文档内容
应用题-经典应用题-平均数问题基本
知识-5 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
平均数问题基本知识 B 1.了解平均数的基本概念。 少考
2.能够运用平均数的公式求解基本
题目。
知识提要
平均数问题基本知识
概念
把一个（总）数平均分成几个相等的数，这个相等的数就叫做这个（总）数的平均数。
平均数是相对于总数及分成的分数而言的，知道被均分的“总数”和均分的”份数”就可
以求出平均数。
平均数关系式
总数量÷总份数=平均数
总数量÷平均数=总份数
平均数×总份数=总数量
题型设置
1、基本问题
2、总数除以份数
3、等量代换类
4、移多补少类
5、复杂平均数精选例题
平均数问题基本知识
1. 如图所示，A、B、C、D、E、F、G、H、I 代表 9 个互不相同的正整数，9 个数的总
和是 2010，并且每个圆中所填数的和都等于 M．则 M 最大是 ，最小是
．
【答案】 669；404
【分析】 要求 M 的最大值．考虑到
3×M =(A+B)+(D+E+F)+(H+J)
¿ ⩽2010-1-2
¿ ¿
所以 M⩽669．
要求 M 的最小值，考虑到
5×M =(A+B)+(B+C+D)+(D+E+F)+(F+G+H)+(H+J)
¿ ⩾2010+1+2+3+4
¿ ¿
所以 M>404．
事实上 M=669 及 404 的情况都是很容易达到的，所以它们分别为所求的最大值和最小值．
2. 七个人围坐在圆桌旁，在每个人面前都有一个牛奶杯．第一个人把自己的牛奶都平均分到
其余的杯子中，接着第二个人照样做一遍，然后第三个人到第七个人也同样做一遍．最后发现
每个杯子中的牛奶和最开始一样多，如果所有杯子的牛奶共有 7 升，那么第一个人到第七个
人的杯子里开始时分别有牛奶多少升？
5 4 2 1
【答案】 分别有 2 升、 升、 升、1 升、 升、 升、0 升．
3 3 3 3
【分析】 首先，很明显第 7 个人是 0 升，接着，由于第一个人要平分给 6 个人，
凭感觉可以得这 7 个人分别是 6 份、5 份、4 份、3 份、2 份、1 份、0 份，恰好符合．
方法一：假设这七个人轮到自己分牛奶的时候，杯里的牛奶的体积分别是 a、b、c、d、e、f、
g．（为便于描述，先都省略单位）b c
先看第一个人，他原来就有 a 牛奶，分完后完全没有了，然后后面的人依次给他分了 、 、
6 6
d e f g b c d e f g
、 、 、 ，最后他的杯子和最开始时的牛奶一样多，于是 a= + + + + + ；
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
再看第二个人，他原来的牛奶和最后的一样多，等于后面的人给他分的牛奶，是
c d e f g
+ + + + ；而他分的时候牛奶的体积是他原来的牛奶加上前面的人分给他的，于是
6 6 6 6 6
(c d e f g) a
b= + + + + + ;
6 6 6 6 6 6
同样地，有
(d e f g) (a b)
c= + + + + + ;
6 6 6 6 6 6
(e f g) (a b c)
d= + + + + + ;
6 6 6 6 6 6
(f g) (a b c d)
e= + + + + + ;
6 6 6 6 6 6
g (a b c d e)
f = + + + + + ;
6 6 6 6 6 6
a b c d e f
g= + + + + + ;
6 6 6 6 6 6
b c d e f g
令 a+b+c+d+e+f +g=S，由 a= + + + + + ，得
6 6 6 6 6 6
6a=b+c+d+e+f +g=S-a,
S
于是 a= ．
7
同理有
S S S S S S
b= ,c= ,d= ,e= ,f = ,g=
7 7 7 7 7 7
于是 a=b=c=d=e=f =g．
根据前面的分析，七人原来有的牛奶分别是b c d e f g c d e f g d e f g e f g f g g
+ + + + + , + + + + , + + + , + + , + , ,0.
