叽叽喳喳的公考：数量系统课讲义一张一页网友称全网最详细彻底的数量讲解公众号：密知圈_022026年公考名师课程_0142026年叽叽喳喳数量精讲快解50套题

叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
数量系统课讲义
合并版
800 道真题刷题课另详文件
放弃数量=放弃稳定上岸
——网友称全网最详细通透彻底的数量讲解
叽叽喳喳的公考
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前言：
1、视频是什么在哪里？
系统理论课：此部分视频免费，B 站搜“叽叽喳喳的公考”有数量系统课合集，点关注收藏订阅好找
真题刷题课：此部分视频约一毛一道真题精讲快解，在B 站“课程”，每个模块60 道左右，拆分模块和
800 道真题合集并行，合集七到八折，内容一样，看个人实际
2、怎么用和学习？【非常重要】
先学我的免费系统理论课，数量系统理论课的题目也要一边做一边听，错了听完后重新自己独
立做一遍，
一定要动笔，不动笔绝对“一听就会，一做就废”。
系统理论视频基础题进阶题都有，学完一个系统模块就做一个模块的刷题课。
数量解析不建议完全学习软件解析方法，绝大部分不是最优最快解。
3、学习顺序？
详目录末建议。
4、课件链接？
你都能看到这页了应该不用问了。
在评论区置顶，夸克和百度都有，
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5、QQ 交流群？289429445 群满详B 站主页简介更新群号，网友都比较强，大家互相学习，我也学习
资料分析为什么要练速度？
就是为了留时间做数量！
放弃数量=放弃稳定上岸
练资料却放弃数量，本末倒置了
公考数量关系源于小学奥数
软件机构解析大部分不是最优解
尤其是排列组合和概率
用小学奥数竞赛思想才是最快解法
方程永远都是最慢的
算术解结合方程，强无敌！
叽叽喳喳，数学竞赛出生
多次数学竞赛一等奖
多次数学竞赛满分
曾参加全国最权威数学竞赛之一
并取得全市最高分
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一级目录
A、排列组合一【视频名：一、排列组合(1/3) 系统课完整】.....................................................................1
A、排列组合二【视频名：一、排列组合(2/3) 【强推必看精华】为什么会重复？什么时候要再排队？
为什么不用排队？公考绝对不错的方法是什么？简化算法是什么？】.....................................................19
A、排列组合补充1【视频名：一、排列组合补充1：异物异盒在公考通用计算做法】.......................21
A、排列组合补充2【视频名：一、排列组合补充2：隔板法至少0 个+球棍模型介绍】....................21
B、行程【视频名：二、行程第一集(1/3)和第二集(2/3)】......................................................................22
B、行程补充【视频名：二、行程补充1：环形跑道】.............................................................................42
C、溶液【视频名：三、溶液系统课】........................................................................................................45
D、经济利润【视频名：四、经济利润第一集(1/3)】.............................................................................. 53
D、经济利润【视频名：四、经济利润第二集(2/3) 利润最值全网最快解法】.................................... 64
E、概率【视频名：五、概率第一集（1/2】..............................................................................................66
F、递推【视频名：六、递推斐波那契数列（半个）】............................................................................ 82
G、工程【视频名：七、工程问题第一集和第二集】................................................................................84
H、几何【视频名：八、几何第1-3 集】.....................................................................................................94
I、和差倍比【视频名：九、和差倍比第一集(1/7)（算术比例法超快解）】...................................... 118
J、周期问题【视频名：九、周期问题第六集(6/7)（和差倍比第六集）】..........................................128
K、容斥问题【视频名：十、容斥第一集(1/2)
中间提供考场快解方法】.........................................131
L、抽屉原理（最不利构造）【视频名：十一、抽屉原理到底是什么玩意？最多的最少，一定保证至
少噼里啪啦巴拉巴拉小魔仙】...................................................................................................................... 138
M、不定方程【视频名：十二、不定方程第一集(1/2) 【余数分析法】暴击你们！】..................... 144
N、时钟问题【视频名：十三、时钟问题第一集(1/2)-浙江省考和数量大省看过来！】.................. 148
O、最值问题【视频名：十四、最值问题第一集(1/2)含多集合反向构造（本期最简单一种题），其他
类型本期较难，有时间可以摸索一下】...................................................................................................... 153
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P、牛吃草问题【视频名：十五、牛吃草问题【有变态题目】】............................................................158
Q、染色问题【视频名：十六、染色问题-传球法】................................................................................. 162
R、植树问题【视频名：十七、植树问题(1/2)系统课】...........................................................................168
S、方阵问题【视频名：十八、方阵问题-常见于广东省考+江浙省考+国考+个别联考-系统课】....175
T、数列【视频名：十九、数列+数列最值-系统课-刷题课已出在最值内】..........................................181
U、统筹规划【视频名：二十、统筹规划第一集(1/3) 工程效率-等待时间-运输价格-穿越沙漠-公考行
测数量】.......................................................................................................................................................... 187
V、数论-整除（待更新）..............................................................................................................................201
W、数论-余数（待更新）.............................................................................................................................201
X、拔高篇-标数法（待更新）......................................................................................................................201
Y、拔高篇-传球法（待更新）...................................................................................................................... 201
顺序建议：
（必考，易）第一组：和差倍比-不定方程-数列
（高频，中）第二组：溶液-经济
（必考，中）第三组：行程-工程
（必考，难）第四组：排列组合-概率-抽屉原理
（低频，易）第五组：植树-方阵
（低频，杂）第六组：染色，容斥，几何，最值，周期，时钟，牛吃草，统筹规划，
递推
前五组组内模块按从左到右，第六组组内无序最后学。
各组组间无序，组与组之间顺序随便。
其他顺序看个人情况
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二级目录
A、排列组合一【视频名：一、排列组合(1/3) 系
统课完整】.......................................................................1
一、加乘原理..............................................................1
二、排列.......................................................................1
2-1 排列基础.............................................................1
2-2 捆绑（必须相邻）...........................................1
2-3 插空（必须不相邻）......................................1
2-4 除序（某部分确定顺序）.............................1
2-5 综合题（捆绑+插空+除序）...................... 1
2-6 圆排列（旋转+翻转）...................................1
三、组合.......................................................................1
3-1 组合基础.............................................................1
3-2 同物异盒（隔板法，相同物品放入不同盒
子）................................................................................1
3-3 异物同盒（平均分堆，不同物品放入相同
盒子）........................................................................... 1
3-4 同物同盒（整数拆分，相同物品放入相同
盒子）........................................................................... 1
3-5 异物异盒（乘法+容斥原理，不同物品放
入不同盒子）..............................................................1
3-6 为什么X 物X 盒四种情况不能全部都用隔
板法?(本期精华所在)...............................................1
3-7 如何区分同异物品和同异盒子？............... 1
四、多面手.................................................................. 1
五、错排.......................................................................1
六、综合思考题.........................................................1
七、总结回顾..............................................................1
八、实战真题刷题课................................................1
A、排列组合二【视频名：一、排列组合(2/3) 【强
推必看精华】为什么会重复？什么时候要再排
队？为什么不用排队？公考绝对不错的方法是什
么？简化算法是什么？】.........................................19
A、排列组合补充1【视频名：一、排列组合补充
1：异物异盒在公考通用计算做法】....................21
A、排列组合补充2【视频名：一、排列组合补充
2：隔板法至少0 个+球棍模型介绍】................21
B、行程【视频名：二、行程第一集(1/3)和第二
集(2/3)】........................................................................22
一、行程基础........................................................... 22
1-1 路程速度时间..................................................22
1-2 平均速度...........................................................22
1-3 分段行程...........................................................22
二、相遇基础........................................................... 22
三、追及基础........................................................... 22
四、火车过桥........................................................... 22
4-1 基础....................................................................22
4-2 人车同步...........................................................22
4-3 车车同步...........................................................22
五、流水行船........................................................... 22
5-1 基础....................................................................22
5-2 相遇....................................................................22
5-3 追及....................................................................22
5-4 丢东西............................................................... 22
5-5 一丁点进阶......................................................22
六、环形跑道【单独补充视频】.......................22
七、多次迎面相遇（算术法+公式法）..........22
7-1 异地相向...........................................................22
7-2 同地同向...........................................................22
7-3 最后一次相遇地点........................................ 22
7-4 迎面相遇总次数.............................................22
7-5 插旗法（好像没人用过？）......................22
八、方程法解行程..................................................22
九、比例法解行程（超快解题技巧）精华方法！
.......................................................................................22
9-1 基础....................................................................22
9-2 变速....................................................................22
十、图式法解行程（柳卡图）...........................22
10-1 柳卡图法........................................................22
十一、刷题课（包罗万象）............................. 22
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11-1 粉笔正确率30%-70%随机20 道........22
11-2 粉笔正确率0%-30%随机40 道..........22
B、行程补充【视频名：二、行程补充1：环形
跑道】..............................................................................42
C、溶液【视频名：三、溶液系统课】.............45
一、浓度基础...........................................................45
二、浓度混合（方程解，简单过）................45
三、浓度三角（某笔的线段法。例题+纯逻辑
推导原理）................................................................45
四、浓度1:1 混合。质量1:1 混合...................45
五、浓度三角在经济问题中的超级快速解（利
润率等）.................................................................... 45
六、浓度三角在资料分析的快速解（混合增长
率、混合比重等）..................................................45
七、53 道真题刷题课课，搬空题库................45
D、经济利润【视频名：四、经济利润第一集(1/3)】
........................................................................................... 53
一、经济基础...........................................................53
1-1 现价原价折扣..................................................53
1-2 涨幅跌幅...........................................................53
1-3 利润....................................................................53
1-4 盈亏经济问题..................................................53
二、本金利息利率..................................................53
2-1 单利....................................................................53
2-2 复利....................................................................53
三、三价两率（精华解题方法）.......................53
3-1 基础....................................................................53
3-2 一丁点进阶......................................................53
3-3 再进阶一点......................................................53
四、分批销售1（方程法+算术解）............... 53
4-1 基础....................................................................53
4-2 进阶....................................................................53
五、分批销售2 浓度三角(线段法)快解经济问
题..................................................................................53
5-1 基础（具体理解证明详溶液专题）........ 53
5-2 进阶....................................................................53
六、什么时候可以设数？（方法篇）............. 53
6-1 看问题............................................................... 53
6-2 看条件............................................................... 53
七、综合题（最优解）.........................................53
八、真题刷题课（包罗万象）...........................53
8-1 真题正确率40%-80%随机30 道...........53
8-2 真题正确率0%-40%总共仅21 道........53
D、经济利润【视频名：四、经济利润第二集(2/3)
利润最值全网最快解法】.........................................64
E、概率【视频名：五、概率第一集（1/2】. 66
一、古典和常规概率............................................. 66
1-1 概率基础...........................................................66
1-2 分类、分步概率.............................................66
1-3 比赛胜率...........................................................66
二、结合排列组合的概率.................................... 66
三、相邻和不相邻（基友和情敌）..................66
四、最短路径（标数法基础）...........................66
五、枚举法技巧（路灯植树等）.......................66
六、线性规划（结合坐标系计算）..................66
七、标志重捕法（这不是高中生物吗？）.... 66
八、复杂题目如何快速选出正确答案？.........66
九、真题刷题课（包罗万象）...........................66
9-1 真题正确率35%-70%随机20 道...........66
9-2 真题正确率0%-35%总计39 道............ 66
F、递推【视频名：六、递推斐波那契数列（半
个）】..............................................................................82
G、工程【视频名：七、工程问题第一集和第二
集】..................................................................................84
一、工程基础........................................................... 84
1-1 工程和行程的异同........................................ 84
二、分干合干........................................................... 84
2-1 分干....................................................................84
2-2 合干....................................................................84
2-3 偷懒休息干活..................................................84
2-4 一丁点进阶......................................................84
三、多人开干........................................................... 84
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3-1 多元方程...........................................................84
3-2 劳动工资分配..................................................84
四、来回帮忙干.......................................................84
五、交替工作...........................................................84
5-1 简单交替工作..................................................84
5-2 第一类交替进阶（同时正向）................. 84
5-3 第二类交替进阶（排水，先进后排）....84
六、交替工作大进阶（蜗牛爬树型）............. 84
6-1 蜗牛爬树...........................................................84
6-2 第三类交替进阶（排水，先排后进，易错
点）..............................................................................84
七、杂题.................................................................... 84
八、真题刷题课（包罗万象）...........................84
8-1 真题正确率40%-80%随机30 道...........84
8-2 真题正确率0%-40%总共仅18 道........84
H、几何【视频名：八、几何第1-3 集】......... 94
一、勾股定理...........................................................94
1-1 常见勾股数......................................................94
1-2 弦图....................................................................94
1-3 圆方圆方圆吧啦吧啦……............................ 94
1-4 折叠....................................................................94
二、三角函数...........................................................94
三、一半模型...........................................................94
四、等高模型...........................................................94
五、鸟头模型（较难，不一定考）..................94
六、风筝模型...........................................................94
七、蝴蝶模型...........................................................94
八、相似三角形.......................................................94
九、燕尾模型（较难，不一定考）..................94
十、柱体、椎体、圆台.........................................94
十一、水中浸物（近年新题型）.......................94
十二、不规则图形常用方法+容斥...................94
十三、解析几何.......................................................94
十四、线性规划（详我的概率专题）............. 94
十五、最短路线规划（将军饮马）..................94
十六、一笔画...........................................................94
十七、旋转与轨迹..................................................94
十八、草地铺路.......................................................94
十九、和一定，差小积大.................................... 94
二十、立方体染色..................................................94
二十一、弓形、弯角............................................. 94
二十二、多边形内外角和、假人目视法.........94
二十三、真题刷题课（包罗万象）..................94
23-1 真题第一部分随机25 道......................... 94
23-2 真题正确率0%-30%总计40 道..........94
I、和差倍比【视频名：九、和差倍比第一集(1/7)
（算术比例法超快解）】...................................... 118
一、和差倍比.........................................................118
二、比例法快解-不变量.................................... 118
三、给来给去和不变...........................................118
四、同增同减差不变...........................................118
五、还原问题.........................................................118
六、方程法解经典和差倍比应用题................118
七、盈亏问题.........................................................118
八、鸡兔同笼.........................................................118
九、年龄问题.........................................................118
十、周期日期问题................................................118
十一、真题刷题课（包罗万象）....................118
11-1 真题-第一部分-随机40 道...................118
