【免费下载】25-26学年同步培优讲义培优课 两个经典不等式ex≥x+1、ln x≤x-1的证明及应用(学生版

培优课两个经典不等式e^x≥x＋1、lnx≤x－1的证明及应用

题型一	经典不等式ex≥x＋1

【例1】证明不等式e^x≥x＋1.

【母题探究】

证明不等式e^x≥ex（x∈R）.

通性通法

与e^x有关的常用不等式

（1）e^－x≥1－x（x∈R，当x＝0时，等号成立）；

（2）e^x≥ex（x∈R，当x＝1时，等号成立）；

（3）e^x≤（x＜1，当x＝0时，等号成立）；

（4）xe^x＝e^x＋lnx≥x＋lnx＋1；

（5）＝e^x－lnx≥x－lnx＋1.

【跟踪训练】

设函数f（x）＝1－e^{－x，求证}：当x＞－1时，f（x）≥.

题型二	经典不等式lnx≤x－1

【例2】证明不等式ln x≤x－1.

【母题探究】

证明不等式ln（x＋1）≤x.

通性通法

与lnx有关的常用不等式

（1）≤lnx≤x－1（x＞0，当且仅当x＝1时，等号成立）；

（2）lnx≤（x＞0，当且仅当x＝e时，等号成立）；

（3）lnx≤（0＜x≤1，当且仅当x＝1时，等号成立）；

（4）lnx≥（x≥1，当且仅当x＝1时，等号成立）；

（5）x＋lnx＝ln（xe^x）≤xe^x－1；

（6）x＋nlnx＝ln（xⁿe^x）≤xⁿe^x－1.

【跟踪训练】

求证：对任意正整数n，不等式ln（1＋n）－ln n＜都成立.

题型三	两个经典不等式的简单应用

【例3】已知函数f（x）＝x²＋x－ln x.证明：对任意的x＞0，f（x）＋e^x＞x²＋x＋2.

通性通法

由e^x＞x＋1＞x＞x－1＞lnx，可用该不等式通过放缩证明一些不等式.

提醒在应用两个经典不等式时，要注意：①等号成立的条件；②对于小题可直接应用，对于解答题要写出证明过程.

【跟踪训练】

1.（2024·济南月考）若函数y＝ln（e^x－x＋a）的值域为R，则实数a的取值范围是（）

A.（－∞，－1]B.（－∞，0]

C.[0，＋∞）D.[1，＋∞）

2.已知函数f（x）＝e^x－2－x，求证：f（x）＞.

1.已知a＝＝＝lna，b，c的大小关系为（）

A.a＜b＜cB.a＜c＜b

C.c＜a＜bD.b＜a＜c

2.（2024·洛阳月考）已知正实数x，y满足＋2y－2＝ln x＋ln y，则x^y＝.

3.已知x＞0，求证：＜ln（1＋x）.

提示：完成课后作业第五章培优课