
3 Sh
S 为底面积
棱锥
侧面积＋底面积
1
3 Sh
S 为底面积
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✎平面几何之三角形：特殊直角三角形、勾股定理、特殊勾股数、相似三角形、等底等高等
例题1（2024 国考）
某公园内的道路如下图所示，其中AB，BC 分别为正南北向和正东西向道路，AB，
AC 分别长100 米和200 米。且BCD 为正三角形，如要用直线道路连接AD，则该道路的
长度为多少米？
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A．150√3
B．50(√3 + 1)
C．100√7
D．200√2
【参考答案】C
【实战解析】
由题，AB、AC 分别长100 和200 米，AC:AB＝2:1，∠ABC 为直角，可得∠ACB＝30°，BC＝100√3，因△
BCD 为正三角形，则BD＝CD＝100√3；
做法一：
延长AB 到E，连接ED，则∠EBD＝30°，ED＝50√3，BE＝150，由勾股定理，AD²＝AE²＋ED²＝250²＋
（50√3）²，得到AD＝100√7。
做法二：
由∠ACB＝30°，∠BCD＝60°，故∠ACD 为直角，根据勾股定理，AD= √40000＋30000 =100√7，选择
C。
例题2（2023 湖北）
厦门鼓浪屿海滨覆鼎岩上屹立着一尊郑成功雕像。为了测量石像的高度，某测量小组选取的测量点A
与覆鼎岩底部D 在同一水平线上，如下图所示。已知覆鼎岩高CD 为24 米，在A 处测得石像头顶部B 的仰
角为45°，石像底部C 的仰角为31°（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60），
则石像BC 的高度约为多少？
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A．20 米
B．18 米
C．16 米
D．14 米
【参考答案】C
【实战解析】
观察△ACD，∠CAD＝31°，CD＝24，已知tan31°＝
对边
邻边＝
CD
AD＝
24
AD＝0.6，可得AD 为40 米，因∠BAD 为
45°，∠D 为90°，则△ABD 为等腰三角形，BD＝AD＝40，故BC＝BD－CD＝40－24＝16，选择C。
例题3（2024 山东省考）
某巡逻艇在海域A 点发现正南方30 千米处的B 点有一艘可疑船只正匀速向正西方行驶，巡逻艇以比
该可疑船只快
1
3的速度沿某一方向直线追击，两船恰好在C 点相遇。问B、C 两点之间的距离约多少千米？
A．26
B．28
C．30
D．34
【参考答案】D
【实战解析】
由题，设可疑船速度为3v，则巡逻艇速度为4v，可作图如下：
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可根据勾股定理列式：16v²＝9v²＋900，可得v²＝
900
7 ，v＝
30
√7，则BC＝3v＝
90
√7＞30，选择D。
例题4（2024 事业单位联考）
一条东西向的河流宽50 米，如下图所示，甲划船从北岸的A 点出发，直线航行130 米后到达南岸的B
点，然后向左转向90 度继续直线行驶，到达河流北岸的C 点，问A、C 两点的距离在以下哪个范围内？
A．不到150 米
B．150～160 米之间
C．160～170 米之间
D．超过170 米
【参考答案】A
【实战解析】
作辅助线BD，BD⊥AC,△ABD 为直角三角形，由题干BD＝50，AB＝130，由勾股定理可得AD＝120；
批注 [1]: 根号7 不到3，所以一定大于30。
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由△ABD 与△ABC 相似，可得
AC
130＝
130
120，AC＜150，选择A。
例题5（2022 国考）
甲地在丙地正西17 千米，乙地在丙地正北8 千米。张从甲地、李从乙地同时出发，分别向正东和正