11-2 真题-第二部分-随机20 道...................118
J、周期问题【视频名：九、周期问题第六集(6/7)
（和差倍比第六集）】...........................................128
K、容斥问题【视频名：十、容斥第一集(1/2)
中
间提供考场快解方法】...........................................131
L、抽屉原理（最不利构造）【视频名：十一、抽
屉原理到底是什么玩意？最多的最少，一定保证
至少噼里啪啦巴拉巴拉小魔仙】.........................138
一、最不利原则.................................................... 138
二、最多的最少.................................................... 138
三、求总苹果至少................................................138
四、求总抽屉最多................................................138
五、排列组合中的抽屉原理............................. 138
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六、数论中的抽屉原理...................................... 138
M、不定方程【视频名：十二、不定方程第一集
(1/2) 【余数分析法】暴击你们！】.................144
一、加减对方的最简比系数（开局暴击）..144
二、整除分析法.................................................... 144
三、余数分析法（再次暴击）.........................144
四、求所有解的总数量...................................... 144
五、减法不定方程................................................144
六、最小和（背公式即可。证明纯拓展，要用
到高中竞赛）.........................................................144
N、时钟问题【视频名：十三、时钟问题第一集
(1/2)-浙江省考和数量大省看过来！】............ 148
一、时钟基础-时间路程速度........................... 148
二、知时间求度数-通解.................................... 148
三、重合..................................................................148
四、共线..................................................................148
五、垂直..................................................................148
六、任意度数.........................................................148
七、对称（难点）................................................148
八、度数到度数之间如何快求时间？（重点）148
九、奇葩钟............................................................. 148
十、真题刷题课（包罗万象）.........................148
10-1 时钟问题题库全部真题（全包）........148
O、最值问题【视频名：十四、最值问题第一集
(1/2)含多集合反向构造（本期最简单一种题），
其他类型本期较难，有时间可以摸索一下】..153
一、容斥最值-含多集合反向构造..................153
1-1 两集合最值.....................................................153
1-2 三集合，求啥都会的最大......................... 153
1-3 三集合，求啥都会的最小（反向）.......153
1-4 三集合，求啥也不会的最大.....................153
1-5 三集合，求啥也不会的最小.....................153
1-6 三集合，求仅会两个的最大.....................153
1-7 三集合，求仅会两个的最小.....................153
1-8 三集合，求仅会一个的最大.....................153
1-9 三集合，求仅会一个的最小.....................153
1-10 多集合，求啥都会的最小（反向）.... 153
二、数列最值.........................................................153
三、经济利润的最值问题..................................153
四、抽屉原理的最不利构造............................. 153
五、真题刷题课（包罗万象）.........................153
5-1 多集合反向构造-全部11 题...................153
5-2 数列最值-20 题...........................................153
5-3 抽屉原理最不利构造-20 题.................... 153
5-4 一般最值-10 题...........................................153
P、牛吃草问题【视频名：十五、牛吃草问题【有
变态题目】】............................................................. 158
一、基本牛吃草.................................................... 158
二、检票口吃人.................................................... 158
三、一边进水一边排水...................................... 158
四、草衰减型.........................................................158
五、进阶-不同动物..............................................158
六、进阶-不同草地..............................................158
七、进阶-不同动物不同草地........................... 158
八、进阶复杂变态型...........................................158
不同动物不同草地晴雨天生长还不一样...... 158
九、真题刷题课（搬空题库）.........................158
Q、染色问题【视频名：十六、染色问题-传球法】
.........................................................................................162
R、植树问题【视频名：十七、植树问题(1/2)系
统课】...........................................................................168
S、方阵问题【视频名：十八、方阵问题-常见于
广东省考+江浙省考+国考+个别联考-系统课】175
一、实心方阵.........................................................175
1-1 基础................................................................. 175
1-2 加减行列........................................................ 175
1-3 合并方阵........................................................ 175
1-4 交替阵列........................................................ 175
1-5 盈亏................................................................. 175
二、空心方阵.........................................................175
2-1 基础................................................................. 175
2-2 加减行列（三种方法）.............................175
叽叽喳喳的公考
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三、等边三角阵.................................................... 175
四、真题刷题课（搬空题库）.........................175
T、数列【视频名：十九、数列+数列最值-系统
课-刷题课已出在最值内】.................................... 181
一、等差数列公式................................................181
二、数列最值.........................................................181
三、等比数列公式................................................181
四、平方和公式.................................................... 181
五、立方和公式.................................................... 181
六、数表问题.........................................................181
七、斐波那契数列（详系统课第六章递推）181
八、刷题课（已出，合并版的最值内）...... 181
U、统筹规划【视频名：二十、统筹规划第一集(1/3)
工程效率-等待时间-运输价格-穿越沙漠-公考行
测数量】.......................................................................187
一、工程效率类.................................................... 187
二、等待时间类.................................................... 187
三、运输价格类.................................................... 187
四、穿越沙漠类.................................................... 187
五、天平称物类.................................................... 187
六、货车装箱类.................................................... 187
七、平底锅煎饼.................................................... 187
八、空瓶换水类.................................................... 187
九、真题刷题类.................................................... 187
V、数论-整除（待更新）......................................201
W、数论-余数（待更新）.................................... 201
X、拔高篇-标数法（待更新）.............................201
Y、拔高篇-传球法（待更新）.............................201
顺序建议：
（必考，易）第一组：和差倍比-不定方程-数列
（高频，中）第二组：溶液-经济
（必考，中）第三组：行程-工程
（必考，难）第四组：排列组合-概率-抽屉原理
（低频，易）第五组：植树-方阵
（低频，杂）第六组：染色，容斥，几何，最值，周期，时钟，牛吃草，统筹规划，
递推
前五组组内模块按从左到右，第六组组内无序最后学。
各组组间无序，组与组之间顺序随便。
其他顺序看个人情况
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考
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叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
1
A、排列组合一【视频名：一、排列组合(1/3) 系统课完整】
一、加乘原理
二、排列
2-1 排列基础
2-2 捆绑（必须相邻）
2-3 插空（必须不相邻）
2-4 除序（某部分确定顺序）
2-5 综合题（捆绑+插空+除序）
2-6 圆排列（旋转+翻转）
三、组合
3-1 组合基础
3-2 同物异盒（隔板法，相同物品放入不同盒子）
3-3 异物同盒（平均分堆，不同物品放入相同盒子）
3-4 同物同盒（整数拆分，相同物品放入相同盒子）
3-5 异物异盒（乘法+容斥原理，不同物品放入不同盒子）
3-6 为什么X 物X 盒四种情况不能全部都用隔板法?(本期精华所在)
3-7 如何区分同异物品和同异盒子？
四、多面手
五、错排
六、综合思考题
七、总结回顾
八、实战真题刷题课
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
2
一、加乘原理
二、排列
2-1 排列基础
1）3 个人去排成一列，有几种排法
2）5 个人去排成一列，有几种排法
3）5 个人选3 个人去排成一列，有几种排法
练习
6 个人去排成一列，有几种排法
8 个人选6 个人去排成一列，有几种排法
8 个人选2 个人去排成一列，有几种排法
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
3
2-2 捆绑（必须在一起）
1）小名，小明，小铭，小鸣，小命
5 个人去大澡堂排队洗澡，小明和小命两人
关系很好，好到想在一起洗澡，所以他们俩一定要排在一起，保证可以手拉手
进入大澡堂。请问有几种不同的排队方式
练习
1）ABCDEFG
7 个人去排队，AB 必须在一起，几种排队方法
2）ABCDEFG
7 个人去排队，AB 必须在一起，CD 也必须在一起，几种排队方法
3）ABCDEFG
7 个人去排队，ABC 必须在一起，几种排队方法
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
4
2-3 插空（必须不在一起）
1）小名，小明，小铭，小鸣，小命
5 个人去大澡堂排队洗澡，小明和小命两人
本来关系很好，好到想在一起洗澡，但是他们上次洗澡吵架了分手了，不可开交，
小明不要小命了，他们俩一定不能在一起。请问有几种不同的排队方式
练习
1）ABCDEFG
7 个人去排队，AB 必须不在一起，几种排队方法
2）ABCDEFG
7 个人去排队，ABC 三人必须不在一起，几种排队方法
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
5
2-4 除序（某部分确定顺序）
1）小名，小明，小铭，小鸣，小命
5 个人去大澡堂排队洗澡，小明和小命两人
还没和好，小明不要小命了，小命把他的左眼哭瞎了，所以小命必须站在小明的
左边，这样小命就可以偷偷用右眼观察小明了。请问有几种不同的排队方式
练习
1）ABCDEFG
7 个人去排队，A 必须在B 的右边，几种排队方法
2）ABCDEFG
7 个人去排队，A 必须在B 的右边，C 必须在D 的左边，几种排队方法
3）ABCDEFG
7 个人去排队，F 必须在G 的左边，A 必须在BC 的中间（可以不相邻）
，几种排队方法
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
6
2-5 综合（捆绑+插空+除序）
1）ABCDEFG
7 个人去排队，FG 必须在一起，A 必须在BC 的中间（可以不相邻）
，DE 必须不相邻，几种排队方法
练习
ABCDEFGH
8 个人去排队，ABC 必须在一起，D 必须在EF 的中间（可以不相邻）
，GH 必须不相邻，几种排队方法
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
7
2-6 圆排列（旋转+翻转）
1）ABC 三人成一圈吃饭，几种坐法
2）ABCD 四人成一圈吃饭，几种坐法
3）ABCDE 五人成一圈吃饭，几种坐法
4）7 种不同颜色的珠子串成手链，多少种串法
练习
1）一家六口围成一圈吃饭，爸爸妈妈一定坐一起，几种坐法
2）一家六口围成一圈吃饭，爸爸妈妈一定坐一起，小命和小明必须不坐在一起。
几种坐法
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
8
三、组合
3-1 组合基础
1）从5 个人里面选2 人去排队，有几种排法
2）从5 个人里面选2 人去排队，有几种选法
3）从7 个人里面选3 人去排队，有几种选法
练习
从8 个人里面选3 人去排队，有几种选法
从8 个人里面选5 人去排队，有几种选法
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
9
3-2 同物异盒（隔板法，相同物品放入不同盒子）
3-2-1 至少一个。
1）6 个相同的苹果放入3 个不同的盒子，每个盒子至少一个。有几种放法？
练习
9 个相同的苹果放入5 个不同的盒子，每个盒子至少一个。有几种放法？
小命把10 个一模一样的苹果分给4 个人吃，每个人至少要吃一个。有几种分法？
3-2-2 至少两个。
2）12 个相同的苹果放入3 个不同的盒子，每个盒子至少两个。有几种放法？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
10
练习
14 个相同的苹果放入4 个不同的盒子，每个盒子至少两个。有几种放法？
3-2-3 至少0 个，可以没有。
1）6 个相同的苹果放入3 个不同的盒子，每个盒子可以不分。有几种放法？
练习
8 个相同的苹果放入3 个不同的盒子，每个盒子可以不分。有几种放法？
小命今天一次性煮了7 个鸡蛋，要在4 天内吃完，共几种可能？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
11
3-3 异物同盒（平均分堆，不同物品放入相同盒子）
3-3-1 全平均
1）4 个不同的苹果，平均放入2 个相同的盒子，几种方法
练习
9 个不同的苹果，平均放入3 个相同的盒子，几种方法
3-3-2 部分平均
2）9 个不同的苹果，按照5 个，2 个，2 个的放入3 个相同的盒子，几种放法
练习
12 个人玩游戏分组，按照6 人，3 人，3 人分组（不考虑组序），几种分法
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
12
8 个人玩游戏分组，按照1 人，1 人，2 人，2 人，2 人分组（不考虑组序），几种分法
14 个人玩游戏分组，按照1 人，2 人，2 人，3 人，3 人，3 人分组（不考虑组序），
几种分法
3-4 同物同盒（整数拆分，相同物品放入相同盒子）
1）6 个一模一样的苹果放到3 个一模一样的盒子里，可以放0 个。几种分法
练习
5 个一模一样的苹果放到3 个一模一样的盒子里，可以放0 个。几种分法
6 个一模一样的苹果放到3 个一模一样的盒子里，每个盒子至少一个。几种分法
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
13
3-5 异物异盒（乘法+容斥原理，不同物品放入不同盒子）
【注：本节为此类型数字很大时的通解算法。公考常考题型为数字较小，公考通用做法详排列
组合第二集。】
1）6 个不同的苹果放到3 个不同的盒子里，每个盒子可以放0 个。几种分法
2）6 个不同的苹果放到3 个不同的盒子里，每个盒子至少1 个。几种分法（变态难度）
练习
10 个不同的苹果放到4 个不同的盒子里，每个盒子可以放0 个。几种分法
2）6 个不同的苹果放到3 个不同的盒子里，每个盒子至少1 个。几种分法
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
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叽叽喳喳的公考
14
3-6 为什么X 物X 盒四种情况不能全部都用隔板法?(本期精华所在)
6 个苹果分给3 个盒子，每个盒子可以分0 个
以下四种情况各有多少种不同的分法？
3-6-1
同物异盒（隔板法，相同物品放入不同盒子）
3-6-2
异物同盒（平均分堆，不同物品放入相同盒子）
3-6-3
同物同盒（整数拆分，相同物品放入相同盒子）
3-6-4
异物异盒（乘法+容斥原理，不同物品放入不同盒子）
3-6-5
总结
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
15
3-7 如何区分同异物品和同异盒子？
6 个相同的苹果分给3 个人吃
6 本不同的书分成3 堆，
6 个人玩游戏分组
6 个人去值3 个时间段的班
6 个不同的面包3 天吃完.
6 个人去十字路口东西南北四个位置站岗，几种分法
6 个人去十字路口东西南北四个位置站岗，求每个位置数量的分法（公考原话，有歧义）
6 集电视剧3 天内播完，几种播法
6 个相同的鸡蛋3 天吃完，每天吃鸡蛋的个数分配方法
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
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叽叽喳喳的公考
16
四、多面手
某个翻译组有5 个人只会法语，6 个人只会英语，还有两个人既会法语又会英语，
现在需要3 名法语翻译和3 名英语翻译，有多少种不同的选派方法？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
17
五、错排
1）2 个人AB，每人各有一本书分别为ab，自己不能拿自己的，几种拿法？
2）1 个人A，每人各有一本书分别为a，自己不能拿自己的，几种拿法？
3）3 个人ABC，每人各有一本书分别为abc，自己不能拿自己的，几种拿法？
n 个人呢？
练习
有6 个小朋友准备了礼物进行交换，结果有一位小朋友恰好拿到了自己的礼物，
其他人都拿到了别人的礼物，请问有多少种不同的情况？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
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叽叽喳喳的公考
18
六、综合题
甲乙丙三户人家打算订阅报纸，共有七种不同的报纸可以选择。已知每户人家都订了
三份不同的报纸，并且知道这三户人家每两户所订的报纸恰好有一份是相同的，请问
这三户人家共有多少种不同的订阅方式？
七、总结回顾
还没完结！！！
第二集记得看，和补充1 视频！
八、实战真题刷题课
8-1 真题正确率30%-70%随机20 道
8-2 真题正确率0%-30%总计40 道
详刷题课文件。
叽叽喳喳的公考
考
考
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叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
19
A、排列组合二【视频名：一、排列组合(2/3) 【强推必看精华】为什么
会重复？什么时候要再排队？为什么不用排队？公考绝对不错的方法是什
么？简化算法是什么？】
排列组合补充--不同人去不同地方的公考通用做法
六道题分别用多种解题方法，从底层逻辑解决完大家的疑惑
什么时候要排队？什么时候不用排队？为什么不用排队？为什么会重复？为什么选完还要排
队？为什么选完不用排队？
1、ABC 3 人去甲乙丙三个村，每村至少一人，多少种?
2、ABCD 4 人去甲乙丙三个村，每村至少一人，多少种?
3、ABCDE 5 人去甲乙丙三个村，每村至少一人，多少种?
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
20
4、12 个人按照4/3/3/2 的分组，随机去甲乙丙丁四个村，多少种?
5、12 个人按照5/4/2/1 的分组，按此顺序分别去甲乙丙丁四个村即甲村5 人，乙村4 人，
丙村2 人，丁村1 人，多少种?
6、12 个人按照4/3/3/2 的分组，按此顺序分别去甲乙丙丁四个村即甲村4 人，乙村3 人，
丙村3 人，丁村2 人，多少种?
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
21
A、排列组合补充1【视频名：一、排列组合补充1：异物异盒在公考通用
计算做法】
4 个不同的人选4 个不同的基地
1、至少有3 名选择不同基地的方法有多少种
2、至少有2 名选择不同基地的方法有多少种
A、排列组合补充2【视频名：一、排列组合补充2：隔板法至少0 个+球
棍模型介绍】
略
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
22
B、行程【视频名：二、行程第一集(1/3)和第二集(2/3)】
一、行程基础
1-1 路程速度时间
1-2 平均速度
1-3 分段行程
二、相遇基础
三、追及基础
四、火车过桥
4-1 基础
4-2 人车同步
4-3 车车同步
五、流水行船
5-1 基础
5-2 相遇
5-3 追及
5-4 丢东西
5-5 一丁点进阶
六、环形跑道【单独补充视频】
七、多次迎面相遇（算术法+公式法）
7-1 异地相向
7-2 同地同向
7-3 最后一次相遇地点
7-4 迎面相遇总次数
7-5 插旗法（好像没人用过？）
八、方程法解行程
九、比例法解行程（超快解题技巧）精华方
法！
9-1 基础
9-2 变速
十、图式法解行程（柳卡图）
10-1 柳卡图法
十一、刷题课（包罗万象）
11-1 粉笔正确率30%-70%随机20
道
11-2 粉笔正确率0%-30%随机40
道
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
23
一、行程基础
1-1 路程速度时间
AB 两地相距100 千米，甲速度为20 千米每小时，问甲从A 到B 多少时间？
AB 两地相距100 千米，甲从A 到B 时间为4 小时，求甲平均速度？
甲从A 到B 时间为3 小时，速度为60 千米每小时，求AB 路程？
1-2 平均速度
小明想爬8848 米的珠穆朗玛峰，先找了个小山头试了下水，上山速度30m/min，下山速度
120m/min。上下山路程都是6000m，求小明上下山的平均速度。
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
24
1-3 分段行程
1、小明试了下水后发现自己很行，决定去爬珠峰了。
从家里到珠峰营地3000 千米，小明计划速度150 千米每小时开车过去。但是开了一半后被交
警抓了超速了，在途中瞎掰了2 小时解决掉了交警，如果要按照原定的时间到达珠峰营地，后
半程速度应为多少?
2、小明继续从事故地点去珠峰。
事故地点去珠峰还有1500千米，小明准备先用120千米每小时的速度开一段时间避开交警后，
再调整为300 千米每小时的速度去珠峰，按原计划总计仍然可以8 小时到达，请问小明计划
按120 的速度开多少小时？
3、小明开了一会儿发现交警还在跟着他。想了下觉得300 的速度太可怕了。
小明算了一下，如果他按原速行驶，还需要12 小时才能到达；如果每小时多走50 千米，只
需要8 小时就能到达，求现在小明距离珠峰的路程。
叽叽喳喳的公考
考
考
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叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
25
二、相遇基础
2-1
AB 两地相距100km，甲乙两人从两地相向而行，甲速度20km/h，乙速度30km/h，求两人
第一次相遇时间？
AB 两地相距100km，甲乙两人从两地相向而行，甲速度10km/h，两人第一次相遇时间问为
2.5h，求乙速度？
甲乙两人从AB 两地相向而行，甲速度10km/h，乙速度为60km/h，两人第一次相遇时间问
为3h，求AB 距离？
AB 两地相距120km，甲乙两人从两地相向而行，甲比乙速度多了20km/h，3h 后两人相遇，
求甲速度?
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
26
2-2 掉头
AB 两地相距120km，甲乙两人从A 地出发同向而行，甲60km/h，乙速20km/h，甲到B
后立刻掉头，求两人第一次相遇时间?
AB 两地相距120 千米，甲乙同时从两地出发相向而行，甲5km/h，乙7km/h，甲带着一只
狗，狗10km/h，这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候它就掉转头来往甲这边走，碰到甲时往
乙这边走，直到两人相遇。狗一共走了多少千米?
2-3 一丁点进阶
1、AB 两地相距120 千米，甲乙同时从两地出发相向而行，甲乙相遇时间为4 小时；若甲速
度增加了5km/h，乙速度减少了5km/h，再从AB 两地出发，求相遇时间?
2、AB 两地相距120 千米，甲乙同时从两地出发相向而行，甲乙相遇时间为4 小时，记为此
时在C 点相遇；若甲速度增加了10km/h，相遇地点D 距离C 为20km，求乙车速度?
叽叽喳喳的公考
考
考
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叽叽喳喳的公考
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叽叽喳喳的公考
27
三、追及基础
3-1 基础
AB 两地相距100km，甲乙两人分别从两地同向而行，甲速度60km/h，乙速度40km/h，求
甲追上乙的时间？
AB 两地相距100km，甲乙两人分别从两地同向而行，甲速度60km/h，甲追上乙的时间2.5h，
求乙速度？
甲乙两人分别从AB 两地同向而行，甲速度80km/h，乙速度60km/h，甲追上乙的时间为2h，
求AB 两地距离？
AB 两地相距120km，甲乙两人分别从两地同向而行，甲乙速度和为120km/h，甲追上乙的
时间为4h，求甲乙速度分别是多少？
叽叽喳喳的公考
考
考
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叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
28
甲从A 地20km/h 速度出发2 小时后，乙再从A 地出发按40km/h 速度追甲，求追及时间？
3-2 一丁点小进阶
1、慢车从甲地开往乙地，每小时行40 千米，开出5 小时后，一辆快车以每小时90 千米的速
度也从甲地开往乙地，在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲两地相距多少千米?
2、小明和小喳约会的时候吵架了，两人从同一地点分手，背向而行。小明3m/s，小喳1m/s，
走了30 秒后，小明痛哭流涕掉头追小喳，多久追上?
3、AB 两地相距120 千米，甲乙分别同时从AB 出发同向而行，甲追上乙时间为4 小时；若
甲速度增加了5km/h，乙速度也增加了5km/h，再从AB 两地出发，求追及时间?
叽叽喳喳的公考
考
考
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叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
29
四、火车过桥
4-1 基础
火车过杆
火车过桥
1、火车车长300 米，以每秒20 米的速度通过蹲在路边哭泣的小命，从车头遇见小命到车尾
离开小命共需要多少秒?
2、火车300 米长，每秒20 米的通过一座500 米的隧道，从车头进隧道到车尾离开隧道共需
要多少秒?
3、火车车长400 米，每秒20 米的通过一座600 米的隧道，车头进入隧道到车尾完全离开隧
道共需要多少秒?
叽叽喳喳的公考
考
考
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叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
30
4、火车车长400 米，每秒20 米的通过一座600 米的隧道，火车完全进入隧道到车尾完全离
开隧道共需要多少秒?
5、火车车长400 米，每秒20 米的通过一座600 米的隧道，火车完全进入隧道到车头刚刚离
开隧道共需要多少秒?（完全在桥上的时间）
6、火车车长400 米，每秒20 米的通过一座600 米的隧道，车头进入隧道到车头刚刚离开隧
道共需要多少秒?
7、一列火车通过360 米长的桥需要44 秒，以同样的速度穿过860 米长的隧道需要49 秒这
列火车的速度？车长是？
4-2 人车同步
1、小明走路3m/s，一火车300 米长，与小明同向行驶，经过小明共用了10 秒，求车速？
2、小明走路3m/s，一火车300 米长，与小明反向行驶，经过小明共用了10 秒，求车速？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
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31
4-3 车车同步
1、两列火车，一列长120 米，每秒行20 米；另一列长160 米，每秒行15 米，两车相向而
行，从车头相遇到车尾离开需要多少秒？
2、两列火车，一列长120 米，每秒行20 米；另一列长160 米，每秒行15 米，两车同向而
行，从快车车头追上慢车车尾，到快车车尾离开慢车车头，需要多少秒？
3、两列同向行驶的火车，快车33m/s，慢车21m/s。如果两车头相遇，20 秒后快车超过慢
车；如果两车尾相遇，25 秒后快车超过慢车。求两车车长分别是多少?
