【漫画高数】8.6 空间曲线及其方程

设有空间曲线及过的两张曲面和

我们称方程组

为空间曲线的一般方程

例1 下列方程组表示怎样的曲线？

空间曲线的参数方程与直线类似，只要将曲线上的动点坐标表示为参数的函数

当时，就得到曲线上的一个点，随着的变化就能得到曲线的所有点，我们称这个方程组为空间曲线的参数方程

例2 地球绕太阳在银河系运动的轨迹可以简单看为一个圆柱面（实际有偏差），如果把运动轨迹置于空间直角坐标系内，则可视为地球以角速度绕轴旋转，同时具有平行于轴的线速度，我们称地球的运动轨迹为螺旋线，请试着建立地球运动轨迹的参数方程。

解：既然是运动，那么一定有时间（关于运动时间和位移的描述，请戳 【物理传送门1】），所以我们以时间为参数，设初始时刻的初始位置为点，那么对于曲线上的任意点和点在平面上的投影点，就有

（关于圆周运动的描述，请戳 【物理传送门2】）点到轴的垂直距离为

所以得到地球运动轨迹的参数方程

一般我们就简写为

例3 求下列空间曲线在面上的投影曲线

解：方程组联立消

所以投影曲线为

解：方程组联立消

所以投影曲线为

解：方程组联立消

所以投影曲线为

【自测1】将曲线的一般方程

化为参数方程。

答案： 将 代入 ，得 ，即

令 ，则 ，于是曲线的参数方程为

【自测2】求曲线

在 面和 面上的投影曲线的方程。

答案： 先求在 面上的投影。 两式相减得：，即 。 代入第一式：，即 。 因此在 面上的投影为

再求在 面上的投影。 令，由得，且由得。 因此在面上的投影为

即点 和 的连线。

【自测3】求旋转抛物面 () 在三坐标面上的投影。

答案： 在 面上的投影：令 ，得投影柱面为 ，投影为

在 面上的投影：令 ，得 。由 知 ，投影为

在 面上的投影：令 ，得 。由 知 ，投影为