2025年高考数学试卷（上海6月）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2025·高考数学真题

2025 年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷 （考试时间 120分钟，满分 150分） 一、填空题（本大题共 12题，第 1~6题每题 4分，第 7~12题每题 5分，共 54分.考生应在答 题纸的相应位置直接填写结果） 1. 已知全集 U ={x∣2£ x£5,xÎR} ，集合 A={x∣2£ x<4,xÎR} ，则A= _________． 【答案】 x|4£ x£5,xÎR ## 4,5 【解析】 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】根据补集的含义知A=x|4£ x£5,xÎR . 故答案为： x|4£ x£5,xÎR . x-1 2. 不等式 <0的解集为_________． x-3 【答案】 1,3 【解析】 【分析】转化为一元二次不等式 x-1x-3<0，解出即可. 【详解】原不等式转化为 x-1x-3<0，解得1< x<3， 则其解集为 1,3 . 故答案为： 1,3 . 3. 己知等差数列 a  的首项a =-3，公差d =2，则该数列的前6项和为_________． n 1 【答案】12 【解析】 【分析】直接根据等差数列求和公式求解. 6´5 【详解】根据等差数列的求和公式，S =6a + d =12. 6 1 2 故答案为：12 4. 在二项式(2x-1)5的展开式中，x3的系数为_________． 【答案】80 第1页/共18页 学科网（北京）股份有限公司【解析】 【分析】利用通项公式求解可得. 【详解】由通项公式T =Cr ×25-r ×x5-r ×(-1)r =Cr ×(-1)r ×25-rx5-r， r+1 5 5 令5-r =3，得r =2， 可得x3项的系数为C2×(-1)2×25-2 =80. 5 故答案为：80. é π πù 5. 函数y =cosx在 ê - , ú 上的值域为_________． ë 2 4û 【答案】 0,1 【解析】 【分析】利用余弦函数的单调性可得. é π ù é πù 【详解】由函数y =cosx在 - ,0 上单调递增，在 0, 单调递减， ê ú ê ú ë 2 û ë 4û π π 2 且 f(- )=0, f(0)=1, f( )= ， 2 4 2 é π πù 故函数y =cosx在 ê - , ú 上的值域为 0,1 . ë 2 4û 故答案为： 0,1 . æ 5 6 7 ö 6. 已知随机变量X的分布为ç ÷，则期望E[X]=_________． è0.2 0.3 0.5ø 【答案】6.3 【解析】 【分析】根据分布列结合期望公式可求期望. 【详解】由题设有Ex=5´0.2+6´0.3+7´0.5=1+1.8+3.5=6.3. 故答案为：6.3. 7. 如图，在正四棱柱ABCD- ABC D 中，BD=4 2,DB =9，则该正四棱柱的体积为_________． 1 1 1 1 1 第2页/共18页 学科网（北京）股份有限公司【答案】112 【解析】 【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积. 【详解】因为BD=4 2 且四边形ABCD为正方形，故BA=4， 而DB =9，故BB2 +BD2 =81，故BB =7， 1 1 1 故所求体积为7´16=112， 故答案为：112. 1 1 8. 设a,b>0,a+ =1，则b+ 的最小值为_________． b a 【答案】4 【解析】 1 æ 1öæ 1ö 【分析】灵活利用“1”将b+ = ç b+ ÷ç a+ ÷展开利用基本不等式计算即可. a è aøè bø 1 æ 1öæ 1ö 1 1 【详解】易知b+ = b+ a+ =ab+ +2³2 ab× +2=4， ç ÷ç ÷ a è aøè bø ab ab 1 当且仅当ab=1，即a= ,b=2时取得最小值. 2 故答案为：4 9. 4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数 有_________种． 【答案】288 【解析】 【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可. 【详解】先选两位家长排在首尾有P2 =12种排法；再排对中的四人有P4 =24种排法， 4 4 故有12´24=288种排法. 故答案为：288 第3页/共18页 学科网（北京）股份有限公司10. 已知复数z满足z2 =(z)2,|z|£1，则|z-2-3i|的最小值是_________． 【答案】2 2 【解析】 【分析】先设z = a+bi，利用复数的乘方运算及概念确定ab=0，再根据复数的几何意义数形结合计算即 可. 【详解】设z =a+bia,bÎR,\z =a-bi， 由题意可知z2 =a2 +2abi-b2 = z 2 =a2 -2abi-b2，则ab=0， 又 z = a2 +b2 £1，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点Za,b 在单位圆内部（含边界）的坐标 轴上运动，如图所示即线段AB,CD上运动， 设E2,3 ，则 z-2-3i = ZE ，由图象可知 BE = 10 > CE =2 2， 所以 ZE =2 2 . min 故答案为：2 2 11. 