叽叽喳喳的公考
考
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叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
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叽叽喳喳的公考
32
五、流水行船
5-1 基础
1、船的静水速度为30km/h，水流速度为6km/h，求船的顺水逆水速度？
2、船的顺水速度为40km/h，静水速度为30km/h，求水速？
3、船的顺水速度为40km/h，逆水速度为30km/h，求水速和静水船速？
4、已知某轮船在某条河中，静水速度为每小时36 千米，河水速度为每小时6 千米，若该轮
船逆流而上行驶了7 小时，那它返回时需要多少小时
5-2 相遇
静水中甲、乙两船的速度分别是每小时20 千米和每小时15 千米两船从相距350 千米的AB
两码头同时开出，相向而行，甲在上游，乙在下游，若水速是每小时4 千米，则多少小时后两
船相遇?
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
33
5-3 追及
静水中甲、乙两船的速度分别是每小时20 千米和每小时15 千米两船从相距350 千米的AB
两码头同时开出，同向而行，甲在上游，乙在下游，若水速是每小时4 千米，则多少小时后甲
船追上乙船?
5-4 丢东西
小明坐船逆流而上，在A 处掉了一只漂流瓶，又行驶了30 分钟后才发现，立即返回追寻，则
他返回追寻用了多少分钟
5-5 一丁点进阶
1、甲、乙两艘船分别在相距600 千米的两个港口，水流的速度是每小时2 千米，如果两船相
向而行3 小时相遇；如果两船同向而行15 小时甲船能追上乙船，这两艘船的静水速度分别是
多少?
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
34
七、多次相遇
7-1 异地相向
1、甲乙两人在100 米的直线跑道上练习折返跑，他们分别从两端同时出发相向而行。甲的速
度是3m/s，乙的速度是2m/s，请问每次迎面相遇俩人的路程之和有什么特点。
2、甲、乙两人在长100 米的直路的两端同时出发，相向而行，来回往返跑。甲的速度是6 米
/秒，乙的速度是4 米/秒。
a.那么两人从出发到第8 次迎面相遇用时多少秒？
b.请问180 秒内两个人迎面相遇了多少次？
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考
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7-2 同地同向
1、甲乙两人在100 米的直线跑道上练习折返跑，他们从同一端同时出发同向而行。甲的速度
是3m/s，乙的速度是2m/s，请问每次迎面相遇俩人的路程之和有什么特点。
2、甲、乙两人在长100 米的直路的同一端同时出发，同向而行，来回往返跑。甲的速度是6
米/秒，乙的速度是4 米/秒。
a.那么两人从出发到第8 次迎面相遇用时多少秒？
b.请问180 秒内两个人迎面相遇了多少次？
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考
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36
7-3 最后一次迎面相遇地点
甲乙在长720 米的直路的一端同时出发，同向而行，来回往返跑步。甲速度是7m/s，乙速度
是5m/s。那么当两人第13 次迎面相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？（在端点处的
相遇也视为迎面相遇）
练、甲乙在长700 米的直路的一端同时出发，同向而行，来回往返跑步。甲速度是9m/s，乙
速度是5m/s。那么当两人第12 次迎面相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？（在端点
处的相遇也视为迎面相遇）
7-4 迎面相遇总次数
异地相向：甲乙两人在一条长为120 米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒5 米，乙的速度
是每秒3 米。如果他们分别从直路的两端同时出发相向而行，当他们跑了12 分钟后，共迎面
相遇几次?（在端点相遇算为迎面相遇）
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考
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同地同向：甲乙两人在一条长为120 米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒5 米，乙的速度
是每秒3 米。如果他们从直路的同一端同时出发同向而行，当他们跑了12 分钟后，共迎面相
遇几次?（在端点相遇算为迎面相遇）
7-5 插旗法（公考不考，纯加深多次相遇的理解，更快做题）
1、甲乙两人分别从AB 两地同时出发，相向而行，速度比是2:3，AB 相距100 米。求两人
第三次和第四次迎面相遇地点距离多少米？
第2024 次和2025 次迎面相遇地点距离多少米？
练、甲乙两人分别从AB 两地同时出发，相向而行，速度比是2:5。第2024 次和2025 次迎
面相遇地点距离420 米，求AB 两地距离？
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考
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38
2、甲乙两人同时从A 地出发去往B 地，并在A、B 两地之间往返，乙两人的速度比为2:5，
两人第44 次迎面相遇的地点和第45 的地点相距60 米，求AB 两地之间的距离
八、方程法解行程
8-1 基础
1、甲乙两人都从A 到B，甲时间为5h，乙时间为7h，甲速度比乙速度快10km/h，求甲乙
速度分别是多少。
九、比例法解行程（超快解题）
9-1 基础
1、甲乙两人都从A 到B，甲速度为5km/h，乙速度为7km/h，求甲乙路程比
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考
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39
2、甲乙两人都从A 到B，甲乙时间比为3:7，求甲乙速度比
3、快慢车分别从A 到B 出发相向而行，快车速度60，相遇地点距离AB 中点为全程的1/10，
求慢车速度。
4、甲乙两人都从A 到B，甲时间为5h，乙时间为7h，甲速度比乙速度快10km/h，求甲乙
速度分别是多少。
5、甲乙两人都从A 到B，甲乙速度比为5:8，俩人时间和为26min，求AB 距离。
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40
9-2 变速
1、甲乙速度比为5:8，甲速度增加20%，乙速度降低50%，求现在甲乙速度比。
2、AB 两地3600 米，甲乙分别从AB 出发，相向而行，相遇地点距离A 地800 米；如果甲
速度提高200%，乙速度降低3/7 后，重新从AB 两地分别出发，新的相遇地点距离A 地多远。
3、甲从A 到B，如果速度提高25%，时间可以少20min；如果速度不变，时间是多少？
4、甲从A 到B，如果速度提高25%，时间可以少20min；如果速度减少45m/min，所花时
间增加3/4，求A、B 两地之间的距离
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考
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5、甲和乙两人分别从A、B 两地同时出发，相向而行。出发时，他们的速度之比是5：4。相
遇后甲的速度减少10%，乙的速度增加25%，这样当甲到达B 地时，乙离A 地还有20 千米，
求A、B 两地之间的距离
十、图式法解行程（柳卡图，几乎不考，我仅见过一次）
10-1 柳卡图法
1、甲乙两人在一条长为120 米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒5 米，乙的速度是每秒3
米。如果他们分别从直路的两端同时出发相向而行，当他们跑了12 分钟后，共相遇几次？包
括迎面相遇和追及相遇
2、A、B 两地相距1200 米，甲乙同时从A 地出发，前往B 地，到达B 地后立刻返回在AB
两地间往返锻炼甲步行每分钟60 米，乙跑步每分钟行150 米出发后30 分钟内，、乙两人第
几次相遇距B 地最近，最近距离是多少米?(包括迎面相遇和追及相遇)
3、每天中午有一条轮船从伦敦开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往伦敦轮船
在途中均要航行七天七夜试问：某条从伦敦开出的轮船在到达纽约前(途中)能遇上几艘从纽约
开来的轮船?
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考
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42
B、行程补充【视频名：二、行程补充1：环形跑道】
6-1 基础
1、相遇
甲、乙两人在400 米的环形跑道上同一点出发，背向而行。
甲的速度是6 米/秒，乙的速度是4 米/秒。
a. 第一次相遇多少时间？
b. 第四次相遇多少时间？
c. 第四次相遇甲的总路程为？
d. 第四次相遇地点距离起点多少米？
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2、追及
同地出发
甲、乙两人在400 米的环形跑道上同一点出发，同向而行。
甲的速度是6 米/秒，乙的速度是4 米/秒。
a. 第一次追上多少时间？
b.
b. 第四次追上多少时间？
c. 第四次追上甲的总路程为？
d. 第四次追上地点距离起点多少米？
3、追及
异地出发
甲、乙两人在400 米的环形跑道直径的两端同时出发，同向而行。
甲的速度是6 米/秒，乙的速度是4 米/秒。
a.第一次追上多少时间？
b. 第四次追上多少时间？
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3、追及
异地出发
一条圆形跑道长500 米，甲、乙两人从不同起点同时出发，均沿顺时针方向匀速跑步。已知
甲跑了600 米后第一次追上乙，然后甲加速20%继续前进，又跑了1200 米后第二次追上乙。
问甲出发后多少米第一次到达乙的出发点
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C、溶液【视频名：三、溶液系统课】
一、浓度基础
二、浓度混合（方程解，简单过）
三、浓度三角（某笔的线段法。例题+纯逻辑推导原理）
四、浓度1:1 混合。质量1:1 混合
五、浓度三角在经济问题中的超级快速解（利润率等）
六、浓度三角在资料分析的快速解（混合增长率、混合比重等）
七、53 道真题刷题课课，搬空题库
一、浓度基础
浓度问题：
盐水，
盐+水=盐水
1、一杯盐水，浓度是30%，盐水共300g，求盐和水各有多少克
2、一杯盐水，盐50g，水200g，求浓度
3-1、加水。一杯200 克浓度为30%的盐水，加了100 克白开水后，浓度是多少?
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3-2、加盐。一杯200 克浓度为30%的盐水，加了100 克盐后，浓度是多少?
3-3、加盐水。一杯200 克浓度为30%的盐水，另一杯300 克浓度为10%两杯混合之后，浓
度是多少?
3-4、加盐蒸发水。现有浓度为4%的食盐水250 克，若向该食盐水添加10 克食盐，再蒸发
掉160 克水，则新获得的食盐水的浓度为()。
3-5、多次加水。一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含百分比变为15%;第二次又
加入同样多的水后，盐水的含盐百分比变为12%，第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百
分比将变
3-6、乱七八糟加。在浓度为30%的溶液中加入一定量的水，溶液的浓度变为10%，再加入
和水同样多的盐，溶液的浓度变为
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二、浓度混合（方程解，简单过）
4、反求。要配成浓度为22%的盐水溶液300 克，需要20%浓度的溶液30%浓度的盐水溶液
各多少克
三、浓度三角（例题+无计算逻辑推导原理）
4、反求。要配成浓度为22%的盐水溶液300 克，需要20%浓度的溶液30%浓度的盐水溶液
各多少克
4 练、要配成浓度为16%的盐水溶液1000 克，需要8%浓度的溶液40%浓度的盐水溶液克
5、现有含盐率为16%的盐水12 千克，再加入多少千克含盐率30%的盐水，就可以得到含盐
率为22%的盐水
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5 练、现有含盐率为15%的盐水12 千克，再加入多少千克含盐率36%的盐水，就可以得到
含盐率为30%的盐水
6、现有浓度为70%的盐水100 克。从中倒出40 克，再加入40 克浓度为20%的盐水，如此
操作共5 次后，问盐水的浓度在以下哪范围内? （2024 年四川公务员51 题）
A 低于23%
B 在23%到25%之间
C 在25%到27%之间
D 高于27%
多次倒水加水快解方法详溶液53 道真题刷题课
7、浓度分为68%、72%、78%的二种酒精溶液的总质量为240 克。若将它们全部混合，则
可得浓度为74%的酒精溶液，若只将浓度为72%和78%的酒精溶液混合，则可得浓度为76%
的酒精溶液。这三种酒精溶液中，浓度为72%的酒精溶液质量为
8、(2023 年江苏省公务员A 类62 题)
A30
B40
C48
D60
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8、实验室有甲、乙、丙3 瓶盐酸溶液，浓度分别为10%、40%、60%，实验员将3 瓶溶液
全部倒入一瓶中，得到浓度为52%的盐酸溶液。已知乙溶液重量为甲溶液的1.5 倍，则丙溶
液重量为甲溶液的倍(2022 年深圳市第54 题)
A4.5
B5.5
C6.5
D7.5
9、把20%和30%的糖水混在一起，想配成24%的糖水，可是不小心把比例弄反了，请问配
错了的糖水的浓度是多少?
四、浓度1:1 混合。质量1:1 混合
10、把20%和30%的糖水按质量比1:1 混合，糖水的浓度是多少?
11、把1mL 的52 度茅台，和1L 的52 度茅台混合，请问你能喝到多少度的茅台?
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10 练、把1L 的52 度茅台和1L 白开水按质量比1:1 混合，请问你能喝到多少度的茅台?
11 练、把10mL 的52 度天之蓝，和10L 的52 度地之蓝，请问你能喝到多少度的天地之蓝?
12、如果甲乙按照1:6 的质量进行混合，混合后浓度是20%，如果甲乙按照2:5 的质量进行
混合，混合后浓度是32%.那么如果甲乙按照3:11 的质量进行混合，混合后浓度是
13、甲瓶中有50 克浓度为80%的溶液，加水50 克混合后倒出40 克至空瓶乙中；再往甲瓶
中加水40 克，混合后又倒出40 克至乙瓶中。最终乙瓶中溶液的浓度是
（2024 年江苏省（C 类）63 题）
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五、浓度三角在经济问题中的超级快速解（利润率等）
14、某商店购进西瓜1000 个，运输途中碰裂一些，未碰裂的西瓜卖完后，利润率为40%，
碰裂的西瓜只能降价出售，亏了60%，最后结算时发现，总利润率为32%，碰裂了多少个西
瓜?
14 练、一批练习本，按40%的利润率定价出售当卖掉80%后，剩下的练习本打折扣出售，结
果获得的利润是预定的86%，问剩下的练习本出售时是打几折?
15、A 地家居产品，2023 年营业额为5644，2024 年营业额比2023 年增长了32%，其中床
类产品2023 年营业额1854 万，2024 年比2023 年亏了26%，求家具产品里其他产品的2024
年营业额增长率。
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考
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16、K 市A 地家居产品，2024 年营业额为5644 万，其中床类产品占比32%，
K 市B 地家居产品，2024 年营业额为17100 万，其中家具产品里除了床类以外的其他产品占
比56%，求K 市AB 两地2024 年床类产品的总占比。
超多重混合占比，详我的20240804 视频
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考
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53
D、经济利润【视频名：四、经济利润第一集(1/3)】
一、经济基础
1-1 现价原价折扣
1-2 涨幅跌幅
1-3 利润
1-4 盈亏经济问题
二、本金利息利率
2-1 单利
2-2 复利
三、三价两率（精华解题方法）
3-1 基础
3-2 一丁点进阶
3-3 再进阶一点
四、分批销售1（方程法+算术解）
4-1 基础
4-2 进阶
五、分批销售2 浓度三角(线段法)快解经济
问题
5-1 基础（具体理解证明详溶液专题）
5-2 进阶
六、什么时候可以设数？（方法篇）
6-1 看问题
6-2 看条件
七、综合题（最优解）
八、真题刷题课（包罗万象）
8-1 真题正确率40%-80%随机30 道
8-2 真题正确率0%-40%总共仅21
道
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54
一、经济基础
1-1 现价原价折扣
小明去商店想买个鼠标，原价100 元，打八折，现价多少钱？
小明觉得太贵了，等了半年再去商店，发现鼠标打七折之后还要140 元，原价多少钱？
小明准备把键盘卖了换钱去买鼠标，键盘原价200 元，他卖了120 元，打几折？
1-2 涨幅跌幅
原价100 元，现价120 元，涨了还是跌了？涨幅或者跌幅多少？
现价140 元，原价200 元，涨了还是跌了？涨幅或者跌幅多少？
原价100 元，先涨20%，再跌20%，涨了还是跌了？涨幅或者跌幅多少？
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原价100 元，先跌20%，再涨20%，涨了还是跌了？涨幅或者跌幅多少？
小明卖的键盘原价200 元，先涨25%，发现没人要，现在要变回原价，应降价百分之几？
1-3 利润
小明终于把键盘卖出去了，成本200 元，卖了250 块钱，请问利润是多少？利润率是多少？
商店的鼠标，成本200 元，老板准备让鼠标利润率达到80%，售价应为多少？
商店的显示器，售价7000 元，利润率高达250%，成本应为多少？
黑心商店把主机和显示器都卖给了小明，成交价都是3600 元，其中一个赚了40%，一个亏
了40%，请问商店最终是赚了还是亏了？
1-4 盈亏经济问题
小明锲而不舍的砍价想拿下鼠标，老板算了一下，原价九折出售，可赚50 元；如果打八五折，
可赚45 元。那么鼠标原价是多少元?
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考
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老板卖鼠标卖累了，他算了一下卖的鼠标，如果打八折出售还可以赚55 元；如果打六折出售
亏15 元，让小明算一下原价，如果算对就送他算了。
二、本金利息利率
2-1 单利
小明最后没能算出来，他还是觉得太贵了，决定把钱存入银行吃利息，用利息买鼠标。
存5000 块钱进银行，存5 年定期，年利率为4%，到期后有多少利息？一共能取回多少钱？
2-2 复利
小明觉得定期五年太久了，决定一年一年的存。
存5000 块钱进银行，存一年定期，年利率为2.5%，到期后把本金和利息取出来一起再存一
年，以此类推存3 年，3 年后一共能取回多少钱？
计划把20000 元存入银行，存期两年现有两种储蓄方法：第一种是先存年期的年利率是2.5%，
到期时再把本金和利息取出后再存一年；另一种是存两年期年利率3%。你认为怎样存更划算?
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考
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三、三价两率（精华解题方法）
3-1 基础
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3-1 基础
显示器成本1000 元，按80%利润率定价，然后打八折，实际售价和利润率是多少？
某种商品定价5000 元，打8 折，可获利20%，商品成本是？
一件衣服按照30%的利润率出售，后来又打了八折，现在的售价是520 元，那么这件衣服的
成本是？
按成本价提高40%后标价，按八折销售，每件可赚12 元，求成本
按20%的利润率定价，再八折售出，结果亏128 元。那么这件商品的成本是多少元?
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考
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3-2 一丁点进阶
某商店进了一件衣服，第一天按80%的利润率定价，无人来买;第二天在此基础上再打九折，
还是无人来买;第三天再降价96 元，终于卖出.已知卖出的价格是进价的1.3 倍，求这件衣服的
进价
按每千克1.8 元的价格购进5000 千克苹果，运输费花去了1000 元。在运输途中有10%的苹
果变质不能售出，其余苹果全部售出，并且这位水果商获得了8%的利润，苹果的售价单价为？
3-3 再进阶一点
工厂生产了一批汽车零件，每个零件所需原材料成本是10 元，生产所需的人力、设备等其它
成本共需要花费45 万元，又已知在设备正常的情况下生产出来的零件会有2%的次品率，次
品是不能卖出去的，厂家按盈利20%定价但实际生产过程中由于设备故障，导致次品率涨到
19%。如果仍按原定价卖出，不仅不盈利，反而会亏损2 万元。求原定价每个零件是多少钱?
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四、分批销售（方程法+算术解）
4-1 基础
商店卖显示器，按50%的利润定价，当售出这批笔记本的70%后，为了尽早卖完，商店把剩
下的按八折出售，问:卖完后商店实际获得的利润率是多少?
4-2 进阶
商店以每件50 元的价格购进一批衬衫，售价为70 元，当卖到只剩下7 件的时候，商店以原
售价的八折售出，最后商店一共获利702 元，那么商店一共进了多少件衬衫
商店以每件100 元的价格购进一批衬衫，售价为140 元，当卖到只剩下7 件的时候，商店以
原售价的八折售出，最后商店一共获利724 元，那么商店一共进了多少件衬衫?
甲乙两种商品成本共400 元，甲商品按30%的利润定价，商品按20%的利润定价，后来两种
商品都按定价打九折出售，结果仍然获利59 元，甲商品的成本是多少?
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五、分批销售2 浓度三角(线段法)快解经济问题
5-1 基础（具体理解证明详溶液专题）
某商店购进西瓜1000 个，运输途中碰裂一些，未碰裂的西瓜卖完后，利润率为40%，碰裂
的西瓜只能降价出售，亏了60%，最后结算时发现，总利润率为32%，碰裂了多少个西瓜?
