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第十二讲 立体几何与特殊几何问题
✎立体几何之表面积：
相关公式在第11 讲
例题1（2022 国考）
一个圆柱体零件的高为1，其圆形底面上的内接正方形边长正好也为1。现将圆柱体零件切割4 次，得
到棱长为1 的正方体，则切去部分的总表面积为多少？
A．√2(π + 2)
B．2√2(π −2)
C．(√2 + 1)π + 2
D．2√2π −2
【参考答案】C
【实战解析】
总表面积=2 个圆形-2 个正方形+圆柱侧面+4 个正方形，其中圆形的直径=√2，面积=
π
2，周长=√2π，则圆柱
侧面积=√2π；正方形边长为1，面积=1；所以总面积=π-2+√2π+4=(√2 + 1)π + 2， 答案为C 选项。
例题2（2024 福建）
一个白色圆柱体零件的底面半径是高的1.5 倍，现将其表面涂上黑漆之后，沿下图所示虚线方向
切割为4 个完全相同的部分。问单个部分的黑色面积是白色面积的多少倍？(π≈3.14)
A．不到1.1 倍
B．1.1～1.2 倍之间
C．1.2～1.3 倍之间
D．1.3 倍以上
【参考答案】B
【实战解析】
将零件的半径设为3，则圆柱体的高为2.
黑色面积：白色面积=（半圆+半个侧面）：（半圆+矩形），注：此处不能直接约去半圆。
（9π
2 + 3π）：（9π
2 + 6）= 7.5π：（4.5π + 6）= 15.7：13.4 > 1.1
答案为B 选项。
✎立体几何之体积：
相关公式在第11 讲
例题3（2021 辽宁）
如下图1 所示，在一个金字塔造型（底面为正方形，侧面为四个全等的等腰三角形）的铸造件内部挖
空一个圆柱。现沿铸造件顶点A 且垂直底面的方向切开，切开后的截面如下图2 所示，已知DE、GF 为圆柱
的高，BC＝4√2分米，DE＝2 分米，AO＝4 分米，那么挖后铸造件的体积是多少？
A．128 −4π立方分米
B．
128
3 −4π立方分米
C．
64
3 −4π立方分米
D．64 −4π立方分米
【参考答案】B
【实战解析】
根据侧视图可知切割是沿着平行于底边的方向，而不是沿着对角线切割。
铸造件体积=椎体体积-圆柱体积
椎体体积=
底面积×高
3
=
32×4
3
=
128
3 ，圆柱体积=底面积×高=2π×2=4π
铸造件体积=
128
3 - 4π 答案为B 选项
例题4（2023 湖北）
下图所示是一种帐篷屋顶的示意图，底面是一个长4 米宽3 米的
长方形，屋顶高1 米，上棱长2 米且平行于底面，那么该帐篷屋顶的
体积是多少？
A．5 立方米
B．11 立方米
C．12 立方米
D．24 立方米
【参考答案】A
【实战解析】
解法一：将屋顶补全后，完整的三棱柱体积=底面积×高=
3×1
2 × 4 =6，现在题干挖去一块，则体积<6,只有A
选项满足。
解法二：屋顶体积=小三棱柱体积+四棱锥体积=
3×1
2 ×2+
2×3×1
3
=3+2=5，答案为A 选项。
✎等比放缩：
长度比=1：n
面积比=1：n2
体积比=1：n3
例题5（2020 新疆）
某演播大厅的地面形状是边长为100 米的正三角形，现要用边长为2 米的正三角形砖铺满（如图所示）。
问，需要用多少块砖？
A．2763
B．2500
C．2340
D．2300
【参考答案】B
【实战解析】
长度比=1：50，面积比=1：2500，故需要2500 块砖,答案为B 选项。
例题6（2023 安徽）
某餐馆承诺25 分钟内上齐一桌菜，若超时则未上的菜品免单。每张餐桌上都有
一个装满后正好25 分钟漏完的圆锥形沙漏（如下图所示）。某位顾客在等待的过程中
发现沙漏内上方沙子的高度为原先的一半，此时还差一道菜未上，则再过多久还未上
菜，这位顾客将享受免单服务？
A．不到3 分钟
B．3～4 分钟之间
C．4～5 分钟之间
D．超过6 分钟
【参考答案】B
【实战解析】
沙漏上方沙子高度与整个沙漏高比为1：2，则剩余圆锥体积：整个圆锥体积=1：23 = 1：8，整个沙漏需要
25 分钟漏完，现在还剩下
1
8 ，所以还需要
25
8 = 3.125分钟，答案为B 选项。
例题7（2022 安徽）
商家门口摆放了一把正四棱锥形（底面为正方形，侧面为四个全等的等腰三角形）的遮阳伞，第一次
伞撑开到图1 所示的位置，伞柄与伞骨成角∠CPQ为30°，继续撑开到如图2 所示的位置，伞柄与伞骨成角
∠C′PQ′变为60°，那么第二次伞撑开后形成的正方形A′B′C′D′是第一次撑开后正方形ABCD 面积的多少倍？
A．3√2倍
B．√3倍
C．2 倍
D．3 倍
【参考答案】D
【实战解析】
设PC=2，当∠CPQ=30°时，根据三角形勾股定理，CQ=1，当∠CPQ=60°时，CQ=√3，所以前后边长之比为
1：√3，则面积之比为1：3，答案为D 选项。
例题8（2021 国考）