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
综上，七人原有的牛奶的量相当于是 6 份、5 份、4 份、3 份、2 份、1 份、0 份．又知
2 1 2 1
共有牛奶 7 升，易得每人原有的牛奶依次是 2 升、1 升、1 升、1 升、 升、 升、
3 3 3 3
0 升．
方法二：假设最开始这七个人杯里的牛奶的体积分别是 a、b、c、d、e、f、g．（为便于描
述，先都省略单位）
1
先看前两个人，最开始分别有 a 和 b，第一次分完后分别是 0 和 a+b，第二次分完后分
6
1 1
别是 a+ b 和 0，接下来这两人拥有的牛奶会增加相同的量，直到变回 a 和 b，所以
36 6
1 1
a-b= a+ b-0，解得 a:b=6:5．设 a 为 6 份，b 为 5 份，则第一次分完后，第 2
36 6
个人有 6 份，第三个人有 (c+1) 份，同理可得 6:c+1=6:5，所以 c 是 4 份．第二次分
完后，第 3 个人有 6 份，第四个人有 (d+2) 份，同理可得 6:d+2=6:5，所以 d 是 3
份．以此类推，可得 e 是 2 份，f 是 1 份，g 明显是 0 份．所以七人原有的牛奶的量分
别是 6 份、5 份、4 份、3 份、2 份、1 份、0 份，因为共有 7 升，所以每人原有的牛奶
2 1 2 1
依次是 2 升、1 升、1 升、1 升、 升、 升、0 升．
3 3 3 3
3. 学校运来 125 个桃和若干梨，分别平分给每位老师，最后剩下一些梨和桃不够分．这时又
运来了 26 个水果（梨桃若干），和之前剩下的水果凑在一起，再平分给老师，每个老师多
分得 3 个水果（每位老师的桃树相同，梨数相同），最后又运来 40 个水果（梨桃若干），
但是发现剩的桃和梨竟不够每位老师同时多拿一个，那么第一次分后剩下了多少个梨？
【答案】 17 个．
【分析】 最后运来 40 个水果后，剩余的水果最少是 40 个，那么最多的那种水果
至少是 20 个，这不够每位老师同时多拿一个，说明老师至少有 21 人．
第一次剩下一些梨和桃不够分，说明此时剩的梨比老师人数少，桃比老师人数少，合起来比老
师人数的 2 倍要少至少 2 个．又运来 26 个水果后能让每个老师多分得 3 个水果，说明
26 比老师的人数要多，且至少多 2，说明老师最多有 24 个人，所以老师人数可能是 21、
22、23、24 这 4 种情况．
若老师人数是 21 人，则第二次分完后不能有剩（否则最后一次一定至少有一种水果够 21
个，就能再分了），故第一次剩 20 个桃和 3×21-20-26=17 个梨．
若老师人数是 22 人，则第一次剩 15 个桃和至少 3×22-15-26=25 个梨，只有 22 个
老师，第一次分到不够分就不可能剩 25 个梨，与题意矛盾，排除．
若老师人数是 23 人，则第一次剩 10 个桃和至少 3×23-10-26=33 个梨，同理排除．
若老师人数是 24 人，则第一次剩 5 个桃和至少 3×24-5-26=41 个梨，同理排除．
综上，第一次分后剩下了 17 个梨．
（其实 22 人的排除后，后 2 种情况不必详细计算，只要估算一下剩的梨数肯定要比 25 还
多即可排除）4. 有两个学生参加 4 次数学测验，他们的平均分数不同，但都是低于 90 分的整数．他们又
参加了第 5 次测验，这样 5 次的平均分数都提高到了 90 分．求第 5 次测验两人的得分．
（每次测验满分为 100 分）
【答案】 98；94
【分析】 设某一学生前 4 次的平均分为 x 分，第 5 次的得分为 y 分，则其 5
次总分为
4x+ y=90×5=450,
于是
y=450-4x.
显然 90