一批练习本，按40%的利润率定价出售，当卖掉80%后，剩下的练习本打折扣出售，结果获
得的利润是预定的86%，问剩下的练习本出售时是打几折?
5-2 进阶
小明到商店买红、黑两种笔共66 支。红笔每支定价5 元，黑笔每支定价9 元。由于买的数量
较多，商店就给予了优惠，红笔按定价的85%付钱，黑笔按定价的80%付钱，如果他付的钱
比按定价少付了18%,那么他买了红笔多少支?
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六、什么时候可以设数？（方法篇）
6-1 看问题
原价100 元，先跌20%，再涨20%，涨了还是跌了?幅或者跌幅多少?
小明卖的键盘原价200 元，先涨25%，发现没人要，现在要变回原价，应降价百分之几?
黑心商店把主机和显示器都卖给了小明，成交价都是3600 元，其中一个赚了40%，一个亏
了40%，请问商店最终是赚了还是亏了?
显示器成本1000 元，按80%利润率定价，然后打八折，实际售价和利润率是多少?
计划把20000 元存入银行，存期两年现有两种储蓄方法:第一种是先存年期的年利率是2.5%，
到期时再把本金和利息取出后再存一年:另一种是存两年期年利率3%。你认为怎样存更划算?
6-2 看条件
一批练习本，按40%的利润率定价出售，当卖掉80%后，剩下的练习本打折扣出售，结果获
得的利润是预定的86%，问剩下的练习本出售时是打几折?
某商店购进西瓜1000 个，运输途中碰裂一些，未碰裂的西瓜卖完后，利润率为40%，碰裂
的西瓜只能降价出售，亏了60%，最后结算时发现，总利润率为32%，碰裂了多少个西瓜?
商店卖显示器，按50%的利润定价，当售出这批笔记本的70%后，为了尽早卖完，商店把剩
下的按八折出售，问:卖完后商店实际获得的利润率是多少?
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七、综合题（最优解）
商场搞促销，若一次性购物不超过100 元，则不予优惠，若一次性购物超过100 元但不超过
300 元，则给予九折优惠;若购物超过300 元，超出部分按八折优惠，不超出部分九折优惠某
人两次购物分别付款126 元和286 元，如果合起来一次购买同样多的商品，他只需花多少钱?
与两次分开买相比，可以节约多少钱?
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D、经济利润【视频名：四、经济利润第二集(2/3) 利润最值全网最快解
法】
和一定，差小积大
1-1 基础
一件衣服成本为100 元，当利润率为4%时，单日销量为100 件，经过统计数据发现，利润
率每提高个百分点，单日销量就会减少5 件，要使单日销售利润达到最大，则该衣服售价应为:
a+b=10
求ab 最大值
求x(19-x)最大值
求(x-3)(19-x)最大值
求(3x-6)(18-x)最大值
求(3x-6)(18-2x)最大值
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求x(15-6x)最大值
一件衣服成本为100 元，当利润率为4%时，单日销量为100 件，经过统计数据发现，利润
率每提高个百分点，单日销量就会减少5 件，要使单日销售利润达到最大，则该衣服售价应为:
某种商品原价25 元，成本为15 元，每天可销售20 个。现在每降价一元就可以多卖5 件，为
获得最大利润，需要按照多少元来卖？
某种商品的定价为25 元/件，当按照定价销售时，每天可售出20 件，在此基础上每降价1 元
每天将多售出5 件。已知该商品的日销售利润最高为245 元，问当该商品单件利润为8 元时，
每天可售出多少件？
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E、概率【视频名：五、概率第一集（1/2】
一、古典和常规概率
1-1 概率基础
1-2 分类、分步概率
1-3 比赛胜率
二、结合排列组合的概率
三、相邻和不相邻（基友和情敌）
四、最短路径（标数法基础）
五、枚举法技巧（路灯植树等）
六、线性规划（结合坐标系计算）
七、标志重捕法（这不是高中生物吗？）
八、复杂题目如何快速选出正确答案？
九、真题刷题课（包罗万象）
9-1 真题正确率35%-70%随机20 道
9-2 真题正确率0%-35%总计39 道
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一、古典和常规概率（正反求）
1-1 概率基础
小命给小明打电话叫他过来玩大富翁，电话号码是个七位数886886X，最后一位X 忘记了，
请问他拨出正确号码的概率是多少？
1-2 分类、分步概率
加乘原理
小明、小铭、小名和小命四个人玩大富翁丢骰子，请问：
1、小明很自信只丢了一次，丢了数字1 向上的概率是多少？
2、小铭害羞地看了一眼小明，他想丢三次都是1 和小明表态，求三次都是1 的概率？
3、小命也丢了三次，他想给小明按顺序丢出一个“521”，概率大不大？
4、小明接收到了小命的521 后，小明想回个666，但是很可惜他只有第二次点数丢出了6，
请问丢三次恰好只有第二次丢出了6 的概率？
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5、小名看不下去了，他只要丢一个6 就能赢了离开不用看三角恋了，请问小名丢三次，恰好
有一次丢了6 的概率？
6、现在2 对2，小命和小明一组，每人丢一次，请问他们俩丢出来的点数之和为6 的概率？
点数之积为6 的概率？
练习、袋子4 个相同的红球，3 个相同的白球，2 个相同的黑球，求以下概率
1、摸出一个红球
2、一次一个摸两次，每次摸出不放回，摸出两个白球
3、一次一个摸三次，每次摸出不放回，摸出三个红球
4、一次一个摸三次，每次摸出后放回去再摸，恰好有两次是黑球
练习、在一个纸箱中装有若干黄白两色的乒乓球，且知道有5 个黄色乒乓球以及摸到黄球的概
率为0.25，那么，纸箱中白色乒乓球的个数为？
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1-3 比赛胜率
1、小明和小命还在丢骰子看谁能丢到数字6，但是小明作弊了，
小明有90%的概率能丢到6。小命看破不说破，想让小明开心，他也作弊，但是让
自己（小命）只有10%的概率丢到6，请问小明的胜率？小命的胜率？
2、小明和小命换了游戏，三局两胜，只有胜负没有平局和流局，小明每局胜率70%，小命每
局胜率30%，三局下来小明胜率？小命的胜率？
3、小明和小命换了游戏，五局三胜，只有胜负没有平局和流局，小明每局胜率70%，小命每
局胜率30%，假如前两局小明都赢了，请问最后小明的胜率？
练习、天气预报预测未来2 天的天气情况如下：
第一天晴天50%、下雨20%、下雪30%；
第二天晴天80%、下雨10%、下雪10%，
则未来两天天气状况不同的概率？
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练习、A、B、C 三个厂家生产同一种乒乓球，不合格率分别为1%、2%和4%。现将三个厂
家的产品按的比例均匀混合后装入集装箱，从该箱中随机抽出1 只乒乓球进行检测，若检测结
果为不合格，则该只乒乓球是B 厂生产的概率是？
二、结合排列组合的概率
1、袋子4 个相同的红球，3 个相同的白球，2 个相同的黑球，求以下概率
a、一次一个摸两次，每次摸出不放回，摸出两个红球
b、一次模两个，摸出两个红球
c、一次摸两个，摸出一红一白
d、一次摸三个，三个颜色都不同
e、一次模一个，摸三次，每次摸出不放回。摸出来依次是红-白-黑
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2、袋子里有6 个红球和4 个白球，随机取出3 个球，问取出的球中红球不超过一个的概率？
3、天气预报对未来五天的天气情况进行了预测，每天晴天的概率都是0.7，不晴天的概率是
0.3。那么这5 天中恰好3 天晴天的概率是多少？
练习、某知识竞赛共50 道单项选择题，小李和小王从中各自随机选择48 道题作答。问他们
未选的两道题相同的概率？
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三、相邻和不相邻（基友和情敌）
事件A 如果分两步，事件A 前半段和事件A 后半段，
如果事件A 前半段概率为1，或者不管怎么样第一步的选择都对整个事件A 没有影响，那么
可以直接算事件A 后半段概率=整个事件A 概率
某知识竞赛共50 道单项选择题。
每人选两道题不做，请问小李和小王选不做的两道题完全相同的概率？
小李先选2 道题不做之后，小王再选两道题不做，小王选的两道题和小李相同的概率？
1、8 个人4 男4 女去旅游，分成4 组，小命和小明刚好分在一组的概率？
2、8 个人4 男4 女去旅游，分成4 组，旅游过程出现了意外，小明偷吃了苹果，小命有了一
个情敌叫做小铭，小命和小铭一定不分在一组的概率？
3、8 个人4 男4 女去旅游，围成一圈篝火晚会，位置抽签决定。小命和小明想坐在一起搞不
为人知的小动作，请问他们坐一起的概率？
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4、8 个人4 男4 女去旅游，第二天还是围成一圈篝火晚会，位置抽签决定。小命和小明昨天
搞小动作搞崩了，今天不想坐一起了，请问他们不坐一起的概率？
6、（拓展）8 个人4 男4 女去旅游，第二天还是围成一圈篝火晚会，位置抽签决定。小命发
现小明和小铭偷偷坐一起了，小命不开心了。请问小命、小明、小铭三个人互相都不坐一起的
概率？
7、8 个人4 男4 女去旅游，第三天不围成一圈了，他们坐成一排，位置抽签决定。小命和小
明坐一起的概率？
练习、某电影院有5 排共40 个座位，每排座位数相同，小明和小命随机入座，则他们坐在同
一排的概率？
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练习、某电影院有5 排共40 个座位，每排座位数相同，小明和小命随机入座，则他们俩坐一
起的概率？
练习、某电影院有5 排共40 个座位，每排座位数相同，小明和小命随机入座，则小命要贴着
小明，前后左右都可以。请问他们互为前后或者左右座的总概率？
练习、甲、乙、丙三个单位各派2 名志愿者参加公益活动，现将这6 人随机分成3 组，每组2
人，则每组成员均来自不同单位的概率是？
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四、最短路径（标数法基础）
1、小命从家里去找小明，只能向北或者向东直线走路（路径最短），请问多少种不同的路径？
练习、小命从家里去找小明，只能向北或者向东直线走路（路径最短），请问多少种不同的路
径？
3、小命从家里去找小明，只能向北或者向东直线走路（路径最短），小命必须经过小铭家去
宣誓主权后再找小明，请问多少种不同的路径？
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4、小命从家里去找小明，只能向北或者向东直线走路（路径最短），小命上次去了小铭家宣
誓主权失败被打了一顿，不敢去了，请问小命不经过小铭家去找小明有多少种不同的路径？
练习、甲乙两地间的纵横道路网如下图所示，若从甲地到乙地沿道路铺设电缆，要使铺设的电
缆长度最短，则电缆经过丙地的概率为:
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五、枚举法技巧（路灯植树等）
1、某学校要举行一次会议，为了让参会人员正确到达开会地点，需要在途经路上的20 棵树
上放置3 个指示牌，假如树的选择是随机的，那么，3 个指示牌等距排列(即相两个指示牌间
隔的树的数目相同)的概率为:
2、甲到飞机场坐飞机，飞机场的十二个登机口排成一条直线，相邻两个登机口之间相距50
米。甲在登机口等待时被告知登机口更改了，那么甲走到新登机口的距离不超过200 米的概
率是:
3、某款游戏共有7 名英雄供玩家选择，7 名英雄的能力值恰好为1-7 的不同整数。每局游戏
开始前，玩家需要任选3 名英雄进行组队。玩家阿坤在进行了无数次的组队尝试后发现，不能
一味选择能力值高的英雄组队，只有当3 名英雄的能力值平均数大于3 且小于5 时才能获胜。
则阿坤在组队尝试过程中的胜率是()。
A 20%
B 38%
C 50%
D 60%
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六、线性规划（结合坐标系计算）
1、在0 到1 之间取两个数，他们的和大于0.5 的概率？
练习、在0 到4 任取两个数，他们的和小于1 的概率？
2、某公司职员小王要乘坐公司班车上班，班车到站点的时间为上午7 点到8 点之间，班车接
人后立刻开走;小王到站点的时间为上午6 点半至7 点半之间。假设班车和小王到站的概率是
相等(均匀分布)的，那么小王能够坐上班车的概率为？
练习、某公司职员预约某快递员上午9 点30 分到10 点在公司大楼前取件，假设两人均在这
段时间内到达，且在这段时间到达的概率相等。约定先到者等后到者10 分钟，过时交易取消
快递员取件成功的概率？
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七、标志重捕法
1、一袋黑豆，先舀出50 粒出来，把他们涂成白色，放回袋子里。把袋子里的豆彻底摇匀，
重新抽出100 粒出来，发现有10 粒是白色的，请问原来袋子里多少粒黑豆？
练习、求一个树林的蝴蝶数量。先抓出来50 个蝴蝶，把这50 个蝴蝶都做上标记，然后把他
们放回树林里，一段时间后重新抓40 个蝴蝶出来，发现有2 个蝴蝶有标记，请问树林的蝴蝶
多少个？
八、复杂题目如何快速选出正确答案？
1、某地举行募捐抽奖活动。每位捐赠者均有一次抽奖机会。活动设一二三等奖，获奖规则如
下：抽奖时捐赠人在0 到9 这10 个数字中一次随机抽取4 个不同的数字，若与主办方开奖时
随机抽取的4 个不同数字完全相同，则获一等奖；若恰有3 个相同，则获二等奖；若恰有2
个相同则获三等奖。则捐赠者获奖的概率是：：
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2、甲乙两地间的纵横道路网如下图所示，若从甲地到乙地沿道路铺设电缆，要使铺设的电缆
长度最短，则电缆经过丙地的概率为:
3、甲到飞机场坐飞机，飞机场的十二个登机口排成一条直线，相邻两个登机口之间相距50
米。甲在登机口等待时被告知登机口更改了，那么甲走到新登机口的距离不超过200 米的概
率是:
A 1/2
B 4/11
C 8/11
D 19/33
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4、从两双完全相同的鞋中，随机抽取一双鞋的概率是
A 2/3
B 1/2
C 1/3
D 1
5、某款游戏共有7 名英雄供玩家选择，7 名英雄的能力值恰好为1-7 的不同整数。每局游戏
开始前，玩家需要任选3 名英雄进行组队。玩家阿坤在进行了无数次的组队尝试后发现，不能
一味选择能力值高的英雄组队，只有当3 名英雄的能力值平均数大于3 且小于5 时才能获胜。
则阿坤在组队尝试过程中的胜率是()。
A 20%
B 38%
C 50%
D 60%
6、某工厂的产品有7 家代理商，如果以满意度最高为7 分，满意度最低为1 分，7 家代理商
对工厂的满意度正好是1 分到7 分的不同整数值。如从中任意选择3 家代理商进行调查，其
对工厂满意度的平均值与所有代理商满意度平均值相差小于1 的概率为
7、A 30%
B 40%
C 48%
D 60%
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F、递推【视频名：六、递推斐波那契数列（半个）】
小明爬楼梯，一次一级或两级，请问走到第10 级有多少种可能
小明爬楼梯，一次一级或两级或三级，请问走到第10 级有多少种可能
小明爬楼梯，一次一级或三级（不能走两级），请问走到第10 级有多少种可能
小明爬楼梯，一次一级或两级，但是第5 级楼梯坏了不能经过，请问走到第10 级有多少种可
能
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小明爬楼梯，一次一级或两级，但是第5 级楼梯上有黄金，必须经过，请问走到第10 级有多
少种可能
24 浙江:某自助餐厅提供羊肉串，小王怕浪费每次最多只拿3 串。已知他正好吃了10 串，那
么他共有多少种不同的拿法?
23 浙江-12 个人排成1 列纵队，从前到后编为1~12 号。现要将他们排成另一个与原来不同
的纵队并从前到后重新编号，要求每个人的新号码与原始号码相差不超过1。有多少种重新编
队方法
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G、工程【视频名：七、工程问题第一集和第二集】
一、工程基础
1-1 工程和行程的异同
二、分干合干
2-1 分干
2-2 合干
2-3 偷懒休息干活
2-4 一丁点进阶
三、多人开干
3-1 多元方程
3-2 劳动工资分配
四、来回帮忙干
五、交替工作
5-1 简单交替工作
5-2 第一类交替进阶（同时正向）
5-3 第二类交替进阶（排水，先进后
排）
六、交替工作大进阶（蜗牛爬树型）
6-1 蜗牛爬树
6-2 第三类交替进阶（排水，先排后
进，易错点）
七、杂题
八、真题刷题课（包罗万象）
8-1 真题正确率40%-80%随机30 道
8-2 真题正确率0%-40%总共仅18
道
一、工程基础
1-1 工程和行程的异同
小明从A 地跑步去去B 地，全程12m，一共6 秒跑完，速度多少？
小明扫射般的写练习册，一共12 页，6 秒就写完了，速度多少？
小明累了写不动了，练习册一共1 页，6 秒才写完，速度是多少？
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小明累了写不动了，练习册不知道多少页，他6 秒写完了一本，
小明每秒写了这本练习册的几分之几？
一项工程，甲需要10 天做完，甲每天完成这项工程的几分之几？
一项工程，甲每天可以完成这项工程的1/6，甲要多少天才能完成全部工程？
一项工程，甲每天可以完成这项工程的1/6，甲两天能完成全部工程的几分之几？
二、分干合干
2-1 分干
一项工程，甲单独干需要20 天完成，乙单独干需要30 天完成
若甲先干8 天，乙再接着干多少天才能完成这项工程?
若乙先干6 天，甲再接着干多少天才能完成这项工程？
2-2 合干
一项工程，甲需要10 天做完，乙需要12 天做完，甲乙一共干，需要多少天？
一项工程，甲需要30 天做完；甲乙一起干需要10 天。乙单独干需要多少天？
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一项工程，甲单独完成需要10 天，乙单独完成需要15 天，甲、乙先合作3 天，甲再接着干
多少天才能完成这项工程
一项工程，甲单独完成要40 天；甲、乙合作20 天后，乙再单独做10 天也能完成。求乙单独
完成这项工程要多少天?
2-3 偷懒休息干活
一项工程，甲单独工作12 天可以完成，乙单独工作10 天可以完成。现在甲、乙两人合作8
天完成这项工程，期间甲休息了2 天，那么乙休息多少天？
一项工程，甲单独做20 天完成，乙单独做30 天完成，中途甲请假2 天，乙请假若干天，从
开工到完成任务共用了16 天。那么乙请假多少天？
2-4 一丁点进阶
甲、乙两个工程队分别负责两项工程。晴天，甲完成工程需10 天，乙完成工程需16 天；雨
天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的30%和80%。实际情况是两队同时开工、同时完工。
那么，在施工期间，下雨的天数是多少天？
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甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高10%，乙的工作效率比
单独做时提高20%。甲、乙两人合作6 小时，完成全部工作的40%，第二天乙又单独做了6
小时，还留下这件工作的13/30 未完成。如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小
时?
一个水池有一根进水管、一根出水管，单开进水管4 小时可以把水池注满，同时开进水管和出
水管需要6 小时才能把水池注满，如果单开出水管，几个小时就能把整个水池的水排空？
某水池的容积是100 立方米,它有甲乙两个进水管和一个排水管。甲乙两管单独灌满水池分别
需要10 小时和15 小时。水池中原有一些水，如果甲乙管同时进水而排水管放水，需要6 小
时将水池中的水放完；如果甲管进水而排水管放水，需要2 小时将水池中的水放完。同:水池
中原有水多少立方米?
