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第十四讲 基础概率问题
✎基础概率问题：P=
符合题目要求的情况数
所有可能的情况数（若有几个事件同时发生，将各自发生的概率相乘即可）
例题1（2023 黑龙江）
如果3 个学生一起报名，且3 个学生都通过科目一考试，那么就可以减免1 个学生的报名费。他们3
人不能通过科目一考试的概率分别为
1
2、
1
3、
1
4，则减免1 个学生报名费资格的概率为多少？
A．
3
4
B．
2
3
C．
1
3
D．
𝟏
𝟒
【答案】D
【解析】相当于三个独立事件同时发生，将各自发生的概率相乘即可。根据“他们3 人不能通过科目
一考试的概率分别为
1
2、
1
3、
1
4”，可得3 人能通过科目一考试的概率分别为：1－
1
2 =
1
2、1－
1
3 =
2
3、1－
1
4＝
3
4。那3 个人同时通过的概率为：
1
2×
2
3×
3
4＝
1
4，答案为D 选项。
例题2（2024 联考）
某社区服务中心拟引入优质资源为本社区45 名老人提供居家养老服务。已知老人的年龄构成如下（设
老人的年龄为x）：60≤x＜70 有17 人，70≤x＜80 有12 人，80≤x＜90 有11 人，90 岁及以上有5 人。
现从该社区中随机抽取两名老人了解居家养老服务情况，那么这两名老人恰好都在80 岁以上（含80 岁）
的概率是？
A．
𝟒
𝟑𝟑
B．
11
45
C．
16
45
D．
1
3
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【答案】A
【解析】所求概率=
80 岁以上（含80 岁）老人中选两人的情况数（11+5=16 人）
45 名老人中选两人的情况数
=
C16
2
C45
2 =
16×15
45×44 =
4
33，答案为A 选项。
例题3（2023 北京）
甲和乙两个办公室分别选出2 人听一个讲座。如每个办公室均随机选择，则甲办公室员工小刘和小陈
同时被选中的概率正好为10%。乙办公室员工小吴被选中的概率为20%，则两个办公室共有多少名员工？
A．11
B．15
C．16
D．20
【答案】B
【解析】甲办公室员工小刘和小陈同时被选中的概率为
C22
C甲
2 =
1
10，乙办公室员工小吴被选中的概率
是
C乙−1
1
C乙
2
=
1
5，解得甲=5，乙=10，则两个办公室共有15 名员工，答案为B 选项。
例题4（2020 山东）
在ATM 机上输入银行卡密码时，若连续三次输入错误则会吞卡，老李忘了银行卡密码的末两位数，只
记得是两个不相同的奇数，若他在末两位上随意输入两个不同奇数，能在吞卡前猜中正确密码的概率是多
少？
A．
𝟑
𝟐𝟎
B．
1
5
C．
1
9
D．
2
9
【答案】A
【解析】末两位的数字可能为1、3、5、7、9，随机输入两个不同的奇数有A5
2 = 5 × 4 = 20种可能，
每次输入密码正确的概率是
1
20，则输入三次的概率是
1
20 × 3 =
3
20，答案为A 选项。（注：以抽奖为例：10
个人参与抽奖，1 号中奖概率为
1
10 ，2 号中奖概率为
9
10 ×
1
9 =
1
10 ，3 号中奖概率为
9
10 ×
8
9 ×
1
8 =
1
10……以此
类推可知，每个人中奖的概率都是相同的。）
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✎分情况讨论与全部减不符：
例题5（2022 江苏C）
“双减”政策实施后，某小学下午5：30 放学，小李5:00 下班去接孩子回家，当不堵车时，5:30 之
前到校；当堵车时，5:30 之前到校的概率为0.6。若5:00～5:30 堵车的概率为0.3，则小李5:30 之前到
校的概率是多少？
A．0.78
B．0.80
C．0.88
D．0.91
【答案】C
【解析】方法一：分两种情况讨论：①堵车情况下5:30 到校的概率0.3×0.6=0.18；②不堵车情况
下5:30 到校的概率0.7×1=0.7，P=0.18+0.7=0.88（分步用乘法，分类用加法）；
方法二：全部减不符：1－5:30 不能到校的概率=1－0.3×（1-0.6）=0.88，答案为C 选项。
例题6（2023 安徽）
某学习平台收到的征文，将通过两轮评审决定能否采用。先由两位编辑进行初审，若两位编辑评审都
通过，则予以采用；若两位编辑都未予通过，则不予采用；若仅有一位编辑初审通过，则再由主编进行复
审，若复审通过，则予以采用，否则不予采用。设稿件能通过各初审编辑评审的概率均为0.4，复审的稿
件能通过的概率为0.2，各编辑独立评审，则每篇征文被采用的概率为多少？
A．0.32
B．0.256
C．0.24
D．0.208
【答案】B
【解析】分两种情况讨论：①初审两位编辑都通过：0.4×0.4=0.16；②初审有且只有一位编辑通过
且复审主编通过 C2
1×0.4×0.6×0.2=0.096，则每篇征文被采用的概率为0.16+0.096=0.256，答案为B
选项。（分步用乘法，分类用加法）
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例题7（2022 国考）
某企业将5 台不同的笔记本电脑和5 台不同的平板电脑捐赠给甲、乙两所小学，每所学校分配5 台电
脑。如在所有可能的分配方式中随机选取一种，两所学校分得的平板电脑数量均不超过3 台的概率为多少？
