《6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例》教学设计

教学设计目录

• 一、教学目标
• 二、教学重难点
• 重点
• 难点
• 三、教学过程
• （一）新课导入（5分钟）
• （二）概念回顾（7分钟）
• （三）例题探究（18分钟）
• （四）巩固练习（7分钟）
• （五）课堂小结（2分钟）
• （六）布置作业（1分钟）

一、教学目标

1. 通过实际情境分析，理解仰角、俯角等测量相关概念。
2. 通过例题探究，掌握正余弦定理测距离的基本方法。
3. 通过实践应用，学会设计简单测量方案解决实际问题。
4. 通过习题训练，提升正余弦定理综合运用能力。

二、教学重难点

重点

• 正余弦定理在距离、高度测量中的应用。
• 测量相关概念的准确理解与运用。

难点

• 不可到达点测量方案的设计与数据处理。
• 实际问题转化为解三角形模型。

三、教学过程

（一）新课导入（5分钟）

• 教师活动：展示经纬仪、水准仪图片，提问：“生活中如何测量河对岸两点的距离？”

• 追问：“当测量目标无法直接到达时，我们需要借助什么工具和知识？”
• 学生活动：自由发言，分享生活中的测量经验。
• 教师总结：大家都有过简单的测量经历，比如用尺子量桌子长度，但遇到河对岸的物体、高楼顶端这种“够不着”“到不了”的情况，普通尺子就没用了。今天咱们就来学习用之前学过的正余弦定理，结合专门的测量工具，解决这些实际问题——这就是咱们今天的主题：余弦定理、正弦定理应用举例。

（二）概念回顾（7分钟）

• 教师活动：在解决实际测量问题前，咱们得先明确几个常用的“测量术语”，这些概念就像解题的“钥匙”，能帮咱们把实际场景转化为数学图形。下面咱们一起回顾这些核心概念：

【仰角】：目标视线在水平线上方与水平线的夹角。 【俯角】：目标视线在水平线下方与水平线的夹角。【方位角】：从某点正北方向起，顺时针旋转到目标方向线的最小正角。【方向角】：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角。【基线】：测量中根据需要确定的线段。 【正弦定理】：在中，。 【余弦定理】：在中，（同理可得其他形式）。

• 提问：“这些概念在测量中分别起到什么作用？”
• 学生活动：小组讨论后回答，明确概念的实际意义。
• 教师引导：清楚了这些概念和定理，咱们就可以开始解决具体的测量问题了，先从最简单的“一个点能到、一个点到不了”的距离测量开始。

（三）例题探究（18分钟）

例1：可到达点与不可到达点之间的距离

如图，在河岸的一边选定两点、，河对岸有一个标记物，测得，，，求、两点间的距离。

• 教师活动：提问：“题目中哪些点可到达？哪些不可到达？如何选择定理求解？”

• 追问：“三角形内角和定理在本题中起到什么作用？”

• 学生活动：独立思考，尝试画出图形，标注已知条件。

• 教师引导：大家已经标出了已知条件，、在河岸这边，咱们能走到，所以的长度能直接测；在河对岸，到不了，所以是咱们要求的。接下来咱们用正弦定理来解：

解答：

1. 求：由三角形内角和为，得。
2. 明确已知条件：，，，要求的长度。
3. 应用正弦定理：在中，。
4. 代入数据计算：已知，，则

例2：两个不可到达点之间的距离

• 教师引导：刚才是一个点不可到达，要是河对岸的、两个点都到不了，咱们又该怎么测它们之间的距离呢？这时候就需要先选一条“能测量的线段”当基线，再构建三角形来解。

如图示，、两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量、两点间距离的方法，并求出、的距离。

• 教师活动：提问：“面对两个不可到达点，如何构建可测量的三角形？”

• 追问：“基线的选择有什么要求？除了教材方法，还有其他思路吗？”

• 学生活动：小组合作设计方案，分享思路。

• 教师引导：大家都想到了在岸边选两个能到达的点、当基线，这样就能通过测角度、算边长，间接求出。下面咱们一步步来计算：

解答：

1. 设计测量方案：在、两点的对岸选定两点、，以作为基线，测得，，，，。
2. 求的长度：在中，由三角形内角和为，得，根据正弦定理，故

1. 求的长度：在中，，根据正弦定理，故

1. 求的长度：在中，应用余弦定理，，将、的表达式代入，得

例3：高度测量-底部可达

• 教师引导：除了测量距离，咱们还经常需要测高度，比如测塔高。如果塔底能直接走到，测量就很简单，咱们只需要测两个数据就行。

如图，设计一种测量方法，测量塔的高度。

• 教师活动：提问：“底部可达时，测量高度需要哪些关键数据？如何建立数学模型？”
• 学生活动：自主设计方案，写出求解思路。
• 教师引导：大家都想到了测基线长度和仰角，因为塔是垂直地面的，所以形成的是直角三角形，用正切函数就能算高度：