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三、多人开干
3-1 多元方程
一项工程，如果甲、乙、丙三队合作，需20 天完成；如果乙、丙、丁三队合作，需21 天完
成；如果甲、丙、丁三队合作，需28 天完成；如果甲、乙、丁三队合作，需要30 天可以完
成。那么如果甲、乙、两、丁四个队合作，多少天可以完成?
一项工程，如果甲、丙、丁三队合作，需90/17 天完成；如果甲、丁两队合作，需7.5 天完
成；如果甲、乙、丁三队合作，需5 天完成；如果甲、乙、两、丁四个队合作，多少天可以完
成?
一项工程，如果甲、乙、丙三队合作，需60/19 天完成；如果甲、丙、戊三队合作，需30/7
天完成；如果甲、丙、丁三队合作，需4 天完成；如果乙、丁、戊三队合作，需要20/3 天可
以完成。那么如果甲、乙、丙、丁、戊五个队合作，多少天可以完成?
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3-2 劳动工资分配
一项工程，甲单独干4 天完成，乙单独干6 天完成。甲乙一起干，一共拿了600 块钱，按劳
分配，甲乙分别拿多少钱?
甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们的工资共1800 元，三人完成这项工程的具体情况是:
甲、乙两人合做6 天完成了工程的三分之一；因甲中途有事，由乙、丙合做2 天，完成了余
下工程的25%；之后三人合做5 天完成了这项工程。如果按完成工作量的多少来付酬，每人
应得多少元?
一项工程，甲、乙两队合干需2.4 天，需支付工程款2208 元；乙、丙两队合干需3.75 天,
需支付工程款2400 元；甲、丙两队合干需2 又6/7 天，需支付工程款2400 元。如果要
求总工程款尽量少，应选择哪个工程队单独完成?
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90
某单位需要搬家，可以使用甲、乙、丙三个搬家公司。单独完成该搬家任务，甲需要3 天，乙
需要4 天，丙需要12 天；搬家费用分别为甲1000 元/天，乙850 元/天，丙350 元/天。要
求在2 天内搬完，最少需要花费多少元？（搬家不足一天按一天计算）
四、来回帮忙干
4-1 基础
搬运一个仓库的货物，甲需6 小时，乙需8 小时，丙需12 小时有同样的仓库A 和B，甲在A
仓库，乙在B 仓库分别开始搬运货物，同时，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后
同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲和乙分别几个小时？
甲、乙、丙三队要完成A,B 两项工程，B 工程的工作量是A 工程工作量再增加25%,如果让
甲、乙、丙三队单独做，完成A 工程所需要的时间分别是20 天,24 天,30 天。现在让甲队
做A 工程,乙队做B 工程,为了同时完成这两项工程,丙队先与乙队合做B 程若干天，然后再
与甲队合做A 工程若干天。问丙队与乙队合做了多少天?
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
91
五、交替工作基础
5-1 简单交替工作
甲单独做一项工作要60 天完成，乙单独做要36 天完成。现在甲干一天，乙干一天，交替工
作，一共需要多少天完成？
甲单独做一项工作要60 天完成，乙单独做要36 天完成。现在乙干一天，甲干一天，交替工
作，一共需要多少天完成？
5-2 第一类交替进阶（同时正向）
一项工程，乙单独做要17 天。完成如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰
好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多
用半天完工。问:甲单独做需要天
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
92
甲、乙、丙三人做一件工作,原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做,恰好整数天做完,若
按乙、丙、甲的顺序轮流去做,则比计划多用半天;若按丙、甲、乙的顺序轮流去做则也比原计
划多用半天。已知甲单独做完这件工作要10 天,且三个人的工作效率各不相同,那么这项工作
由甲乙、丙三人一起做,要用多少天才能完成?
5-3 第二类交替进阶（排水，先进后排）
一个水池有一根进水管、一根出水管，单开进水管8 小时可以把水池注满，单开排水管5 小
时可以排光。现在水池有一半的水，先开进水管一小时，再开排水管一小时，交替进行，多少
小时排光水？
六、交替工作大进阶（蜗牛爬树型）
6-1 蜗牛爬树
一只蜗牛要爬到6 米高的树上去，它白天向上爬2 米，晚上向下滑1 米，它第几天能爬到树
顶上?（二年级奥数题）
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
93
一只蜗牛要爬到10 米高的树上去，它第一天向上爬3 米，第二天向下滑1 米，它多少天能爬
到树顶上?
6-2 第三类交替进阶（排水，先排后进，易错点）
一个水池有一根进水管、一根出水管，单开进水管8 小时可以把水池注满，单开排水管5 小
时可以排光。现在水池有一半的水，先开排水管一小时，再开进水管一小时，交替进行，多少
小时排光水？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
94
H、几何【视频名：八、几何第1-3 集】
一、勾股定理
1-1 常见勾股数
1-2 弦图
1-3 圆方圆方圆吧啦吧啦……
1-4 折叠
二、三角函数
三、一半模型
四、等高模型
五、鸟头模型（较难，不一定考）
六、风筝模型
七、蝴蝶模型
八、相似三角形
九、燕尾模型（较难，不一定考）
十、柱体、椎体、圆台
十一、水中浸物（近年新题型）
十二、不规则图形常用方法+容斥
十三、解析几何
十四、线性规划（详我的概率专题）
十五、最短路线规划（将军饮马）
十六、一笔画
十七、旋转与轨迹
十八、草地铺路
十九、和一定，差小积大
二十、立方体染色
二十一、弓形、弯角
二十二、多边形内外角和、假人目视法
二十三、真题刷题课（包罗万象）
23-1 真题第一部分随机25 道
23-2 真题正确率0%-30%总计40
道
叽叽喳喳的公考
考
考
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95
一、勾股定理
1-1 常见勾股数
3
4
5
5
12
13
7
24
25
8
15
17
6
8
10
30
40
50
1-2 弦图
边长10 的正方形靠在墙边，点A 距离墙边为8，求C 点高度
正方形ABCD，KB=12，三角形AKB 面积为90，三角形CKB 面积为48，求正方形面积
叽叽喳喳的公考
考
考
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96
正方形，已知AB 为5，BC 为3，AB 垂直BC，求三角形ABD 面积
1-3 圆方圆方圆吧啦吧啦……
一个圆柱体零件的高为1，其圆形底面上的内接正方形边长正好也为1。现将圆柱体零件切割4
次，得到棱长为1 的正方体，则切去部分的总表面积为：
边长为20，正方形，内切半圆，求阴影面积
叽叽喳喳的公考
考
考
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97
长方形沿虚线折叠一角，求图中？长度
长方形沿虚线折叠两个角，求图中？处三角形面积
二、三角函数
2-1 基本记忆
三、一半模型（略鸡肋，但是能提速，分秒必争）
3-1 常见的一半面积
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
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98
四、等高模型（用的很多）
4-1 基础
底共边，共顶点，高相等，面积比等于底边之比
如图所示，在三角形ABC 中，BE:CE =1:2，AD:CD=3:4。若图中阴影部分的面积为6，求三
角形ABC 的面积
如图所示，将三角形ABC 分为5 块面积完全相同的小三角形若BC=15，求DB 和FB
如图，三角形ABC 的面积为36 平方厘米，并且AC=4AD，BC=3EC，BD=3BF，DE=3DG，
H 是EF 的中点，求阴影部分三角形FGH 的面积
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考
考
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叽叽喳喳的公考
叽
叽
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99
五、鸟头模型（没有特殊考察，但是可以快解）
5-1 基础（可以用其他模型或者正弦定理替代，但是能提速，了解即可）
六、风筝模型
6-1 基础（结合等高，很好用）
求剩下的三角形的面积
四边形面积是52，求？处面积
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
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100
六、风筝模型
6-1 基础
在三角形ABC 中，BD:DC=3:2，AE:EB =1:2，则AO:OD=?，EO: OC=?
一个三角形公园ABC 内的道路如下图中实线所示。已知AE=EF=FB，AD=DC，且黑色部分为
人工湖。问公园总面积是人工湖面积的多少倍？
七、蝴蝶模型
6-1 基础
在三角形ABC 中，BD:DC=3:2，AE:EB =1:2，则AO:OD=?
EO: OC=?
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
101
求梯形面积
AD:BC=2:5，求梯形面积
AO:OC=1:2，求三角形ABO 占梯形的几分之几？
正方形面积为42，B 是中点，求？面积
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
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叽叽喳喳的公考
102
梯形，数字为面积，求三角形ABC 面积
一个三角形公园ABC 内的道路如下图中实线所示。已知AE=EF=FB，AD=DC，且黑色部分为
人工湖。问公园总面积是人工湖面积的多少倍？
八、相似三角形
8-1 基础
平行线
叽叽喳喳的公考
考
考
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叽叽喳喳的公考
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叽叽喳喳的公考
103
两个正方形，求？面积
数字为线段长度，求？线段长度
九、燕尾模型
9-1 基础
BD:DC=3:4，AE:EC=1:2，求AF:BF
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
104
BD:DC=3:4，BO:BE=1:1，求ABO 面积占三角形ABC 的几分之几
十、柱体、椎体、圆台
10-1 基础
体积比，圆柱圆锥的底面半径和高都是a:b，求圆柱圆锥体积比
体积比，圆柱圆锥的底面半径是2:3，高是3:4，求圆柱圆锥体积比
体积比，圆锥正放横切一刀，小圆锥和原来的圆锥高度为a：b，求小圆锥和原来的圆锥的体积
比
体积比，圆锥正放横切一刀，小圆锥和原来的圆锥高度为a：b，求剩下的圆台和原来的圆锥的
体积比
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
105
将一个高度为x 的实心圆锥体零件尖部朝下放入密度为1 的液体A 中，浮出液面的高度为0.1x。
如将其尖部朝上放入密度为1.5 的液体B 中，浮出液面的高度为多少x？（23 年国考副省级75
题）
十一、水中浸物
11-1 完全浸没
玻璃鱼缸，长、宽分别是12 和10，石块沉入前玻璃缸中水的高度是5，石块完全沉入水中，
水面升高2，则这个石块的体积
11-2 部分浸没
一类方法：一个装有水的长方体玻璃缸，底面积是80 平方厘米，缸高是15 厘米，水深10 厘
米，现将个底面积是16 平方厘米，高为20 厘米的长方体铁块直放在水中，现在水面高度是多
少
二类方法：一个装有水的长方体玻璃缸，底面积是80 平方厘米，缸高是15 厘米，水深10 厘
米，现将个底面积是16 平方厘米，高为20 厘米的长方体铁块直放在水中，现在水面高度是多
少
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
106
二类方法进阶：在底面边长为40 厘来的正方形的长方体的容器里，笔直地插入一根底面边长
是10 厘来的正方形棱柱棒，这时容器里装着深80 厘米的水，现在把这根棒轻轻向方提起底面
提起2 厘米时，露出水面的棒浸湿部分长多少？
11-3 溢出
长方体的玻璃缸，长8dm、宽6dm、高4dm，水深2.8dm 如果投入一块长为4dm 的正方体
铁块，缸里的水溢出多少？
11-4 假设状态
一个长30 分米，宽10 分米，高12 分米的长方体玻璃缸，存有四分之三的水，另有三个大小
相同的长方体铁块。
将一个高11 分米，体积330 立方分米的长方体铁块竖直放入玻璃缸，水面的高度为多少分米?
再竖直放一个呢？又竖直再放多一个呢？
叽叽喳喳的公考
考
考
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叽叽喳喳的公考
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107
11-5 浮力
将一个高度为x 的实心圆锥体零件尖部朝下放入密度为1 的液体A 中，浮出液面的高度为0.1x。
如将其尖部朝上放入密度为1.5 的液体B 中，浮出液面的高度为多少x？（23 年国考副省级75
题）
十二、不规则图形常用方法
12-1 整体减空白
如图，直角三角形ABC 中，斜边AC 长为5 厘米，BC 长为3 厘米，将它绕C 点顺时针旋转90
度，AB 边扫过的面积为？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
108
12-2 割补
图中有半圆和梯形，求阴影面积
如图，直角三角形ABC 中，斜边AC 长为5 厘米，BC 长为3 厘米，将它绕C 点顺时针旋转90
度，AB 边扫过的面积为？
12-3 容斥
正方形，求阴影
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
109
三角形ABC 是直角三角形，AC 长4 厘米，BC 长2 厘米。分别以AC、BC 为直径画半圆，两
个半圆的交点在AB 边上，求图中阴影部分的面积
十三、解析几何
十四、线性规划（详合集概率专题约1 小时54 分开始）
十五、最短路线规划（将军饮马）
15-1 将军饮马
同侧。A 出发去河边打水再去B，求最短路径。（作图）
叽叽喳喳的公考
考
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叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
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叽叽喳喳的公考
110
异侧。A 出发去河边打水再去B，求最短路径时，桥的位置？（桥必须垂直河）。
十五、最短路线规划
15-2 排列组合（详合集概率专题约1 小时23 分左右开始）
十六、一笔画
16-1 基础
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
111
十七、旋转与轨迹
17-1 基础
一个3X4 的长方形放在地面，每次都绕着当前状态时右下角的顶点旋转90 度，旋转4 次后，
点A 的走过路径的长度
羊圈20X10 长方形，一只羊被30 长的绳子绑着，绳子另一端绑在长方形一个顶点上，羊在外
面不能进羊圈内。求羊最大活动范围面积
长方形ABCD，AD=3.
AB=4，长方形绕点C 旋转90 度，求AD 边扫过的面积
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
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叽叽喳喳的公考
112
十八、草地铺路
18-1 基础
草地50X40，路宽2，求路面积
草地50X40，路宽2，求路面积
如下图所示，某地计划修建一个长50 米，宽40 米的长方形观光园。现在需要在观光园中修建
几条鹅卵石小道供游客行走，其中一条是长为50 米，宽为2 米的水平直线型小路，另外两条
修成斜线型，并且要求这两条斜线型小路任何地方的水平方向宽度都是1 米，问修完小路后观
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
113
光园剩下部分的面积是多少平方米？
十九、和一定，差小积大
19-1 基础
a+b=10
求axb 最大值
一根绳子长10 米，围成长方形面积最大是多少？可以曲线的话什么图形面积最大？
一根绳子长10 米，围成的长方形面积最小是多少？（边长必须为整数）
一块方形草地面积100，周长最小是多少？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
114
一块草地面积100，周长最小是多少？
一块铁皮120 平米（可焊接），做成有盖封闭长方体，最大容积？
一块铁皮120 平米（可焊接），想咋搞就咋搞，最大容积？
求(x-3)(3-x)最大值
求(2x-6)(3-x)最大值
求x(3-x)最大值
求x(3-2x)最大值
二十、立方体染色
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
115
20-1 基础
给一个6X4X5 的长方体染色，打散成120 个小立方体后，请问三个面、两个面、一个面染色
的小立方体各有多少个
有120 个棱长为1 的小正方体，其中60 个为六面黑色，60 个为六面白色。现在将它们拼成个
6x5x4 的大长方体，那么在大长方体的表面上，黑色部分的面积最小和最大分别为
把一个长、宽高均大于等于2 的大长方体木块表面均涂上红色后，恰能分割成若干个棱长为1
的小正方体，若其中恰有两面涂上红色的小正方体有48 个，求大长方体体积的最大值
叽叽喳喳的公考
考
考
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叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
116
二十一、弓形弯角等
20-1 基础
如图所示，在一个边长为4 米的正方形花坛中种植不同颜色的花卉，分别以顶点A、B、C、D
为圆心，以正方形的边长为半径构造4 条圆弧。现计划在中间斜线区域种植红花，在白色区域
种植白花，那么种植红花的面积比种植白花的面积多了多少平方米？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
117
二十二、多边形内角和、假人目视法
22-1 凸多边形内角和
22-2 假人目视法（不考，纯拓展娱乐）
求角A、B、C、D、E 的和
求角A、B、C、D、E、F、G、H、J、K、L 的和
叽叽喳喳的公考
考
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叽叽喳喳的公考
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叽叽喳喳的公考
118
I、和差倍比【视频名：九、和差倍比第一集(1/7)（算术比例法超快解）】
一、和差倍比
二、比例法快解-不变量
三、给来给去和不变
四、同增同减差不变
五、还原问题
六、方程法解经典和差倍比应用题
七、盈亏问题
八、鸡兔同笼
九、年龄问题
十、周期日期问题
十一、真题刷题课（包罗万象）
11-1 真题-第一部分-随机40 道
11-2 真题-第二部分-随机20 道
一、和差倍比
1-1 和差
小新和小明有一共有100 块钱，小新比小明多40 块钱，俩人各有多少钱？
1-2 倍比
小新和小明有一共有100 块钱，小新是小明的4 倍，俩人各有多少钱？
小新比小明多了60 块钱，小新是小明的4 倍，俩人各有多少钱？
小新是小明的3 倍，小明是小强的2/5，三人一共有260 块钱，三人各有多少钱？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
119
甲、乙、丙三个数的平均数是45，甲、乙、丙三个数的比是1:3:5，三个数为
希望小学同学去参加植树活动，把任务按照2:3:5 分配给四、五、六三个年级，已知六年级比
四年级多植树72 棵，四、五、六三个年级共植树多少棵?
小南、小北、小西三个小朋友体重总和是190 千克，已知小南和小北的体重之比是5:6，小北
和小西的体重之比是3:4.最重的同学与最轻的同学相差多少？
1-3 和差倍比
果园里共有桃树、梨树、苹果树360 棵，梨树是桃树的3 倍少10 棵，苹果树是梨树的3 倍多
10 棵，则三种果树各有多少棵
书架上有小说、漫画和练习册共239 本，漫画的本数比练习册的3 倍多2 本，小说的本数比
练习册的4 倍少3 本，那么三种书各多少本
二、比例法快解-不变量
2-1
原本红球和白球是3:4，放入3 个红球后变成了6:7，求原本红白多少个？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
120
原本红球和白球是7:4，放入24 个白球后，变成了5:4，求原本红白多少个？
原本红球和白球是3:4，放入若干个红球后，变成了7:8，再放入若干个白球后，变成了2:3，
已知第一次放入的红球比第二次放入的白球少了18 个，求原本红白多少个？
三、给来给去和不变
3-1
小命和小绿在一起玩耍，互相给钱，本来俩人钱是8:13，小绿给了小命12 块钱，现在俩人钱
是4:3，求原本俩人各多少钱
小命和小绿继续给钱，本来俩人钱是2:3，小绿给了小命39 块钱，现在俩人钱是5:1，求原本
俩人各多少钱
有甲乙两桶油，称得它们的质量比是4:5(含桶重)，将乙桶中的油倒入甲桶8 千克后，再称发
现质量比变为8:7(含桶重)，已知桶的质量都是10 千克，求原来两桶里面油(不含桶)的质量比
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
121
四、同增同减差不变
小命和小绿在一起玩耍，互相给钱，本来俩人钱是12:5，小命捡到了60 元，小绿捡到了600
角，现在俩人钱是9:4，求原本俩人各多少钱
甲种酒精溶液纯酒精含量为13%，乙种酒精溶液纯酒精含量为25%，混合后纯酒精含量为22%；
如果每种酒精溶液比原来都多取16 克，混合后纯酒精含量为21%。第一次混合时甲、乙两种
酒精溶液各多少克？
图中有个很丑的半圆和直角三角形，求A 和B 的面积差
图中有两个长得还可以的1/4 圆弧和一个长方形，求A 和B 的面积差
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
122
五、还原问题
5-1 给来给去
有甲、乙、丙三堆苹果共108 个，第一次从丙堆中取出22 个放入乙堆;第二次再从乙堆中取
出20 个放入甲堆，第三次从乙堆中取出6 个放入丙堆中，这时三堆的苹果数量相等，求原来
各多少个
有甲、乙、丙三堆苹果共96 个，第一次从甲堆中取出与乙堆一样多的苹果放入乙堆;第二次再
从乙堆中取出与丙堆一样多的苹果放入丙堆，第三次从丙堆中取出与甲堆剩下的苹果数相同的
苹果放入甲堆中，这时三堆的苹果数量相等，求原来三堆各多少个？
5-2 取了几分之几再多几个少几个
库房有一批货物，第一天运走五分之一，第二天比第一天多运8 吨，还剩这批货物总重量的
14/25，这批货物有多少吨
书店新进一批故事书，第一周卖出5/9，第二周卖出剩下的3/8，这时还剩下这批故事书的几
分之几没有卖出？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
123
一袋大米，第一周吃掉1/5，第二周吃掉余下的3/8，第三周吃了剩下的7/10，还剩60 干克。
这袋大米原重多少千克?
