文档内容
应用题-经典应用题-平均数问题基本
知识-4 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
平均数问题基本知识 B 1.了解平均数的基本概念。 少考
2.能够运用平均数的公式求解基本
题目。
知识提要
平均数问题基本知识
概念
把一个（总）数平均分成几个相等的数，这个相等的数就叫做这个（总）数的平均数。
平均数是相对于总数及分成的分数而言的，知道被均分的“总数”和均分的”份数”就可
以求出平均数。
平均数关系式
总数量÷总份数=平均数
总数量÷平均数=总份数
平均数×总份数=总数量
题型设置
1、基本问题
2、总数除以份数
3、等量代换类
4、移多补少类
5、复杂平均数精选例题
平均数问题基本知识
1. 蕾蕾买了一些山羊和绵羊，如果她多买 2 只山羊，那么每只羊的平均价格会增加 60 元；
如果她少买 2 只山羊，那么每只羊的平均价格会减少 90 元，蕾蕾一共买了
只羊．
【答案】 10
【分析】 下图中矩形的长表示羊的只数，宽表示平均价格，则两种阴影部分面积相等
（均表示 2 只山羊的价格），所以蕾蕾一共买了羊
(90+60)×2÷(90-60)=10(只).
2. 已知 9 个数的平均数是 9，如果把其中一个数改为 9 后，这 9 个数的平均数变为 8，
那么这个被改动的数原来是 ．
【答案】 18
【分析】 平均数 = 总和 ÷ 总个数，
平均数由 9 变为 8，减少了
9-8=1;
总数减少了
1×9=9;
所以原来的数为
9+9=18.
3. 五个数中最大的是 59，最小的是 7，其余 3 个是连续的自然数．若这五个数的平均数是
27，则连续的那三个数分别是 ．
【答案】 22，23，24【分析】 因为五个数的平均数是 27，所以这五个数的和是
27×5=135,
又已知最大的数和最小的数是 59 和 7，所以其余三个数的和是
135-59-7=69,
因为这三个数是连续的自然数，所以它们的和是中间数的 3 倍，于是三个数中，中间的那个
数是
69÷3=23,
可得这三个连续的数是 22，23，24．
4. 一个班有 30 名学生，学生平均身高为 140 厘米，其中男生 18 人，男生的平均身高为
144 厘米，则女生平均身高是 厘米．
【答案】 134
【分析】 先考虑分析出男生多的平均分给了女生．所以
140-(144-140)×18÷(30-18)=134
5. 有 9 个数，每次任意抽去一个数，计算剩下 8 个的平均数，得到如下 9 不同的平均数：
101、102、103、104、105、106、107、108、109，这 9 个数的平均数是
．
【答案】 105
【分析】 根据题意任意八个数的和分别是
101×8、102×8、103×8、104×8、105×8、106×8、107×8、108×8、109×8，其
中每个数都出现了 8 次，所以这 9 个数的和为
(101×8+102×8+103×8+104×8+105×8+106×8+107×8+108×8+109×8)÷8=101+102+103+104+105+106+107+108+109
所以这 9 个数的平均数是 (101+102+103+104+105+106+107+108+109)÷9=105．
6. 一个旅游团租车出游，平均每人应付车费 30 元．后来又增加了 6 人，这样每人应付的车
费是 25 元，租车费是 元．
【答案】 900
【分析】 增加 6 人，帮助其他人共分担了 25×6=150（元）的车费，而增加人数
后，每人少分了 30-25=5（元），所以原来有 150÷5=30（人），所以租车费是
30×30=900（元）．7. 菲菲从一班转到了二班，蕾蕾从二班转到了一班，于是一班学生的平均身高增加了 2 厘米，
二班学生的平均身高减少了 3 厘米，如果蕾蕾身高 158 厘米，菲菲身高 140 厘米，那么两
个班共有学生 人．
【答案】 15
【分析】 一班学生总人数不变，总身高增加了
158-140=18(厘米),
平均身高增加了 2 厘米，所以一班 学生总人数为
18÷2=9(人);
二班学生总人数不变，总身高减少了
158-140=18(厘米),
平均身高减少 了 3 厘米，所以二班学生总人数为
18÷3=6(人),
所以两班共有 15 人．
8. 3 堆桃子的个数分别是 93，70，63，一只猴子在 3 堆桃子间搬运，已知猴子每次最多可
搬运 5 个桃子，并且在从一堆搬到另一堆的途中会吃掉一个，当 3 堆桃子个数相等时，猴
子至少吃掉了 个桃子．
【答案】 4
【分析】
(93+70+63)÷3=75⋯⋯1,
要达到平均分 3 堆，吃掉桃子的个数（也等于搬运次数）是 1，4，7，10，⋯ 要求最少，