南方向匀速行走。两人速度均为整数千米/小时，且1 小时后两人的直线距离为13 千米，又经过3 小时后
两人均经过了丙地且直线距离为5 千米。已知李的速度是张的60%，则张经过丙地的时间比李？
A．早不到10 分钟
B．早10 分钟以上
C．晚不到10 分钟
D．晚10 分钟以上
【参考答案】D
【实战解析】根据题干作图：
由题，直角三角形斜边为13，由常见勾股数，可知另外两条边为5km 和12km，则1 小时后，张走了5km，
李走了3km，因李的速度是张的60%，张李速度之比为5:3，刚好符合二人走过的路程，故张和李的速度
为5km/h 和3km/h；
则张经过丙地需17/5＝3.4 小时，李经过丙地需8/3≈2.6 小时，张比李用时晚10 分钟以上，选择D。
批注 [2]: ∠BAD＋∠ABD＝90°，∠BAD＋∠BCD＝90°，
所以∠ABD＝∠BCD，且两个三角形都有直角，三个角均
相等，为相似三角形。
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例题6（2023 国考执法）
公园里有一片四边形草坪，沿对角线修建的小道相交于O 点，O 到四个
顶点A、B、C、D 的距离之比正好为1∶2∶3∶4，一名工人花费1 天正好完
成AOB 区域的修剪，问第二天至少需要额外增加多少名效率相同的工人一起
工作，才能在当天内完成剩余草坪的修剪？
A．8
B．10
C．11
D．12
【参考答案】B
【实战解析】假设AOB 面积为1，因△AOB 与△BOC 等高，所以底之比就是面积之比，由题AO：OC
＝1:3，故△BOC 的面积为3，同理，△AOD 面积,2，△COD 面积为6，草坪总面积为1＋2＋3＋6＝12，因
工人已经修剪完AOB 区域，故剩下修剪面积为11，又已知一名工人每天效率为1，所以还需增加10 名工
人，选择B。
例题7（2023 吉林）
为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三角形ABC 区域内建设新能源产业园区（如下图所
示），三角形DEF 是中央工厂区，已知BD∶DE∶EC＝1∶2∶3，F 为AE 的中点，则新能源产业园区总面积
是中央工厂区面积的多少倍？
A．7 倍
B．6 倍
C．5 倍
D．4 倍
【参考答案】B
【实战解析】
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由题，三角形ADB、AED 和ACE 等高，所以底之比就是面积之比，已知BD∶DE∶EC＝1∶2∶3，故面
积为1、2、3，园区总面积为6；
因三角形FDE 和ADE 同底，F 为AE 中点，所以三角形ADE 与三角形FDE 面积比为2:1，故三角形FDE
面积为1，可得园区总面积为中央工厂区面积的6 倍，选择B。
✎平面几何之其他：圆形、扇形、正方形长方形等
圆 πr²是面积
2πr 是周长
例题8（2023 浙江）
某地打算在绿地上建两个圆形花坛，如下图所示，大圆的直径为6 米，小圆的直径为2 米，修建期间
暂时在外围设置围栏。已知围栏呈矩形，大圆与围栏的三条边相切，小圆与围栏的两条边相切，且两圆相
切，那么矩形围栏的面积是多少平方米？
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A．12(2 + √3)
B．12(1 + 2√3)
C．12√13
D．6(3 + √13)
【参考答案】A
【实战解析】
将两圆圆心记为A 和B，连接AB，作垂线BC，此时AC＝围栏的长－3－1；BC＝大圆半径－小圆半径
＝3-1＝2，又已知AB＝3＋1＝4，由勾股定理，AC＝2√𝟑，则围栏的长＝2√𝟑＋4，矩形围栏的面积为6×
（2√𝟑＋4）＝12（𝟐+ √𝟑），选择A。
例题9（2024 湖北）
某单面圆形交通禁停标志牌如图所示，标志牌直径为60cm，牌中各处红色区域宽度均为5cm，某工厂
承接30 个该种标志牌的喷绘业务，已知每个标志牌的蓝色区域喷绘价格是112.5 元，红蓝区域喷绘