一个人工湖的湖面上有一个露出水面3 米的圆锥体人工景观（底面朝下）。如人工湖水深减少20%，则
该景观露出水面部分的体积将增加61/64。问原来的人工湖水深为多少米？
A．3.5
B．3.75
C．4.25
D．4.5
【参考答案】B
【实战解析】
增加
61
64，则前后圆锥体积之比为1：
125
64 ，所以前后圆锥高之比为1：
5
4，之前圆锥高为3m，则现在圆锥高增
加了3×
1
4 =
3
4 𝑚，所以人工湖原先深度=
3
4÷20%=0.75×5=3.75m，答案为B 选项。
✎几何最值：
矩形的周长一定，正方形面积最大
矩形的面积一定，正方形的周长最短
面积一定，越接近球，体积越大
体积一定，越接近球，面积越小
例题9（2024 联考）
某公园绿化管理部门采购100 片围栏，每片长1 米且不可弯折。现拆分拟围成5 块周长相等且互不相
邻的矩形花卉区域。若不考虑拼接间隙，那么这5 块区域的最大与最小面积最多可相差多少平方米？
A．10
B．12
C．16
D．25
【参考答案】C
【实战解析】
100 片围栏分成平均五块，则每块20 片围栏，周长相同，越接近正方形，面积越大，否则面积越小。
则最大面积对应边长为5 的正方形，面积=25
最小面积对应边长为1 和9 的矩形，面积=9，所以面积差=25-9=16，答案为C 选项。
例题10（2023 安徽）
某村拟建造一个容积为144 立方米，深度为4 米的长方体无盖蓄水池。为节约成本，侧面积最小为多
少平方米？
A．24
B．36
C．96
D．132
【参考答案】C
【实战解析】
体积=144，深度为4，则底面积=
144
4 = 36平方米，侧面积最小，则对应底面周长最短，根据面积相同时，越
接近正方形周长越短推知，底面应为正方形，且边长为6m，则侧面积=6×4×4=96 平方米，答案为C 选项。
例题11（2018 四川）
在美化城市活动中，某街道工作人员想借助如图所示的直角墙角，用28 米长的篱笆围成一个矩形花园
ABCD，篱笆只围AB、BC 两边。图中的P 为一棵直径为1 米的树，其与墙CD、AD 的最短距离分别是14 米和
5 米，若要将这棵树围在花园内，则花园的最大面积为多少平方米？
A．187
B．192
C．195
D．196
【参考答案】C
【实战解析】
题干中说要将树围在花园中，所以需要考虑树的直径为1m，则围栏CB 最短=14+1=15m，AB 最短=5+1=6m，
篱笆共有28m 长，要使花园面积最大，则需要接近正方形，但又因为CB≥15m，则CB=15m，AB=13m，则面
积=15×13=195 平方米，答案为C 选项。
✎最短路径：
例题12（2023 北京）
一个半径为120 米的圆形人工湖正中有一个半径为60 米的圆形人工岛。甲从岛的正北岸边出发，以1
米/秒的速度匀速划船前往湖的正南岸边，则最少需要多长时间？
A．不到3 分45 秒
B．3 分45 秒～4 分之间
C．4 分～4 分15 秒之间
D．超过4 分15 秒
【参考答案】B
【实战解析】
过乙作圆的切线可得图中所示直角三角形，且知斜边=120m，一直角边=60m，可推知直角三角形为30°，60°
直角三角形，则甲沿圆形人工岛走过了120°，对应长度=120π×
1
3=40πm，接着走了一个切线长度=60√3m，
时间=
40π+60√3
1
> 40 × 3.1 + 60 × 1.7 = 124 + 102 = 226 = 180 + 46 =3 分钟+46 秒，答案为B 选项
例题13（2023 湖北）
A、B 两村在一条笔直公路的同侧，到公路的垂直距离分别是3 公里和7 公里，两村相距8.5 公里，现
需在公路边建一个物资集散中心，为节约物资配送成本，集散中心到两个村的直线路程之和应尽可能小，
若货车的速度约为60 公里/小时，那么货车从集散中心出发，到两村送货后返回中心，路途所花费的最少
时间为多少？
A．18 分钟
B．21 分钟
C．24 分钟
D．27 分钟
【参考答案】B
【实战解析】
AB=8.5KM,BM’=4KM,根据勾股数8 15 17 可求得AM’=7.5KM,，BM=7+3=10KM,A’M=AM’=7.5KM,所以根据勾
股数3 4 5，A’B=12.5km，则时间=
12.5+8.5
60
× 60 = 21分钟，答案为B 选项。
例题14（2022 安徽）
A、B 两个乡镇分布于山谷两侧，山谷间有一条宽为2km 的河道（如下图所示）。当地政府决定在两个乡
镇间修建一条跨河公路促进旅游发展。由于架桥费用高昂，所以要求跨河公路中的桥梁路段长度最短。那
么根据图中数据，从A 镇前往B 镇的最短距离为多少？
A．17km
B．15km
C．19km
D．20km
【参考答案】B
【实战解析】
先将河道抽掉，将B 上移，再把河道放回来，将B 下移
将河道抽离后，根据勾股数5 12 13 可求得AB=13KM,再将河道（2km）放回来，则总长度=13+2=15km，答案
为B 选项。