解答：

1. 测量方案：在塔底的水平方向上选取一点，测得的距离为，从点观测塔顶端的仰角为。
2. 建立模型：为直角三角形，。
3. 求解高度：由正切函数定义，，故塔的高度

例4：高度测量-底部不可达

• 教师引导：如果是高楼或者山，底部走不到，比如被围墙挡住了，这时候又该怎么测高度呢？咱们可以选两条基线，测两个仰角，再用正弦定理来解。

如图，是底部不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点。设计一种测量建筑物高度的方法，并求出建筑物的高度。

• 教师活动：提问：“底部不可达时，核心难点是什么？如何通过基线和仰角突破？”
• 追问：“测角仪器的高度在计算中起到什么作用？”
• 学生活动：小组讨论，分析解题关键步骤。
• 教师引导：核心是先求出建筑物顶端到测角仪器的水平距离，再算垂直高度，最后加上仪器本身的高度。具体步骤如下：

解答：

1. 测量方案：选择一条水平基线，使、、三点在同一直线上。在、两点用测角仪器测得的仰角分别是、，测角仪器的高是，。
2. 求的长度：在中，，根据正弦定理，故

1. 求的长度：为到测角仪器水平线上的垂直距离，。
2. 求建筑物高度：

例5：测量角度

• 教师引导：除了距离和高度，航海、航空中还经常需要测方向角，比如船只救援时，确定航行方向。这类问题的关键是先画方位图，再用正余弦定理。

位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船。那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线的方向是北偏东多少度（精确到）？需要航行的距离是多少海里（精确到）？

• 教师活动：提问：“如何根据方位角信息画出准确的示意图？的度数是多少？”
• 学生活动：动手画图，标注已知条件和所求量。
• 教师引导：大家已经画好了示意图，在中心，在正东，在南偏西，咱们先算乙船到的距离，再算方向角：

解答：

1. 绘制示意图：根据题意，处甲船，在正东方向（），在南偏西（），连接。
2. 求：由方位角关系，。
3. 求的长度：根据余弦定理，

故。 4. 求：根据正弦定理，，即

1. 确定方向：因，故，乙船方向为北偏东。

（四）巩固练习（7分钟）

• 教师引导：刚才咱们学了距离、高度、角度三种测量类型，现在来做几道练习题，检验一下大家的掌握情况。先看第一题，还是测不可到达点的距离：

练习1

如图，隔河能看见目标、但不能到达，在岸边选取相距的、两点，并测得，，，（、、、在同一平面内），求目标、之间的距离。

• 教师引导：这道题和例2思路相近，先算、，再算，最后用余弦定理求，大家动手试试：

解答：

1. 在中，，，故，所以。
2. 由余弦定理求：

故。 3. 在中，，，故。 4. 由正弦定理求：，即

1. 在中，由余弦定理求：

故。

练习2

• 教师引导：第二题是证明题，测山高且底部不可达，大家注意三角形内角的转化：

如图示，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为。求证：山高。

• 教师活动：提示学生注意三角形内角的转化，巡视指导。
• 学生活动：独立完成证明过程，小组内交流核对。
• 教师引导：证明的关键是找到的三个内角，再用正弦定理推导，具体步骤：

证明：

1. 在中，（因为斜坡倾斜角为，仰角为，内角互补关系）。
2. 计算：，其中，故

1. 由正弦定理：，即

1. 山高，代入的表达式，得

得证。

练习3

• 教师引导：第三题是航海中的方向和距离问题，和例5逻辑一致，先确定内角，再用定理求解：

如图示，一艘海轮从出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛，然后从出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛。如果下次航行直接从出发到达，那么这艘船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少？解答：

1. 确定的度数：由方位角关系，。
2. 由余弦定理求：

计算得。

1. 由正弦定理求：，即

故。

1. 确定航行方向：，故船应沿北偏东的方向航行，需航行约。

（五）课堂小结（2分钟）

• 教师活动：提问：“本节课涵盖了哪些测量类型？核心工具和解题关键是什么？”
• 学生活动：总结发言，梳理知识体系。
• 教师总结：今天咱们学了四类测量问题——单不可到达点距离、双不可到达点距离、底部可达/不可达高度、方位角测量，核心工具都是正余弦定理。解题关键就三步：先把实际场景画成三角形图形，再标注已知的边长和角度，最后用定理计算。

（六）布置作业（1分钟）

1. 整理本节课所有例题和练习的解题步骤，重点标注每一步的依据（比如“正弦定理”“三角形内角和”）。
2. 设计测量学校附近不可到达物体高度的方案（写出测量步骤和所需数据，不用计算具体数值）。
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