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问题类型 解题方法
第十七讲 特殊情境之平均分堆与特殊概率问题
✎平均分堆：需去除人为排序
需要在𝐶4
2𝐶2
2的基础上除掉顺序（𝐴2
2）
九个人，分成32211
20 个人，分成4433222
例题1（2015 四川）
将10 名运动员平均分成两组进行对抗赛，问有多少种不同的分法？
A．120
B．126
C．240
D．252
【答案】B
【解析】先挑出来一组，再除掉排序：
𝐶10
5
𝐴22 =
10×9×8×7×6
5×4×3×2×1
2
= 126
例题2（2018 浙江）
某班共有8 名战士，现在从中挑出4 人平均分成两个战斗小组分别参加射击和格斗考核，问共有多少
种不同的方案？
A．210
B．420
C．630
D．840
【答案】B
【解析】
方法一：先选出来四个人，然后选出来两人射击，剩下的两人格斗
方法二：先选出来四个人，然后平均分堆，然后安排射击和格斗
方法三：直接从8 人中选出来两个人射击，再选出来两个人格斗
题型拓展
例题3（2021 上海）
安排4 名护士护理3 个病房，每个病房至少一名护士，每名护士固定护理一个病房，则共有多少种安
排方法？
A．24
B．36
C．48
D．72
【答案】B
【解析】先从4 个人里挑两个人组成一组，然后另外两个人各自成一组，这三组再分到三个病房
✎二人同组：只需考虑第二人的位置即可
例题4（2018 联考）
某单位工会组织桥牌比赛，共有8 人报名，随机组成4 队，每队2 人。那么，小王和小李恰好被分在
同一队的概率是多少？
A．
𝟏
𝟕
B．
1
14
C．
1
21
D．
1
28
【答案】A
【解析】先给小王安排一个位置，然后再安排小李的位置，在小李能选择的7 个位置中，只有一个位
置和小王同一队
例题5（2019 联考）
某学校举行迎新篝火晚会，100 名新生随机围坐在篝火四周。其中，小张与小李是同桌，他俩坐在一起
的概率为多少？
A．
2
97
B．
2
98
C．
𝟐
𝟗𝟗
D．
2
100
【答案】C
【解析】先给小张安排座位，然后再安排小李的位置，在小李能选择的99 个座位中，只有两个位置和
小张相邻
例题6（2021 江苏）
某次圆桌会议共设8 个座位，有4 个部门参加，每个部门2 人，排座位时，要求同一部门的两人相邻，
若小李和小王代表不同部门参加会议，则他们座位相邻的概率是多少？
A．
1
48
B．
1
24
C．
1
12
D．
𝟏
𝟔
【答案】D
【解析】先给小李安排座位，然后再安排小王，在小王能选择的6 个座位中，只有一个座位和小李相
邻
例题7（2021 江苏）
某市举办足球邀请赛，共有9 个球队报名参加，其中包含上届比赛的前3 名球队。现将这9 个球队通
过抽签的方式平均分成3 组进行单循环比赛，则上届比赛的前3 名球队被分在同一组的概率是？
A．
1
21
B．
𝟏
𝟐𝟖
C．
1
63
D．
1
84
【答案】B
【解析】假设上届比赛的前三名为甲乙丙，先给甲找一个位置，再安排乙丙的位置：乙丙在剩余的八
个位置中选择两个，其中只有和甲在同一组（剩余两个位置中选择两个）选择符合题意
例题8（2024 浙江）
某公司组织面试，每位考生都要回答甲、乙、丙、丁、戊5 道试题，作答顺序随机安排。已知小张第
二题是甲题、第四题是丁题，小王第三题是乙题，那么两人作答顺序完全相同的概率是多少？
A．
𝟏
𝟕𝟐
B．
1
48
C．
1
36
D．
1
24
【答案】A
【解析】
第一步：小张的第三题是乙的概率（剩余三个题目中选择乙）
第二步：小王的第二四题为甲和丁的概率（剩余四个题目按顺序排好只有一种情况符合）
第三步：让小张剩余的一五题任意排序，然后让小王和小张顺序一样
1
3 × 1
A4
2 × 1
A2
2 = 1
3 ×
1
4 × 3 × 1
2 = 1
72
例题9（2019 国考）
小张和小王在同一个学校读研究生，每天早上从宿舍到学校有6:40、7:00、7:20 和7:40 发车的4 班
校车。某星期周一到周三，小张和小王都坐班车去学校，且每个人在3 天中乘坐的班车发车时间都不同。