小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水 平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其 中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的 底角q=_________．（结果用角度制表示，精确到0．01°） 【答案】12.58o 第4页/共18页 学科网（北京）股份有限公司【解析】 【分析】先根据在A处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合B处的旗杆算出斜面角. 1 【详解】如图，在A处，tanx= =2.5，在B处满足tanÐCED=2.5， 0.4 （其中ED//水平面，CE是射过B处杆子最高点的光线，光线交斜面于E）， 1+ y 故设BD= y，则ED= ， 2.5 2 æ1+ yö 由勾股定理，y2 + =0.452，解得y »0.098， ç ÷ è 2.5 ø 0.098 于是q=arcsin »12.58o 0.45 故答案为：12.58o ì1, x>0 ï r r r r r r r 12. 已知 f(x)=í0, x=0，a r、b、c r是平面内三个不同的单位向量．若 f(a×b)+ f(b×c)+ f(c×a)=0， ï -1, x<0 î 则|a r +b r +c r |可的取值范围是_______． 【答案】(1, 5) 【解析】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得  f  a r ×b r , f  b r ×c r , f  c r ×a r = -1,0,1 ，再根据数量积关系设出 r r r a,b,c坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. r r r r r r r r r r r r 【详解】若 f a×b = f b×c = f c×a =0，则a×b=b×c=c×a =0， r r r 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量a,b,c两两垂直，显然不成立； 第5页/共18页 学科网（北京）股份有限公司故  f  a r ×b r , f  b r ×c r , f  c r ×a r = -1,0,1 . ì f  a r ×b r =1 ï ï r r r r r r r r 不妨设í f b×c =0 ，则a×b>0,b×c=0,c×a<0， ï f c r ×a r=-1 ï î r r r 不妨设b=(1,0),c=(0,1)，a=cosq,sinq,qÎ0,2π， ìïa r ×b r =cosq>0 æ3 ö 则í ，则qÎ ç π,2π ÷， ïîc r ×a r =sinq<0 è2 ø r r r 则 a+b+c = (1+cosq,1+sinq) = (1+cosq)2 +(1+sinq)2 = 3+2cosq+2sinq π = 3+2 2sin(q+ ) ， 4 æ3 ö π æ7 9 ö 由qÎ ç π,2π ÷，q+ Î ç π, π ÷， è2 ø 4 è4 4 ø π æ 2 2 ö π 则sin(q+ )Îç- , ÷，2 2sin(q+ )Î-2,2 ç ÷ 4 2 2 4 è ø r r r 故 a+b+c Î(1, 5). 故答案为：(1, 5). 二、选择题（本大题共 4 题，第 13、14题每题 4分，第 15、16题每题 5分，共 18分.每题有 且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.） 1 1 13. 己知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为P(A)= ，事件B发生的概率为P(B)= ，则事件AÇB 2 2 发生的概率P(AÇB)为（ ） 1 1 1 A. B. C. D. 0 8 4 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件的概率公式可求PAÇB . 1 1 1 【详解】因为A,B相互独立，故PAÇB= PAPB= ´ = ， 2 2 4 故选：B. 第6页/共18页 学科网（北京）股份有限公司14. 设a >0,sÎR．下列各项中，能推出as >a的一项是（ ） A. a>1，且s >0 B. a>1，且s<0 C. 00 D. 00,as >a，∴as-1 >1=a0， 当aÎ0,1 时，y =ax定义域上严格单调递减， 此时若s-1<0，则一定有as-1 >1=a0成立，故D正确，C错误； 当aÎ1,+¥ 时，y =ax定义域上严格单调递增，要满足as-1 >1=a0，需s>1，即A、B错误. 故选：D 15. 已知A(0,1),B(1,2)，C在G:x2 - y2 =1(x³1,y³0)上，则VABC的面积（ ） A. 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值 C. 