1．通过方程的解，认识复数．

2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．

3．掌握复数代数表示法的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．

1．复数的概念

2.复数的几何意义

为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量→，并且规定，相等的向量表示同一个复数．

3．复数的四则运算

(1)运算法则：设z₁＝a＋bi，z₂＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①z₁±z₂＝(a±c)＋(b±d)i；

②z₁z₂＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

③z1z2＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(z₂≠0).

(2)复数加、减法的几何意义

(3)复数加法的运算律：对于任意z_1，z2，z3∈C，有

(4)复数乘法的运算律：对于任意z_1，z2，z3∈C，有

1．(1±i)²＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.

2．i⁴ⁿ＝1，i⁴ⁿ⁺¹＝i，i⁴ⁿ⁺²＝－1，i⁴ⁿ⁺³＝－i，其中n∈N；i⁴ⁿ＋i⁴ⁿ⁺¹＋i⁴ⁿ⁺²＋i⁴ⁿ⁺³＝0，其中n∈N.

3．zz＝|z|²＝|z|²，|z₁z₂|＝|z₁||z₂|，\f(z1z2))＝|z1||z2|，|zⁿ|＝|z|ⁿ.

4．复数z的方程在复平面上表示的图形

(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环．

(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．

1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(×　)

(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(×　)

(3)原点是实轴与虚轴的交点．(√　)

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√　)

2．(人教A版必修第二册P69例1改编)若复数z＝m²－m－2－(m＋1)i(m∈R，i为虚数单位)为纯虚数，则m的值为2．

解析：由z是纯虚数，有m2－m－2＝0，－(m＋1)≠0，)解得m＝2.

3．(人教A版必修第二册P94T1(2)改编)已知i是虚数单位，则复数3＋i3－4i的共轭复数为15－35i．

解析：由题意可得，3＋i3－4i＝(3＋i)(3＋4i)(3－4i)(3＋4i)＝5＋15i25＝15＋35i，所以复数3＋i3－4i的共轭复数为15－35i.

4．(人教A版必修第二册P95T1(3)改编)已知复数z＝(m²－2)＋(m－1)i对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为(1，2)．

解析：∵复数z＝(m²－2)＋(m－1)i对应的点(m²－2，m－1)位于第二象限，∴m²－2<0，且m－1>0，∴1<m<2.

考点1 复数的概念

【例1】(1)(2024·湖北武汉模拟)已知复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝(　C　)

A．2)2B．1

C．2D．2

【解析】　由已知条件，z＝2i1＋i＝2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝1＋i，共轭复数z＝1－i，所以|z|＝2.故选C.

(2)(2024·河北保定三模)若复数z满足z－z＝m＋i3－i，则实数m＝(　B　)

A．12B．13

C．－12D．－13

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