一堆桃子，小明第一天吃掉了总个数的1/3 又2 个，还剩8 个，求原来共有多少个
一堆桃子，小明第一天吃掉了总个数的1/3 少2 个，还剩8 个，求原来共有多少个
一堆桃子，小明第一天吃掉了总个数的1/4 又3 个，第二天吃了余下的1/3 少6 个，第三天
吃了剩下的5/7 多4 个，第四天吃了剩下的3/4 少1 个，还剩3 个，这堆桃子共有多少个
5-3 某个人是其他人的几分之几
一批桃子分给6 个人，其中甲的是其他人的1/5，甲的桃子占所有桃子的几分之几？
一批桃子分给6 个人，其中甲的是其他人的1/8，甲的桃子占所有桃子的几分之几？
叽叽喳喳的公考
考
考
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一批桃子分给6 个人，其中甲的是其他人的5/12，甲的桃子占所有桃子的几分之几？
一批桃子分给4 个人，其中甲的是其他人的1/5，乙是其他人的2/13，丙是其他人的3/7，
丁有48 个，求原来共有多少个桃子
六、方程法解经典和差倍比应用题
五年级全体学生进行体育测试，达标人数比不达标人数的3 倍多4 人，后来又有5 人达标，
这样达标人数是不达标人数的5 倍，五年级共有多少人
甲、乙两牧童，乙对甲说:“把你的羊给我1 只，我的羊就是你的2 倍”甲回答说:“最好还
是把你的羊给我1 只，这样我们的羊的只数就一样了”问这两个牧童各有几只羊
差倍竞技场的男孩和女孩一样多，后来女孩总数减少了10 人，而男孩总数增加了30 人，此
时男孩的数量恰好是女孩的3 倍，那么男孩和女孩原来有多少人?
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拍卖行卖出了两件艺术品第一件的拍卖价格比第二件的3 倍多3 万元，而第二件的价钱比第
一件的3 倍少73 万元请问:这两件艺术品一共卖了多少万元?
箱子里有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3 倍多2 个每次从箱子里取出7 个白球和15
个红球，经过若干次以后，箱子里剩下3 个白球和53 个红球那么箱子里原有红和白各多少个
七、盈亏问题
7-1 盈盈
分糖果，如果每人分4 个，则剩17 个；如果每人分6 个，则剩3 个，共几人？糖果多少个？
7-2 亏亏
分糖果，如果每人分4 个，则差4 个；如果每人分6 个，则差26 个，共几人？糖果多少个？
7-3 盈亏
分糖果，如果每人分8 个，则差4 个；如果每人分5 个，则剩17 个，共几人？糖果多少个？
7-4 进阶人不同
一筐苹果，如果全部分给大班的小朋友，每人5 个，则余下10 个；如果全部分给小班的小朋
友，每人8 个，则缺少2 个。已知大班比小班多3 个小朋友，则这筐苹果共有多少个?大班、
小班分别有多少个小朋友
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八、鸡兔同笼
鸡兔共30 只，脚共100 只，求各多少只
铅笔10 元一支，毛笔30 元一支，一共买了50 支笔，共花了940 元，各多少支
车场里有轿车和六轮卡车共25 辆，一共有116 个轮子，轿车和六轮卡车各有多少辆
有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物各若干只·蜘蛛有8 条腿但没有翅膀，靖蜓有6 条腿和2 对翅膀，
蝉有6 条腿和1 对翅膀，蜘蛛比蜻蜓多5 只，三种动物一共有182 条腿、22 对翅膀。则各有
多少只？
九、年龄问题
一家三口，妈妈比儿子大26 岁，爸爸比儿子大33 岁。1995 年，一家三口的年龄之和为62。
那么，2018 年儿子、妈妈和爸爸的年龄分别是
古希腊数学家丢番图（Diophantus）的墓志铭：过路人，这儿埋葬着丢番图，他生命的六分
之一是童年；再过了一生的十二分之一后，他开始长胡须，又过了一生的七分之一后他结了婚；
婚后五年他有了儿子，但可惜儿子的寿命只有父亲的一半，儿子死后，老人再活了四年就结束
了余生。根据这个墓志铭，丢番图的寿命为
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某业务处长和科员两人属相相同，科员在第一个本命年时处长是第三个本命年。科员今年20
岁，当处长年龄是科员年龄的2 倍时，需要经过的时间是
9-2 线段图法
甲对乙说:“当我的岁数是你现在的岁数时，你才5 岁”乙对甲说:“当我的岁数是你现
在的岁数时，你将50 岁”那么俩人现在多少岁
甲现在的年龄是乙过去某一时刻年龄的2 倍，那时甲正好是乙现在这样大，当乙到了甲现在年
龄时，甲与乙年龄之和为63，那么现在甲、乙年龄分别为
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J、周期问题【视频名：九、周期问题第六集(6/7)（和差倍比第六集）】
十、周期日期问题
10-1 周期
一串数，1,2,3,1,2,3,1,2,3……
求这串数第107 个是多少
一串数，1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,9,1,2,3……
求这串数第108 个是多少？209 个是多少？第123485649872 个是多少？
10-2 日期
一年每个月有多少天？
闰年怎么算？
1800、1900、2000 年都是闰年吗？
普通闰年：公历年份是4 的倍数，且不是100 的倍数的，为闰年（如2004 年、2020 年等就
是闰年）。
世纪闰年：公历年份是整百数的，必须是400 的倍数才是闰年（如1900 年不是闰年，2000
年是闰年）
2024 年11 月1 日星期五，从这天算起，第2 天星期几？
2024 年11 月1 日星期五，过两天后，星期几？
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2024 年11 月1 日星期五，今天小命去约会，她每2 天去一次，下一次去是星期几？
2024 年11 月1 日星期五，今天小命去约会，她每隔2 天去一次，下一次去是星期几？
2024 年11 月1 日星期五，从这天算起，第100 天星期几？
2024 年11 月1 日星期五，过100 天后，星期几？
2024 年11 月1 日星期五，今天小命去约会，她每100 天去一次，下一次去是星期几？
2024 年11 月1 日星期五，今天小命去约会，她每隔100 天去一次，下一次去是星期几？
2024 年10 月29 日星期二，2024 年11 月3 日星期几？
2024 年10 月29 日星期二，2024 年12 月20 日星期几？
2012 年12 月12 日星期三，2022 年12 月22 日星期几？
某年的3 月有5 个星期一和4 个星期二，则该年的国庆节是
甲、乙、丙三人定期到某棋馆学围棋，甲每隔3 天去一次，乙每4 天去一次，丙每隔5 天去
一次。若2016 年2 月10 日三人在棋馆相遇，则下次三人在棋馆相遇的日期是
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2024 年11 月1 日星期五，从这天算起，第2 天几月几日？
2024 年11 月1 日星期五，过两天后，几月几日？
2024 年11 月1 日星期五，今天小命去约会，她每2 天去一次，下一次去是几月几日？
2024 年11 月1 日星期五，今天小命去约会，她每隔2 天去一次，下一次去是几月几日？
2024 年11 月1 日星期五，从这天算起，第100 天几月几日？
2024 年11 月1 日星期五，过100 天后，几月几日？
2024 年11 月1 日星期五，今天小命去约会，她每100 天去一次，下一次去是几月几日？
2024 年11 月1 日星期五，今天小命去约会，她每隔100 天去一次，下一次去是几月几日？
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131
K、容斥问题【视频名：十、容斥第一集(1/2)
中间提供考场快解方法】
一、两容斥
1-1 单集合
全班同学有100 人，男的60 人，画图表示
1-2 两集合
全班同学有100 人，男的60 人，女的30 人，还有10 人在某国做了手术成为了新物种，画
图表示
全班150 人，语文满分70 人，数学满分60 人，两科都满分的有10 人，求：
语文满分，数学不满分的几人？
数学满分，语文不满分的几人？
语文数学都没有满分的有几人？
全班同学100 人，语文满分70 人，数学满分60 人，全班每个人在语文和数学两科至少有一
科是满分，求语文数学都满分的有几人
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全班同学100 人，语文满分70 人，数学满分60 人，全班有20 个人语文数学都没有满分求
语文数学都满分的有几人?
仅数学满分的有几人？
全班同学100 人，语文满分70 人，数学满分60 人，最多有几个人语文数学都满分？最少有
几个人语文数学都满分？
1-3 两集合小进阶
全班同学120 人，仅语文满分人数是语文数学都满分的人数的5 倍，数学满分的人数是语文
数学都满分的人数的4 倍，语文数学都没有满分的人数是语文满分人数的1/6，请问仅数学满
分的有多少人？
语文满分人数70 人，数学满分人数60 人，语文数学都满分的人数和语文数学都没有满分的
人数相同，求全班人数？
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二、三容斥
2-1 三集合
仅语文满分30 人，仅数学满分20 人，仅英语满分40 人，仅语文数学都满分的有45 人，仅
语文英语满分有25 人，仅数学英语满分35 人，语数英都满分有10 人，没有任何一科满分的
有25 人，全班多少人？请画图标数
语文满分70 人，数学满分100 人，英语满分120 人，语文数学都满分的有45 人，语文英语
满分有25 人，数学英语满分35 人，语数英都满分有10 人，没有任何一科满分的有25 人，
画图标出各个位置的数并求全班人数
语文满分90 人，数学满分90 人，英语满分100 人，语文数学都满分的有35 人，语文英语
满分有45 人，数学英语满分30 人，语数英都满分有15 人，没有任何一科满分的有10 人，
求全班人数
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联欢会上，有24 人吃冰激凌、30 人吃蛋糕、38 人吃水果，其中既吃冰激凌又吃蛋糕的有12
人，既吃冰激凌又吃水果的有16 人，既吃蛋糕又吃水果的有18 人，三样都吃的则有6 人。
假设所有人都吃了东西，那么只吃一样东西的人数是多少？
【关系很多很乱】联欢会上，70 人吃蛋糕、80 人吃水果，其中仅吃冰激凌的人数和仅吃蛋糕
的人数是2 比3，仅吃冰激凌的人数是仅吃水果人数的一半，既吃蛋糕又吃水果的人数是仅吃
蛋糕人数的1/3 还多10 个人，既吃冰激凌又吃蛋糕的人数和既吃冰激凌又吃水果的人数相等，
三样都吃的则有10 人。假设所有人都吃了东西，那么只吃一样东西的人数是多少？
【关系很少很缺】某社团调查了70 多名大学生使用QQ、微信、微博三种社交软件的情况，
发现每人至少使用一种，其中使用QQ 的人占60%，使用微信的有63 人，使用微博的有55
人，有26 人同时使用这三种软件。则被调查的大学生中仅使用一种软件的有多少人?
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单位组织职工前往甲、乙、丙三个爱国主义教育基地学习，要求每名职工至少去1 个基地。已
知有48 人去了甲基地，有42 人未去乙基地，去丙基地的人中，去1 个、2 个、3 个基地的人
数比为3：2：1。如仅去2 个基地和去3 个基地的职工分别有x 人和y 人，则x 和y 的关系
为：
三、开关灯型
30 盏灯，编号为1~30，原本都是亮着的，将3 的倍数的编号灯拉一下，再将4 的倍数的编
号灯拉一下，现在亮着的有几盏灯？
300 盏灯，编号为1~300，原本都是亮着的，将3 的倍数的编号灯拉一下，再将4 的倍数的
编号灯拉一下，再将5 的倍数的编号灯拉一下，现在亮着的有几盏灯？
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80 个人排成一行面向国旗，从左到右报数后，报数是6 的倍数的转180 度，然后4 的倍数的
再转180 度，现在有几个人是面向国旗的？
四、画刻度型
一段绳子，每1/6 位置画条刻度，现在把所有标记位置全部切开，绳子有几段？
一段绳子，每1/2 位置画条刻度，每1/3 位置画条刻度，现在把所有标记位置全部切开，绳
子有几段？
一段绳子，每1/2 位置画条刻度，每1/4 位置画条刻度，现在把所有标记位置全部切开，绳
子有几段？
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一段绳子，每1/6 位置画条刻度，每1/5 位置也画一道，每1/12 也画一道，现在把所有标记
位置全部切开，绳子有几段？
一段绳子，每1/20 位置画条刻度，每1/15 位置也画一道，每1/12 也画一道，现在把所有标
记位置全部切开，绳子有几段？
一段绳子，每1/10 位置画条刻度，每1/15 位置也画一道，每1/12 也画一道，现在把所有标
记位置全部切开，绳子有几段？
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L、抽屉原理（最不利构造）【视频名：十一、抽屉原理到底是什么玩意？
最多的最少，一定保证至少噼里啪啦巴拉巴拉小魔仙】
一、最不利原则
二、最多的最少
三、求总苹果至少
四、求总抽屉最多
五、排列组合中的抽屉原理
六、数论中的抽屉原理
一、最不利原则
1-1 抽奖
小命去买彩票，准备抽一个亿去给小明当嫁妆，一共2 张彩票只有一张是大奖，小命至少要买
多少张才能保证一定中大奖？
小命去买彩票，一共10000 张彩票只有一张是大奖，小命至少要买多少张才能保证一定中大
奖？
小命去买彩票，一共100 张彩票，有30 张是大奖，还有70 张不中奖，小命至少要买多少张
才能保证一定中大奖？
小命发现买彩票太贵了，不如去某大福抽金镯子，
10 个抽奖号码，
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1~3 号是金镯子，4~7 号是银镯子，8~9 号是铜镯子，10 是不锈钢镯子。
因为小明对银和铜甚至对不锈钢都过敏，小命想保证抽到金镯子，至少要抽几个号码？
口袋中有三种颜色的筷子各16 根，且颜色相同的两根筷子是一双，问
（1）至少取多少根，才能保证三种颜色都取到
（2）至少取多少根，才能保证有2 双相同颜色的筷子
二、最多的最少
2-1
7 个苹果放进2 个抽屉里，苹果数最多的抽屉里，至少有几个苹果？
16 个苹果放进3 个抽屉里，苹果数最多的抽屉里，至少有几个苹果?
16 个苹果放进3 个抽屉里，一定有一个抽屉里，至少能放进几个苹果?
16 个苹果放进3 个抽屉里，至少有一个抽屉里能放进几个苹果?
16 个苹果放进3 个抽屉里，一定能保证有那么一个抽屉里至少能放进几个苹果?
17 个苹果放进3 个抽屉里，一定有一个抽屉里，至少能放进几个苹果？
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20 个苹果放进4 个抽屉里，一定有一个抽屉里，至少能放进几个苹果？
80 个学生，至少有几个学生在同一个月生日？
1000 个学生出生年份都相同，至少有几个学生在同一天生日？
有次考试分数全部是整数，满分100 分，有12345 个人参加考试，至少有几个人分数相同？
三、求总苹果最少
往5 个抽屉里面放苹果
(1)至少有几个苹果，才能保证至少有一个抽屉中有2 个苹果
(2)至少有几个苹果，才能保证至少有一个抽屉中有4 个苹果
往6 个抽屉里面放苹果
至少有几个苹果，才能保证至少有一个抽屉中有24 个苹果
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今年公考一共30 个岗位，至少要有几个人报名，才能保证不管怎么样，总有一个岗位有15
及以上个人报名。
四、求总抽屉最多
10 个苹果放进不知道多少个抽屉，必须保证分到最多苹果的抽屉里面的苹果不少于2 个，抽
屉可以有几个？最多有几个？
10 个苹果放进不知道多少个抽屉，必须保证分到最多苹果的抽屉里面的苹果不少于4 个，抽
屉最多有几个？
56 个苹果放进不知道多少个抽屉，必须保证分到最多苹果的抽屉里面的苹果不少于6 个，抽
屉可以有几个？最多有几个？
59 个苹果放进不知道多少个抽屉，必须保证分到最多苹果的抽屉里面的苹果不少于6 个，抽
屉可以有几个？最多有几个？
105 个苹果放进不知道多少个抽屉，必须保证分到最多苹果的抽屉里面的苹果不少于7 个，抽
屉最多有几个？
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今年公考一共1000 个人报名，为保证总有一个岗位有20 及以上个人报名，最多可以设多少
个岗位？
五、排列组合中的抽屉原理
11 人摸球，有红黄蓝共三种颜色的小球各一个，除颜色外都一模一样，每人一次性摸2 个球，
摸完放回后下个人再摸，至少有几个人摸出来的球的组合是完全一模一样的?
500 人摸球，有红橙黄绿青蓝紫共七种颜色的小球无数个，除颜色外都一模一样，每人一次性
摸3 个球，至少有几个人摸出来的球的组合是完全一模一样的?
1234 人，图书馆只有ABCDE 五类书，规定每人最多可以借3 本书。如果1234 人都借了书，
至少有几人所借书的类型组合完全一样?