问这3 天小张和小王每天都乘坐同一趟班车的概率在？
A．3%以下
B．3%～4%之间
C．4%～5%之间
D．5%以上
【答案】C
【解析】
第一天：小张任选一辆校车，小王在四辆校车中有一辆和小张一样
第二天：小张再从三辆里任选一辆，小王在三辆中有一辆和小张一样
第三天：小张再从两辆里任选一辆，小王在两辆中选择一辆和小张一样
1
4 × 1
3 × 1
2 = 1
24
1
20 > 1
24 > 1
25
0.05 > 1
24 > 0.04
✎比赛概型：
如果赢一场概率0.7，输一场概率0.3，输的那一场应该在前三场
如果输两场的话，输的两场应该在前四场
例题10（2020 安徽事业单位）
某场羽毛球单打比赛采取三局两胜制。假设甲选手在每局都有80%的概率赢乙选手，那么这场单打比赛
甲有多大概率战胜乙选手？
A．0.768
B．0.800
C．0.896
D．0.924
【答案】C
【解析】分情况讨论
第一种情况：2：0 0.8× 0.8=0.64
第二种情况：2：1，输的那一场一定在前两场，C2
1 × 0.2 × 0.8 × 0.8 = 0.64 × 0.4
总概率=0.64+0.64 × 0.4=0.64× 1.4，根据尾数为6，答案为C 选项。
例题11（2014 年浙江省考）
两支篮球队打一个系列赛，三场两胜制，第一场和第三场在甲队的主场，第二场在乙队的主场。已知
甲队主场赢球概率为0.7，客场赢球概率为0.5。问甲队赢得这个系列赛的概率为多少？
A．0.3
B．0.595
C．0.7
D．0.795
【答案】C
【解析】分情况讨论
第一种情况：甲连赢两场，0.7×0.5
第二种情况：甲赢一三，输第二场，0.7×0.5×0.7
第三种情况：甲赢二三场，输第一场，0.3×0.5×0.7
总概率：三种情况相加=0.35+0.35（0.3+0.7）=0.7
例题12（2021 福建事业单位）
某场乒乓球单打比赛采取5 局3 胜制。假设甲选手在每局都有70%的概率赢乙选手，若要打满5 局，那
么这场单打比赛甲有多大概率战胜乙选手？
A．0.031
B．0.103
C．0.185
D．0.343
【答案】C
【解析】因为要打满五局，所以输的两场在前四场𝐶4
2
概率=C4
2 × 0.3 × 0.3 × 0.7 × 0.7 × 0.7 = 6 × 0.09 × 0.343 = 0.54 ×0.343˃0.5×0.343=0.172
答案为C 选项。
例题13（2023 湖北选调）
某市职工篮球赛甲、乙两队决赛，采取7 场4 胜制（先赢4 场者胜，每场没有平局）。若两队水平相当，
现在已经比了3 场，甲赢了2 场，乙赢了1 场。问甲获得最后胜利的概率有多少？
A．
2
3
B．
3
4
C．
5
8
D．
𝟏𝟏
𝟏𝟔
【答案】D
【解析】甲再赢两场就可以了
第一种情况：甲连赢两场
1
2 ×
1
2
第二种情况：甲输一场，则需要在两场中选择一场输 𝐶2
1(
1
2)3
第三种情况：甲输两场，则需要在三场中选择两场输 𝐶3
2(
1
2)4
概率=
1
4 +
1
4 +
3
16 =
11
16
反向思考：1-乙赢的概率，乙赢分两种情况
第一种情况：乙连赢三场，
1
2 ×
1
2 ×
1
2
第二种情况：乙输一场，C3
1(
1
2)4=
3
16
甲赢的概率=1−
5
16 =
11
16
例题14（2024 四川）
甲和乙进行乒乓球比赛。第一局甲胜乙的概率为70%。往后每局如甲上局取胜，则当局甲的胜率为50%；
如乙上局取胜，则当局甲的胜率为70%。问第三局甲取胜的概率在以下哪个范围内？
A．不到55%
B．在55%～57%之间
C．在57%～59%之间
D．高于59%
【答案】C
【解析】分情况讨论
第一种情况：甲在前两局都赢的情况下赢第三场 0.7×0.5×0.5
第二种情况：甲在第一局赢，第二局输的情况下赢第三场 0.7×0.5×0.7
第三种情况：甲在第一局输，第二局赢的情况下赢第三场 0.3×0.7×0.5
第四种情况：甲在前两局都输的情况下赢第三场 0.3×0.3×0.7
概率=0.175+0.245+0.105+0.063=0.588，答案为C 选项