则从小开始考虑，搬运 1 次没办法做到使 3 堆平均；搬运 4 次便能做到了：
初始：93，70，63．第一次：从 93 搬运 5 个到 63 那堆，则：88，70，67；
第二次：从 88 搬运 5 个到 67 那堆，则：83，70，71；
第三次：从 83 搬运 4 个到 71 那堆，则：79，70，74；
第四次：从 79 搬运 5 个到 70 那堆，则：74，74，74；
综上，至少要搬运 4 次能使 3 堆桃子一样多，即至少吃掉了 4 个桃子．
9. 有 A、B、C、D、E 五个数，其中 A、B、C、D 的平均数是 75，A、C、D、E 的
平均数是 70，A、D、E 的平均数是 60，B、D 的平均数是 65，A 是
．
【答案】 70
【分析】 根据题意
A+B+C+D=75×4,①
{
A+C+D+E=70×4,②
A+D+E=60×3,③
B+D=65×2,④① + ③ -（② + ④）得
(2A+B+C+2D+E)-(A+B+C+2D+E)=300+180-(280+130)
所以 A=70．
10. 夏令营数学竞赛原定一等奖 20 名，二等奖 40 名．后来将一等奖中最后 5 名调整为二
等奖，调整后得二等奖者平均分提高了 1 分，得一等奖者平均分提高了 2 分．那么调整前
得一等奖者的平均分比得二等奖者的平均分多 分．
【答案】 15
【分析】 如下图所示，调整前一等奖平均分比二等奖平均分多
1+[1×40+2×(20-5)]÷5=15(分)．
11. 一次数学竞赛中，某小组 10 个人的平均分是 84 分，其中小明得 93 分，则其他 9 个
人的平均分是 分．
【答案】 83
【分析】
(93-84)÷(10-1) =1
84-1 =83.
12. 某学校有学生 1520 人，每个班 40 名学生，每个班级一天上 6 节课，平均每个教师一
天教 3 节课，那么这所学校至少需要配备 名教师．【答案】 76
【分析】 共有 1520÷40=38（个）班，每个班级一天上 6 节课，那么共要上
38×6=228（节）课，平均每个教师一天教 3 节课，所以至少需要 228÷3=76（名）教师．
13. 某班有 40 人．在一次考试后，按成绩排了名次，结果前 25 名的平均分数比后 15 名的
平均分数多 8 分．一位同学对“平均”的概念不清楚，他把前 25 名的平均分数加上后 15
名的平均分数，再除以 2，错误地认为这就是全班的平均分数，这样做，全班的平均分数降低
了 分．
【答案】 1
【分析】 如果前 25 名学生平均分也按后 15 名平均分计算，那么一共多得
25×8=200（分），多得的 200 分平均分配给每一人，这样全班平均分比后 15 名学生平
均分高了 200÷40=5（分），这位同学错误的算法比后 15 名学生平均分高了 8÷2=4
（分），因此这样做，全班的平均分数降低了 5-4=1（分）．
14. “⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3=2+3+4；7⊙2=7+8；
3⊙5=3+4+5+6+7，⋯ 按此规则，如果 n⊙8=68，那么，n= ．
【答案】 5
【分析】 因为从已知条件可归纳出的运算规则：⊙ 表示几个连续自然数之和，⊙
前面的数表示第一个加数，⊙ 后面的数表示加数的个数，于是
n+(n+1)+(n+2)+⋯+(n+7)=68,
即
(n+3)+(n+4)=68÷4,
所以
n=5.
15. 某次考试中，11 名同学的平均分经四舍五入到小数点后第一位等于 85.3，已知每名同学
的得分都是整数，则这 11 名同学的总分是 分．
【答案】 938
【分析】 记 11 名同学的总分为 A，根据题意可以列式：
85.25×11⩽A<85.35×11
解得
937.75⩽A<938.8,
由于每名同学得分均为整数，可得总分 A 为 938．16. 图书馆用 4500 元购进《庄子》《孔子》《孟子》《老子》《孙子》 5 种图书共计 300
本．它们的单价（指一本的价格）分别为 10 元、20 元、15 元、28 元、12 元．其中《庄
子》和《孔子》的本数一样多，《孙 子》比《老子》的 4 倍还多 15 本．这批图书中，
《孙子》共有 本．
【答案】 195
【分析】 《庄子》和《孔子》数量一样多，则可以看做每本价格 (10+20)÷2=15
元，则《庄子》、《孔子》、《孟子》可以打成一个包，每本价格为 15 元；全部平均价格
4500÷300=15(元).
剩余的《老子》和《孙子》平均价格也是 15 元．假设《老子》的数量是 a 本，《孙子》的
数量是 4a+15 本，有：
28a+12(4a+15)=15(a+4a+15),
解 a=45, 《孙子》的数量是
4×45+15=195(本).