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六、数论中的抽屉原理
1~6 这6 个自然数，至少取几个数（不重复），才能保证有2 个数的和是7
1~6 这6 个自然数，至少取几个数（不重复），才能保证有2 个数的和是6
1~20 这20 个自然数，至少取几个数（不重复），才能保证有2 个数的和是16
1~20 这20 个自然数，至少取几个数（不重复），才能保证有2 个数的差是3
1~20 这20 个自然数，至少取几个数（不重复），才能保证存在两个数为2 倍的关系。
1~100 这100 个自然数，至少取几个数（不重复），才能保证有两个数的和是3 的倍数
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M、不定方程【视频名：十二、不定方程第一集(1/2) 【余数分析法】暴
击你们！】
一、加减对方的最简比系数（开局暴击）
二、整除分析法
三、余数分析法（再次暴击）
四、求所有解的总数量
五、减法不定方程
六、最小和（背公式即可。证明纯拓展，要用到高中竞赛）
一、加减对方的最简比系数（开局暴击）
红笔5 元一支，蓝笔7 元一支，一共花了1234 块钱，请问红笔和蓝笔数量有多少种不同的组
合？
自然数x 和y 满足：x+2y=15，求x 和y 的所有解
自然数x 和y 满足：5x+7y=63，求x 和y 的所有解
自然数x 和y 满足：12x+7y=700，求x 和y 的所有解
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自然数x 和y 满足：10x+20y=100，求x 和y 的所有解
运输公司准备将475 箱相同的救灾物资运往灾区。现在有足够多的大、小两种货车可供选择，
大货车每辆最多可装载48 箱物资，小货车每辆最多可装载32 箱物资。每辆大货车配两名驾
驶员，每辆小货车配一名驾驶员，目前公司有17 名驾驶员可供派遣。若装载物资时，应先装
满大货车，再依次装满小货车，且最后一辆小货车的装载率至少要达到三分之二，则可选择的
派车方案有多少种?（24 年湖北省考）
二、整除分析法
2-1 整除
自然数x 和y 满足：3x+8y=96，求x 和y 的所有解
2-2 半整除
自然数x 和y 满足：7x+8y=180，求x 和y 的所有解
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三、余数分析法（再次暴击）
自然数x 和y 满足：3x+7y=76，求x 和y 的所有解
自然数x 和y 满足：7x+5y=92，求x 和y 的所有解
自然数x 和y 满足：14x+43y=789，求x 和y 的所有解
自然数x 和y 满足：14x+27y=596，求x 和y 的所有解
四、求所有解的总数量
自然数x 和y 满足：7x+15y=636，求x 和y 的所有解共有多少组？
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自然数x 和y 满足：6x+7y=666，求x 和y 的所有解共有多少组？
五、减法不定方程
自然数x 和y 满足：3x-5y=23，求x 和y 的最小3 组解
自然数x 和y 满足：7x-3y=11，求x 和y 的最小3 组解
六、最小和（背公式即可。6-2 证明纯拓展，
现有某种钱币面值为3 和7，任意组合后的面值，从多少钱开始（含）以后所有的整数面值一
定能够组成？
现有某种钱币面值为7 和11，任意组合后的面值，从多少钱开始（含）以后所有的整数面值
一定能够组成？
证明：现有某种钱币面值为m 和n，其中m，n 互质整数，任意组合后的面值，都能写成
mn-m-n+g 的形式，其中g 为任意正整数。
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N、时钟问题【视频名：十三、时钟问题第一集(1/2)-浙江省考和数量大
省看过来！】
一、时钟基础-时间路程速度
二、知时间求度数-通解
三、重合
四、共线
五、垂直
六、任意度数
七、对称（难点）
八、度数到度数之间如何快求时间？（重点）
九、奇葩钟
十、真题刷题课（包罗万象）
10-1 时钟问题题库全部真题（全包）
一、时钟基础-时间路程速度
环形跑道360 米，小时速度每分钟0.5 米，小分每分钟6 米，他们在相距90 米两点出发顺时
针跑，小时在前面。请问要多少分钟小分才能第一次追上小时？
环形跑道360 米，小时速度每分钟0.5 米，小分每分钟6 米，他们在相距90 米两点出发顺时
针跑，小时在前面。请问10 分钟后小分距离小时多少米？
环形跑道360 米，小时速度每分钟0.5 米，小分每分钟6 米，他们在相距90 米两点出发顺时
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针跑，小时在前面。请问30 分钟后小分距离小时多少米？
环形跑道360 米（一圈360 度），小时（时针）速度每分钟0.5 米（0.5 度/min），小分（分
针）每分钟6 米（6 度/min），他们在相距90 米（90 度，也就是3 点整）两点出发顺时针
跑，小时在前面。请问30 分钟（3 点半）后小分距离小时多少米（分针时针夹角多少度）？
等同于问：请问在3:30 时，分针和时针夹角多少度？
时针0.5 度/min
或
1/12 小格/min
分针6 度/min
或
1 小格/min
每一个大格30 度
或
5 小格
一圈360 度
12 个大格
60 个小格
二、知时间求度数-通解
求5:20 时，时针分针夹角
求3:30 时，时针分针夹角
求1:45 时，时针分针夹角
三、重合
3 点几分时针分针重合？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
150
3 点XX 分时针分针重合后，下一次重合要多少分钟？
一天24 小时一共可以重合几次？
4 点多少分的时候，分针和时针共线？
7 点多少分的时候，分针和时针共线？
五、垂直
4 点几分的时候时针分针垂直？
四点-五点之间两次垂直时间相差多少分钟？
六、任意度数
四点-五点之间时针分针夹角为105 度是四点几分？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
151
八点-九点之间时针分针夹角为30 度是八点几分？
七、对称（难点）
小命在1 点多时开始做数量，当他做完100 道数量时，发现还没到2:30，但此时的时针和分
针与开始做题时正好交换了位置，小命做100 道数量题共用了多少分钟？
小明不甘示弱，也做100 道数量，8 点整开始做题，不到一小时就做完了，此时时针和分针刚
好关于数字8 和时钟圆心连线对称，小明做100 道数量题共用了多少分钟？
小明不甘示弱，7 点整开始做题，也做100 道数量，也用了不到一小时就做完了
，此时时针和分针刚好关于数字8 和时钟圆心连线对称，小明做100 道数量题共用了多少分
钟？
八、度数到度数之间如何快求时间（重点）
第二天小铭也做数量，晚上八点刚过一会儿，开始计时，此时时针和分针刚好是一条直线。做
完300 道数量后发现，还没到9 点简直无敌，此时分针时针刚好重合，求小铭做300 道数量
一共用了多久？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
152
第三天小渣觉得他们太菜了，也做数量，一大早六点多开始计时，此时时针和分针夹角目测为
110 度。做完500 道数量后发现，还没到7 点更加变态，此时分针时针夹角目测居然还是110
度，求小渣做500 道数量一共用了多久？
九、奇葩钟
第四天小渣决定继续做数量，晚上12 点对准了闹钟准备凌晨5 点起床卷死对手，但是他不知
道的是，他的闹钟比标准时间每小时慢了5 分钟，请问当他在闹钟响起的时候，标准时间是几
点几分？要求精确解
有两只坏表，标准时间显示过了一天时，第一只坏表显示只过了23 小时；第一只坏表显示过
了一天时，第二只坏表显示过了25 小时。那么:
(1)第一只坏表显示过了一天时，标准时间显示过了多久?
(2)标准时间显示过了一天时，第二只坏表显示过了多久？第二只坏表是快了还是慢了？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
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叽
叽叽喳喳的公考
153
O、最值问题【视频名：十四、最值问题第一集(1/2)含多集合反向构造（本
期最简单一种题），其他类型本期较难，有时间可以摸索一下】
一、容斥最值-含多集合反向构造
1-1 两集合最值
1-2 三集合，求啥都会的最大
1-3 三集合，求啥都会的最小（反向）
1-4 三集合，求啥也不会的最大
1-5 三集合，求啥也不会的最小
1-6 三集合，求仅会两个的最大
1-7 三集合，求仅会两个的最小
1-8 三集合，求仅会一个的最大
1-9 三集合，求仅会一个的最小
1-10 多集合，求啥都会的最小（反
向）
二、数列最值
三、经济利润的最值问题
四、抽屉原理的最不利构造
五、真题刷题课（包罗万象）
5-1 多集合反向构造-全部11 题
5-2 数列最值-20 题
5-3 抽屉原理最不利构造-20 题
5-4 一般最值-10 题
一、容斥最值-含多集合反向构造
1-1 两集合
语文及格65 人，数学及格80 人，全班100 人，求语文数学都及格最多几个人？
语文及格65 人，数学及格80 人，全班100 人，求语文数学都及格最少几个人？
语文及格65 人，数学及格80 人，全班100 人，求语文数学都不及格最多几个人？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
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叽叽喳喳的公考
154
语文及格65 人，数学及格80 人，全班100 人，求语文数学都不及格最少几个人？
语文及格65 人，数学及格80 人，全班100 人，求仅一科及格最多几个人？
语文及格65 人，数学及格80 人，全班100 人，求仅一科及格最少几个人？
1-2 三集合-求啥都会的最大（ABC 最大）
语文(A)及格90 人，数学(B)及格80 人，英语(C)及格60 人，全班100 人，
求三科都及格(ABC)人数最大是多少？
1-3 三集合-求啥都会的最小（ABC 最小）
语文(A)及格90 人，数学(B)及格80 人，英语(C)及格60 人，全班100 人，
求三科都及格(ABC)人数最少是多少？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
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155
1-4 三集合-求啥都不会的最大
语文(A)及格90 人，数学(B)及格80 人，英语(C)及格60 人，全班100 人，
求三科都不及格人数最大是多少？
1-5 三集合-求啥都不会的最小
语文(A)及格90 人，数学(B)及格80 人，英语(C)及格60 人，全班100 人，
求三科都不及格人数最少是多少？
1-6 三集合-求仅会两个的最大
语文(A)及格90 人，数学(B)及格80 人，英语(C)及格60 人，全班100 人，
求仅两科及格人数最大是多少？
1-7 三集合-求仅会两个的最小
语文(A)及格90 人，数学(B)及格80 人，英语(C)及格60 人，全班100 人，
求仅两科及格人数最小是多少？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
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叽叽喳喳的公考
156
1-8 三集合-求仅会一个的最大
语文(A)及格90 人，数学(B)及格80 人，英语(C)及格60 人，全班100 人，
求仅一科及格人数最大是多少？
1-9 三集合-求仅会一个的最小
语文(A)及格90 人，数学(B)及格80 人，英语(C)及格60 人，全班100 人，
求仅一科及格人数最小是多少？
1-10 多集合-求啥都会的最小
某年级共6 个科目，A 及格90 人，B 及格89 人，C 及格88 人，D 及格97 人，E 及格92 人，
F 及格99 人，六科都及格至少几个人？
二、数列最值
8 名学生总得分是150 分，百分制，最高23 分，每个人得分是互不相同的整数，那么排名第
八的同学最少得多少分
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
157
8 名学生总得分是698 分，百分制，已知第四名比第五名高5 分，每个人得分是互不相同的
整数，那么排名第五的同学最少得多少分
满分20 分制的两次考试, 第一次考试8 名学生总得分是100 分，各不相同，且为整数等差数
列；第二次八人考试排名和第一次一模一样，并且八人两次考试总分仍然为等差数列，
1、最后一名两次总分最低可以是多少？
2、第一名和最后一名两次考试总分分差最大是多少？
三、经济利润的最值问题【详经济利润第二集】
四、抽屉原理的最不利构造【详抽屉原理】
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
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叽叽喳喳的公考
158
P、牛吃草问题【视频名：十五、牛吃草问题【有变态题目】】
一、基本牛吃草
二、检票口吃人
三、一边进水一边排水
四、草衰减型
五、进阶-不同动物
六、进阶-不同草地
七、进阶-不同动物不同草地
八、进阶复杂变态型
不同动物不同草地晴雨天生长还不
一样
九、真题刷题课（搬空题库）
一、基本型
一片草地可供12 头牛吃20 天，15 头牛吃
10 天
如果一头牛一天吃一棵草，那么：
12 头牛20 天吃了__________________棵草；
15 头牛10 天吃了__________________棵草；
两种情况相差了___________________棵草；
两种情况相差了___________________天；
草生长速度为______________________
草地原来的草量为_________________棵草；
如果可持续发展，最多养活几头牛？
多少头牛5 天能吃完？
20 头牛能吃几天？
叽叽喳喳的公考
考
考
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叽叽喳喳的公考
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叽叽喳喳的公考
159
一片草地可供10 头牛吃8 天，12 头牛吃6 天
如果一头牛一天吃一棵草，那么：
10 头牛8 天吃了__________________棵草；
12 头牛6 天吃了__________________棵草；
两种情况相差了___________________棵草；
两种情况相差了___________________天；
草生长速度为______________________
草地原来的草量为_________________棵草；
如果可持续发展，最多养活几头牛？
多少头牛12 天能吃完？
20 头牛能吃几天？
叽叽喳喳的公考
考
考
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叽叽喳喳的公考
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叽叽喳喳的公考
160
一片草地可供5 头牛吃8 天，10 头牛吃3 天。
那么3 头牛可以吃几天？
二、检票口吃人
某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多.从开始检票到等候检票的
队伍消失，若同时开5 个检票口则需30 分钟，若同时开6 个检票口则需20 分钟.如果要使队
伍10 分钟消失，那么需同时开几个检票口?
三、一边进水一边排水
一水库原本存有一定量的水，河水每天均匀入库.如果用5 台相同型号的抽水机连续工作20 天
可以把水库抽干;6 台同样的抽水机连续工作15 天可以把水库抽干，若现在要求6 天抽干此水
库，需要多少台同型号的抽水机?
四、草衰减型
由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少，已知某块草地上的
草可供20 头牛吃5 天，或可供15 头牛吃6 天.照此计算，可供多少头牛吃10 天
叽叽喳喳的公考
考
考
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叽叽喳喳的公考
161
五、进阶-不同动物
牧场有一片青草，每天生长速度相同.已知这片青草可供36 只羊吃20 天，或可供200 只兔子
吃12 天.如果一只羊的吃草量等于4 只兔子的吃草量，那么20 只羊和140 只兔子一块吃这片
青草，可以吃几天
六、进阶-不同草地
有三块草地，面积分别为4，8，10 公顷，假设草地上的草一样长，而且长得一样快，第一块
草地可供24 头牛吃12 周，第二块草地可供36 头牛吃24 周，那么第三块草地可供头牛吃18
周
七、进阶-不同动物不同草地
八、进阶复杂变态型
不同动物不同草地晴雨天生长还不一样
有三块草地，面积分别为4，8，10 公顷，假设草地上的草一样长，而且长得一样快，而且一
头马一天吃的草和3 头牛一样多。
第一块草地可供24 头牛吃12 周，这12 周晴天暴晒草长得很慢；
第二块草地可供12 头马吃24 周，这24 周一直在下雨，草长得贼猛。
已知雨天草生长速度比晴天快一倍。
那么第三块草地可供多少头牛吃10 周，且这10 周内晴雨天轮次？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
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叽叽喳喳的公考
162
Q、染色问题【视频名：十六、染色问题-传球法】
一、条形基础染色
二、一般区域染色
三、环形区域染色（要背）
四、字母单词染色
五、传球法（多重复杂型）公考应该考不到这么难
一、条形染色
用3 个颜色给下面几个格子染色，要求相邻格子颜色不同，有多少种染色方法？
用3 个颜色给下面几个格子染色，要求相邻格子颜色不同，有多少种染色方法？
用5 个颜色给下面几个格子染色，要求相邻格子颜色不同，有多少种染色方法？
二、一般区域染色
用5 个颜色给下面几个格子染色，要求相邻格子颜色不同，有多少种染色方法？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
163
用3 个颜色给下面几个格子染色，要求相邻格子颜色不同，有多少种染色方法？
用5 个颜色给下面几个格子染色，要求相邻格子颜色不同，有多少种染色方法？
用5 个颜色给下面几个格子染色，要求相邻格子颜色不同，有多少种染色方法？
三、环形区域染色（要背
用3 个颜色给下面几个格子染色，要求相邻格子颜色不同，有多少种染色方法？
答案背下来
用4 个颜色给下面几个格子染色，要求相邻格子颜色不同，有多少种染色方法？
答案背下来
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
164
用4 个颜色给下面几个格子染色，要求相邻格子颜色不同，有多少种染色方法？
用4 个颜色给下面几个圈染色，要求有线相连的圈颜色不同，有多少种染色方法？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
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叽叽喳喳的公考
165
四、字母单词染色（应该还没考过）
用6 种颜色给great 这个单词染色，要求相邻字母颜色不同，多少种？
用6 种颜色给jijizhazha 这个拼音染色，要求相邻字母颜色不同，多少种？
用4 种颜色给喳喳zuishuai 这个拼音染色，要求相邻字母颜色不同，多少种？
用4 种颜色给STATISTICAL 这个拼音染色，要求相邻字母颜色不同，多少种？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
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叽叽喳喳的公考
166
五、传球法（多重复杂型）公考应该考不到
传球法能解多重复杂染色问题，以及其他需要大量枚举的应用题。
ABC 三个人进行排球传球练习，要求必须传给其他人，由A 开始发球，3 次传球后结束。请
问一共有多少种不同的传法？
用4 个颜色给下面几个格子染色，要求相邻格子颜色不同，有多少种染色方法？
用传球法解
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
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叽叽喳喳的公考
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用3 个颜色给下面几个格子染色，要求相邻格子颜色不同，有多少种染色方法？
真题太少，没有刷题课，传球法可以用在很多需要枚举的题目，详更新拔高视频
最短路径的标数法也能用在很多需要枚举的题目快速解题，详更新拔高视频
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
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168
R、植树问题【视频名：十七、植树问题(1/2)系统课】
一、直线型
4 米长的线段，每1 米切一刀，一共要切几刀？
4 米长的线段，每1 米画一个点，起始的头尾都要画，一共要画几个点？
4 米长的线段，每1 米画一个点，头要画，尾不画，一共要画几个点？
第一天小喳在走道一侧每隔5 米丢一枚硬币，头尾都要丢，学校走道长2 千米，那么小喳要
准备多少枚硬币？
第二天小明在走道一侧每隔5 米捡到了一枚硬币，两端都捡到了，一共捡到了100 枚，那么
学校走道长度为？
第三天小铭实在受不了他们，也来了，他选择丢纸条，纸条上面写了"我们分手吧"，
他在学校走道的一侧丢，每隔5 米丢一次，一端丢，一端不丢，一共丢了10 个纸条，这条走
道一共长_____米.
叽叽喳喳的公考
考
考
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叽叽喳喳的公考
169
第四天小铭发现他们俩还没分手，非常生气，于是乎
在走道的两侧都丢纸条，每隔5 米丢一团，但是两端都不丢，一共丢了50 团，这条小路一共
长_____米.
小命终于发现了，而且他发现走道两旁每隔5 米就有一个纸团，而且两端都有！一共有28 个
纸团，那么走道长度为？
有一条长120 米的小道，计划在小道一侧栽树.每隔10 米种一棵，两端都种，一共需要种_____
棵树.(树的宽度忽略不计)
在马路的一边种树，两端都种共种了10 棵，每两棵之间相距10 米，算一算这段马路长_____
米.
在一条长56 米的公路两侧种树，两端都种，共种了18 棵树，相邻两棵树之间的距离都相等，
每隔______米种一棵树.
二、环形
小命决定换个场地，去操场跑圈发泄一下
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
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叽叽喳喳的公考
170
小命很生气，以至于跑步的时候每4 米就会掉一滴眼泪，她数了一下她每跑完一圈就都会刚好
掉了100 滴眼泪，请问操场一圈多少米？
小明不知发生了什么，决定去
边长为10 米的正方形花圃外围去种向日葵，每隔2 米种一棵，一共种了向日葵多少棵？
小明然后去插上“请原谅”的绿色旗子，
在长方形教学楼的四周每隔一定距离插一面，长60 宽40 米，一共要插50 面旗子，请问每隔
几米插一个？
小命看到了旗子，但是发现是绿色的更生气了，他
在一个长方形拔旗子，长宽长度比为5 比3，每隔2 米拔一支，一共拔了80 个，求长和宽多
少米？
小命拔完了旗子，反插红色旗子，他
在一个长方形每隔2 米插一支，一共插了48 个，长和宽的旗子数的比为8:5，长和宽多少米？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
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171
三、折线型
刚好3 米一个，头尾角都要插，能插几个？
不大于4 米一个，头尾转角都要插，最少能插几个？
四、植树相关问题
家住在四楼，每层楼有18 级台阶，从一楼到家要走多少级台阶.
时钟四点敲4 下用12 秒，那么12 点敲12 下用多少秒.
