1.1

(1)

考虑级数 . 记部分和为 , 则 . 因此 . 

(2)

考虑级数 . 记部分和为 , 则 .

由 Stirling 公式, . 因此 .

所以 . 

1.2

已知 , 且 . 依次计算得到 , 所以 .

因此 . 

1.3

已知 , , 且 . 由递推式, .

记 . 则 .

令 . 则 . 所以  且单调递减, 从而存在  使得 .

又 . 令 , 得 , 所以 .

因此 , 从而 . 

1.5

已知  和  都发散. 对 , , ,  的敛散性均不能确定.

但是  与  不可能同时收敛. 否则  和  都收敛, 矛盾. 

1.6

定义部分和 , . 因为  收敛, 所以  收敛. 因为  发散, 所以  不收敛.

若  收敛, 则  收敛, 矛盾. 同理, 若  收敛, 则  收敛, 矛盾.

因此  和  均发散. 

1.7

已知 . 记 . 按二叉层分组可得 .

所以 , 因此  发散. 

1.8

定义 .

(1)

.

.

.

(2)

对 , . 

1.9

(1)

, 所以级数发散.

(2)

 的通项不趋于 , 所以级数发散.

(3)

, 所以级数发散.

(4)

, 所以级数发散.

1.10

设 . 则 .

因此 .

设 , 且 . 则 , . 所以 .

因此  收敛. 

1.11

证明存在常数 , 对任意正数列 , 有 .

事实上可以取 , 而且常数  是最佳的. 下面给出两种证明. 第二种证明参考 Hardy 型不等式的相关处理方法, 见文献 [1].

证法一

由 Cauchy 不等式, .

所以 .

于是 .

因此可以取 .

证法二

令 . 原不等式等价于证明 .

由 Cauchy 不等式, , 所以 .

注意到 , 因而 .

于是 .

令 . 则 .

所以 .

对  求和, 得 .

又因为 , 且 , 所以 .

代回 , 得 .

常数  的最佳性

取 . 此时 , 所以 , 而 .

因此 .

所以任何小于  的常数都不可能对所有正数列成立, 即  为最佳常数.

1.12

直接使用 1.11, 取 . 因为  收敛, 所以  也收敛. 

1.13

(1)

, 所以收敛.

(2)

, 所以收敛.

(3)

, 所以收敛.

(4)

, 所以收敛.

(5)

, 所以发散.

(6)

. 因为 , 所以充分大时 . 因此发散.

(7)

. 充分大时 , 所以 , 从而 . 因此发散.

(8)

. 所以收敛.

(9)

. 因为  收敛, 所以原级数收敛.

(10)

. 所以收敛. 

1.14

(1)

考虑 . 充分大时 , 所以 . 因此收敛.

(2)

由 Stirling 公式, . 因此收敛.

(3)

.

因此 . 所以  时收敛,  时发散.

(4)

通项中的指数部分满足 .

所以  时收敛. 当  时, 通项 , 仍然收敛. 当  时发散. 因此收敛当且仅当 . 

1.15

考虑 . 用积分判别, .

所以  时收敛,  时发散. 

1.16

考虑 . 用积分判别, .

当  时, 对任意  都收敛. 当  时, 对任意  都发散. 当  时, 再令 , 得到 , 所以  时收敛,  时发散.

因此原级数收敛当且仅当 , 或者  且 . 

1.17

已知 . 当  时, .

所以 .

因此 , 所以  收敛. 

1.18

已知  为递减的正数列, 且  收敛. 因为对  有 , 所以 .

因此 . 右端为收敛级数的尾项, 当  时趋于 . 所以 . 

1.19

设  是非负递减数列.

先证  收敛推出  收敛. 有 . 所以凝聚级数收敛时, 原级数收敛.

反过来, 对每个 , 有 . 因此 . 所以原级数收敛时, 凝聚级数也收敛.

因此  收敛当且仅当  收敛. 

1.20

已知当  时有 . 对任意充分大的 , 取 . 此时 , 所以 , 即 .

因此 . 所以 .

右端为收敛级数的尾项, 所以趋于 . 因此 . 

1.21

设 . 则 , 且 .

当  时, 对  有 . 所以 .

因此 . 所以级数收敛.

当  时, 充分大时 , 所以 .

反设  收敛. 则 , 所以充分大时 . 由  对  成立, 得 .

但 , 矛盾. 所以  发散, 从而  发散. 

1.22

令 , 则 , 且 .

因此 , 所以  等价于 .

若 , 因为 , 所以 , 从而 .

反过来, 假设 . 则 , 所以存在 , 使得  时 . 此时 . 因此 , 从而 , 与  矛盾.

因此  当且仅当  发散. 

1.23

已知 . 所以 .

因为  和  都收敛, 所以  收敛. 由比较判别法,  收敛.

因此  收敛. 

1.24

设 , , 且 .

显然 , 所以 . 令 , 得 , 所以 , 即 .

由递推关系, .

令 . 则 , 且 .

由 Stolz 定理, , 所以 .

因此  与  同敛散. 当  时, , 所以  发散. 当  时, , 所以  收敛. 

1.25

设 , 并令 . 因为  严格递增且无界, 所以 .

又 .

当  时,  单调递减. 对  有 , 所以 .

因此 , 所以  收敛.

当  时, 充分大时 , 所以 . 因此 . 所以  收敛.

当  时, 充分大时 , 所以 . 因此 .

又因为 , 由 1.22,  发散. 所以  发散.

综上,  在  时收敛, 在  时发散. 

1.26

考虑部分和 .

交换求和次序, 得 .

当  时, 有 . 同时这样的  至多有  个, 所以 .

于是 .

所以  有界, 从而  收敛. 

1.27

原题条件  实际上可以弱化为 .

记 , .

先证明  为无理数. 反设 . 则 .

另一方面, .

因为 , 所以充分大时 , 与  矛盾. 所以  为无理数.

对  同理. 反设 . 因为交错余项非零, 且 , 所以充分大时 . 但 , 矛盾. 所以  也为无理数.

特别地, 取 , , , 则 , 所以  为无理数.

取 , , , 则 , 所以  为无理数. 

1.28

记  为通过  和  两点的直线. 因为  为严格递减的凸函数, 在区间  上有 . 所以 .

注意 .

又 , 所以 .

于是 .

所以 .

令 , 得 . 

1.29

反证. 假设  发散. 记 , 并取 . 因为 , 所以 .

对 , 有 .

固定 , 令 , 得 . 所以  的尾和不能任意小, 与题设矛盾.

因此  收敛. 

1.30

已知存在 , 使得 . 于是 .

下面证明 . 因为 , 所以 .

另一方面, . 因为左边有界, 且各项 , 所以  收敛.

因此 .

于是  有界, 所以  收敛. 

1.31

由递推式  可知 , 所以  单调递增.

先证必要性. 假设 . 因为 , 所以 . 因此 , 即 . 所以  的部分和有界, 从而  收敛.

再证充分性. 假设  收敛. 由 , 且 , 有 .

所以  有上界. 又因为  单调递增, 因此  收敛.

所以  收敛的充分必要条件是  收敛. 

参考文献

[1] 王永喜, 李奋平, 武文英. 一类 Hardy 型不等式的探讨[J]. 中等数学, 2017(3): 12-14.