17. 从数字 1，2，3，4，5 中任意取 4 个组成四位数，则这些四位数的平均数是
．
【答案】 3333
【分析】 从 5 个数中任意选取 4 个数，总共有
5×4×3×2=120(种)
可能，根据位值原理，千位上的数的和为
(1+2+3+4+5)×24×1000=360000,
百位上的数的和为
(1+2+3+4+5)×24×100=36000,
十位上的数的和为
(1+2+3+4+5)×24×10=3600,
个位上的数的和为
(1+2+3+4+5)×24=360,
所以平均数为
(360+3600+36000+360000)÷120=3333.
18. 从正整数 1∼N 中去掉一个数，剩下的 (N一1) 个数的平均值是 15.9，去掉的数是
．
【答案】 19【分析】 因为“剩下的 (N-1) 个数的平均值是 15.9”，所以 (N-1) 是 10 的
倍数，且 N 在 15.9×2=31.8 左右，推知 N=31．去掉的数是
(1+2+3+⋯+31)-15.9×30=496-477=19．
19. 如图所示，A、B、C、D、E、F、G、H、I 代表 9 个互不相同的正整数，9 个数的
总和是 2010，并且每个圆中所填数的和都等于 M．则 M 最大是 ，最小
是 ．
【答案】 669；404
【分析】 要求 M 的最大值．考虑到
3×M =(A+B)+(D+E+F)+(H+J)
¿ ⩽2010-1-2
¿ ¿
所以 M⩽669．
要求 M 的最小值，考虑到
5×M =(A+B)+(B+C+D)+(D+E+F)+(F+G+H)+(H+J)
¿ ⩾2010+1+2+3+4
¿ ¿
所以 M>404．
事实上 M=669 及 404 的情况都是很容易达到的，所以它们分别为所求的最大值和最小值．
20. 从 1∼100 这 100 个自然数中去掉两个相邻的偶数，剩下的数的平均数是 50，则所去
掉的两个数的乘积是 ．
【答案】 5624
【分析】
1+2+3+⋯⋯+99+100=5050
去掉两个数后，剩下的数的和是
50×(100-2)=4900,
去掉的两个相邻偶数的和是：
5050-4900=150,
所以这两个偶数分别 74 和 76，
74×76=5624.21. 学校运来 125 个桃和若干梨，分别平分给每位老师，最后剩下一些梨和桃不够分．这时
又运来了 26 个水果（梨桃若干），和之前剩下的水果凑在一起，再平分给老师，每个老师
多分得 3 个水果（每位老师的桃树相同，梨数相同），最后又运来 40 个水果（梨桃若干），
但是发现剩的桃和梨竟不够每位老师同时多拿一个，那么第一次分后剩下了多少个梨？
【答案】 17 个．
【分析】 最后运来 40 个水果后，剩余的水果最少是 40 个，那么最多的那种水果
至少是 20 个，这不够每位老师同时多拿一个，说明老师至少有 21 人．
第一次剩下一些梨和桃不够分，说明此时剩的梨比老师人数少，桃比老师人数少，合起来比老
师人数的 2 倍要少至少 2 个．又运来 26 个水果后能让每个老师多分得 3 个水果，说明
26 比老师的人数要多，且至少多 2，说明老师最多有 24 个人，所以老师人数可能是 21、
22、23、24 这 4 种情况．
若老师人数是 21 人，则第二次分完后不能有剩（否则最后一次一定至少有一种水果够 21
个，就能再分了），故第一次剩 20 个桃和 3×21-20-26=17 个梨．
若老师人数是 22 人，则第一次剩 15 个桃和至少 3×22-15-26=25 个梨，只有 22 个
老师，第一次分到不够分就不可能剩 25 个梨，与题意矛盾，排除．
若老师人数是 23 人，则第一次剩 10 个桃和至少 3×23-10-26=33 个梨，同理排除．
若老师人数是 24 人，则第一次剩 5 个桃和至少 3×24-5-26=41 个梨，同理排除．
综上，第一次分后剩下了 17 个梨．
（其实 22 人的排除后，后 2 种情况不必详细计算，只要估算一下剩的梨数肯定要比 25 还
多即可排除）
22. 有两个学生参加 4 次数学测验，他们的平均分数不同，但都是低于 90 分的整数．他们
又参加了第 5 次测验，这样 5 次的平均分数都提高到了 90 分．求第 5 次测验两人的得分．
（每次测验满分为 100 分）
【答案】 98；94
【分析】 设某一学生前 4 次的平均分为 x 分，第 5 次的得分为 y 分，则其 5
次总分为
4x+ y=90×5=450,
于是
y=450-4x.
显然 90