一根木头锯成4 段，用了12 分钟.如果要把另一根木头锯成8 段，需要多少分钟
一根绳子对折3 次后，在正中间剪开，能分成多少段？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
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叽叽喳喳的公考
172
一根绳子对折5 次后，在正中间剪开，能分成多少段？
有一个四边形的广场，它的四条边长分别是60 米、96 米、72 米、84 米，现在要在四边种
上树，而且转角必须种数，同时四边上每两棵树间的距离相等，则至少要种棵树
4-3 画刻度型（结合容斥原理）详容斥系统课1:11:45
4-4 重复种树型A-已知间距
小A 拿一根线，想平均分成2 段，在要剪开的位置画上了红记号。
小B 想平均分成4 段，在要剪开的位置画上了黑记号。
红黑记号重复的地方有几处？
小A 拿一根线，想平均分成4 段，在要剪开的位置画上了红记号。
小B 想平均分成6 段，在要剪开的位置画上了黑记号。
红黑记号重复的地方有几处？
6 米长的走道，头尾都种，原定每2 米种一棵，已经种好了，领导反复无常，改成每3 米种一
棵，请问有几棵树不用移动？
叽叽喳喳的公考
考
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173
12 米长的走道，头尾都种，原定每6 米种一棵，已经种好了，领导反复无常，改成每3 米种
一棵，请问有几棵树不用移动？
24 米长的走道，头尾都种，原定每4 米种一棵，已经种好了，领导反复无常，改成每6 米种
一棵，请问有几棵树不用移动？
36 米长的走道，头尾都种，原定每2 米种一棵，已经种好了，领导反复无常，改成每3 米种
一棵，请问有几棵树不用移动？
240 米长的走道，头尾都种，原定每6 米种一棵，已经种好了，领导反复无常，改成每8 米
种一棵，请问有几棵树不用移动？
4-4 重复种树型B-已知点数
360 米长的走道，等间距头尾都种，原定种9 棵，已经种好了，领导反复无常，要多种16 棵，
请问有几棵树不用移动？
叽叽喳喳的公考
考
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叽叽喳喳的公考
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174
4-5 环形植树逻辑推理型
水池周围种了一些树，小命和小喳沿顺时针方向绕水池散步，边走边数树的棵数，由于两人的
出发地点不同，因此小命数的第20 棵在小喳那儿是第7 棵，小命数的第7 棵在小喳那儿是第
94 棵，请问：水池四周一共种了多少棵树？
【此题不在系统课内，B 站主页搜“一道有趣的植树问题5min”】
叽叽喳喳的公考
考
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175
S、方阵问题【视频名：十八、方阵问题-常见于广东省考+江浙省考+国考
+个别联考-系统课】
一、实心方阵
1-1 基础
1-2 加减行列
1-3 合并方阵
1-4 交替阵列
1-5 盈亏
二、空心方阵
2-1 基础
2-2 加减行列（三种方法）
三、等边三角阵
四、真题刷题课（搬空题库）
一、实心方阵
1-1 基础：环形植树简单回顾
40 个学生绕着正方形花圃等间距站好，四个角都站人，请问一条边几个人？
画出一层实心方阵、两层实心方阵、三层实心方阵，并写出总人数
画出最内层为4 人的五层实心方阵，并写出每层单边人数、每层总人数
画出最内层为1 人的五层实心方阵，并写出每层单边人数、每层总人数
叽叽喳喳的公考
考
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176
实心方阵最外层32 人，每边几人？共几人？
实心方阵最外层52 人，每边几人？共几人？
实心方阵8X8，最外层几人？共几层？从里向外算起第三层几个人？
实心方阵15X15，最外层几人？共几层？从里向外算起第六层几个人？
1-2 加减行列
四行四列实心方阵，如果去掉最外层，要少几人？
九行九列实心方阵，如果去掉最外三层，要少几人？
实心方阵，如果去掉一行一列，则少17 人，原本方阵几行几列？
叽叽喳喳的公考
考
考
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177
实心方阵，如果去掉两行两列，则少16 人，原本方阵几行几列？
实心方阵，如果去掉n 行n 列，则少m 人，原本方阵几行几列？
四行四列实心方阵，如果要组成更大的实心方阵，至少增加几个人？
九行九列实心方阵，如果要组成小一点的实心方阵，至少减少几个人？
1-3 合并方阵
6X6 实心方阵，又来了个实心方阵，两个方阵合成了一个大方阵，求来了的方阵是几行几列？
12X12 实心方阵，又来了个实心方阵，两个方阵合成了一个大方阵，求来了的方阵最小是几
行几列？最大是几行几列？
1-4 交替阵列
实心方阵10X10，写出各层人数、奇数层和偶数层的人数，并找特点
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
178
实心方阵11X11，写出各层人数、奇数层和偶数层的人数，并找特点
实心方阵，从外到内，第一层男，第二层女，第三层男，第四层女……共225 个人，没有基佬
和拉拉。请问多少个女的？
实心方阵，从外到内，第一层男，第二层女，第三层男，第四层女……共72 个男，多少个女？
1-5 盈亏
王老师把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了6 棵树苗；后来又运来了34
棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵，那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？
二、空心方阵
2-1 基础
三层空心方阵，最外层每边10 个人，最内层每边几个人？共几人
五层空心方阵，最外层每边21 个人，最内层每边几个人？共几人
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
179
三层空心方阵，共360 人，最外层每边几个人？
五层空心方阵，共360 人，最外层每边几个人？
空心方阵，最外层52 人，最内层28 人，共几人？
空心方阵，最外层64 人，最内层32 人，共几人？
用一些棋子摆成了一个两层的空心方阵，后来他又多摆上去28 个棋子，使得图形变成一个三
层的空心方阵，开始时可能摆了多少个棋子？
2-2 加减阵列（三种加减法）
三层空心方阵，最外层每边13 个人，现在加入一些人后，变成了四层空心方阵（原本三层的
人不能动），共有几种加法？分别是加了几个人？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
180
三、等边三角阵
3-1
已知，正三角形实心阵最外面一层每边有12 枚棋子，则一共有多个棋子？
已知，正三角形实心阵最外面一层每边有21 枚棋子，则一共有多个棋子？
如果有一个五层的空心三角阵，最外层每边有20 枚棋子，那么一共有多个棋子？
如果有一个七层的空心三角阵，最外层每边有25 枚棋子，那么一共有多个棋子？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
181
T、数列【视频名：十九、数列+数列最值-系统课-刷题课已出在最值内】
一、等差数列公式
二、数列最值
三、等比数列公式
四、平方和公式
五、立方和公式
六、数表问题
七、斐波那契数列（详系统课第六章递推）
八、刷题课（已出，合并版的最值内）
一、等差数列公式
1-1 等差基础首项、末项、项数、公差。
已知一串数2
5
8
11
14
17
20
23
26 ……
1、求第15 项为：
2、求83 为第几项：
3、求前50 项的和
4、已知另一串数，首项5，末项101，共25 项，求公差。
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
182
练习。一串数，已知首项53，第30 项为285
1、求公差：
2、求573 为第几项：
3、求前20 项的和
1-2 等差中项定理
一串数，1
3
5
7
9
11
13
求和
一串数，5
8
11
14
17
求和
一串数，2
4
6
8
10
12
求和
11 个连续自然数的和为231，求首项
10 个连续自然数的和为225，求首项
11 个连续自然数的和为231，求首项+末项的和
10 个连续自然数的和为225，求首项+末项的和
一串数，1 3 5 7 9…… 写出通项
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
183
二、数列最值
2-0 最大的最小，最小的最大
两个自然数和为7，要使最大的最小，最小的最大，最大和最小的数分别是多少？
三个自然数和为13，要使最大的最小，最小的最大，最大和最小的数分别是多少？
5 个可以相同的自然数和为53，要使最大的最小，最小的最大，最大和最小的数分别是多少？
5 个互不相同的自然数和为53，要使最大的最小，最小的最大，最大和最小的数分别是多少？
7 个互相不同的自然数和为100，要使最大的最小，最小的最大，最大和最小的数分别是多少？
8 名学生总得分是150 分，百分制，最高23 分，每个人得分是互不相同的整数，那么排名第
八的同学最少得多少分
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
184
8 名学生总得分是150 分，百分制，最高23 分，每个人得分是互不相同的整数，那么排名第
八的同学最高得多少分
8 名学生总得分是698 分，百分制，已知第四名比第五名高5 分，每个人得分是互不相同的
整数，那么排名第五的同学最少得多少分
满分20 分制的两次考试, 第一次考试8 名学生总得分是100 分，各不相同，且为整数等差数
列；第二次八人考试排名和第一次一模一样，并且八人两次考试总分仍然为等差数列，
1、最后一名两次总分最低可以是多少？
2、第一名和最后一名两次考试总分分差最大是多少？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
185
三、等比数列公式
3-1 等比基础
首项
末项
项数
公比
1
2
4
8
16
32 ……
1、写通项：
2、求1024 为第几项：
3、求前20 项的和
练习、1
1/3
1/9
1/27
……
1、写通项：
2、求1/(3^12)为第几项：
3、求前15 项的和
3-2 等比他解
求1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+……+1/1024
四、平方和公式【几乎不考】
4-1 基础
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
186
4-2 不连续【不考，纯拓展】
五、立方和公式【不考】
六、数表问题
6-1 基础
七、斐波那契数列（详系统课第六章递推）
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
187
U、统筹规划【视频名：二十、统筹规划第一集(1/3) 工程效率-等待时间-
运输价格-穿越沙漠-公考行测数量】
一、工程效率类
二、等待时间类
三、运输价格类
四、穿越沙漠类
五、天平称物类
六、货车装箱类
七、平底锅煎饼
八、空瓶换水类
九、真题刷题类
统筹学是一门数学学科,但它在许多的领域都在使用,在生活中有很多事情要去做时，
科学的安排好先后顺序,能够提高我们的工作效率。统筹学是利用数学来研究人力、物力的
运用和划,使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常广泛,例如物资调运、场地设置、
工作分配,排队、对策、实验最优等等,每类问题都有特定的解法。统筹学作为一门科学,要运用
各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法,如高效率优
先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等,都是我们小学生能够掌握的。这些来源于生
活实际的问题,正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。
一、工程类
1-1 优先安排各自高效率的工作
甲乙一起做一种产品，每个产品包含AB 两个零件，
甲一天能干10 个A 零件，或者40 个B 零件；
乙一天能干40 个A 零件，或者10 个B 零件；
30 天最多能做多少个这种产品？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
188
甲乙一起做一种产品，每个产品包含AB 两个零件，
甲一天能干10 个A 零件，或者50 个B 零件；
乙一天能干40 个A 零件，或者10 个B 零件；
30 天最多能做多少个这种产品？
甲乙一起做一种产品，每个产品包含AB 两个零件，
甲一天能干10 个A 零件，或者50 个B 零件；
乙一天能干30 个A 零件，或者60 个B 零件；
40 天最多能做多少个这种产品？
甲乙两个服装厂生产同一种服装，甲厂每月生产成衣900 套，生产上衣和裤子所用的时间比
是2 比1，乙厂每月生产成衣1200 套，生产上衣和裤子所用的时间比是3 比2，若两厂分工
合作，按最佳生产方案计，两厂每月共可生产成衣多少套：
（四川省考）
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
189
二、时间类
2-1 优先时间短、快的人
小命、小明两个人去打水，简称A 和B，由于他们肚子不一样大，所以水杯也不一样大，他们
打水打满分别需要10 和1 分钟，如何安排能使他们各自等待的时间总和最短？
小命、小明、小铭、小鸣、小冥五个人去打水，简称ABCDE，由于他们肚子不一样大，所以
水杯也不一样大，他们打水打满分别需要10、5、6、1、7 分钟，如何安排能使他们各自等待
的时间总和最短？
某加油站每次只能对一辆车进行加油，加满一辆大卡车的油需要7 分钟，加满一辆客车的油需
要5 分钟，加满一辆小汽车的油需要3 分钟。现有一辆大卡车、一辆客车、一辆小汽车同时
来到加油站加油，合理安排加油顺序，使三辆车总的加油和等待时间最短共需要（）分钟。
（重庆选调）
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
190
三、运输类
3-1 优先运轻的（无关距离）
AB 两个地点，距离为10 公里，两个地点的存放货物量分别为5、9kg，需要把货物统一运到
A 或B 点上，单位重量单位距离的运费为定值，求运到A 和B 点中的哪个点最便宜？
在一条直线上自西向东共ABC 三个地点，距离依次为10、3 公里，三个地点的存放货物量依
次为14、3、9kg，需要把货物统一运到ABC 的某一个地点上，已知1kg 货物运1km 需要
100 元钱，求运到哪里最便宜？价格是多少
在一条直线上自西向东共ABCDE 五个地点，距离依次为4,8,3,7 公里，五个地点的存放货物
量依次为7,9,4,10,7kg，需要把货物统一运到ABCDE 的某一个地点上，已知1kg 货物运1km
需要10 元钱，求运到哪里最便宜？价格是多少
一条公路沿线顺次有甲、乙、丙、丁、戊5 个仓库，相邻仓库间隔100 千米。甲仓库有10 吨
货物，乙仓库有20 吨货物，戊仓库有40 吨货物，其余两个仓库无货物。现在准备把所有货
物集中到一个仓库里，如果每吨货物运输成本是每千米1 元运费，那么运费最少是多少元？（重
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
191
庆选调）
下图是A,B,C,D,E 五个村之间的道路示意图,〇中数字是各村要上学的学生人数,道路上的数表
示两村之间的距离(单位:千米)。现在要在五村之中选一个村建立一所小学。为使所有学生到学
校的总距离最短,试确定最合理的方案。
四、穿越沙漠类
有2 位探险家计划横穿沙漠。他们每人驾驶一辆吉普车,每辆车最多能携带可供一辆车行驶300
千米的汽油。显然,2 个人不可能共同穿越301 千米以上的沙漠。于是,他们计划在保证其余车
完全返回出发点的前提下,让一辆车穿越沙漠,当然实现这一计划需要两辆车相互借用汽油。问:
试图穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠（试图穿越的那辆车开到没油等死即可，不用回
来）?
有5 位探险家计划横穿沙漠。他们每人驾驶一辆吉普车,每辆车最多能携带可供一辆车行驶312
千米的汽油。显然,5 个人不可能共同穿越500 千米以上的沙漠。于是,他们计划在保证其余车
完全返回出发点的前提下,让一辆车穿越沙漠,当然实现这一计划需要几辆车相互借用汽油。问:
穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠?（试图穿越的那辆车开到没油等死即可，不用回来）?
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
192
总结:如果有n 辆汽车,每辆汽车最多行驶S 千米,按照上述方法辆车最多可以行驶
有只松鼠在某处发现了90 粒松子，欲搬回25 米远的家中储存，但这只松鼠每次最多只能携
带45 粒，且其往返途中每走1 米必须要吃1 粒松子。那么松鼠最多能搬（）粒松子回家。
（2024 深圳市考）
小明骑在牛背上赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁4 头牛。甲牛过河需要1 分钟,乙牛过河需要
2 分钟,丙牛过河需要5 分钟,丁牛过河需要6 分钟。每次只能赶两头牛过河,那么小明要把这4
头牛都赶到对岸,最少要用多少分钟?
总结:这种题目,要使返回的时间尽量短,另外安排时间最长的和时间第二长的一起走就可以把
时间第二长的“藏起来”。“快者来回,慢者结伴
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
193
五、天平称物类
总结，n 次称重最多能从______个黄金内找到唯一假
1、已知轻重，找假：
2、未知轻重，找假，且需求是轻是重：
3、未知轻重，找假，不用求是轻是重：
4、未知轻重，不找假，仅求是轻是重：
5-1 已知轻重
一个天平，3 块黄金，两真一假，假黄金轻一点，请问用天平称多少次能找到假黄金？
一个天平，9 块黄金，八真一假，假黄金轻一点，请问用天平称多少次能找到假黄金？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
194
一个天平，不知道多少块黄金，只有一假，假黄金轻一点，请问用天平称n 次最多能从多少
块黄金中找到假黄金？
一个天平，17 块黄金，只有一假，假黄金轻一点，请问用天平称多少次能找到假黄金？
一个天平，100 块黄金，只有一假，假黄金轻一点，请问用天平称多少次能找到假黄金？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
195
5-2 未知轻重，找假，且求是轻是重
一个天平，3 块黄金，两真一假，假黄金不知轻重，请问用天平称多少次能找到假黄金，且知
道是轻是重？
一个天平，12 块黄金，八真一假，假黄金不知轻重，请问用天平称多少次能找到假黄金，且
知道是轻是重？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
196
5-3 未知轻重，找假，不需要求是轻是重
一个天平，3 块黄金，两真一假，假黄金不知轻重，请问用天平称多少次能找到假黄金，不需
要求是轻是重？
一个天平，13 块黄金，八真一假，假黄金不知轻重，请问用天平称多少次能找到假黄金，不
需要求是轻是重？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
197
5-4 总结，n 次称重最多能从______个黄金内找到唯一假
1、已知轻重，找假：
2、未知轻重，找假，且需求是轻是重：
3、未知轻重，找假，不用求是轻是重
5-5 未知轻重，仅求是轻是重
一个天平，1001 块黄金，只有一假，假黄金不知轻重，请问用天平称多少次能知道假黄金是
轻了还是重了？(不用找出来)
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
198
六、货车装箱类
6-1 货物某边整除车厢长向，从内到外一层一层摆
货车车厢4X4X10，货物1X2X10，尽可能多塞应该怎么塞？
货车车厢4X4X10，货物1X2X5，尽可能多塞应该怎么塞？
货车车厢6X6X21，货物1X2X3，货车车厢最多能塞几个货物？
货车车厢5X5X10，货物1X2X3，货车车厢最多能塞几个货物？试试摆一下
6-2 均不整除车厢
货车车厢4X6X23，货物2X3X4，货车车厢最多能塞几个货物？别摆了
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
199
6-3 正方体货物
货车车厢3X4X23，货物3X3X3，货车车厢最多能塞几个货物？别摆了
七、平底锅煎饼
7-1 一年级思维题
煎饼要两面，煎一面要2 分钟，现在要煎3 个饼，只有一个锅，一个锅最多能同时煎两个饼，
请问3 个饼煎完要几分钟，怎么煎？
7-2 公考改得很无聊且不需要逻辑的题目
煎饼要两面，煎一面要2 分钟，现在要煎15 个饼，只有一个锅，一个锅最多能同时煎两个饼，
请问15 个饼煎完要几分钟，怎么煎？
煎饼要两面，煎一面要2 分钟，现在要煎13 个饼，只有一个锅，一个锅最多能同时煎两个饼，
请问13 个饼煎完要几分钟，怎么煎？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
200
八、空瓶换水类
某商店汽水做促销活动，规定每3 个空瓶能换1 瓶汽水。小命家买了4 瓶汽水，喝完后再按
规定用空瓶去换汽水，那么他们家前后最多能喝到多少瓶汽水？
要求薅完羊毛
某商店汽水做促销活动，规定每3 个空瓶能换1 瓶汽水。小命家买了8 瓶汽水，喝完后再按
规定用空瓶去换汽水，那么他们家前后最多能喝到多少瓶汽水？
要求薅完羊毛
某商店汽水做促销活动,规定每5 个空瓶能换1 瓶汽水。小强家买了80 瓶汽水,喝完后再按规
定用空瓶去换汽水,那么他们家前后最多能喝到多少瓶汽水?
8-2 反求
某商店汽水做促销活动,规定每4 个空瓶能换1 瓶汽水。小命家不要命了真的一天内前后喝了
80 瓶汽水为了薅羊毛，求他们家一开始最少要买几瓶？
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽
叽叽喳喳的公考
201
V、数论-整除（待更新）
W、数论-余数（待更新）
X、拔高篇-标数法（待更新）
Y、拔高篇-传球法（待更新）
叽叽喳喳的公考
考
考
叽叽喳喳的公考
叽叽喳喳的公考
叽
叽