【2026版高考复习三维设计一轮课时培优讲义数学电子版第四节平面向量的综合问题

重点解读

平面向量的综合问题，尤其是最值、范围问题是高考的热点，也是难点.此类问题综合性强，体现知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比较向量的模、数量积、参数等.解题思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数的最值求解.同时要注意向量“数”与“形”的双重身份，解题时重视数形结合思想.

G，两个拉力分别为F_1，F2，且｜F₁｜＝｜F₂｜，F₁与F₂的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（）

A.｜G｜＝｜F₁｜＋｜F₂｜

B.当θ＝时，｜F₁｜＝｜G｜

C.当θ角越大时，用力越省

D.当｜F₁｜＝｜G｜时，θ＝

听课记录

解题技法

用向量方法解决实际问题的步骤

如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从A点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为｜v₁｜＝10 km/h，水流速度的大小为｜v₂｜＝4 km/h，设v₁和v₂的夹角为θ（0°＜θ＜180°）.当cos θ＝时，船能垂直到达对岸.

△ABC中，AD为中线，求证：AD²＝（AB²＋AC²）－（）².

解题技法

用向量方法解决平面几何问题的步骤

平面几何问题向量问题解决向量问题解决平面几何问题.

如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB²－AC²＝DB²－DC².求证：AD⊥BC.

（1）（2024·天津高考14题）在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μλ＋μ＝；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则·的最小值为；

（2）平面向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，且｜a－3b｜＝1，则cos＜b，3b－a＞的最小值是.

听课记录

解题技法

求向量数量积的最值（范围）问题的关键

（1）会计算向量的数量积，有关向量数量积的计算通常有两种方法：数量积的定义及坐标运算；

（2）会求目标代数式，通过引入参数求出向量的数量积，转化为关于参数的函数，此时，常利用函数的单调性、配方法、基本不等式等方法求出向量数量积的最值（范围）.

1.如图，在△ABC中，＝为线段AD上的动点，且＝x＋y＋的最小值为（）

A.8B.9

C.12D.16

2.在平面直角坐标系xOy中，若A（1，0），B（3，4），＝x＋y＋y＝6，则｜｜的最小值为.

m＝（cos（ωx＋），cos ωx），n＝（sin（ωx－），cos ωx），ω＞0，f（x）＝m·n－＝f（x）图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为.

（1）求ω的值及f（x）在［0，］上的单调递增区间；

（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＋c＝2，A＝f（a）的值域.

解题技法

平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

（1）当题中给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先结合已知条件运用向量共线、垂直等相关知识，得到含有三角函数的关系式，然后求解；

（2）当给出用三角函数表示的向量坐标，求向量的模或向量的其他表达式时，可通过向量的坐标运算，将其转化为三角函数的性质或值域等问题.

　已知向量a＝（cos x，sin x），b＝（3，－），x∈[0，π].

（1）若a∥b，求x的值；

（2）记f（x）＝a·b，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值.

提示：完成课后作业　第五章　第四节

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