既有最大值，也有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】设出曲线上一点为(a,b)，得出a= b2 +1，将三角形的高转化成关于b的函数,分析其单调性， 从而求解. 【详解】设曲线上一点为(a,b)，则a2 -b2 =1，则a= b2 +1， 2-1 k = =1，AB方程为：y-1= x，即x- y+1=0， AB 1-0 b2 +1-b+1 a-b+1 b2 +1-b+1 根据点到直线的距离公式，(a,b)到AB的距离为： ， = = 2 2 2 1 设 f(b)= b2 +1-b= ， b2 +1+b 由于b³0，显然 f(b)关于b单调递减， f(b) = f(0)，无最小值， max 即VABC中，AB边上的高有最大值，无最小值， 又AB一定，故面积有最大值，无最小值. 第7页/共18页 学科网（北京）股份有限公司故选：A 16. 已知数列 a  、 b  、 c  的通项公式分别为a =10n-9，b =2n、，c =la +(1-l)b .若对任意的 n n n n n n n n lÎ0,1 ，a 、b 、c 的值均能构成三角形，则满足条件的正整数n有（ ） n n n A. 4个 B. 3个 C. 1个 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】由c =la +(1-l)b 可知c 范围，再由三角形三边关系可得a ,b ,c 的不等关系，结合函数零点 n n n n n n n 解不等式可得. 【详解】由题意a ,b ,c >0，不妨设A(n,a ),B(n,b ),C(n,c )， n n n n n n uuur uuur 三点均在第一象限内，由c =la +(1-l)b 可知，BC =lBA,lÎ0,1 ， n n n 故点C恒在线段AB上，则有mina ,b £c £maxa ,b 0， 则 f¢(x)=2xln2-10，由 f¢(x)单调递增， 又 f¢(3)<0, f¢(4)>0，存在x Î(3,4)，使 f¢(x )=0， 0 0 即当0< x< x 时， f¢(x)<0， f(x)单调递减； 0 当x> x 时， f¢(x)>0， f(x)单调递增； 0 故 f(x)至多2个零点， 又由 f(1)>0, f(2)<0, f(5)<0, f(6)>0， 可知 f(x)存在2个零点，不妨设x ,x (x < x )，且x Î(1,2),x Î(5,6). 1 2 1 2 1 2 ①若a £b ，即10n-9£2n时，此时n=1或n³6. n n 则a £c £b ，可知b +c >a 成立， n n n n n n 要使a 、b 、c 的值均能构成三角形， n n n 所以a +c >b 恒成立，故b < 2a ， n n n n n 第8页/共18页 学科网（北京）股份有限公司ì10n-9£2n 所以有í ，解得n =6； î2n <2(10n-9) ②若a ³b ，即10n-9³2n时，此时n=2,3,4,5. n n 则a ³c ³b ，可知a +c >b 成立， n n n n n n 要使a 、b 、c 的值均能构成三角形， n n n 所以b +c >a 恒成立，故a <2b ， n n n n n ì10n-9³2n 所以有í ，解得n=4或5； î10n-9<2n+1 综上可知，正整数n的个数有3个. 故选：B. 三、解答题（本大题共 5 题，第 17-19 题每题 14 分，第 20-21 题每题 18 分，共 78 分.解答下 列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.） 17. 2024年东京奥运会，中国获得了男子4´100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4´100米混合 泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 21693 210.68 213.73 214.84 216.93 . （1）求这组数据的极差与中位数； （2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； ˆ （3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y =-0.311x+b，年份x的平均数为2006，预测2028年冠 军队的成绩（精确到0.01秒）． 【答案】（1）10.15；210.015； 3 （2） 10 （3）204.56 【解析】 【分析】（1）由最长与最短用时可得极差，由中间两数平均数可得中位数； （2）由古典概型概率公式可得； 第9页/共18页 学科网（北京）股份有限公司（3）先求成绩平均数 y，再由(x,y)在回归直线上，代入方程可得b$ ，再代入年份预测可得. 【小问1详解】 由题意，数据的最大值为216.93，最小值为206.78， 则极差为216.93-206.78=10.15； 数据中间两数为209.35与210.78， 209.35+210.68 则中位数为 =210.015. 