A．
𝟓𝟎
𝟔𝟑
B．
125
126
C．
25
63
D．
125
252
【答案】A
【解析】共有两种分法：①给甲学校3 台平板电脑，2 台笔记本电脑；剩下的电脑给乙 ②给甲学校2
台平板电脑，3 台笔记本电脑；剩下的电脑给乙。则P=
C5
3×C5
2+C5
2×C5
3
C10
5 ×C5
5（给甲选5 台，剩下5 台给乙）= 200
252 = 50
63，
答案为A 选项。
例题8（2022 天津）
某部门共7 人，其中有2 人博士毕业，5 人硕士毕业。某日，该部门随机分成3 个小组参加3 项不同
的活动，3 个小组人数各不相同。问其中2 位博士毕业人员分在同一小组的概率在以下哪个范围内？
A．不到25%
B．在25%到35%之间
C．在35%到45%之间
D．45%以上
【答案】B
【解析】7 个人分 3 个小组，人数各不相同，只有一种分法： 1 人组、2 人组、4 人组。
P=
C5
1C44+C5
1C42C22（2 博士去2 人组，剩下5 人各分为1 人组和4 人组+2 博士去4 人组）
C71C62C44（所有情况数）
=
1
3，答案为B 选项。
例题9（2022 广东）
某街道对辖内6 个社区的垃圾分类情况进行考核评估，结果显示，有2 个社区的垃圾分类考核不通过。
如果从6 个社区中随机抽取3 个进行现场检查，则抽取的社区中，既有考核通过的又有考核不通过的社区
的概率为多少？
A．
1
5
B．
1
2
C．
2
3
D．
𝟒
𝟓
【答案】D
【解析】方法一：从正面考虑：①抽取的社区有1 个考核通过和2 个考核不通过；②有2 个考核通过
和1 个考核不通过，则P=
𝐶41𝐶22+𝐶42𝐶21
𝐶6
3
=
4
5。
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方法二：全部减不符：1－抽取的都是通过的概率－抽取的都是不通过的概率=1－
𝐶43
𝐶6
3－0= 1－
1
5 =
4
5，
答案为D 选项。
例题10（2022 安徽）
为了加强环境治理和生态修复，某市派出4 位专家（甲、乙、丙、丁）前往某山区3 个勘探点进行环
境检测，要求每个勘探点至少安排一名专家。那么甲、乙两名专家去了不同勘探点的概率是多少？
A．
3
4
B．
1
6
C．
𝟓
𝟔
D．
1
4
【答案】C
【解析】本题可以用全部减不符：甲、乙去不同勘探点的概率=1－甲、乙去相同勘探点的概率=1－
甲乙一组的情况
所有情况
= 1－
C22A33
C42A3
3 =1－
1
6 =
5
6，答案为C 选项。
例题11（2024 山东）
山东手造精品众多，某展览会有叶雕、皮影、风筝、麦秸画、柳编、葫芦画、锡雕、鲁班枕8 个展厅。
因时间原因，一名参观者决定从8 个展厅中随机选取3 个进行参观。问叶雕和皮影展厅至少一个被选中的
概率是多少？
A．
5
14
B．
15
28
C．
𝟗
𝟏𝟒
D．
19
28
【答案】C
【解析】本题可以用全部减不符：叶雕和皮影展厅至少一个被选中的概率=1－叶雕和皮影展厅都没
被选中的概率=1－
C63
C8
3 =1－
6×5×4
8×7×6 =
9
14，答案为C 选项。
例题12（2024 江苏）
小张所在单位共有4 个科室，现以科室为单位组织文艺演出，每个科室出2 个节目。演出结束后，因
8 个节目都非常精彩，决定从中随机选3 个节目参加上级组织的汇演。则小张所在科室出的节目至少有一
个被选送参加汇演的概率为？
A．
7
10
B．
11
14
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C．
11
20
D．
𝟗
𝟏𝟒
【答案】D
【解析】本题可以用全部减不符：1－小张科室的节目都没被送选参演的概率=1－
C63
C8
3 =1－
6×5×4
8×7×6 =
9
14，答案为D 选项。
✎分子分母同时简化：
例题13（2024 国考副省）
甲、乙等36 人分为6 个小组参加某项活动，要求任意2 组人数不同，每个组都不少于3 人，且任何
一组人数不得超过另一组的3 倍。问甲和乙至少有1 人分到人数第二多的小组的概率为？
A．35%
B．40%
C．25%
D．30%
【答案】B
【解析】每个组不少于3 人，则人数最少的小组有3 人；任何一组不得超过另一组的3 倍，则人数最
多的小组有 9 人。要求任意2 组人数不同，则6 个小组人数只能是 3、4、5、7、8、9。用全部减不符：
P=1－甲乙都不在人数第二多的小组的概率=1－
C28
2
C36
2 =1－
28×27
36×35 =
2
5，答案为B 选项。
例题14（2024 事业单位联考）
一次学术会议安排3 名教授和2 名副教授作报告，要求第一个和最后一个作报告的都是教授。如在满
足此要求的安排中随机选择一种，则2 名副教授的发言次序相邻的概率为多少？
A．
1
4
B．
1
3
C．
𝟐
𝟑
D．
3
４
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【答案】C
【解析】题目要求的顺序：教授○○○教授，则副教授可以在中间的3 个发言次序中任选2 个，且2
名副教授次序相邻，则副教授的次序要么是中间3 个次序的前两个，要么是后两个，共有2 种可能，
P=
2
𝐶32 =
2
3，答案为C 选项。（不用考虑教授、副教授之间的次序，概率问题分子分母都能约分掉）
