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2025 年高考第二次模拟考试
高三数学（新八省通用）01·参考答案
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
B
A
D
D
D
C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
ACD
BD
ACD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12． 13．
14．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分13 分）
【解】（1）解：由题表中的信息可知，
在这100 天中，进口贸易量与出口贸易量均不超过100 亿元人民币的天数为
，
用频率估计概率，可得所求概率
．
（2）列出
列联表如下：
进口贸易量
出口贸易量
64
16
1
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10
10
（3）零假设为
：我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量无关．
由（2）得
，
所以依据
的独立性检验，推断
不成立，即认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易
量有关
16．（本小题满分15 分）
【解】（1）点
在双曲线
上，
是以
为首项，公差为的等差数列，
；点
在直线
上，
，当
时，
，
当
时，
，
，
是以
为首项，公比为
的等比数列，
.
（2）
，
解得
，
成立
的最小值为7.
（3）
，
，
，所以数列
为递减数列.
17．（本小题满分15 分）
2
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【解】（1）由
，
，
则
，
所以
，即切线斜率为，
又
，则切点为
，切线方程为
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
．
（2）根据题意得，
，
则
．
由0 为
的极小值点，可知
．
设
，
则
．
（ⅰ）当
时，
，
所以
在
上单调递增，又
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以0 是
的极小值点，符合题意．
（ⅱ）当
时，设
，
则
，
3
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所以
在
上单调递增，
，
，
所以存在
，使得
，
所以当
时，
，
单调递减，即
单调递减；
当
时，
，
单调递增，即
单调递增.
又
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以0 是
的极小值点，符合题意．
（ⅲ）当
时，
，且
在
上单调递增，
所以当
时，
，
单调递减，即
单调递减；
当
时，
，
单调递增，即
单调递增.
又
，所以
，
单调递增，不符合题意．
（ⅳ）当
时，
，
在
上单调递增，
，
所以存在
，使得
，
所以当
时，
，
单调递减，又
，
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减.
4
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所以0 是
的极大值点，不符合题意．
综上，
的取值范围是
．
18．（本小题满分17 分）
【解】（1）证明：联立方程组
，
消去
整理得
，又
，
即
，
整理得
，解得
，
所以直线
与椭圆
有且仅有一个交点
，
即切线方程为
.
（2）解：由（1）中切线方程，令
，得
，
令
，得
，
因为
，所以直线
，①
因为
，所以直线
，②
由①②得
.
因为
，得
，
5
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所以动点
的轨迹
的方程为
）.
（3）解：设直线的方程为
，
联立方程组
得
，
则
，所以
.
因为直线
的方程为
，直线
的方程为
，
所以
，所以
，
所以
，
整理得
所以
，即点
在定直线
上.
19．（本小题满分17 分）
【解】（1）在图2 中，取EF 中点O，BD 中点M，连接OP，OM，以O 为原点，OF、OM、OP 所在直
线分别为x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，
6
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设AB＝4、OP＝x，则
，
，
∴
，
，
，
，
故
，
，
∵直线BF 与PD 垂直，
，
∴
，解得
（舍）或
，
∴PO＝2OM，∴AE＝2ED，
∴图中点E 在靠近点D 的三等分点处．
，∴
（2）设二面角E－PF－B 的平面角为
，则
为钝角．
证明：平面PEF 的法向量
，
，
，
设平面PBF 的法向量
，则
，即
取a＝1，得
，∴
．
又
为钝角，∴
．
∴无论点E 的位置如何，二面角E－PF－B 的余弦值都为定值
．
平面EPF 与平面BPF 的夹角（锐角）的余弦值为定值
．
7
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（3）由题意知△ABD 为等边为2 的三角形，
，
如图，设△PEF 的外心为
，四边形BDEF 外接圆的圆心为
，
作
平面PEF，
平面BDEF，
，
即为外接球的球心，且四边形
为矩形．
设d 为Q 到平面BDEF 的距离，则
，
设r 为四边形BDEF 的外接圆半径，
在△ABE 中，
，
在△ABE 中，
．
设外接球半径为R，则
，
故当
时，外接球半径的最小值为
．
8
