夜雨聆风
【2026版高考复习三维设计一轮课时培优讲义数学电子版第三节导数与函数的极值、最值
课标要求
1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值，会求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
3.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.
1.函数的极值与导数
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条件 |
f’（x0）＝0 |
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x0附近的左侧f’（x）0，右侧f’（x）0 |
x0附近的左侧f’（x）0，右侧f’（x）0 |
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图象 |
形如山峰 |
形如山谷 |
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极值 |
f（x0）为极值 |
f（x0）为极值 |
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极值点 |
x0为极值点 |
x0为极值点 |
提醒f’（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件.如：f（x）＝x3，f’（0）＝0，但x＝0不是极值点.
2.函数的最值与导数
（1）如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值；
（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的 ，f（b）为函数的；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的 ，f（b）为函数的.
1.若函数f（x）在（a，b）上是单调函数，则f（x）在（a，b）上无极值.
2.若函数f（x）在[a，b]上是单调函数，则f（x）一定在区间端点处取得最值.
3.若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则该极值点一定是函数相应的最值点.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数的极大值不一定比极小值大.（）
（2）闭区间上的连续函数必有最值.（）
（3）函数的极大值一定是函数的最大值.（）
（4）开区间上的单调连续函数无最值.（）
（5）设函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在区间（a，b）内不单调.（）
2.如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f’（x）的图象，下列结论正确的是（）
A.y＝f（x）在x＝－1处取得极大值
B.1是函数y＝f（x）的极值点
C.－2是函数y＝f（x）的极小值点
D.函数y＝f（x）在区间（－1，1）上单调递减
3.（人A选二P93例6改编）函数f（x）＝ln x－x在区间（0，e]上的最大值为（）
A.1－eB.－1
C.－eD.0
4.（苏教选一P215例4改编）函数f（x）＝x3－12x的极小值为 ，极大值为.
5.（人A选二P104复习参考题9题改编）若函数f（x）＝ex＋ax在x＝2处取得极值，则a＝.
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函数的极值 |
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（定向精析突破） |
考向1由图象判断函数的极值
〔多选〕（2025·玉溪阶段练习）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f’（x），且函数y＝（1－x）f’（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）
A.函数f（x）有极大值f（－2）
B.函数f（x）有极大值f（2）
C.函数f（x）有极小值f（1）
D.函数f（x）有极小值f（2）
听课记录解题技法
由图象判断函数y＝f（x）的极值要抓住两点
（1）由y＝f’（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值点；
（2）由导函数y＝f’（x）的图象可以看出y＝f’（x）的值的正负，从而可得函数y＝f（x）的单调性.两者结合可得极值点.
考向2求函数的极值（极值点）
f（x）＝ln x－ax（a∈R）.
（1）当a＝
时，求f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数.
解题技法
求函数的极值或极值点的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f’（x），求方程f’（x）＝0的根；
（3）检查在方程的根的左右两侧f’（x）的符号，确定极值点和函数的极值.
考向3已知函数的极值求参数
f（x）＝2e2x＋（a－2）ex＋x有两个极值点，则a的取值范围是（）
A.（－∞，－2）B.（－∞，－1）
C.（－∞，1）D.（－∞，2）
听课记录解题技法
已知函数极值点或极值求参数的2个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
提醒 若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内不是单调函数.
1.函数f（x）＝
－3x＋2ln x的极大值与极小值之和为（）
A.2ln 2－6B.ln 2－
C.ln 2－6D.2ln 2－
2.（2024·邢台高三开学考试）已知函数f（x）＝（x－a）（x2－x）在x＝a处取得极小值，则a＝（）
A.－1B.0C.1D.0或1
3.若函数f（x）＝ln（2x）＋ax有大于零的极值，则实数a的取值范围是（）
A.（－∞，－
）B.（－
）
C.（0，）D.（
，＋∞）
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函数的最值 |
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（定向精析突破） |
考向1不含参函数的最值
（1）函数f（x）＝
x＋sin x在x∈[0，2π]上的最大值是 ，最小值是；
（2）函数f（x）＝
－2ln x＋2x的最小值为.
听课记录
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