2 故极差为10.15，中位数为210.015； 【小问2详解】 由题意，数据共10个，211以上数据共有4个， 故设事件A=“恰有2个数据在211以上”， C2×C1 3 则P(A)= 4 6 = ， C3 10 10 3 故恰有2个数据在211以上的概率为 ； 10 【小问3详解】 由题意，成绩的平均数 206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93 10 =211.399， 由直线y =-0.311x+b$过(2006,211.399)， 则b$ =211.399+0.311´2006=835.265， 故回归直线方程为y =-0.311x+835.265. 当x=2028时,y =-0.311´2028+835.265=204.557»204.56. 故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒. 18. 如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且AB=2． 第10页/共18页 学科网（北京）股份有限公司π （1）若直线PA与圆锥底面的所成角为 ，求圆锥的侧面积； 3 π （2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为 ，CD∥AB．设点M在线 3 段OC上，证明：直线QM∥平面PBD． 【答案】（1）2π （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解. （2）证明平面QOC//平面PBD，然后根据面面平行的性质可得. 【小问1详解】 π 由题知，ÐPAB= ，即轴截面 ABP是等边三角形，故PA= AB=2， V 3 1 底面周长为2π´1=2π，则侧面积为： ´2´2π=2π; 2 【小问2详解】 由题知AQ=QP,AO=OB，则根据中位线性质，QO∥PB， 又QOË平面PBD，PBÌ平面PBD，则QO//平面PBD π π π 由于AC = ，底面圆半径是1，则ÐAOC = ，又CD∥AB，则ÐOCD= ， 3 3 3 又OC =OD，则 OCD为等边三角形，则CD=1， V 于是CD∥BO且CD=OB，则四边形OBDC 是平行四边形，故OC∥BD， 又OC Ë平面PBD，BDÌ平面PBD，故OC//平面PBD. 又OC I OQ=O,OC,OQÌ平面QOC， 根据面面平行的判定，于是平面QOC//平面PBD， 又M ÎOC，则QM Ì平面QOC，则QM //平面PBD 第11页/共18页 学科网（北京）股份有限公司19. 已知 f(x)= x2 -(m+2)x+mlnx,mÎR． （1）若 f(1)=0，求不等式 f(x)£ x2 -1的解集； （2）若函数y = f(x)满足在(0,+¥)上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】（1） 1,+¥ （2）m>0且m ¹ 2 . 【解析】 【分析】（1）先求出m，从而原不等式即为x+lnx>1，构建新函数sx= x+lnx,x>0，由该函数为增 函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就m£0,02分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 因为 f 1=0，故1-m-2+0=0，故m=-1，故 f x= x2 -x-lnx， 故 f x£x2-1即为x+lnx³1， 1 设sx= x+lnx,x>0，则s¢x=1+ >0，故sx 在 0,+¥ 上为增函数， x 而x+lnx³1即为sx³s1 ，故x ³1， 故原不等式的解为 1,+¥ . 【小问2详解】 f x 在 0,+¥ 有极大值即为有极大值点. m 2x2 -m+2x+m 2x-mx-1 f¢x=2x-m+2+ = = ， x x x 若m£0，则xÎ0,1 时， f¢x<0，xÎ1,+¥ 时， f¢x>0， 故x=1为 f x 的极小值点，无极大值点，故舍； m æm ö 若0< <1即00， è 2 ø 第12页/共18页 学科网（北京）股份有限公司m 故x= 为 f x 的极大值点，符合题设要求； 2 若m = 2，则xÎ0,+¥ 时， f¢x³0， f x 无极值点，舍； m æ mö 若 >1即m > 2，则xÎ ç 1, ÷时， f¢x<0， 2 è 2 ø æm ö xÎ0,1 Uç ,+¥ ÷时， f¢x>0， è 2 ø 故x=1为 f x 的极大值点，符合题设要求； 综上，m>0且m ¹ 2. x2 y2 20. 已知椭圆G: + =1(a > 5)，M(0,m)(m>0)，A是G的右顶点． a2 5 （1）若G的焦点(2,0)，求离心率e； uuur uuur （2）若a=4，且G上存在一点P，满足PA=2MP，求m； （3）已知AM的中垂线l的斜率为2，l与G交于C、D两点，ÐCMD为钝角，求a的取值范围． 2 【答案】（1） 3 （2） 10   （3） 5, 11 【解析】 【分析】（1）由方程可得b2 =5，再由焦点坐标得c，从而求出a得离心率； （2）设点P坐标，由向量关系 u P u A ur =2M uuu P r 坐标化可解得P坐标，代入椭圆方程可得m； （3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线l方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不等式 uuuur uuuur MC×MD<0，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得a范围. 