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2025 年高考第二次模拟考试
高三数学（天津）02
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（本题共9 小题，每小题5 分，共45 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知向量
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知一组数据：70，72，75，76，82，83，84，a，90，其中第70 百分位数是84，则该实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
5．如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是
（ ）
A．
B．
1
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C．
D．
6．已知
是锐角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．设等差数列
的前
项和是
，前
项积是
，若
，
，则（ ）
A．
无最大值，
无最小值
B．
有最大值，
无最小值
C．
无最大值，
有最小值
D．
有最大值，
有最小值
8．如图，在高为16 的圆柱型筒中，放置两个半径均为3 的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底
面相切，已知平面
与两个小球也相切，平面
被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知正方体
的棱长为
是棱
的中点，空间中的动点
满足
，且
，
则动点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．3
C．
D．
二、填空题：本题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
10．是虚数单位，复数
的虚部为 .
11．
的展开式中，
的系数是 （用数字作答）
12．已知圆
，点
在直线
上．若存在过点
的直线与圆
相交于
，
两
点，且
，
，则
的取值范围是 .
13．某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排5 名同学到甲、乙、丙三个不同社团开展活动，要求
每个社团至少安排一人，则不同的安排方案数为 ，如果再加上一名同学且要求甲社团安排三人，
乙、丙至少安排一人，则不同的安排方案数为 ．
14．在
中，点
分别在边
上，
，若
交于点
，则
2
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；当
时，
的面积为 .
15．函数
，若函数
恰有两个不同的零点，则实数
的
取值范围为 .
四、解答题：本题共5 小题，共75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（本小题满分14 分）
在锐角
中，角
的对边分别为
． 已知
的面积为．
(1)求的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值．
17．（本小题满分15 分）
如图所示，在几何体
中，四边形
和
均为边长为2 的正方形，
，
底
面
，M、N 分别为
、
的中点，
.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求平面
与平面
所成角的余弦值.
3
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18．（本小题满分15 分）
已知椭圆
：
的离心率为
，左，右焦点分别为
，
，过点
的直线与椭圆相交
于点
，
，且
的周长为8．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆
的左，右顶点分别为
，
，上顶点为
，若过
且斜率为
的直线与椭圆
在第一象限相交
于点
，与直线
相交于点
，与
轴相交于点
，且满足
，求直线的方程．
19．（本小题满分15 分）
已知数列
是数列
的前
项和，已知对于任意
，都有
，数列
是等差
数列，
，且
成等比数列.
(1)求数列
和
的通项公式.
(2)记
，求数列
的前
项和
.
(3)记
，求
.
4
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20．（本小题满分16 分）
已知函数
，其中
.
(1)当
时，求函数
在点
上的切线方程.（其中e 为自然对数的底数）
(2)已知关于x 的方程
有两个不相等的正实根
，
，且
.
（ⅰ）求实数a 的取值范围；
（ⅱ）设k 为大于1 的常数，当a 变化时，若有最小值，求k 的值.
5