单价相同（价格仅按面积计算），那么30 个标志牌喷绘共需多少元？
A．3375 元
B．6000 元
C．6750 元
D．8437.5 元
【参考答案】C
【实战解析】此题不严谨，最终计算结果只是靠近C，且正常的直径应该是红线，但此题如果用红线
作为直径，左上角的弧线和中间的横线，距离不相等，而题干说距离都是5，所以不可以这样算。
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此题单独计算红色区域和蓝色区域的面积过于复杂，因红蓝区域喷绘单价相同，故考虑计算蓝色区域
的面积，算出面积占比，计算整体标志牌的喷绘价格；
由题，红色部分宽度为5，则中间部分为7，已知标志牌直径为60cm，则将蓝色区域拼在一起的圆直
径为60-5-5-7＝43，此时蓝色区域的直径与标志牌的直径之比为43：60，半径之比也为43：60，蓝色区
域和整体标志牌面积之比即半径的平方比
43²
60²；
由喷绘单价为112.5 元，设一个标志牌喷绘需要x 元，可列式：
𝟒𝟑²
𝟔𝟎²＝
𝟏𝟏𝟐.𝟓
𝐱，x＝
𝟔𝟎²
𝟒𝟑²×112.5，30 个标
志牌需要x＝
𝟔𝟎²
𝟒𝟑²×112.5×30，结果接近C 选项，选择C。
批注 [3]: 中间红色正方形的对角线。
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例题10（2022 四川）
在一块边长为8 米的正方形草坪上架设了5 个自动洒水器，洒水器的洒水半径为2 米（如图所示）。
问草坪上同时被两个洒水器洒到水的区域（灰色）面积比没有洒到水的区域（黑色）面积？
A．小不到5 平方米
B．小5 平方米以上
C．大不到5 平方米
D．大5 平方米以上
【参考答案】A
【实战解析】此题需计算灰色区域面积和黑色区域面积；
灰色部分的面积＝中间圆的面积－四个小图形；
观察可知，整个正方形边上的小图形和中间的形状一样，面积相同，可设为a，则黑色部分共有
12 个a 组成，面积为12a，中间部分的四个小图形面积为4a；因中间圆的半径为2，所以灰色部分的
面积＝4π-4a；
则灰色部分的面积-黑色部分的面积＝4π-16a，只需知道a 的值；
分部分观察，看正方形的1/4 部分，可以得到4a 的面积为小正方形面积-圆的面积，即4a＝4×
4-4π＝16-4π；
所以4π-16a＝4π-4（16-4π）＝20π-64＜5，选择A。
例题11（2019 广东）
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如图所示，市政部门在一块周长为260 米的长方形草地旁边铺设宽为10 米的L 形道路。已知铺好道
路后，道路和草地面积之和为草地面积的1.5 倍，则草地的面积为多少平方米？
A．4200
B．4000
C．3000
D．2800
【参考答案】D
【实战解析】道路和草地面积之和为草地面积的1.5 倍，相当于道路面积是草地面积的0.5 倍，草地
与道路面积之比为2:1；
草地周长为260 米，则一长一宽为130 米，阴影部分的面积就为130×10＝1300，此时道路面积
还差右下角的正方形，由题可知，正方形边长为10 米，面积为10×10＝100，所以道路面积为1300
＋100＝1400，草地面积为2×1400＝2800，选择D。
例题12（2023 浙江）
一只闹钟的秒针顶点距离表盘圆心4 厘米，分针顶点距离表盘圆心3 厘米。小王烧开一壶水的时间内，
秒针顶点累计移动了40π 厘米。那么这一时间段内，分针顶点与表盘圆心的连线扫过的扇形面积为多少平
方厘米？
A．0.5π
B．0.75π
C．π
D．1.5π
【参考答案】B
【实战解析】如图，秒针走过一圈的长度为2πr＝8π，则40π就是走了5 圈，即5 分钟；求分针扫
过的扇形面积，先看分针扫过一圈的面积为πr²＝9π，走过一圈耗时60 分钟，现在过了5 分钟，即过了
1
12小时，分针扫过的面积为9π×
1
12＝0.75π，选择B。
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