【小问1详解】 x2 y2   由题意知，Γ: + =1 a> 5 ，则b2 =5， a2 5 由右焦点(2,0)，可知c=2，则a= 5+c2 =3， c 2 故离心率e= = . a 3 【小问2详解】 第13页/共18页 学科网（北京）股份有限公司由题意A(4,0),M(0,m)(m>0)，P(x ,y ) P P ì4-x =2x uuur uuur P P 由PA=2MP得，í ， -y =2y -2m î P p 4 2m x2 y2 解得P( , )，代入 + =1， 3 3 16 5 1 4m2 得 + =1，又m>0，解得m= 10. 9 45 【小问3详解】 1 由线段AM 的中垂线l的斜率为2，所以直线AM 的斜率为- ， 2 m-0 1 a 则 =- ，解得m= ， 0-a 2 2 a a a 由A(a,0),M(0, )得AM 中点坐标为( , )， 2 2 4 3 3 故直线l: y =2x- a，显然直线l过椭圆内点( a,0)， 4 8 故直线与椭圆恒有两不同交点， 设C(x ,y ),D(x ,y )， 1 1 2 2 ì 3 ïy =2x- a 9 由í 4 消y得(4a2 +5)x2 -3a3x+ a4 -5a2 =0， 16 ï î5x2 +a2y2 =5a2 9 a4 -5a2 由韦达定理得 3a3 16 ， x +x = ,x x = 1 2 4a2 +5 1 2 4a2 +5 a uuuur uuuur 因为ÐCMD为钝角，则MC×MD<0，且M(0, )， 2 a a 则有x x +(y - )(y - )<0， 1 2 1 2 2 2 æ 5aöæ 5aö 5 25 所以x x + ç 2x - ÷ç 2x - ÷ =5x x - a(x +x )+ a2 <0， 1 2 è 1 4 øè 2 4 ø 1 2 2 1 2 16 即5 æ ç 9 a4 -5a2 ö ÷ - 5a ´3a3 + 25 a2 4a2 +5  <0，解得a2 <11， è16 ø 2 16 第14页/共18页 学科网（北京）股份有限公司又a> 5 ，   故 5 0， a 0 0 0 当x<0时， f x= x+2，其在-¥，0上严格单调递增， 当x ³0时， f x= x ，其在[0,+¥)上也严格单调递增， 则x <0£ x +a，则x +2= x +a ， 0 0 0 0 令x+2=0，解得x =-2，则-2£ x <0， 0 2 则a=  x 0 +a 2 -x 0 =x 0 +22 -x 0 = æ ç è x 0 + 2 3 ø ö ÷ + 7 4 Î é ê ë 7 4 ,4 ö ÷ ø . 法二：作出该函数图象，则由题意知直线 y =t与该函数有两个交点， 由图知0£t <2，假设交点分别为Am,t ，Bn,t ， ì ï m =t æ 1ö 2 7 é7 ö 联立方程组í 得a=| AB|=m-n=t2 -(t-2)= ç t- ÷ + Î ê ,4 ÷ ïîn+2=t è 2ø 4 ë4 ø 【小问3详解】 （3）对任意x Î(1,2),x -2Î(-1,0)，因为其是偶函数， 0 0 则 f x -2= f 2-x  ，而2-x -x -2=4-2x Î(0,2)， 0 0 0 0 0 所以x -2ÎM Í M ， 0 4-2x 2 0 所以 f x = f x -2= f 2-x  ，因为x Î1,2 ，则2-x Î0,1 ， 0 0 0 0 0 所以 f x = f 2-x =1-2-x = x -1，所以 f(x)= x-1,xÎ(1,2)， 0 0 0 0 所以当sÎ(0,1)时，1-sÎ(0,1)，1+sÎ(1,2)，则 f(1-s)=1-(1-s)=s， f(1+s)=1+s-1=s，则 f(1-s)= f(1+s)， 而1+s-1-s=2s， 3-s-1-s=2， 则1-sÎM Í M ，则 f(1-s)= f(3-s)， 2s 2 第16页/共18页 学科网（北京）股份有限公司所以当xÎ(2,3)时， f(x)= f(x-2)=1-(x-2)=3-x，而 f(x)为偶函数，画出函数图象如下： 其中 f -3= f 3, f -2= f 2, f 0 ，但其对应的y值均未知. 首先说明 f(-3)=nÏ(0,1)， 若 f(-3)=nÎ(0,1)，则-3+nÎ-3,-2 ，易知此时 f x= x+3,xÎ-3,-2 ， 则 f(-3+n)=n，所以 f(-3)ÎM Í M ，而xÎ-1,0 时， f x= x+1， n 2 所以 f(-3)= f(-1)=0，与 f(-3)=n矛盾，所以 f(-3)Ï(0,1)，即 f(-3)= f(3)Ï(0,1)， 令y = f(x)-c=0，则y = f(x)=c， 当c=0时，即使让 f -3= f 3= f -2= f 2= f 0=0，此时最多7个零点， 当c³1时，若 f -2= f 2= f 0= f -3= f 3=c，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当c<0时，若 f -2= f 2= f 0= f -3= f 3=c，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当0